常数项级数的概念和性质(课堂PPT)
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常数项级数的概念及性质ppt课件
n
1 0，
n
n n2 n n 2
所以级数 ( n2 n n)发散.
n1
30
实际上 un 0. 的速度越快， un 收敛的可能性越大
n1
例8：判断级数
n ln
n1
n n1
的敛散性.
解答：由于 lim n ln n lim ln（ n ）n
n n 1 n n 1
1 lim ln
n1
但若二级数都发散 ,
不一定发散.
例如, 取 un (1)2n , vn (1)2n1 ,
即 收敛+收敛=收敛，收敛+发散=发散， 发散+发散就不一定发散
如 求级数 ( 5 1 )的和.
n1 n(n 1) 2n
5
1
,
n1 n(n 1)
2n 19
n1
例 6
求级数
n1
5 n(n
1 1. 1 x x2 xn
1 x
( x ＜1)
2. 3 3 3 3 1
10 100 1000
10n
3
1
0.33333
第九章 无穷级数
主要研究无限个量相加的问题，包括 无限个数和无限个函数相加的问题 。
常数项级数 无穷级数
幂级数
3
第一节
第九章
常数项级数的概念和性质
乘以常数 c 所得级数
也收敛 , 其和为 c s .
n
n
证:
令
S n
u, k
则 n
c
u k
c
S n
,
k 1
k 1
lim n n
cs
这说明
c
u n
常数项级数的概念和性质解析ppt课件
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim 1 (1 n 2
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
例4. 讨论等比级数 (又称几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若
则部分和
因此级数收敛
,
其和为
a 1q
;
因此级数发散 .
aa qn 1q
从而 lim Sn
一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质
一、常数项级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正
边形, 设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A . 即
引例2. 计算棒长.
一尺之棰,日取其半, 万世不竭. 棰长形成一个无穷数列
1 1
1
的收敛性.
13 35
(2n 1) (2n 1)
解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1( 1 2 2n
1
1 2n
), 1
sn
1 1
1
13 35
(2n 1) (2n 1)
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
[(
1 9
)n1
A1
]}
A1
3
1 9
A1
3 4 (1)2 9
A1
3 4n2
(
1 9
)n1
A1
A1{1
[
1 3
1(4) 39
1 (4)2 39
常数项级数概念和性质41页PPT
第十二章 无穷级数 第一节 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的基本概念 二、两个重要级数的敛散性 三、常数项级数的基本性质 四、小结
一尺之棰，日取其半，万世不竭
1 2
1 1 22 23
...
1 2
n
...
1
1
•
0.30.333
3
33 3 ...3... 10 100 1000 10n
教育 法律 会计 销售 心理 教学 物
13
由x1,xn1及y1所 围 成 的 曲 边 梯 形 x
y
s
n1
1
1 x
dx
ln1n1lnn1
,且sn
s
y
1 x
ln i m snln i m ln n1
A1
则lni msn不存在,
A2
A3
A4 …
An
故 1+1 21 3...n 1...发 散 .
o x 1 2 3 4 5 … n n+1
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3
一、常数项级数的基本概念
定义1:一般地,如果给定一个常数项数列u1,u2, ,un,
则和式u1 u2 u3 un 称做常数项无穷级
数.简称(数项)级数.记作un,即 n1
un u1 u2 u3 un ,
n1
其中u1,u2, ,un, 分别叫做第一项,第二项,...,第
问题１：“无限个数相加”是否存
“和”？
问题２：如果存在，“和”等于什么？
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121常数项级数的概念与性质24页PPT
1 22
32 42
1 3n1
2n1
4n1
的敛散性．若收敛时求出它的和．
解：由于1 1 1
2 22
1 2n1
与1
3 4
32 42
3n1 4n1
都是公比小于 1 的等比级数，所以它们都收敛，且其和分别为
2 和 4，由性质 2 知所给级数收敛，其和为
(1
1)
1 2
3 4
1 22
称为级数的部分和.
2021/8/15
则称无穷级数
4
收敛 , 并称 s 为级数的和, 记作
则称无穷级数发散 . 当级数收敛时, 称差值
为级数的余项. 显然
2021/8/15
5
例 1 判别无穷级数 n 1 2 3 n
n 1
解：由于 sn 1 2
n n(n 1) , 则 2
lni m snlni m n(n21) 所以该级数发散．
极限状况相同, 故新旧两级
当级数收敛时, 其和的关系为
类似可证前面加上有限项的情况 .
