一元二次方程的求根公式及根的判别式
一元二次方程根的判别式
3、若关于x的方程 kx2 2 x 1 0有两个不相等的
0
的实数根则 k _________ 0
2
4、若关于x的方程x 2 2 k x 1 0有 1x k 3 0有 1 且k 两个实数根则 k _______ 0 8
关于x的方程k 1x 2k 1x k 3 0
2
1 有两个实数根求k的取值范围 2 有实数根求k的取值范围
今天你学到了什么？
作业： m取何值时，关于 的方程 1、 x
2m 1x 2 4m x 2m 3 0 1有两个不等的实根 2有两个相等实数根 3有两个实数根 4没有实数根 5有实数根
2 、教材第 页第 题 43 14
1 有两个不相等的实数根。 2 有两个相等的实数根 3有两个实数根 4 没有实数根
1、若关于x的方程x 2 3x k 0有两个相等的
9 实数根则k ____ 4
1 2、若关于x的方程 x 2 2 x m 没有实数根则m ____
实数根则k _____且k 1
22.2
一元二次方程根的判别式
春来初中
王玉玲
复习回顾：
1、 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0的求根公式是什么?
2、用公式法解下列方程
1 3
2x 4x 1
2
2
y 2 2y 2 0
2
3x 2 x 1 0
2
由此可知一元二次方程的根的情况是由 2 2 b -4ac 的值来确定，故称 b -4ac
是一元二次方程ax bx c 0 a 0 的
2
根的判别式 2 用希腊字母‘‘△’’来表示，b -4ac 即△=
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式介绍在高中数学中，我们学习了一元二次方程及其解法。
一元二次方程是指形如ax2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知的实数，而x是未知数。
解一元二次方程的第一步是通过求解判别式来判断方程有几个实根。
判别式是一个用于判断方程有无实根的数值，它的值可以通过方程中的系数来计算。
判别式的计算公式判别式D的计算公式如下：D=b2−4ac其中，a、b、c分别是一元二次方程ax2+bx+c=0的系数。
判别式的值决定了一元二次方程的解的性质：•当D>0时，方程有两个不相等的实根。
•当D=0时，方程有两个相等的实根。
•当D<0时，方程没有实根，而是有两个共轭的复根。
数学实例让我们通过一个数学实例来理解一元二次方程根的判别式。
假设我们有一个一元二次方程2x2−5x+3=0。
根据判别式的计算公式，我们可以计算出判别式的值：$$D = (-5)^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot 3 = 25 - 24 = 1$$因为D>0，所以这个方程有两个不相等的实根。
接下来，我们可以通过求根公式来求解这个方程的根：$$x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{D}}{2a}$$代入方程的系数和判别式的值，我们可以得到：$$x = \\frac{-(-5) \\pm \\sqrt{1}}{2 \\cdot 2} = \\frac{5 \\pm 1}{4}$$所以，这个方程的两个根分别是 $x_1 = \\frac{6}{4} = \\frac{3}{2}$ 和 $x_2 = \\frac{4}{4} = 1$。
因此，一元二次方程2x2−5x+3=0的解是 $x = \\frac{3}{2}$ 和x=1。
结论判别式是一元二次方程根的重要工具，通过判别式可以判断方程的解的性质。
当判别式大于零时，方程有两个不相等的实根；当判别式等于零时，方程有两个相等的实根；当判别式小于零时，方程没有实根，而是有两个共轭的复根。
解一元二次方程——一元二次方程的根的判别式
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
课后作业
1 利用判别式判断下列方程的根的情况.
3
2
2
1 2 − 3 − = 0，
2
3 − 4 2 + 9 = 0，
2
9
2
2 16 − 24 + = 0，
2
2
4 3 + 10 = 2 + 8.
2 在不解方程的情况下，判断关于 的一元二次方程
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2�� + 6 = 0.
9
；
2
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
9
；
2
2
解： 化方程为 4 − 12 + 9 = 0.
= 4， = −12， = 9.
2
= − 4
2
= (−12) − 4 × 4 × 9
+ = 0.
移项，得
2
=−
.
2
+
=−
.
配方，得
2
+
+
2
+
2
2
2
=− +
2
− 4
=
.
2
4
2
,
2
2
+
2
2
− 4
=
.
