《管理运筹学》案例演示(动态规划)

x1
[
]
第一季度生产量加库存量要满足本季度需求量， 又不能超过第一到第四季度的总需求： 最高生产量为6个单位：
2 ≤ x1 + s1 ≤11 0 ≤ x1 ≤ 6
f1 ( s1 )
x1
0 1 2
21
3
21.5
4
22
5
6
f1 ( s1 )
∗ x1
s1
0
20.5 21.5 20.5
5
第四步：最佳生产决策:第一季度生产5单位产品，期末库存量为 3单位；第二季度不生产，期末库存量为零；第三季度生产6单位 产品，期末库存量为4单位；第四季度不安排生产。
例.（生产与库存问题）某电视机厂为生产电视机而需生产喇 叭，生产以万只为单位，根据以往记录，一年的四个季度需要 喇叭分别是2、3、2、4万只。设每万只存放在仓库内一个季度 的存储费为0.5万元，每生产一批的装配费为3万元，每万只的 生产成本费为1万元，每个季度所允许的生产能力为6万只，第 一个季度初和第四个季度末的库存为0。问应该怎样安排四个 季度的生产量和库存量，才能使总的费用最小？ 解： 阶段变量k ( k =1,2,3,4 )：将生产的四个季度分为四个阶段； 状态变量sk ：第k 个季度初的库存量； 决策变量xk：第k 个季度的生产量; 第k个季度的需求量为Dk； 状态转移方程： sk＋1 ＝sk ＋xk－Dk
例3.（资金分配问题）某企业现筹集到资金8千万元，可以向三 个建设项目投资，其投资效益分别由函数d1(x1)、 d2(x2)、 d3(x3)给出，其值如下表：
项目
0 0 0 0
1 5 5 4
2 15 15 26
3 40 40 40
4 80 60 45
5 90 70 50
6 95 73 51
7 98 74 52
8 100 75 53
A B C
问如何确定三个项目计划的投资额，才能使8千万元的资金投 资后的利润最大。 解： 阶段变量k ( k =1,2, 3 )：每投资一个项目作为一个阶段； 状态变量sk ：可以对第k个项目投资的资金数（即投资 第k个项目前的资金数）； 决策变量xk：第k 个项目的投资， 0≤xk≤sk；
[
]
s2 = s1 − x1 0 ≤ x1 ≤ x1 s1 = 8
列表计算 f1 (s1) 值： 表3
f1 ( s1 ) s1
8
x1 ( s1 )
0 1 2 3 4 5 6 7 8
f1 (s1) x1 (s1)
4
110 105 101 110 140 130 121 103 100 140
从表3中可得出，对第一个项目(A项目)的最优决策是： (s1) = 4 ； x1 又由状态转移方程得出， s2 = s1 − x1 = 4 ；由表2得出，对第一、第 二个项目(A、B项目)的最优决策是: x2 (s2 ) = 4 ,又从状态转移方程 得出， s3 = s2 − x2 = 0 。 x∗ = 0 3 所以，最优决策是：第一个项目4千万，第二项目4千万，第三项 目不投资。
阶段指标函数：第k 个季度的总费用
3 + xk + 0.5sk (xk > 0) ck (xk , sk ) = 0.5sk (xk = 0)
第一步：第四季度的最佳生产决策； 第四季度的生产成本为；
3+ x4 + 0.5s4 (x4 > 0) c4 (x4, s4 ) = 0.5s4 (x4 = 0)
由于第四季度末的库存量s5 ＝0，所以，
s4 + x4 = 4
0 ≤ x4 ≤ 4
第四季度的最低生产成本：
f4 (s4 ) = m [c4 ( x4 , s4 )] in
f 4 ( s4 )
0 1 2 3 4
x4
0 1 2 3 6.5 6 5.5 2 4 7
f4 (s4 )
∗ x4
s4
7 6.5 6 5.5 2
0 ≤ s2 ≤ 4
3 ≤ x2 + s2 ≤ 9
0 ≤ x2 ≤ 6
f 2 ( s2 )
x2
0 1 2
16.5 16 16.5
3
17 17 15
4
17.5 16
5
16 17
6
f 2 ( s2 )
