人教版初中数学九年级下册单元测试 第28章 锐角三角函数
人教版九年级数学下册 第28章 锐角三角函数 单元练习 含答案
第28章锐角三角函数一．选择题（共10小题）1．如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，交BC于点E，若DE＝2，OE＝3，则tan C•tan B ＝（）A．2 B．3 C．4 D．52．已知A，B都是锐角、且sin A＜sin B，则下列关系正确的是（）A．∠A＞∠B B．tan A＞tan BC．cos A＞cos B D．以上都不正确3．如果α是锐角，且cosα＝，那么sinα的值是（）A．B．C．D．24．如果α是锐角，且cosα＝，那么cos（90°﹣α）的值是（）A．B．C．D．5．△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，∠B等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°6．如图，△ABC中，∠A＝30°，，AC＝，则AB的长为（）A．B．C．5 D．7．数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数据：①AC，∠ACB；②EF、DE、AD；③CD，∠ACB，∠ADB．其中能根据所测数据求得A、B两树距离的有（）A．0组B．一组C．二组D．三组8．如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm（如箭头所示），则木桩上升了（）A．6sin15°cm B．6cos15°cm C．6tan15°cm D．cm 9．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）A．50B．51 C．50+1 D．10110．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝2km、从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD 的长）为（）A．4km B．（2+）km C．2km D．（4﹣）km 二．填空题（共6小题）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cos A＝．12．若α、β均为锐角，则以下有4个命题：①若sinα＜sinβ，则α＜β；②若α+β＝90°，则sinα＝cosβ；③存在一个角α，使sinα＝1.02；④tanα＝．其中正确命题的序号是．（多填或错填得0分，少填的酌情给分）13．如果α是锐角，且sin2α十cos235°＝1，那么α＝度．14．观察下列等式①sin30°＝ cos60°＝②sin45°＝ cos45°＝③sin60°＝ cos30°＝…根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）＝．15．在△ABC中，已知sin A＝，cos B＝，则∠C＝．16．已知sinα＝0.2，cosβ＝0.8，则α+β＝（精确到1′）．三．解答题（共7小题）17．如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作c tanα，即c tanα＝＝，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）c tan30°＝；（2）如图，已知tan A＝，其中∠A为锐角，试求c tan A的值．18．如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m，试比较PE、PF的大小；（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．19．附加题：如图，在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则sin A＝，cos A＝，tan A＝．我们不难发现：sin260°+cos260°＝1，…试探求sin A、cos A、tan A之间存在的一般关系，并说明理由．20．对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα＝sin（180°﹣α），cosα＝﹣cos（180°﹣α）（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sin A，cos B是方程4x2﹣mx﹣1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．21．已知：，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．（1）如图，当∠APB＝45°时，求AB及PD的长；（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．22．我们把“按照某种理想化的要求（或实际可能应用的标准）来反映或概括的表现某一类或一种事物关系结构的数学形式”看作是一个数学中的一个“模式”（我国著名数学家徐利治）．如图是一个典型的图形模式，用它可测底部可能达不到的建筑物的高度，用它可测河宽，用它可解决数学中的一些问题．等等．（1）如图，若B1B＝30米，∠B1＝22°，∠ABC＝30°，求AC（精确到1）；（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.92，tan22°≈0.40，≈1.73）（2）如图2，若∠ABC＝30°，B1B＝AB，计算tan15°的值（保留准确值）；（3）直接写出tan7.5°的值．（注：若出现双重根式，则无需化简）23．如图，有一段斜坡BC长为10米，坡角∠CBD＝12°，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°．（1）求坡高CD；（2）求斜坡新起点A到原起点B的距离（精确到0.1米）．参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan5°≈0.09．参考答案一．选择题（共10小题）1．C．2．C．3．C．4．B．5．A．6．C．7．D．8．C．9．C．10．B．二．填空题（共6小题）11．．12．①②④．13．α＝35°．14．1．15．105°．16．48°24′．三．解答题（共7小题）17．（1）∵Rt△ABC中，α＝30°，∴BC＝AB，∴AC＝＝＝AB，∴c tan30°＝＝．故答案为：；（2）∵tan A＝，∴设BC＝3x，AC＝4x，∴c tan A＝＝＝．18．（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP＝＝sin40°在Rt△BPF中，sin∠FBP＝＝sin20°又sin40°＞sin20°∴PE＞PF；（2）根据（1）得sin∠EBP＝＝sinα，sin∠FBP＝＝sinβ又∵α＞β∴sinα＞sinβ∴PE＞PF．19．存在的一般关系有：（1）sin2A+cos2A＝1；（2）tan A＝．证明：（1）∵sin A＝，cos A＝，a2+b2＝c2，∴sin2A+cos2A＝＝1．（2）∵sin A＝，cos A＝，∴tan A＝＝，＝．20．（1）由题意得，sin120°＝sin（180°﹣120°）＝sin60°＝，cos120°＝﹣cos（180°﹣120°）＝﹣cos60°＝﹣，sin150°＝sin（180°﹣150°）＝sin30°＝；（2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4，∴三个内角分别为30°，30°，120°，①当∠A＝30°，∠B＝120°时，方程的两根为，﹣，将代入方程得：4×（）2﹣m×﹣1＝0，解得：m＝0，经检验﹣是方程4x2﹣1＝0的根，∴m＝0符合题意；②当∠A＝120°，∠B＝30°时，两根为，，不符合题意；③当∠A＝30°，∠B＝30°时，两根为，，将代入方程得：4×（）2﹣m×﹣1＝0，解得：m＝0，经检验不是方程4x2﹣1＝0的根．综上所述：m＝0，∠A＝30°，∠B＝120°．21．（1）①如图，作AE⊥PB于点E，∵△APE中，∠APE＝45°，PA＝，∴AE＝PE＝×＝1，∵PB＝4，∴BE＝PB﹣PE＝3，在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∴AB＝＝．②解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，可得△PAD≌△P'AB，PD＝P'B，PA＝P'A．∴∠PAP'＝90°，∠APP'＝45°，∠P'PB＝90°∴PP′＝PA＝2，∴PD＝P′B＝＝＝；解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，与DA的延长线交PB于G．在Rt△AEG中，可得AG＝＝＝，EG＝，PG＝PE﹣EG＝．在Rt△PFG中，可得PF＝PG•cos∠FPG＝PG•cos∠ABE＝，FG＝．在Rt△PDF中，可得，PD＝＝＝．（2）如图所示，将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′＝PA＝2，PB＝4，且P、D两点落在直线AB的两侧，∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值（如图）此时P'B＝PP'+PB＝6，即P'B的最大值为6．此时∠APB＝180°﹣∠APP'＝135度．22．（1）在Rt△ABC中，tan∠ABC＝，则BC＝＝AC，同理，B1C＝，∵B1B＝B1C﹣BC，∴﹣AC＝30，解得：AC≈39（米）；（2）∵B1B＝AB，∴∠B1＝∠B1AB＝∠ABC＝15°，设B1B＝AB＝x，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝x，BC＝x，∴B1C＝x+x，∴tan15°＝＝＝＝2﹣；（3）如答图3所示，图中三角形依次是含有7.5°角、15°角和30°角的直角三角形．设AC＝a，则AB＝2a，BC＝＝a．∴B1B＝AB＝2a，∴B1C＝2a+a＝（2+）a．在Rt△AB1C中，由勾股定理得：AB1＝＝＝2a，∴B2B1＝AB1＝2a，∴B2C＝B2B1+B1C＝2a+（2+）a∴tan7.5°＝tan∠AB2C＝＝∴tan7.5°＝．23．（1）在Rt△BCD中，CD＝BC sin12°≈10×0.21＝2.1米．（2）在Rt△BCD中，BD＝BC cos12°≈10×0.98＝9.8米；在Rt△ACD中，米，AB＝AD﹣BD≈23.33﹣9.8＝13.53≈13.5米．答：坡高2.1米，斜坡新起点与原起点的距离为13.5米．。
人教版九年级下册数学《第28章 锐角三角函数》单元测试卷(解析版)
人教版九年级下册数学《第28章锐角三角函数》单元测试卷（解析版）一．选择题（共10小题）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（）A．7sin35°B．C．7cos35°D．7tan35°2．当锐角A的cos A＞时，∠A的值为（）A．小于45°B．小于30°C．大于45°D．大于30°3．Rt△ABC中，∠C＝90°，已知cos A＝，那么tan A等于（）A．B．C．D．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sin A＝，那么sin B的值是（）A．B．C．D．35．若∠B，∠A均为锐角，且sin A＝，cos B＝，则（）A．∠A＝∠B＝60°B．∠A＝∠B＝30°C．∠A＝60°，∠B＝30°D．∠A＝30°，∠B＝60°6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（）A．5÷tan26°＝B．5÷sin26°＝C．5×cos26°＝D．5×tan26°＝7．下列命题：①所有锐角三角函数值都为正数；②解直角三角形时只需已知除直角外的两个元素；③Rt△ABC中，∠B＝90°，则sin2A+cos2A＝1；④Rt△ABC中，∠A＝90°，则tan C•sin C＝cos C．其中正确的命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个8．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB＝α，那么拉线BC的长度为（）A．B．C．D．9．一人乘雪橇沿坡度为1：的斜坡滑下，滑下距离S（米）与时间t（秒）之间的关系为S＝10t+2t2，若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为（）A．72米B．36米C．米D．米10．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α＝75°，若AC＝6米，则树高BC为（）A．6sin75°米B．米C．米D．6tan75°米二．填空题（共5小题）11．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为．12．比较大小：sin44°cos44°（填＞、＜或＝）．13．在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则tan A等于．14．计算：cot44°•cot45°•cot46°＝．15．计算：2cos60°+tan45°＝．三．解答题（共4小题）16．在△ABC中，∠B、∠C均为锐角，其对边分别为b、c，求证：＝．17．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．（1）sinα+cosα≤1；（2）sin2α＝2sinα．18．计算：3tan30°+cos245°﹣2sin60°．