动态规划matlab仿真实例
动态规划求解方法的Matlab实现及应用
方法， 在工程技术、 科学管理、 工农业生产及军事等 领域都有广泛的应用。在理论上， 动态规划是求解 这类问题全局最优解的一种有效方法， 特别是对于 实际中的某些非线性规划问题可能是最优解的唯 一方法。然而， 动态规划仅仅是解决多阶段决策问 题的一种方法， 或者说是考查问题的一种途径， 而 不是一种具体的算法。就目前而言， 动态规划没有 统一的标准模型， 其解法也没有标准算法， 在实际 应用中， 需要具体问题具体分析。动态规划模型的 求解问题是影响动态规划理论和方法应用的关键 所在， 而子问题的求解和大量结果的存储、 调用更 是一个难点所在。然而， 随着计算机技术的快速发 展， 特别是内存容量和计算速度的增加， 使求解较
&
动态规划的基本模型
实际中， 要构造一个标准的动态规划模型， 通
常需要采用以下几个步骤： 把 !划分阶段 按照问题的时间或空间特征， 问题分为若干个阶段。这些阶段必须是有序的或 者是可排序的 （即无后向性） ， 否则， 应用无效。 " 选择状态 将问题发展到各个阶段时所处
收稿日期： !""# $ "% $ &% 作者简介： 于
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求解方法的实践与应用
［,］ 最佳组队问题
在文献 ［,］ 中的第 + 个问题： “确定最佳组队问 题， 即要求给出 ,- 名队员组成 . 个队的组队方案， 使整体竞赛水平最高， 并给出每个队的竞赛水平” 。 文献 ［,］ 建立了最佳组队的动态规划模型， 其 模型的基本方程以逆序形式给出， 即
阶段的
) 允许决策集合为 %（ ， 指标函数为 &（ " #" % & ） " #" % & ， 。当求解时， 由边界条件从 " ! & 开始， 由前向 $" ）
动态规划选址,背包matlab
%选址问题cleara=[150 170 210 260 310;150 165 220 170 320;150 180 230 265 310;150 190 215 240 300]%第一年到第五年的选址费用b=[0 5 10 9;5 0 7 6;10 7 0 8;9 6 8 0]%从地址i转到地址j的转移费用f=zeros(4,6);%存储指标函数的值v=zeros(4,1);%存储决策变量的值ff=zeros(5,1);%存储指标函数的值c=zeros(5,1);%存储最终所选地址for s=5:-1:1%用逆推法求解for k=1:4v=a(:,s)+b(:,k);f(k,s)=min(v+f(:,s+1));endff(s,1)=min(f(:,s));c(s,1)=min(find(f(:,s)==ff(s,1)));%找到一列中最小元素所在的行，如果有两行相等则取较小行endff,c% 背包问题A=10; %背包的重量极限n=3; %物品的种数a=[3 4 5]; %第i件物品的单件重量c=[4 5 6]; %第i件物品的单件价值%%%%%%%%%%%%%%%%%%%s=0:1:A;x{1}=floor(s./a(1));f{1}=c(1).*x{1};for i=1:A+1xvalue{1}{i}=x{1}(i); %xvalue为最优路径endfor i=2:nfor j=0:10tmax=floor(s(j+1)/a(i))+1;ff{j+1}=ones(1,tmax);for t=1:tmaxff{j+1}(t)=(t-1)*c(i)+f{i-1}(s(j+1)-(t-1)*a(i)+1); %临时取值：（t-1）*c（i）+f（i）xval{j+1}{t}=[xvalue{i-1}{s(j+1)-(t-1)*a(i)+1},t-1]; %每种ff取值的x 的路径endfff=ones(1,tmax);fff=ff{j+1};[f{i}(j+1),k]=max(fff);xvalue{i}{j+1}=xval{j+1}(k); %通过k值确定最优路径endend[fmax,h]=max(f{n}); %最优解finalx=xvalue{n}{h}; %最优路径finalxfmax。
利用MATLAB求解离散动态规划问题
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利用MATLAB求解离散动态规划问题
三、动态规划求解函数-算例1求解过程分析
1. 阶段变量k： 将问题按工程分为4个阶段，即k = 1, 2, 3, 4 2. 状态变量sk ： 状 态 变 量sk 表 示 第k个 工 程 至 第4个 工 程 可 用 的 投 资 总 额 ， 显 然 有s1 = 60
穷举所有可能的结果，找出其中最优值及对应的策略
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利用MATLAB求解离散动态规划问题
二、穷举法：算例1-算法与程序
对 于上 述 问 题 ， 在 穷 举 求 解 时 应 注 意 投 资 额 不 多 于60万 元 的 约 束。稍加分析便知道60万元必须全部用完没有剩余，否则结果一 定不会是最优解。因此可以写出以下程序: 输入利润函数： V 1 = [0, 20, 50, 65, 80, 85, 85]; V 2 = [0, 20, 40, 50, 55, 60, 65]; V 3 = [0, 25, 60, 85, 100, 110, 115]; V 4 = [0, 25, 40, 50, 60, 65, 70];
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利用MATLAB求解离散动态规划问题
二、穷举法：算例2-算法与程序（续）
n = size(R, 1); Path = zeros(50, 5); Path(1 : 50, 1) = 1; Path(1 : 50, 5) = n; D = inf ∗ ones(50, 1); m = 1; for i = 1 : n; if R(1, i) ∼= inf for j = 1 : n if R(i, j) ∼= inf for k = 1 : n if R(j, k) ∼= inf Path(m, 2 : 4) = [i, j, k]; D(m) = 0; D(m) = D(m)+ R(1, i)+ R(i, j)+ R(j, k)+ R(k, n); m = m + 1; end ...
