2019版高考数学(人教A版理)一轮复习课件：第7章 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质
平面上的射影 所成的锐角叫做这条直线和这个
垂直于棱 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． ___________
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4．平面与平面垂直 (1)定义： 如果两个平面所成的二面角是 直二面角 ， 就说这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
[证明] 因为 AB 为圆 O 的直径，所以 AC⊥CB，在 Rt△ABC 中，由 3AC＝ BC，得∠ABC＝30° .3 分 设 AD＝1，由 3AD＝DB，得 DB＝3，BC＝2 3，由余弦定理得 CD2＝DB2＋ BC2－2DB· BCcos 30° ＝3， 所以 CD2＋DB2＝BC2，即 CD⊥AO.8 分 因为 PD⊥平面 ABC，CD⊂平面 ABC， 所以 PD⊥CD，由 PD∩AO＝D，得 CD⊥平面 PAB，又 PA⊂平面 PAB，所以 PA⊥CD.12 分
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抓 基 础 · 自 主 学 习
第五节
[考纲传真]
直线、平面垂直的判定及其性质
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解
明 考 向 · 题 型 突 破
空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结 论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．
课 时 分 层 训 练
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5．边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角，则折叠后 AC 的长 为________．
a
[如图所示，取 BD 的中点 O，连接 A′O，CO，则∠A′OC 是二面角
A′BDC 的平面角． 2 即∠A′OC＝90° ，又 A′O＝CO＝ 2 a， ∴A′C＝ a2 a2 2 ＋ 2 ＝a，即折叠后 AC 的长(A′C)为 a.]
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1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直，则 l⊥α.( (2)垂直于同一个平面的两平面平行．( ) ) )
(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．(
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1．直线与平面垂直 (1)定义：如果直线 l 与平面 α 内的 任意一条 直线都垂直，则直线 l 与平面 α 垂直． (2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条 相交 直线都垂直，则该直 线与此平面垂直．
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(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂 直于这个平面． (4)直线和平面垂直的性质： ①垂直于同一个平面的两条直线 平行 ． ②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的 任一 直线． ③垂直于同一条直线的两平面 平行 ．上页返回首页下一页
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2．直线和平面所成的角 (1)平面的一条斜线和它在 平面所成的角． (2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时， 规定直线和平面所成的角分 别为 90°和0° . 3．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的 两个半平面 所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作
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[规律方法]
1.证明直线和平面垂直的常用方法有：
(1)判定定理； (2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)； (3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)； (4)面面垂直的性质． 2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的 性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．
(4) 若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平 面．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
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2．(教材改编)设 α，β 是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且 l⊂α， m⊂β.( )
A．若 l⊥β，则 α⊥β B．若 α⊥β，则 l⊥m C．若 l∥β，则 α∥β D．若 α∥β，则 l∥m
A [∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故 A 正确．]
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3． (2016· 浙江高考)已知互相垂直的平面 α， β 交于直线 l， 若直线 m， n 满足 m ∥α，n⊥β，则( A．m∥l C．n⊥l
C [∵α∩β＝l，∴l⊂β. ∵n⊥β，∴n⊥l.]
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[变式训练 1] 1 如图 753 所示，已知 AB 为圆 O 的直径，点 D 为线段 AB 上一点，且 AD＝3 DB，点 C 为圆 O 上一点，且 BC＝ 3AC，PD⊥平面 ABC，PD＝DB. 求证：PA⊥CD.
图 753
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) B.m∥n D.m⊥n
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4．如图 751，已知 PA⊥平面 ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为 ________．
图 751
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4
[∵PA⊥平面 ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC， 则△PAB，△PAC 为直角三角形． 由 BC⊥AC，且 AC∩PA＝A， ∴BC⊥平面 PAC，从而 BC⊥PC. 因此△ABC，△PBC 也是直角三角形．]
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线面垂直的判定与性质
如图 752，在三棱锥 ABCD 中，AB⊥平面 BCD，CD⊥BD.
