高考数学总复习_热点专题突破系列(五-六)圆锥曲线方程与概率与统计的综合问题
1 2(y0 1) (2 x 0 ) y 0 1 2 定值 . 2y0 x 0 2 2
则直线BP的方程为
1 解得 y k(x 2)(k 0, k ) 2 2 2 直线AD的方程为： 8k 2 4k ②. x 2 P( 2 , 2 ). y 1 ， 4k 1 4k 1 4 1 y x 1 2
①，
将①代入
联立①②解得 M( 4k 2 , 4k ). 4k 2k 1 2k 1 由D(0,1), 8k 2 2 N(x,0)三点共线可知 4k 2 1 1 0 1 4k , P( 2 , 2 ), 2 8k 2 x 0 4k 1 4k 1 即 0 2
【加固训练】(2015·保定模拟)设椭圆E： x y 1(a b 0) a 2 b2 的离心率为 2 且过点 6
2 . (1)求椭圆E的方程 e , (1, 2 ).
2
2
(2)设椭圆E的左顶点是A，若直线l:x-my-t=0与椭圆E相交于不同的两 点M，N(M，N与A均不重合)，若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标.
解得 x 18t , y 6 x 2 54 2t , 2 2 2 27 t 2 t 27 t 2 所以 18t 54 27m (2 m)t 2
2
27 t 因为 QM ∥ QN, 所以
QN (
2
,
27 t
2
),
6t 54 27m (2 m)t 2 18t (2 m)t 2 6 3m 2)=0,所以 0, 所以(1-m)(9+t 3 t2 27 t 2 m=1, 27 t 2 3 t2
2(y 0 1)(x 0 2) 2y 0 2 y 0 (x 0 2) (2y0 x 0 2)(x 0 2) 1 2(y0 1)(x 0 2) (4 x 0 2 ) y 0 (x 0 2) 2 (2y0 x 0 2)(x 0 2)
若直线MN经过定点Q,则Q必在y轴上,设Q(0,m),
当点P不在y轴上时,
设P(t,4),M(x1,y1),N(x2,y2),
因为A1(0,2),A2(0,-2), 所以直线PA1的方程为 直线PA2的方程为 6 2 y x 2, y x 2, t t 将 代入 2 2 2 y x y 2x 22 1, 得(3+t t )x +6tx=0,4 3 解得
x2 y 2 1. 3
当
c 2或c 2
c 2
(2)由
APAQ 0，
知AP⊥AQ,
从而直线AP与坐标轴不垂直， 由A(0,1)可设直线AP的方程为y=kx+1, 直线AQ的方程为
1 y x 1 k 0 . 将y=kx+1代入椭圆C的方程 并整理得： k 2 x (1+3k2)x2+6kx=0, y2 1 3
(1)求椭圆C的方程. (2)设椭圆C与y轴的两个交点为A1,A2,点P在直线y=a2上,直线PA1,PA2 分别与椭圆C交于M,N两点.试问:当点P在直线y=a2上运动时,直线MN是
( ,1)， 2
否恒过定点Q?证明你的结论.
【解题提示】(1)由点 ( 3 ,1) 在椭圆C上及F(0,-1)可求椭圆C的方程. (2)先利用P的特殊位置，即P在y轴上时，确定若直线MN恒过定点，则 该定点一定在y轴上，然后利用三点共线的条件解决.
所以当点P在直线y=a2上运动时，直线MN恒经过定点Q(0,1).
【规律方法】圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再 研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点. (2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该 定点与变量无关.
【解析】(1)将圆M的一般方程x2+y2-6x-2y+7=0化为标准方程(x-3)2
+(y-1)2=3,
圆M的圆心为M(3,1),半径
由A(0,1),F(c,0) 得直线AF:
x c
r 3.
(c 即 x+cy-c=0, a 2 1)
由直线AF与圆 相切，得 M y 1, (舍去). 3 c c 3, c2 1 2 2 时,a =c +1=3,故椭圆C的方程为C:
x1+x2=m(y1+y2)+2t=
所以AM⊥AN, 所以
AMAN
=(x1+2,y1)·(x2+2,y2)=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2
2t 2 4m2 4t t 2 4 3t 2 8t 4 (t 2)(3t 2) 2 2 4 2 0. 2 2 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2
(1)求椭圆C的方程. (2)如图，A,B,D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直 线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m， 证明:2m-k为定值.
【解题提示】(1)借助椭圆中a2=b2+c2的关系及两个已知条件即可求 解.(2)可以写出BP的直线方程,分别联立椭圆方程及AD的方程表示出 点P,M的坐标,再利用DP与x轴表示点N的坐标,最终把m表示成k的形式,
【变式训练】(2015·南京模拟)如图，已知 椭圆C: x 2
2
a 点为F，直线 AF与圆M:x2+y2-6x-2y+7=0相切.
y 1(a 1)
2
的上顶点为A，右焦
(1)求椭圆C的方程.
(2)若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且
求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标.
APAQ 0,
4k 2 ， 所以点2k 1 4k 2 N( ,0). 所以MN的斜率为 2k 1 m x
4k 1
4k 0 2k 1 4k 2 4k 2 2k 1 2k 1
则
4k(2k 1) 2k 1 ). (定值 , 2 2 2(2k 1) 2(2k 1) 4 2k 1 1 2m k k 2 2
因为M，N与A均不重合，所以t≠-2,
所以
2 直线l过定点 2 2 直线l的方程是 x my ， T( ,0), t ， 3 3 3 由于点T在椭圆内部，故满足判别式大于 0，
所以直线l过定点
2 T( ,0). 3
考点二
圆锥曲线中的定值问题
【考情分析】该问题常涉及直线、圆锥曲线、向量等问题,是高考热
2
2 2 【规范解答】(1)由题意知c=1,可设椭圆方程为 y x 1, 2 2 1 b b 因为 3 在椭圆上，所以 1 解得b2=3, 9
( ,1) 2 所以椭圆的方程为
y x 1. (2)假设存在定点Q.4 3
2
2
1 b
2
4b
2
1,
当点P在y轴上时,M,N分别与A1,A2重合,
就可求出定值;另外也可设点P的坐标,把k与m都用点P的坐标来表示.
【规范解答】(1) 因为 e 3 c ， 所以 a 2 c， 2 a 3 2 2 2 又由a =b +c 得 代入a+b=3， 1 得
b 3 c，
故椭圆C的方程为
c 3,a 2,b 1.
x2 2 y 1. (2)因为B(2,0)，P4 不为椭圆顶点，
热点专题突破系列(五) 圆锥曲线的综合问题
考点一
圆锥曲线中的定点问题
【考情分析】以直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线为背景,通过巧妙 设计和整合命题,常与一元二次方程、向量、斜率、距离等知识交汇 考查.
2 2 【典例1】(2014·西安模拟)已知椭圆C: y x 1(a b 0) 经过点 a 2 b2 一个焦点是F(0,-1). 3
6t 2 2t 2 6 所以 x1 , y1 x1 2 , 2 2 3 t t 3 t 2 6t (2 m)t 6 3m 将 代入 QM ( , ), 2 2 3 t 2 3 t 2)x2-18tx=0, 2 得(27+t 6 y x y x2 1 ， t 4 3
【一题多解】解决本例(2)，你知道几种解法？ 解答本题，还有如下方法： 设P(x0,y0)(x0≠0,〒2)， 则 直线AD的方程为
y0 k ， 直线BPx 的方程为 0 2
1 y 直线 (x 的方程为 2)， DP 2
y0 y 1 y 令y=0，由于y0≠1，可得 y 1 0 x. x 2 ， x0 2 x0 x N( 0 ,0). y0 1 解 1 y x 2, 4y0 2x 0 4 4y0 2 可得 M( , )， 2y0 x 0 2 2y0 x 0 2 y0 y x 2 x0 2
2
2
)
把它代入E的方程得:(m2+2)y2+2mty+t2-4=0,
设M(x1,y1)，N(x2,y2)得：
2mt t2 4 y1 y 2 2 , y1y 2 2 , m 2 m 2
4t x1x2=(my1+t)(my2+t) , 2 m 2 2 2 =m y1y2+tm(y1+y2)+t = 2t 2 4m2 . 2 mA， 2 因为以MN为直径的圆过点
4y 0 0 所以MN的斜率为 m 2y 0 x 0 2 4y 0 2x 0 4 x 0 2y 0 x 0 2 y 0 1
4y0 (y0 1) 4y0 2 8y0 4x 0 y0 x 0 2 4 4y0 (y0 1) y0 1 . 故 4y0 2 8y0 4x 0 y0 (4 4y0 2 ) 4 2y0 x 0 2 2(y0 1) y0 2m k 2y0 x 0 2 x 0 2 2(y0 1)(x 0 2) y0 (2y0 x 0 2) (2y0 x 0 2)(x 0 2)
世纪金榜高三文科数学总复习热点专题突破系列五圆锥曲线的综合问题PPT学习教案
x2
18t 27 t2
,
y2
6 t
x2
2
54 2t2 27 t2
,
18t 54 27m (2 m)t2
QN ( 27 t2 ,
27 t2
),
QM∥QN,
3
6t t
2
54
27m (2 27 t2
m)t 2
18t 27 t2
(2
m)t 2 3
6 t2
3m
0,
第6页/共56页
y 2x2 t
y 2 x 2, t
y2 x2 1, 43
6t
2
2t2 6
x1 3 t2 , y1 t x1 2 3 t2 ,
QM
(
3
6t t2
,
(2
m)t 2 3
6 t2
3m
),
y 6x2
y2 x2 1，
t
43
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y 6 x 2, t
解得
所以
因为
所以 所以(1-m)(9+t2)=0,所 以m=1, 所以当点 P在直 线y=a2上运动 时，直 线MN 恒经过 定点Q(0 ,1).
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
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【解题提 示】(1) 借助椭 圆中a2=b2+c2的关系及两 个已知 条件即 可求解.( 2)可以 写出BP 的直线 方程, 分别联 立椭圆 方程及A D的方 程表示 出点P, M的坐 标,再利 用DP 与x轴表 示点N 的坐标, 最终把m表示 成k的 形式,就 可求出 定值;另 外也可 设点P 的坐标, 把k与m都用点 P的坐 标来表 示.
【规律方法】圆锥曲线中定点问题的 两种解 法 (1)引进参数法:引进动点的坐标或动线 中系数 为参数 表示变 化量,再研究 变化的 量与参 数何时 没有关 系,找到 定点. (2)特殊到一般法:根据动点或动线的特 殊情况 探索出 定点,再证明 该定点 与变量 无关.