基于Matlab的动态规划算法的实现及应用
基于Matlab的动态规划算法的实现及应用动态规划是一种解决多阶段决策过程的优化技术。
它的主要思想是将问题分成几个阶段，在每个阶段用一个状态来描述问题，然后找到在每个阶段中符合条件的最优状态值，以便决定在一个阶段结束的时候采取什么决策。
在Matlab中，可以非常方便地实现动态规划算法。
这里简要介绍一下基于Matlab的动态规划算法的实现及应用。
首先，我们需要定义状态转移方程。
状态转移方程是动态规划算法的核心，决定了如何从一个状态转移到另一个状态。
例如，我们要用动态规划算法求解一个背包问题，物品的重量为w1，w2，w3，w4，w5，物品的价值为v1，v2，v3，v4，v5，背包的容量为W。
那么状态转移方程可以定义如下：dp(i,j) = max(dp(i-1,j), dp(i-1,j-w(i))+v(i))其中dp(i,j)表示前i个物品放入容量为j的背包中所能得到的最大价值。
i表示物品的数量，j表示背包的容量。
w(i)表示第i个物品的重量，v(i)表示第i个物品的价值。
上式中的max表示在当前状态下，应该选择哪个状态值。
然后我们需要初始化第一个状态dp(1,j)，当只考虑第1个物品时，dp(1, j)的值与w(1)和v(1)有关。
当物品数量为0时，dp(i, j)的值为0。
接下来，我们可以使用循环以及状态转移方程来计算出dp(i,j)的值，最终得到最优的解。
在Matlab中，可以利用循环完成状态转移方程的计算，例如：dp(1,:) = (w(1) <= j).*v(1);在上述代码中，利用循环计算每个状态的最大价值。
第一行是初始化第一个状态，即当只有一个物品的时候，dp(1, j)的值为v(1)或0。
第二行是循环计算后续状态的最大价值，根据状态转移方程进行计算。
在实际应用中，动态规划算法可以用于诸如最优路径规划、时间序列分析、机器学习等领域。
例如，在机器学习中，动态规划算法可以用于序列模型的预测和分类问题。
基于Matlab的动态规划程序实现
动态规划方法的Matlab 实现与应用动态规划(Dynamic Programming)是求解决策过程最优化的有效数学方法，它是根据“最优决策的任何截断仍是最优的”这最优性原理，通过将多阶段决策过程转化为一系列单段决策问题，然后从最后一段状态开始逆向递推到初始状态为止的一套最优化求解方法。
1．动态规划基本组成(1) 阶段 整个问题的解决可分为若干个阶段依次进行，描述阶段的变量称为阶段变量，记为k(2) 状态 状态表示每个阶段开始所处的自然状况或客观条件，它描述了研究问题过程的状况。
各阶段状态通常用状态变量描述，用k x 表示第k 阶段状态变量，n 个阶段决策过程有n+ 1个状态。
(3) 决策 从一确定的状态作出各种选择从而演变到下一阶段某一状态，这种选择手段称为决策。
描述决策的变量称为决策变量，决策变量限制的取值范围称为允许决策集合。
用()k k u x 表示第k 阶段处于状态k x 时的决策变量，它是k x 的函数。
用()k k D x Dk(xk)表示k x 的允许决策的集合。
(4) 策略 每个阶段的决策按顺序组成的集合称为策略。
由第k 阶段的状态k x 开始到终止状态的后部子过程的策略记为{}11(),(),,()k k k k n n u x u x u x ++ 。
可供选择的策略的范围称为允许策略集合，允许策略集合中达到最优效果的策略称为最优策略。
从初始状态*11()x x =出发，过程按照最优策略和状态转移方程演变所经历的状态序列{}****121,,,,n n x x x x + 称为最优轨线。
(5) 状态转移方程 如果第k 个阶段状态变量为k x ，作出的决策为k u ，那么第k+ 1阶段的状态变量1k x +也被完全确定。
用状态转移方程表示这种演变规律，记为1(,)k k k x T x u +=。
(6) 指标函数 指标函数是系统执行某一策略所产生结果的数量表示，是衡量策略优劣的数量指标，它定义在全过程和所有后部子过程上，用()k k f x 表示。
Matlab中的运动规划与轨迹优化技术
Matlab中的运动规划与轨迹优化技术引言：在现代工程中，如何实现机器人和自动化设备的高效运动规划与轨迹优化成为了一个热门的研究领域。
Matlab作为一种高级的数学建模和仿真工具，为研究者和工程师们提供了许多强大的工具和技术，用于解决运动控制和轨迹优化的相关问题。