19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sin B＝，AD＝1．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．2019年人教版九年级下册数学《第28章锐角三角函数》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（）A．7sin35°B．C．7cos35°D．7tan35°【分析】根据余弦为邻边比斜边，可得答案．【解答】解：由cos B＝＝，得BC＝7cos B＝7cos35°，故选：C．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．2．当锐角A的cos A＞时，∠A的值为（）A．小于45°B．小于30°C．大于45°D．大于30°【分析】明确cos45°＝，余弦函数随角增大而减小进行分析．【解答】解：根据cos45°＝，余弦函数随角增大而减小，则∠A一定小于45°．故选：A．【点评】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．3．Rt△ABC中，∠C＝90°，已知cos A＝，那么tan A等于（）A．B．C．D．【分析】根据cos A＝设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出tan A的值．【解答】解：∵cos A＝知，设b＝3x，则c＝5x，根据a2+b2＝c2得a＝4x．∴tan A＝＝＝．故选：A．【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果sin A ＝，那么sin B 的值是（ ）A ．B ．C ．D ．3【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．【解答】解：∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝，∴cos A ＝＝＝，∴∠A +∠B ＝90°，∴sin B ＝cos A ＝． 故选：A ．【点评】此题考查的是互余两角三角函数的关系，属基础题，掌握正余弦的这一转换关系：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．5．若∠B ，∠A 均为锐角，且sin A ＝，cos B ＝，则（ ）A ．∠A ＝∠B ＝60°B ．∠A ＝∠B ＝30°C ．∠A ＝60°，∠B ＝30°D ．∠A ＝30°，∠B ＝60° 【分析】根据三角函数的特殊值解答即可．【解答】解：∵∠B ，∠A 均为锐角，且sin A ＝，cos B ＝，∴∠A ＝30°，∠B ＝60°．故选：D ．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值．6．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝26°，BC ＝5．若用科学计算器求边AC 的长，则下列按键顺序正确的是（ ）A ．5÷tan26°＝B ．5÷sin26°＝C ．5×cos26°＝D ．5×tan26°＝【分析】根据正切函数的定义，可得tan ∠B ＝，根据计算器的应用，可得答案．【解答】解：由tan∠B＝，得AC＝BC•tan B＝5×tan26．故选：D．【点评】本题考查了计算器，利用了锐角三角函数，计算器的应用，熟练应用计算器是解题关键．7．下列命题：①所有锐角三角函数值都为正数；②解直角三角形时只需已知除直角外的两个元素；③Rt△ABC中，∠B＝90°，则sin2A+cos2A＝1；④Rt△ABC中，∠A＝90°，则tan C•sin C＝cos C．其中正确的命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据锐角三角函数的定义判断所有的锐角三角函数值都是正数；根据锐角三角函数的概念结合勾股定理可以证明sin2A+cos2A＝1，tan C•sin C＝cos C．【解答】解：①根据锐角三角函数的定义知所有的锐角三角函数值都是正数，故正确；②两个元素中，至少得有一条边，故错误；③根据锐角三角函数的概念，以及勾股定理，得sin2A+cos2A＝＝1，故正确；④根据锐角三角函数的概念，得tan C＝，sin C＝，cos C＝，则tan C•cos C＝sin C，故错误．故选：C．【点评】根据锐角三角函数的定义可证明锐角三角函数之间的关系式．8．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB＝α，那么拉线BC的长度为（）A．B．C．D．【分析】根据同角的余角相等得∠CAD＝∠BCD，由os∠BCD＝，即可求出BC的长度．【解答】解：∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠CAD＝∠BCD，在Rt△BCD中，∵cos∠BCD＝，∴BC＝＝，故选：B．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．9．一人乘雪橇沿坡度为1：的斜坡滑下，滑下距离S（米）与时间t（秒）之间的关系为S＝10t+2t2，若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为（）A．72米B．36米C．米D．米【分析】求滑下的距离；设出下降的高度，表示出水平宽度，利用勾股定理即可求解．【解答】解：当t＝4时，s＝10t+2t2＝72．设此人下降的高度为x米，过斜坡顶点向地面作垂线．在直角三角形中，由勾股定理得：x2+（x）2＝722．解得x＝36．故选：B．【点评】此题主要考查了坡角问题，理解坡比的意义，使用勾股定理，设未知数，列方程求解是解题关键．10．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α＝75°，若AC＝6米，则树高BC为（）A．6sin75°米B．米C．米D．6tan75°米【分析】根据题意可知BC⊥AC，在Rt△ABC中，AC＝6米，∠BAC＝α，利用三角函数即可求出BC的高度．【解答】解：∵BC⊥AC，AC＝6米，∠BAC＝α，∴＝tanα，∴BC＝AC•tanα＝6tanα（米）．故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．二．填空题（共5小题）11．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为2．【分析】根据正切定义：锐角A的对边a与邻边b的比进行计算即可．【解答】解：tan∠AOB＝＝2，故答案为：2．【点评】此题主要考查了正切定义，关键是正确掌握三角函数的定义．12．比较大小：sin44°＜cos44°（填＞、＜或＝）．【分析】首先根据互余两角的三角函数的关系，得cos44°＝sin46°，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析．【解答】解：∵cos44°＝sin46°，正弦值随着角的增大而增大，又∵44°＜46°，∴sin44°＜cos44°．故答案为＜．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性：当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．同时考查了互余两角的三角函数的关系．13．在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝，则tan A 等于 ．【分析】根据cos A ＝，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出tan A 的值．【解答】解：∵cos A ＝知，设b ＝3x ，则c ＝5x ，根据a 2+b 2＝c 2得a ＝4x ．∴tan A ＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数定义的应用，利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值． 14．计算：cot44°•cot45°•cot46°＝ 1 ．【分析】根据互余两角的三角函数的关系、特殊角的三角函数值就可以求解．【解答】解：cot44°•cot45°•cot46°＝cot44°•cot46°•cot45°＝1•cot45°＝1．【点评】本题考查了互余两角的三角函数的关系、特殊角的三角函数值．15．计算：2cos60°+tan45°＝ 2 ．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出即可．【解答】解：2cos60°+tan45°＝2×+1＝2．故选：2．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．三．解答题（共4小题）16．在△ABC 中，∠B 、∠C 均为锐角，其对边分别为b 、c ，求证：＝． 【分析】如图，过A 作AD ⊥BC 于D ，如果利用三角函数可以分别在△ABD 和△ADC 中可以得到sin sB ，sin C 的表达式，由此即可证明题目的结论．【解答】证明：过A 作AD ⊥BC 于D ，在Rt △ABD 中，sin B ＝，∴AD ＝AB sin B ，在Rt △ADC 中，sin C ＝， ∴AD ＝AC sin C ，∴AB sin B＝AC sin C，而AB＝c，AC＝b，∴c sin B＝b sin C，∴＝．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．解题的关键是作辅助线把普通三角形转化为直角三角形解决问题．17．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．（1）sinα+cosα≤1；（2）sin2α＝2sinα．【分析】（1）利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立；（2）举出反例进行论证．【解答】解：（1）该不等式不成立，理由如下：如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝α．则sinα+cosα＝+＝＞1，故sinα+cosα≤1不成立；（2）该等式不成立，理由如下：假设α＝30°，则sin2α＝sin60°＝，2sinα＝2sin30°＝2×＝1，∵≠1，∴sin2α≠2sinα，即sin2α＝2sinα不成立．【点评】本题考查了同角三角函数的关系．解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值．18．计算：3tan30°+cos245°﹣2sin60°．【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．【解答】解：3tan30°+cos245°﹣2sin60°＝＝＝．【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于识记性题目，基础题．19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sin B＝，AD＝1．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．【分析】（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB＝∠ADC＝90°，再解Rt△ADC，得出DC＝1；解Rt△ADB，得出AB＝3，根据勾股定理求出BD＝2，然后根据BC＝BD+DC 即可求解；（2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE＝CE﹣CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解．【解答】解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，∴DC＝AD＝1．在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sin B＝，AD＝1，∴AB＝＝3，∴BD＝＝2，∴BC＝BD+DC＝2+1；（2）∵AE是BC边上的中线，∴CE＝BC＝+，∴DE＝CE﹣CD＝+﹣1＝﹣，∴tan∠DAE＝＝＝﹣．【点评】本题考查了解直角三角形，三角形的高、中线的定义，勾股定理，难度中等，分别解Rt△ADC与Rt△ADB，得出DC＝1，AB＝3是解题的关键．人教版九年级下册第二十八章《锐角三角函数》单元测试一、选择题1、3tan60°的值为（）A． B． C． D．32、sin45°的值等于（）A． B．1 C． D．3、在直角△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B与∠C的对边分别是a、b和c，那么下列关系中，正确的是（）A．cosA= B．tanA= C．sinA= D．cosA=4、在4×4网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值为（）A． B． C．2 D．5、如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosB的值是（）A． B． C． D．6、在Rt△ABC中，∠C=90º，，则的值为A． B．C．D．7、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB=（）A．4 B．6 C．8 D．108、将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A． 3cm B． 6cm C．cm D．