(1)求证：CD⊥平面 ABD； (2)若 AB＝BD＝CD＝1，M 为 AD 中点，求 三棱锥 AMBC 的体积．
图 752
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[解] (1)证明：因为 AB⊥平面 BCD，CD⊂平面 BCD， 所以 AB⊥CD.2 分 又因为 CD⊥BD，AB∩BD＝B， AB⊂平面 ABD，BD⊂平面 ABD， 所以 CD⊥平面 ABD.5 分
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(2)由 AB⊥平面 BCD，得 AB⊥BD. 1 2 1 又 AB＝BD＝1，所以 S△ ABD＝2× 1 ＝2.8 分 1 1 因为 M 是 AD 的中点，所以 S△ ABM＝2S△ ABD＝4. 根据(1)知，CD⊥平面 ABD， 则三棱锥 CABM 的高 h＝CD＝1， 1 1 故 VAh＝12.12 分 MBC＝VCABM＝ S△ ABM· 3
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(新课标)高考数学一轮总复习 第七章 第5节 直线、平面垂直的判定与性质课件
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言 判 如果一个平面过另 定 一个平面的一条 图形语言 符号语言
垂线 ，则这两个 定 _____
理 平面互相垂直.
l ⊥α ______ ⇒α⊥β l ⊂ β _____
性 质 定 理
如果两个平面互相 垂直，那么在一个 平面内垂直于它们 α⊥β l⊂β ⇒l⊥α α∩β＝a l⊥a
5 ． 将 正 方 形 ABCD 沿 AC 折 成 直 二 面 角 后 ， ∠ DAB ＝
________. [ 解析]
如图，取 AC 的中点 O，连接 DO，
BO，BD，则 DO⊥AC，BO⊥AC，故∠DOB 为 二面角的平面角，从而∠DOB＝90° .设正方形边 2 长为 1，则 DO＝BO＝ 2 ，所以 DB＝1，故△ ADB 为等边三角形，所以∠DAB＝60° .
(2)线面角 θ
3．平面与平面垂直
(1) 二面角的有关概念：
①二面角的定义．从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做 二面角的面． 如图，记作：二面角 α － l － β 或二面角 α － AB － β 或二面角 P －
AB－Q.
②二面角的平面角．在二面角 α － l － β 的棱 l 上任取一点
性 质 定 理
a ⊥α _____ ⇒a∥b b⊥α _____
2．直线与平面所成的角
(1)定义
射影 所成的_____ 锐角 ，叫做 平面的一条斜线和它在平面上的_____ 这条直线和这个平面所成的角． 如图，
∠PAO 就是斜线 AP 与平面 α 所成的角． _______
π 0， . 2 的范围：______.
高三数学,一轮复习人教A版, 第七章第5讲 , 直线、平面垂直的判定,与性质直击高考, 课件
[答案] 5
9. 如图，PA⊥⊙O 所在平面，AB 是⊙O 的 直径， C 是⊙O 上一点， AE⊥PC， AF⊥PB， 给 出 下 列 结 论 ： ①AE⊥BC ； ②EF⊥PB ； ③AF⊥BC；④AE⊥平面 PBC，其中真命题 的序号是________．
[解析] ①AE⊂平面 PAC，BC⊥AC，BC⊥PA⇒AE⊥BC，故① 正确，②AE⊥PC，AE⊥BC，PB⊂平面 PBC⇒AE⊥PB，AF ⊥PB，EF⊂平面 AEF⇒EF⊥PB，故②正确，③若 AF⊥BC ⇒AF⊥平面 PBC，则 AF∥AE 与已知矛盾，故③错误，由① 可知④正确．
6．如图所示，四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD ＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB 沿 BD 折起，使平面 ABD⊥ 平面 BCD，构成三棱锥 ABCD，则在三棱锥 ABCD 中，下列 结论正确的是( )
A．平面 ABD⊥平面 ABC B．平面 ADC⊥平面 BDC C．平面 ABC⊥平面 BDC D．平解析] 由 AC⊥AB，AC⊥BC1，得 AC⊥平面 ABC1.
因为 AC⊂平面 ABC， 所以平面 ABC1⊥平面 ABC. 所以 C1 在平面 ABC 上的射影 H 必在两平面的交线 AB 上．
4．设 a，b，c 是空间的三条直线，α，β 是空间的两个平面， 则下列命题中，逆命题不成立的是( A．当 c⊥α 时，若 c⊥β，则 α∥β B．当 b⊂α 时，若 b⊥β，则 α⊥β C．当 b⊂α，且 c 是 a 在 α 内的射影时，若 b⊥c，则 a⊥b D．当 b⊂α，且 c⊄α 时，若 c∥α，则 b∥c )
8． 四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 是矩形， PA⊥底面 ABCD， 则这个四棱锥的五个面中两两互相垂直的共有________对．
高考人教版数学(理)一轮复习课件：7.5直线、平面垂直的判定和性质3
解析：(1)证明：因为 AP＝CP＝AC＝4，O 为 AC 的中点， 所以 OP⊥AC，且 OP＝2 3.
