电路分析基础(张永瑞)第5章

d e jt )] d Re( Ae j (t ) ) [Re( A dt dt


d [ A cos(t )] A sin(t ) dt Re[ jAe j（t ）] Re[ jAe jt ] d jt Re ( Ae ) dt
假设某正弦电流为
i (t ) I m cos(t i )
根据欧拉公式
e j cos j sin
可以把复指数函数Im e j(ωt+θi)展开成
I me j (t i ) I m cos(t i ) jIm sin(t i )
i(t ) Re[I me
第五章 正弦电路的稳态分析
解 由图可知，i(t)的振幅为 100A， 即
i(t ) 100cos(10 t i ) A
3
当t=0 时，电流为 50A，用t=0 代入上式，得
i (0) 100cos i 50
故
cos i 0.5
第五章 正弦电路的稳态分析
由于i(t)的正最大值发生在时间起点之后，初相角为负值，即
同理，可得正弦电压的有效值
1 U U m 0.707 m U 2
必须指出，交流测量仪表指示的电流、电压读数一般都是 有效值。 引入有效值以后，正弦电流和电压的表达式也可写成
i(t ) I m cos(t i ) 2 I cos(t i ) u(t ) Um cos(t u ) 2U cos(t u )
示。
第五章 正弦电路的稳态分析
5.1.2 相位差
假设两个正弦电压分别为
u1 (t ) U1m cos(t 1 ) u2 (t ) U 2 m cos(t 2 )
它们的相位之差称为相位差，用ψ表示，即
(t 1 ) (t 2 ) 1 2
将正弦电流的表达式
i(t ) I m cos(t i )
代入(5.1-5)式， 得正弦电流的有效值为
1 I T

T
0
2 I m cos2 (t i )dt
2 1 Im T 0[1 cos2(t i )]dt T 2
1 I m 0.707I m 2
第五章 正弦电路的稳态分析
1. 电阻元件
假设电阻R两端的电压与电流采用关联参考方向，如图
5.3 - 1 所示。设通过电阻的正弦电流为
i(t ) I m cos(t i )
第五章 正弦电路的稳态分析
5.3-1 电阻元件
第五章 正弦电路的稳态分析
对电阻元件而言，在任何瞬间，电流和电压之间满足欧 姆定律，即
u(t ) Ri(t ) RIm cos(t i ) Um cos(t u )
若已知正弦电压u=10cos(ωt-45°) V， 则电压相量为
Um 10e j 45 10 45V
第五章 正弦电路的稳态分析
相量也可以用有效值来定义， 即
Ie ji I I m I i i 2 U Ue ju
Um U u u 2
j (t i )
] I m cos(t i )
(5.2-3)
第五章 正弦电路的稳态分析
把式(5.2-3)进一步写成
i (t ) Re[ I m e