cm9、如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是( )A．10海里 B．(10－10)海里 C．10海里 D．(10－10)海里二、填空题10、计算：= .11、如下图：直角三角形纸片的两直角边长分别为4，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是．12、如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB=__________]m．13、．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为．14、如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5米，则坝底AC的长度是米．15、全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外，如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为18°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD＝10米，则此塑像的高AB约为___米．(参考数据：tan78°12′≈4.8)16、如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M、N两点关于对角线AC对称，若DM=1，则tan∠ADN= ．三、计算题17、计算：3tan30°﹣2tan45°+2sin60°+4cos60°．18、计算：．四、简答题19、在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC∶AC＝3∶4，求∠A的三个三角函数值．20、如图，九（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，人的眼睛E、标杆顶点C和旗杆顶点A在同一直线，求旗杆的高度．21、小刚学想测量灯杆AB的高度，结果他在D处时用测角仪测灯杆顶端A的仰角∠AEG=30°，然后向前走了8米来到C处，又测得A的仰角∠AFG=45°，又知测角仪高1.6米，求灯杆AB的高度．（结果保留一位小数；参考数据：≈1.73）22、如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A．C之间选择一点B（A．B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．（1）求点B到AD的距离；（2）求塔高CD（结果用根号表示）．23、山西绵山是中国历史文化名山，因春秋时期晋国介子推携母隐居于此被焚而著称，如图1，是绵山上介子推母子的塑像，某游客计划测量这座塑像的高度，由于游客无法直接到达塑像底部，因此该游客计划借助坡面高度来测量塑像的高度；如图2，在塑像旁山坡坡脚A处测得塑像头顶C的仰角为75°，当从A处沿坡面行走10米到达P处时，测得塑像头顶C的仰角刚好为45°，已知山坡的坡度i=1：3，且O，A，B在同一直线上，求塑像的高度．（侧倾器高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：cos75°≈0.3，tan75°≈3.7，≈1.4，≈1.7，≈3.2）24、如图，A，B两地之间有条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．已知BC=11km，∠A=45°，∠B=37°，桥DC和AB平行，桥DC与桥EF的长相等．（1）求点D到直线AB的距离；（2）现在从A地到B地可比原来少走多少路程？（结果保留小数点后一位．参考数据：≈1.41，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）．25、甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（1）港口A与小岛C之间的距离；（2）甲轮船后来的速度．26、如图，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁，一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行，行至A点处测得P在北偏东60°方向上，继续行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在北偏东45°方向上，问客轮不改变方向继续前进有无触礁危险？参考答案一、选择题1、D【考点】特殊角的三角函数值．【分析】把tan60的数值代入即可求解．【解答】解：3tan60°=3×=3．故选D．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是关键．2、D【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角的三角函数值得出即可．【解答】解：sin45°=，故选D．【点评】本题考查了特殊角的三角函数的应用，能熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键，难度适中．3、C【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．分别进行分析即可．【解答】解：在直角△ABC中，∠C=90°，则A、cosA=，故本选项错误；B、tanA=，故本选项错误；C、sinA=，故本选项正确；D、cosA=，故本选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．4、C【考点】锐角三角函数的定义．【专题】网格型．【分析】根据“角的正切值=对边÷邻边”求解即可．【解答】解：由图可得，tanα=2÷1=2．故选C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解正切值的含义是解决此题的关键．5、C【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据在直角三角形中，余弦为邻边比斜边，可得答案．【解答】解：△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，得cosB==，故选：C．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．6、B7、D【考点】解直角三角形．【分析】在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，将sinA的值与BC的长代入求出AB的长即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA==，BC=6，∴AB===10，故选D8、D9、D二、填空题10、；11、12、 5.513、．考点：解直角三角形；特殊角的三角函数值．分析：重叠部分为菱形，运用三角函数定义先求边长AB，再求出面积．解答：解：∵AC=，∴它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为：×1=．故答案为：．14、．【解析】试题分析：∵河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，∴BC：A C=1：，∵堤高BC=5米，∴坝底AC=米．故答案为：．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．15、58_16、【考点】正方形的性质；轴对称的性质；锐角三角函数的定义．【分析】M、N两点关于对角线AC对称，所以CM=CM，进而求出CN的长度．再利用∠ADN=∠DNC 即可求得tan∠ADN．【解答】解：在正方形ABCD中，BC=CD=4．∵DM=1，∴CM=3，∵M、N两点关于对角线AC对称，∴CN=CM=3．∵AD∥BC，∴∠ADN=∠DNC，∵tan=∠DNC==，∴tan∠ADN=．故答案为：．三、计算题17、原式=2．18、.解：原式=1+﹣1+2﹣=2四、简答题19、20、AB＝13.5 m21、【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】设AG的长为x米，根据正切的概念分别表示出GF、GE的长，计算即可得到AG，求出AB即可．【解答】解：设AG的长为x米，在Rt△AGE中，EG==x，在Rt△AGF中，GF=AG=x，由题意得，x﹣x=8，解得，x≈10.9，则AB=AG+GB≈12.5米，答：灯杆AB的高度约为12.5米．22、解：（1）过点B作BE⊥AD于点E，∵AB=40m，∠A=30°，∴BE=AB=20m，AE==20m，即点B到AD的距离为20m；（2）在Rt△ABE中，∵∠A=30°，∴∠ABE=60°，∵∠DBC=75°，∴∠EBD=180°﹣60°﹣75°=45°，∴DE=EB=20m，则AD=AE+EB=20+20=20（+1）（m），在Rt△ADC中，∠A=30°，∴DC==（10+10）m．答：塔高CD为（10+10）m．23、【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥OC于点F，设PE=x，则AE=3x，在Rt△AEP中根据勾股定理可得PE=，则AE=3，设CF=PF=m米，则OC=（m+）米、OA=（m﹣3）米，在Rt△AOC中，由tan75°=求得m的值，继而可得答案．【解答】解：过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥OC于点F，∵i=1：3，AP=10，设PE=x，则AE=3x，在Rt△AEP中，x2+（3x）2=102，解得：x=或x=﹣（舍），∴PE=，则AE=3，∵∠CPF=∠PCF=45°，∴CF=PF，设CF=PF=m米，则OC=（m+）米，OA=（m﹣3）米，在Rt△AOC中，tan75°==，即m+=tan75°•（m﹣3），解得：m≈14.3，∴OC=14.3+≈17.5米，答：塑像的高度约为17.5米．24、【考点】解直角三角形的应用．【分析】（1）过点D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G，根据平行四边形的判定得出DCBG为平行四边形，在Rt△DGH中，根据DH=DG•sin37，即可求出点D到直线AB的距离；（2）根据（1）先求出GH、AD和AH的长，再根据两条路线路程之差为AD+DG﹣AG，代值计算即可得出答案．【解答】解：（1）如图，过点D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G，∵DC∥AB，∴四边形DCBG为平行四边形．∴DC=GB，GD=BC=11．在Rt△DGH中，DH=DG•sin37°≈11×0.60=6.60，∴点D到直线AB的距离是6.60km；（2）根据（1）得：GH=DG•cos37°≈11×0.80≈8.80，在Rt△ADH中，AD=DH≈1.41×6.60≈9.31．AH=DH≈6.60，∵两条路线路程之差为AD+DG﹣AG，∴AD+DG﹣AG=（9.31+11）﹣（6.60+8.80）≈4.9（km）．即现在从A地到B地可比原来少走约4.9km．25、【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】（1）根据题意画出图形，再根据平行线的性质及直角三角形的性质解答即可．（2）根据甲乙两轮船从港口A至港口C所用的时间相同，可以求出甲轮船从B到C所用的时间，又知BC间的距离，继而求出甲轮船后来的速度．【解答】解：（1）作BD⊥AC于点D，如图所示：由题意可知：AB=30×1=30海里，∠BAC=30°，∠BCA=45°，在Rt△ABD中，∵AB=30海里，∠BAC=30°，∴BD=15海里，AD=ABcos30°=15海里，在Rt△BCD中，∵BD=15海里，∠BCD=45°，∴CD=15海里，BC=15海里，∴AC=AD+CD=15+15海里，即A、C间的距离为（15+15）海里．（2）∵AC=15+15（海里），轮船乙从A到C的时间为=+1，由B到C的时间为+1﹣1=，∵BC=15海里，∴轮船甲从B到C的速度为=5（海里/小时）．26、解：过P作PC⊥AB于C点，如图，据题意知AB＝9×＝3，∠PAB＝90°－60°＝30°，[ ∠PBC＝90°－45°＝45°，∠PCB＝90°，∴PC＝BC.在Rt△APC中，tan 30°＝＝＝，即＝，∴PC＝海里＞3海里，∴客轮不改变方向继续前进无触礁危险．人教版九年级数学下册第二十八章 锐角三角函数 单元检测卷人教版九年级数学下册第二十八章 锐角三角函数 单元检测卷一、选择题1.在△ABC 中，∠C=90°，AB=3,BC=1，则sinA 的值为( A )A.13 C. 3 D.3 2.如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 相互垂直，∠CAB=a ，则拉线BC 的长度为(A ，D ，B 在同一条直线上)( B )A. sin h aB. cos h aC. tan h aD.h ·cosa 3.cos30°的值等于( B )A.2 B. 24.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC 的长是( D )5.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA 的值是( A ) A. 34 B. 43 C. 35 D. 456.如图，在距离铁轨200米的B 处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A 处时，恰好位于B 处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C 处，恰好位于B 处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是( A )1)米/秒－1)米/秒 C.200米/秒 D.300米/秒7.