如图，连接 OB.因为 AB＝BC＝ 22AC，所以△ABC 为等腰 直角三角形，
且 OB⊥AC，OB＝12AC＝2. 由 OP2＋OB2＝PB2 知，OP⊥OB. 由 OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O 且都属于平面 ABC 知， PO⊥平面 ABC.
(1)证明：平面 ACD⊥平面 ABC； (2)Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BP＝DQ ＝23DA，求三棱锥 Q－ABP 的体积．
解析：(1)证明：由已知可得，∠BAC＝90°，即 BA⊥AC. 又 BA⊥AD，AD∩AC＝A，所以 AB⊥平面 ACD. 又 AB⊂平面 ABC， 所以平面 ACD⊥平面 ABC. (2)由已知可得， DC＝CM＝AB＝3， DA＝3 2. 又 BP＝DQ＝23DA， 所以 BP＝2 2.
如图，过点 Q 作 QE⊥AC，垂足为 E，则 QE 綊13DC.
由已知及(1)可得，DC⊥平面 ABC， 所以 QE⊥平面 ABC，QE＝1. 因为，三棱锥 Q－ABP 的体积为 VQ－ABP＝13×S△ABP×QE＝13×12×3×2 2sin45°×1＝1.
悟·技法 对于翻折问题，应明确：在同一个平面上的性质不发生变化， 不在同一个平面上的性质可能会发生变化．解决这类问题就是要 据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值， 这是解决翻折问题的主要方法.
答案：C
4．PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在的平面，C 为圆上异于 A，B 两点的任一点，则下列关系不正确的是( )
A．PA⊥BC B．BC⊥平面 PAC C．AC⊥PB D．PC⊥BC
【新教材】高三人教A版数学一轮复习课件：第7章 7.4 空间直线、平面的垂直
√3
由∠ABC=120°,可得 AG=GC= x,GB=GD= .
2
2
√3
因为 AE⊥EC,所以在 Rt△AEC 中,可得 EG= 2 x.
二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.
(2)二面角的平面角
①定义:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内
分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角
的平面角.
②符号及范围
⋂ = ,∈
符号: ⊂ , ⊂ ⇒∠AOB 是二面角的平面角.
图形语言
作用
①面面垂直⇒线面垂直
②作面的垂线
⊥ ,
1.垂直于同一条直线的两平面平行,即
⇒α∥β.
⊥
2.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一
∥ ,
个平面,即
⇒a⊥β.
⊥
3.判断面面垂直的有关结论
(1)m∥n,m⊥α,n⊂β⇒α⊥β;
(2)m⊥α,n⊥β,m⊥n⇒α⊥β.
作为条件或要证明的结论,也可能在选择题、填空题中利用垂直关系将所
求进行转化,对数学运算、直观想象和逻辑推理素养都有一定的要求.复习
中要注意垂直与平行的综合问题,在熟练应用垂直关系判断和证明的基础
上,训练空间角的几何求法.
内
容
索
引
01
第一环节
必备知识落实
02
第二环节
关键能力形成
03
第三环节
学科素养提升
直于这个平面内的任何直线.由此可知,如果一条直线与一个平面内的一条
直线不垂直,那么这条直线就一定不与这个平面垂直.
(2)由定义可得,线面垂直⇒线线垂直,即若a⊥α,b⊂α,则a⊥b.
由∠ABC=120°,可得 AG=GC= x,GB=GD= .
2
2
√3
因为 AE⊥EC,所以在 Rt△AEC 中,可得 EG= 2 x.
二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.
(2)二面角的平面角
①定义:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内
分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角
的平面角.
②符号及范围
⋂ = ,∈
符号: ⊂ , ⊂ ⇒∠AOB 是二面角的平面角.
图形语言
作用
①面面垂直⇒线面垂直
②作面的垂线
⊥ ,
1.垂直于同一条直线的两平面平行,即
⇒α∥β.
⊥
2.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一
∥ ,
个平面,即
⇒a⊥β.
⊥
3.判断面面垂直的有关结论
(1)m∥n,m⊥α,n⊂β⇒α⊥β;
(2)m⊥α,n⊥β,m⊥n⇒α⊥β.