最新高考数学总复习-圆锥曲线综合
第六节圆锥曲线综合考纲解读1.掌握与圆锥曲线相关的最值、定值和参数范围问题.2.会办理动曲线（含直线）过定点的问题.3.会证明与曲线上的动点相关的定值问题.4.会按条件成立目标函数，研究变量的最值及取值范围问题，注意运用数形联合法和几何法求某些量的最值.命题趋向研究从内容上看，展望2015 年高考主要考察两大类问题：一是依据条件，求出表示平面曲线的方程；二是经过方程，研究平面曲线的性质，其热门有：①以客观题的形式考察圆锥曲线的基本观点和性质；②求平面曲线的方程和轨迹；③圆锥曲线的相关元素计算、关系证明或范围确立；④波及圆锥曲线对称变换、最值或地点关系的相关问题.从形式上看，以解答题为主，难度较大.从能力要求上看，要修业生具备必定的数形联合、剖析问题和解决问题及运算能力.知识点精讲一、定值问题分析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决 . 证明过程可总结为“变量—函数—定值” ，详细操作程序以下：（1）变量 ---- 选择适合的量为变量 .（2）函数 ---- 把要证明为定值的量表示成变量的函数.（3）定值 ---- 化简获得的函数分析式，消去变量获得定值.求定值问题常有的方法有两种：（ 1）从特别状况下手，求出定值，再证明该定值与变量没关；（ 2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，进而获得定值.二、求最值问题常用的两种方法（ 1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特点，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法 .（ 2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特点不明显，则能够成立目标函数，再求该函数的最值 . 求函数的最值常有的方法有基本不等式法、单一性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法 .三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视”（ 1）重视定义在解题中的作用( 把定义作为解题的着眼点).（ 2）重视曲线的几何特点特别是平面几何性质与方程的代数特点在解题中的作用.（ 3）重视根与系数的关系在解题中的作用( 波及弦长、中点要用根与系数的关系).四、求参数的取值范围据已知条件及题目要求等量或不等量关系，再求参数的范围.题型概括及思路提示题型 150 平面向量在分析几何中的应用思路提示解决平面向量在分析几何中的应用要把几何特点转变成向量关系，并把向量用坐标表示.常有的应用有以下两个方面.r r r r r r（1）用向量的数目积解决相关角的问题. 直角agb 0 ,钝角agb0 (且 a, b 不反向),精选文档r rr r 锐角agb0 ( 且 a, b 不一样向 ).（2）利用向量的坐标表示解决共线问题.一、利用向量的数目积解决相关夹角（锐角、直角、钝角）的问题其步骤是：先写出向量坐标式，再用向量数目积的坐标公式cosr rx 1 x 2 y 1 y 2a,bx 12y 12x 22y 22例 10.44过抛物线 x 22 py ( p 0) 的焦点 F 作直线交抛物线于A ,B 两点， O 为坐标原点 .求证：△的是钝角三角形 .ABO剖析证明△ ABO 的是钝角三角形常用的方法是利用余弦定理，但用余弦定理来解决需计算OB ,OA, ABuuur uuur AOB出 的长，明显较复杂 . 因为 O , A , Bg不共线，故可利用 OA OB 0 来证明∠＞90°，进而得证 .分析设 A( x 1, y 1 ) ， B( x 2 , y 2 ) , 抛物线 x 22 py( p 0) 的焦点坐标 F (0, p) .AB 的斜率存在 ( 若不存在，则 A , B 在原点，矛盾 ) ，2依据题意知，直线p，由ykxp设直线 AB 的方程为 y kx2 ，得 x 22 pkxp 20 ，2x 22 py则x 1x 2 2pk ， x 1 x 2p 2 .因为 A , B 两点在抛物线上，所以x 12 2 py 1 ， x 222 py 2 ，两式相乘得，y 1 y 2x 12 x 22p 2 .4 p24uuur， uuur, uuur uuur2p 23p 2g，OA (x 1 , y 1 ) OB (x 2 , y 2 )y 1 y 2p0 OA OB x 1 x 244又因为 , ,三点不共线，所以∠ ＞90°，△ 的是钝角三角形 .O A BAOBABO评注直线 l 与抛物线 x 22 py( p 0) 交于 A , B 两点，则（ 1）直线 l 在 y 轴上的截距等于 2 p 时，∠ AOB ＝90°；（ 2）直线 l 在 y 轴上的截距大于 2 p 时，∠ AOB ＜90°；（ 3）直线 l 在 y 轴上的截距大于0 且小于 2 p 时，∠ AOB ＞90° .变式 1（ 2012 重庆理 20）如图 10-34 所示，设椭圆的中心为原点O ，长轴在 x 轴上，上 极点为 ，左右焦点分别为 1, 2，线段 1,2 的中点分别为 1, 2，且△ 1 2 是面积为 4 的AF FOF OFB BABB直角三角形 .精选文档（1）求该椭圆的离心率和标准方程；（2）过B1作直线l交椭圆于P, Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程 .变式2设 ,分别为椭圆x2y2P x 4(4,0)A B为直线上不一样于的任4的左右极点，3意一点，若直线AP, BP分别与椭圆交于异于A, B的点 M, N，证明：点 B 在以 MN为直径的圆内.变式 3已知m 1，直线l : x m 2x2y2112Cmy0,椭圆C:，F , F 分别为椭圆2m2的左右焦点 .（ 1）当直线l过右焦点 F2时，求直线l的方程；（ 2）设直线l与椭圆C交于 ,两点，△ 1 2和△ 1 2 和的重心分别是, ；若原点OA B AFF BFF G H在以线段 GH为直径的圆内，务实数m 的取值范围.例 10.45 在直角坐标系xOy 中，点P到两点 (0, 3) , (0,3) 的距离之和等于4，设点P 的轨迹为 C，直线y kx 1与C交于A,B两点.（1）写出C的方程；uuur uuur（ 2）若OA⊥OB , 求k的值 .分析（ 1）设P(x, y)，由椭圆定义可知，点P 的轨迹 C 是以(0, 3),(0,3) 为焦点，精选文档精选文档长半轴为 2 的椭圆 . 其短半轴 b1 ，故曲线 C 的方程为 x2 y 21 .42y 2 1，即(k2（2）设A( x 1 , y 1 ) ， B( x 2 , y 2 ) , 由 x44) x 2 2kx3 0 ，由韦达定理ykx 1 知，x 1 x 22k，x 1 x 23k 2 4k 2 .uuur uuur40 ，而 y 1 y 2k 2 x 1 x 2若 OA ⊥ OB , 即 x 1 x 2 y 1 y 2 k (x 1x 2 ) 1，所以 x 1 x 2 y 1 y 2 (k 21)(k 3 ) k (2k) 1 0 ，即 4k 2 1 0 ，12 4k 2 4解得 k.2uuur 评注 此题的结论可由 【例 10.44 变式 3】的评注中的重要结论顺利获得：由题意， OA ⊥uuurOHd ，则有11 15 OB , 故有∠ AOB ＝90°，设原点 O 到直线的距离为2a 2b 2，OH4故可得 OHd2 ，又 y kx 1 ，所以 d1 12 ，解得 k1 . 利用此结5k 252论求解， 能够对利用惯例方法求解出的结果加以考证， 进而提升解题的正确率，做到胸有成竹.变式 1 如图 10-35 所示，椭圆x 2y 2的极点为 A 1 A 2B 1 B 2，焦点为 F 1F 2，C :a 2b 21(ab 0) , ,, ,A 1B 1 7 ,SY B 1 A 1B 2 A 22SY B 1 F 1B 2 F 2 .(1) 求椭圆 C 的方程； （ 2）设 n 为过原点的直线， l 是与 n 垂直订交于 P 点, 与椭圆订交于uuur 1 ，能否存在上述直线 uuur uuur0 成立？若存在求出直线l 的A ,B 两点的直线， OPl 使 OAgOB 方程；若不存在，请说明原由.精选文档变式 2 如图 10-36 所示，椭圆C :x2y 21(a b 0) 的一个焦点是F(1,0) ，O为坐标a2b2原点，设过点 F 的直线l交椭圆于 A, B 两点.若直线l绕点 F 任意转动，恒有222OA OB AB ,求a的取值范围.二、利用向量的坐标表示解决共线问题r r r r向量 a, b 共线的条件是 a b 或 x1 y2x2 y1.例 10.46 在平面直角坐标系xOy 中，经过点 (0,2) 且斜率为k的直线l与椭圆x2y21 2有两个不一样的交点 P, Q.（1）求k的取值范围；uuury A B k（2）设椭圆与x轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，使得向量OP, ，能否存在常数uuur uuurk 的值；若不存在，请说明原由.＋ OQ 与 AB 共线？若存在，求剖析将向量共线转变成坐标关系求解.解析（ 1 ）设直线l方程为 y kx2，代入椭圆得x2(kx2) 2 1 即2(2 k21)x242kx 20 ，①则(42k) 24(2k 21)2 16k 280，解得 k2, 或k2.22uuur uuur（ 2）设P( x1, y1)，Q ( x2, y2) , 则OP＋OQ＝(x1x2 , y1y2 ) ，由方程①得 x1x242k ，②12k 2y1y2k( x1x2 ) 2 2 ，③精选文档又 A( 2,0), B(0,1)uuur( 2,1) .,∴ ABuuur uuur uuur所以向量 OP ＋ OQ 与 AB 共线等价于 x 1x 22( y 1y 2 ) ，将②③代入上式，解得k2，2由（ 1）知 k2, 或 k2，故没有切合题意的常数k .2 2变式 1 设椭圆x 2y 2 1(a b 0) 的左右焦点分别为F , F ，离心率 e2，直线a2b21222uuuur uuuuraM N 是 l 上的两个动点， 0.l : x1 g 2，如图 10-37 所示， ,F M F Ncuuuuruuuur（ 1）若 F 1M F 2 N2 5 ，求 a, b 的值；（ 2）证明：当 uuuuruuuur uuuur uuuur共线 .MN 取最小值时， F M F N 与 F F 212 1设 A , B 是椭圆x2 y2uuuruuur 例 10.471 上的两点，并且点N ( 2,0) 知足 NANB ,当2精选文档1 1 [ , ] 时，求直线 AB 斜率的取值范围 .5 3表示 k ，打破口在于将剖析已知 的取值范围，求直线斜率范围重点在于怎样用uuur uuur NA NB 转变成坐标关系 .uuur uuurB , N 三点共线，又点N 的坐标为 ( 2,0) ，设直线 AB 的分析 因为 NANB ，所以 A , 方程为 yk (x2) ，则 k 0 ，由 x 2y 21，消去 x 得 (2 k 21) y 24ky 2k 220 ，yk( x 2)由条件可知，k( 4k)2 4(2k 2 1) 2k 2 0解得 0 k2 .2设 A( x 1 , y 1 ) ， B( x 2 , y 2 ) , 则 y 1 y 24k ， y 1 y 22k21 2k 21，2k 2uuuruuur由 NANB ，得 ( x 1 2, y 1)(x 22, y 2 ) .x 1 2 ( x 2 2) y 1 y 2 (1 ) y 24k12k 2所以有，y 1y 22k2，y 1 y 22y 2 1 2k 2消去 y 2 得(1)28 ，令 h( ) (1)212 ，[ 1, 1] ，则 h( ) 在1 2k 25 3区间 [ 1 , 1] 上为减函数，进而 16 ≤8 ≤36. 解得1 ≤ k ≤2 或≤ k ≤，切合 5 331 2k2 52 60 k2 ，所以直线 AB 斜率的取值范围为 [1 ,2 ] ∪ [2 , 1].22662评注 此题在消元上有个技巧，当x 1x 2 时消去 y 得对于 x 的一元二次方程 .x 1 x 2 (1)x 2b， x 1 x 2x 22c，消去 x 2 就会得与 a, b, c 之间的关系；当a ay 1 y 2 时消去 x .变式 1 已知 F 1 , F 2 分别为椭圆 x 2y 2 1132的左右焦点，直线 l 1 过点 F 且垂直于椭圆的长轴，动直线 l 2 垂直于直线 l 1 ，垂足为 D ，线段 DF 的垂直均分线交 l 2 于点 M . （1）求动点 M 的轨2精选文档精选文档迹 C 的方程；uuuruuur（ 2）过点 F 1 作直线交曲线 C 于两个不一样的点[2,3] ，求P 和Q ，设FPFQ ,若11uuuur uuuurF 2 PgF 2Q 的取值范围 .变式 2 过点 F (1,0) 的直线交抛物线y 24x于 A B 两点，交直线 l : x 1 于点 M ，已知,uuuruuur uuur uuurMA1 AF , MB 2BF ,求 12的值.题型 151定点问题思路提示（ 1）直线过定点，由对称性知定点一般在座标轴上，如直线y kx b ，若 b 为常量，则直线恒过 (0, b) 点；若 b为常量，则直线恒过 ( b ,0) .kk（ 2）一般曲线过定点，把曲线方程变成f 1 ( x, y)f 2 (x, y) 0 （ 为参数），解方程组f 1 ( x, y) 0即得定点 .f 2 ( x, y)模型一：三大圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中的极点直角三角形的斜边所在的直线过定点 .例 10.48 已知椭圆x 2y 2 1，直线 l : ykx m 与椭圆交于 A , B 两点（A , B 不是原点），43且以 AB 为直径的圆过椭圆的右极点 . 求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标 .剖析要求直线过定点，一定知道直线l : ykx m 中 k 与 m 的关系 .x 2 y 21，消去 y 得分析设 A(x 1, y 1 ) ， B(x 2 , y 2 ) , 由4 3y kx m(4 k 2 3) x 2 8kmx 4m 2 120 ，由条件可知，(8km)24(4k 2 3)(4 m 2 12) 0 ，即 m 2 4k 23 ，则 x 1x 28km 3 ， x 1 x 2 4m 212，（** ）4k 24k 2 3精选文档精选文档因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右极点(2,0) ，所以 ( x 1 2, y 1 )g( x 2 2, y 2 ) 0 ，即 x 1 x 2 2( x 1 x 2 ) 4y 1 y 2 0 ，即 x 1 x 2 2( x 1 x 2 )4 (kx 1 m)(kx 2 m)0 ，整理得， (k 21) x 1 x 2 (km 2)( x 1 x 2 ) m 24 0 ，将（ ** ）代入，化简得7m 2 16km4k 20 ，即 m2k 或 m2k .7（ 1）当（ 2）当m 2k 时， l : y kx 2k 过右极点 (2,0) ，与题意不符，故舍去；m2k 时， l : y kx 2k 过定点 ( 2 ,0) ，且知足 m 24k 23，切合 .77 7所以 l : ykx m 过定点 ( 2 ,0) .7评注 x 2y 21(a b0)l : ykx m已知椭圆，直线,a 2b 2与椭圆交于 A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右极点 A 1, 求证：如图10-38 所示，设 A(x 1, y 1 ) ， B( x 2 , y 2 ) , 由x 2y 21，消去 y 得 a 2 b 2y kx m(a 2 k 2 b 2 )x 22a 2 kmx a 2m 2 a 2b 20 ，由条件可知，(2a 2 km) 2 4( a 2 k 2 b 2 )(a 2 m 2 a 2 b 2 ) 0 ，即 m 2a 2k 2b 2 . （注：截距的平方小于二次方程的二次项系数，请记着！ ）则 x 1 x 22a 2km， x 1 x 2 a 2 (m 2 b 2 ) ，（** ）a 2 k 2b 2 a 2 k 2 b 2因为AB 为直径的圆过椭圆的右极点1, 所以A (a,0)uuur uuur , 又 uuur uuurAAAB 0A A ( x a, y ) ， AB ( x2a, y )1g111112所以 ( x 1a, y 1 )g( x 2 a, y 2 ) 0，即 x 1 x 2 a(x 1x 2 ) a 2 y 1 y 2 0 ，精选文档精选文档即 x1x2 a( x1 x2 ) a 2(kx1m)(kx2m)0 ，整理得， (k 21) x1 x2(km a)( x1 x2 )m2a20 ，将（**）代入，化简得(m ak)[( a2b2 ) m a(a2b2 )k] 0 .