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 丄BC 于点D)，则下列结论不正确的是( C )A.sinB=AD AB B.sinB=AC BC C.sinB=AD AC D.sinB=CDAC8.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端25米的B 处，测得树顶A的仰角∠ABO 为a ，则树0A 的高度为( C )A.25tan a米 B.25sina 米 C.25tana 米 D.25cosa 米 9.如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，CE ⊥AB 于点E 交BD 于点F ，且点E 是AB 的中点，则tan ∠BFE 的值为( D )A.1210.如图，已知在△ABC 中，AD 是边BC 上的高，BC=14，AD=12，sinB=45，则线段DC 的长为( C )A.3B.4C.5D.6 二、填空题11.如图，△ABC 的顶点都是边长为1的小正方形组成的网格的格点，则sin ∠BAC 的值为____.12.如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B 两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为1200)___米(结果保留根号)13.若某三角形的三个内角度数之比为1:2:3，则该三角形中最小内角的正切值为14.如图，平面直角坐标系中有正方形ABCD，B(0，∠BA0=60°，那么点C的坐标为_(＋1)___.15.如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，EF=2，BC=5，CD=3，则tanC=_43___.16.为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固.如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD，已知迎水坡面AB=12米，背水坡面B=60°.加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，，则CE的长为__8__米.三、解答题 17.计算：(1)tan 230o ＋cos 230o －sin 245°tan45°； (2)sin 30sin 60cos45-︒︒︒tan45°.【解析】(l)tan 230°＋cos 230°－sin 245°tan45° =(3)2＋(2)2－( 2)2×l = 13＋34－12 = 712. (2) sin30tan 45sin60-cos45︒-︒︒︒11-=23+. 18.如图，A ，B 两地之间有一座山，汽车原来从A 地到B 地需经C 地沿折线ACB 行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB 行驶即可到达B 地.已知AC=120km ，∠A=30°，∠B=135°，求隧道开通后汽车从A 地到B 地需行驶多少千米.【解析】过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于点D ，在Rt △ACD 中，∵AC=120km ，∠A=30°，∴CD=ACsin30°=60km，AD=ACcos30°=60km ，∵∠ABC=135°，∴∠CBD=45°，∴BD=CD=60km ，AB=AD －60)km.故隧道开通后汽车从A地到B 地需行驶60)千米.19.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC ：BC=3:2,求sinA 和sinB 的值.【解析】设AC=3a ，BC=2a ，在Rt △ABC 中，由勾股定理，得∴BC sinA AB===,AC sinB AB ===20.如图，已知四边形ABCD 中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC 的延长线与AD的延长线交于点E(1)若∠A=60°，求BC 的长； 若sinA=45，求AD 的长. (注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)【解析】(1)∵∠A=60O，∠ABE=90°，∴∠E=30°. 在Rt △ABE 中，∵AB=6，tanA=BEAB，∴BE=AB·tanA=6×tan60°. ∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=CD CE ，∴CE=CDsin E =412=8，BC=BE －－8. (2)∵∠ABE=90°，AB=6，sinA=BE AE =45，∴设BE=4x ，AE=5x ，则AB=3x ，∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10，∴tanE=AB BE =68=CD DE =4DE，解得DE=163，∴AD=AE －DE=lO －163=143.21.已知钝角三角形ABC ，点D 在BC 的延长线上，连接AD ，若∠DAB=90°，∠ACB=2∠D ，AD=2，AC=32，根据题意画出示意图，并求tanD 的值. 【解析】示意图如图所示：如图，过点C 作CH ⊥AD 于点H ，∵∠ACB=2∠D ，∠ACB=∠D ＋∠CAD ， ∴∠D=∠CAD ，∴CD=AC=32.∴AH=HD=12AD=1，∴===CH ，∴CH tan HD 2==D .22.如图，兰兰站在河岸上的G 点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C 的俯角∠FDC 为30°，若兰兰的眼睛与地面的距离DG 是1.5米，BG=1米，BG 平行于AC 所在的直线，迎水坡的坡度i=4：3，坡高8米，求小船C 到岸边的距离CA.(参考数据：≈1.73，结果保留一位小数)【解析】如图，过点B 作BE ⊥CA 交CA 的延长线于点E ，延长DG 交CA 的延长线于点H ，得Rt △ABE 和矩形BEHG. ∵i=BE AE =43，BE=8米，∴AE=6米. ∵DG=1.5米，BG=l 米，∴DH=DG ＋GH=1.5＋8=9.5(米)，AH=AE ＋EH=6＋l=7(米).在Rt △CDH 中，∵∠C=∠FDC=30°，DH=9.5米，tanC=DHCH，∴CH=2米.又CH=CA ＋7，即2=CA ＋7，∴CA ≈9.4米. 因此，小船C 到岸边的距离CA 约是9.4米.23.如图，已知AE,CF是锐角三角形ABC的两条高，且AE:CF=3:2，试求sin∠BAC：sin∠ACB 的值.【解析】在Rt△ACF中，sin∠BAC=CFAC，在Rt△ACE中，sin∠ACB=AEAC，∴sin∠BAC：sin∠ACB=CFAC：AEAC=CF：AE,又AE:CF=3:2,∴sin∠BAC：sin∠ACB=23。
人教版初3数学9年级下册 第28章(锐角三角函数)单元测试1(含解析)
人教版九下第28章锐角三角函数单元测试一、选择题（共10小题）1. 在△ABC中，∠C=90∘，AC=6，BC=2，那么下列各式中正确的是( )A. tan A=13B. cot A=13C. sin A=13D. cos A=132. 如图，已知Rt△ABC，CD是斜边AB边上的高，那么下列结论正确的是( )A. CD=AB⋅tan BB. CD=AD⋅cot AC. CD=AC⋅sin BD. CD=BC⋅cos A3. 在Rt△ABC中，sin A的值为12，则cos A的值等于( )A. 12B. 22C. 32D. 34. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,0)，点B的坐标为(0,3)，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，连接BC，则∠C的正弦值为( )A. 13B. 3 C. 1010D. 310105. 如图，点E在矩形ABCD的边CD上，AB=2BC，则tan∠CBE+tan∠DAE的值是( )A. 2B. 2+3C. 2−3D. 2+236. 在△ABC中，AB=23，∠BAC=30∘．下列线段BC的长度不能使△ABC的形状和大小都确定的是( )A. 2B. 4C. 3D. 237. 如图，为加快5G网络建设，某通信公司在一个坡度i=1:2.4的山坡AB上建了一座信号塔CD，信号塔底端C到山脚A的距离AC=13米，在距山脚A水平距离18米的E处，有一高度为10米的建筑物 EF ，在建筑物顶端 F 处测得信号塔顶端 D 的仰角为 37∘（信号塔及山坡的剖面和建筑物的剖面在同一平面上），则信号塔 CD 的高度约是 ( )（参考数据：sin37∘≈0.60，cos 37∘≈0.80，tan37∘≈0.75）A. 22.5 米B. 27.5 米C. 32.5 米D. 45.0 米8. 如图，某梯子长 10 米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为 α 时，梯子顶端靠在墙面上的点 A 处，底端落在水平地面的点 B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为 β，已知 sin α=cos β=35，则梯子顶端上升了 ( )A. 1 米B. 1.5 米C. 2 米D. 2.5 米9. 在 Rt △ABC 中，AC =8，BC =6，则 cos A 的值等于 ( )A. 45B. 74C. 45 或 74D. 45 或 27710. 如图，电线杆 CD 的高度为 ℎ，两根拉线 AC 与 BC 互相垂直，∠CAB =α（A ，D ，B 三点在同一条直线上），则拉线 BC 的长度为 ( )A. ℎsin αB. ℎcos αC. ℎtan αD. ℎ⋅cos α二、填空题（共8小题）11. 如果在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为 (3,4)，射线 OP 与 x 轴的正半轴所夹的角为 α，那么 α 的余弦值等于 ．+∣tan B−3∣=0，那么△ABC的形状是．12. 若cos A−1213. 如图，点C在线段AB上，且AC=2BC，分别以AC，BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE，BCFG，连接EC，EG，则tan∠CEG=．14. 如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点所构成的角是直角，那么我们就把这个点叫做矩形的“直角点”，如图，如果E是矩形ABCD的一个“直角点”，且CD=3EC，那么AD:AB的值是．15. 某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为45∘的传送带AB调整为坡度i=1:3的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是42 m，那么新传送带AC的长是m．16. 如图，某校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯．如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为30∘，∠BCA=90∘,台阶的高BC为2 m，那么m长的地毯恰好能铺好台阶（精确到0.1 m；参考数据：2≈1.414，3≈1.732）．17. 如图，在△ABC和△DEF中，∠B=40∘，∠E=140∘，AB=EF=5，BC=DE=8，则这两个三角形面积的大小关系为S△ABC S△DEF（填“>”“=”或“<”）．18. 如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在，则矩形ABCD 边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN．若BF⋅AD=15，tan∠BNF=52的面积为．三、解答题（共6小题）19. 计算：4sin260∘−2sin30∘−cot45∘．tan60∘−2cos45∘20. 已知二次函数y=ax2+x+c的图象经过点A(4,0)，B(−2,0)，与y轴交于点C，求∠ACB的正切值．21. 如图，已知△ABC和△DCE都是等边三角形，点B，C，E在同一直线上，连接BD交AC边于点F．（1）如果∠ABD=∠CAD，求证：BF2=DF⋅DB；（2）如果AF=2FC，S四边形ABCD=18，求S△DCF的值．22. 在数学综合实践活动课上，某小组要测量学校升旗台旗杆的高度．如图，测得BC∥AD，斜坡AB的长为6 m，坡度i=1:3，在点B处测得旗杆顶端的仰角为70∘，点B到旗杆底部C的距离为4 m．（参考数据：sin70∘≈0.94，cos70∘≈0.34，tan70∘≈2.75，结果精确到1 m）（1）求斜坡AB的坡角α的度数；（2）求旗杆顶端离地面的高度ED．23. 由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象．在废墟一侧地面上探测点A，B相距2米，探测线与该地面的夹角分别是30∘和60∘（如图所示），试确定生命所在点C的深度（参考数据：2≈1.414，3=1.732，结果精确到0.1）24. 如图所示，一幢楼房AB的后面有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC=17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α=60∘时，测得楼房在地面上的影长AE=10米，现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳．（参考数据：3≈1.73）（1）求楼房的高度约为多少米；（结果精确到0.1米）（2）过了一会儿，当α=45∘时，小猫（填“能”或“不能”）晒到太阳．答案1. A【解析】∵∠C=90∘，BC=6，AC=2，∴AB=62+22=210．A．tan A=BCAC =26=13，正确；B．cot A=ACBC =62=3，故不正确；C．sin A=BCAB =2210=1010，故不正确；D．cos A=ACAB =6210=31010，故不正确．2. D3. C【解析】∵sin A=12，∴∠A=30∘，∴cos A=cos30∘=32．故选C．4. D【解析】由题意知OA=4，OB=3，在Rt△AOB中，AB=OA2+OB2=32+42=5，∴AC=AB=5，∴OC=AC−AO=1，在Rt△BOC中，BC=OC2+OB2=12+32=10，∴sin C=OBBC =310=31010．5. A6. A【解析】如图（1），过点B作BD⊥AC于点D，×23=3，则BD=AB sin30∘=12故当BC=3，即点D与点C重合时，△ABC的形状和大小唯一确定，即C选项不符合题意；当BC=2时，如图（2），则BC1=BC2=2，此时△ABC1与△ABC2的形状和大小不相同，即选项A符合题意；当BC=23时，△ABC是等腰三角形，如图（3），此时△ABC的形状与大小确定，故选项D不符合题意；当BC=4时，如图（4），△ABC是钝角三角形，形状与大小确定，故选项B不符合题意．7. B8. C【解析】如图所示，在Rt△ABC中，AC=sinα×AB=35×10=6（米）；在Rt△DEC中，DC=cosβ×DE=35×10=6（米），EC=DE2−DC2=100−36=8（米）；∴AE=EC−AC=8−6=2（米）．9. C【解析】存在两种情况：①当AB为斜边时，∠C=90∘，∵AC=8，BC=6，∴AB=AC2+BC2=82+62=10．∴cos A=ACAB =810=45，②当AC为斜边时，∠B=90∘，∵AC=8，BC=6，∴AB=AC2−BC2=82−62=27，∴cos A=ABAC =278=74．综上所述，cos A的值等于45或74．10. B11. 35【解析】过P作PA⊥x轴于A，∵P(3,4)，∴PA=4，OA=3，由勾股定理得：OP=5，∴α的余弦值是OAOP =35．答案为：35．12. 等边三角形【解析】由题意得cos A−12=0，tan B−3=0，∴cos A=12，tan B=3，∴∠A=60∘，∠B=60∘，∴∠C=60∘，∴△ABC的形状是等边三角形．13. 12【解析】设BC=a，则AC=2a．∵正方形ACDE，∴EC=(2a)2+(2a)2=22a，∠ECD=12∠ACD=45∘．同理：CG=2a，∠GCD=12∠BCD=45∘．∴tan∠CEG=CGCE =2a22a=12．14. 2315. 8【解析】作AD⊥直线CB于点D，∵∠ABD=45∘，∴AD=BD，∵AB=42，∴AD=BD=AB sin45∘=42×22=4，∵新传带AC的坡度i=1:3，∴ADDC =4DC=13，则DC=43，∴AC=AD2+DC2=8(m)．16. 5.517. =【解析】如图1，过点D作DH⊥EF，交FE的延长线于点H，∵∠DEF=140∘，∴∠DEH=40∘．∴DH=sin∠DEH⋅DE=8sin40∘，∴S△DEF=12EF⋅DH=20sin40∘．如图2，过点A作AG⊥BC于点G．∵AG=sin B⋅AB=5sin40∘，∴S△ABC=12BC⋅AG=20sin40∘，∴S△DEF=S△ABC．18. 155【解析】由折叠的性质可得AE=EF，AD=DF，AN=NF，∠EAN=∠EFN，∴∠BEF=2∠EAN．在Rt△ABF中，∵AN=NF，∴BN=AN=NF，∴∠EAN=∠EBN，∠BNF=2∠EAN，∴∠BEF=∠BNF，∵tan∠BNF=52，∴tan∠BEF=52，∴BFBE =52，设BF=5k(k>0)，则BE=2k，∴AE =EF =BF 2+BE 2=3k ，∴AB =CD =5k ．由折叠的性质可得 ∠EFD =∠EAD =90∘，∴∠BFE +∠CFD =90∘，又 ∵∠BEF +∠BFE =90∘，∴∠CFD =∠BEF ．∴ 在 Rt △CFD 中，tan ∠CFD =CD CF =52， ∴CF =25k ，∴AD =BC =35k ．∵BF ⋅AD =15，∴5k ⋅35k =15，解得 k =1（会去负值），∴AB =5，BC =35，∴矩形ABCD 的面积=AB ⋅BC =5×35=155．19. 原式==3−2=3+2.20. 解法一：根据题意，得 0=16a +4+c,0=4a−2+c.解得 a =−12,c =4.∴ 二次函数的解析式为 y =−12x 2+x +4．∴ 点 C (0,4)．作 BH ⊥AC ，垂足为点 H ．可求得 AH =BH =32，AC =42．∴CH =2．∴tan ∠ACB =3．【解析】解法二：设二次函数的解析式为 y =a (x−4)(x +2)．展开，得 y =ax 2−2ax−8a ．比较系数，得 −2a =1．a =−12．∴ 二次函数的解析式为 y =−12x 2+x +4．（下同解法一）．21. （1） ∵△ABC ，△DCE 均为等边三角形，∴AB =AC ，∠BAC =∠ACB =∠DCE =60∘，∴∠ACD =180∘−∠ACB−∠DCE =60∘，∴∠BAC =∠ACD ，在 △ABF 和 △CAD 中， ∠BAC =∠ACD,∠ABD =∠CAD,AB =AC,∴△ABF ≌△CAD ，∴AD =BF ，∵∠ABD =∠FAD ，∠ADB =∠ADB ，∴△ADF ∽△BDA ，∴AD BD =DF AD ，即 AD 2=DF ⋅DB ，∵AD =BF ，∴BF 2=DF ⋅DB ．（2） ∵∠AFB =∠DFC ，∠BAF =∠DCF ，∴△DCF ∽△ABF ，∴BF DF =AF FC ，∵AF =2FC ，∴BF DF =AF FC =2，∴BF =2FD ，设 S △DCF =x ，∵S △ADF S △DCF =AF FC =2，∴S △ADF =2x ，同理可得，S △ABF =4x ，S △BCF =2x ，∵S 四边形ABCD =18，∴S △DCF +S △ADF +S △ABF +S △BCF =18，即 x +2x +4x +2x =18，解得 x =2，即 S △DCF =2．22. （1） 如图，作 BF ⊥AD 于点 F ，∵i =tan ∠BAF =BF AF =13=33， ∴∠BAF =30∘，即 α=30∘．（2） ∵∠BAF =30∘，AB =6，∴CD=BF=12AB=3．在Rt△BCE中，∵∠EBC=70∘，BC=4，∴EC=BC⋅tan∠EBC=4tan70∘≈11，∴ED=EC+CD=11+3=14(m)．答：旗杆顶端离地面的高度ED约为14 m．23. 如图所示，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，由题意可知，∠CAD=30∘，∠CBD=60∘，设CD=x米，则BD=xtan60∘，AD=xtan30∘，∵AB=2米，AD=AB+BD，∴AD=2+BD，∴2+xtan60∘=xtan30∘，解得，x≈1.7．即生命所在点C的深度是1.7米．24. （1）当α=60∘时，在Rt△ABE中，∵tan60∘=ABAE =AB10，∴AB=10⋅tan60∘=103≈10×1.73=17.3（米）．即楼房的高度约为17.3米．（2）能【解析】当α=45∘时，小猫仍可以晒到太阳．理由如下：假设没有台阶，当α=45∘时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F，与MC的交点为点H，如图所示．∵∠BFA=45∘，∴tan45∘=ABAF=1，此时的影长AF=AB≈17.3米，∴CF=AF−AC≈17.3−17.2=0.1（米），∴CH=CF=0.1米，∴楼房的影子落在台阶MC这个侧面上，∴小猫能晒到太阳．。
【3套】人教版九年级下学期第28章锐角三角函数 单元过关测试卷 含参考答案
人教版九年级下学期第28章锐角三角函数 单元过关测试卷 含参考答案一、选择题（每小题3分，共18分）1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，b=53c ，则sinB 的值是（ ） A 、53 B 、54 C 、43 D 、342、在△ABC中，若1sin 02A B -=，则△ABC 是（ ）A 、等腰三角形B 、等腰直角三角形C 、直角三角形D 、等边三角形 3、如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cosA=53，BE=2，则tan ∠DBE 的值是（ ） A 、21B 、2C 、25D 、554、如图，长4m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为（ ） A ．32 m B ．62 m C ．（32﹣2）m D ．（62﹣2）m5、一人乘雪橇沿坡度为i=１:3的斜坡滑下，滑下距离Ｓ（米）与时间t （秒）之间的关系为Ｓ＝2210t t +,若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为（ ） A 、72米 B 、36米 C 、336米 D 、318米6、某数学兴趣小组同学进行测量大树CD 高度的综合实践活动，如图，在点A 处测得直立 于地面的大树顶端C 的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB 行走13米至坡顶B 处， 然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D 处，斜面AB 的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么 大树CD 的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（ ） A ．8.1米 B ．17.2米 C ．19.7米 D ．25.5米 二、填空题（每小题3分，共21分）7、在△ABC 中，∠C ＝90°，若sinB ＝31，则sinA 的值为 8、如图，P 是∠α 的边OA 上一点，且点P 的坐标为（3，4）， 则sin α= 9、升国旗时，某同学站在离旗杆24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若两眼距离地面1.2m ，则旗杆高度约为 . （取3=1.732，结果精确到0.1m ）10、如图，线段AB 、DC 分别表示甲、乙两座楼房的高，AB ⊥BC ， DC ⊥BC ，两建筑物间距离（第3题） （第4题） （第6题） ED CB A DB C AB D CE ABC=30米，若甲建筑物高AB=28米，在点A 测得D 点的仰角α=45°， 则乙建筑物高DC= 米.11、如图所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤高BC=5m ，则坡面AB 的长度是 米．12、某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为13、四边形ABCD 的对角线AC BD ，的长分别为m n ，，可以证明当AC BD ⊥时（如图1），四边形ABCD 的面积12S mn =，那么当AC BD ，所夹的锐角为θ时（如图2），四边形ABCD 的面积S = ．（用含m n θ，，的式子表示） 三、解答题（共61分） 14、计算：（8分）（1）45sin 60)︒-︒ （2）3sin60°﹣2cos30°﹣tan60°•tan45°．15、（8分）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB 的坡比i =（指坡面的铅直高（第10题）（第11题） （第13题）Ｄ 图1 Ｃ图2度与水平宽度的比）．且AB=20 m ．身高为1.7 m 的小明站在大堤A 点，测得高压电线杆端点D 的仰角为30°．已知地面CB 宽30 m ，求高压电线杆CD 的高度（结果保留0.1m，1.732）.16、（8分）如图，在四边形ABCD 中，∠BCD 是钝角，AB=AD ，BD 平分∠ABC ，若CD=3，BD=62，sin ∠DBC=33，求对角线AC 的长．17、（8分）某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A 处水平飞行至B 处需8秒，在地面C 处同一方向上分别测得A 处的仰角为75°，B 处的仰角为30°．已知无人飞D CBA机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）18、（8分）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB 的长为5米，点D 、B 、C 在同一水平地面上． （1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01） （2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由 (≈1.411.73≈2.45， )19、（10分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。
人教版九年级下册数学 第28章 锐角三角函数 单元测试卷(有答案)
