勾股数规律的探究
探究：关于勾股定理的那点事(勾股的历史、证明,勾股数探究等)
探究：关于勾股定理的证明的那点事在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”（Pythagoras Theorem）。
数学公式中常写作a2+b2=c2勾股定理（又称商高定理，毕达哥拉斯定理）是一个基本的几何定理，早在中国商代就由商高发现。
据说毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。
勾股定理指出：直角三角形两直角边（即“勾”“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a^2+b^2=c^2 (为了编辑省时，以下“a2”用“a^2”代替)勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
勾股定理其实是余弦定理的一种特殊形式。
我国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五。
”它被记录在了《九章算术》中。
勾股数组满足勾股定理方程a^2+b^2=c^2的正整数组(a,b,c)。
例如(3,4,5)就是一组勾股数组。
由于方程中含有3个未知数，故勾股数组有无数多组。
勾股数组的通式：a=m^2-n^2b=2mnc=m^2+n^2(m>n,m,n为正整数）推广1、如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。
即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。
2、勾股定理是余弦定理的特殊情况。
勾股定理定理如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a^2+b^ 2=c^2;；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
古埃及人利用打结作Rt如果三角形的三条边a，b，c满足a^2+b^2=c^2;，还有变形公式：A B=根号（AC^2+BC^2），如：一条直角边是3，另一条直角边是4，斜边就是3×3+4×4=x×x，x=5。
勾股数的规律总结
勾股数的规律总结我们知道，像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.勾股数有什么规律吗？下面就让我们分类探究一下.一、最短边的长度为奇数 观察下表中的勾股数：根据上面的表格，我们可以发现以上勾股数（，，无公约数）具备一定的特征，很显然，当21a n =+（n ≥1）时，()21b n n =+，()211c n n =++.同时我们容易验证：()()()2222121211n n n n n +++=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即当最短边的长度为奇数时，勾股数有此规律. 二、最短边的长度为偶数最短边的长度为偶数时，没有公约数的勾股数又有什么规律呢？首先，最短边为偶数时，其他两边不可能再是偶数，否则就有了公约数2，所以另外两个勾股数必为奇数，而且这两个奇数的平方差是8的倍数（八年级上册曾学过）.这是因为两个奇数可以表示为21m +和21n +，这里的m 、n 都是正整数，不妨设m n >，则()()()22222121441441m n m m n n +-+=++-++()()2244m nm n =-+-()()41m n m n =-++.因为m 、n 都为正整数，而任意两个正整数的和与差具有同奇同偶性，所以m n -与1m n ++这两个数中，有且只有一个偶数，所以()()41m n m n -++必定能被8整除.这说明，一组无公约数的勾股数中，如果最小的数为偶数，则它的平方必为8的倍数，而另外两数必为奇数.由此表格中的数据可以得出，该表格中的无公约数的勾股数具备这样的特征：当（n ≥1）时，2161b n =-，2161c n =+，同时我们容易验证：()()()222228161161n n n +-=+.综上，我们对无公约数的勾股数做了一定的探索，并获得了一般规律，只要能牢固掌握这些规律，今后解决相关的题目就能够驾轻就熟.。
勾股数的规律
精选范本所谓勾股数，就是当组成一个直角三角形的三边长都 为正整数时，我们就称这一组数为勾股数那么，组成一组勾股数的三个正整数之间， 是否具有一定的规律 可寻呢？下面我们一起来观察几组勾股数：规律一：在勾股数(3, 4, 5)、( 5，12，13)、( 7,24, 25)( 9, 40，41)中，我们发现由(3, 4, 5)有：3 2=9=4+5 由(5, 12, 13)有：5 =25=12+13 由(7, 24, 25)有：7 =49=24+25 由(9, 40, 41)有： 92=81=40+41.即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好 等于另外两个连续的正整数之和。