（1）当m ak 时，l : y kx ak 过右极点 (a,0) ，与题意不符，故舍去；（ 2）当m a(a2b2 )k时， l : y kx a(aa2b2a 2b2 )k过定点( a(a2b2 ),0) ，且知足2b2a2b2m2a2 k2b2，切合题意.所以， l : y kx m过定点( a( a2b2 ),0) .a2b2同理可证，若AB为直径的圆过左极点(a,0) ,则l过定点 (a(a2b2 ),0) ；a2b2过上极点 (0, b) 时，l过定点b(b2a2 ) (0,2b2)；a过下极点 (0,b) 时，l过定点 (0,b(b2a2 )a2b2) .类比椭圆，对于双曲线x2y21(a0, b 0)，上异于右极点的两动点,a2b2 A B，若 AB 为直径的圆过右极点(a,0), 则l AB过定点( a( a2b2),0) ；同理，若该圆过左极点a2b2( a,0) ,则 l AB过定点 (a( a2b2),0) ；a2b2x221 的左极点为A，可是点 A 的直线l : y kx b 与椭圆交于不一样变式 1 已知椭圆y4uuur uuur，求 k 与 b 的关系，并证明直线l 过定点.的两点 P, Q，当AP gAQ精选文档变式 2（ 2012 北京海淀高三期末理19）已知焦点在x 轴上的椭圆 C 过点(0,1)，且离心率为3，Q为椭圆 C的左极点.2（ 1）求椭圆C的标准方程；（ 2）已知过点(6,0) 的直线 l 与椭圆C交与A,B两点.5（Ⅰ）若直线 l 垂直于x轴，求∠AQB的大小；（Ⅱ）若直线 l 与x轴不垂直，能否存在直线l 使得△QAB为等腰三角形？假如存在，求出直线 l 的方程；假如不存在，请说明原由.例 10.49 已知抛物线y2 2 px( p0)上异于极点的两动点,A B知足以 AB为直径的圆过顶点.求证： AB所在的直线过定点，并求出该定点的坐标.剖析要证明 l AB过定点，一定先求得其方程.分析由题意知 l AB的斜率不为0 （不然只有一个交点），故可设l AB : x ty m ，设A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，由y22 px，消去 x 得 y22pty 2 pm0，进而x ty m( 2 pt )24( 2 pm) 4 p2t 28pm 0 ，即 pt 22m0 ，且y1y2 2 pt，（ *）y1 y22 pmuuur uuur0 ,即 x1x2因为以 AB 为直径的圆过极点O(0,0)，所以OA OB y1 y2 0，也即y12y22y1 y2 0 ，把式（*）代入化简得 m( m 2 p) 0，得 m0 或m 2 p .2p 2 p（1）当m0时， x ty ，l AB过极点O(0,0)，与题意不符，故舍去；（2）当m 2 p 时，x ty 2 p ，令 y0 ，得 x 2 p ，所以 l AB过定点 (2 p,0)，此时 m 2 p 知足 pt 22m0 .综上， l AB过定点 (2 p,0) .评注：（ 1）①将斜率存在的直线的方程设为y kx b ，将斜率不为0 的直线的方程设为x ty m ；②抛物线y2 2 px 中， x1x2y1 y2y12 y22y1 y2；③对于过定点问题，必4p2须引入参数，最后令参数的系数为0. 如此题，先引入参数t, m 以后，就剩下参数t，直线x ty 2p中令参数t 的系数y为0(2 p,0) .，则直线过定点(2) 抛物线x2 2 py( p0)uuur uuur上两异于原点O的动点 A,B 知足OA OB ，则AB所在的直线过定点 (0, 2 p) ；抛物线 y2 2 px ( puuur uuur 0) 上两异于原点O的动点A,B知足 OA OB ，则 AB 所在的直线过定点(2 p,0) .变式1如图10-39 所示，已知定点P(x0 , y0 ) 在抛物线 y2 2 px ( p 0)APy上，过点 P 作两直线l1, l2分别交抛物线于A,B，且以 AB为直径的圆过O x 点 P，证明：直线过定点，并求出此定点的坐标 .ABy 2=2pxBy2变式 2 已知抛物线4x ，过点 M (1,2) 作两直线 l1, l2分别与抛物线交于图 10-39 A, B 两点，且 l1 ,l 2的斜率 k1, k2知足 k1k2 2 .求证：直线AB过定点，并求出此定点的坐标 .模型二：三大圆锥曲线（椭圆，双曲线，抛物线）中，若过焦点的弦为AB ，则焦点所在座uuur uuur标轴上存在独必定点N ，使得NA NB为定值.例 10.50 （ 2012北京海淀二模理18）已知椭圆x2y2b0) 的右焦点为C :2b2 1(aaF (1,0) ，且点 (1,2) 在椭圆C上. 2（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A, B两点，试问x轴上能否存在定点Q ，使得uuur uuur7恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明原由.QA QB16分析（ 1）由题意知：c 1 . 依据椭圆的定义得：2a( 1 1)2( 2)22 2 2 ，22精选文档即 a2 . 所以 b 22 1 1 . 所以椭圆 C 的标准方程为 x 2 y 2 1.2uuur uuur7恒成立.(2) 假定在 x 轴上存在点 Q (m,0) ，使得 QA QB167当直线 l 的斜率为 0 时， A( 2,0), B(2,0) . 则 ( 2m,0) ( 2m,0), 解得516m.4(i)当 直 线l的 斜 率 不 存 在 时，A(1,2), B(1,2 ) . 由 于22(1 5 , 2 ) (1 5 ,2 ) 7 ，所以 m 5 .4 2 42164下边证明 m5uuur uuur7恒成立.(ii) 时， QA QB4uuur uuur 16明显直线 l 的斜率为7 . 0时，QA QB16当直线 l 的斜率不为 0 时，设直线 l 的方程为 xty 1，A(x 1, y 1 ), B( x 2 , y 2 ).x 221y可得： (t 22) y 22ty 10.由2x ty 1(2t) 2 4(t 2 2) 0 .y 1y 2 2tt 2,2 因为 x 1 ty 1 1， x 2 ty 2 1，所以y 1 y 2 1.t 22uuur uuur (x 155 11 y 1 y2 QA QB , y 1) ( x 2 , y 2 ) (ty 1)(ty 2 )4444(t 21)y 1 y 21t ( y 1 y 2 ) 1(t 2 1) 2 1t t 2 2t 1 2t 2 2 t 2 4 16t 24 2 1617 .2(t 2 2) 1616x 轴上存在点 Q( 5uuur uuur7 综上所述，在 ,0) ，使得 QA QB4 16恒成立 . 变式 1 已知双曲线 x 2y 22 的左、右焦点分别为 F 1, F 2 ，过点 F 2 的动直线与双曲线相交于 A, B 两点 . 在 x 轴上能否存在定点uuur uuurC 的坐C ，使得 CA CB 为常数？若存在，求出点精选文档标；若不存在，请说明原由.题型 152定直线问题模型： 已知椭圆x 2y 2 1(a b0) 外一点 P( x 0 , y 0 ) ，当过点 P 的动直线 l 与椭圆订交a 2b 2uuuruuur于不一样的两点 A, B 时，在线段 AB 上取一点 Q , 知足| AP| | AQ|.uuuruuur|PB||QB|求证：点 Q 总在某定直线上，并求出该直线的方程.uuuruuuur证明 ：如图 10-40 |PA||PB|所示，设 A( x 1 , y 1), B( x 2 , y 2 ), Q ( x, y) ，由题意知 uuuruuur ，|AQ||QB |uuur uuury设 A 在 P ，Q 之间， PAAQ(0) ，又 Q 在 P ， B 之间，故P(x 0,y 0) uuuruuuruuur uuurA1 . 由PBBQ , 因为|PB||BQ|，所以Quuur uuurOxPAAQx 1x 0 x1得 (x 1 x 0, y 1 y 0 )(x x 1, y y 1 ) ，解得y 0 y . y 11B图 10-40uuuruuurx 2x 0 x1同理，由 PBBQ 得 ( x 2 x 0 , y 2 y 0 )( x x 2 , y y 2 ) ，解得y 0 y .y 21( x 0x )2 ( y 0y )2 因为点 A 在椭圆上，所以1a21b21 ，即 ( x 0x)2( y 0y)2 (1)2①a 2b 2同理，点 B 在椭圆上，得( x 0a 2 x)2 ( y 0 y) 2 (1 ) 2 .②b 2由①－②得2x 0(2 x) 2y 0 (2 y)4 ，即x 0 xy 0 y 1.a 2b 2a2b 2所以点 Q 在定直线x 0xy 0 y 1上 .a 2b 2精选文档精选文档类比椭圆，对于双曲线有点Q 在定直线x 0xy 0 y 1上 .a2b 2再有 P ， Q 的平等性知，当 P 在椭圆内，仍有上述结论，双曲线亦同.已知抛物线 y 22 px ( p 0) ，定点 P( x 0 , y 0 ) 不在抛物线上， 过点 P 的动直线交抛物uuuruuur 线于 A, B 两点，在直线AB 上取点 Q ,知足| AP|| AQ|uuuruuur .|PB| |QB|求证：点 Q 在某定直线上，并求其方程 .uuur uuur证明 ：设 A( x 1 , y 1), B( x 2 , y 2 ), Q( x, y) ，由题意知 |PA||PB|uuuruuur ，|AQ| |QB|uuur uuur设 A 在 ， 之间，PA AQ(0) ，又 在 ， B 之间，故 P QQ Puuur uuur uuuruuuruuur uuur PBBQ ,因为|PB| |BQ |，所以1，由 PAAQx 1x 0 x1知 (x 1 x 0, y 1y 0 )(xx 1, yy 1 ) ，解得,y 0y 1y1故点 A 坐标为 (x 0x , y 0y) .11x 0xuuuruuurx 21 同理，由 PBBQ 知 ( x 2 x 0 , y 2 y 0 )( xx 2, y y 2 ) ，解得yy 0y 2.1故点 B 坐标为 (x 0x , y 0y) .11因为点 A 在抛物线上，所以(yy )2 2 p(x 0x) ，11即 ( y 0 y)22 p(1 )( x 0x)①同理 ( y 0y)22 p(1)( x 0 x) .②由①－②得 2 y 0 (2 y)4p ( x x 0 ) ，即 y 0 y p(x x 0 ) .所以点 Q 在定直线 y 0 yp(x x 0 ) 上 .注： 三大圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中，当定点P( x 0 , y 0 ) 在曲线上时，相应的定精选文档直线x 0xy 0 y 1，x 0xy 0 y 1， y 0 y p( x 0 x) 均为在定点 P( x 0 , y 0 ) 处的切线 .a 2b 2a 2b 2例 10.51 x 2 y 2 1(a b 0) 过点 M (2,1) , 且左焦点为 F 1( 2,0) .设椭圆 C :2b 2a(1) 求椭圆 C 的方程；（2）当过点 P (4,1) 的动直线 l 与椭圆 C 订交于两不一样点A, B 时，在线段 AB 上取点 Q , 满uuur uuur uuur uuur足 | AP ||QB | | AQ || PB |. 证明：点 Q 总在某定直线上 .剖析 用待定系数法求解椭圆的方程，奇妙地利用定比分点解答点Q 的轨迹问题 .c 22分析 （ 1）由题意知2 1 1 ，解得 a 24, b 2 2 ，所求椭圆方程为x 2 y 2 1 . a 2 b 242c 2a 2b 2y（2）如图 10-41 所示，设A( x 1, y 1 ), B( x 2, y 2 ), Q (x, y) ，uuur uuuur 由题意知| PA| |PB|，uuuruuur| AQ| |QB|uuur uuur 0) ，又 Q 在 P ， B 之间，故不如设 A 在 P ， Q 之间， PA AQ (uuur uuur uuuruuur uuuruuur PBBQ ,因为|PB| |BQ |，所以1，由 PAAQ P(4,1) AQOxB图 10-41x 14 x1得 (x 14, y 1 1)( xx 1, y y 1 ) ，解得1 y .y 11uuur uuurx 2 4x1 同理，由 PBBQ 得 ( x 2 4, y 21)( xx 2, y y 2 ) ，解得1 y .y 21(4x ) 2 (1y )2因为点 A 在椭圆上，所以111 ，42(4x)2 (1y) 2(1 )2①即42同理，点 B 在椭圆上，得(4x)2 (1 y)2(1) 2②42.由①－②得8 2 x 22 y 4 ，因为0 所以 xy 1.422所以点 Q 在定直线 2x y 20 上 .评 注 由 模 型 的 结 论 不 难 知 动 点 Q (x, y) 总 在 定 直 线x 0xy 0y1 上 ，4x ya 2b 2a24, b22, x 04, y 01 ，得 ，即2 x y 20 .412题型 153定值问题思路提示求定值问题常有的方法有两种：（ 1）从特别下手，求出其值，再证明这个值与变量没关，这切合一般与特别的思想辩证关系 . 简称为：特别探路，一般论证 .(2) 直接推理，计算，并在计算推理的过程中消去变量，进而获得定值 .模型： 三大圆锥曲线 （椭圆、 双曲线、抛物线）中， 曲线上的必定点 P 与曲线上的两动点 A ，B 知足直线 PA 与直线 PB 的斜率互为相反数，则直线 AB 的斜率为定值 .例 10.52 已知椭圆 x 2y 21 ， A 为椭圆 C 上的点，其坐标为 A(1,3) ，E, F 为椭圆 CC :342上的两动点， 假如直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数， 证明：直线 EF 的斜率为定值，并求出该定值 .剖析 要求直线 EF 的斜率，一定知道 E ，F 的坐标 .3x 2y 2 1分析 设直线 AE 的方程为 y43 ，消 y 得k( x 1)0) ，联立(k32yk (x 1)2(4k23)x 2(12k 8k 2) x 4(3k ) 2 120 ，24(3k )2 124k 212 k 3则 x E2①(4k 2 3) x A4k 2 3又直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，故以上 k 用 k 取代 x F4k 2 12 k 3②4k 2 3y F y E [ k( x F 1)3] [ k( x E1) 3]k( x F x E ) 2k22所以 k EFx Ex F x Ex F x E ，x F把①，②两式代入上式，得kEF 1，为定值 .2评注此题中能够用换元法简化计算，能够设x 1t, y 3s ，得 x3 2t 1,y s，32将 x, y 代入椭圆方程中得3(t1)24( s) 212，且 s kt （ k 为直线 AE 的斜率），联2s kt立直线方程与椭圆方程得3(t1)24( s 3 )2，消 s 得对于 t 的一元二次方程：12212 k6t 212k6t1(4 k23)t 2(12k6)t0，得4k 23，同理4k 23，12k 26ks212k 26ks14k 234k 23由 E(t11,s13) ， F (t21,s23) ，得212k 212k 22s2s16k6k12k1k EF4k234k 23为定值 . t2t112k612k624k24k 234k 23变式 1已知 A，B，C是长轴为4，焦点在x轴上的椭圆上的三点，点 A 是长轴的一个端点，uuur uuur uuur uuurBC过椭圆的中心 O,且AC BC0,| BC |2|AC |.(1)求椭圆的方程；（ 2）假如椭圆上的两点P, Q , 使得PCQ的均分线垂直于OA，问是uuur uuur否总存在实数，使得 PQ AB ？说明原由.Py变式2如图10-42 所示，过抛物线y2 2 px( p0) 上必定点O x P( x0 , y0 ) ( y00) ，作两条直线分别交抛物线于AA( x1 , y1), B( x2 , y2 ) .图 10-42Bp的点到焦点 F 的距离；(1)求该抛物线上纵坐标为2(2)当 PA与 PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值，并证明直线 AB的斜率是非零y0常数 .