数学物理方程课程教学
数学物理方程课程教学改革与实践
黑龙江科学HEILONGJIANG SCIENCE第12卷第7期2021年4月Vol. 12Apr. 2021数学物理方程课程教学改革与实践刘肖云(安阳工学院数学与信息科学学院，河南安阳455000)摘要：对数学物理方程课程教学改革与实践进行探究。
数学物理方程教学中存在一些问题:理论性强，数学推导复杂，计算量大、 内容繁杂，学生知识储备不足，基础知识不够扎实，新旧知识衔接不畅，学生的主体地位没有得到体现。
明确了数学物理方程课程教学改革方向：融入课程思政，开展问题导向学习，开展自主性启发式教学。
立足课程教学内容，教师可借助知识点及数学学习方 法等适时向学生渗透不急躁、刻苦钻研、求真务实的作风，运算过程的每一步都要有依据，在定理、讨论及证明中要实事求是。
准备过程中用到的物理学定律要求学生通过查资料自学,并制作幻灯片在全班讲解。
课程中的部分内容要以选题的形式发布，写完论 文后，每个选题由一名学生在台前汇报，其他同学可就研究内容、研究方法、创新点、论文格式等进行提问。
提出了具体的教学改革 方法，可采用翻转课堂和线上教学模式，改进课程考核模式，实现教学效果的最优化。
关键词：数学物理方程课程;教学改革中图分类号：G642.0文献标志码：B 文章编号：1674 -8646(2021)07 -0122 -02Teaching Reform and Practice of Mathematical Physical Equation CourseLiu Xiaoyun(School of Mathematics and Information Sciences , Anyang Institute of Technology , Anyang 455000, China)Abstract : The research explores the teaching reform and practice of mathematical physical equation course ・ There aresome problems in mathematical physical equation teaching, i ・ e. mathematical derivation is complex , the calculation amount is large , the content is complex , the student knowledge storage is insufficient , the basic knowledge is not solid ,the new and old knowledge don ' t connect well , and the domain position of the students is not reflected ・ The teachingreform of mathematical physical equation course is clarified , i ・ e. to integrate course education , develop proble oriented learning, and develop independent heuristic education. According to the course teaching content , teachers can teach students not to be impatient , to study assiduously and to be realistic and pragmatic through teaching the studentsknowledge points and mathematics learning method ・ During operation procedure , students should obey the basis , and seek truth from facts when operating theorem , discussion and certification. When preparing , teachers should require students to use physics law through data requiring by self-study , and explain to the whole class through making powerpoints ・ During class , teachers should distribute part contents through topics , make a student report each topic after writing papers , and make other students research the content , method , innovation and thesis format. Specific teachingreform methods are proposed , i ・ e. to adopt flipped class and online teaching mode , reform course examination model , and achieve the optimization of teaching effect.Key words : Mathematical physical equation course ； Teaching refonn数学物理方程是数学类专业的一门重要专业课,在自然科学及现代科学工程技术中有着广泛应用。
数学物理方程
数学物理⽅程《数学物理⽅程》课程教学⼤纲课程英⽂名称：Equations of Mathematical Physics课程号：0312013002课程计划学时：48学分：3课程简介：本⼤纲适⽤于材料物理学类本科。
数学物理⽅法是材料物理专业基础理论课，通过本课程的教学，帮助学⽣掌握并能运⽤数学物理⽅程等理论物理的基本数学⼯具。
本课程的重点是数学物理⽅程的⾏波法, 分离变数法,⽅程的级数解法, 本征值问题, 球函数, 柱函数等。
难点是⽅程的级数解法, 本征值问题, 球函数, 柱函数等。
本课程必须在⾼等数学，线性代数，复变函数，⼒学，电磁学，光学，原⼦物理学，理论⼒学等课程基础上开设。
后续课程是量⼦⼒学，电动⼒学，热⼒学，固体物理。
通过本课程的学习，培养学⽣严谨的逻辑和推演等理性思维能⼒，提⾼抽象思维能⼒，逻辑推演能⼒和符号运算及数值运算能⼒。
特别是，⽤分离变数法解偏微分⽅程等。
为学习材料物理专业基础理论课量⼦⼒学、统计物理和电动⼒学等打好数学基础。
⼀、课程教学内容及教学基本要求第七章定解问题本章重点：定解条件，⼆阶线性偏微分⽅程的分类，⾏波法难点：数学物理⽅程的导出7.1数学物理⽅程的导出本节要求了解各种数学物理⽅程的导出（考核概率10%）7.2定解条件本节要求理解定解条件初始条件、边界条件、衔接条件的基本概念，并会结合具体问题导出定解条件（考核概率80%）7.3数学物理⽅程的分类本节要求掌握各类⽅程的分类⽅法，并能掌握⽤适当的变换将其化为标准型（考核概率90%）7.4 达朗贝尔公式本节要求了解达朗贝尔公式的推导，理解其物理意义，掌握达朗贝尔公式（⾏波法）求解定解问题（考核概率60%）第⼋章分离变数法本章重点：分离变数法，⾮齐次振动⽅程和输运⽅程及⾮齐次边界条件的处理，泊松⽅程的特解法难点：⾮齐次振动⽅程和输运⽅程及⾮齐次边界条件的处理8.1 齐次⽅程的分离变数法本节要求理解分离变数法的含义，掌握齐次⽅程的分离变数法（考核概率90%）8.2 ⾮齐次振动⽅程和输运⽅程本节要求掌握应⽤齐次⽅程的分离变数法处理⾮齐次振动⽅程和输运⽅程（考核概率70%）8.3 ⾮齐次边界条件的处理本节要求了解⼀般⾮齐次边界条件的处理⽅法，掌握⾮齐次边界条件的特殊处理⽅法（考核概率70%）8.4 