四元数的初步总结
四元数简介——精选推荐
四元数简介在我之前，⽹上各个博客各⼤⽹站都有很多关于四元数的介绍与讲解！但我总结了⼀下接三个字：看不懂！说实话！这真的是实话！举个例⼦：1.旋转，应该是三种坐标变换——缩放、旋转和平移，中最复杂的⼀种了。
⼤家应该都听过，有⼀种旋转的表⽰⽅法叫四元数。
按照我们的习惯，我们更加熟悉的是另外两种旋转的表⽰⽅法——矩阵旋转和欧拉旋转。
矩阵旋转使⽤了⼀个4*4⼤⼩的矩阵来表⽰绕任意轴旋转的变换矩阵，⽽欧拉选择则是按照⼀定的坐标轴顺序（例如先x、再y、最后z）、每个轴旋转⼀定⾓度来变换坐标或向量，它实际上是⼀系列坐标轴旋转的组合。
那么，四元数⼜是什么呢？简单来说，四元数本质上是⼀种⾼阶复数（听不懂了吧。
），是⼀个四维空间，相对于复数的⼆维空间。
我们⾼中的时候应该都学过复数，⼀个复数由实部和虚部组成，即x = a + bi，i是虚数单位，如果你还记得的话应该知道i^2 = -1。
⽽四元数其实和我们学到的这种是类似的，不同的是，它的虚部包含了三个虚数单位，i、j、k，即⼀个四元数可以表⽰为x = a + bi + cj + dk。
那么，它和旋转为什么会有关系呢？怎么样，看得懂吗？反正⼩编是被现实胖揍⼀顿！那么，今天我们要怎么来介绍这个四元数呢？我们来最简单暴⼒的！重新定义⼀下这个怪物四元数！Quaternion（四元数）⽤于计算和表⽰Unity旋转。
它们计算紧凑⾼效，不受万向节死锁的困扰，并且可以很⽅便快速地进⾏球⾯插值。
Unity内部使⽤四元数来表⽰所有的旋转。
注意重点：1，不受万向节死锁的困扰。
2，⽅便快速地进⾏球⾯插值。
3， Unity内部使⽤四元数来表⽰所有的旋转。
好了，现在你得重定义应该是这样的：定义：Quaternion（四元数）⽤于计算和表⽰Unity旋转。
就像当初数学⽼师告诉你∏（pai）⽤来表⽰圆周率⼀样！你有探究过∏（pai）是怎么算出来的吗？但是你们是不是都知道怎么利⽤圆周率计算圆的⾯积呢？类似的，对于初学者的我们，最重要的是现在要学会和记住四元数的使⽤⽅法。
四元数
1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 ,则集 H 内任意方阵可唯一表为 aIbE cJ dK ,即 , E 1 0 , J ;K c d a b 1 0 0 1 1 0 1 d c b a 0 1 1 0 1 1 0 2 2 2 H {aI bE cJ dK | a,b,c,dR} ,H 对矩阵减法封闭 ;且 E J K I , EJ K,JK E,KE J; JE K,KJ E,EK J ,矩阵乘法在 H 内封闭,故 H 对矩阵加,乘法构 1 来自
[d, b, c] [a, d, c] [a, b, d] 推论 [a, b, c] 0 d a b c a {b (c d)} (b d)(a c) (b c)(a d) [a, b, c] [a, b, c]
S() : 2a R
N( ) : a2 b2 c2 d2 R
证明: 0 0, oder, 0
0, und, 0 0 N( ) 0 0 ,即 0, und, 0 0 ,同理 0,und, 0 0 0 N( ) 0 证明:若 是方程 x 2 S( ) N( ) 0 的根,则 也是其根. 因为, 是方程 x 2 S( ) N( ) 0 的根 2 ( ) ( ) 0 2 ( ) ( ) 0 也是其根)
四矢外积: (a b) (c d) [a, b, d]c [a, b, c]d [c, d, a]b [c, d, b]a (V, V, V, V) V 三矢外积 三矢外积 (a b) (c d) ((a b) d)c ((a b) c)d [a, b, d]c [a, b, c]d; (a b) (c d) ((c d) a)b ((c d) b)a [c, d, a]b [c, d, b]a
四元数
二.四元数与姿态阵之间的关系
3.由于 || Q || q0 2 q12 q2 2 q3 2 =1，所以：
q0 2 q12 q2 2 q3 2 R Cb 2(q1q2 q0 q3 ) 2(q q q q ) 1 3 0 2