题型 154 最值问题思路提示有两种求解方法：一是几何方法，所求最值量拥有明显的几何意义时可利用几何性质联合图形直观求解；二是目标函数法，即选用适合的变量，成立目标函数，而后依据求函数精选文档精选文档例 10.53 设椭圆x 2 y 2 1 的左、右焦点分别为 F 1, F 2 ，点 M 是椭圆上随意一点， 点 A 的25 16坐标为 (2,1) ，求 | MF 1 | | MA |的最大值和最小值 .剖析此题若设 M (x, y) ，成立目标函数 | MA ||MF 1| f ( x, y) ，则会玩火自焚 . 可是注意到 F 1 为椭圆左焦点，联想到椭圆定义及三角形中边的关系不等式时，问题就简单获解 .分析如图 10-43 所示， F 1( 3,0), F 2 (3,0) ，yM因为 M 在椭圆上，所以有|MF 1||MF 2 | 2a 10 ，A令 Z|MF 1| |MA |，得 Z 10 |MA | |MF 2 |.F 1OF 2x当 M , A, F 2 三点不共线时，有 |AF 2| |MA||MF 2| |AF 2|，当 M 落在 F 2A 的延伸线时， | MA | | MF 2 || F 2A |，图 10-43当 M 落在 AF 2 的延伸线时， | MA | |MF 2 | |F 2A |.所以Z max10 |F 2A| 10(2 3)2 (1 0)2 102 ， Z min 10 |F 2A| 10 2 .评注 这里利用椭圆定义、三角形两边之差小于或等于 （注意等号成立的条件） 第三边， 使与曲线相关的最值转变成直线段间的最值. 应明确这里不可以用| FM 1 | | AM | |F 1A|26 ，求得 | F 1M | | AM |的最小值26 ，原由是取不到等号，y假如要取到等号，那么M 一定在线段 F 1 A 上，但这是不行能的 .d 2 y 2=4xP 是抛物线 y 2d 1Px+2y-12=0变式 1如图 10-44 所示，已知点4x 上的点，O F x设点 P 到此抛物线的准线的距离为 d 1 ，到直线 l : x 2 y12 0的距离为 d 2 ，求 d 1d 2 的最小值 .图 10-44变 式 2已 知 点 P 为 双 曲 线x 2y 2 1上的动点，M(3 5 ,45 ),F( 5,0) , 求45 5||MP|| FP || 的最大值及此时点 P 的坐标 .2例10． 54已 知 椭 圆 x 2 y1 ， 点 M 为 椭 圆 上 的 动 点 ， 若 C , D 的 坐 标 分 别 是 4(0, 3),(0, 3) ，求 | MC | | MD |的最大值 .精选文档剖析求积的最大值，由“和为定值积有最大值”知，一定找出和为定值.分析由题设知 D , C 是椭圆的上、下焦点，故由椭圆的定义知|MC ||MD| 2 4 4.所以|MC| |MD |(| MC | |MD |)2( 4)24.当且仅当|MC || MD |时取等号，即22M 为左、右极点时取等号. 所以，当M为左、右极点时，|MC | |MD |获得最大值 4.评注此题运用基本不等式求最值，但要注意使用基本不等式的条件：一正，二定，三相等，四同时，积为定值时，和最小 a b 2 ab (a,b 0) ；和为定值时，积最大ab(a b 2( a,b0) ，取等号的条件均为a b .)2变式 1已知椭圆 x2y21在第一象限部分为曲线C，动点 P在C上，C在P点处的切4线与 x, y 轴的交点分别为uuuur uuur uuur uuuurA,B,且向量 OM OA OB ，求 |OM |的最小值.例10.55如图 10-45 所示，已知抛物线 E : y2x 与圆 M : ( x4) 2y2r 2 (r 0) 订交于A, B,C, D 四点.y DA(1) 求r的取值范围；（ 2）当四边形ABCD的面积最大时，O P M求对角线 AC , BD 的交点P的坐标.BCx图 10-45分析（ 1）将y2x 代入 (x 4)2y2r 2并化简得 x27x16 r 20①因为 E 与 M 有四个交点的充要条件是方程①有两个不等的正根x1 , x2，由此得(7) 24(16r 2 ) 0x1x270，解得15r 216 .x1 x216r 204又 r0 ，所以r的取值范围是(15,4) . 2(2)不如设 E 与 M 的四个交点坐标分别为A( x1 ,x1 ), B( x1 ,x1 ), C( x2 ,x2 ), D( x2 ,x2 ) ，则直线AC, BD的方程分别为y x x2x1 ( x x ) ， y x x2x1 ( x x ) .1x2x111x2x11解得点 P 的坐标为 (x1x2 ,0) .设 tx 1x 2 ，由 t16 r 2 及（ 1）知 0 t7 .2因为四边形 ABCD 为等腰梯形，因此其面积S1 2 x 2 ) | x 2 x 1 |.(2 x 12即 S 2( x 1x 2 2 x 1 x 2 ) [( x 1 x 2 ) 2 4x 1x 2 ] . 将 x 1 x 27 ， x 1 x 2t 代入上式，并令 f (t )S 2，得 f (t)(7 2t) 2(7 2t)(0t7) .27,t7求导数得 f '(t )2(2t7)(6 t 7) ，令 f '(t ) 0 ，解得 t（舍去） .7 7 76 2 7时， f '(t) 0 ；当 t '(t ) 0 . 故当且仅当 t 明显当 0 t 6 时， f 时，6 27 6 f (t) 有最大值，即四边形 ABCD 的面积最大 . 故所求的点 P 的坐标为 (,0) .11 ( 28)3 6 另 解 ，f (t) (7 2t )2 (7 2t ) (7 2t )2 (14 4t) ，当且仅当2 2 37 2t 14 4t 时，即 t7 时取等号，所以点 P 的坐标为 (7,0) .66评注 此题主要有两个考察点： 一个是考察将曲线与曲线的交点问题转变成二次方程的根的问题，是较基本的问题；另一个是考察四边形ABCD 的面积最大值问题，是此题的中心点 . 要注意此题中表面上求点的坐标，本质上是求四边形 ABCD 的面积最大值， 并且在求目标函数最值的过程中，利用了导数判断单一性的方法，进而使此题的综合性大大提升 .变式 1已知平面内一动点P 到点 F (1,0) 的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于1.(1) 求动点 P 的轨迹 C 的轨迹；(2) 过点 F 作两条斜率存在且相互垂直的直线l 1 , l 2 ，设 l 1 与轨迹 C 订交于点 A,B ， l 2 与轨uuur uuur 的最小值 .迹C 订交于点， ，求AD EBD E最有效训练题 47（限时 45 分钟）1. 经过椭圆 x 2y 21的一个焦点作倾斜角为o 的直线l 交椭圆于， B 两点．设 O 为245Auuuruuur坐标原点，则 OA OB 等于（）A.3 B.1 C.1 3 D.13或332. 设 F 1, F 2x 2y20)的两个焦点，点P 在双曲线上，是双曲线4a1(aauuur uuuur uuur uuuur | 2 , 则 a 的值为 PF PF 20,| PF || PF112A. 1B.5C.2D.5 23. 过抛物线y ax 2 (a0) 的焦点F作向来线交抛物线于P，Q两点，若线段 PF与 FQ的长分别是 p, q ，则11等于（）p qA.2aB.1C.4aD.4 2a a4. 已知椭圆x2y21(a b0) 的左焦点为F，右极点为A，点B在椭圆上，且BF x a2b2yuuur uuur轴，直线AB 交轴于点，若AP2PB，则椭圆的离心率是（）PＡ．3Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．12232５ . 若以椭圆上一点和两个焦点为极点的三角形面积的最大值为１，则椭圆长轴长的最小值为（）A. 1B.2C.2D. 2 2６ . 假如AB是椭圆x2y21( a b 0) 的随意一条与x 轴不垂直的弦，Ｏ为椭圆的中a2b2心， e 为椭圆的离心率，Ｍ为 AB 的中点，则k AB k OM的值为（）Ａ． e 1Ｂ． 1 eＣ． e2 1Ｄ． 1 e2７ . 已知椭圆的焦点是F1 (3,0) 和 F2 (3,0) ，离心率为e3，Ｐ为椭圆上一点，2uuur uuuurPF1PF22，则PF1F2面积为＿＿＿＿＿＿＿＿．3８．如图 10-46所示，Ｐ是双曲线x2y21右支（在第一象限内）上的随意一点， A1, A 2 4分别是左、右极点， O 是坐标原点，直线PA1, PO, PA 2的斜率分别为 k1 , k2 , k3，则斜率y之积 k1k2 k3的取值范围是_______.PA1OA2x9. 已知椭圆的焦点为 F 1 ( 3,0) ， F 2 (3,0) ，且与直线 x y 9 0 有公共点，则此中长轴最短的椭圆方程为____________.10. 已知两点A ，B 分别在直线 yx 和 yx 上运动，且 | AB |4 5 ，动点 P 知足5uuur uuur uuur2OP OA OB ( O 为坐标原点 ) ，点 P 的轨迹记为曲线 C .(1) 求曲线 C 的方程；（ 2）过曲线 C 上随意一点作它的切线 l ，与椭圆x 2y 2 1交于M ，4uuuur uuurN 两点，求证： OM ON 为定值 .x 2 y 2 1(ab 0) 过点 (1,2 ，离心率为2 11. 如图 10-47 所示，已知椭圆b 2) ，左、a 222右焦点分别为 F 1 , F 2 ，点 P 为直线 l : x y2 上且不在 x 轴上的随意一点，直线PF 1 和PF 2 与椭圆的交点分别为 A, B 和 C , D ， O 为坐标原点 .y(1) 求椭圆的标准方程；PACl（ 2）设直线 PF 1 ， PF 2 的斜率分别为 k 1, k 2 .F 1OF 2xB①证明：13D2 ；图 10-47 k 1k 2②问直线 l 上能否存在点 P ，使得直线 OA,OB, OC, OD 的斜率 k OA , k OB ,k OC , k OD 知足k OA k OB k OC k OD 0 ？若存在，求出全部知足条件的点 P 的坐标；若不存在，说明原由 .12. 如图 10-48 所示，等边三角形 OAB 的边长为 8 3 ，且其三个极点均在抛物线 E : x 2 2 py( p 0) 上 .y(1) 求抛物线 E 的方程；A B（ 2）设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P ，与直线 y1PxOQy=－ 1订交于点 Q .证明：以 PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点.。
x届高考数学的一轮复习常考热点拔高提分学案《圆锥曲线的综合问题》
圆锥曲线的综合问题(文视情况[知识能否忆起]1．直线与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y (或x )得关于变量x (或y )的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．若a ＝0且b ≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|或1＋1k2|y 1－y 2|.[小题能否全取]1．(教材习题改编)与椭圆x 212＋y 216＝1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( )A ．y 2－x 23＝1 B.y 23－x 2＝1C.34x 2－38y 2＝1D.34y 2－38x 2＝1 解析：选A 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝c 2，ca ＝2，c ＝2，得a ＝1，b ＝ 3.故双曲线方程为y 2－x 23＝1.2．(教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：选A 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．4．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________．解析：由题意知A 点的坐标为(－a,0)，l 的方程为y ＝x ＋a ，所以B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，代入椭圆方程得a 2＝3b 2，则c 2＝2b 2，则c 2a 2＝23，故e ＝63.答案：635．已知双曲线方程是x 2－y 22＝1，过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点，并使P (2,1)为P 1P 2的中点，则此直线方程是________________．解析：设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 1y 2＋y 1＝2×42＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．答案：4x －y －7＝01.直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用．2．当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．典题导入[例1] (x·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． [自主解答] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝2＋k 2＋6k21＋2k2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为 S ＝12|MN |· d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2. 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1. 由题悟法研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数，但对于选择、填空题也可以利用几何条件，用数形结合的方法求解．以题试法1．(x·信阳模拟)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4]解析：选C 易知抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2与x 轴的交点为Q (－2,0)，于是，可设过点Q (－2,0)的直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)(由题可知k 是存在的)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k x ＋⇒k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时，易知符合题意；当k ≠0时，其判别式为Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＝－64k 2＋64≥0，可解得－1≤k ≤1.典题导入[例2] (x·x 高考)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10.不过原点O 的直线l 与C相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(1)求椭圆C 的方程；(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程．[自主解答] (1)设椭圆左焦点为F (－c,0)，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧＋c 2＋1＝10，c a ＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＝2.所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M .当直线AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为x ＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12消去y ，整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－x ＝0， ① 则Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－x)＞0， ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.