本文将介绍Matlab中一些常用的运动规划和轨迹优化技术，以及它们的应用领域和实际案例。
第一部分：运动规划基础1. 运动规划的概念与意义运动规划是指通过合理的算法和技术确定机器人或自动化设备在特定环境中的运动轨迹和关节配置，以实现特定任务。
它在工业生产、机器人导航、医疗手术等领域具有广泛的应用。
Matlab中提供了一系列用于运动规划的工具箱，包括Robotics System Toolbox和Control System Toolbox等，可以帮助工程师们实现复杂的运动规划问题。
2. 运动学建模为了实现运动规划，首先需要对机器人或自动化设备进行运动学建模。
这涉及到对机器人的几何结构和运动学参数进行建模和描述。
Matlab中提供了机器人运动学建模的功能，可以根据机器人类型和几何参数，自动生成运动学模型，为后续的轨迹规划和优化提供基础。
3. 轨迹规划算法在运动规划中，轨迹规划算法起到了关键的作用。
常用的轨迹规划算法包括插值法、最小时间规划法和动态规划法等。
插值法通过线性插值或样条插值的方法，生成平滑的轨迹。
最小时间规划法通过最小化运动时间来规划轨迹，保证在给定的约束条件下，机器人的运动最为高效。
动态规划法则是一种优化方法，通过动态规划的思想，在各种可能的运动轨迹中选择最佳的一条。
第二部分：Matlab中的应用案例1. 工业生产中的运动规划在工业生产中，运动规划和轨迹优化扮演着重要的角色，特别是在自动化装配线和机器人操作中。
通过Matlab中的运动规划工具箱，工程师们可以对机器人进行合理的运动规划，提高生产效率和质量。
例如，在汽车工厂中，通过Matlab进行路径规划和轨迹优化，可以实现机器人自动进行车身焊接和油漆等操作，提高汽车生产线的效率。
动态规划MATLAB求解
例1系统可靠性问题某电子设备由5种元件1,2,3,4,5组成，这5中元件的可靠性分别为0.9,0.8,0.5,0.7,0.6。
为保证电子设备系统的可靠性，同种元件可并联多个。
现在允许设备使用元件的总数为15个，问如何设计使设备可靠性最大的元件安排方案。
解：将该问题看成一个5阶段动态规划问题，每个元件的配置看成一个阶段。
记：x k—配置第k个元件时可用元件的总数(状态变量)；u—第k个元件并联的数目(决策变量);kc,—第k个兀件的可靠性；阶段指标函数为：v k(x k,u k)=l-(l-c k)uk；状态转移方程为:kkkkk x=x-u;基本方程为k+1kkf(x,u)=v(x,u),G(a,b)=a-b444444kf(x,u)=min iG(v(x,u),f(x))1u G D(x)J,k=4,3,2,1kkk kkkkk+1k+1kkk根据上面的阶段指标函数，状态转移方程和基本方程，写出下面的4个M函数以备计算调用，函数意义见主函数说明(1)%DecisFl.m(2)SubObjFl.m(3)TransFl.mI、”.，，[□”■.»I-.*I I".»111ifI.”HI.|KI."i....”L.,X|TrsTJ|Ln8GQL□[61®2345c7H.(4) ObjFl.mV.Editor-C=\.Fxngru Fil es ^VATUE ^K2aHffb\nrlE\xiieKiXObjF1-■(5) 调用主程序计算dynexamplel.m3(Z=x2';X t —[x ：L^:Jj倉Edlitor —C=\Pro^r au.FileskUTLABkR.2OO6<b^.v0rk\z-LLEixi\drj3i?ii ：«pl«1・■口回区1E.L 3.«匚S,a 匚21T KU*匸u 直z ■k二a ■|y”1与|眶 ■斗兔|旦寢丸■吐:E田m LI 鬥二□咱tS iH1j4|+1■■M .•:.-iolc>.c L HMF ; Fl=]5;KL5-t-5&件盘L=[fcl:riAFi^OfclGi S (1^】.1：I].|dyv创4npl4L.r-[p,f]=■DanicF]''E：\J-bQbjF I'TratlsFL','DbJFL')>■lyTipr^c n x H AC L S FL.T>>：)ObJIL ns讯STibObjr]m N TrorisFL.r-:■:wi.;pt(6)主程序dynprog.m(7)MATLAB主窗口运行程序。
基于Matlab的动态规划算法的实现及应用
基于Matlab的动态规划算法的实现及应用动态规划是一种常用的优化算法，可以在给定的约束条件下，求解具有最优解的问题。