九年级数学一元二次方程的解法根的判别式
典型例题
例1不解方程，判断下列方程根的情况： 不解方程，判断下列方程根的情况： x（1）-x2+ 2 6 x-6=0 （2）x2+4x=2 +1=（3）4x2+1=-3x 2mx+4 （4）x2-2mx+4（m-1）=0 解（1）∵b2-4ac=24-4×（-1）×（-6）=0 ） × ） ） ∴该方程有两个相等的实数根
尝试：
不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？ 不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
⑴ x2＋2x－8 = 0 － ⑵ x2 = 4x－4 － ⑶ x2－3x =－3 －
答案：（ ）有两个不相等的实数根； 答案：（1）有两个不相等的实数根； ：（ （2）有两个相等的实数根； ）有两个相等的实数根；
当一元二次方程有两个不相等的实数根时， 当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2－4ac＞0 当一元二次方程有两个相等的实数根时， 当一元二次方程有两个相等的实数根时， b2－4ac = 0 当一元二次方程没有实数根时， 当一元二次方程没有实数根时，b2－4ac ＜ 0
概念巩固
1.方程 2+2=4x的判别式 2-4ac= -8 方程3x 的判别式b 方程 的判别式 . 所以方程的根的情况是 方程无实数根
典型例题
为任意实数， 例2 ：m为任意实数，试说明关于 的方程 为任意实数 试说明关于x的方程 x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等 （ ） （ ） 恒有两个不相等 的实数根。 的实数根。
解：b 2 − 4ac = [− (m − 1)]2 − 4[3(m + 3)]
= m 2 + 10m + 37
典型例题
2
一元二次方程的求根公式是啥
一元二次方程的求根公式是啥求根公式分为两个部分：计算判别式和计算根的表达式。
首先，计算判别式，判别式是Δ = b^2 - 4ac。
判别式Δ 可以帮助我们判断方程有多少个实根，根的类型以及相应的解。
如果Δ>0，方程有两个实根（不相等），公式为x=(-b±√Δ)/(2a)。
如果Δ=0，方程有一个实根（重根），公式为x=-b/(2a)。
如果Δ<0，方程没有实根，存在复数解，公式为x=(-b±i√，Δ，)/(2a)，其中i是虚数单位。
接下来，我们将详细解释三种情况的求根公式。
1.当Δ>0时，方程有两个实根（不相等），根的公式为x=(-b±√Δ)/(2a)。
在这种情况下，我们需要计算两个不同的实根。
例如，给定方程2x^2+5x-3=0，则有a=2，b=5，c=-3由判别式Δ = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(2)(-3) = 49，显然Δ > 0。
根据一元二次方程的求根公式，我们计算两个实根：x1=(-5+√49)/(2*2)=(-5+7)/4=2/4=0.5x2=(-5-√49)/(2*2)=(-5-7)/4=-12/4=-3因此，方程2x^2+5x-3=0的两个实根分别为0.5和-32.当Δ=0时，方程有一个实根（重根），根的公式为x=-b/(2a)。
在这种情况下，方程只有一个解，解是重根。
例如，给定方程x^2+6x+9=0，则有a=1，b=6，c=9根据判别式Δ = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(9) = 0，显然Δ = 0。
根据一元二次方程的求根公式，我们计算重根：x=-6/(2*1)=-6/2=-3因此，方程x^2+6x+9=0的一个实根是-33.当Δ<0时，方程没有实根，存在复数解，根的公式为x=(-b±i√，Δ，)/(2a)。
在这种情况下，方程没有实数解，但可以使用复数单位i表示解。
例如，给定方程x^2+2x+5=0，则有a=1，b=2，c=5根据判别式Δ = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(5) = -16，显然Δ < 0。
一元二次方程求根公式总结
一元二次方程求根公式是数学中的一个重要知识点，下面总结了一元二次方程求根公式，供大家参考。
一元二次方程求根公式当Δ=b^2-4ac≥0时,x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a当Δ=b^2-4ac＜0时,x={-b±[(4ac-b^2)^(1/2)]i}/2a只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
它的标准形式为:ax²+bx+c=0（a≠0）其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
一元二次方程的解法（一）开平方法形如(X-m)²=n (n≥0)一元二次方程可以直接开平方法求得解为X=m±√n。
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。
②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。
③方法是根据平方根的意义开平方。
（二）配方法用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为一般形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
（三）求根公式用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式aX²+bX+c=0，确定a,b,c的值（注意符号）；②求出判别式△=b²-4ac的值，判断根的情况.若△<0原方程无实根;若△>0，X=((-b)±√(△))/(2a)。
第五讲 公式法解一元二次方程和根的判别1
第五讲公式法解一元二次方程和根的判别式一、求根公式法：1.一般地，对于一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)，当时，它有两个实数根为这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。
2.利用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）先把方程化为一般形式，即a+bx+c=0(a≠0)的形式；（2）正确地确定方程各项的系数a,b,c的值（注意正负号）；（3）当-4ac<0时，方程没有实数根，就不需要解了（负数开方没有意义）；（4）当-4ac≥0时，将a,b,c的值代入求根公式，求出方程的两个根。
二、一元二次方程的几种解法的联系及其特点：1.直接开平方法：适用于解形如=m(p≠0,m≥0)的方程，是配方法的基础。
2.配方法：是解一元二次方程通用的方法，是公式法法基础，没有配方法就没有公式法。
3.公式法：是解一元二次方程通用的方法，是解一元二次方程重要的方法。
4.因式分解法：是解一元二次方程比较简单的方法，但只适用于左边易因式分解而右边为0的一元二次方程。
（各种方法各有各的特点，具体选择解法根据方程特征）三、一元二次方程根的判别式：1.-4ac叫做一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用符合“△”来表示，即△=2.一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)的根的情况与△的关系：△>0 <＝>△=0 <＝>△<0 <＝>△≥0 <＝>例1.用公式法解方程：变式1：用公式法解方程：3+5x-2=0变式2：解关于x的方程：-m(3x-2m+n)-=0例2.选择适当的方法解下列方程：（1）7(=28 (2)-2y-399=0(3)2+1=2x (4)+3(2x+1)+2=0变式1：解方程：-y=-例3.不解方程，判断下列方程根的情况:(1)2+3x-4=0 (2)3+2=2x (3)+1= (4)a+bx=0(a≠0) （5）a+c=0(a≠0)变式1：关于X的方程+m（x+1）+x=0一定有实数根吗？为什么？例4．已知关于X的方程k-4kx+k-5=0有两个相等的实数根，求K的值并解这个方程。
一元二次方程求根公式及讲解
主讲：黄冈中学高级教师一、一周知识概述1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．二、重难点知识总结1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。
(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。
(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。
(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。
如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。
(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。
2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)；(2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为a=1，，c=10所以所以(2)原方程可化为因为a=1，，c=2所以所以.(3)原方程可化为因为a=1，，c=－1所以所以；所以．总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：① ②③ ④⑤ ⑥⑦分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。
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一元二次方程的求根公式及根的判别式
主讲：黄冈中学高级教师余国琴
一、一周知识概述
1、一元二次方程的求根公式
将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为
．
该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．
说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；
(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；
(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.