所以线段AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2. 因为M 在直线OP ：y ＝12x 上，所以3m 3＋4k ＝－2km3＋4k .得m ＝0(舍去)或k ＝－32.此时方程①为3x 2－3mx ＋m 2－3＝0，则Δ＝3(x －m 2)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－33.所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝396·12－m 2， 设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|8－2m |32＋22＝2|m －4|13. 设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |·d ＝36·m －2－m2.其中m ∈(－23，0)∪(0,23)．令u (m )＝(x －m 2)(m －4)2，m ∈[－23，2 3 ]，u ′(m )＝－4(m －4)(m 2－2m －6)＝－4(m －4)(m －1－7)(m －1＋7)．所以当且仅当m ＝1－7时，u (m )取到最大值． 故当且仅当m ＝1－7时，S 取到最大值． 综上，所求直线l 的方程为3x ＋2y ＋27－2＝0.由题悟法1．解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法．(1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；(2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．2．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： (1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用基本不等式求出参数的取值范围； (5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．以题试法2．(x·东莞模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ≠0)上存在关于直线x ＋y ＝1对称的相异两点，则实数p 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 解析：选B 设抛物线上关于直线x ＋y ＝1对称的两点是M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，设直线MN 的方程为y ＝x ＋b .将y ＝x ＋b 代入抛物线方程，得x 2＋(2b －2p )x ＋b 2＝0，则x 1＋x 2＝2p －2b ，y 1＋y 2＝(x 1＋x 2)＋2b ＝2p ，则MN 的中点P 的坐标为(p －b ，p )．因为点P 在直线x ＋y ＝1上，所以2p －b ＝1，即b ＝2p －1.又Δ＝(2b －2p )2－4b 2＝4p 2－8bp ＞0，将b ＝2p －1代入得4p 2－8p (2p －1)＞0，即3p 2－2p ＜0，解得0＜p ＜23.典题导入[例3] (x·辽宁高考)如图，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b <t 1<a .点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b <t 2<a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 21＋t 22为定值．[自主解答] (1)设 A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a(x ＋a )，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a(x －a )．② 由①②得y 2＝－y 21x 21－a2(x 2－a 2)．③由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21b2＝1.从而y 21＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a ，代入③得x 2a 2－y 2b 2＝1(x <－a ，y <0)． (2)证明：设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2|·|y 2|，故x 21y 21＝x 22y 22.因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 2x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2＝b 2x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 22a 2. 由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 21＋x 22＝a 2，从而y 21＋y 22＝b 2， 因此t 21＋t 22＝a 2＋b 2为定值．由题悟法1．求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出表达式，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b 、k 等量关系进行消元，借助于直线系方程找出定点；(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况．以题试法3．(x·山东省x 中学模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ≠0)及定点A (a ，b )，B (－a,0)，ab ≠0，b 2≠2pa ，M 是抛物线上的点．设直线AM ，BM 与抛物线的另一个交点分别为M 1，M 2，当M 变动时，直线M 1M 2恒过一个定点，此定点坐标为________．解析：设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0，M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，M 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2，由点A ，M ，M 1共线可知y 0－b y 202p －a＝y 1－y 0y 212p －y 202p，得y 1＝by 0－2pa y 0－b ，同理由点B ，M ，M 2共线得y 2＝2pay 0.设(x ，y )是直线M 1M 2上的点，则y 2－y 1y 222p －y 212p ＝y 2－y y 222p－x ，即y 1y 2＝y (y 1＋y 2)－2px ，又y 1＝by 0－2pa y 0－b ，y 2＝2pay 0， 则(2px －by )y 02＋2pb (a －x )y 0＋2pa (by －2pa )＝0. 当x ＝a ，y ＝2pa b时上式恒成立，即定点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2pa b .答案：⎝⎛⎭⎪⎫a ，2pa b1．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则1PA ,·2PF ,的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0解析：选A 设点P (x ，y )，其中x ≥1.依题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，由双曲线方程得y 2＝3(x 2－1)．1PA ,·2PF ,＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x2＋y 2－x －2＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －182－8116，其中x ≥1.因此，当x ＝1时，1PA ,·2PF ,取得最小值－2.2．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条解析：选B 设该抛物线焦点为F ，则|AB |＝|AF |＋|FB |＝x A ＋p 2＋x B ＋p2＝x A ＋x B ＋1＝3＞2p ＝2.所以符合条件的直线有且仅有两条．3．(x·南昌联考)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作与x 轴垂直的直线，分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点M 、N (均在第一象限内)，若FM ,＝4MN ,，则双曲线的离心率为( )A.54B.53C.35D.45解析：选 B 由题意知F (c,0)，则易得M ，N 的纵坐标分别为b 2a ，bca ，由FM ,＝4MN ,得b 2a ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a －b 2a ，即b c ＝45.又c 2＝a 2＋b 2，则e ＝c a ＝53.4．已知椭圆x 225＋y 216＝1的焦点是F 1，F 2，如果椭圆上一点P 满足PF 1⊥PF 2，则下面结论正确的是( )A ．P 点有两个B ．P 点有四个C ．P 点不一定存在D ．P 点一定不存在解析：选D 设椭圆的基本量为a ，b ，c ，则a ＝5，b ＝4，c ＝3.以F 1F 2为直径构造圆，可知圆的半径r ＝c ＝3＜4＝b ，即圆与椭圆不可能有交点．5．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足x 202＋y 20≤1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为________．解析：当P 在原点处时，|PF 1|＋|PF 2|取得最小值2；当P 在椭圆上时，|PF 1|＋|PF 2|取得最大值22，故|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为[2,2 2 ]．答案：[2,2 2 ]6．(x·长沙月考)直线l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC 面积的最大值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x 22＋y 2＝1，得3x 2＝2，∴x ＝±63， ∴A ⎝⎛⎭⎪⎫63，63，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，－63， ∴|AB |＝433.设点C (2cos θ，sin θ)，则点C 到AB 的距离d ＝|2cos θ－sin θ|2＝32·⎪⎪sin(θ－φ)⎪⎪≤32，∴S △ABC ＝12|AB |·d ≤12×433×32＝ 2.答案： 27．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0.则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b21＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|，即43＝2|x 2－x 1|.则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝－b 2＋b22－－2b 21＋b2＝8b 4＋b22，解得b ＝22. 8．(x·黄冈质检)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，椭圆上任意一点到右焦点F 的距离的最大值为2＋1.(1)求椭圆的方程；(2)已知点C (m,0)是线段OF 上一个动点(O 为坐标原点)，是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 点，使得|AC |＝|BC |？并说明理由．解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧e ＝ca ＝22a ＋c ＝2＋1，∴⎩⎨⎧a ＝2c ＝1，∴b ＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)得F (1,0)，∴0≤m ≤1. 假设存在满足题意的直线l ，设l 的方程为y ＝k (x －1)，代入x 22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k2k 2＋1.设AB 的中点为M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k22k 2＋1，－k 2k 2＋1.∵|AC |＝|BC |，∴CM ⊥AB ，即k CM ·k AB ＝－1，∴k2k 2＋1m －2k 22k 2＋1·k ＝－1，即(1－2m )k 2＝m .∴当0≤m ＜12时，k ＝±m1－2m，即存在满足题意的直线l ； 当12≤m ≤1时，k 不存在，即不存在满足题意的直线l . 9．(x·江西模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，直线y ＝x ＋6与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切，F 1，F 2为其左，右焦点，P 为椭圆C 上任一点，△F 1PF 2的重心为G ，内心为I ，且IG ∥F 1F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的垂直平分线过定点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫16，0，求实数k 的取值范围． 解：(1)设P (x 0，y 0)，x 0≠±a ，则G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 03，y 03. 又设I (x I ，y I )，∵IG ∥F 1F 2， ∴y I ＝y 03，∵|F 1F 2|＝2c ，∴S △F 1PF 2＝12·|F 1F 2|·|y 0|＝12(|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|)·| y 03| ，∴2c ·3＝2a ＋2c ，∴e ＝c a ＝12，又由题意知b ＝|6|1＋1，∴b ＝3，∴a ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝kx ＋m，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－x ＝0，由题意知Δ＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－x)＞0，即m 2＜4k 2＋3，又x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，则y 1＋y 2＝6m3＋4k2， ∴线段AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2. 又线段AB 的垂直平分线l ′的方程为y ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －16，点P 在直线l ′上，∴3m 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2－16， ∴4k 2＋6km ＋3＝0，∴m ＝－16k(4k 2＋3)，∴k 2＋236k2＜4k 2＋3，∴k 2＞332，解得k ＞68或k ＜－68， ∴k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－68∪⎝ ⎛⎭⎪⎫68，＋∞.1．(x·长春模拟)已知点A (－1,0)，B (1,0)，动点M 的轨迹曲线C 满足∠AMB ＝2θ，|AM |,·|BM |,cos 2θ＝3，过点B 的直线交曲线C 于P ，Q 两点．(1)求|AM |,＋|BM |,的值，并写出曲线C 的方程； (2)求△APQ 的面积的最大值．