常数项级数(改)精品PPT课件
解：第一天体内总药量：S1 0.07 . （每天总药量等于 0.07 加前一天总药量的 80%）
第二天… ：S2 0.07 S1 80% 0.07 (1 4 5). 第三天… ：S3 0.07 S2 80% 0.07 [1 4 5 (4 5)2 ].
第 n 天… ：Sn 0.07 Sn1 80%
即 A a0 a1 a2 an
2021/2/22
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引例2. 一慢性病人需服用某种药物，已知该药物在 体内总量超过 0.3 mg 时对身体有害。现 病人遵医 嘱每天服用0.07mg, 设体内药物每天有 20% 通过各 种渠道排泄掉。问长期服用此药，是否有害健康？
0.07 [1 4 5 (4 5)2 (4 5)n1]. …………
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引例2. 一慢性病人需服用某种药物，已知该药物在 体内总量超过 0.3 mg 时对身体有害。现 病人遵医 嘱每天服用0.07mg, 设体内药物每天有 20% 通过各 种渠道排泄掉。问长期服用此药，是否有害健康？
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一、常数项级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正 3 2n ( n 0, 1, 2,)边形,设 a0 表示
内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正
3 2n 边形面积为 a0 a1 a2 an
n 时, 这个和逼近于圆的面积 A .
例3. 解:
判别级数
n2
ln
1
1 n2
的敛散性 .
ln
1
1 n2
ln
n2 1 n2
ln(n 1) ln(n 1) 2 ln n
Sn
k
n
ln
2
1
1 k2
[ln 3 ln1 2 ln 2] [ln 4 ln 2 2 ln 3] [ln 5
ln 3 2 ln 4] [ln(n 1) ln(n 1) 2 ln n]
1
(4 5)n 15
0.35 mg
0.3
mg
.
可见以此剂量长期服用此药，有害健康。
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定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依
次相加, 简记为 un , 即
n1
un u1 u2 u3 un
n1
称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
乘以常数 c 所得级数 c un 也收敛 , 其和为 c S .
n
n1
n
证: 令 Sn uk , 则 n c uk c Sn ,
k 1
k 1
lim
n
n
c
lim
n
S
n
cS
这说明 c un 收敛 , 其和为 c S .
级数的前 n 项和
n
Sn uk u1 u2 u3 un
k 1
称为级数的部分和. 若 lim Sn S 存在, 则称无穷级数
n
收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
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S un
n1
若
lim
n
Sn
不存在,
则称无穷级数发散
.
当级数收敛时, 称差值
10
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(2)
Sn
1 1 2
1 23
1 34
1 n (n 1)
1
1 2
1 2
13
1 3
1 4
1 n
n
1
1
1 1 1 ( n ） n 1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
技巧:
利用 “拆项相消” 求 和
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rn S Sn un1 un2
为级数的余项. 显然
lim
n
rn
0
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例1. 讨论等比级数(又称几何级数)
aqn a aq aq2 aqn (a 0 )
n0
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若 q 1 , 则部分和
Sn
a
解：第 n 天体内药量：Sn 0.07 Sn1 80% 0.07 [1 4 5 (4 5)2 (4 5)n1] 0.07 1 (4 5)n .
15 长期服用后体内药量：
S 0.07 [1 4 5 (4 5)2 (4 5)n1 ]
lim
n
Sn
0.07
m
n
ln 2 ln(n 1) ln n ln(1 1n) ln 2
lim Sn ln 2, 故原级数收敛 , 其和为 ln 2.
n
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二、无穷级数的基本性质
性质1. 若级数 un 收敛于 S , 即 S un , 则各项
n1
n1
当q 1时, 级数成为 a a a a (1)n1a
因此
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
lim
n
Sn
不存在
,
因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1 时, 等比级数发散 .
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例2. 判别下列级数的敛散性:
第十一章 无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数
付氏级数
无穷级数是研究函数的工具
表示函数 研究性质 数值计算
2021/2/22
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第十一章
第一节 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理
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(1)
ln
n1
n
n
1
;
解: (1)
(2) n1n(n11) .