作为条件或要证明的结论,也可能在选择题、填空题中利用垂直关系将所
求进行转化,对数学运算、直观想象和逻辑推理素养都有一定的要求.复习
中要注意垂直与平行的综合问题,在熟练应用垂直关系判断和证明的基础
上,训练空间角的几何求法.
内
容
索
引
01
第一环节
必备知识落实
02
第二环节
关键能力形成
03
第三环节
学科素养提升
直于这个平面内的任何直线.由此可知,如果一条直线与一个平面内的一条
直线不垂直,那么这条直线就一定不与这个平面垂直.
(2)由定义可得,线面垂直⇒线线垂直,即若a⊥α,b⊂α,则a⊥b.
高考数学人教版理科一轮复习课件：7-5 直线、平面垂直的判定及其性质
解析：根据面面垂直的性质，A不正确，直线l∥平面β或 l⊂β或直线l与β相交．
3．(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，
AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为( C )
A．8
B．6 2
C．8 2
D．8 3
解析：连接BC1，因为AB⊥平面BB1C1C，所以∠AC1B＝ 30°，AB⊥BC1，所以△ABC1为直角三角形．又AB＝2，所以 BC1＝2 3.又B1C1＝2，所以BB1＝ 2 32－22＝2 2，故该长 方体的体积V＝2×2×2 2＝8 2.
β.( × )
解析：(1)直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直，则有 l⊥α 或 l 与 α 斜交或 l⊂α 或 l∥α，故(1)错误．
(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误． (3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另 一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可 能在另一平面内，故(3)错误． (4)若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内的所有直线，则 α ⊥β，故(4)错误．
则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a⊂α，b⊂α，l⊥
a，l⊥b，a∩b＝P⇒ l⊥α .
(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线 平行 ．即：a⊥ α，b⊥α⇒ a∥b .
2．直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做 这条斜线和这个平面所成的角．
第七章
立体几何
第五节 直线、 平面垂直的判定及其性质
知识梳理·自主学 课堂探究·深度剖析
习 课时作业
知识梳理·自主学习
课前热身 稳固根基
知识点一 直线与平面垂直
3．(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，
AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为( C )
A．8
B．6 2
C．8 2
D．8 3
解析：连接BC1，因为AB⊥平面BB1C1C，所以∠AC1B＝ 30°，AB⊥BC1，所以△ABC1为直角三角形．又AB＝2，所以 BC1＝2 3.又B1C1＝2，所以BB1＝ 2 32－22＝2 2，故该长 方体的体积V＝2×2×2 2＝8 2.
β.( × )
解析：(1)直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直，则有 l⊥α 或 l 与 α 斜交或 l⊂α 或 l∥α，故(1)错误．
(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误． (3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另 一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可 能在另一平面内，故(3)错误． (4)若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内的所有直线，则 α ⊥β，故(4)错误．
则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a⊂α，b⊂α，l⊥
a，l⊥b，a∩b＝P⇒ l⊥α .
(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线 平行 ．即：a⊥ α，b⊥α⇒ a∥b .
2．直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做 这条斜线和这个平面所成的角．
第七章
立体几何
第五节 直线、 平面垂直的判定及其性质
知识梳理·自主学 课堂探究·深度剖析
习 课时作业
知识梳理·自主学习
课前热身 稳固根基
知识点一 直线与平面垂直
人教A版高考数学理科第一轮复习课件7.5直线、平面垂直的判定与性质
知识与方法回顾
知识梳理
辨析感悟
例1
训练1 例2 训练2 例3
技能与规律探究
探究 一 直线与平面垂直的 判定和性质 探究二 平面与平面垂直的 判定与性质 探究三 平行、垂直关系的 综合问题 探究四 线面角、二面角 的求法
训练3
例4 训练4
经典题目再现
1．直线与平面垂直
任意一条直线都垂直，则直线 l (1)定义：若直线 l 与平面 α 内的____ 与平面 α 垂直． (2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交 ____直线都垂直，则 该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a⊂α，b⊂α， l⊥ α . l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒______ 平行 ． (3)性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线_____ 即： a⊥α， b⊥α ⇒______ a∥b .
∴AE⊥平面 PCD.
∵PA⊥底面 ABCD，∴PA⊥AB. 而 PD⊂平面 PCD，∴AE⊥PD.
