常数项级数的概念和性质
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常数项级数的概念和性质
∞
lim u n = lim ( S n − S n −1 )
n →∞ n →∞
= lim S n − lim S n −1
n →∞ n →∞
= S −S =0
例4. 判别 ∑ ( −1)
n =1
∞
n −1
n 的敛散性. n +1
(−1) n −1 n = 1, 解：由于 lim | u n |= lim n →∞ n →∞ n +1
一、问题的提出
1. 计算圆的面积 正六边形的面积 a1 正十二边形的面积 a1 + a 2
n 正 3 × 2 形的面积 a1 + a 2 + L + a n
R
即 A ≈ a1 + a2 +L+ an 1 3 3 3 3 2. = + + +L+ n +L 3 10 100 1000 10
二、常数项级数的概念
n =1 ∞
S n = ∑ u k = u1 + u 2 + L + u n ,
k =1
n
称为常数项级数的部分和. 若 lim S n = S 存在，则称级数 ∑ u n 收敛， n →∞
n =1 ∞
∑ S称为级数的和： u n = S .
n =1
∞
观察雪花分形过程
设三角形 周长为 P1 = 3, 3 ; 面积为 A1 = 4 第一次分叉： 第一次分叉：
1.常数项级数的定义 1.常数项级数的定义 设有数列{un}:u1, u2, …, un, …, 则称表达式
∑u
n =1
∞
n
= u1 + u 2 + L + u n + L
常数项级数的概念和
n(n 2
1)
.
ln im snln im n(n21), ∴所给级数是发散的. 3
定 义 如 果 级un数 的 部 分{和 sn}有 数极 列 s， 限
n1
则 称 级 un数 收 敛 ， 并 un且 s.
n1
n1
例2 判定级数1 的收敛 . 性
课堂练习 判别级数1 的敛散. 性
P255.4(3)
n2 n 3
解ln im un
1 lim
3 nn
级数
1 发散.
lim
n
1
1
3n
1 1 0. 1
|q|1,
该级数收敛,
并且
4
n
n0 5
1
1
4
5.
5
9
二、收敛级数的基本性质
性质1 设常k数 0,则kun与un有相同的敛
n1
n1
证 设u n的部sn 分 u 1 和 u 2 为 u n;
n 1
则knu 的 部n 分 k1 u 和 k2u 为 knu ksn . n 1
( u 1 u 2 u n ) ( v 1 v 2 v n ) snn,
ln i m nln i (m snn)s,
(un vn)收敛，且其和s为 ．
n1
11
性质2 如果级 数 un、 vn分别收敛s、 于 , 和
例3 讨 论 等a比 nq aa 级 qa数 2q anq
n0
7.1常数项级数的概念和性质
| an – a |
3. 有关性质： (1) 单调有界数列必收敛.
(2) 如果一数列收敛于S，那么其任一子数列 均收敛于S.
lim s2 n1 = S， 则 (3) 若 lim s2 n = S， n
n n n
1
lim sn = S
n
2
(4) 设 lim sn = S1， lim sn = S2， 若S1≠S2， 则数列Sn发散； 若 S 1= S 2， 则数列Sn 可能收敛也可能发散.
二、级数的基本性质
性质 1 级数 an 与任一余项级数
n 1
an ( k 1) n k 1
有相同的敛散性.
证明
a n a k 1 a k 2 a k n n k 1
n ak 1 ak 2 ak n sn k sk ,
性质 3
设两收敛级数 a n s , bn ,则级数
n 1 n 1
(an bn ) 收敛,其和为 s . n 1
结论: 收敛级数可以逐项相加或逐项相减.
思考:
1. 若级数 an 与 bn 一个收敛一个发散 , 级数
n 1 n 1
(an bn ) 敛散性如何? n 1
级数发散.
综上
当 | q | 1 时 , 收敛 aq 当 | q | 1 时 , 发散 n 0
n
例4 一个球从a米高下落到地平面上.球每次落下距
离h后碰到地平面再弹起的距离为rh,其中r是小于1的正
数.求这个球上下的总距离.