泊松⽅程本节要求理解泊松⽅程特解法的原理，掌握泊松⽅程的特解法（考核概率70%）第九章⼆阶常微分⽅程级数解法本征值问题本章重点：勒让德⽅程及贝塞尔⽅程的级数解法，施图姆－刘维本征值问题⼀般理论难点：常点领域上的级数解法，正则奇点领域上的级数解法9.1特殊函数常微分⽅程本节要求了解拉普拉斯⽅程在球坐标系及柱坐标系下、亥姆霍兹⽅程在球坐标系及柱坐标系下利⽤分离变数法导出的⼏类特殊常微分⽅程（考核概率10%）9.2常点领域上的级数解法本节要求掌握勒让德⽅程的级数解法，掌握勒让德⽅程的通解结构（考核概率70%）9.3正则奇点领域上的级数解法本节要求掌握贝塞尔⽅程的级数解法，掌握贝塞尔⽅程的通解结构（考核概率70%）9.4施图姆－刘维本征值问题本节要求了解施图姆－刘维本征值问题的⼀般理论（考核概率50%）第⼗章球函数本章重点：勒让德多项式表达式、模及主要递推公式，轴对称函数的求解难点：⼀般球函数的求解10.1轴对称球函数本节要求了解轴对称球函数的基本概念，掌握勒让德多项式的表达式、模及主要递推公式，了解⼴义傅⽴叶-勒让德级数、母函数与递推关系，掌握求解轴对称函数的⽅法（考核概率80%）10.2连带勒让德函数本节要求了解连带的勒让德多项式的表达式、模及递推公式（考核概率20%）10.3⼀般的球函数本节要求了解⼀般的球函数求解及其应⽤（考核概率10%）第⼗⼀章柱函数本章重点：贝赛尔函数递推公式、正交关系及傅⽴叶－贝赛尔级数，贝赛尔函数的应⽤难点：柱函数的求解11.1 三类柱函数本节要求了解三类柱函数的基本概念，掌握贝赛尔函数的递推公式（考核概率50%）11.2贝赛尔⽅程本节要求了解贝赛尔函数零点的⼀般结论及贝塞尔函数的正交关系，掌握贝赛尔函数模的求法，贝赛尔函数的应⽤（考核概率80%）11.3柱函数的渐进公式本节要求了解柱函数的渐进公式（考核概率10%）11.4虚宗量贝塞尔⽅程本节要求了解虚宗量贝塞尔⽅程的求解（考核概率10%）11.5球贝赛尔⽅程本节要求了解球贝塞尔函数的基本概念，了解球贝赛尔函数的应⽤（考核概率20%）三、⼤纲附录1、建议教材：《数学物理⽅法》(第三版)，⾼等教育出版社出版，1998年，梁昆淼编。
《数学物理方程讲义》课程教学大纲
《数学物理方程讲义》课程教学大纲第一部分大纲说明一、课程的作用与任务本课程教材采用的是由高等教育出版社出版第二版的《数学物理方程讲义》由姜礼尚、陈亚浙、刘西垣、易法槐编写《数学物理方程讲义》课程是中央广播电视大学数学与应用数学专业的一门限选课。
数学物理方程是工科类及应用理科类有关专业的一门基础课。
通过本课程的学习，要求学生了解一些典型方程描述的物理现象，使学生掌握三类典型方程定解问题的解法，重点介绍一些典型的求解方法，如分离变量法、积分变换法、格林函数法等。
本课程涉及的内容在流体力学、热力学、电磁学、声学等许多学科中有着广泛的应用。
为学习有关后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
该课程所涉内容，不仅为其后续课程所必需，而且也为理论和实际研究工作广为应用。
它将直接影响到学生对后续课的学习效果，以及对学生分析问题和解决问题的能力的培养。
数学物理方程又是一门公认的难度大的理论课程。
二、课程的目的与教学要求1 了解下列基本概念:1) 三类典型方程的建立及其定解问题(初值问题、边值问题和混合问题)的提法，定解条件的物理意义。
2) 偏微分方程的解、阶、维数、线性与非线性、齐次与非齐次的概念，线性问题的叠加原理。
3) 调和函数的概念及其基本性质(极值原理、边界性质、平均值定理)。
2 掌握下列基本解法1) 会用分离变量法解有界弦自由振动问题、有限长杆上热传导问题以及矩形域、圆形域内拉普拉斯方程狄利克雷问题;会用固有函数法解非齐次方程的定值问题，会用辅助函数和叠加原理处理非齐次边值问题;2) 会用行波法(达郎贝尔法)解无界弦自由振动问题，了解达郎贝尔解的物理意义;了解齐次化原理及其在解无界弦强迫振动问题中的应用;3) 会用傅立叶变换法及拉普拉斯变换法解无界域上的热传导问题及弦振动问题;4) 了解格林函数的概念及其在求解半空间域和球性域上位势方程狄利克雷问题中的应用;5)掌握二阶线性偏微分方程的分类二、课程的教学要求层次教学要求层次:有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解、理解”三个层次要求;有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握” 三个层次要求。