解：(1)设M (x ，y )，在△MAB 中，|AB |,＝2，∠AMB ＝2θ，根据余弦定理得|AM |,2＋|BM |,2－2|AM |,·|BM |,cos 2θ＝|AB |,2＝4，即(|AM |,＋|BM |,)2－2|AM |,·|BM |,·(1＋cos 2θ)＝4， 所以(|AM |,＋|BM |,)2－4|AM |,| BM |,·cos 2θ＝4. 因为|AM |,·|BM |,cos 2θ＝3， 所以(|AM |,＋|BM |,)2－4×3＝4，所以|AM |,＋|BM |,＝4. 又|AM |,＋|BM |,＝4＞2＝|AB |，因此点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆(点M 在x 轴上也符合题意)，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 则a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3. 所以曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1x 24＋y23＝1，消去x ，整理得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0.①显然方程①的判别式Δ＝36m 2＋36(3m 2＋4)＞0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则△APQ 的面积S △APQ ＝12×2×|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|.由根与系数的关系得y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，所以(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝48×3m 2＋33m 2＋42.令t ＝3m 2＋3，则t ≥3，(y 1－y 2)2＝48t ＋1t＋2， 由于函数φ(t )＝t ＋1t在[3，＋∞)上是增函数，所以t ＋1t ≥103，当且仅当t ＝3m 2＋3＝3，即m ＝0时取等号，所以(y 1－y 2)2≤48103＋2＝9，即|y 1－y 2|的最大值为3，所以△APQ 的面积的最大值为3，此时直线PQ 的方程为x ＝1.2．(x·郑州模拟)已知圆C 的圆心为C (m,0)，m ＜3，半径为5，圆C 与离心率e ＞12的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的其中一个公共点为A (3,1)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点．(1)求圆C 的标准方程；(2)若点P 的坐标为(4,4)，试探究直线PF 1与圆C 能否相切？若能，设直线PF 1与椭圆E 相交于D ，B 两点，求△DBF 2的面积；若不能，请说明理由．解：(1)由已知可设圆C 的方程为(x －m )2＋y 2＝5(m ＜3)， 将点A 的坐标代入圆C 的方程中，得(3－m )2＋1＝5， 即(3－m )2＝4，解得m ＝1，或m ＝5. ∴m ＜3，∴m ＝1.∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝5. (2)直线PF 1能与圆C 相切，依题意设直线PF 1的斜率为k ，则直线PF 1的方程为y ＝k (x －4)＋4，即kx －y －4k ＋4＝0，若直线PF 1与圆C 相切，则|k －0－4k ＋4|k 2＋1＝ 5. ∴4k 2－24k ＋x ＝0，解得k ＝112或k ＝12. 当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点的横坐标为3611，不合题意，舍去．当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点的横坐标为－4，∴c ＝4，F 1(－4,0)，F 2(4,0)． ∴由椭圆的定义得： 2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝＋2＋12＋－2＋12＝52＋2＝6 2.∴a ＝32，即a 2＝18，∴e ＝432＝223＞12，满足题意．故直线PF 1能与圆C 相切．直线PF 1的方程为x －2y ＋4＝0，椭圆E 的方程为x 218＋y 22＝1.设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，把直线PF 1的方程代入椭圆E 的方程并化简得，13y 2－16y －2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝1613，y 1y 2＝－213，故S △DBF 2＝4|y 1－y 2|＝4y 1＋y 22－4y 1y 2＝241013.1．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，过焦点F 的直线l 与抛物线C相交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，则弦AB 的中点坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,2)C ．(3,2)D ．(2,4)解析：选 C 依题意得，抛物线C 的方程是y 2＝4x ，直线l 的方程是y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1消去y 得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0，因此线段AB 的中点的横坐标是62＝3，纵坐标是y ＝3－1＝2，所以线段AB 的中点坐标是(3,2)．2．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多1个B ．2个C ．1个D ．0个解析：选B 由题意得4m 2＋n2＞2，即m 2＋n 2＜4，则点(m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆内，此圆在椭圆x 29＋y 24＝1的内部．3．(x·深圳模拟)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，以椭圆C的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N .(1)求椭圆C 的方程；(2)求TM ,·TN ,的最小值，并求此时圆T 的方程； (3)设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点，求证：|OR |·|OS |为定值．解：(1)依题意，得a ＝2，e ＝c a ＝32， ∴c ＝3，b ＝a 2－c 2＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)易知点M 与点N 关于x 轴对称，设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)，不妨设y 1＞0. 由于点M 在椭圆C 上，∴y 21＝1－x 214.(*)由已知T (－2,0)，则TM ,＝(x 1＋2，y 1)，TN ,＝(x 1＋2，－y 1)， ∴TM ,·TN ,＝(x 1＋2，y 1)·(x 1＋2，－y 1)＝(x 1＋2)2－y 21＝(x 1＋2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝54x 21＋4x 1＋3＝54⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋852－15.由于－2＜x 1＜2，故当x 1＝－85时，TM ,·TN ,取得最小值－15.把x 1＝－85代入(*)式，得y 1＝35，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，35，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得r2＝1325. 故圆T 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝1325.(3)设P (x 0，y 0)，则直线MP 的方程为：y －y 0＝y 0－y 1x 0－x 1(x －x 0)， 令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1，同理：x S ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1，故x R ·x S ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21.(**)又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 21)， 代入(**)式， 得x R ·x S ＝－y 21y 20－－y 2y 21y 20－y 21＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫y 20－y 21y 0－y 1＝4.所以|OR |·|OS |＝|x R |·|x S |＝|x R ·x S |＝4为定值．平面解析几何(时间：x0分钟，满分150分)一、选择题(本题共x 小题，每小题5分，共60分)1．(x·佛山模拟)已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1解析：选D 由题意得a ＋2＝a ＋2a，解得a ＝－2或a ＝1.2．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13B ．－13C ．－32D.23解析：选B 设P (x P,1)，由题意及中点坐标公式得x P ＋7＝2，解得x P ＝－5，即P (－5,1)，所以k ＝－13.3．(x·长春模拟)已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4解析：选A AB 的中点坐标为(0,0)， |AB |＝[1－－2＋－1－2＝22，∴圆的方程为x 2＋y 2＝2.4．(x·福建高考)已知双曲线x 24－y 2b2＝1的右焦点与抛物线y 2＝x x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A. 5 B ．4 2 C ．3D ．5解析：选 A ∵抛物线y 2＝x x 的焦点坐标为(3,0)，故双曲线x 24－y 2b2＝1的右焦点为(3,0)，即c ＝3，故32＝4＋b 2，∴b 2＝5，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±52x ， ∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪52×31＋54＝ 5.5．(x·郑州模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成7∶3的两段，则此双曲线的离心率为( )A.98B.53C.324D.54解析：选B 依题意得，c ＋b 2＝77＋3×2c ，即b ＝45c (其中c 是双曲线的半焦距)，a ＝c 2－b 2＝35c ，则c a ＝53，因此该双曲线的离心率等于53.6．设双曲线的左，右焦点为F 1，F 2，左，右顶点为M ，N ，若△PF 1F 2的一个顶点P 在双曲线上，则△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点的位置是( )A ．在线段MN 的内部B ．在线段F 1M 的内部或NF 2内部C ．点N 或点MD ．以上三种情况都有可能解析：选C 若P 在右支上，并设内切圆与PF 1，PF 2的切点分别为A ，B ，则|NF 1|－|NF 2|＝|PF 1|－|PF 2|＝(|PA |＋|AF 1|)－(|PB |＋|BF 2|)＝|AF 1|－|BF 2|.所以N 为切点，同理P 在左支上时，M 为切点．7．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1, 3)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝0解析：选D 圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P 在圆上，设切线方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y －k ＋3＝0，所以|2k －k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝33.所以切线方程为y －3＝33(x －1)，即x －3y ＋2＝0. 8．(x·新课标全国卷)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4D ．8解析：选C 抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4，23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a ＞0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4.9．(x·潍坊适应性训练)已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 为C的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则|PF 2|＝|F 1F 2|，则1PF ,·2PF ,等于( )A ．24B ．48C ．50D ．56解析：选C 由已知得|PF 2|＝|F 1F 2|＝6，根据双曲线的定义可得|PF 1|＝10，在△F 1PF 2中，根据余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝56，所以1PF ,·2PF ,＝10×6×56＝50.10．(x·南昌模拟)已知△ABC 外接圆半径R ＝1433，且∠ABC ＝x0°，BC ＝10，边BC在x 轴上且y 轴垂直平分BC 边，则过点A 且以B ，C 为焦点的双曲线方程为( )A.x 275－y 2100＝1 B.x 2100－y 275＝1 C.x 29－y 216＝1D.x 216－y 29＝1 解析：选D ∵sin ∠BAC ＝BC 2R ＝5314，∴cos ∠BAC ＝1114，|AC |＝2R sin ∠ABC ＝2×1433×32＝14，sin ∠ACB ＝sin(60°－∠BAC )＝sin 60°cos∠BAC －cos 60°sin∠BAC ＝32×1114－12×5314＝3314， ∴|AB |＝2R sin ∠ACB ＝2×1433×3314＝6，∴2a ＝||AC |－|AB ||＝14－6＝8，∴a ＝4，又c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9， ∴所求双曲线方程为x 216－y 29＝1.x ．(x·乌鲁木齐模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，P ，Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是( )A ．2± 3B ．2＋ 3C.3±1D.3－1解析：选 A 依题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2(y 1≠y 2)．由抛物线定义及|PF |＝|QF |，得y 212p ＋p 2＝y 222p ＋p 2，所以y 21＝y 22，所以y 1＝－y 2.又|PQ |＝2，因此|y 1|＝|y 2|＝1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12p ，y 1.又点P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF |＝12p ＋p 2＝2，由此解得p ＝2± 3.x ．