因此，我们把它推广到一般，从而 可得出以下公式：2 2 2 2•••(2n+1) =4n+4n+仁(2n +2n ) + (2n+2n+1)2 2 2 2 2•••(2n+1) + (2n+2n ) = (2n+2n+1)(n 为正整数) 勾股数公式一：(2n+1, 2n 2+2n , 2n 2+2n+1)(n 为正整数) 等于两个连续整数之和的二倍，推广到一般，从而可得出另一公式：2 2 2 2•••(2n ) =4n =2[ (n-1 ) + (n+1)]•••(2n ) + (n-1 ) = (n +1) (n 》2 且 n 为正整数)勾股数公式二：(2n , n 2-1 , n 2+1)( n 》2且n 为正整 数)禾U 用以上两个公式，我们可以快速写出各组勾股数。
规律二：在勾股数(6, 8, 26)中，我们发现 由(6, 8, 10)有： 由(8, 15, 17)有： 由(10, 24, 26)有： 即在一组勾股数中, 10)、( 8, 15, 17)、( 10, 24,2 6 =36=2X( 8+10)82=64=2X( 15+17)2 10 =100=2X( 24+26) 当最小边为偶数时，它的平方刚好。
八年级数学上册《探寻勾股数》教案、教学设计
b.对于基础较好的学生，引导他们深入探索勾股定理的证明过程，提高他们的思维能力和解决问题的能力。
4.精讲多练，巩固知识：在教学过程中，教师应注重讲解与练习的相结合，让学生在解答过程中巩固所学知识，提高解题能力。
5.拓展延伸，培养创新：在学生对勾股定理有了基本掌握后，引导他们探索勾股定理在其他领域中的应用，如物理、工程等，培养学生的创新思维和跨学科素养。
2.提倡学生独立思考，遇到问题可以与同学讨论，但不得直接抄袭他人答案。
3.家长要关注学生的学习情况，协助学生完成实践题和思考题，培养学生的自主学习能力。
4.教师在批改作业时，要关注学生的解题思路和方法，及时给予反馈和指导，帮助学生提高。
2.提高题：尝试完成课本第17页提高题6、7。这两道题目涉及勾股定理的逆向应用，有助于培养学生的逆向思维和解决问题的能力。
3.实践题：结合生活实际，设计一道与勾股定理相关的实际问题，并运用勾股定理解决问题。例如，测量学校旗杆的高度、计算三角形土地的面积等。要求学生将问题、解题过程和答案写成一篇小论文，提高学生的应用能力和写作能力。
在本章节的教学中，要充分考虑到学生的认知水平和心理特点，注重激发学生的兴趣，引导他们通过自主探究、合作交流的方式去发现勾股定理。此外，针对学生在解决问题时可能遇到的困难，教师应适时给予指导，帮助学生克服困难，提高解决问题的能力。
同时，要关注学生的个体差异，对于基础较弱的学生，教师应给予更多的关注和鼓励，帮助他们建立信心；对于基础较好的学生，则可以适当提高要求，引导他们深入挖掘勾股定理的内涵和外延，培养他们的创新思维和解决问题的能力。通过本章节的学习，使学生在掌握勾股定理的基础上，进一步提高数学素养，培养良好的学习习惯和团队合作精神。
探索勾股数规律
小试牛刀
探究点二：勾股数的倍数问题
2倍
3，4，5 5，12，13 8，15，17 7，24，25 6，8，10 10，24，26
3倍
9，12，15 15，36，39
4倍
12，16，20 20，48，52 32，60，68
28，96，100
10倍
30，40，50
50，120，130 80，150，170
5353 ， 6868
，7676
探索勾股数的规律
学习目标：
1、掌握勾股数概念，记住常见勾股数；
2、探索基本勾股数的常见规律，理解其探索 过程； 3、享受探索的乐趣，培养学习数学的过程中 不畏难题，自觉主动探索新知的精神；
预习反馈
1、凡是可以构成一个直角三角形三边的一 组 正整数 ，我们称之为勾股数。
16，30，34
14，48，50
24，45，51
21，72，75
70，240，250
任意倍呢？
小试牛刀
探究点二：勾股数的倍数问题
总结：勾股数的整数倍仍然是 勾股数 。 因此，当有一组数有公因数时，我们可约去 公因数，再来判断这组数是否是勾股数。
提升能力
探究点三：最小边为奇数时，勾股数的一般形式
当n≧1且为正整数时，2n必然为偶数，因此我 们可将最小边表示为2n+1，即a边为2n+1， 2 那么b边则为 2n +2n （用化简后的形式）， c边为 2n2+2n+1 。
总结：当最小边为奇数时，一组勾股数的一般 形式为：2n+1， 2n2+2n ， 2n2+2n+1 。
提升能力
探究点四：最小边为偶数时，勾股数的一般形式
勾股数规律的探究