数学物理方程教学的探讨
１引 言 程的导 出时 ，应首先 详细地 描述所讨论 问题 的 根 据本人 多年的教学经 验以及和学生 的探 数学物理 方程通常是 指物理 学 、 力学 、 工程 物 理现象 ， 根据物理 现象写 出制约条件 ， 再 然后 讨 中发现 ，学 生在学 习数学 物理方程这 门课 时 技术和其他 学科 中出现的偏微 分方程 ，它不仅 分 析各个物 理量之 间的关系 以及对应 的物理规 普遍认 为有些偏 难 ， 因是其 物理背景很强 ， 原 而 是应用数学 、信息与计算 科学 等理科专业 本科 律 ， 后根据 这些规律推 导 出数 学表达式 ， 最 最终 且 要求 学 生有 较好 的数 学功 底 和逻 辑思 维 能 生的一 门重要 的专业基 础课 ，而且也是一 些工 得 到相应 的方程 。这样 有利 于学生理解方 程中 力 。然而最终考试一般却能得到较好的成绩 ， 这 科 专 业本 科 生和 研究 生 不 可缺 少 的 专业 基 础 各个 量的含义 以及 方程所描述的现象 。事实上 ， 是 因为本 科院 校必修 课程一 般要 求闭卷 考试 ， 课 。本课程的教材 已有很多 ， ｌ 。 内容 相差 物理 背景不仅 体现在方 程的导 出 ，在求解定解 这 就使 得 出卷 时 主要 围绕 所 学课 程 的基 础理 如＿ 引 】但 口 不大 ， 主要介绍 三类典 型的数学物 理方程 ， 即波 问题 中同样起 着重要 的作用 。如对 于下面半无 论 ， 基本求 解方法 等， 而这些 内容 和课后 习题大 动方程 、 热传导方程 以及 调和方程。主要授课 内 界弦振动定解 问题 的求解 同小易 ，因而试卷 和平时作业也 只是换汤不换 容包 括方程 的导 出 ， 各种定 解 问题 的求解方法 ， 药， 这样就 限制 了学 生分析问题 、 决问题 以及 解 Ｕ ＝ ａ ｕ ２ ０＜ ＜ ｔ ０ ＞ 如分 离变量 法 、 傅立 叶变换 法 、 能量 积分 法等 ， 逻辑思维 等的培养 。因此本人认 为在保持原有 解性 质的讨论 ，以及一般 二阶线性偏 微分方 程 ｕ Ｏｔ＝ ｐ（ （， ） ｆ ） ｔ ０ 期 中和期末 成绩 以及平 时作业 打分 的基础 上 ， 的分类及其相关 的定解 问题 。随着 面向 ２ 世 纪 １ 鼓 励学生写读 书报告 以及学习小结 。例 如波动 ｕｘ０ ＝ ／（，） ０ （ ，） ４ ０ ＝ ０ ， ＜（ 专 业人 才 培养 方 案及 教学 内容 体 系改 革 的 发 方程定解 问题 求解这一 部分 ，没有必要 考这些 展， 本课程 的教学时数有所减少 。如何在较少 的 首 先根 据定解条件 可知 ，该 弦的振动 是 由 纯公 式 、 纯积分 的计算 ， 这不 是学数理方 程的初 学时 内 ， 既能完成 既定的教学 任务 ， 能结合 已 端点的振动规律引起 。 又 因此 在 ｘ 部分 ， ≥Ｏ 弦振动 衷 。又如在学 习二维波动方 程初值 问题 的求解 学知识 和数 学物理 方程 的发展 现状 ，最 终达到 按右行波 传播 ， 可得到解 的形式 为 ｕ ，＝ ｘ 时 ，一 般 教课 书上 都 是利 用 三 维波 动方 程 的 故 （ｆ “ — ｘ） 提高学生学 习兴趣 、 发学 习主动性等 目的 ， 激 是 ａ ， ｝ 其中 ｆ １ 为任意可微 函数 。再根据边 界条件可 Ｐ ｉ ｎ ｏ ｏ 公式通过降维的方法来求解 ， ｓ 而实际上学 个亟待研 究 的课题 。下 面作 者从数学 物理方 定出当 ０ ａ时 弦振动 的位移 为 ≤ｘ ｔ 生之 前已经学 习了三维情形是 用球面平均 值的 程的教学方法上提出一点 自己的看法 。 方法来 求解 ，此 时可以让学生 自己仿照三维求 “ ｐ — （ ，Ｊ ２ 教学方法 的探讨 而对于ｘａ 可根据相容性 解 的思想去解二 维情形 ，这有 利于学生进 一步 ＞ｔ ， ａ ， ２１贯穿 已学知识 ． 