又∵AB⊥AD 且 PA∩AD＝A，∴AB⊥平面 PAD，
而 PD⊂平面 PAD，
∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A， ∴PD⊥平面 ABE.
直线与平面垂直的判定和性质
考 点
证明线面垂直的方法： 一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理； 三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另 一条也垂直于这个平面)． 解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化； 另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系， 如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线 合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互 相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定 理)、直角梯形等等．
则 BF＝AD＝ 2，EF＝AB－DE＝1， FC＝2. F 在 Rt△BEF 中，BE＝ 3 在 Rt△CFB 中，BC＝ 6. 在△BEC 中，因为 BE2＋BC2＝9＝EC2， 故 BE⊥BC.
知识梳理
辨析感悟
例1
训练1 例2 训练2 例3
技能与规律探究
探究 一 直线与平面垂直的 判定和性质 探究二 平面与平面垂直的 判定与性质 探究三 平行、垂直关系的 综合问题 探究四 线面角、二面角 的求法
训练3
例4 训练4
经典题目再现
1．直线与平面垂直
任意一条直线都垂直，则直线 l (1)定义：若直线 l 与平面 α 内的____ 与平面 α 垂直． (2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交 ____直线都垂直，则 该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a⊂α，b⊂α， l⊥ α . l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒______ 平行 ． (3)性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线_____ 即： a⊥α， b⊥α ⇒______ a∥b .
∴AE⊥平面 PCD.
∵PA⊥底面 ABCD，∴PA⊥AB. 而 PD⊂平面 PCD，∴AE⊥PD.
又∵AB⊥AD 且 PA∩AD＝A，∴AB⊥平面 PAD，
而 PD⊂平面 PAD，
∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A， ∴PD⊥平面 ABE.
直线与平面垂直的判定和性质
考 点
证明线面垂直的方法： 一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理； 三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另 一条也垂直于这个平面)． 解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化； 另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系， 如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线 合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互 相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定 理)、直角梯形等等．
则 BF＝AD＝ 2，EF＝AB－DE＝1， FC＝2. F 在 Rt△BEF 中，BE＝ 3 在 Rt△CFB 中，BC＝ 6. 在△BEC 中，因为 BE2＋BC2＝9＝EC2， 故 BE⊥BC.
全国版2019版高考数学一轮复习第7章立体几何第5讲直线平面垂直的判定及性质课件
第7章 立体几何
第5讲 直线、平面垂直的判定及性质
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识] 考点 1 直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义 直线 l 与平面 α 内的 任意一条 说直线 l 与平面 α 互相垂直．
直线都垂直，就
2．直线与平面垂直的判定定理
3．直线与平面垂直的性质定理
考点 2 平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的判定定理
所以 F 为 A1B 的中点，所以 EF∥BC1. 因为 BC1⊂平面 BB1C1C，EF⊄平面 BB1C1C， 所以 EF∥平面 BB1C1C.
(2)在矩形 BCC1B1，BC＝ 2BB1， 所以 tan∠CBC1＝ 22，tan∠B1MB＝ 2. 所以 tan∠CBC1·tan∠B1MB＝1. 所以∠CBC1＋∠B1MB＝π2.所以 BC1⊥B1M. 因为 EF∥BC1，所以 EF⊥B1M. 在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，底面 ABC⊥平面 BB1C1C. 因为 M 为 BC 的中点，AB＝AC，所以 AM⊥BC. 因为平面 ABC∩平面 BB1C1C＝BC，
求证：(1)EF∥平面 ABC； (2)AD⊥AC.
证明 (1)在平面 ABD 内，因为 AB⊥AD，EF⊥AD， 所以 EF∥AB. 又因为 EF⊄平面 ABC，AB⊂平面 ABC， 所以 EF∥平面 ABC. (2)因为平面 ABD⊥平面 BCD， 平面 ABD∩平面 BCD＝BD， BC⊂平面 BCD，BC⊥BD， 所以 BC⊥平面 ABD. 因为 AD⊂平面 ABD，所以 BC⊥AD.
∵CG⊥平面 ABC，∴VG－ABC＝13S△ABC×CG＝43. 由(1)知 AB⊥BG，CG＝2＝BC， BG＝ BC2＋CG2＝ 22＋22＝2 2， ∴S△ABG＝12AB×BG＝2 2. 设点 C 到平面 ABG 的距离为 h，则 ∴VC－ABG＝13S△ABG·h＝23 2h＝VG－ABC＝34， ∴h＝ 2. 即点 C 到平面 ABG 的距离为 2.