2(q1q2 q0 q3 ) q0 q1 q2 q3 2(q2 q3 q0 q1 )
构造四元数：
q0 cos
2
2 q2 m sin 2 q3 n sin 2
q1 l sin
Q q0 q1i0 q2 j0 q3 k0 cos cos
2
(li0 mj0 bk0 ) sin
2
2
u R sin
2
二.四元数与姿态阵之间的关系
记：
rx ' r 'R r ' y rz '
rx rR r y rz
l uR m n
二.四元数与姿态阵之间的关系
0 n m rx r (u r ) R n 0 l y 0 m l rz
q0 2 q12 q2 2 q3 2 CbR 2(q1q2 q0 q3 ) 2(q q q q ) 1 3 0 2 2(q1q2 q0 q3 ) q0 q1 q2 q3 2(q2 q3 q0 q1 )
2 2 2 2
2(q2 q3 q0 q1 ) 2 2 2 2 q0 q1 q2 q3 2(q1q3 q0 q2 )
二.四元数与姿态阵之间的关系
四元数的初步总结
四元数的初步总结（一）前一阵子，以前公司的一位同事向我请教一段计算机图形程序中的算法，其中涉及齐次坐标和四元数。
齐次坐标问题到好讲解，但四元数方面以前所知几乎为零。
正好我看到齐民友在《复分析，可视化方法》译后记中提到的一本书：《高观点下的初等数学》([德]克莱因著，以下简称《初等数学》)当中有一段讲到四元数，于是就细读了一遍，把这个专题的整理笔记写下来。
但是那本书里有很多结果依靠繁杂的机械运算，让人看了不知道这样的结果是怎么得出来的。
因此我们这里用向量代数的观点重新审视四元数的一些结果，让四元数的特性看起来更直观，更自然。
另外还有一些我认为重要的有关四元数引入的背景知识，例如数域的扩充问题的证明，那本书里只有一部分提示，这里也试着补全一些。
一、四元数引入的理论背景将实数域扩充到复数域，并用复数来表示平面向量，用复数的加、乘运算表示平面向量的合成、伸缩和旋转变换，这些观念已经在中学课程中学过了。
那么，很自然的问题就是，在三维，或更高维空间中是否也有复数的类似物？也就是说，像扩充实数那样，在复数域的基础上添加一个或几个新的元素，并且让它们跟原来的复数做加减乘除，是否就可以得到一个新的数集，并且其中的元素还可以像复数域那样做加、减、乘、除运算，并满足通常复数的那些运算律，包括加法和乘法的交换律与结合律、乘法对加法的分配律等待？更进一步，我们是否可以期望用这样的数来表示三维或更高维空间中的伸缩和旋转，就像用复数表示平面向量的伸缩旋转那样方便？把问题说得明确一些，即是说，我们是否可以像得到复数域那样，在复数域中再添加一个新的元素（因此也是在实数基础上添加两个元素和），得到一个类似于复数集合，这个集合中的元素当时就是普通的复数，当时就是普通的实数，并且通常数的加减乘除运算及其性质都可以在这个集合上保持，即满足：1、对于任意两个数，它们的和是唯一确定的。
2、对于任意两个数，它们的积是唯一确定的。
3、存在一个数0，它具有性质：对于任意a，均有a+0=a。
四元数
定义两个四元数：
其中表示矢量 ；而表示矢量。
跟复数、向量和矩阵一样，两个四元数之和需要将不同的元素加起来。 加法遵循实数和复数的所有交换律和结合律。
威廉·卢云·哈密顿
明确地说，四元数是复数的不可交换延伸。如把四元数的集合考虑成多维实数空间的话，四元数就代表着一 个四维空间，相对于复数为二维空间。
四元数是除环（除法环）的一个例子。除了没有乘法的交换律外，除法环与域是相类的。特别地，乘法的结 合律仍旧存在、非零元素仍有逆元素。
四元数形成一个在实数上的四维结合代数（事实上是除法代数），并包括复数，但不与复数组成结合代数。 四元数（以及实数和复数）都只是有限维的实数结合除法代数。
不只如此，哈密顿还创造了向量的内外积。他亦把四元数描绘成一个有序的四重实数：一个纯量和向量的组 合。若两个纯量部为零的四元数相乘，所得的纯量部便是原来的两个向量部的纯量积的负值，而向量部则为向量 积的值，但它们的重要性仍有待发掘。
哈密顿之后继续推广四元数，并出了几本书。最后一本《四元数的原理》（Elements of Quaternions）于 他死后不久出版，长达八百多页。
