概率论与数理统计章节总结华南理工大学

概率论与数理统计

应用数学系陶志穗

讲课内容与时间安排：

合计：32学时

作业要求：每周交作业，独立完成。

考试要求：统考

序

一、概率论研究的对象是什么？

二类现象一定大气压下，水加温到1000C：沸腾

实弹射击，打一发子弹：可能中或不中

二类现象必然现象：一定条件下，结果是肯定的

随机现象：一定条件下，结果不肯定

概率论是研究随机现象规律性的一门数学。

二、随机现象有规律性吗？

有。

例如：两人打枪。

1发（两种可能）100发

甲：中、不中因为受训中97

乙：中、不中中35 这种规律性称为统计规律性：在大量试验中才显示出来，不是个别次数显示的特性。

（例：从婴儿出生的调查来看，男、女婴孩的可能性各占一半。对某个对象不出现这一规律性）

规律性体现在结果发生可能性的差异上。

三、 规律性如何指导实践

根据实际判断原理

1． 发生可能性小，结果少； 发生可能性大，结果多 在统计学中，以“小概率事件”判断原理来进行假设检验，

例如：厂方声称，产品的废品率为5%

随机检查，“5个产品有2个次品” 这时，应当拒绝“废品率为5%” 。

为什么？

因为“5个产品有2个次品”是小概率事件（一般小于0.05）（用概率的方法可计算），

005114332441555552552530.77370.20360.0210.0011001C p q C p q C p q C p C p q q C p

+++++=+++++=

在一次试验中不可能发生，现在居然发生了，应怀疑原假设。

2． 可能性小的事多次重复也必然发生

把“南粤风采（36选7）”的一次选号看作一次试验，“中奖”是小概率事件，但多次重复试验，“中奖”就有可能发生，事实上总有人中奖。

股市中的新股认购，买一手的中签率很低，但多次重复，一定会中签。

例如，2006年9月22日“江苏宏宝”发行A 股4,000万股，申购情况统计如下：有效申购股数为17,302,89.1万股，起始配号00000001，截止配号34605782。中签率为0.23%（是小小概率事件），超额认购倍数为433倍。

例1

甲、乙两位棋手棋艺相当。他们在一项奖金为1000元的比赛相遇。比赛为五局三胜制。已经进行了三局的比赛，结果为甲二胜一负。现因故要停止比赛，问应该如何分配这1000元比赛奖金才算公平？

奖金分配方法：平均分，对甲欠公平

按一定的比例分配，甲拿大头，乙拿小头

甲拿2/3，乙拿1/3，合理吗？

例2在第43届世界乒乓球锦标赛中，由于决策正确，中国队战胜瑞典队（3：2），夺回了阔别六年之久的斯韦思林杯。

当时瑞典队上场队员只有

瓦尔德内尔

佩尔松（2008北京奥运会仍出场（5届），与王皓半决赛）

卡尔松

卡尔松怕削球手，于是中国队排出了如下阵容：

王涛马文革丁松马文革王涛

瑞典队有两种选择：

或以卡尔松打第三单打去碰削球手丁松

或以佩尔森打第三单打，以便卡尔松避开丁松

即有两种出队的方法

第一种瑞典瓦佩卡瓦佩

中国王马丁马王瑞典获胜的概率0.55 0.45 0.4 0. 55 0.45

第二种瑞典瓦卡佩瓦卡

中国王马丁马王瑞典获胜的概率0.55 0.4 0.5 0. 55 0.4

请计算中国队胜的概率。

(2004年8月奥林匹克运动会，老瓦仍然出场，5届奥运元老，2008年北京奥运佩尔森出场，也是5届奥运元老）

四、工具

数学是用定量方法研究问题的。

如何描述、表现、模拟随机现象及规律性？

随机的数学模型如何建立？

自然涉及符号、工具

预备知识：

排列与组合

集合论

微积分

例：下列式子的台劳展开式

x

e

1 1

x

第1章随机事件与概率

1.1随机试验

我们说过，随机现象有规律性，这种规律性称为统计规律，是随机现象的内在规律，这种规律一般可在①相同条件下，②通过大量重复试验而获得。这种试验称为随机试验。

随机试验的特征：

例1掷一枚硬币，观察其出现正面还是反面。

所有可能发生的结果：{正} {反}

例2 掷三枚硬币，观察其出现的面。

所有可能发生的结果：

{正，正，正} {正，正，反} {正，反，正} {正，反，反}

{反，正，正} {反，反，正} {反，正，反} {反，反，反}

例3 一个有两个小孩的家庭，所有可能的结果是

{ boy, boy} {boy, girl }, {girl , boy }, {girl, girl }

1.2随机事件

——在一次试验中可能发生，也可能不发生的事情，称为这试验的随机事件。

如上面例1中，A={ 出现正面} 为一随机事件

例2中，B={ 恰出现两个正面} 为一随机事件

必然事件——在一定条件下必定出现的事情称为必然事件（必然事件）不可能事件——在一定条件下，必定不出现的事情称为不可能事件。

样本空间（基本空间）——随机试验所有可能发生的试验结果组成的集合如在上述例2中，8个可能结果的全体是基本空间

基本事件——基本空间中，单个元素组成的事件为基本事件

如例2中，有8个基本事件

要注意下面三点：