2、一元二次方程的根的判别式
（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．
二、重难点知识
1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。
(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。
(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。
(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。
如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。
(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实
根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。
2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：
（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；
（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；
（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是
三、典型例题讲解
例1、解下列方程：
(1)；(2)；(3).
分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，
解：(1)因为a=1，，c=10
所以
所以
(2)原方程可化为
因为a=1，，c=2
所以
所以.
(3)原方程可化为
因为a=1，，c=－1
所以
所以；
所以．
总结：
(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；
(2)用求根公式法解方程按步骤进行．
例2、用适当方法解下列方程：
①②
③④
⑤⑥
⑦
分析：
要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。
就直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法这四种方法而言，配方法、公式法是一般方法，而开平方法、因式分解法是特殊方法。
⑴公式法是最一般的方法，只要明确了二次项系数、一次项系数和常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入一元二次方程的求根公式
求值，所以对某些方程，解法又显得复杂了。
如①，可以直接开平方，就能马上得出解；若此时还用求根公式就显得繁琐了。
⑵配方法是一种非常重要的方法，在解一元二次方程时，一般不使用，但并不是一定不用，若能合理地使用，也能起到简便的作用。
若方程中的一次项系数有因数是偶数，则可使用，计算量也不大。
如②，因为224比较大，分解时较繁，此题中一次项系数是-2。
可以
利用用配方法来解，经过配方之后得到，显得很简单。
⑶直接开平方法一般解符合型的方程，如第①小题。
⑷因式分解法是一种常用的方法，它的特点是解法简单，故它是解题中首先考虑的方法，若一元二次方程的一般式的左边不能分解为整数系数因式或系数较大难以分解时，应考虑变换方法。
解：①
两边开平方，得
所以
②
配方，得
所以
所以
③
配方，得
所以
所以
④
因为
所以=4＋20=24
所以
所以
⑤
配方：
所以
所以
⑥
整理，得
所以
⑦
移项，提公因式，得
所以
小结：
以上各题请同学们用其他方法做一做，再比较各种方法的优缺点，体会如何选用合适的方法，下面给出常规思考方法，仅作参考。
例3、已知关于x的方程ax2－3x＋1=0有实根，求a的取值范围.
解：当a=0时，原方程有实根为
若a≠0时，当原方程有两个实根.
故，综上所述a的取值范围是.
小结：
此题要分方程ax2－3x＋1=0为一元一次方程和一元二次方程时讨论，即分当a=0与a≠0两种情况．
例4、已知一元二次方程x2－4x＋k=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2－4x＋k=0与x2＋mx－1=0有一个相同的根，求此时m的值.
解：(1)因为方程x2－4x＋k=0有两个不相等的实数根，
所以b2－4ac=16－4k>0，得k<4.
(2)满足k<4的最大整数，即k=3.
此时方程为x2－4x＋3=0，解得x1=1，x2=3.
①当相同的根为x=1时，则1＋m－1=0，得m=0；
②当相同的根为x=3时，则9＋3m－1=0，得
所以m的值为0或
例5、设m为自然数，且3<m<40，方程有两个整数根求m的值及方程的根。
解：，
∵方程有整数根，
∴4（2m＋1）是完全平方数。
∵3<m<40∴7<2m＋1<81
∴2m＋1值可以为9，25，49
∴m的值可以为4，12，24。
当m=4时方程为解得x=2或x=8
当m=12时方程为解得x=26或x=16
当m=24时方程为解得x=52或x=38
总结：
本题先由整数根确定2m＋1是完全平方数，再由3<m<40中m为整数确定m的值，再分别试验求x，是本题特点。