2ar a(1 r ) . s a 2ar 2ar 2ar a 1 r 1 r
常数项级数的概念与性质
性质1
如果级数
un
n1
收敛于和S，则它的各项同乘以一
个常数k所得的级数 kun 也收敛，且其和为kS。
n1
性质2 如果级数 un、 vn 收敛于和S1, S2 ，则级数 n1 n1
un vn 也收敛，且其和为S1 ± S2 。
n1
性质3 若级数 un收敛，则对该级数的项任意加（或去）
4
3 5
0
所以，由级数收敛的必要条件知，该级数发散。
高等数学
性质4 在一个级数中任意去掉、增加或改变有限项后，级 数的收敛性不会改变，但对于无穷级数收敛级数，其和将受 到影响。
性质5
如果
lim
n
un
0
（包括极限不存在），则级数
un
n1
必发散。
例4 判定级数
3n 的敛散性。
n1 5n 4
解 级数的一般项
un
3n 5n
4
因为
lim
n
un
lim
n
3n 5n
3 103
，
可以得到如下的表达式
33 3
3
0.33 3 10 102 103 10n
显然，如果n →∞，那么我们就得到
0.3
1 3
3 10
13 3 3
3
3 10 102 103 10n
二、常数项级数的概念
定义1 如果给定一个数列u1, u2, u3, …, un, …，则由这数列 构成的表达式
定义2 如果级数 un 的部分和数列{Sn} 的极限存在，即 n 1
lim
n
Sn
S
则称级数un 收敛，S为级数的和，记为 n 1
常数项级数的概念和性质
3
幂级数求和法的优点是适用于特定的幂级数，可 以快速得到级数的和。然而，对于非幂级数，这 种方法不适用。
04 常数项级数的应用
在数学分析中的应用
数学分析中的极限理论
常数项级数在数学分析中用于研究函数的极限行为，例如通过级数的收敛性来研究函数的连续性和可 积性。
函数逼近
常数项级数可以用来逼近复杂的函数，通过将复杂的函数展开成级数的形式，可以更方便地研究函数 的性质和进行近似计算。
常数级数的概念和性质
contents
目录
• 常数项级数的定义 • 常数项级数的性质 • 常数项级数的求和 • 常数项级数的应用 • 常数项级数的扩展
01 常数项级数的定义
有限级数和无穷级数
有限级数
级数的项数是有限的，可以表示为几 个常数相加的形式。
无穷级数
级数的项数是无限的，可以表示为无 穷多个常数相加的形式。
在物理中的应用
热力学中的熵
在热力学中，常数项级数用于计算熵，熵是系统无序度的量度，对于理解系统的热力学 行为具有重要意义。
波动方程的解
在物理中，常数项级数用于求解波动方程，例如在声学和电磁学中，通过级数的形式来 表示波的传播。
在工程中的应用
电路分析
在电路分析中，常数项级数用于表示和 计算电路中的电流、电压和功率等参数 ，有助于理解和优化电路的性能。
应用
复数项级数在数学、物理和工程 等领域有广泛的应用，如傅里叶 分析、量子力学和电路分析等。
函数项级数
定义
函数项级数是各项为函数的级数，可以表示为 $sum_{n=0}^{infty} f_n(x)$，其中$f_n(x)$是函数。
性质
函数项级数的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件，如一致 收敛、逐点收敛等。
常数项级数的概念和性质
则式子 u1 u2 u3 un
称为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数。
记作
u ， 即 u
n
Hale Waihona Puke nn 1n 1
u1 u2 un
其中 un 称为级数的一般项（或通项），
问题： un 存在不存在？ (即有没有和数)
n 1
2 . 部分和数列 一数列中有限项相加总是有和数的，
用 Sn 近似代替 S 产生的误差为 | rn | ,
且因为 n 时, Sn S， 所以 rn 0 .
例
题
例1. 讨论等比级数 (几何级数) 的敛散性：
aq n 1 a aq aq 2 ... aq n ...
(a 0, q为公比）
n 1
n 1
, un Sn Sn1 ,
n 1
un
{ Sn }
现通过研究 { Sn } 来研究级数。
3. 级数的收敛和发散
定义： 设级数
n
un ， 对应的部分和数列 Sn ，
n 1
若 lim S n S 存在， 则称
un 收敛 ,
n 1
(C)
convergence
n 1 n 1
则
(un vn ) s un vn .
n 1
收敛级数可逐项相加减。
推论： 若
则
un (C ) , vn ( D) , n 1
n 1
(un vn )
n 1
( D) .
推论： (C) + (D) => (D)
§9.1常数项级数的概念与性质
un 2
L
)
0.