第5讲 直线、平面垂直的判定及性质
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识] 考点 1 直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义 直线 l 与平面 α 内的 任意一条 说直线 l 与平面 α 互相垂直．
直线都垂直，就
2．直线与平面垂直的判定定理
3．直线与平面垂直的性质定理
考点 2 平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的判定定理
所以 F 为 A1B 的中点，所以 EF∥BC1. 因为 BC1⊂平面 BB1C1C，EF⊄平面 BB1C1C， 所以 EF∥平面 BB1C1C.
(2)在矩形 BCC1B1，BC＝ 2BB1， 所以 tan∠CBC1＝ 22，tan∠B1MB＝ 2. 所以 tan∠CBC1·tan∠B1MB＝1. 所以∠CBC1＋∠B1MB＝π2.所以 BC1⊥B1M. 因为 EF∥BC1，所以 EF⊥B1M. 在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，底面 ABC⊥平面 BB1C1C. 因为 M 为 BC 的中点，AB＝AC，所以 AM⊥BC. 因为平面 ABC∩平面 BB1C1C＝BC，
求证：(1)EF∥平面 ABC； (2)AD⊥AC.
证明 (1)在平面 ABD 内，因为 AB⊥AD，EF⊥AD， 所以 EF∥AB. 又因为 EF⊄平面 ABC，AB⊂平面 ABC， 所以 EF∥平面 ABC. (2)因为平面 ABD⊥平面 BCD， 平面 ABD∩平面 BCD＝BD， BC⊂平面 BCD，BC⊥BD， 所以 BC⊥平面 ABD. 因为 AD⊂平面 ABD，所以 BC⊥AD.
∵CG⊥平面 ABC，∴VG－ABC＝13S△ABC×CG＝43. 由(1)知 AB⊥BG，CG＝2＝BC， BG＝ BC2＋CG2＝ 22＋22＝2 2， ∴S△ABG＝12AB×BG＝2 2. 设点 C 到平面 ABG 的距离为 h，则 ∴VC－ABG＝13S△ABG·h＝23 2h＝VG－ABC＝34， ∴h＝ 2. 即点 C 到平面 ABG 的距离为 2.
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习课件第七章 第五节 直线、平面垂直的判定及性质ppt版本
PE⊥AB.
BC. (1)证明：AB⊥平面 PFE；
因∠ABC＝π2，EF∥BC，故 AB⊥EF.
(2)若四棱锥 P-DFBC 的体积 从而 AB 与平面 PFE 内两条相交直线 PE，EF 都垂
为 7，求线段 BC 的长．
直，所以 AB⊥平面 PFE.
(2)设 BC＝x，则在 Rt△ABC 中，
AB＝ AC2－BC2＝ 36－x2，
b⊂α⇒a⊥b. (2)若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． (5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
知识点一
知识点一 知识点二
[自测练习]
1．设 a，b 是平面 α 内两条不同的直 线，l 是平面 α 外的一条直线，则“l ⊥a，且 l⊥b”是“l⊥α”的( C ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件
第五节 直线、平面垂直的判定及性质
垂直的判定与性质 (1)掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理． (2)掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．
知识点一
知识点一 知识点二
直线与平面垂直 1．直线与平面垂直的判定定理 (1)自然语言：一条直线与一个平面内的 两条相交直线 都垂 直，则该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图 1 所示． (3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.
＝GC＝ 23x，GB＝GD＝x2. 因为 AE⊥EC，所以在 Rt△
AEC
中，可得
EG＝
3 2 x.
考点二
典题悟法 演练冲关
试题
解析
由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直
高考数学(人教A版)一轮复习课件：7-5直线、平面垂直的判定及其性质
【解题提示】借助正方体模型分析、论证.