2020-2021学年人教新版九年级下册数学《第28章锐角三角函数》单元测试卷一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则锐角A的三角函数值（）A．不变B．扩大5倍C．缩小5倍D．不能确定2．用计算器求sin28°，cos27°，tan26°的值，它们的大小关系是（）A．tan26°＜cos27°＜sin28°B．tan26°＜sin28°＜cos27°C．sin28°＜tan26°＜cos27°D．cos27°＜sin28°＜tan26°3．已知锐角α满足cosα＝，则tanα是（）A．B．C．2D．24．在直角三角形中不能求解的是（）A．已知一直角边和一锐角B．已知斜边和一锐角C．已知两边D．已知两角5．如图，为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15米处的C点（AC⊥BA）测得∠C＝50°，则A、B间的距离应为（）A．15sin50°米B．15cos50°米C．15tan50°米D．米6．如图，在高为2m，坡比为1：的楼梯上铺地毯，地毯的长度应为（）A．4m B．6m C．m D．m 7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．28．△ABC中，tan A＝1，cos B＝，则△ABC为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定9．在△ABC中，∠C＝90°，a＝5，c＝13，用计算器求∠A约等于（）A．14°38′B．65°22′C．67°23′D．22°37′10．如图，在某海岛的观察所A测得船只B的俯角是30°．若观察所的标高（当水位为0m 时的高度）是53m，当时的水位是+3m，则观察所A和船只B的水平距离BC是（）A．50m B．50m C．5m D．53m二．填空题11．比较大小：sin87°tan47°．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，BC＝1，则tan B＝．13．在△ABC中，∠B＝74°37′，∠A＝60°23′，则∠C＝，sin A+cos B+tan C ≈．14．计算：tan45°+sin260°＝．15．已知：∠α是锐角，且sinα•cosα＝，则sinα+cosα＝．16．一船向西航行，上午9时30分在小岛A的南偏东30°，距小岛A60海里的B处，上午11时，船到达小岛A的正南方向，则该船的航行速度为．17．如图，小明想测量南塔的高度．她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进20m至B处，测得仰角为60°，那么塔高约为m．（小明身高忽略不计，≈1.732）18．如图，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为，∠α＝60°，则AB＝．19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝，则tan A＝，若此时△ABC的周长为48，那么△ABC的面积．20．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB的垂直平分线MN交AC于D，且CD：DA ＝3：5，则sin A＝．三．解答题21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝2cm．求∠A，∠B的正弦、余弦和正切的值．22．如图，梯子AB的长为2.8m．当α＝60°时，求梯子顶端离地面的高度AD和两梯脚之间的距离BC．当α＝45°时呢？23．已知∠A为锐角，且cos A＝，求sin A、tan A．24．观察下列等式：①sin30°＝，cos60°＝；②sin45°＝，cos45°＝；③sin60°＝，cos30°＝．（1）根据上述规律，计算sin2α+sin2（90°﹣α）＝．（2）计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°．25．如图，广场上空有一个气球A，地面上点B，C，D在一条直线上，BC＝20m，在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为45°，∠ACD为56°，求气球A离地面的高度AD（精确到0.1m）．26．在直角坐标系中，点P（x，6）在第一象限，且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是．求x的值，及角α的正弦和余弦值．27．用“＜”符号连接下列各三角函数cos15°、cos30°、cos45°、cos60°、cos75°．参考答案与试题解析一．选择题1．解：因为三角函数值与对应边的比值有关，所以各边的长度都扩大5倍后，锐有A的各三角函数值没有变化，故选：A．2．解：∵tan26°≈0.488，cos27°≈0.891，sin28°≈0.469．故sin28°＜tan26°＜cos27°．故选：C．3．解：∵cosα＝＝，∴可设b＝x，则c＝3x，∵a2+b2＝c2，∴a＝2x，∴tanα＝＝＝2．故选：D．4．解：A、已知一直角边和一锐角能够求解；B、已知斜边和一锐角能够求解；C、已知两边能求解；D、已知两角不能求解．故选：D．5．解：因为AC＝15米，∠C＝50°，在直角△ABC中tan50°＝，所以AB＝15•tan50°米．故选：C．6．解：如图，根据题意得：AC＝2m，i＝AC：BC＝1：，∴BC＝AC＝2m，∴地毯的长度应为：AC+BC＝2+2（m）．故选：D．7．解：在△ABC中，∠C＝90°，∠A+∠B＝90°，则sin B＝cos A＝．故选：A．8．解：由tan A＝1，cos B＝，得A＝45°，B＝30°，由三角形内角和定理，得C＝180°﹣A﹣B＝105°，故选：B．9．解：sin A＝＝≈0.385，A＝sin﹣10.385＝22.64°＝22°37′，故选：D．10．解：由题意得，AC＝50米，∠ABC＝30°，在Rt△ABC中，BC＝AC cot∠ABC＝50（米）．故选：B．二．填空题11．解：∵sin87°＜1，tan47°＞tan45°＝1，∴sin87°＜tan47°，故答案为：＜．12．解：∵∠C＝90°，AB＝，BC＝1，∴AC＝＝2，∴tan B＝＝2，故答案为：2．13．解；∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣135°＝45°．sin A+cos B+tan C≈0.86935+0.26527+1≈2.1346．故答案为：45°；2.1346．14．解：tan45°+sin260°＝1+（）2＝1．故答案为：1．15．解：∵（sinα+cosα）2＝sin2α+2sinα•cosα+cos2α＝1+2sinα•cosα，∴当sinα•cosα＝时，原式＝1+＝，则sinα+cosα＝±＝±，∵∠α是锐角，sinα，cosα都为正数，∴sinα+cosα＝．故答案为：．16．解：如图在Rt△ABC中，∠BAC＝90°﹣60°＝30°，AB＝60海里，故BC＝30海里，11时﹣9时30分＝1.5小时，船航行的速度为30÷1.5＝20海里/时．故答案为：20海里/时．17．解：∵∠DAB＝30°，∠DBC＝60°，∴BD＝AB＝20m．∴DC＝BD•sin60°＝20×≈17.32（m）．故答案为：17.32．18．解：如图，过点B作BC⊥l2于点C，则BC＝，在Rt△ABC中，∠BAC＝α＝60°，BC＝，所以AB＝＝＝2．故答案是：2．19．解：设c＝5k，a＝3k．由勾股定理得：b＝＝＝4k．∴tan A＝＝．∵△ABC的周长为48，∴5k+3k+4k＝48．解得：k＝4．∴3k＝3×4＝12，4k＝4×4＝16．∴△ABC的面积＝＝96．故答案为：；96．20．解：如图，连BD，设CD＝3x，则DA＝5x，又∵MN垂直平分AB，∴DB＝DA＝5x，在Rt△BCD中，BC＝4，∵BD2＝CD2+BC2，∴（5x）2＝（3x）2+42，∴x＝1，∴AC＝AD+DC＝5x+3x＝8x＝8，在Rt△ABC中，AB＝＝＝4．sin A＝．故答案为：三．解答题21．解：由勾股定理得：AB＝＝＝7（cm）．∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝，sin B＝＝，cos B＝＝，tan B＝＝＝．22．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠ABD＝∠ACD．当α＝60°时，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2.8m，∠ABD＝60°，∴BD＝AB•cos∠ABD＝1.4m，AD＝AB•sin∠ABD＝m，∴BC＝2BD＝2.8m；当α＝45°时，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2.8m，∠ABD＝45°，∴BD＝AB•cos∠ABD＝m，AD＝AB•sin∠ABD＝m，∴BC＝2BD＝m．23．解：∵sin2A+cos2A＝1，即sin2A+（）2＝1，∴sin2A＝，∴sin A＝或﹣（舍去），∴sin A＝，∵tan A＝，∴tan A＝＝．24．解：（1）∵根据已知的式子可以得到sin（90°﹣α）＝cosα，∴sin2α+sin2（90°﹣α）＝1；（2）sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°＝（sin21°+sin289）+（sin22°+sin288°）+…+sin245°＝1+1+…1+＝44+＝．25．解：根据题意，得∠ADB＝90°，∠ABD＝45°，∴∠DAB＝45°，∴AD＝BD，∴CD＝BD﹣BC＝AD﹣20，在Rt△ADC中，∠ACD＝56°，∴tan56°＝，即1.48≈，解得AD≈61.7（m）．答：气球A离地面的高度AD约为61.7m．26．解：如图所示，过点P作PQ⊥x轴于点Q，由P（x，6）且P在第一象限知OQ＝x，PQ＝6，∵tan∠POQ＝tanα＝，∴＝，即＝，解得x＝9，则OP＝＝＝3，∴sinα＝＝＝，cosα＝＝＝．27．解：∵75°＞60°＞30°＞15°，∴cos75°＜cos60°＜cos30°＜cos15°．。
人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数单元测试题(供参考)
第28章锐角三角函数测试题(总分值120分，120分钟完卷)一、选择题：（30分）一、已知α为锐角，那么m=sinα+cosα的值（ ）A ．m ＞1B ．m=1C ．m ＜1D ．m≥1二、在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，那么锐角A 的三角函数值（ ）A 也扩大3倍B 缩小为原先的31C 都不变D 有的扩大，有的缩小 3、以直角坐标系的原点O 为圆心，以1为半径作圆。
假设点P 是该圆上第一象限内的一点，且OP 与x 轴正方向组成的角为α，那么点P 的坐标为 （ ）A (cosα,1)B (1,sinα)C (sinα,cosα)D (cosα,sinα)4、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连结BD ，假设cos ∠BDC=53，那么BC 的长是 （ ） A 、4cm B 、6cm C 、8cm D 、10cm 五、已知a 为锐角，sina=cos500则a 等于 （ ） A 20° B 30° C 40° D 50° 六、假设tan(a+10°)=3，那么锐角a 的度数是( ) A 、20° B 、30° C 、35° D 、50° 7、若是α、β都是锐角，下面式子中正确的选项是（ ）A 、sin(α+β)=sin α+sin βB 、cos(α+β)=21时，α+β=60° C 、假设α≥β时，那么cos α≥cos β D 、假设cos α>sin β,则α+β>90°八、小阳发觉电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=8米，BC=20米，CD 与地面成30º角，且现在测得1米杆的影长为2米，那么电线杆的高度为（ ） A ．9米 B ．28米 C ．()37+米 D.()3214+米 九、如图,两建筑物的水平距离为am,从A 点测得D 点的俯角为a, 测得C 点的俯角为β,那么较低建筑物CD 的高为 ( )B NACDMDCBAA.a mB.(a ·tan α)mC.(a/tan α)mD.a(tan α－tan β)m10、☆如图，钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线BC 长23m ，某钓者想看看鱼钓上的情形，把鱼竿AC 转动到C A '的位置，现在露在水面上的鱼线C B ''为33，那么鱼竿转过的角度是( )A ．60°B ．45°C ．15°D ．90°二、填空题：（30分）1一、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝2，b ＝3，那么cosA ＝ .，sinB ＝ ，tanB ＝ . 1二、直角三角形ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm ，∠A 是锐角，那么sinA ＝ . 13、已知tan α＝125，α是锐角，那么sin α＝ . 14、cos 2(50°＋α)＋cos 2(40°－α)－tan(30°－α)tan(60°＋α)＝ .1五、☆如图，机械人从A 点，沿着西南方向，行了个42单位，抵达B 点后观看到原点O 在它的南偏东60°的方向上，那么原先A 的坐标为 . （结果保留根号）．1六、等腰三角形底边长10cm ，周长为36cm ，那么一底角的正切值为 .17、某人沿着坡度i=1:3的山坡走了50米，那么他离地面 米高。
人教版九年级下册数学《第28章 锐角三角函数》单元测试卷(有答案)