非奇异表达（和例如欧拉角之类的表示相比）
比矩阵更紧凑（更快速）
单位四元数的对可以表示四维空间中的一个转动。
所有单位四元数的集合组成一个三维球和在乘法下的一个群（一个李群）。是行列式为1的实正交3×3正交 矩阵的群的双面覆盖，因为每两个单位四元数通过上述关系对应于一个转动。群和同构，是行列式为1的复酉 2×2矩阵的群。令为形为的四元数的集合，其中或者都是整数或者都是分子为奇数分母为2的有理数。集合是一 个环，并且是一个格。该环中存在 24个四元数，而它们是施莱夫利符号为的正二十四胞体的顶点。
四元数-第1讲
四元数-第1讲
What-四元数
定义1：
若存在复数A=a+bi和C=c+di，构建Q=A+Cj并定义k=ij，因此生成
四元数空间H:
Q=a+bi+cj+dk
上式a,b,c,d为R；i,j,k为虚数单位向量；
ii=jj=kk=ijk=-1，ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j;右手法则
注：通过Q发现，实数、虚数、复数均属于四元数；
定义2：
四元数定义为标量与向量的和,第一部分是实数或标量，第二部分(加粗)
是虚数或向量,
四元数Q视作四维向量q，可表示实数和纯虚数；
2.How-四元数basis
基本运算法则:
+、、 1、 *、 ||.||、 -1(逆)、 normalized
2.1加法(+)：
对应位置相加，满足加法交换律和结合律；
p+q=q+p p+(q+r)=(p+q)+r
2.2乘法()：
不满足交换律(因叉乘导致，叉乘为零可交换)，满足结合律；
并满足对加法的分配律：
四元数乘法可转变为矩阵乘积：
注：
表示向量生成斜对称矩阵；
（向量叉乘）
2.3单元四元数([1,0,0,0]) ：
满足
2.4共轭(*)：
四元数共轭定义标量部分不变，向量（虚数部分）取相反数；
四元数与其共轭四元数相乘等于各部分平方和；
2.5范数(||.||):
定义如下，
2.6逆(-1):
四元数乘以四元数的逆等于单元四元数[1,0,0,0];
结合四元数共轭可知：
2.7单位四元数(normalized)：
范数等于1的四元数，结合上式可得，
单位四元数可作为方向/旋转操作符，这意味旋转逆操作可使用四元数共轭。
四元数详解
四元数详解四元数是一种数学概念，它在多个领域都有广泛的应用。
在计算机图形学中，四元数用于表示旋转变换。
下面我将以人类的视角来介绍四元数的定义、性质和应用。
四元数是一种扩展了复数的数学结构。
它由一个实部和三个虚部组成，可以写成q = a + bi + cj + dk的形式，其中a、b、c、d分别是实数，i、j、k是虚数单位。
与复数一样，四元数也有加法和乘法运算。
我们来看四元数的定义。
四元数的实部a对应于实数部分，而虚部bi + cj + dk对应于虚数部分。
四元数的加法定义很简单，就是将实部和虚部分别相加。
而乘法则稍微复杂一些，需要使用四元数的乘法规则：i² = j² = k² = ijk = -1。
通过这个规则，我们可以计算出两个四元数的乘积。
接下来，我们来探讨一下四元数的性质。
首先，四元数的加法满足交换律和结合律。
然而，四元数的乘法不满足交换律，即ab ≠ ba。
此外，四元数的乘法满足结合律，但不满足分配律。
这些性质使得四元数的运算有一些独特的特点。
四元数在计算机图形学中有广泛的应用。
由于四元数可以用于表示旋转变换，因此在三维游戏和动画中经常被用到。
与传统的欧拉角相比，四元数具有很多优点，例如不存在万向锁问题和旋转插值更加平滑。
因此，使用四元数可以提高计算机图形学的效率和质量。
除了计算机图形学，四元数还在其他领域有着重要的应用。
例如，在航空航天领域，四元数可以用于表示飞行器的姿态和旋转控制。
在物理学中，四元数可以用于描述粒子的自旋。
此外，四元数还可以用于解决某些数学问题，例如解四次方程和计算曲线的弯曲度。
四元数是一种重要的数学概念，具有广泛的应用。
它在计算机图形学、航空航天和物理学等领域都发挥着重要作用。
通过深入理解四元数的定义、性质和应用，我们能够更好地应用它们解决实际问题，推动科学技术的发展。
四元数