勾股数规律的探究在直角三角形中，斜边长为c ，两条直角边长分别为a 、b ，那么a 2+b 2=c 2，这个结论通常叫做勾股定理，因为在中国古代，称直角三角形较短的一条直角边为勾，较长的一条直角边为股，斜边为弦．使a 2+b 2=c 2成立的任何三个自然数便组成勾股数，我们知道3，4，5；6，8，10；5，12，13都是勾股数，勾股数有没有规律可循呢？下面我们作一探究．如下表，其中所给的每行的三个数a 、b 、c ，有a ＜b ＜c ，试根据表中已有的数的规律，把b 、c 用a 的代数式表示出来，并写出①当a =2n （n 为大于等于1的整数）时，b 、c 的值；②当n =20时，b 、c观察得出表中已有数的规律为⎩⎨⎧+==+2222b c c b a 由①得（b +c ）（c -b ）=a 2 ③把②代入③得b =42a -1，c =42a +1 当a =2n 时，b =442n -1=n 2-1 c =442n +1=n 2+1 当a =20时，b =102-1=99，c =102+1=101规律：当a 是偶数2n （n 为大于等于1整数）时，b 为n 2-1，c 为n 2+1，不难看出c =b +2，即2n ，n 2-1，n 2+1为勾股数．下面我们再来探究为a 奇数2n +1（n 为大于1的整数）时，勾股数的规律．我们知道3，4，5；5，12，13；7，24，25…都是第一个数为奇数的勾股数，观察得出已有数的规律为⎩⎨⎧+==+1222b c c b a 把②代入①得b =212-a ③ ① ②① ②把③代入②得c=212-a+1=212+a=21 )12(2++n当a=2n+1时，b=21 )12(2-+n，c=21 )12(2++n规律：当a为奇数2n+1（n≥1的整数）时，b为21 )12(2-+n，c为21 )12(2++n，不难看出c=b+1，即2n+1，21 )12(2-+n，21 )12(2++n为勾股数，如25，312，313为勾股数．例给出下列几组数：①6，7，8；②9，40，41；③11，264，266；④14，194，200，其中能组成直角三角形的三条边长的有．解：对于①∵6为偶数，8-7=1不等于2，所以①不能，对于②，因为9为奇数，181-180=1且40=21)18(2-+，所以②能，对于③因为11为奇数，266-264=2不等于1，所以③不能，对于④因为14为偶数，200-194≠2，所以不能．故应填②．点评：由以上例题解答可以看出，利用勾股数的规律解答三边能否构成直角三角形问题比用a2+b2=c2简洁的多，望同学们掌握之．。
探索勾股数的规律
勾股数的规律初中数学讲到直角三角形就离不开它的三边关系的一个重要定理：勾股定理。
如果直角三角形的三边a 、b 、c （a ﹤b ﹤c ），由勾股定理可知：222a b c +=，其中a 为勾，b 为股，c 为弦。
一、当勾为奇数时，探求勾股数的规律 1、 列表，观察表中每组勾股数2、归纳规律：（1）每组中a 都是奇数；（2）2a b c =+，212a b -=；（3）c = b+1，212a c +=.由此可得第n 组当a=2n+1时2221(21)12222a n b n n-+-===+,2221(21)122122a n c n n +++===++于是有第n 组勾股数为2n+1、2n 2+2n 、2n 2+2n+1（n 为正整数）。
3、证明：∵22222(21)(22)ab n n n +=+++4232441844n n n n n =+++++ 4232441844n n n n n =+++++22(221)n n =++∴222ab c +=∴2n+1、222n n +、2221n n ++（n为正整数）是一组勾股数。
4、此种形式勾股数的另一种规律表现形式： （1）列表观察（2）归纳规律：略。
当n 为正整数时，勾股数为：22(1)a n n =+-2(1)b n n =+22(1)c n n =++化简后即为：a 、b 、c 分别为2n+1、222nn +、2221n n ++。
（3）证明过程：同前面的证明。
二、当勾为偶数是，探求勾股数的规律 1、列表观察表中每组勾股数 2、 归纳规律：（1）、每组中a （勾）是偶数（第一组较特殊：勾比股大）；（2）、2214,22a abc b -=+=⨯（3）、2c b =+242a +=由此可得第n 组中的2(1)a n =+时，则：2224[2(1)]4224a n b n n -+-===+2224[2(1)]42224a n c n n +++===++[或22c=b+2=(n2n)+2=n 2n+2++]，于是有第n 组勾股数为2(1)n +、22n n +、222n n ++（n为正整数）。
勾股数规律
勾股数规律
规律一：在勾股数（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）（9，40，41）中，发现：
由（3，4，5）有： 32=9=4+5
由（5，12，13）有： 52=25=12+13
由（7，24，25）有： 72=49=24+25
由（9，40，41）有： 92=81=40+41.
