常数项级数的概念
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常数项级数的概念和性质
∞
lim u n = lim ( S n − S n −1 )
n →∞ n →∞
= lim S n − lim S n −1
n →∞ n →∞
= S −S =0
例4. 判别 ∑ ( −1)
n =1
∞
n −1
n 的敛散性. n +1
(−1) n −1 n = 1, 解：由于 lim | u n |= lim n →∞ n →∞ n +1
一、问题的提出
1. 计算圆的面积 正六边形的面积 a1 正十二边形的面积 a1 + a 2
n 正 3 × 2 形的面积 a1 + a 2 + L + a n
R
即 A ≈ a1 + a2 +L+ an 1 3 3 3 3 2. = + + +L+ n +L 3 10 100 1000 10
二、常数项级数的概念
n =1 ∞
S n = ∑ u k = u1 + u 2 + L + u n ,
k =1
n
称为常数项级数的部分和. 若 lim S n = S 存在，则称级数 ∑ u n 收敛， n →∞
n =1 ∞
∑ S称为级数的和： u n = S .
n =1
∞
观察雪花分形过程
设三角形 周长为 P1 = 3, 3 ; 面积为 A1 = 4 第一次分叉： 第一次分叉：
1.常数项级数的定义 1.常数项级数的定义 设有数列{un}:u1, u2, …, un, …, 则称表达式
∑u
n =1
∞
n
= u1 + u 2 + L + u n + L
常数项级数的概念和性质
3
幂级数求和法的优点是适用于特定的幂级数，可 以快速得到级数的和。然而，对于非幂级数，这 种方法不适用。
04 常数项级数的应用
在数学分析中的应用
数学分析中的极限理论
常数项级数在数学分析中用于研究函数的极限行为，例如通过级数的收敛性来研究函数的连续性和可 积性。
函数逼近
常数项级数可以用来逼近复杂的函数，通过将复杂的函数展开成级数的形式，可以更方便地研究函数 的性质和进行近似计算。
常数级数的概念和性质
contents
目录
• 常数项级数的定义 • 常数项级数的性质 • 常数项级数的求和 • 常数项级数的应用 • 常数项级数的扩展
01 常数项级数的定义
有限级数和无穷级数
有限级数
级数的项数是有限的，可以表示为几 个常数相加的形式。
无穷级数
级数的项数是无限的，可以表示为无 穷多个常数相加的形式。
在物理中的应用
热力学中的熵
在热力学中，常数项级数用于计算熵，熵是系统无序度的量度，对于理解系统的热力学 行为具有重要意义。
波动方程的解
在物理中，常数项级数用于求解波动方程，例如在声学和电磁学中，通过级数的形式来 表示波的传播。
在工程中的应用
电路分析
在电路分析中，常数项级数用于表示和 计算电路中的电流、电压和功率等参数 ，有助于理解和优化电路的性能。
应用
复数项级数在数学、物理和工程 等领域有广泛的应用，如傅里叶 分析、量子力学和电路分析等。
函数项级数
定义
函数项级数是各项为函数的级数，可以表示为 $sum_{n=0}^{infty} f_n(x)$，其中$f_n(x)$是函数。
性质
函数项级数的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件，如一致 收敛、逐点收敛等。
高等数学11-1常数项级数的概念和性质
讨论1 事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
lim (S2nSn)0
n
但
S2nSnn1 1n 12n1 3 2 1 n
n 2n
1 2
矛盾! 所以假设不真 .
23
讨论2
在区间[n，n+1]上对函数lnx使用拉格朗日中值定理，
于 是 利 ln 用 (n不 1 等 ) 式 ln 有 n1 n1 n (nnn1)
每项均大于 1
2 m项
2
即m 前 1项大 (m于 1)1 2 级数发. 散
由性质4推论,调和级数发散.
25
例6. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:
(1) n1ennnn! ; (2) n 1n33n122n; (3) n12n2n1.
解: (1)
令
un
enn nn
!
,
则
(1n1)n e
e n1 (n 1)!
