常数项级数的基本概念和性质
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9-1常数项级数的概念与基本性质
结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
性质 3 若级数 un 收敛,则 un 也收敛
n1
n k 1
(k 1).且其逆亦真.
证明 uk1 uk2 ukn
n uk1 uk2 ukn
snk sk ,
则
lim
n
n
lim
n
sn
k
lim
n
sk
s
sk
.
类似地可以证明在级数前面加上有限项不
影响级数的敛散性.
性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.反之未必.
证明 (u1 u2 ) (u3 u4 u5 )
1 s2 , 2 s5 , 3 s9 ,
,m sn ,
则
lim
m
m
lim
n
sn
s.
推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来级 数也发散.
注意
第一节 常数项级数的概念与 基本性质
一、级数的概念 二、基本性质
三、收敛的必要条件 四、小结
一、级数的概念
1. 级数的定义:
一般项
un u1 u2 u3 un
n1
级数的部分和
(常数项)无穷级数
n
sn u1 u2 un ui
部分和数列
i 1
s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 , , sn u1 u2 un ,
例4 判断下列级数的敛散性
(1)
n
, 100
n1 n 1 n1
发散
(2)
3 (-1)n
n 1
3n
n1
[
1 3n1
(1)n ] 3
收敛
(3) sin nπ
性质 3 若级数 un 收敛,则 un 也收敛
n1
n k 1
(k 1).且其逆亦真.
证明 uk1 uk2 ukn
n uk1 uk2 ukn
snk sk ,
则
lim
n
n
lim
n
sn
k
lim
n
sk
s
sk
.
类似地可以证明在级数前面加上有限项不
影响级数的敛散性.
性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.反之未必.
证明 (u1 u2 ) (u3 u4 u5 )
1 s2 , 2 s5 , 3 s9 ,
,m sn ,
则
lim
m
m
lim
n
sn
s.
推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来级 数也发散.
注意
第一节 常数项级数的概念与 基本性质
一、级数的概念 二、基本性质
三、收敛的必要条件 四、小结
一、级数的概念
1. 级数的定义:
一般项
un u1 u2 u3 un
n1
级数的部分和
(常数项)无穷级数
n
sn u1 u2 un ui
部分和数列
i 1
s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 , , sn u1 u2 un ,
例4 判断下列级数的敛散性
(1)
n
, 100
n1 n 1 n1
发散
(2)
3 (-1)n
n 1
3n
n1
[
1 3n1
(1)n ] 3
收敛
(3) sin nπ
第十章第一节常数项级数的概念与性质
n
u1 u2 un
其中第 n项 un 称为级数的一般项。
可从极限思想出发来理解无穷多个数相加的含义。
2、级数的收敛和发散 定义1：作级数 u n 的前 n 项和
n 1
u n 的部分和。 称其为级数 显然，可得到一个新数列 n 1 u n 的部分和数列。 {Sn } ，称为级数 n 1
2 n
lim S n
n
a 1 q
n
a 此时级数收敛，且 aq 1 q n 0
如果 | q | 1 ，则 Sn (n ) ，故级数发散。 如果 | q | 1 ，当 q 1时 Sn a a a na (n ) 此时级数发散。 当 q 1 时 a, n为 奇 数 n S n a a (1) a 0， n为 偶 数 当 n 时，Sn的极限不存在，故级数发散。
第一节
常数项级数的概念与性质
一、常数项级数的概念 二、常数项级数的性质
一、常数项级数的概念
1、定义 给定一个无穷数列 u1 , u2 ,, un ,，则由这个数 列构成的表达式 u1 u2 un
u n ，即 称为常数项无穷级数，简称级数，记作 n 1
u
n 1
n 1 n 1
(1 1) (1 1) (1 1)
收敛；不过，若加括号后的级数发散，则原级数一 定发散。 性质5（级数收敛的必要条件）
lim un 0 如果级数 u n 收敛，则 n
n 1
一般项的极限为零仅是级数收敛的必要但非充
1 分条件。可考察级数 ln(1 ) n n 1
数的和S的近似值，它们的差
7.1常数项级数的概念和性质
| an – a |
3. 有关性质： (1) 单调有界数列必收敛.
