背包问题求解方法综述

算法分析与设计大作业实验题目：0-1背包问题求解方法综述组员：班级：指导老师：0-1背包问题求解方法综述【摘要】：0-1背包问题是一个经典的NP-hard组合优化问题，现实生活中的很多问题都可以以它为模型。

本文首先对背包问题做了阐述，然后用蛮力解法、动态规划算法、贪心算法和回溯解法对背包问题进行求解，分析了0-1背包问题的数学模型,刻划了最优解的结构特征,建立了求最优值的递归关系式。

最后对四种算法从不同角度进行了对比和总结。

【关键词】：0-1背包问题；蛮力解法；动态规划算法；贪心算法；回溯解法。

0.引言0-1背包问题是指给定n个物品,每个物品均有自己的价值vi和重量wi(i=1,2,…,n),再给定一个背包,其容量为W。

要求从n个物品中选出一部分物品装入背包,这部分物品的重量之和不超过背包的容量,且价值之和最大。

单个物品要么装入,要么不装入。

很多问题都可以抽象成该问题模型,如配载问题、物资调运[1]问题等,因此研究该问题具有较高的实际应用价值。

目前,解决0-1背包问题的方法有很多,主要有动态规划法、回溯法、分支限界法、遗传算法、粒子群算法、人工鱼群算法、蚁群算法、模拟退火算法、蜂群算法、禁忌搜索算法等。

其中动态规划、回溯法、分支限界法时间复杂性比较高,计算智能算法可能出现局部收敛,不一定能找出问题的最优解。

文中在动态规划法的基础上进行了改进,提出一种求解0-1背包问题的算法,该算法每一次执行总能得到问题的最优解,是确定性算法,算法的时间复杂性最坏可能为O(2n)。

背包问题描述0-1背包问题(KP01)是一个著名的组合优化问题。

它应用在许多实际领域,如项目选择、资源分布、投资决策等。

背包问题得名于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。

本文主要研究背包问题中最基础的0/1背包问题的一些解决方法。

为解决背包问题，大量学者在过去的几十年中提出了很多解决方法。

解决背包问题的算法有最优算法和启发式算法[2]，最优算法包括穷举法、动态规划法、分支定界法、图论法等，启发式算法包括贪心算法、遗传算法、蚁群算法、粒子算法等一些智能算法。

0-1背包问题一般描述为：给定n 种物品和一个背包。

物品i 的重量是w(i)，其价值为v(i)，背包的容量为c 。

问应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大在选择装入背包的物品时，对每种物品i 只有两种选择，即装入背包或不装入背包。

不能将物品i 装入背包多次，也不能只装入部分的物品i 。

因此，该问题称为0-1背包问题。

此问题的形式化描述是，给定n i v w c i i ≤≤>>>1000，，，，要求找出一个n 元0-1向量n i x x x x i n ≤≤∈1}1,0{21，），，，，（ ，使得cx w i i i ≤∑=n1，而且ini i x v ∑=1达到最大。

数学模型：∑=ni i i x v 1max约束条件：c x w i i i ≤∑=n1， n i x i≤≤∈1},1,0{背包问题的求解算法蛮力算法（brute force method ） 基本思想：对于有n 种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n 的0-1向量组成,可用子集数表示。

在搜索解空间树时，深度优先遍历，搜索每一个结点，无论是否可能产生最优解，都遍历至叶子结点，记录每次得到的装入总价值，然后记录遍历过的最大价值。

v1.0 可编辑可修改代码实现:#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; #define N 100 <=C){for (int k=0;k<n;k++) X[k]=cx[k];; cp=cp+a[i].p; cx[i]=1; ; cp=cp-a[i].p; cx[i]=0; ,&a[i].p); b[i]=a[i]; } intsum1=KnapSack1(n,a,C,X);i v i w i v i w i r i v iw时，在步骤（3）中计算最优解时，通常需记录更多的信息，以便在步骤（4）中，根据所记录的信息，快速构造出一个最优解。

使用动态规划求解问题，最重要的就是确定动态规划3要素：（1）问题的阶段；（2）每个阶段的状态；（3）从前一个阶段转化后一个阶段之间的递推关系[4]。

分析最优解的性质，刻画最优解的结构特征——最优子结构性质分析 设），，，（n x x x 21所给0-1背包问题的一个最优解，则），，（n x x x 32是下面相应子问题的一个最优解： 目标函数：ini i x v ∑=2max约束条件：)2}(1,0{,112n i x x w c xw i ni ii ≤≤∈-≤∑=证明：若），，（n x x x 32不是上述子问题的一个最优解，而），，，（n 32y y y 是他的最优解。

由此可知，i i i ni i x v y v ∑∑>=n2且c y w x w i ni i ≤+∑=211。

因此cy w x w x v y v x v i ni i ini i n i i ≤+>+∑∑∑===21111211这说明），，，（n y y x 21是原问题的一个更优解，从而），，，（n y y y 21不是所给原问题的最优解，产生矛盾。