四元数一、四元数的来历四元数（Quaternions ）最先是由爱尔兰数学家哈密顿（William Rowan Hamilton ）在1843年发明的数学概念，它是最简单的超复数起初，我们所熟知的复数是由实数加上元素组成的，形式如下所示 z a ib =+将两维复数扩展至三维复数，可以得到z a ib jc =++现在把两个三维复数相乘，并化简得到12121212121212121212()()()z z a a bb c c i a b b a j a c c a ijb c jic b =--++++++ 然而，对于上式得到的结果ij 和ji 并不是确定的值，因此哈密顿引入了四维复数的概念，将z 写成四维复数的形式，即z a ib jc kd =+++这时，再将两个四维复数相乘，化简可得1212121212121212121212121212121212()()()z z a a b b c c d d i a b b a j a c c a k a d d a ijb c ikb d jic b jkc d kid b kjd c =---++++++++++++然后，哈密顿做了如下规定，即ij=k jk=i ki=j ji=-k kj=-i ik=-j按照如上规定，式化简为如下形式121212121212222111121212121212()()()()()()z z a a b b c c d d a ib jc kd a ib jc kd i c d d c j d b b d k b c c b =-+++++++++-+-+-最后，将z1,z2写成最初的形式，即111222z s v z s v =+=+式中，v1,v2分别表示z1,z2的虚数部分得到121212122112z z s s v v s v s v v v =-+++⨯哈密顿将此式中的对象z1z2叫做四元数，并把虚数部分称作是向量。
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四元数的初步总结（一）前一阵子，以前公司的一位同事向我请教一段计算机图形程序中的算法，其中涉及齐次坐标和四元数。
齐次坐标问题到好讲解，但四元数方面以前所知几乎为零。
正好我看到齐民友在《复分析，可视化方法》译后记中提到的一本书：《高观点下的初等数学》([德]克莱因著，以下简称《初等数学》)当中有一段讲到四元数，于是就细读了一遍，把这个专题的整理笔记写下来。
但是那本书里有很多结果依靠繁杂的机械运算，让人看了不知道这样的结果是怎么得出来的。
因此我们这里用向量代数的观点重新审视四元数的一些结果，让四元数的特性看起来更直观，更自然。
另外还有一些我认为重要的有关四元数引入的背景知识，例如数域的扩充问题的证明，那本书里只有一部分提示，这里也试着补全一些。
一、四元数引入的理论背景将实数域扩充到复数域，并用复数来表示平面向量，用复数的加、乘运算表示平面向量的合成、伸缩和旋转变换，这些观念已经在中学课程中学过了。
那么，很自然的问题就是，在三维，或更高维空间中是否也有复数的类似物？也就是说，像扩充实数那样，在复数域的基础上添加一个或几个新的元素，并且让它们跟原来的复数做加减乘除，是否就可以得到一个新的数集，并且其中的元素还可以像复数域那样做加、减、乘、除运算，并满足通常复数的那些运算律，包括加法和乘法的交换律与结合律、乘法对加法的分配律等待？更进一步，我们是否可以期望用这样的数来表示三维或更高维空间中的伸缩和旋转，就像用复数表示平面向量的伸缩旋转那样方便？把问题说得明确一些，即是说，我们是否可以像得到复数域那样，在复数域中再添加一个新的元素（因此也是在实数基础上添加两个元素和），得到一个类似于复数集合，这个集合中的元素当时就是普通的复数，当时就是普通的实数，并且通常数的加减乘除运算及其性质都可以在这个集合上保持，即满足：1、对于任意两个数，它们的和是唯一确定的。
2、对于任意两个数，它们的积是唯一确定的。
3、存在一个数0，它具有性质：对于任意a，均有a+0=a。
4、对于每一个数a，均存在数x，适合等式a+x=0。
5、加法适合交换律：a+b=b+a。
6、加法适合结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