它通过将原问题拆分成若干子问题，并保存子问题的解，从而避免重复计算，减少运算量，提高算法的效率。
在Matlab中，可以通过使用递归或迭代的方式来实现动态规划算法。
下面将介绍一种基于Matlab的动态规划算法的实现及应用。
我们需要确定问题的状态，即在求解过程中需要保存的信息。
然后，定义状态转移方程，即问题的解与其子问题的解之间的关系。
确定边界条件，即问题的基本解。
以求解斐波那契数列为例，斐波那契数列的定义如下：F(0) = 0F(1) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n>=2)我们可以使用动态规划算法来求解斐波那契数列。
定义一个数组dp，用来保存每个子问题的解。
然后，通过迭代的方式，计算从小到大的每个子问题的解，直到得到问题的最优解。
在Matlab中，可以使用以下代码实现动态规划算法求解斐波那契数列：```matlabfunction [result] = Fibonacci(n)% 初始化数组dpdp = zeros(1, n+1);% 定义边界条件dp(1) = 0;dp(2) = 1;% 迭代计算每个子问题的解for i = 3:n+1dp(i) = dp(i-1) + dp(i-2);end% 返回问题的最优解result = dp(n+1);end```运行以上代码，输入一个整数n，即可求解斐波那契数列的第n项。
除了求解斐波那契数列，动态规划算法还可以应用于其他许多领域，如路径规划、背包问题等。
在路径规划中，我们可以使用动态规划算法来求解最短路径或最优路径；在背包问题中，我们可以使用动态规划算法来求解能够装入背包的最大价值。
动态规划算法是一种强大的优化算法，在Matlab中的实现也相对简单。
通过定义问题的状态、状态转移方程和边界条件，我们可以使用动态规划算法来求解各种不同类型的问题。
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动态规划在火力分配中的应用。
1.问题描述
设有m个目标，目标价值（重要性和危害性）各不相同，用数值A K（K=1，2，..m）表示，计划用n枚导弹突袭，导弹击毁目标的概率P K=，其中是常数，取决于导弹的特性与目标的性质；为向目标发射的导弹数，问题：做出方案使预期的突击效果最大。
2.问题建模
上述问题可以表述为
约束条件为
（为非负整数）
3.算法描述
下面通过一个实例说明：设目标数目为4（m=4），导弹为5（n=5），和a K取值情况如下表所示：
表1：A k 取值情况
目标K 1 2 3 4
8 7 6 3
0.2 0.3 0.5 0.9
将火力分配可分为4个阶段，每个阶段指标函数为：
可能取值为0，1，2，3，4，5，将函数值带人如下表：
表2 函数值
u
0 0 0 0 0
1 1.45 1.81 2.36 1.79
2 2.64 3.16 3.79 2.51
3 3.61 4.15 4.66 2.81
4 4.41 4.89 5.19 2.93
5 5.0
6 5.44 5.51 2.97
动态规划问题基本方程为：
c
=0
逐次向前推一级
K=4
K=3
K=2
K=1
（）
只需要求解的最大值然后反推回去就可以获得最优的分配方案
4.Matlab仿真求解
因为与取值为整数，可以采用动态规划的方法，获得的最大值，对应的
最优方案
function[p_opt,fval]=dynprog(x,DecisFun,SubObjFun,TransFun,ObjFun) %求解动态规划问题最小值函数
k=length(x(1,:)) %判断决策级数
x_isnan=~isnan(x); % 非空状态矩阵
t_vubm=inf*ones(size(x)); % 性能指标中间矩阵
f_opt=nan*ones(size(x)); % 总性能指标矩阵
d_opt=f_opt; %每步决策矩阵
tmp1=find(x_isnan(:,k)); % 最后一步状态向量
tmp2=length(tmp1); % 最后一步状态个数
for i=1:tmp2
u=feval(DecisFun,k,x(tmp1(i),k));
tmp3=length(u);%决策变量
for j=1:tmp3 % 求出当前状态下所有决策的最小性能指标
tmp=feval(SubObjFun,k,x(tmp1(i),k),u(j));