条件 当 ｘ ａ 时 ｕｘ １ ， ＝ｔ （ｔ ０ 而弦振动是 由右行波 不 掌握球 面平均值法 的思想 以及 推导过程缜密 的 ，＝ 本 课程 一般 安排在 大 二下 或者 大三 年级 ， 断向右传播 得到 ，如果 在某一位 置波 的位移 为 逻辑性 ，而实际上也 确实有学 生想到了这种方 而且在学 习前学生 已经完成 了高等数学 、线 性 ０ 则之后 的任 意位 置位移 当然均为 ０ 在这一定 法 。 ， 。 代数、 复变 函数 以及常微 分方程等课 程 ， 具有 一 解 问题的求解过 程 中借 助于物理背 景 ，学生很 参 考 文 献 定 的数学基础 。然 而有些 课程 由于时间 间隔比 快就 能理解为 什么当 ｘ ａ 时 ｕ ，－ ， ＞ ｔ ｆ ｔ ｏ 而若不介 ［ 谷超 蠹 数 学物理方程［ １高等教 育出版社 ， ｘ） １ ｌ Ｍ． 较久 ， 一些学生可 能对之前所 学知识 有所遗忘 ， 绍物理背景学生就很难理解 这一 点。 ２０ ２， ． ０ ９ 因而在教学过程 中应不断 帮助学生 回忆 已学 内 ２ － ３结合前沿发 展及应用 背景 ， 拓展 学生视 ［】 ２ 王元 明． 学物理方程 与特殊 函数 『 １ 高等 数 Ｍ． 容， 同时启 发学生 贯穿 已有知 识 ， 发掘新 知识 与 眼 教育出 版社 ， ０ ，． ２ ４１ ０ 旧内容 之间 的联 系 ，从而达 到巩 固和深化学生 随着 时代与科学技 术 的发展 ，该课程 的某 ［］ ３ 陈才生． 学物理 方程［ ］ 东南大学 出版社 ， 数 Ｍ． 在大学数 学课程所 学到 的数 学知识 ，让 学生 了 些内容 已显 陈 旧，因此在教学 过程 中应适 当融 ２ ０ ４ ０ ２： ４． 解到所学 的不 同课 程并非是 孤立 的而是 相互联 人现代 知识 ，让学 生了解其所 学知识 的前 沿发 系密切相 关的 ，进而 培养学生 融会贯通 所学课 展 ， 拓展视野 ， 也可为部 分学生 的进一步深造 提 程的能力 ， 提高数学思想对学生 的熏 陶。例如在 供一些 帮助。例如 给出适定 性问题 的定 义时 ， 可 推导无界 弦的受迫振 动解 的过程 中 ，可 引导学 适 当介 绍最近 二三十年迅 速发展 的数学物理 方 生 回忆线性代 数 中非 齐次线性方 程组 的求解 思 程反 问题及其 在实 际生 活 中的应 用。如针对 我 想 ，这样学生 既能 回顾线 性代数 的内容又让 学 校大 气科学和 遥感学 院的学生 ，可以借助天 气 生 通过 已学知 识解 决 了求新 问题解 的方 法 ， 做 预报 、 大气遥测等这些他 们熟 悉的实例。又如在 到温故知新 的效 果。 讲授 Ｆｕ ｅ 变换 时 ， ｏｒ ｒ ｉ 可介绍一 下基于 Ｆｕ ｅ变 ｏｒ ｒ ｉ ２ ． ２借助物理背景 换 的小波分 析在信 号分析 、 图像处理 、 算机识 计 数学 物理方程 的特点之 一是有很强 的物 理 别等方 面的应用 。这样可 以调动学生认 识到学 背景 ，这是很多 学生学 习本 课程 的一个 困难所 好本课程 的重要性 ，也可 以为学生进一 步深造 在， 因为他 们不熟悉 问题 的物 理背景 ， 因此在教 起到抛砖引玉 的作用 。 学 中必须 克服这一难 点 。例 如讲 授三个 典型方 ３ 考核制度 的改进
数学物理方程研究生教学大纲(应用人才)-学硕和专博
《数学物理方程》（应用人才）教学大纲一、课程基本信息1、课程英文名称：Equations of Mathematical Physics2、课程类别：基础课程3、课程性质：学位课4、课程学时：总学时 365、学分：26、先修课程：《高等数学》、《积分变换》、《复变函数》7、授课方式：多媒体演示、演讲与板书相结合，讨论8、适用专业：工学专业的学术型硕士和博士9、大纲执笔：研究生教研室10、大纲审批：理学院学术委员会11、制定(修订)时间：2015年6月、2018年7月二、课程的目的与任务数学物理方程是工科院校相关专业硕士研究生的一门重要的学位课程，数理方程主要是指在物理学、力学以及工程技术中常见的一些偏微分方程。
通过本课程的学习，要求学生掌握数学物理方程的基本知识、解偏微分方程的经典方法与技巧。