Sn
ln 2 1
ln 3 2
ln 4 3
ln n 1 n
(ln 2 ln1) (ln 3 ln 2) ln(n 1) ln n
ln(n 1) ( n ）
所以级数 (1) 发散 ;
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技巧: 利用 “拆项相消” 求 和
a
q
a
q2
a
q n 1
aa qn 1q
当q
1时，由于 lim qn
n
0, 从而 lim Sn
n
a 1q
因此级数收敛
,
其和为
a 1q
;
当q
1时, 由于 lim qn
n
,
从而
lim
n
Sn
,
因此级数发散 .
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2). 若 q 1 , 则
当 q 1时, Sn n a ,因此级数发散 ;
第二天… ：S2 0.07 S1 80% 0.07 (1 4 5). 第三天… ：S3 0.07 S2 80% 0.07 [1 4 5 (4 5)2 ].
第 n 天… ：Sn 0.07 Sn1 80%
即 A a0 a1 a2 an
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引例2. 一慢性病人需服用某种药物，已知该药物在 体内总量超过 0.3 mg 时对身体有害。现 病人遵医 嘱每天服用0.07mg, 设体内药物每天有 20% 通过各 种渠道排泄掉。问长期服用此药，是否有害健康？
0.07 [1 4 5 (4 5)2 (4 5)n1]. …………
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引例2. 一慢性病人需服用某种药物，已知该药物在 体内总量超过 0.3 mg 时对身体有害。现 病人遵医 嘱每天服用0.07mg, 设体内药物每天有 20% 通过各 种渠道排泄掉。问长期服用此药，是否有害健康？
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一、常数项级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正 3 2n ( n 0, 1, 2,)边形,设 a0 表示
内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正
3 2n 边形面积为 a0 a1 a2 an
n 时, 这个和逼近于圆的面积 A .
例3. 解:
判别级数
n2
ln
1
1 n2
的敛散性 .
ln
1
1 n2
ln
n2 1 n2
ln(n 1) ln(n 1) 2 ln n
Sn
k
n
ln
2
1
1 k2
[ln 3 ln1 2 ln 2] [ln 4 ln 2 2 ln 3] [ln 5
ln 3 2 ln 4] [ln(n 1) ln(n 1) 2 ln n]
1
(4 5)n 15
0.35 mg
0.3
mg
.
可见以此剂量长期服用此药，有害健康。
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定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依
次相加, 简记为 un , 即
n1
un u1 u2 u3 un
n1
称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
乘以常数 c 所得级数 c un 也收敛 , 其和为 c S .
n
n1
n
证: 令 Sn uk , 则 n c uk c Sn ,
k 1
k 1
lim
n
n
c
lim
n
S
n
cS
这说明 c un 收敛 , 其和为 c S .
级数的前 n 项和
n
Sn uk u1 u2 u3 un
k 1
称为级数的部分和. 若 lim Sn S 存在, 则称无穷级数
n
收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
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S un
n1
若
lim
n
Sn
不存在,
则称无穷级数发散
.
当级数收敛时, 称差值
10
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(2)
Sn
1 1 2
1 23
1 34
1 n (n 1)
1
1 2
1 2
13
1 3
1 4
1 n
n
1
1
1 1 1 ( n ） n 1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
技巧:
利用 “拆项相消” 求 和
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rn S Sn un1 un2
为级数的余项. 显然
lim
n
rn
0
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例1. 讨论等比级数(又称几何级数)
aqn a aq aq2 aqn (a 0 )
n0
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若 q 1 , 则部分和
Sn
a
解：第 n 天体内药量：Sn 0.07 Sn1 80% 0.07 [1 4 5 (4 5)2 (4 5)n1] 0.07 1 (4 5)n .
15 长期服用后体内药量：
S 0.07 [1 4 5 (4 5)2 (4 5)n1 ]
lim
n
Sn
0.07
m
n
ln 2 ln(n 1) ln n ln(1 1n) ln 2
lim Sn ln 2, 故原级数收敛 , 其和为 ln 2.
n
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二、无穷级数的基本性质
性质1. 若级数 un 收敛于 S , 即 S un , 则各项
n1
n1
当q 1时, 级数成为 a a a a (1)n1a
因此
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
lim
n
Sn
不存在
,
因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1 时, 等比级数发散 .
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例2. 判别下列级数的敛散性:
第十一章 无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数
付氏级数
无穷级数是研究函数的工具
表示函数 研究性质 数值计算
2021/2/22
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第十一章
第一节 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理
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(1)
ln
n1
n
n
1
;
解: (1)
(2) n1n(n11) .