if tmp <= t_vubm(i,k) %t_vub
f_opt(i,k)=tmp;
d_opt(i,k)=u(j);
t_vubm(i,k)=tmp;
end;
end;
end
for ii=k-1:-1:1
tmp10=find(x_isnan(:,ii));
tmp20=length(tmp10);
for i=1:tmp20 %求出当前状态下所有可能的决策
u=feval(DecisFun,ii,x(tmp10(i),ii));
tmp30=length(u) ;
for j=1:tmp30 % 求出当前状态下所有决策的最小性能指标
tmp00=feval(SubObjFun,ii,x(tmp10(i),ii),u(j)); % 单步性能指标 tmp40=feval(TransFun,ii,x(tmp10(i),ii),u(j)); % 下一状态
tmp50=x(:,ii+1)-tmp40; % 找出下一状态在 x 矩阵的位置
tmp60=find(tmp50==0) ;
if~isempty(tmp60)
if nargin<6 %矩阵不同需要修改nargin的值，很重要
tmp00=tmp00+f_opt(tmp60(1),ii+1); % set the default object value else
tmp00=feval(ObjFun,tmp00,f_opt(tmp60(1),ii+1));
end %当前状态的性能指标
if tmp00<=t_vubm(i,ii)
f_opt(i,ii)=tmp00;
d_opt(i,ii)=u(j);
t_vubm(i,ii)=tmp00;
end;
end;
end;
end;
end
fval=f_opt(:,1);
tmp0 = find(~isnan(fval));
fval=fval(tmp0,1);
p_opt=[];tmpx=[];tmpd=[];tmpf=[];
tmp01=length(tmp0);
for i=1:tmp01
tmpd(i)=d_opt(tmp0(i),1);
tmpx(i)=x(tmp0(i),1);
tmpf(i)=feval(SubObjFun,1,tmpx(i),tmpd(i));
p_opt(k*(i-1)+1,[1,2,3,4])=[1,tmpx(i),tmpd(i),tmpf(i)];
for ii=2:k
tmpx(i)=feval(TransFun,ii,tmpx(i),tmpd(i));
tmp1=x(:,ii)-tmpx(i);tmp2=find(tmp1==0);
if ~isempty(tmp2)
tmpd(i)=d_opt(tmp2(1),ii);
end
tmpf(i)=feval(SubObjFun,ii,tmpx(i),tmpd(i));
p_opt(k*(i-1)+ii,[1,2,3,4])=[ii,tmpx(i),tmpd(i),tmpf(i)]; end;
end;
下面编写四个函数：
function u = DecisF1( k,x ) %决策函数
if k==4
u=x;
else
u=0:x;
end
function y = TransF1( k,x,u ) %状态转移方程
y=x-u;
function v = SubObjF1( k,x,u ) %阶段k的指标函数
a=[0.2,0.3,0.5,0.9];
A=[8,7,6,3];
v=A(k)*(1-exp(-a(k)*u));
v=-v; %max变为min
function y = ObjF1( v,f ) %基本方程中的函数
y=v+f;
y=-y; %max变为min
测试代码：
clear;
n=5;
x1=[n;nan*ones(n,1)];
x2=0:n;x2=x2';x=[x1,x2,x2,x2];
[p,f]=dynprog(x,'DecisF1','SubObjF1','TransF1','ObjF1')
%p为分配方案，f为结果
5.Matlab仿真结果分析
运行结果显示：
P为方案：
即对目标1发射1枚导弹，对目标2发射1枚，对目标3发射2枚，对目标4发生1枚导弹，能获得最大效能。
f为最大的效能：
即在这种分配下的最大效能为8.8374
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