2021/8/15
12
性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
的和.
证: 设收敛级数 S un, 若按某一规律加括弧, 例如
n1
则新级数的部分和序列
为原级数部分和
序列 S n (n 1 ,2 , ) 的一个子序列, 因此必有
121常数项级数的概念与性质
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
ppt0901课件常数项级数的概念与性质
四、收敛的必要条件
级数收敛的必要条件:
当n无限增大时, 它的一般项 un趋于零, 即
性质8.5
级数 un收敛
n 1
lim un 0.
n
证明 S un n 1
则 un S n S n1 ,
n n
limun lim S n lim S n1
n 1
( 包括极限为 ) ,
例2 证明级数 123 n 是发散的 证: 此级数的部分和为
n(n 1) sn 1 2 3 n 2
lim sn , 因此所给级数是发散的 显然, n
下页
例3 讨论等比级数(几何级数)
1.
常数项级数的定义
假设 {u n } 是一个数列 : u1, u2, u3, , un, ,
u
n1
一般项
n
u1 u2 u3 un
— (常数项)无穷级数
n
级数的部分和
sn u1 u2 un ui
部分和数列
i 1
s1 u1 , s2 u1 u2 ,
s3 u1 u2 u3 ,
sn u1 u2 un ,
例1
下列各式均为常数项级数
1 1 1 1 n ; n 2 4 2 n 1 2
n 1 2 n ; n 1
推论 如果加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散
收敛, 则 也收敛.
“加括号后所成的级数收敛, 原级数不一定收敛.”
下页
注 收敛级数 加括号仍为收敛级数. 注
例如级数 a a a a (1)n1 a 是发散级数. 但将相邻的两项加括号后所得级数
11-1常数项级数的基本概念和性质 32页PPT文档
nn
u n u n 1 u 1 e
单增数列 an (1 n1)n e
limun0,故级数发散.
n
例7 判断级数的敛散性：n12n2n1.
解
Sn1 2232253 2
n 2
n
1
,
则 1 2S nS n1 2S n
1 22 322 53 2n 2n 12 1 22 3 32 5 4 2 2 n n 11
n1
n1
n
和为 n ukl SknSk
l 1
有限项不影响
令 n时 , σn与Skn同敛散， 级数的敛散性
故新旧级 数敛散性相同. 收敛时, 其和 σSSk.
性质4 收敛级数加括弧后 所成的级数仍收敛于
原级数的和.
证 设 S un 收敛，任意加括弧,
n1
无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数
傅氏级数 表示函数
无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
第一节
第十一章
常数项级数的 基本概念和性质
一、常数项级数的概念 二 、收敛级数的性质
一、常数项级数的概念
1. 引例
无穷级数的思想蕴涵在 无限循环小数概念之中
引例1 数1 化为小数 . 3
10.3 3 0.3, 且0.3 3
f(x)f(0)0
S nln 1 (1 )ln(1
1) 2
ln(1
1)ln1 (n) n
lim ln1 (n)
n
n l i m Sn
1
发散
n1n
(方法2)
un
1 n
n11 dx nn
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证: 将级数 un 的前 k 项去掉, 所得新级数
n1
的部分和为
n
n uk l Sk n Sk
l 1
极限状况相同, 故新旧两级
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S Sk .
类似可证前面加上有限项的情况 .
16
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性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
第九章
无穷级数
数项级数 无穷级数
幂级数
表示函数 无穷级数是研究函数的工具 研究性质
数值计算
1
第一节
第九章
常数项级数的概念和性质
一、问题的提出 二、常数项级数的概念 三、无穷级数的基本性质 四、级数收敛的必要条件
2
一、问题的提出
1. 计算圆的面积
R 正六边形的面积 a1
正十二边形的面积 a1 a2
n0
的收敛性.
解 如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
a aqn a aqn , 1q 1q 1q
7
当q 1时,
lim qn 0
n
lim
n
sn
a 1q
收敛
当q 1时,
lim qn
n
lim
n
sn
如果 q 1时
发散
当q 1时, sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
注意:
lim
n
un
0
并非级数收敛的充分条件.