Snkn1k33k122k 1 2kn 1k(k11)(k1)1k(2)
1 2112(n1)1(n2)
进行拆项相消
limSn
n
1, 4
这说明原级数收(敛2)
,n 其1和n3为314 n1. 22n
27
(3) Sn
12SnSn1 2232253 2
n 2
n
1
1 22 3 22 5 3 2n 2n 1 2 1 22 3 32 5 4 2 2 n n 1 1
n时,这个和逼近于圆的面积 A . 即 A a 0 a 1 a 2 a n
引 2 .例 1 3 1 3 0 1 30 13 00 0 1 0 3 n 0 3
定义：给定一个数列 u 1 ,u 2 ,u 3 , ,u n , 将各项依
常数项级数的概念和..
n1
n1
如果 {sn } 没有极限， 则称级数 un 发散．
n1
例1 证明级数 1 2 3 n 是发散的.
证 这级数的部分和为
sn 1 2 3 n
n(n 1) . 2
lim
n
sn
lim
n
n(n 1) 2
,
∴所给级数是发散的.
3
定 义 如 果 级 数 un 的 部 分 和 数 列{sn } 有 极 限s，
3
7
a aq aq2
aqn
aqn
n0
| q | 1时, 收敛,
|
q
|
1
时,
发散.
并且 aqn
a
( q 1). (P250例 1)
n0
1q
课堂练习
判定级数
5 3
52 32
53 33
(1)n
5n 3n
的敛散性.
解 为等比级数，公 比q 5 . 3
| q | 1, 该级数发散.
n0
(a 0, q为 公 比) 的 收 敛 性.
解
若q
q
1,
1时, sn
则 lim q n n
a aq aq2 aqn1
0，
lim
n
sn
a， 1q
1 qn
a
.
1q
级数收敛.
若 q 1,
则 lim q n n
，
lim
n
sn
，级数发散．
q 1时,
若q 1,
则
lim
n
sn
lim na
n
，级数发散，
若
q
1,
则lim n
常数项级数
n=1
ρ > 1 时, lim an ≠ 0,因而 an发散 ∑
n→∞ n=1
∞
根值判别法
设
∑a
n=1
∞
n 为正项级数
, 且 lim
n
n
n→ ∞
an = ρ
则 (1 ) ρ < 1 时 ,
∑a
n=1 ∞
∞
收敛 ,
( 2 ) ρ > 1 时 , ∑ a n 发散 . n=1 ρ 1 , 注 : 根值判别法对 = 1的情形没有下任何结论
, 比值判别法无效 且比值判别法不是充要 . 条件 2 : 由根值判别法的证明过 程可见： 程可见：
ρ > 1 时, lim an ≠ 0,因而 an发散 ∑
n→∞ n=1
∞
积分判别法
且单减， 设 (1) f在[1,+∞ )上连续 , f ≥ 0且单减， ( 2) an = f ( n) ( n = 1,2,K),
与条件收敛 常数项级数的绝对收敛
定义： 定义：
, , 若绝对值级数 an 收敛 则称级数 an绝对收敛 ∑ ∑
n=1 n=1
∞
∞
, , 若级数 an收敛 但绝对值级数 an 发散 则称级 ∑ ∑
n=1 n=1
∞
∞
. 数∑an条件收敛
n=1
∞
定理
, 若级数 an绝对收敛 则级数 an收敛. ∑ ∑
n=1 n=1
n
为正项级数 , 且
∞
an+1 lim = ρ n→ ∞ a n
则 (1) ρ < 1 时 , ∑ a n 收敛 .
n=1 ∞
( 2 ) ρ > 1 时 , ∑ a n 发散 .
常数项级数的概念
例 判定下列无穷级数的收敛性：
1 1 1
12 23
n(n 1)
解
un
1 n(n 1)
sn
1 1 2
1 23
...
1 n(n 1)
1 1 , n n1
1
1 2
1 2
1 3
...
1 n
n
1
A a1 圆的内接正十二边形的面积为 a1 +a2 ， A a1 a2
圆的内接正二十四边形的面积为 a1 +a2 +a3 . A a1 a2 a3 内接正 3 2n 边形的面积为 a1 a2 an .
A a1 a2
an
A
lim
n
a1
a2
1
所以级数收敛,且和为 1.
1 1 n 1
1n ,
例 证明级数 1 2 3 n 是发散的.
证 级数的部分和为
sn
1
2
3
n
n(n 1) 2
,
显然
lim
n
sn
,
因此所给级数发散.
例 无穷级数 aqi a aq aq2 aqi 叫做 i0
an
定义： 如果给定一个数列
u1 , u2 , u3 , , un , ,
那么由这数列构成的表达式
u1 +u2 +u3 + +un +
叫做(常数项)无穷级数, 简称(常数项)级数,记作 ui ,
常数项级数的概念和性质
显然
lim
n
rn
0.