(2) 如果一数列收敛于S，那么其任一子数列 均收敛于S.
lim s2 n1 = S， 则 (3) 若 lim s2 n = S， n
n n n
1
lim sn = S
n
2
(4) 设 lim sn = S1， lim sn = S2， 若S1≠S2， 则数列Sn发散； 若 S 1= S 2， 则数列Sn 可能收敛也可能发散.
二、级数的基本性质
性质 1 级数 an 与任一余项级数
n 1
an ( k 1) n k 1
有相同的敛散性.
证明
a n a k 1 a k 2 a k n n k 1
n ak 1 ak 2 ak n sn k sk ,
性质 3
设两收敛级数 a n s , bn ,则级数
n 1 n 1
(an bn ) 收敛,其和为 s . n 1
结论: 收敛级数可以逐项相加或逐项相减.
思考:
1. 若级数 an 与 bn 一个收敛一个发散 , 级数
n 1 n 1
(an bn ) 敛散性如何? n 1
级数发散.
综上
当 | q | 1 时 , 收敛 aq 当 | q | 1 时 , 发散 n 0
n
例4 一个球从a米高下落到地平面上.球每次落下距
离h后碰到地平面再弹起的距离为rh,其中r是小于1的正
数.求这个球上下的总距离.
2ar a(1 r ) . s a 2ar 2ar 2ar a 1 r 1 r
常数项级数的概念与性质
性质1
如果级数
un
n1
收敛于和S，则它的各项同乘以一
个常数k所得的级数 kun 也收敛，且其和为kS。
n1
性质2 如果级数 un、 vn 收敛于和S1, S2 ，则级数 n1 n1
un vn 也收敛，且其和为S1 ± S2 。
n1
性质3 若级数 un收敛，则对该级数的项任意加（或去）
4
3 5
0
所以，由级数收敛的必要条件知，该级数发散。
高等数学
性质4 在一个级数中任意去掉、增加或改变有限项后，级 数的收敛性不会改变，但对于无穷级数收敛级数，其和将受 到影响。
性质5
如果
lim
n
un
0
（包括极限不存在），则级数
un
n1
必发散。
例4 判定级数
3n 的敛散性。
n1 5n 4
解 级数的一般项
un
3n 5n
4
因为
lim
n
un
lim
n
3n 5n
3 103
，
可以得到如下的表达式
33 3
3
0.33 3 10 102 103 10n
显然，如果n →∞，那么我们就得到
0.3
1 3
3 10
13 3 3
3
3 10 102 103 10n
二、常数项级数的概念
定义1 如果给定一个数列u1, u2, u3, …, un, …，则由这数列 构成的表达式
定义2 如果级数 un 的部分和数列{Sn} 的极限存在，即 n 1
lim
n
Sn
S
则称级数un 收敛，S为级数的和，记为 n 1
常数项级数的概念和性质
3
幂级数求和法的优点是适用于特定的幂级数，可 以快速得到级数的和。然而，对于非幂级数，这 种方法不适用。
04 常数项级数的应用
在数学分析中的应用
数学分析中的极限理论
常数项级数在数学分析中用于研究函数的极限行为，例如通过级数的收敛性来研究函数的连续性和可 积性。
函数逼近
常数项级数可以用来逼近复杂的函数，通过将复杂的函数展开成级数的形式，可以更方便地研究函数 的性质和进行近似计算。
常数级数的概念和性质
contents
目录
• 常数项级数的定义 • 常数项级数的性质 • 常数项级数的求和 • 常数项级数的应用 • 常数项级数的扩展
01 常数项级数的定义
有限级数和无穷级数
有限级数
级数的项数是有限的，可以表示为几 个常数相加的形式。
无穷级数
级数的项数是无限的，可以表示为无 穷多个常数相加的形式。
在物理中的应用
热力学中的熵
在热力学中，常数项级数用于计算熵，熵是系统无序度的量度，对于理解系统的热力学 行为具有重要意义。
波动方程的解