2020-2021学年人教新版九年级下册数学《第28章锐角三角函数》单元测试卷一．选择题1．已知a＝sin25°，b＝tan46°，c＝cot17°，m＝cos20°，则a、b、c、m的大小关系（）A．a＜b＜c＜m B．b＜m＜c＜a C．a＜m＜b＜c D．m＜a＜b＜c 2．下列等式中正确的是（）A．cos2α+sin2α＝1 B．cos30°+cos45°＝cos75°C．tan30°﹣tan60°＝D．2cot22°30′＝cot45°＝13．sin2θ+sin2（90°﹣θ）（0°＜θ＜90°）等于（）A．0 B．1 C．2 D．2sin2θ4．的值为（）A．﹣1B．C．﹣D．1﹣5．四位学生用计算器求sin62°20′的值正确的是（）A．0.8857B．0.8856C．0.8852D．0.88516．正六边形的两条互相平行的对边相距12cm，这个正六边形的边长为（）A．7.5cm B．cm C．cm D．cm7．某个水库大坝的横断面为梯形，迎水坡的坡度是1：，背水坡为1：1，那么两个坡的坡角和为（）A．90°B．75°C．60°D．105°8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，b＝12，c＝13，则cos A的值为（）A．B．C．D．以上都不对9．甲、乙、丙三人放风筝，各人放出的风筝线长分别为60m、50m、40m，线与地平面所成的角分别为30°、45°、60°，假设风筝线近似看作是拉直的，则所放风筝最高的是（）A．甲B．乙C．丙D．不能确定10．如图，某建筑物BC的楼顶上有一避雷针AB，在距此建筑物12米的D处安置﹣高度为1.5米的测倾器DE，测得避雷针顶端的仰角为60°，又知建筑物共有六层，每层层高为3米，则避雷针AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据≈1.41，≈1.73）为（）A．2.76米B．2.8米C．4.26米D．4.3米二．填空题11．△ABC中∠A＝40°，∠C＝90°，a＝4.2，则b≈，c≈（保留2个有效数字）．12．已知α为锐角，若cosα＝，则sinα＝，tan（90°﹣α）＝．13．斜坡AB＝50m，水平距离40m，则垂直距离m，坡度是．14．如图，一个长为3米的梯子斜靠在墙壁上，若梯子与地面所成的角为60°，则此时梯子顶端到地面的距离为米．15．在△ABC中，AC＝，BC＝2，∠A＝45°，则∠B＝．16．若sin47°＝cosα，则锐角α＝．17．5sin2（90°﹣α）+5sin2α＝．18．已知45°＜α＜90°，用“＞”或“＜”符号填空：sinαcosα；tanαcotα；sinαtanα．19．如图所示，在数学活动课上，老师带学生去测河宽，某学生在A处观测到河对岸有一点C，并测得∠CAD＝45°，在距离A点30m的B处测得∠CBD＝30°，则河宽CD是m．（答案保留根号）20．如图，某电视塔AB和楼CD的水平距离为100m，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A。
人教版九年级数学下册《第28章锐角三角函数》单元测试卷(含答案)
新人教版九年级下《第28章锐角三角函数》单元测试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.sin60°的值等于（）A. B. C. D.2.已知α为锐角，sin（α-20°）=，则α=（）A. B. C. D.3.在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（）A.B.C.D. 24.在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（）A. B. C. D.5.在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值（）A. 不变B. 扩大5倍C. 缩小5倍D. 不能确定6.在△ABC中，∠C=90°，tan A=，则cos A的值为（）A. B. C. D.7.在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sin B的值是（）A. B. C. D.8.如图，山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD=60°，则铁塔AB的高为（）A. 3米B. 米C. 米D. 米9.坡度等于1：的斜坡的坡角等于（）A. B. C. D.10.济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（）A. 47mB. 51mC. 53mD. 54m二、填空题（本大题共7小题，共26.0分）11.求值：sin60°-tan30°= ______ ．12.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=10，则∠A= ______ 度．13.如图，∠AOB放置在正方形网格中，则cos∠AOB的值为______ ．14.△ABC中，∠C=90°，斜边上的中线CD=6，sin A=，则S△ABC= ______ ．15.如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高为（其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）______ ．16.在我们生活中通常用两种方法来确定物体的位置．如小岛A在码头O的南偏东60°方向的14千米处，若以码头O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1千米为单位长度建立平面直角坐标系，则小岛A也可表示成______ ．17.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=2，则sin A= ______ ．三、解答题（本大题共7小题，共64.0分）18.已知α为一锐角，sinα=，求cosα，tanα．19.如图，已知AC=4，求AB和BC的长．20.如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）21.如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．求新传送带AC的长度．22.某校一栋教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为45°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌底部C的仰角为30°．已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．23.如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A观测站在B观测站的正东方向，有一艘小船在点P处，从A处测得小船在北偏西60°方向，从B处测得小船在北偏东45°的方向，点P到点B的距离是3千米．（注：结果有根号的保留根号）（1）求A，B两观测站之间的距离；（2）小船从点P处沿射线AP的方向以千米/时的速度进行沿途考察，航行一段时间后到达点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°方向，求小船沿途考察的时间．24.如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）答案和解析1.【答案】C【解析】解：sin60°=．故选：C．根据特殊角的三角函数值直接解答即可．此题考查了特殊角的三角函数值，是需要识记的内容，要注意积累．2.【答案】D【解析】解：∵α为锐角，sin（α-20°）=，∴α-20°=60°，∴α=80°，故选D．根据特殊角的三角函数值直接解答即可．本题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．3.【答案】D【解析】解：由图可得，tanα=2÷1=2．故选D．此题可以根据“角的正切值=对边÷邻边”求解即可．本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解正切值的含义是解决此题的关键．4.【答案】D【解析】解：A、∵sinB=，∴b=c•sinB，故选项错误；B、∵cosB=，∴a=c•cosB，故选项错误；C、∵tanB=，∴a=，故选项错误；D、∵tanB=，∴b=a•tanB，故选项正确．故选D．根据三角函数的定义即可判断．本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5.【答案】A【解析】解：∵各边都扩大5倍，∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，∴两三角形相似，∴∠A的三角函数值不变，故选：A．易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角函数值不变．用到的知识点为：三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的对应角相等．三角函数值只与角的大小有关，与角的边的长短无关．6.【答案】D【解析】解：如图，∵tanA==，∴设BC=x，则AC=3x，∴AB==x，∴cosA===．故选D．根据正切的定义得到tanA==，于是可设BC=x，则AC=3x，根据勾股定理计算出AB，然后利用余弦的定义求解．本题考查了三角形函数的定义：在三角形三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值；这个锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．也考查了勾股定理．7.【答案】B【解析】解：延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，∵∠CAB=120°，∴∠DAC=60°，∴∠ACD=30°，∵AB=4，AC=2，∴AD=1，CD=，BD=5，∴BC==2，∴sinB===．故选：B．首先延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，进而得出AD，CD，BC的长，再利用锐角三角函数关系求出即可．此题主要考查了解直角三角形，作出正确辅助线构造直角三角形是解题关键．8.【答案】B【解析】解：设直线AB与CD的交点为点O．∴．∴AB=．∵∠ACD=60°．∴∠BDO=60°．在Rt△BDO中，tan60°=．∵CD=6．∴AB==6．故选：B．依据平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例及60°的正切值联立求解．本题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是根据实际问题抽象出几何图形．解：坡角α，则tanα=1：，则α=30°．故选A．根据坡度就是坡角的正切值即可求解．本题主要考查了坡度的定义，理解坡度和坡角的关系是解题的关键．10.【答案】B【解析】解：根据题意得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，∴∠ADB=∠DBC-∠A=30°，∴∠ADB=∠A=30°，∴BD=AB=60m，∴CD=BD•sin60°=60×=30≈51（m）．故选：B．由题意易得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，即可证得△ABD是等腰三角形，然后利用三角函数，求得答案．此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．注意证得△ABD是等腰三角形，利用特殊角的三角函数值求解是关键．11.【答案】【解析】解：原式=-=-=．故答案为．根据sin60°=，tan30°=得到原式=-，然后通分合并即可．本题考查了特殊角的三角函数值：sin60°=，tan30°=．也考查了二次根式的运算．解：∵∠C=90°，AC=5，AB=10，∴cosA===，∴∠A=30°，故答案为：30°．根据条件求出，即可得到cos∠A的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A的度数．此题主要考查了锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，解决此题的关键是求出cosA．13.【答案】【解析】解：将∠AOB放在一直角三角形中，邻边为1，对边为2，由勾股定理得斜边，则cos∠AOB的值==．根据余弦的定义，cos∠AOB等于邻边比斜边，可以求得cos∠AOB的值．本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边．14.【答案】【解析】解：在Rt△ABC中，∵斜边上的中线CD=6，∴AB=12．∵sinA==，∴BC=4，AC==8．∴S△ABC=AC•BC=16．根据直角三角形中斜边上的中线为斜边的一半可求出AB；根据三角函数的定义求出AC，根据面积公式解答．本题利用了直角三角形的性质：直角三角形中斜边上的中线为斜边的一半和锐角三角函数的概念求解．15.【答案】（2+1.6）m【解析】解：由题意得：AD=6m，在Rt△ACD中，tanA==∴CD=2，又AB=1.6m∴CE=CD+DE=CD+AB=2+1.6，所以树的高度为（2+1.6）m．已知小丽与树之间的距离为6m即AD=7m，可由直角三角形ACD及三角函数的关系可求出CD 的长度，再由AB=1.6m可得出树的高度．本题考查解直角三角形的应用，要注意利用已知线段及三角函数关系求未知线段．16.【答案】，【解析】解：过点A作AC⊥x轴于C．在直角△OAC中，∠AOC=90°-60°=30°，OA=14千米，则AC=OA=7千米，OC=7千米．因而小岛A所在位置的坐标是（7，-7）．故答案为：（7，-7）．过点A作AC⊥x轴于C，根据已知可求得小岛A的坐标．本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．17.【答案】【解析】【分析】本题考查了锐角的三角函数值的定义，理解定义是关键.