本课程主要讲述三类典型的数学物理方程，即波动方程、热传导方程、调和方程的物理背景、定解问题的概念和古典的求解方法, 如波动方程的分离变量法、D`Alembert解法、积分变换法、Green函数法，算子法等；通过本课程的学习，能够建立一些较为简单的实际问题数学物理模型，学会用数学物理方程理论与方法解决实际问题的初步技能。
三、课程的基本要求1、理解数学物理方程的基本概念。
2、掌握利用微元法建立数学物理方程的思想和方法。
3、理解数学物理方程解的适定性概念。
4、掌握分离变量法在三种定解条件下的求解步骤。
5、理解圆域内二维拉普拉斯方程定解问题的求法。
6、会求解非齐次方程的定解问题。
7、掌握非齐次边界条件的处理方法。
8、了解施图姆—刘维尔问题及其性质。
9、掌握Fourier变换的定义和基本性质，会用Fourier变换求解某些简单的数学物理方程定解问题。
10、掌握Laplace变换的定义和基本性质，会用Laplace变换的在求解某些简单的数学物理方程定解问题。
11、掌握达朗贝尔公式的推导过程和物理意义，掌握解决柯西始值问题的行波法。
高等学校“数学物理方程”课程教学中的一些体会和认识
摘 要 数 学 物理 方 程 是 数 学 联 系实 际 的 一 个 重 要桥 梁 ．
同 时也 是 高 等 学 校理 工科 的 一 门 重 要 的 必修 课 本 文 结 合 笔者 在 实 际 教 学 中 的经 验 ． 浅谈 一 些关 于这 门课 程教 学 的
一
要 性 ， 发 学 生 学 习 的兴 趣 。然 后 在 教材 建 设 和 具体 授 课 上 激
ｓ ｉｎ ｅ ｎｄ ｅ ｇ ｎ ｅ ｎｇ ｉ ｃｅ ｃ ｓａ ｎ ｉ ｅ ｒ ｎ Ｕｎｉｅ ｓｔ ．Ｉ ｈｓ ｐ ｐｅ ，ｂ ｓ ｄ ｏ ｉ ｖ ｒｉｙ ｎ ｔ ｉ ａ ｒ ａ ｅ ｎ
ｏ ｒ ｐ ａ ｔ ａ ｘ ｅ ｅ ｃ ， ｌ ｐ ｅ ｅ ｔｓ ｍｅ ｅ ｐ ｒｅ ｃ ｎ ｕ ｒ ｃｉ ｌｅ ｐ ｒ ｎ ｅ ｗｅ ｗｉ ｒ ｓ ｎ ｏ ｘ ｅ ｎ ｅ ａ ｄ ｃ ｉ ｌ ｉ ｒ ａｉａｉ ｎ ｏ ｅ ｔａ ｈ ｎ ｆ ｈ ｓｃ ｕ ｓ ． ｅ ｚ ｔ ｎ ｔ ｅ ｃ ｉ ｇ ｏ ｉ ｏ ｒｅ ｌ ｏ ｈ ｔ
ｔ ｅ Ｃｏ ｒ ｅ ” ｆｅ ｅ ｔ ｌ Ｅ ｕ ｔｏ ｓ ｉ Ｍ ａ ｈ ｍａ ｉａ ｈ ｕｓ Ｄｉ ｒ ｎ ｉ ｑ ａ ｉ ｎ ｎ ａ ｔｅ ｔ ｌ ｃ
Ｐｈｙ ｉｓ ｉ Ｕｎｉ ｅ ｓｔ ／ Ｈｕ ｎｇ ｓｃ ” ｎ ｖ ｒ ｉｙ ／ ａ Ｒｕ ｉ Ａ ｂｓｒ ｃ ” ｆｅ ｅ ｔａ ｕａｉｎｓ ｎ Ｍ ａｈｅ ｔｃ ｌＰｈ ｓｃ ” ｉ ｔ ａ ｔ Ｄｉ ｒ ｎ ｉｌＥｑ ｔｏ ｉ ｔ ｍａｉ ａ ｙ ｉ ｓ ｓ ｎ ｔｏ ｌ ｎ ｍｐ ｒａｎ ｒｄｇ ｅｗｅ ｎ ｍａｈｅ ｔｃ ｎｄ ｒ ａ ｉ ， ｏ ｎｙ ａ ｉ ｏ ｔ ｔｂ ｉ ｅ ｂ ｔ ｅ ｔ ｍａｉ ｓ中 尽 可 能 详 细 地 介 绍 Ｆ ｕｉ 变 换 的性 ｏｒ ｒ ｅ
数学物理方程与特殊函数PPT课件.ppt
同理可得： 2 E
t 2
1
2E
——电场的三维波动方程
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
例3、静电场
确定所要研究的物理量： 电势u
根据物理规律建立微分 方程： u E E /
对方程进行化简：
E (u) u 2u /
2u /
泊松方程
2u 0
拉普拉斯方程(无源场)
第1章 典型方程和定解条件的推导
T
u2 (x,t) x2
g
dx
2u( x, t ) t 2
dx
T u2 (x,t)
2u( x, t )
g
x2
t 2
令：
a2
T
2u t 2
a2
u 2 x2
g
………一维波动方程
自由项 ------非齐次方程
忽略重力作用：
2u a2 u2
t 2
x2
------齐次方程
第1章 典型方程和定解条件的推导
1、初始条件——描述系统的初始状态
A、 波动方程的初始条件
u |t0 (x)
u t
t0
(x)
B、热传导方程的初始条件
系统各点的初位移 系统各点的初速度
初始时刻的温度分布：u(M ,t) |t0 (M )