在物理中，常数项级数用于求解波动方程，例如在声学和电磁学中，通过级数的形式来 表示波的传播。
在工程中的应用
电路分析
在电路分析中，常数项级数用于表示和 计算电路中的电流、电压和功率等参数 ，有助于理解和优化电路的性能。
应用
复数项级数在数学、物理和工程 等领域有广泛的应用，如傅里叶 分析、量子力学和电路分析等。
函数项级数
定义
函数项级数是各项为函数的级数，可以表示为 $sum_{n=0}^{infty} f_n(x)$，其中$f_n(x)$是函数。
性质
函数项级数的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件，如一致 收敛、逐点收敛等。
常数项级数基本概念以及性质
1 4 p
1 4p
1 4p
1 4p
1 4 p1
1 2 2 p1
1 8 p
1
9p
1 15 p
1 8p
1 8p
1 8p
1 8 p1
1 2 p1
3
……………………………………
x2 2n 2
x2 ，
n
1
n 1
2
n2
n2
即 x2 0 (x 0)
2
而
1
n1 n 2
是n=2的P一级数，它是收敛的，故原级数
( 1 cos x )收敛.
n1
n
5. 达朗贝尔比值判别法
设 un
n 1
3. 性质 3
在一个级数的前面加上或者去掉有限项后， 所得到的新的级数与原级数的敛散性相同. (但对 收敛级数来说，它的和将改变.)
证 设级数 un 的部分和为Sn,去掉级数的前 n 1
面m项后得到的级数uk 的部分和为S 'k: k m1
S
' k
um1 um2
umk
u
，
k
n 1
k 1
cun 的部分和为
n1
Sn
n
cuk
n
c
uk
cSn ,
k 1
k 1
故
lim
n
S
n
lim
n
cS
常数项级数的概念和..
n1
n1
如果 {sn } 没有极限， 则称级数 un 发散．
n1
例1 证明级数 1 2 3 n 是发散的.
证 这级数的部分和为
sn 1 2 3 n
n(n 1) . 2
lim
n
sn
lim
n
n(n 1) 2
,
∴所给级数是发散的.
3
定 义 如 果 级 数 un 的 部 分 和 数 列{sn } 有 极 限s，
3
7
a aq aq2
aqn
aqn
n0
| q | 1时, 收敛,
|
q
|
1
时,
发散.
并且 aqn
a
( q 1). (P250例 1)
n0
1q
课堂练习
判定级数
5 3
52 32
53 33
(1)n
5n 3n
的敛散性.
解 为等比级数，公 比q 5 . 3
| q | 1, 该级数发散.
n0
(a 0, q为 公 比) 的 收 敛 性.
解
若q
q
1,
1时, sn
则 lim q n n
a aq aq2 aqn1
0，
lim
n
sn
a， 1q
1 qn
a
.
1q
级数收敛.
若 q 1,
则 lim q n n
，
lim
n
sn
，级数发散．
q 1时,
若q 1,
则
lim
n
sn
lim na
n
，级数发散，
若
q
1,
则lim n
常数项级数的概念和..
n
性质 1 设常数k 0, 则 kun与 un有相同的敛散性．
n 1 n 1
1 1 1 1 调和级数1 是发散的 . 2 3 n n 1 n
1 课堂练习 判定 的敛散性. P255.4(2) n 1 3n
n 1 1.
n 1
limsn lim n 1 1) , 级 数 ( n 1 n ) 发 散 ． ( n n
5
例3 讨论等比级数 aqn a aq aq2 aqn
1 qn . 解 q 1时, sn a aq aq 2 aq n1 a 1 q a n ， 级数收敛. 若 q 1, 则 lim q 0， limsn n n 1q
(u
n 1
n 1
n 1
n
v n ) 是否发散?
(不一定,举两个例可证.)