三、级数收敛的必要条件
定理：若级数 un 收敛，则必有 n 1
lim
n
u
n
0.
证
设
un
n1
S,
则
lim
n
S
n
S
lim
n
un
lim (S
n
n
Sn1 )
lim
n
Sn
lim
n
S
n1
SS 0
例4. 判别 (1)n1
n1
n n 1
的敛散性.
解：由于
lim
n
|
u
n
| lim (1)n1 n n n 1
1 3 2
由数学归纳法，得
S 2k
1 k， 2
k=0, 1, 2,
而
lim
k
S
2k
lim
k
1
k 2
故
lim
n
S
n
不存在，即调和级数发散.
四、无穷级数的性质
性质1
若c0为常数，则 un 与 cun 有相同的敛散性，
n 1
n 1
且 cun cun .
n1
n1
n
证
un 的部分和为 Sn
面m项后得到的级数uk 的部分和为S 'k: k m1
S
' k
um1 um2
umk
(u1 u2 um ) um1 um2 umk (u1 u2 um )
Smk Sm
由于Sm当m固定时为一常数，所以
lim
k
S
k
常数项级数的概念和性质
则式子 u1 u2 u3 un
称为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数。
记作
u ， 即 u
n
Hale Waihona Puke nn 1n 1
u1 u2 un
其中 un 称为级数的一般项（或通项），
问题： un 存在不存在？ (即有没有和数)
n 1
2 . 部分和数列 一数列中有限项相加总是有和数的，
用 Sn 近似代替 S 产生的误差为 | rn | ,
且因为 n 时, Sn S， 所以 rn 0 .
例
题
例1. 讨论等比级数 (几何级数) 的敛散性：
aq n 1 a aq aq 2 ... aq n ...
(a 0, q为公比）
n 1
n 1
, un Sn Sn1 ,
n 1
un
{ Sn }
现通过研究 { Sn } 来研究级数。
3. 级数的收敛和发散
定义： 设级数
n
un ， 对应的部分和数列 Sn ，
n 1
若 lim S n S 存在， 则称
un 收敛 ,
n 1
(C)
convergence
n 1 n 1
则
(un vn ) s un vn .
n 1
收敛级数可逐项相加减。
推论： 若
则
un (C ) , vn ( D) , n 1
n 1
(un vn )
n 1
( D) .
推论： (C) + (D) => (D)
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而
lim
k
1
k 2
故
lim
n
Sn
不存在,
即调和级数发散.
三.无穷级数的基本性质
1. 性质 1
若 c 0 为常数, 则 un 与 cun
n1
n1
有相同的敛散性, 且 cun c un
n1
n1
证
n
un 的部分和为 Sn
u
，
k
n1
k 1
n
n
cun的部分和为 Sn cuk c uk cSn ,
无穷级数 un 的前 n 项之和：
n1
n
Sn uk u1 u2 un , k 1
称为级数的部分和.
若
lim
n
S
n
S
存在,
则称级数 un
n1
收敛.
S 称为级数的和：un S .
n1
若
lim
n
Sn
不存在 ( 包括为 ) ,
则称级数 un 发散.
n1
例3 讨论等比级数 arn1 的敛散性.
n
S2
n
S1
S2
即 级数 (un vn ) 收敛, 且
n1
(un vn ) un vn S1 S2
n1
n1
n1
例7
因为等比级数
1 n1 2n
与
1 n1 3n
收敛,
所以级数
1 n1 2n
1 3n
也收敛.
一个收敛级数与 一个发散级数的和是 收敛的还是发散的？
是发散的
1 1 1
1
1
13 35 57
(2n 1)(2n 1)
2
二. 级数收敛的必要条件
定理
若级数 un
n1
收敛,
则必有
lim
n
un
0.
证
设 un S,
n1
则
lim
n
Sn
S
.
lim
n
un
lim
n
(Sn
Sn1)
lim
n
Sn
lim
n
Sn1
SS 0
例5
判别级数 (1)n1
n
的敛散性.
n1
n 1
n1
n1
n1
证
(un vn ) 的部分和为：
n1
n
Sn (uk vk ) (u1 v1) (u2 v2 ) (un vn ) k 1
(u1 u2 un ) (v1 v2 vn ) S1n S2n
故
lim
n
Sn
nlim(S1n
S2n )
lim
n
S1n
lim
n1
解 等比级数的部分和为：
n
Sn ar k 1
k 1
a ar n1 r 1 r
a(1 r n ) 1 r
当公比 | r | < 1 时,
lim
n
Sn
lim
n
a (1 rn ) 1 r
a
1 r
,
此时等比级数收敛, 其和为： S a 。 1 r
当公比
|
r
|
>
1
时,
lim
n
Sn
lim a (1 rn ) n 1 r
解 由于
lim
n
|
un
|
lim
n
(1)n1 n n 1
1,
lim
n
un
0,
故该级数发散.