即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。
因此，我们把它推广到一般，从而可得出以下公式：
∵（2n+1）2=4n2+4n+1=（2n2+2n）+（2n2+2n+1）
∴（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n+1）2（n为正整数）
勾股数公式一：（2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1）（n为正整数）
规律二：在勾股数（6，8，10）、（8，15，17）、（10，24，26）中，发现：
由（6，8，10）有： 62=36=2×（8+10）
由（8，15，17）有： 82=64=2×（15+17）
由（10，24，26）有： 102=100=2×（24+26）
即在一组勾股数中，当最小边为偶数时，它的平方刚好等于两个连续整数之和的二倍，推广到一般，从而可得出另一公式：
∵（2n）2=4n2=2[（n2-1）+（n2+1）]
∴（2n）2+（n2-1）2=（n2+1）2（n≥2且n为正整数）
勾股数公式二：（2n，n2-1，n2+1）（n≥2且n为正整数）
利用以上两个公式，我们可以快速写出各组勾股数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
勾股数的规律
能够组成一个直角三角形的三边长的正整数，叫做勾股数。
如“勾三股四弦为五”（3，4，5）再如常见的（6，8，10）（5，12，13）、（7，24，25），熟记一些勾股数利于我们更快、更准的解决于直角三角形有关的实际问题。
下面就勾股数的三个正整数之间的规律进行探究：
规律一：在勾股数（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）（9，40，41）中，我们发现
由（3，4，5）有： 32=9=4+5
由（5，12，13）有： 52=25=12+13
由（7，24，25）有： 72=49=24+25
由（9，40，41）有： 92=81=40+41.
即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。
其论证如下：数a为大于1的正数，则2a+1为奇数数，则有
∵（2a+1）2=4a2+4a+1=（2a2+2a）+（2a2+2a+1）
∴（2a +1）2+（2a 2+2a）2=（2a2+2a+1）2
因此，我们把它推广到一般，从而可得出勾股数公式一：
（2a+1，2a2+2a，2a2+2a+1）（a为正整数）
或整理为：对于一个大于1的整奇数m,构成的勾股数为（m,,）
规律二：在勾股数（6，8，10）、（8，15，17）、（10，24，26）中，我们发现
由（6，8，10）有： 62=36=2×（8+10）
由（8，15，17）有： 82=64=2×（15+17）
由（10，24，26）有： 102=100=2×（24+26）
即在一组勾股数中，当最小边为偶数时，它的平方刚好等于两个连续且相差为2的整数之和的二倍。
其论证如下：数a为大于1的正数，则2a为偶数，则有
∵（2a）2=4a2=2[（a2-1）+（a2+1）]
∴（2a）2+（a2-1）2=（a2+1）2（a≥2且a为正整数）
因此，我们把它推广到一般，从而可得出勾股数公式二：
（2a，a2-1，a2+1）（a≥2且a为正整数）
或整理为：对于一个大于1的整偶数m,构成的勾股数为
（m,,）。