12
性质３ 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改 变级数的敛散性． 证 将级数 un 的前 k 项去掉，
n1
所得新级数为
它的部分和为 n uk 1 uk 2 uk n sk n sk ,
常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质
1
一、常数项级数的概念
定义 如果给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 则由这数列构成的表达式 u1 u2 u3 un (1)
称为常数项数，
其中第n 项 un 叫做级数的一般项．
这级数的部分和为
定 义 如 果 级 数 un 的 部 分 和 数 列sn } 有 极 限 s， { 则 称 级 数 un 收 敛 ， 并 且 un s .
性质 1 设常数k 0, 则 kun与 un有相同的敛散性．
n 1 n 1
1 1 1 1 调和级数1 是发散的 . 2 3 n n 1 n
1 课堂练习 判定 的敛散性. P255.4(2) n 1 3n
n 1 1.
n 1
limsn lim n 1 1) , 级 数 ( n 1 n ) 发 散 ． ( n n
5
例3 讨论等比级数 aqn a aq aq2 aqn
1 qn . 解 q 1时, sn a aq aq 2 aq n1 a 1 q a n ， 级数收敛. 若 q 1, 则 lim q 0， limsn n n 1q
(u
n 1
n 1
n 1
n
v n ) 是否发散?
(不一定,举两个例可证.)
12
性质３ 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改 变级数的敛散性． 证 将级数 un 的前 k 项去掉，
n1
所得新级数为
它的部分和为 n uk 1 uk 2 uk n sk n sk ,
常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质
1
一、常数项级数的概念
定义 如果给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 则由这数列构成的表达式 u1 u2 u3 un (1)
称为常数项数，
其中第n 项 un 叫做级数的一般项．
这级数的部分和为
定 义 如 果 级 数 un 的 部 分 和 数 列sn } 有 极 限 s， { 则 称 级 数 un 收 敛 ， 并 且 un s .
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无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数
傅氏级数 表示函数
无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
第一节
第十一章
常数项级数的 基本概念和性质
一、常数项级数的概念 二 、收敛级数的性质
一、常数项级数的概念
1. 引例
无穷级数的思想蕴涵在 无限循环小数概念之中
引例1 数 1 化为小数. 3
1 0.33 0.3 , 且 0.3 3
2
n n1
2n
2
n
S2n Sn
(1 1 1 1 1 ) (1 1 1)
2
n n1
2n
2
n
1 1 1
n1 n2
2n
1 1 1
2n 2n
2n
故
lim (
n
S2n
Sn )
0，矛盾！
n项
1 n1n
n1
σn cSn
推论1 若c 0, 则 un与 cun 敛散性相同 .
n1
n1
性质2 设收敛级数 S un , σ vn，则 (un vn)
也收敛, 其和为 S σ . n1
n1
n1
注 1º收敛级数可逐项相加( 减 ).
2º( un vn ) 的敛散性规律：
n
相当于求 无穷多项的和 1 a a2 an .
引例3 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正 3 2n ( n 0, 1, 2,)边形, 设 a0 表示 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正 3 2n 边形面积为
令 vk unk1 1 unk (k 1,2,)
发散.
(方法4) 见后面.
二、收敛级数的性质
性质1 若 S un 收敛，则 c un收敛 , 其和为 c S.
n1
n1
n
n
证 令Sn uk , 则 σn c uk c Sn ,
k 1
k 1
lim
n
σn
cS
故 c un 收敛 , 其和为 c S .
n1
的部分
n
和为 n ukl Skn Sk
l 1
有限项不影响
同敛散， 级数的敛散性
故新旧级数敛散性相同. 收敛时, 其和 σ S Sk .
性质4 收敛级数加括弧后 所成的级数仍收敛于 原级数的和.
证 设 S un 收敛，任意加括弧,
n1
(u1 un1 ) (un1 1 un2 ) (unk1 1 unk )
这个和逼近于圆的面积 ：
2. 定义 给定数列 u1 , u2 , u3 , , un ,
无穷级数:
一般项：un
部分和：
无穷级数收敛： 无穷级数发散 ： 级数的余项： 级数收敛时，
记作 级数的和
例1 证明等比级数 (几何级数)
当 q 1 时收敛, 当 q 1时发散 .