Sn
ln 2 1
ln 3 2
ln 4 3
ln n 1 n
(ln 2 ln1) (ln 3 ln 2) ln(n 1) ln n
ln(n 1) ( n ）
所以级数 (1) 发散 ;
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技巧: 利用 “拆项相消” 求 和
a
q
a
q2
a
q n 1
aa qn 1q
当q
1时，由于 lim qn
n
0, 从而 lim Sn
n
a 1q
因此级数收敛
,
其和为
a 1q
;
当q
1时, 由于 lim qn
n
,
从而
lim
n
Sn
,
因此级数发散 .
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2). 若 q 1 , 则
当 q 1时, Sn n a ,因此级数发散 ;
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常数项级数的概念和性质(课堂PPT)
证: 将级数 un 的前 k 项去掉, 所得新级数
n1
的部分和为
n
n uk l Sk n Sk
l 1
极限状况相同, 故新旧两级
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S Sk .
类似可证前面加上有限项的情况 .
16
机动 目录 上页 下页 返回 结束
性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
第九章
无穷级数
数项级数 无穷级数
幂级数
表示函数 无穷级数是研究函数的工具 研究性质
数值计算
1
第一节
第九章
常数项级数的概念和性质
一、问题的提出 二、常数项级数的概念 三、无穷级数的基本性质 四、级数收敛的必要条件
2
一、问题的提出
1. 计算圆的面积
R 正六边形的面积 a1
正十二边形的面积 a1 a2
n0
的收敛性.
解 如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
a aqn a aqn , 1q 1q 1q
7
当q 1时,
lim qn 0
n
lim
n
sn
a 1q
收敛
当q 1时,
lim qn
n
lim
n
sn
如果 q 1时
发散
当q 1时, sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
注意:
lim
n
un
0
并非级数收敛的充分条件.
例如, 调和级数
虽然
但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
但
S2n Sn
1 1 1 n1 n 2 n3
41常数项级数 57页PPT文档
n
例如, 级数 11111（调和级数
n1n 2 3
n
例1.4）
虽然 nl im unnl im 1n0， 但此级数发散 .
证明：反证法： 假设级数收敛于 S , 则
lim (S2nSn)0
n
但
S2nSnn1 1n 12n1 3 2 1 n
则新级数的部分和序列 m(m 1,2, )为原级数部分和
序列 Sn(n 1,2, )的一个子序列, 因此必有
m l i m mn l i m SnS
用反证法可证
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.
注意: 若级数加括弧后收敛，原级数不一定收敛.
例如， ( 1 1 ) ( 1 1 ) 0 ,但 1 1 1 1 发散.
第四章 无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数
Fourier级数 表示函数
无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
§4.1 常数项级数
第一节 常数项级数
——常数项级数的概念、性质与收敛原理
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 四、Cauchy收敛原理
§4.1 常数项级数
例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)
a q n a a q a q 2 a q n (a 0 )
n 0
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若 q 1 , 则部分和
S n a a q a q 2 a q n 1 a
a 1
剩余部分总长
l剩 ＝ 1－ l丢0
剩余部分总长虽然为0, 但康托尔证明了其成员和实数“一样多”,
它们象尘埃一样散落在[0,1]区间上, 人们称其为康托尔尘集.
常数项级数概念和性质41页PPT
第十二章 无穷级数 第一节 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的基本概念 二、两个重要级数的敛散性 三、常数项级数的基本性质 四、小结
一尺之棰，日取其半，万世不竭
1 2
1 1 22 23
...
1 2
n
...
1
1
•
0.30.333
3
33 3 ...3... 10 100 1000 10n
教育 法律 会计 销售 心理 教学 物
13
由x1,xn1及y1所 围 成 的 曲 边 梯 形 x
y
s
n1
1
1 x
dx
ln1n1lnn1
,且sn
s
y
1 x
ln i m snln i m ln n1
A1
则lni msn不存在,
A2
A3
A4 …
An
故 1+1 21 3...n 1...发 散 .