7、乘法适合交换律：a·b=b·a。
8、乘法适合结合律：(a·b)·c=a·(b·c)。
9、乘法对加法适合分配律：a (b+c)=ab+ac 和(a+b)c=ac+bc。
10、1 是乘法单位元，即仍然满足1·a=a·1=a11、乘法有逆元，即对每个非零数a，存在唯一的数x，满足等式xa=ax=1。
历史上有很多数学家试图寻找过三维的复数，但后来证明这样的三维复数是不存在的。
有关这个结论的证明，我没有查到更明确的版本，据《古今数学思想》中的一个理由，三维空间中的伸缩旋转变换需要四个变量来决定：两个变量决定轴的方向，一个变量决定旋转角度，一个变量决定伸缩比例。
这样，只有三个变量的三维复数无法满足这样的要求。
但是历史上得到的应该是比这个更强的结论，即使不考虑空间旋转，只从代数角度来说，三维的复数域作为普通复数域的扩张域是不存在的。
并且，据《古今数学思想》叙述，即使像哈密尔顿后来引入四元数那样，牺牲乘法交换律，这样的三维复数也得不到。
(”……经过一些年的努力之后，Hamilton 发现自己被迫应作两个让步，第一个是他的新数包含四个分量，而第二个是他必须牺牲乘法交换律。
”–《古今数学思想》第三册177页)据《初等数学》中给出的提示，我们可以做出这个命题的证明：证明：假设这样的数域存在，那么类似于复数，我们显然可以将看成实数域上的三维向量空间。
这是因为上有加法运算和数乘运算，满足1) 加法交换律与结合律2) 数量乘法的结合律3) 0 可以作为零向量4) 加法有负元5) 1a=a验证以上各性质没有用到乘法交换律。
同时，因为是这个向量空间上的一组基底，所以这是个三维向量空间。
接下来考察上的一个变换，其中不是实数，我们可以任取一个普通复数，比如。
可知这样的变换是线性变换，这是因为，由乘法对加法的分配律，有，由乘法结合律，以及在复数范围内乘法有交换律，那么因此，这是个实数域上三维向量空间中的线性变换，根据线性代数理论知，有特征值与特征向量，即存在实数和中的元素满足同时在等式两边右乘的乘法逆元，就得到，这与不是实数的假设矛盾。
知道了复数不能推广到三维，我们把目光移向哈密尔顿构造的四维复数，即四元数。
复数推广到四元数，必须牺牲掉数域的某一条或几条性质，哈密尔顿抛弃了乘法交换律。
为什么是这样呢？因为：命题2：在实数域中再添加有限个新的元素得到的数域都不可能比复数域大，也就是说，如果要求还是数域，还满足所有运算性质，那么就只能是跟复数域一样的东西（即跟复数域同构）。
证明：假设是数域，那么同样的，可以把看成实数域上的n 维向量空间，在这个集合中任取一个非实数，那么向量组因为有个向量，所以线性相关，所以存在实数使得因为不是实数，所以这个多项式至少是2次的，因此不妨设，因此是这个实系数n 次方程的根。
因与实数满足通常的运算律，根据多项式因式分解定理，可以把上面的实系数多项式分解为一次与二次实系数因式的乘积，得到因为不是实数，所以前面的一次式不为零，只有后面某个二次式等于零。
设其中实数满足。
做变换，则有。
对于每一个新元素 ，都有相应的 满足 ，现在我们任取两个这样的，不妨设为 和，如果考察 的一个子集，那么这个就相当于我们通常的复数单位 ，这个也同构于通常的复数域。
如果在上分解二次多项式，我们就可以得到。
现在把 代入，有。
（注：关键在这个式子中的交换律，四元数没有交换律，因此四元数在这里没有问题）因此或者 ，或者，说明可以用与实数运算表示出来，也就是 。
所以只能，故与复数域同构。
这样，又由于三维空间中的伸缩旋转的复合运算不满足交换律，那么哈密尔顿牺牲乘法交换律而引入四元数，就显得很自然了。
二、四元数的加乘运算哈密尔顿在实数基础上添加三个新的基本单位元素，做成一个新的数集：，基本元素之间的乘法满足同时，1 仍然有乘法单位的特性，即 1 与任何单位元素相乘都等于那个元素：这样，相当于制定了一张单位元素之间的乘法表： 1 i j k 1 1 i j k i i -1 k -j j j -k -1 i kkj-i-1以上表格中，最左边的列表示被乘数，最上面行表示乘数。