证 1) 若 q 1 , 则部分和
a,
0,
n 为奇数 n 为偶数
不存在 , 因此级数发散.
结论：等比级数
q 1 时收敛, q 1 时发散 .
例2
判别级数
ln
n
1
的敛散性.
n1 n
解 部分和
Sn
ln 2 1
ln 3 2
ln 4 3
ln n 1 n
拆项相消
(ln 2 ln1) (ln 3 ln 2) ln(n 1) ln n
n1
收收为收，收发为发，发发不一定发.
例如, 取 un (1)2n , vn (1)2n1,
un 与 vn均发散，但 ( un vn )收敛.
n1
n1
n1
性质3 级数前面加上（去掉、或修改）有限项,
不影响级数的敛散性.
证 un 去掉前 k 项, 新级数
un
1 n
n1 1 d x nx
xn
ln
x
n1 n
ln(n
1)
ln
n
y
y x
un
o 1 2 n n+1 x
Sn
1
1 2
1 3
1 n
(ln2 ln1) (ln3 ln 2) [ln(n 1) ln n]
ln(n 1) (n )
f (x) f (0) 0
Sn
ln(1
1)
ln(1
1) 2
ln(1
1 ) n
ln(1
n)
lim ln(1
n
n)
lim
n
Sn
1
发散
n1 n
(方法2)
un
1 n
n1 1 d x nn
当n x n 1时，有
ln(n 1) ( n ） 所以级数发散.
例3 证明调和级数
1
1
1
1
1
发散.
n1 n
23
n
证(方法1)
Sn
1
1 2
1 3
1 n
由x ln(1 x) ( x 0)
f [x ln(1 x)]'
x 0 1 x
3
10
0.33
0.3
0.03
3 10
3 102
0.333
0.3
0.03
0.003
3 10
3 102
3 103
一般地，
0.333
n个
3 10
3 102
3 10n
于是
1 3
0.33
3 10
3 102
3 10n
将 1 表示成无穷多项之和 3
引例2 求极限 lim (1 a a2 an ) ( a 1) ,源自 limnSn
1 n1n
发散.
(方法3) 用反证法
假设
：
n1
1 n
收
敛
，
其部分和为Sn
.
则
lim
n
Sn
S，lim
n
S2n
S
于是
lim (
n
S2n
Sn )
S
S
0
但另一方面，
S2n Sn
(1 1 1 1 1 ) (1 1 1)
a aqn 1q
当 q 1时，
知
lim
n
Sn
1
a
q
故级数收敛 ,
其和为 a ; 1q
当 q 1时,
知 lim Sn , 故级数发散 .
n
2) 若 q 1 , 则 当 q 1时,
等比 级数
a
q
n
n0
级数发散 ;
当q 1时, 级数为
Sn
数项级数 无穷级数 幂级数
傅氏级数 表示函数
无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
第一节
第十一章
常数项级数的 基本概念和性质
一、常数项级数的概念 二 、收敛级数的性质
一、常数项级数的概念
1. 引例
无穷级数的思想蕴涵在 无限循环小数概念之中
引例1 数 1 化为小数. 3
1 0.33 0.3 , 且 0.3 3
2
n n1
2n
2
n
S2n Sn
(1 1 1 1 1 ) (1 1 1)
2
n n1
2n
2
n
1 1 1
n1 n2
2n
1 1 1
2n 2n
2n
故
lim (
n
S2n
Sn )
0，矛盾！
n项
1 n1n
n1
σn cSn
推论1 若c 0, 则 un与 cun 敛散性相同 .
n1
n1
性质2 设收敛级数 S un , σ vn，则 (un vn)
也收敛, 其和为 S σ . n1
n1
n1
注 1º收敛级数可逐项相加( 减 ).
2º( un vn ) 的敛散性规律：
n
相当于求 无穷多项的和 1 a a2 an .