o x 1 2 3 4 5 … n n+1
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3
一、常数项级数的基本概念
定义1:一般地,如果给定一个常数项数列u1,u2, ,un,
则和式u1 u2 u3 un 称做常数项无穷级
数.简称(数项)级数.记作un,即 n1
un u1 u2 u3 un ,
n1
其中u1,u2, ,un, 分别叫做第一项,第二项,...,第
问题１：“无限个数相加”是否存
“和”？
问题２：如果存在，“和”等于什么？
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ppt0901课件常数项级数的概念与性质
四、收敛的必要条件
级数收敛的必要条件:
当n无限增大时, 它的一般项 un趋于零, 即
性质8.5
级数 un收敛
n 1
lim un 0.
n
证明 S un n 1
则 un S n S n1 ,
n n
limun lim S n lim S n1
n 1
( 包括极限为 ) ,
例2 证明级数 123 n 是发散的 证: 此级数的部分和为
n(n 1) sn 1 2 3 n 2
lim sn , 因此所给级数是发散的 显然, n
下页
例3 讨论等比级数(几何级数)
1.
常数项级数的定义
假设 {u n } 是一个数列 : u1, u2, u3, , un, ,
u
n1
一般项
n
u1 u2 u3 un
— (常数项)无穷级数
n
级数的部分和
sn u1 u2 un ui
部分和数列
i 1
s1 u1 , s2 u1 u2 ,
s3 u1 u2 u3 ,
sn u1 u2 un ,
例1
下列各式均为常数项级数
1 1 1 1 n ; n 2 4 2 n 1 2
n 1 2 n ; n 1
推论 如果加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散
收敛, 则 也收敛.
“加括号后所成的级数收敛, 原级数不一定收敛.”
下页
注 收敛级数 加括号仍为收敛级数. 注
例如级数 a a a a (1)n1 a 是发散级数. 但将相邻的两项加括号后所得级数
高数课件-D12_1常数项级数---20-PPT精品文档
第十二章 无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数 傅氏级数
表示函数 无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
第一节 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质
三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理
第十二章
第2页
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第3页
一、常数项级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
n 1 a a a a ( 1 ) a n 为奇数 a, Sn 因此 n 为偶数 0,
从而 lim Sn 不存在 , 因此级数发散.
n
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1 时, 等比级数发散 .
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n 边形, 设 a0 表示 依次作圆内接正 3 2 ( n 0 , 1 ,2 , ) 内接正三角形面积, ak 表示边数
增加时增加的面积, 则圆内接正
32n 边形面积为 a 0 a1 a2 an
n 时 , 这个和逼近于圆的面积 A .
即
A a a a a 0 1 2 n
ln( n 1 ) ( n ）
所以级数 (1) 发散 ;
技巧: 利用 “拆项相消” 求 和
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第9页
1 1 1 1 (2) S n 1 22 33 4 n ( n 1 )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n 2 2 3 3 4
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, u , u , , u , 给定一个数列 u 将各项依 定义： 1 2 3 n
数项级数 无穷级数 幂级数 傅氏级数
表示函数 无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
第一节 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质
三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理
第十二章
第2页
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第3页
一、常数项级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
n 1 a a a a ( 1 ) a n 为奇数 a, Sn 因此 n 为偶数 0,
从而 lim Sn 不存在 , 因此级数发散.
n
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1 时, 等比级数发散 .
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n 边形, 设 a0 表示 依次作圆内接正 3 2 ( n 0 , 1 ,2 , ) 内接正三角形面积, ak 表示边数
增加时增加的面积, 则圆内接正
32n 边形面积为 a 0 a1 a2 an
n 时 , 这个和逼近于圆的面积 A .
即
A a a a a 0 1 2 n
ln( n 1 ) ( n ）
所以级数 (1) 发散 ;
技巧: 利用 “拆项相消” 求 和
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第9页
1 1 1 1 (2) S n 1 22 33 4 n ( n 1 )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n 2 2 3 3 4
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, u , u , , u , 给定一个数列 u 将各项依 定义： 1 2 3 n
11-1常数项级数的基本概念和性质 32页PPT文档
nn
u n u n 1 u 1 e
单增数列 an (1 n1)n e
limun0,故级数发散.
n
例7 判断级数的敛散性：n12n2n1.
解
Sn1 2232253 2
n 2
n
1
,
则 1 2S nS n1 2S n
1 22 322 53 2n 2n 12 1 22 3 32 5 4 2 2 n n 11
n1
n1
n
和为 n ukl SknSk
l 1
有限项不影响
令 n时 , σn与Skn同敛散， 级数的敛散性
故新旧级 数敛散性相同. 收敛时, 其和 σSSk.