注：rn un1 un2 L 称为级数 un的余项。 n1
例 7 判定下列级数的敛散性：
n
(1) n ln
n1n11 2(2)[ n1 n
3n
]
定理 2(Cauchy收敛准则)
级数 un收敛的充分要条件为： n1
对于任给的 0,存在正整数N，使当n>N时，对任
意正整数p，总有
（2） 一个收敛级数与一个发散级数逐项相加所组 成的级数一定发散。
性质 3 在级数中去掉或加上有限多项，不改变级数的 敛散性。
如 a1 1,
q1 2
的等比级数1 1 1 1 248
是收敛的，
其和
S
1 1 1
2
，
2
减去它的前五项得到的级数 1 1 1 仍收敛 ， 32 64 128
1
其和
n1
推论1 乘以非零常数不改变级数的敛散性。
性质 2 若级数 un 和 vn 都收敛，其和分别为 S 与 T ，
n1 n1
则级数 (un vn ) 也收敛，其和为S T 。
n1
即：两个收敛级数逐项相加（或相减）所得的级数收敛。
例 6．试问下列说法是否正确，并说明理由或举例。 （1）两个发散级数逐项相加所组成的级数一定发散。
n
n1
称 S 为级数的和，记为 un S 。若部分和 数列Sn
n1
极限不存在，则称级数 un 发散。
n1
例 1.判别级数
1 的敛散性，若收敛，求其和。
n1n(n 1)
例 2. 讨论等比级数（几何级数） aqn (a 0) 的敛散性。
n0
注：
aq
【高数(下)课件】11-1常数项级数的概念和性质
1 1 n n 1 n 2 sn n 2 n 1 n 1 2 2 2 1 2 1 n 故 s lim sn lim( 2 n1 n ) 2 n n 2 2
所以,此级数收敛, 且其和为2.
二、级数的基本性质
性质1 (级数收敛的必要条件) 若 un 收敛，
1 1 1 sn L 1 3 3 5 ( 2n 1 ) ( 2n 1 )
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( )L ( ) 2 3 2 3 5 2 2n 1 2n 1
1 1 sn (1 ) 2 2n 1 1 1 1 lim sn lim (1 0)的敛散性. 例 讨论级数 n 1
n 3 ln a 是以 ln a 为公比的等比级数, 解 因为 n 1
故 1 当 a e时, | ln a | 1, 级数 收敛. e 1 当0 a 或a e时, | ln a | 1, 发散. e
n 1
u
n 1
n
u1 u2 u3 L un L
(1)
对收敛级数(1), 称差
rn s sn un1 un 2 L un i
rn 0 为级数(1)的余项或余和.显然有 lim n
i 1
当n充分大时, sn s
误差为 | rn |
定义
当n无限增大时, 如果级数 un的部分和
数列sn有极限s, 即 lim sn s. 则称无穷级数
s叫 做 级 数 u 收 敛, 这 时 极 限 u 的 和.
n 1 n
n 1 n
n 1
n
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∞
（2） ∑ ( n + 2 − 2 n + 1 + n ) n=1
3．判别下列级数的敛散性：
∞
∑ （1） (−1)n−1 n=1
∑ （2） ∞ (−1)n−1 ( 4)n
n=1
5
∑ （3） ∞ ( 3)n
n=1 2
∑ ∑ ∞
（4） n 0.001
n=1
（5）
∞ n=1
2n + 3n 6n
（6） 1 5
的傅立叶系数
a
∗ n
、
bb∗
与
an
,
bn
的关系是
a
∗ n
=
， bb∗ =
.
（5） f (x) = e x cos x 在[−π ,π ] 上傅立叶系数 a0 =
， b1 =
2．将函数 f (x) = x 2 （ − π ≤ x ≤π ）展开成傅里叶级数.
3．以 2π 为周期的周期函数 f (x) 在[−π ,π ] 上的表达式为
∑ （1）
∞ n=1
3n n ⋅ 2n
∑ （2）
∞ n=1
2n ⋅ n! nn
∑ （3） ∞ ⎜⎛ n ⎟⎞2n−1 n=1 ⎝ 3n − 1⎠
3．判别下列级数的敛散性：
∑ （1）
∞ n=1
n2 + 2n
3n
∑ （2）
∞ n=1
3
+
(−1) 2n
n
∑ （3） ∞ ( na )n ，（ a ＞0） n=1 n + 1
∞ n−1
1 (2n −1)2n
的和.
∞
∑ 5．求幂级数 (2n + 1)x n 的收敛域及其和函数. n−1 习题 11-4 函数展开成幂级数
1．将下列函数展开成 x 的幂级数，并求展开式成立的区间： （1） ln(a + x) ，（ a ＞0） （2） a x ，（ a ＞0 且 a ≠ 1），
续，且 f (0) = −1, S (0) = 2 ，则 lim f (x) =
.
x →0+
（3）设
f
(x)
=
⎧⎪⎪1 ⎨ ⎪⎪⎩1
+ −
x π x π
, −π ,0 ≤
≤ x
x< <π
0
展成以
2π
为周期的傅立叶级数的函数为
S ( x)
，则
S (−3) =
， S (12) =
， S (kπ ) =
（4） f (x) 是以 2π 为周期的函数，已知其傅立叶系数是 an , bn ，若 g(x) = f (−x) ，则 g (x)
4．判断下列级数是否收敛，若收敛是绝对收敛还是条件收敛？
∑ （1） ∞ (−1)n (1 − cos a ) ，（ a ＞0）
n=1
n
∑∞
（2） (−1)n
1
n=2
ln n
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ 5．已知级数
a
2 n
和
bn2 都收敛，试证明级数
anbn 绝对收敛.
n=1
n=1
n =1
习题 11-3 幂级数
n =1
cos nx + bn
sin nx)
则
a0 =
， an =
， bn =
(n = 1,2,L) ；若 f (x) 又为偶函数，则
a0 =
， an =
， bn =
(n = 1,2,L) .