j (t i )
] Re [ I m e
j i
e jt ]
Re[ I m e
式中
jt
]
I e j i Im m
则
Re[ A(t ) B(t )] a1 (t ) b1 (t ) Re[ A(t )] Re[B(t )]
第五章 正弦电路的稳态分析
3. 定理 3
设相量 A Ae j ， 则
d e jt )] Re d ( Ae jt ) Re[ jAe jt ] [Re( A dt dt
U e ju U Um m m u
第五章 正弦电路的稳态分析
图 5 2 3 旋 转 相 量 及 其 在 实 轴 上 的 投 影
. -
第五章 正弦电路的稳态分析
例如，已知角频率为ω的正弦电流的相量 I 5e j 30 A ， m 那么该电流的表达式为
i(t ) 5 cos(t 30) A
第五章 正弦电路的稳态分析
4. 定理 4
设 A 和 B 为相量，ω为角频率。如果在所有时刻都满足
e jt ] Re[Be jt ] Re[ A
则
A B
第五章 正弦电路的稳态分析
第五章 正弦电路的稳态分析
例 5.2 – 1 电路如图 5.2 - 4(a)所示，已知电流i1和i2分别为
两个同频率的正弦信号的相位差等于它们的初相之差。
第五章 正弦电路的稳态分析
图 5.1-3 相位差
第五章 正弦电路的稳态分析
例 5.1-1 已知正弦电流i(t)的波形如图 5.1-4 所示，角频率 ω=103rad/s。试写出i(t)的表达式，并求i(t)达到第一个正的最 大值的时间t1。
图 5.1-4 例 5.1-1用图
第五章 正弦电路的稳态分析
5.1 正弦电压和电流
5.1.1 正弦量的三要素
所谓周期信号，就是每隔一定的时间T，电流或电压的波形
重复出现；或者说，每隔一定的时间T，电流或电压完成一个 循环。图 5.1-1 给出了几个周期信号的波形， 周期信号的数学
表示式为
f (t ) f (t kT )
式中k为任何整数。周期信号完成一个循环所需要的时间T称
第五章 正弦电路的稳态分析
第五章 正弦电路的稳态分析
5.1 正弦电压和电流 5.2 利用相量表示正弦信号 5.3 R、 L、 C元件VAR的相量形式和 KCL、KVL的相量形式 5.4 阻抗与导纳 5.5 电路基本元件的功率和能量 5.6 正弦稳态电路中的功率 5.7 正弦稳态电路中的最大功率传输 5.8 正弦稳态电路的相量分析法 5.9 三相电路概述 5.10 小结
2 0 T
第五章 正弦电路的稳态分析
故正弦电流的有效值为
1 T 2 I 0 i (t )dt T
值再取平方根，故有效值也称为均方根值。 类似地，可得正弦电压的有效值为
(5.1-5)
正弦电流的有效值是瞬时值的平方在一个周期内的平均
1 T 2 U 0 u (t )dt T
第五章 正弦电路的稳态分析
由于正弦信号变化一周，其相位变化了2π弧度，于是有
[ (t T ) i ] (t i ) 2
2 2f T
ω表示了单位时间正弦信号变化的弧度数，称为角频率， 其单位是弧度/秒(rad/s)。当t=0时，相位角为θi ，称为初相位
或初相角，简称初相。工程上为了方便，初相角θi常用角度表
的 频 率 大 约 从 20~20×103Hz 左 右 ， 相 应 的 周 期 为 0.05s~0.05 ms 左右。
第五章 正弦电路的稳态分析
图 5.1-2 正弦电流
第五章 正弦电路的稳态分析
按正弦(余弦)规律变化的周期信号，称为正弦交流电，
简称交流电。以电流为例，其瞬时表达式为
i(t ) I m cos(t i )
当正弦电流i流过电阻R时，在相同的时间T内，电阻消 耗的电能为
W~ p(t )dt Ri (t )dt
2 0 0
T
T
上 式 中 p(t) 表 示 电 阻 在 任 一 瞬 间 消 耗 的 功 率 ， 即
p(t)=u(t)i(t)=Ri2(t)。根据有效值的定义，有
W~ W I RT Ri2 (t )dt
i1 (t ) 5 cos(t 36.9) A i2 (t ) 10cos(t 53.1) A
图 5.2 – 4 例 5.2 - 1用图
第五章 正弦电路的稳态分析
第五章 正弦电路的稳态分析
5.3 R、L、C元件VAR的相量形式 和KCL、KVL的相量形式
5.3.1 R, L, C元件VAR的相量形式
5.1.3 有效值
正弦信号的有效值定义为：让正弦信号和直流电分别通
过两个阻值相等的电阻。如果在相同的时间T内(T可取为正 弦信号的周期)，两个电阻消耗的能量相等，那么，我们称
该直流电的值为正弦信号的有效值。
当直流电流I流过电阻R时，该电阻在时间T内消耗的电
能为
W I RT
2
第五章 正弦电路的稳态分析
问哪个电流滞后，滞后的角度是多少? 解 首先把i2(t)改写成用余弦函数表示，即
i2 (t ) 10sin(t 40) 10sin(90 t 50) 10cos(t 50) A
故相位差
1 2 60 (50) 110Βιβλιοθήκη 第五章 正弦电路的稳态分析
则 故
第五章 正弦电路的稳态分析
2. 定理 2 如果A(t)和B(t)是任何实变数t的复函数，则
Re[ A(t ) B(t )] Re[ A(t )] Re[B(t )]
证明 设
A(t ) a1 (t ) ja2 (t ), B(t ) b1 (t ) ja2 (t ),
第五章 正弦电路的稳态分析
图 5.2-2 相量图
第五章 正弦电路的稳态分析
I m cos(t1 i )
i(t ) Re[I me jt ]
u U m cos( t u ) Re[U m e Re[U m e e
j u jt
j ( t u )
]
e jt ] ] Re[U m
第五章 正弦电路的稳态分析
5.2 利用相量表示正弦信号