所以），，（n x x x 32是上述子问题的一个最优解。

递归关系由于0-1背包问题的解是用向量），，，（n x x x 21来描述的。

因此，该问题可以看做是决策一个n 元0-1向量），，，（n x x x 21。

对于任意一个分量i x 的决策是“决定i x =1或i x =0，i=1,2,…,n 。

对1-i x 决策后，序列)(121-i x x x ，，， 已被确定，在决策i x 时，问题处于下列两个状态之一：（1）背包容量不足以装下物品i ，则=0，装入背包的价值不增加； （2）背包容量足以装入物品i,则=1，装入背包的价值增加i v 。

在这种情况下，装入背包的价值最大化应该是对决策后的价值。

设所给0-1背包问题的子问题nk i x j xw x v k knik knik kk ≤≤∈≤∑∑==，，)1,0(max的最优值为m(i,j),即m(i,j)是背包容量为j ，可选择的物品为i,i+1,…,n 时0-1背包问题的最优值。

由0-1背包问题的最优子结构性质，可以建立计算m （i,j ）的递归式为：nn ni i i i w j v w j w j v w j i m j i m w j j i m j n m j i m ≥<≤≥+-++<≤+==，，00)}(),1(),,1(max{)0)(,1({),({),(算法设计基于上面的讨论，求解0-1背包的动态规划算法步骤如下：步骤1：当)1(n i w i ≤≤为正整数时，用数组w[n]来存放n 个物品的重量；数组v[n]来存放n 个物品的价值，背包容量为c ，数组M[n+1][c+1]来存放每一次迭代的执行结果；数组x[n]用来存储所装入背包的物品状态； 步骤2：初始化。

数组M 的第0行第0列全部设置为0；步骤3：循环阶段。

按式（5）确定前i 个物品能够装入背包的情况下得到的最优值；步骤3-1：i=1时，求出M[1][j],1≤j ≤c ； 步骤3-2：i=2时，求出M[2][j],1≤j ≤c ；v1.0 可编辑可修改……步骤3-n:i=n 时，求出M[n][c]。

此时，M[n][c]便是最优值；步骤4：确定装入背包的具体物品。

从M[n][c]的值向前推，如果M[n][c]>M[n-1][c]，表明第n 个物品被装入背包，则n x =1，前n-1个物品没有被装入背包，则n x =0，前n-1个物品被装入容量为c 的背包中。

以此类推，知道确定第1个物品是否被装入背包为止。

由此，得到下面的关系式： 如果M[i][j]=M[i-1][j],说明第i 个物品没有被装入背包，则i x =0； 如果M[i][j]>M[i-1][j],说明第i 个物品被装入背包，则i x =1，j=j-i w 。

按照上述关系式，从M[n][c]的值向前倒推，即j 初始为c ，i 初始为n,即可确定装入背包的具体物品。

上述算法需要O （nc ）时间计算时间。

不过上述算法有2个明显的确点。

一是算法要求所给物品的重量i w （1≤i ≤n ）是整数；二是当背包容量c 很大时，算法需要的计算时间较多。

运行结果贪心算法求解0/1背包问题的时间复杂度为：O （nm ）回溯法（Backtracking）回溯法0-1背包问题的实现回溯法是一种系统地搜索问题解答的方法。

为了实现回溯，首先需要为问题定义一个解空间，这个解空间必须至少包含问题的一个解(可能是最优的)。

一旦定义了解空间的组织方要选择一个对象的子集，将它们装人背包，以便获得的收益最大，则解空间应组织成子集树的形状。

首先形成一个递归算法，去找到可获得的最大收益。

然后，对该算法加以改进，形成代码。

改进后的代码可找到获得最大收益时包含在背包中的对象的集合。

左子树表示一个可行的结点，无论何时都要移动到它，当右子树可能含有比当前最优解还优的解时，移动到它。

一种决定是否要移动到右子树的简单方法是r为还未遍历的对象的收益之和，将r加到cp(当前节点所获收益)之上，若( r+cp) <=bestp(目前最优解的收益)，则不需搜索右子树。

一种更有效的方法是按收益密度vi/wi对剩余对象排序，将对象按密度递减的顺序去填充背包的剩余容量。

编程实现如下#include""#include<iostream>#include<algorithm>#include<>#include<>using namespace std;#defineN 100 <=W){ ;cp=cp+a[i].p;cx[a[i].sign]=1; ;cp=cp-a[i].p; ign]=0; ign=i;}sort(a,a+n,m); ;cout<<b[i].w<<"\t";cout<<b[i].p<<endl;}}cout<<"放入背包的物品总重量为："<<totalW;cout<<endl;cout<<"放入背包的物品总价值为："<<bestP<<endl; }int main() =rand()%1000;a[i].p=rand()%1000;b[i]=a[i];}cout<<"物品的重量和价值分别如下："<<endl;for (inti=0;i<n;i++) ;cout<<"\t";cout<<a[i].p<<endl;}QueryPerformanceCounter(&begin);KnapSack3(n,a,W,X); 3 运行结果v1.0 可编辑可修改回溯法法的时间复杂度为分枝-限界法（Branch - threshold method）分枝-限界法的基本原理与分析分枝限界法是另一种系统地搜索解空间的方法，它与回溯法的主要区别在于对E-结点的扩充方式。