已知中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为4的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )A ．32或4 2B ．26或27C ．25或27D.5或7解析：选C 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n 且m ，n ＞0)，与直线方程x ＋3y ＋4＝0联立，消去x 得(3m ＋n )y 2＋83my ＋16m －1＝0，由Δ＝0得3m ＋n ＝16mn ，即3n ＋1m＝16，①又c ＝2，即1m －1n＝±4，②由①②联立得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝17n ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝15，故椭圆的长轴长为27或2 5.二、填空题(本题有4小题，每小题5分，共20分)13．(x·青岛模拟)已知两直线l 1：x ＋y sin θ－1＝0和l 2：2x sin θ＋y ＋1＝0，当l 1⊥l 2时，θ＝________.解析：l 1⊥l 2的充要条件是2sin θ＋sin θ＝0，即sin θ＝0，所以θ＝k π(k ∈Z )．所以当θ＝k π(k ∈Z )时，l 1⊥l 2.答案：k π(k ∈Z )14．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，A ，B 分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P 是椭圆上一点，O 是坐标原点，OP ∥AB ，PF 1⊥x 轴，|F 1A |＝10＋5，则此椭圆的方程是______________________．解析：由于直线AB 的斜率为－b a ，故直线OP 的斜率为－b a ，直线OP 的方程为y ＝－b ax .与椭圆方程联立得x 2a 2＋x 2a 2＝1，解得x ＝±22a .根据PF 1⊥x 轴，取x ＝－22a ，从而－22a＝－c ，即a ＝2c .又|F 1A |＝a ＋c ＝10＋5，故 2c ＋c ＝10＋5，解得c ＝5，从而a ＝10.所以所求的椭圆方程为x 210＋y 25＝1.答案：x 210＋y 25＝115．(x·x 高考)右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析：设抛物线的方程为x 2＝－2py ，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，所以x 2＝－2y .当y ＝－3时，x 2＝6，即x ＝±6，所以水面宽为2 6.答案：2 616．(x·天津高考)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为________．解析：由直线与圆相交所得弦长为2，知圆心到直线的距离为3，即1m 2＋n 2＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn |，所以|mn |≤16，又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1n ，所以△AOB 的面积为12|mn |≥3，最小值为3.答案：3三、解答题(本题共6小题，共70分)17．(10分)求过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)距离为2的直线方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以l 1与l 2的交点为(1,2)，设所求直线y －2＝k (x －1)(由题可知k 存在)，即kx －y ＋2－k ＝0，∵P (0,4)到直线距离为2，∴2＝|－2－k |1＋k 2， 解得k ＝0或k ＝43.∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.18．(x 分)(x·南昌模拟)已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．解：设圆心C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2， 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)由题意知，直线PA 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设PA ：y －1＝k (x －1)，PB ：y －1＝－k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝kx －1，x 2＋y 2＝2得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0.因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解，故可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2.同理可得x B ＝k 2＋2k －11＋k 2，所以k AB ＝y B －y A x B －x A ＝－k x B －－k x A －x B －x A＝2k －k x B ＋x Ax B －x A＝1＝k OP ，所以，直线AB 和OP 一定平行．19．(x 分)(x·天津高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫55a ，22a 在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点．若点Q 在椭圆上且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ 的斜率的值．解：(1)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫55a ，22a 在椭圆上，故a 25a 2＋a 22b 2＝1，可得b 2a 2＝58.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝38，所以椭圆的离心率e ＝64.(2)设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx ，设点Q 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 2b 2＝1，消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.①由|AQ |＝|AO |，A (－a,0)及y 0＝kx 0， 得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，而x 0≠0，故x 0＝－2a 1＋k2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2·a 2b2＋4.由(1)知a 2b 2＝85，故(1＋k 2)2＝325k 2＋4，即5k 4－22k 2－15＝0，可得k 2＝5. 所以直线OQ 的斜率k ＝± 5.20．(x 分)(x·河南模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，短轴的一个端点为M (0,1)，直线l ：y ＝kx －13与椭圆相交于不同的两点A ，B .(1)若|AB |＝4269，求k 的值；(2)求证：不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M . 解：(1)由题意知c a ＝22，b ＝1. 由a 2＝b 2＋c 2可得c ＝b ＝1，a ＝2， ∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －13，x 22＋y 2＝1得(2k 2＋1)x 2－43kx －169＝0.Δ＝169k 2－4(2k 2＋1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－169＝16k 2＋649＞0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4kk 2＋，x 1x 2＝－16k 2＋.∴|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝4＋k2k 2＋k 2＋＝4269，化简得23k 4－13k 2－10＝0，即(k 2－1)(23k 2＋10)＝0， 解得k ＝±1.(2)∵MA ,＝(x 1，y 1－1)，MB ,＝(x 2，y 2－1)， ∴MA ,·MB ,＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)， ＝(1＋k 2)x 1x 2－43k (x 1＋x 2)＋169＝－＋k 2k 2＋－16k 2k 2＋＋169＝0.∴不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M .21． (x·广州模拟)设椭圆M ：x 2a 2＋y 22＝1(a ＞2)的右焦点为F 1，直线l ：x ＝a 2a 2－2与x 轴交于点A ，若1OF ,＋21AF ,＝0(其中O 为坐标原点)．(1)求椭圆M 的方程；(2)设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆N ：x 2＋(y －2)2＝1的任意一条直径(E ，F 为直径的两个端点)，求PE ,·PF ,的最大值．解：(1)由题设知，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2－2，0，F 1(a 2－2，0)，由1OF ,＋21AF ,＝0，得a 2－2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2－2－a 2－2， 解得a 2＝6.所以椭圆M 的方程为x 26＋y 22＝1.(2)设圆N ：x 2＋(y －2)2＝1的圆心为N ，则PE ,·PF ,＝(NE ,－NP ,)·(NF ,－NP ,) ＝(－NF ,－NP ,)·(NF ,－NP ,) ＝NP ,2－NF ,2＝NP ,2－1.从而将求PE ,·PF ,的最大值转化为求NP ―→,2的最大值． 因为P 是椭圆M 上的任意一点，设P (x 0，y 0)， 所以x 206＋y 202＝1，即x 20＝6－3y 20.因为点N (0,2)，所以NP ,2＝x 20＋(y 0－2)2＝－2(y 0＋1)2＋x. 因为y 0∈[－2， 2]，所以当y 0＝－1时，NP ,2取得最大值x. 所以PE ,·PF ,的最大值为x.22． (x·x 模拟)如图，曲线C 1是以原点O 为中心，F 1，F 2为焦点的椭圆的一部分．曲线C 2是以O 为顶点，F 2为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线C 1和C 2的交点且∠AF 2F 1为钝角，若|AF 1|＝72，|AF 2|＝52.(1)求曲线C 1和C 2的方程；(2)设点C 是C 2上一点，若|CF 1|＝ 2|CF 2|，求△CF 1F 2的面积．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝72＋52＝6，得a ＝3.设A (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则(x ＋c )2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫722，(x －c )2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522，两式相减得xc ＝32.由抛物线的定义可知|AF 2|＝x ＋c ＝52，则c ＝1，x ＝32或x ＝1，c ＝32.又∠AF 2F 1为钝角，则x ＝1，c ＝32不合题意，舍去．当c＝1时，b ＝22，所以曲线C 1的方程为x 29＋y 28＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫－3≤x ≤32，曲线C 2的方程为y 2＝4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤32.(2)过点F 1作直线l 垂直于x 轴，过点C 作CC 1⊥l 于点C 1，依题意知|CC 1|＝|CF 2|. 在Rt △CC 1F 1中，|CF 1|＝ 2|CF 2|＝2|CC 1|，所以∠C 1CF 1＝45°， 所以∠CF1F 2＝∠C 1CF 1＝45°.在△CF 1F 2中，设|CF 2|＝r ，则|CF 1|＝2r ，|F 1F 2|＝2. 由余弦定理得22＋(2r )2－2×2×2r cos 45°＝r 2， 解得r ＝2，所以△CF 1F 2的面积S △CF 1F 2＝12|F 1F 2|·|CF 1|sin 45°＝12×2×22sin 45°＝2.第四节基本不等式[知识能否忆起]一、基本不等式ab ≤a ＋b21．基本不等式成立的条件：a >0，b >0. 2．等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 二、几个重要的不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋ab≥2(a ，b 同号)．ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．三、算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．四、利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)[小题能否全取]1．(教材习题改编)函数y ＝x ＋1x(x ＞0)的值域为( )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选C ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时取等号．2．已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81D ．243解析：选A ∵m >0，n >0，∴m ＋n ≥2mn ＝18.当且仅当m ＝n ＝9时，等号成立． 3．(教材习题改编)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34D.23解析：选B 由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．4．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________． 解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立． 答案：55．已知x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5y的最小值为________．解析：由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10. 则2x ＋5y≥210xy＝2，故⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5y min ＝2，当且仅当2y ＝5x 时取等号．又xy ＝10，即x＝2，y ＝5时等号成立．答案：21.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．2．对于公式a ＋b ≥2ab ，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a ＋b 的转化关系．3．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b2≥ab (a ，b >0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b >0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．典题导入[例1] (1)已知x ＜0，则f (x )＝2＋4x＋x 的最大值为________．