引例3 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正 3 2n ( n 0, 1, 2,)边形, 设 a0 表示 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正 3 2n 边形面积为
令 vk unk1 1 unk (k 1,2,)
发散.
(方法4) 见后面.
二、收敛级数的性质
性质1 若 S un 收敛，则 c un收敛 , 其和为 c S.
n1
n1
n
n
证 令Sn uk , 则 σn c uk c Sn ,
k 1
k 1
lim
n
σn
cS
故 c un 收敛 , 其和为 c S .
n1
的部分
n
和为 n ukl Skn Sk
l 1
有限项不影响
同敛散， 级数的敛散性
故新旧级数敛散性相同. 收敛时, 其和 σ S Sk .
性质4 收敛级数加括弧后 所成的级数仍收敛于 原级数的和.
证 设 S un 收敛，任意加括弧,
n1
(u1 un1 ) (un1 1 un2 ) (unk1 1 unk )
这个和逼近于圆的面积 ：
2. 定义 给定数列 u1 , u2 , u3 , , un ,
无穷级数:
一般项：un
部分和：
无穷级数收敛： 无穷级数发散 ： 级数的余项： 级数收敛时，
记作 级数的和
例1 证明等比级数 (几何级数)
当 q 1 时收敛, 当 q 1时发散 .
证 1) 若 q 1 , 则部分和
a,
0,
n 为奇数 n 为偶数
不存在 , 因此级数发散.
结论：等比级数
q 1 时收敛, q 1 时发散 .
例2
判别级数
ln
n
1
的敛散性.
n1 n
解 部分和
Sn
ln 2 1
ln 3 2
ln 4 3
ln n 1 n
拆项相消
(ln 2 ln1) (ln 3 ln 2) ln(n 1) ln n
n1
收收为收，收发为发，发发不一定发.
例如, 取 un (1)2n , vn (1)2n1,
un 与 vn均发散，但 ( un vn )收敛.
n1
n1
n1
性质3 级数前面加上（去掉、或修改）有限项,
不影响级数的敛散性.
证 un 去掉前 k 项, 新级数
un
1 n
n1 1 d x nx
xn
ln
x
n1 n
ln(n
1)
ln
n
y
y x
un
o 1 2 n n+1 x
Sn
1
1 2
1 3
1 n
(ln2 ln1) (ln3 ln 2) [ln(n 1) ln n]
ln(n 1) (n )
f (x) f (0) 0
Sn
ln(1
1)
ln(1
1) 2
ln(1
1 ) n
ln(1
n)
lim ln(1
n
n)
lim
n
Sn
1
发散
n1 n
(方法2)
un
1 n
n1 1 d x nn
当n x n 1时，有
ln(n 1) ( n ） 所以级数发散.
例3 证明调和级数
1
1
1
1
1
发散.
n1 n
23
n
证(方法1)
Sn
1
1 2
1 3
1 n
由x ln(1 x) ( x 0)
f [x ln(1 x)]'
x 0 1 x
3
10
0.33
0.3
0.03
3 10
3 102
0.333
0.3
0.03
0.003
3 10
3 102
3 103
一般地，
0.333
n个
3 10
3 102
3 10n
于是
1 3
0.33
3 10
3 102
3 10n
将 1 表示成无穷多项之和 3
引例2 求极限 lim (1 a a2 an ) ( a 1) ,源自 limnSn
1 n1n
发散.
(方法3) 用反证法
假设
：
n1
1 n
收
敛
，
其部分和为Sn
.
则
lim
n
Sn
S，lim
n
S2n
S
于是
lim (
n
S2n
Sn )
S
S
0
但另一方面，
S2n Sn
(1 1 1 1 1 ) (1 1 1)
a aqn 1q
当 q 1时，
知
lim
n
Sn
1
a
q
故级数收敛 ,
其和为 a ; 1q
当 q 1时,
知 lim Sn , 故级数发散 .
n
2) 若 q 1 , 则 当 q 1时,
等比 级数
a
q
n
n0
级数发散 ;
当q 1时, 级数为
Sn