（2） f (x) 满足收敛定理条件，其傅立叶级数的和函数为 S (x) ，已知 f (x) 在 x = 0 处左连
+1+
1 25
+ 2 +L+
1 5n
+ n +L
习题 11-2 常数项级数的审敛法
1．用比较审敛法或比较审敛法的极限形式判别下列级数的敛散性：
∑∞
（1）
1
n=1 n n + 1
∑ （2）
∞ 1+ n n=1 1 + n 2
cos 2
2 n
∑ （3）
∞ n=1
sin
π 2n
2．用比值审敛法或根值审敛法判别下列级数的敛散性：
习题 11-1 常数项级数的概念和性质
1．填空题：
∞
∑ （1）
un
n=1
收敛，则
lim(u
n→∞
2 n
− un
+ 3)
=
.
∞
∑ （2）
an
n=1
收敛，且 Sn
=
a1
+ a2
+
L
+
an
，则
lim(
n→∞
S
n+1
+
S n−1
− 2Sn )
=
.
（3） ( 1 2
+
1) + ( 1 3 22
+
1 )+( 1
2n
n =1
n=1 n − 3n
∞
∞
∑ ∑ 3．若幂级数 an x n 的收敛域是[-9,9]，写出 an x 2n 的收敛域.
n=1
n =1
4．利用逐项求导或逐项积分，求下列级数在收敛区间内的和函数：
∞
∑ （1） nx n−1 ，（-1＜ x ＜1） n=1
∑ ∑ （2）
∞ n=1
x 2n−1 ，（-1＜ x ＜1），并求级数 2n −1
32
23
+
1 33
)
+
L
的和是
.
∞
∞
∑ ∑ （4）若 un 的和是 3，则 un 的和是
.是 2，则 ∞ t n 的和是
n=1
n=1 2
.
∞
∑ （6）当 x ＜1 时， x n 的和是
.
n=1
2．根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的敛散性：
∑∞
（1）
1
n=1 (2n − 1)(2n + 1)
（3） sin 2 x
（4） (1 + x) ln(1 + x)
2．将函数
f
(x)
=
1 (1 + x)2
在 x0
= 1 处展开成幂级数.
3．将函数 f (x) = 1 展开成（ x − 2 ）的幂级数. 3+ x
4．将函数
f
(x)
=
2x +1 x2 + x − 2
展开成（ x − 2 ）的幂级数.
习题 11-5 函数的幂级数展开式的应用
1．利用函数的幂级数展开式求 9 522 的近似值（误差不超过 0.00001）.
∫0.5
2．利用被积函数的幂级数展开式求定积分
dx
的近似值（误差不超过 0.00001）.
0 1+ x4
习题 11-7 傅里叶级数
1．填空题：
∑ （1）如果
f
(x)
是周期为 2π
的周期函数,并且
f
(x)
=
a0 2
+
∞
(an
⎧0 f (x)⎩⎨1
−π 0≤
≤xp x pπ
0
，将其展开为傅里叶级数.
4．将函数 f (x) = x sin x （0≤ x ≤π ）分别展开成：
（1）正弦级数 （2）余弦级数
习题 11-8 一般周期函数的傅里叶级数
1．将函数 f (x) = 2 + x , (−1 ≤ x ≤ 1) 展开成傅里叶级数.
1．填空题：
∑ （1）若幂级数
∞ n=1
an
⎜⎛ ⎝
x
− 2
3
⎟⎞ n ⎠
在
x
=
0 处收敛，则在
x
=
5
处
（收敛、发散）.
∑ （2）若 lim cn
c n→+∞ n+1
∞
= 2 ，则幂级数 cn x 2n 的收敛半径为
n=0
.
∑ （3） ∞ (−3)n x n 的收敛域
n=1
n
.
∑ （4）
∞ n=0
3
+
(−1) 3n
n
xn
的收敛域
∑∞
（5） (−1)n
n=1
x 2n+1 n ⋅ 2n
的收敛域
.
∑ (6) ∞ 1 + n (x − 2)n 的收敛域 n=0 1 + n2
.
2．求下列幂级数的收敛域：
∑ （1）
∞ n=1
2n n2 +1
xn
∑ ∑ （2） ∞ 2n − 1 x3n
∞
（3）
1 (x − 3)n