(2)(x·x 高考)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245B.285C ．5D ．6[自主解答] (1)∵x ＜0，∴－x ＞0， ∴f (x )＝2＋4x ＋x ＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－x＋－x .∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4－x ，即x ＝－2时等号成立．∴f (x )＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－x ＋－x ≤2－4＝－2，∴f (x )的最大值为－2.(2)∵x ＞0，y ＞0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝1.∴3x ＋4y ＝15·(3x ＋4y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3xy ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝ ⎛⎭⎪⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)，∴3x ＋4y 的最小值为5.[答案] (1)－2 (2)C本例(2)条件不变，求xy 的最小值．解：∵x ＞0，y ＞0，则5xy ＝x ＋3y ≥2x ·3y ， ∴xy ≥1225，当且仅当x ＝3y 时取等号．∴xy 的最小值为1225.由题悟法用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件．以题试法1．(1)当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． (2)(x·天津高考)已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b的最小值为________．(3)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．解析：(1)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．(2)由log 2a ＋log 2b ≥1得log 2(ab )≥1， 即ab ≥2，∴3a＋9b＝3a＋32b≥2×3a ＋2b2(当且仅当3a ＝32b，即a ＝2b 时取等号)．又∵a ＋2b ≥22ab ≥4(当且仅当a ＝2b 时取等号)，。
高考数学专项突破：圆锥曲线专题(20200618130949)
抛物线焦点在 x轴上时为 | x1 | p ,焦点在 y轴上时为 | y1 | p 。
2
2
4、常结合其它知识进行综合考查：
（1）圆的相关知识： 两种方程 , 特别是直相关知识： 求导公式及运算法则 , 特别是与切线方程相关的知识。
（3）向量的相关知识： 向量数量积的定义及坐标运算 , 两向量的平行与垂直的判断条件等。
则 x1/ 2
b b2 4ac 。 2a
2、与直线相关的知识： （1）直线方程的五种形式： 点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式。
（2）与直线相关的重要内容：① 倾斜角与斜率： k tan , [0, ) ；
② 点到直线的距离公式： d
Ax0 By0 C 。 A2 B2
（3）弦长公式： 直线 y kx b 上两点 A(x1, y1 ), B( x2, y2 ) 间的距离：
(1) 、圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何图形。
(2) 、圆锥曲线的标准方程：
①椭圆的标准方程：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0且 a 2
b 2 c2 ) 或 x2 m
y2 n
1(m 0, n
0且m n) ；
（距离式方程： (x c) 2 y2 ( x c)2 y2 2a ）
高考数学专项突破：圆锥曲线专题
目录 一、知识考点讲解 ......................................................................2
第一部分 了解基本题型 ......................................................2 第二部分 掌握基本知识 ......................................................4 第三部分 掌握基本方法 ......................................................6 二、知识考点深入透析 ............................................................11 三、圆锥曲线之高考链接 ........................................................13 四、基础知识专项训练 ............................................................16 五、解答题专项训练 ................................................................24 附录：圆锥曲线之高考链接参考答案 ....................................29 附录：基础知识专项训练参考答案 ........................................33 附录：解答题专项训练参考答案 ............................................35
高考数学大题专项突破六 概率、统计与统计案例
������=1
i=1
(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,
^ ^ ^ 7
������
=
������=∑1(������������-������)(������������-������)
7
∑
(������������-������)2
=
1248=0.5,������
2016年的数据建立的线性模型
^
������
=99+17.5t可以较好地描述2010年
以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预
测值更可靠.
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
-12-
(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,
由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型② 得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可
基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.
-9-
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间 变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t
的值依次为1,2,…,17)建立模型①: ^������=-30.4+13.5t;根据2010年至
值为
���^���=-30.4+13.5×19=226.1(亿元).
利用模型②,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为
y^ =99+17.5×9=256.5(亿元).
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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
高考数学复习考点知识讲解课件58 圆锥曲线的综合问题
无实数解
l与C1的交点 无__公__共__点__
一__个__交__点__
_两__个__交__点_ 一__个__交__点__ _无__交__点___
(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定 直线与圆锥曲线的位置关系．
必备知识—基础落实
一、必记2个知识点 1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定 (1)代数法：把圆锥曲线方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x 的方程ax2＋bx＋c＝0.
a＝0 a≠0
方程ax2＋bx＋c＝0的解
b＝0
b≠0
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
无解(含l是双曲线的渐近线) 有一解(含l与抛物线的对称轴平
A．1
B． 2
C． 3
D．2 2
答案：D
解析：由题意可知焦点F(1，0)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由|AF|＝3＝xA＋1， 得xA＝2，又点A在第一象限，故A(2，2 2)，故直线l的斜率为2 2，选D.
5．[2022·石家庄摸底考试]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，直线l：y ＝ 3(x－1)，l与C交于A，B两点，若|AB|＝136，则p＝__2__．
高考数学复习考点知识讲解课件
第九节 圆锥曲线的综合问题
必备知识—基础落实
·最新考纲· 1．了解圆锥曲线的简单应用． 2．理解数形结合的思想． 3．掌握解决直线和圆锥曲线位置关系的方法．
·考向预测· 考情分析：直线与圆锥曲线的综合应用问题(特别是一些经典问题， 如：定值与定点、最值与取值范围、探索性问题)是高考热点，常常 与向量、圆等知识交汇在一起命题，多以解答题形式出现，近年试题 难度有所降低． 学科素养：通过最值、定点问题考查了学生的数学素养，直线与圆 锥曲线等问题考查了学生的数学运算、数学抽象．
高考一轮总复习数学(文)课件 高考大题冲关系列5ppt版本
－冲关策略－ 圆锥曲线中定值、定点问题的求解方法
圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常 数”有关，如椭圆的长、短轴，双曲线的虚、实轴，抛物 线的焦参数等．定值问题的求解与证明类似，在求定值之 前，已经知道定值的结果(题中未告知，可用特殊值探路 求之)，解答这类题要大胆设参，运算推理，到最后参数 必清，定值显现.
由①②得
m<－
36或
m>
6 3.
(2)令 t＝m1 ∈－ 26，0∪0， 26，则
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
由 Δ≥0，可得 m2≤1＋4k2.②
由①②可知 0<t≤1， 因此 S＝2 4－tt＝2 －t2＋4t. 故 S≤2 3，当且仅当 t＝1，即 m2＝1＋4k2 时取得最大 值 2 3. 由①知，△ABQ 面积为 3S，所以△ABQ 面积的最大值 为 6 3.
2， 22，D
2，－ 22.
所以|MC|·|MD|＝ 25(－m＋
5 2)·2 (
2＋m)＝54(2－m2)．
又
|MA|·|MB|＝14|AB|2
＝14
[(x1
－
x2)2
＋(y1
－y2)2]
＝
5 16
[(x1
＋
x2)2－4x1x2]＝156[4m2－4(2m2－2)]＝54(2－m2)，所以|MA|·|MB|
变式训练 3 [2015·浙江高考]已知椭圆x22＋y2＝1 上两个不同的点 A， B 关于直线 y＝mx＋12对称． (1)求实数 m 的取值范围； (2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．
解 (1)由题意知 m≠0，可设直线 AB 的方程为 y＝－m1
x＋b.
2015高考数学一轮配套课件：专题讲练五 圆锥曲线的综合问题 课件(共41张PPT)
2．中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ＞ 0或说明中点在曲线内部．
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高考总复习 数学
题型一 圆锥曲线中的最值问题
(2013·课标全国Ⅱ)平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M：ax22 ＋by22＝1(a>b>0)右焦点的直线 x＋y－ 3＝0 交 M 于 A，B 两点， P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为12. (1)求 M 的方程； (2)C，D 为 M 上两点，若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB，求 四边形 ACBD 面积的最大值．
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2．圆锥曲线的综合问题要四重视： (1)重视定义在解题中的作用； (2)重视平面几何知识在解题中的作用； (3)重视根与系数的关系在解题中的作用； (4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用．
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【解】 (1)如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|＝ |O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H 是MN的中点，
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∴|O1M|＝ x2＋42， 又|O1A|＝ x－42＋y2， ∴ x－42＋y2＝ x2＋42， 化简得 y2＝8x(x≠0)． 又当 O1 在 y 轴上时，O1 与 O 重合，点 O1 的坐标(0,0)也满足方程 y2＝8x， ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y2＝8x.
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【全程复习方略】高考数学 小专题复习课 热点总结与强化训练(五)配套课件 文 北师大
【规范解答】(1)由已知条件a2=m,b2=9，则
c2=a2+b2=m+9=52=25，解得m=16.
(2)因为一条切线为x=1，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶
点，所以椭圆的右焦点为(1,0)，即c=1，设点P(1，1 ),连接
2
OP，则OP⊥AB，因为kO12 P= ，所以kAB=-2，又因为直线AB过点 (1，0)，所以直线AB的方程为2x+y-2=0，因为点(0，b)在直线
x 2 + y 2 = 1 , c=a2-b故2=焦4 点-1坐=标3,为(± ,0).
4
3
(2)m=3时，显然A在焦点2( 2 ,0)与原点之间，设点
P(3cosθ,sinθ)，则|PA|2=(3cosθ-2)2+sin2θ=9cos2θ-
12cosθ+4+1-cos2θ=8cos2θ-12cosθ+5，令t=cosθ(t∈
y 2 - x 2 = 1 的一个焦点，则m=________.
m9
(2)(2011·江西高考)若椭圆
x2 a2
+
y b
2 2
= 1的焦点在x轴上，过点
(1, 1 )作圆x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过
2
椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是___________.
【解题指南】(1)通过方程确定a、b,c及利用其几何关系确定m 的值； (2)可用点斜式求出直线AB的方程，再由直线AB过椭圆的右焦 点和上顶点，即可求出椭圆中a、b的值.
e2
<
1解, 得
<2e<1，
2
所以当0<e≤ 2 时，不存在直线l，使得BO∥AN；当 2 <e<1