∗ x2
s2
0 1 2 3 4
15.5 16.5
17 16 17.5 15.5 18
12.5 12.5
16 14
4 3 2 1 0
第二步：第三到第四季度的最佳生产决策； 第三到第四季度的最低生产成本：
f3 (s3 ) = m c3( x3 , s3 ) + f4 (s4 ) in
x3
[
]
约束条件： 第三季度期初库存量加该期生产量最低要满足该 期的需求量，又不能超过第三与第四季度需求量之Hale Waihona Puke Baidu：
2 ≤ x3 + s3 ≤ 6
状态转移方程： sk＋1 ＝sk －xk 阶段指标函数：投资第k 个项目效益，如上表。 约束条件： 第 j 阶段的投资额，不应超过可供该项目投资的 第 j 阶段的投资额与可为后阶段提供的资金总额 之和，不应超过8千万元， 0≤xk＋sk＋1 ≤8 ； 第一步：对第三个项目(C 项目)投资； 当第一、第二两个项目的投资额确定后，对第三个项目的投 资额应取其剩余资金s3，由于资金不允许积压，在对第三个项 目进行投资后，应用完全部资金，即 s4＝0，所以，s3＝x3,显 然， ∗ = s ，对第三个项目投资的效益为， x
该季度生产量不能超过6个单位：
x3 ≤ 6
f 3 ( s3 )
x3
0 1
11.5 11.5 11.5 11.5 8.5
2
12 12 12 12 9
3
12.5 12.5 12.5 9.5
4
13 13 10
5
13.5 10.5
6
11
f 3 ( s3 )
∗ x3
s3
0 1 2 3 4 5 6
8 8 8 8 5
15 14.5 15.5 16.5 17.5 15.5 12.5 15 16 17 15 12.5
5 4 3 0 0
第四步：第一到第四季度的最佳生产决策； 第二到第四季度的最低生产成本：
f1 (s1 ) = m c1( x1, s1 ) + f2 (s2 ) in
约束条件：
第一季度期初库存：s1 = 0
f2 (s2 ) = max d2 (s2, x2 ) + f3 (s3)
0 ≤ s3 + x2 ≤ 8 0 ≤ x2 ≤ s2
列表计算 f2 (s2 ) 值（见下页）
x2
[
]
表2
f 2 ( s2 )
0 1 2 3 4 5 6 7 8
u 2 ( s2 )
0 0 4 26 40 45 50 51 52 53 5 9 31 45 50 55 56 57 15 19 41 55 60 65 66 40 44 66 80 85 90 60 64 86 100 70 74 96 73 77 99 74 78 75 1 2 3 4 5 6 7 8
3 3
金 额，即0≤xk≤sk；
f3 (s3) = max[d3(s3, x3)]
x3 =s3
表1
s3
x3 (s3) f3 (s3)
0 0 0
1 1 4
2 2 26
3 3 40
4 4 45
5 5 50
6 6 51
7 7 52
8 8 53
第二步：对第二、第三个项目(B 、C 项目)投资； 对第二、第三个项目投资的效益为：
11 10.5 8 8 8 8 5
6 5 0 0 0 0 0
第三步：第二到第四季度的最佳生产决策； 第二到第四季度的最低生产成本：
f2 (s2 ) = m c2( x2 , s2 ) + f3 (s3 ) in
x2
[
]
约束条件： 由于第一季度期初库存s1= 0，而最高生产量x1= 6 ,市场需求量d1=2，所以，第二季度期初的库存量应为： 第二季度生产量加库存量要满足本季度需求量， 又不能超过第二到第四季度的总需求： 最高生产量为6个单位：
f2 (s2 ) x2 (s2 )
0 5 26 40 60 70 86 100 110 0 1 0 3 4 5 4 4 5
s2
105 110
第三步：对三个项目(A 、 B 、C 项目)投资； 对A 、B 、C三个项目投资的效益为：
x1
f1 (s1) = max d1(s1, x1) + f2 (s2 )