C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 描述稳恒状态，与初始状态无关，不含初始条件
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。 边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历 史，即个性。 初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态 的条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上 的约束情况的条件。
其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的 条件。
“数学物理方程”课程教学大纲
“数学物理方程”课程教学大纲英文名称：Mathematical and physical equation课程编号：math2029学时：32 学分: 2适用对象：全校二年级本科生先修课程：高等数学，线性代数，复变函数，积分变换。
使用教材及参考书：申建中刘峰编，《数学物理方程》，2010年，西安交通大学出版社一、课程性质、目的和任务“数学物理方程”是高等学校工科本科有关专业的一门基础课。
本课程旨在使学生初步掌握数学物理方程的基本理论和基本方法，为学习有关后继课程和进一步扩大数学知识面而奠定必要的基础。
本课程的内容包括：弦振动方程、热传导方程和拉普拉斯方程等定解问题的提出，达朗贝尔法、分离变量法、贝塞尔函数与勒让德多项式的基本性质和应用。
二、教学基本要求本课程的内容按教学要求的不同，分为两个层次。
文中用黑体字排印的，属较高要求，必须使学生深入理解，牢固掌握，熟练应用。
其中，概念、理论用“理解”一词表述，方法、运算用“掌握”一词表述。
非黑体字排印的，也是教学中必不可少的，只是在要求是低于前者。
其中，概念、理论用“了解”一词表述，方法、运算用“会”或“了解”表述。
也是教学中必不可少的，属基本要求。
第一章数学建模与基本原理介绍了解三个典型方程(弦振动方程、热传导方程和拉普拉斯方程)的建立,了解定解条件的物理意义及三种定解问题(初值问题、边值问题和混合问题)的提法,了解偏微分方程的一些基本概念(解、阶、维数、线性与非线性、齐次与非齐交),理解线性问题的叠加定理。
第二章分离变量法掌握有界弦自由振动问题和有限长杆上热传导问题的分离变量解法,掌握圆域内拉普拉斯方程的狄利克雷问题的分离变量解法,会用固有函数法解非齐次方程的定解问题,会用辅助函数和叠加原理处理非齐次边值问题。
第三章贝塞尔函数了解贝塞尔(Bessel)方程的幂级数解法,掌握整数阶贝塞尔函数的一些性质(递推公式、零点、正交性),了解傅里叶——贝塞尔展开式,会用贝塞尔函数解有关的定解问题。
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浅谈数学物理方程课程教学
【摘要】结合作者的教学经验，本文简述课时压力大情况下如何提高学生学习数学物理方程的兴趣；如何提高学生运用数学知识解决、解释现实现象与问题的能力。
【关键词】数学物理方程；兴趣；教学方法与手段；应用能力
数学物理方程是理工科很多专业的必修课或选修课程，它主要研究从自然科学或工程技术中的某些物理问题导出的偏微分方程。
本课程所涉及到的内容非常广泛，如物理、化学、生物、经济以及数学的其他分支。
它是实际问题与数学理论紧密结合的一个桥梁。
因此通过本课程的学习，不仅让学生了解和掌握偏微分方程的基本理论与方法，而且锻炼学生把实际问题转化成数学问题、然后利用数学工具解决这些数学问题、利用所得结果来解释现实问题的能力，为以后的科研和工作打下坚实的基础。
该课程以培养学生理性思维、应用分析能力和创新意识，着力提高学生数学素质作为教和学的首要任务[1]。
虽然该课程十分重要，却是公认的“三难”(难教、难学、作业难)课程[2]。
特别在是课时不断压缩（我校数学类专业为48学时）情况下，尤为突出。
作者在这几年的教学中也深有体会，课堂氛围沉闷，学生反映难。