利用锐角三角函数的定义求解.【解答】解：sinA==.故答案为.18.【答案】解：由sinα==，设a=4x，c=5x，则b==3x，故cosα==，tanα==．【解析】根据sinα=，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出cosα的值，同理可得tanα的值．本题考查了同角三角函数的关系，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．19.【答案】解：作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°-∠A=60°，CD=AC=2，AD=AC•cos A=2．在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB-∠ACD=45°，∴BD=CD=2，∴BC=2，∴AB=AD+BD=2+2．【解析】作CD⊥AB于点D，根据三角函数的定义在Rt△ACD中，在Rt△CDB中，即可求出CD，AD，BD，从而求解．本题考查了解直角三角形，作出辅助线是解题的关键，难度中等．20.【答案】解：作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．∵∠ ∠ ，∠ ∠ ，∴∠根据题意，得BE=24mm，DF=48mm．在Rt△ABE中，sin，∴mm在Rt△ADF中，cos∠ ，∴mm．∴矩形ABCD的周长=2（40+60）=200mm．【解析】作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F，求∠ADF的度数，在Rt△ABE中，可以求得AB的值，在Rt△ADF中，可以求得AD的值，即可计算矩形ABCD的周长，即可解题．本题考查了矩形对边相等的性质，直角三角形中三角函数的应用，锐角三角函数值的计算．21.【答案】解：在Rt△ABD中，AD=AB sin45°=4×=4．在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，∴AC=2AD=8．答：新传送带AC的长度约为8米．【解析】根据正弦的定义求出AD，根据直角三角形的性质解答即可．本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．22.【答案】解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．在Rt△ABF中，i=tan∠BAF==，∴∠BAF=30°，∴BF=AB=5，AF=5．∴BG=AF+AE=5+15．在Rt△BGC中，∵∠CBG=30°，∴CG：BG=，∴CG=5+5．在Rt△ADE中，∠DAE=45°，AE=15，∴DE=AE=15，∴CD=CG+GE-DE=5+5+5-15=（5-5）m．答：宣传牌CD高约（5-5）米．【解析】过B分别作AE、DE的垂线，设垂足为F、G．分别在Rt△ABF和Rt△ADE中，通过解直角三角形求出BF、AF、DE的长，进而可求出EF即BG的长；在Rt△CBG中，∠CBG=30°，求出CG的长；根据CD=CG+GE-DE即可求出宣传牌的高度．此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．23.【答案】解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°-45°=45°，∴BD=PD=3千米．在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°-60°=30°，∴AD=PD=3千米，PA=6千米．∴AB=BD+AD=3+3（千米）；（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．根据题意得：∠ABC=105°，在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，∴BF=AB=千米，AF=AB=+3 千米．在△ABC中，∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°．在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，∴CF=BF=千米，∴PC=AF+CF-AP=3千米．故小船沿途考察的时间为：3÷=3（小时）．【解析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，先解Rt△PBD，得到BD和PD的长，再解Rt△PAD，得到AD和AP 的长，然后根据BD+AD=AB，即可求解；（2）过点B作BF⊥AC于点F，先解Rt△ABF，得出BF和AF的长，再解Rt△BCF，得出CF的长，可求PC=AF+CF-AP，从而求解．本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中．通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．24.【答案】解：（1）如图，过点E作EM⊥AB，垂足为M．设AB为x．Rt△ABF中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+25，在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB-BM=AB-CE=x-2，tan22°=，则=，解得：x=20．即教学楼的高20m．（2）由（1）可得ME=BC=x+25=20+25=45．在Rt△AME中，cos22°=．∴AE=，即A、E之间的距离约为48m【解析】（1）首先构造直角三角形△AEM，利用tan22°=，求出即可；（2）利用Rt△AME中，cos22°=，求出AE即可此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出tan22°=是解题关键。
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第二十八章 锐角三角函数全章测试
一、选择题
1．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝4，,32sin =
A 则AC 的长为( )A ．6
B ．52
C ．53
D ．13
22．⊙O 的半径为R ，若∠AOB ＝α ，则弦AB 的长为( )
A ．2sin 2αR
B ．2R sin α
C ．2cos 2αR
D ．R sin α
3．△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为(
)A ．312B ．12C ．324D ．3
484．若某人沿倾斜角为α 的斜坡前进100m ，则他上升的最大高度是(
)A ．m sin 100αB ．100sin α m C ．m cos 100βD ．100cos β m
5．铁路路基的横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2∶3，顶宽为3m ，路基高为4m ，则路基的下底宽应为( )
A ．15m
B ．12m
C ．9m
D ．7m
6．P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 点，若∠APB ＝2α ，⊙O 的半径为R ，则AB 的长为( )
A ．
ααtan sin R B ．α
αsin tan R C ．ααtan sin 2R D ．ααsin tan 2R 7．在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，若CB ＝a ，∠B ＝β ，则AD 等于( )
A ．a sin 2β
B ．a cos 2β
C ．a sin β cos β
D ．a sin β tan β 8．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于P 点，那么AB
DC 的值为( )
A ．sin ∠APC
B ．cos ∠AP
C C ．tan ∠APC
D ．APC
∠tan 1
9．如图所示，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB ．已知观测点C 到旗杆的距离(CE 的长度)为8m ，测得旗杆的仰角∠ECA 为30°，旗杆底部的俯角∠ECB 为45°，那么，旗杆AB 的高度是( )
第9题图
A ．m
)3828(+B ．m )388(+C ．m )33828(+D ．m )3
388(+10．如图所示，要在离地面5m 处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若考虑
既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的l 1＝5.2m 、l 2＝6.2m 、l 3＝7.8m 、l 4＝10m ，四种备用拉线材料中，拉线AC 最好选用( )
第10题图A ．l 1B ．l 2C ．l 3D ．l 4
二、填空题
11．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，若D 是AC 边中点，则tan ∠DBC 的值
为______．
12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝10，若△ABC 的面积为33
50，则∠A ＝______度．13．如图所示，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝2，CD ＝8，AC ⊥CD ，若,3
1sin =∠ACB 则cos ∠ADC ＝______．
第13题图
14．如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度m 330=AB ，拱形的半径R ＝30m ，则拱
形的弧长为______．
第14题图
15．如图所示，半径为r 的圆心O 在正三角形的边AB 上沿图示方向移动，当⊙O 的移
动到与AC 边相切时，OA 的长为______．
第15题图
三、解答题
16．已知：如图，AB ＝52m ，∠DAB ＝43°，∠CAB ＝40°，求大楼上的避雷针CD 的
长．(精确到0.01m)
17．已知：如图，在距旗杆25m 的A 处，用测角仪测得旗杆顶点C 的仰角为30°，已
知测角仪AB 的高为1.5m ，求旗杆CD 的高(精确到0.1m)．
18．已知：如图，△ABC 中，AC ＝10，,3
1sin ,54sin ==B C 求AB ．
19．已知：如图，在⊙O 中，∠A ＝∠C ，求证：AB ＝CD (利用三角函数证明)．
20．已知：如图，P 是矩形ABCD 的CD 边上一点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，AC ＝15，BC
＝8，求PE ＋PF ．
21．已知：如图，一艘渔船正在港口A 的正东方向40海里的B 处进行捕鱼作业，突然
接到通知，要该船前往C 岛运送一批物资到A 港，已知C 岛在A 港的北偏东60°方向，且在B 的北偏西45°方向．问该船从B 处出发，以平均每小时20海里的速度行驶，需要多少时间才能把这批物资送到A 港(精确到1小时)(该船在C 岛停留半个小时)?)
45.26,73.13,41.12(≈≈≈
22．已知：如图，直线y ＝－x ＋12分别交x 轴、y 轴于A 、B 点，将△AOB 折叠，使A
点恰好落在OB 的中点C 处，折痕为DE ．
(1)求AE 的长及sin ∠BEC 的值；
(2)求△CDE的面积．
23．已知：如图，斜坡PQ的坡度i＝1∶3，在坡面上点O处有一根1m高且垂直于水平面的水管OA，顶端A处有一旋转式喷头向外喷水，水流在各个方向沿相同的抛物线落下，水流最高点M比点A高出1m，且在点A测得点M的仰角为30°，以O点为原点，OA所在直线为y轴，过O点垂直于OA的直线为x轴建立直角坐标系．设水喷到斜坡上的最低点为B，最高点为C．
(1)写出A点的坐标及直线PQ的解析式；
(2)求此抛物线AMC的解析式；
(3)求｜x C－x B｜；
(4)求B点与C点间的距离．
答案与提示
第二十八章 锐角三角函数全章测试
1．B ． 2．A ． 3．A ． 4．B ． 5．A ．
6．C ． 7．C ． 8．B ． 9．D ． 10．B ．
11．⋅23 12．60． 13．⋅5
4 14．20πm ． 15．.332r 16．约4.86 m ．
17．约15.9m ．
18．AB ＝24．提示：作AD ⊥BC 于D 点．
19．提示：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ．设⊙O 半径为R ，∠A ＝∠C ＝α ．
则AB ＝2R cos α ，CD ＝2R cos α ，∴AB ＝CD ．
20．⋅15
1618提示：设∠BDC ＝∠DCA ＝α ．PE ＋PF ＝PC sin α ＋PD sin α ＝CD sin α ．,15
8sin =α ⋅=⨯
=+∴151618158161PF PE 21．约3小时，提示：作CD ⊥AB 于D 点．设CD ＝x 海里．
22．(1)⋅=∠=53sin .25BEC AE 提示：作CF ⊥BE 于F 点，设AE ＝CE ＝x ，则EF .29x -= 由CE 2＝CF 2＋EF 2得.
25=x (2)⋅4
75提示：.4245sin 21o AE AD AE AD S S AED CDE ⋅=⋅==∆∆设AD ＝y ，则CD ＝y ，OD ＝12－y ，由OC 2＋OD 2＝CD 2可得⋅=2
15y 23．(1)A (0，1)，;33x y =
(2).13323
12)3(3122++-=+--=x x x y (3)m 15．
(4).m 5230
cos ||=-= B C x x BC。