【解析】对于①,AA′(mn), AD(n)∥平面A′B′C′D′(β), 显然平面ABCD(α )∥平面A′B′C′D′(β), 故①错误;
对于②,n∥α ,由线面平行的性质定理,可知n与α 内的一条直线l平行,因为m⊥α ,所以 m⊥l,所以m⊥n,故②正确; 对于③,设过m的平面γ 交β于直线l,因为α ∥β,m⊂α ,由面面平行的性质定理可知m∥l,由 线面平行的判定定理,可知m∥β,故③正确;
_______ a∩b=O _______ l⊥a _____ l⊥b _____
⇒l⊥α
文字语言 性
质
图形语言
符号语
a⊥α b⊥α
言
垂直于同一个平 面
平行
_____ _____
定
理
的两条直线_____
⇒a∥b
2.直线和平面所成的角 (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的_____所成的 _____叫做这条直线和这个平面所成的角,一条直线垂 直于平面,则它们所成的角是_____;一条直线和平面平 行或在平面内,则它们所成的角是________. 锐角 (2)范围: . 射影
A.m∥l
【解题提示】根据线、面垂直的定义判断. 【解析】选C.由题意知,α ∩β= l,所以l ⊂β,因为n⊥β, 所以n⊥ l.
4.(2017·石家庄模拟)已知如图,六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面 ABCDEF.则下列结论不正确的是 ( A.CD∥平面PAF C.CF∥平面PAB )
⇒α ⊥β
文字语言
两个平面垂直, 性 则 质 一个平面内垂直 定 于
交线
图形语言
符号语言 _______
2019届一轮复习人教A版理 第7章 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质 课件(54张)
求证：(1)直线 DE∥平面 A1C1F； (2)平面 B1DE⊥平面 A1C1F.
图 7-5-7
[证明] (1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，A1C1∥AC．
在△ABC 中，因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点， 所以 DE∥AC，于是 DE∥A1C1. 又因为 DE⊄平面 A1C1F，A1C1⊂平面 A1C1F， 所以直线 DE∥平面 A1C1F.
[答案](1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
2．(教材改编)设 α，β 是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且 l⊂
α，m⊂β.( )
A．若 l⊥β，则 α⊥β
B．若 α⊥β，则 l⊥m
C．若 l∥β，则 α∥β
D．若 α∥β，则 l∥m
A [∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故 A 正确．]
(1)证明：AE⊥平面 PAD； (2)求多面体 PAECF 的体积．
图 7-5-3
[解] (1)证明：由 PA⊥底面 ABCD 得 PA⊥AE. 底面 ABCD 为菱形，∠ABC＝60°，得△ABC 为等边三角形，
又因为 E 为 BC 的中点，得 AE⊥BC，所以 AE⊥AD． 因为 PA∩AD＝A，所以 AE⊥平面 PAD．
[解] (1)证明：连接 BD 交 AC 于点 O，则 BD⊥AC．
设 AB，AD 的中点分别为 M，N，连接 MN，则 MN∥BD， 连接 FM，GN，则 FM∥GN，且 FM＝GN，
所以 MN∥FG，所以 BD∥FG，所以 FG⊥AC． 由于 AE⊥平面 ABCD，所以 AE⊥BD．
所以 FG⊥AE，又因为 AC∩AE＝A，所以 FG⊥平面 ACE.所以平面 CFG⊥ 平面 ACE.
图 7-5-7
[证明] (1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，A1C1∥AC．
在△ABC 中，因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点， 所以 DE∥AC，于是 DE∥A1C1. 又因为 DE⊄平面 A1C1F，A1C1⊂平面 A1C1F， 所以直线 DE∥平面 A1C1F.
[答案](1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
2．(教材改编)设 α，β 是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且 l⊂
α，m⊂β.( )
A．若 l⊥β，则 α⊥β
B．若 α⊥β，则 l⊥m
C．若 l∥β，则 α∥β
D．若 α∥β，则 l∥m
A [∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故 A 正确．]
(1)证明：AE⊥平面 PAD； (2)求多面体 PAECF 的体积．
图 7-5-3
[解] (1)证明：由 PA⊥底面 ABCD 得 PA⊥AE. 底面 ABCD 为菱形，∠ABC＝60°，得△ABC 为等边三角形，
又因为 E 为 BC 的中点，得 AE⊥BC，所以 AE⊥AD． 因为 PA∩AD＝A，所以 AE⊥平面 PAD．
[解] (1)证明：连接 BD 交 AC 于点 O，则 BD⊥AC．
设 AB，AD 的中点分别为 M，N，连接 MN，则 MN∥BD， 连接 FM，GN，则 FM∥GN，且 FM＝GN，
所以 MN∥FG，所以 BD∥FG，所以 FG⊥AC． 由于 AE⊥平面 ABCD，所以 AE⊥BD．
所以 FG⊥AE，又因为 AC∩AE＝A，所以 FG⊥平面 ACE.所以平面 CFG⊥ 平面 ACE.