那么根据这个乘法表，并且规定两个四元数 的加法与乘法运算如下： 对于加法，有对于乘法，有我们先将当成普通的三个变量来展开这个乘积，但要注意之间的乘积的顺序，因为它们之间不满足乘法交换律；然后再对照乘法表，将之化简，就得到以上就是四元数加法与乘法的定义。
可以立即验证加法交换律、结合律，以及等式p+0=0+p=p，方程p+x=0 恒有解，还有乘法对加法的分配律都是成立的。
对于乘法结合律，我们使用一点小技巧，先不管是什么，把它们当成普通的字母，那么对它们的加乘运算就类似于多元多项式运算了，只不过字母之间没有乘法交换律。
但是结合律对字母乘法是成立的，因为可以用乘法表验证。
这样的多元多项式之间必然是满足乘法结合律的，因此和从形式上相等（即i,j,k,i^2,j^2,k^2,ij,ji,jk,kj,ik,ki,iji,jij… 等等这些一次到三次乘积的系数对应相等，想想矩阵运算！）那么把它们按乘法表替换之后也相等。
这是《初等数学》中提出的方法。
另一种更讨巧的方法是《复分析，可视化方法》中用矩阵具体构造的四元数模型，设置四个二阶矩阵分别定义成四元数中的四个单位元素，它们的乘法表符合四元数乘法表，那么它们的实系数线性组合对应的矩阵的加法与乘法可以与四元数集合一一对应。
利用矩阵的结合律，可证明四元数的结合律（这个过程中需注意四个矩阵的线性无关性，否则这样的证明是无效的）。
因此乘法结合律也可以证明是成立的。
1是乘法单位元，即1p=p1=p，这条性质也容易验证。
所以，对于上面提到的数域的十一条性质，除第七条乘法交换律，和第十一条乘法逆元存在性之外的所有性质，四元数都满足。
四元数显然不满足乘法交换律，那么对于乘法逆元的存在性，以及乘法的逆运算–除法的讨论将在下一节进行。
下一节还将集中于四元数运算的几何意义。
9月16日补充:1, 有关四元数乘法表的确定可能有些人看到四元数乘法规则的时候，会感觉到有些奇怪，为什么三个数的平方都定义成-1？就没有其他方式的定义吗？而更多的人可能觉得乘法表的指定完全是人为规定的，没有什么道理。
这个问题在昨天做出”命题2″的证明的时候就有了一点启示，昨天躺在床上终于把它想清楚了。
在”命题2″的证明前半部分我们看到，没有乘法交换律的时候，每引入一个新的类型的数，比如在实数中引入，再引入，每引入一个这样的数，就相当于引入了方程的一个新的根。
即使不令，还是会有一个新的数满足，那么这个数与原来的复数之间的关系就是平凡的相加相乘关系，用一个可以表示另一个。
这样倒不如直接设。
在复数基础上只添加一个还不够，还有新的数需要引入，那就是。
怎么引入呢？注意到乘积，它不可能是三元的复数，不可能是的形式，因为如果那样的话，参照上面乘法表，去掉最后的做被乘数和乘数的行与列，其它行列就都与无关，三个数的实系数线性组合就构成”三元数”了，这是不可能的。
所以乘积就引入一个新的数，定名为。
那么就是必然的。
这样，乘法表中只剩余四个空缺没有填满，分别是。
这四个值互相关联，只要确定一个，其它的也确定。
目前还没有找到合适的必然的理由来定义它们的值。
但它们的值不是随意确定的。
比如，如果令，那么由于，得，即，为了没有零因子只能。
所以如果是实数那么只能是负数。
现在我们接受，那么其它值也随之确定，乘法表就确定下来了。
（二）三、四元数乘法的性质与几何意义四元数的乘法不满足交换律，比如，。
但不是所有的四元数乘积在交换因子之后都变换符号，比如：而但是也不是所有的四元数都不遵循交换律，比如，这个事情比较奇怪，两个四元数，它们不同顺序的乘积和到底有什么关系呢？看一下刚才的三个例子，好像不管两个乘积是否相等，它们的实数部分都是相等的。
您可以再试验几个例子，看一看是不是这样，甚至可以编写一个计算四元数乘积的程序，尝试更多的例子，看一看两个乘积到底有什么关系。
但是在我们讨论之后，事情就会比较明朗了。
我们从最简单的例子思考，，这几个式子让我们想起了三维空间中的外积，如果把看成三维空间中右手直角坐标系的三个坐标轴上的单位向量，那么它们之间的外积完全符合四元数乘法表。
外积也满足乘法对加法的分配律，数量乘法也可以自由出入外积的运算，等等。
所以，两个三维向量的外积运算就很类似于四元数的乘法运算：但是所不同的是，在四元数乘法中，三个平方项都等于-1，而在外积中，同方向的向量外积是零。