证明调和级数是发散的:
例6
1 1 1 1 1 .
n1 n
23
n
证 调和级数的部分和有：
S1
1， 0 2
S2
S 21
1
1， 2
若
1 2
1 a
1 c
1 b
,
则称 b 为 a 与 c 的
调和中项.
n1
则称该级数为常数项级数.
若级数的每一项均为同一个变量的
函数 : un un (x), 则称级数 un (x) 为函
n1
数项级数.
例1 下列各式均为常数项级数
1
n1 2n
1 1 24
1 2n
;
n 1 2 n ;
n1
(1)n1 1111 (1)n1 ;
n1
cosn cos1 cos2 cosn .
1)
1 2
1 2n 1
1 2n
1
Sn
1 2
1
1 3
1 2
1 3
1 5
1 2
1 5
1 7
1 2
1 2n 1
1 2n
1
1 2
1
1 2n 1
1 1 1 13 35 57
而
lim
n
Sn
lim
n
1 2
1
1 2n
1
1 2
故
1
1
n1 (2n 1)(2n 1) 2
即该级数收敛, 其和为 S 1 . 2
一. 无穷级数的概念 二. 级数收敛的必要条件 三. 无穷级数的基本性质
一.无穷级数的概念
1.无穷级数的定义
设有数列 {un}: u1 , u2 , …, un , … 则称表达式
un u1 u2 un
n1
为一个无穷级数, 简称为级数.
称 un 为级数的一般项或通项.
若级数 un 的每一项 un 均为常数,
n1
例2 下列各式均为函数项级数
(1)n1 xn1 1 x x2 (1)n1 xn1 , x R.
n1
anxn a0 a1x a2x2 anxn , | x | 1.
n0
sin nx sin x sin 2x sin nx , x R.
n1
2. 级数的敛散性定义
S4
S22
1
1 2
1 3
1 4
1
1 2
1 2
1 2， 2
S8
S23
1 1 1 1 1 1 1 1 2345678
1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1
1 2
1 2
1 2
1 3 2
S2k
1 k 2
?
由数学归纳法, 得
S 2k
1 k， 2
k = 0, 1, 2,
问题
两个发散的级数 之和是收敛的还是发 散的？
不一定
看看 (1)n 与 (1)n1 之和.
n1
n1
问题
3. 性质 3
在一个级数的前面加上或者去掉 有限项后, 所得到的新的级数与原级 数的敛散性相同.
但对收敛级数来说, 它的和将改变.
证 设级数 un 的部分和为 Sn , 去掉级数的前 n1 面 m 项后得到的级数 uk 的部分和为 Sk : k m1
.
当公比 r =1时,
lim
n
Sn
lim
n
na
.
当公比 r = 1时, Sn=
a, n为奇数
0,
, n为偶数
故
lim
n
Sn
不存在.
综上所述,
当公比 | r | < 1 时, 等比级数收敛；
当公比 | r | 1 时, 等比级数发散.
例4
讨论级数
1
的敛散性.
n1 (2n 1)(2n 1)
解
(2n
1 1)(2n
第八章 无 穷 级 数
本章学习要求： 理解常数项级数概念和性质。掌握级数收敛的必要条 件以及收敛级数的基本性质。 熟悉常数项级数的收敛判别法。掌握交错级数收敛判 别法。 熟悉等比级数、调和级数、P－级数的敛散性。
理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。
第八章 无穷级数
第一节 常数项级数的概念和性质
n1
k 1
k 1
故
lim
n
Sn
lim
n
cSn
c
lim
n
Sn
即
un 与 cun 同时收敛或同时发散,
n1
n1
且有 cun cun.
n1
n1
2. 性质 2
若 un 与 vn 收敛, 其和分别为S1 和 S2,
n1
n1
则级数 (un vn ) 也收敛, 且
n1
(un vn ) S1 S2 un vn.