究其原因，一方面该课程理论性太强，大量的证明与推理使学生感到畏惧，另一方面学生物理知识欠缺、缺乏运用数学知识解释现实问题的能力，感到学到的知识无所用。
针对这些问题，作者在教法上做了些尝试，感觉效果较好。
１．提高学生对该课程的了解
首先使学生了解数学物理方程是《数学分析》《常微分方程》《复变函数》《线性代数》《大学物理》等课程的后续课，以它们为基础（要经常复习），又为后续课程《微分方程数值解》以及其他专业基础课、专业课做准备（提高他们的重视程度）。
它的直接目标是帮助学生掌握必要的数学知识和工具，为后续专业课作准备。
长远目标是训练学生的数学思想及运用数学工具解决实际问题的能力[3]。
在讲绪论时，可以多举一些比较有名的方程或方程组，一方面可以让学生知道数学物理方程的丰富来源，另一方面可以让学生知道所考虑的方程都是具有具体的实际背景。
上课时可讲一些关于偏微分方程历史的人物传记、小故事（如欧拉导出二维波动方程的小故事）等（或课下让学生阅读），提高他们的学习兴趣。
2.由简入手，化繁为简
从我们的认知情况来看，简单的事物是容易接受的，若把复杂的问题分解转化成简单的问题在较容易接受。
数学物理方程这门课程尤其反映出这种规律：人们化繁为简、化未知为已知的认知规律。
这也是科学研究的基本方法和一般规律。
数学物理方程[4]处处反映出这种规律，如通过对一维齐次波动方程的化简，转化成简单方程从而解出通解；非齐次方程（边界条件）的齐次化，把非齐次问题转化成简单的问题；分离变量法与傅里叶变换都是把复杂的偏微分方程转化为学过的常微分方程，通过求解常微分方程来达到解决
问题的目的；三维波动方程球平均法（以后研究抛物型方程的半群方法）等等。
所以教师在讲授数学物理方程时不仅要注意讲解书上的基本内容，更应该着重讲述这一基本的数学思想，而不是着重解题技巧与一题多解。
使学生养成在研究或解答数学问题时，将各种复杂的或者新的问题通过适当的变换转化或分解成简单的或者已
经研究过的问题，最终通过这些简单问题的解答来解决所要研究的问题的科学思维方法。
3.注重背景与数学表达式的现实解释
数学物理方程源于实际，用于实际，从来都不缺乏其现实背景。
应该是生动、丰富的内容，但由于复杂繁琐、枯燥无味的冗长计算和证明淹没。
光注重其方程的出处与导出（建模能力），作者认为还是不足的，还应注意讲解数学表达式的现实解释（模型的解释）。
如弦振动方程的第一初边值问题，其实际背景出处无外乎两端固定的弦振动时位移所满足的方程与条件，其解为驻波的叠加。
若用它来解释吉他发声时按住中间与不按时音调不同，进一步推广，可以讲解扬琴演奏时为何要用捶而不用细棒呢，学生的学习积极性就会提高。
若用众所周知，傅里叶变换在数学物理方程甚至在其他学科上应用十分广泛。
但是学生仅仅了解一维傅里叶变换是[-l,l]上的傅里叶级数拓展成整个实数轴上，恐怕以后该应用傅里叶级数的时候很难想到。
若把傅里叶变换得物理意义讲清楚，就不难理解傅里叶变换应用如此广泛了。
然后可以简单讲解傅里叶变换以及其延伸小波变换在信号分析、遥感图像处理、地震勘探数据处理方面的应
用，以拓宽学生的见识，提高学生的积极性。
讲热传导方程解的渐进性时，我们也注意到应解释为什么衰减，什么情况下不衰减。
4.适当引人现代观点与方法
在数学物理方程[4]中，波动方程与热传导方法的边值问题在初边值满足什么情况下得到的解是古典解，否则是形式解。
但对于有些实际问题，古典解是没有的，因此我们也适当介绍了一下广义解，而广义解的引入为以后研究中用到sobolev空间的基本理论打下基础。
另外在前面讲课的时候也适当介绍现在研究的前沿，如在讲扩散方程时适当引入渗流方程，在讲边界条件对解的影响时引入蝴蝶效应。
讲调和方程时适当引入斑点形成等以开阔学生视野、提高学生的学习兴趣。
【参考文献】
［１］张彬,赵美霞.数学物理方程教学改革与探索.西安邮电学院学报,2009,14(4):161-163.
［２］王正斌,毛巍威,杨志红.“数理方程”教学改革与探索.宜春学院学报,2006,28(6):51-52.
［３］季孝达,汪芳庭,陆英.“数学物理方法”课程建设的设想和实践.教育与现代化，2004,1:34-37.
［４］谷超豪，李大潜．数学物理方程(2版)．北京：高等教育出版社，2002.。