性质4 收敛级数加括弧后 所成的级数仍收敛于
原级数的和.
证 设 S un 收敛，任意加括弧,
n1
无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数
傅氏级数 表示函数
无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
第一节
第十一章
常数项级数的 基本概念和性质
一、常数项级数的概念 二 、收敛级数的性质
一、常数项级数的概念
1. 引例
无穷级数的思想蕴涵在 无限循环小数概念之中
引例1 数1 化为小数 . 3
10.3 3 0.3, 且0.3 3
f(x)f(0)0
S nln 1 (1 )ln(1
1) 2
ln(1
1)ln1 (n) n
lim ln1 (n)
n
n l i m Sn
1
发散
n1n
(方法2)
un
1 n
n11 dx nn
常数项级数的概念和性质解析ppt课件
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim 1 (1 n 2
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
例4. 讨论等比级数 (又称几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若
则部分和
因此级数收敛
,
其和为
a 1q
;
因此级数发散 .
aa qn 1q
从而 lim Sn
一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质
一、常数项级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正
边形, 设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A . 即
引例2. 计算棒长.
一尺之棰,日取其半, 万世不竭. 棰长形成一个无穷数列
1 1
1
的收敛性.
13 35
(2n 1) (2n 1)
解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1( 1 2 2n
1
1 2n
), 1
sn
1 1
1
13 35
(2n 1) (2n 1)
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
[(
1 9
)n1
A1
]}
A1
3
1 9
A1
3 4 (1)2 9
A1
3 4n2
(
1 9
)n1
A1
A1{1
[
1 3
1(4) 39
1 (4)2 39
常数项级数的概念和性质.共73页PPT
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
常数项级数的概念和性质.
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
常数项级数的概念和性质.
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
11-1常数项级数39728 共24页PPT资料
从而
不存在 , 因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ; q 1时, 等比级数发散 .
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例2. 判别下列级数的敛散性:
解: (1)
Sn
ln 2 1
ln
3 2
ln 4 3
lnn1 n
( 2 l l 1 ) ( n n 3 l l 2 ) n n l n 1 n ) l n n (
lnn(1) (n ）技巧:
所以级数 (1) 发散 ;
利用 “拆项相消” 求 和
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(2) Sn1 1 22 1 33 1 4 n(n 1 1 )
1
1 2
1 2
1 3
1 3
1 4
n1 n1 n k
(级数的敛散性 项与 无,收 前 关敛 有和 限发.)生改
4. 收敛级数加括 敛.号 (逆 后命 仍题 收不 ). 成立
逆否 : 加括号后级 ,则数 原发 级散 数 . 发散
5.
n1un收 敛 n l i m un0.
(逆命题).不成
重1.要 逆 当 几 级q:何 数 否 n 1 l: 时 i 级 n m u 1n a 数 q收 ,n0 和 1(或 .s 敛 Sa n 不 ,当 a) 11q n qq存 1 n1 u 时 n发 在 发 ..散 散
n 1
n
部分:和Snuk.
k1
若 n l iS m n S ,则称 n 1 u n 收 级 ,记 S 敛 n 数 1 u n .
高等数学课件D1211常数项级数
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
2019/9/16
高等数学课件
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性质2. 设有两个收敛级数
S un , vn
n 1
n1
则级数 (un vn )也收敛, 其和为 S.
n1
n
n
证: 令 Sn uk , n vk , 则
n
从而 limSn
n
1aq
因此级数收敛
,
其和为
1
a
q
;
当q1时,由于 limqn,从而 limSn,
n
n
因此级数发散 .
2019/9/16
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2). 若 q 1,则
当q1时, Snna ,因此级数发散 ;
当q1时 ,级数成为 a a a a ( 1 )n 1 a
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
例如, 1 2 3 4 ( 1 )n 1n ,其一般项为
2345
n 1
un
(1)n1 n n1
当 n 时 ,un不趋于0, 因此这个级数发散.
2019/9/16
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2 12 1 3 13 1 4 14 1
an
1 n1
1
n1
n
2
1
n2
an
2
n 1
1 n
发散 , 从而原级数发散 .
调和级数
2019/9/16