例如, 调和级数
虽然
但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
但
S2n Sn
1 1 1 n1 n 2 n3
1 2n
n 2n
1 2
矛盾! 所以假设不真 .
21
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五、小结
常数项级数的基本概念
基本审敛法
n1
n1
则级数 (un vn )收敛,其和为s .
n1
结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
13
例 5
求级数
n1
5 n(n
1)
1 2n
的和.
解
n1
5 n(n
1)
1 2n
n1
5 n(n
1)
n1
1 2n
n1
5 n(n
1)
5
n1
1 n
n
1
1
令gn
5 n k1
(2n 1) (2n 1)
解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1( 1 2 2n
1
1 2n
), 1
sn
1 1 13 35
1
(2n 1) (2n 1)
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
10
1 (1 1 ), 2 2n 1
正3 2n形的面积 a1 a2 an
即 A a1 a2 an
2.
1 3
3 3 3 10 100 1000
3 10n
3
二、级数的概念
1. 级数的定义:
一般项
un u1 u2 u3 un
n1
级数的部分和
(常数项)无穷级数
n
sn u1 u2 un ui
lim
n
sn
lim
n
1 (1 2
1 2n
) 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
11
例4. 判别级数 解:
的敛散性 .
故原级数收敛 , 其和为
12
三、基本性质
性质 1 如果级数 un 收敛,则 kun 亦收敛.
n1
n1
结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,
敛散性不变.
性质 2 设两收敛级数s un , vn ,
1.由定义,若sn s,则级数收敛;
2.当lim n
un
0,则级数发散;
3.按基本性质.
22
一、正项级数及其审敛法
1.定义: 如果级数 un中各项均有un 0，
n1
这种级数称为正项级数.
2.正项级数收敛的充要条件: s1 s2 sn
部分和数列{sn }为单调增加数列. 定理 正项级数收敛 部分和所成的数列 sn有界.
23
3.比较审敛法 设 un和vn均为正项级数，
n1
n1
且un vn (n 1, 2, ),若 vn 收敛,则 un 收敛；
n1
n1
反之，若 un 发散，则 vn 发散.
n1
n1
证明 (1) 设 vn un vn ,
lim
n
sn不存在
发散
综上
n0
aq n
当q 当q
1时,收敛 1时, 发散
8
例 2 判别无穷级数 22n31n 的收敛性.
n1
解
un
22n31n
4
4
n1
,
3
已知级数为等比级数，公比 q 4 , 3
| q | 1, 原级数发散.
9
例 3 判别无穷级数
1 1
1
的收敛性.
13 35
部分和数列
i 1
s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 , ,
sn u1 u2 un ,
4
2. 级数的收敛与发散:
当n 无限增大时,如果级数 un 的部分和
n1
数列sn 有极限s ,
即
lim
n
sn
s
则称无穷级数
un 收敛,这时极限s 叫做级数 un 的和.并
n1
n1
写成s u1 u2 u3
如果sn 没有极限,则称无穷级数 un 发散.
n1
5
即
常数项级数收敛(发散)
lim
n
sn
存在(不存在)
余项 rn s sn un1 un2 uni
i 1
即 sn s
误差为rn
(lim n
rn
0)
6
例 1 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 aqn (a 0)
的和.
证: 设收敛级数 S un , 若按某一规律加括弧, 例如
n1
则新级数的部分和序列
为原级数部分和
序列 Sn ( n 1 , 2 , )的一个子序列, 因此必有
S
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.
17
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注意
收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如 (1 1) (1 1) 收敛1111发散源自18四、级数收敛的必要条件
设收敛级数
则必有
证: un Sn Sn1
lim
n
un
lim
n
Sn
lim
n
Sn1
S
S
0
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
例如,
其一般项为
不趋于0, 因此这个级数发散.
20
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1 k
k
1
1
5(1
1 n
), 1
14
lim n
gn
5 lim(1 n
1) n1
5,
n1
21n是等比级数,
公比q
1 2
1,
首项是
1， 2
1
n1
1 2n
lim
n
hn
2 1 1
1,
2
故
n1
n(
5 n
1)
1 2n
5
1
6.
15
性质3. 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会
影响级数的敛散性.