高考数学40分附加题满分练

满分练(一)选做部分请同学从下面给的四题中选定两题作答【题目1】选修4－1：几何证明选讲如图，在直径是AB的半圆上有两点M，N，设AN与BM的交点为点P.求证：AP·AN＋BP·BM＝AB2.证明如图所示，作PE⊥AB于点E，因为AB为直径，所以∠ANB＝∠AMB＝90°，所以P，E，B，N四点共圆，P，E，A，M四点共圆.所以AE·AB＝AP·AN，①BE·AB＝BP·BM，②①＋②得AB(AE＋BE)＝AP·AN＋BP·BM，即AP·AN＋BP·BM＝AB2.【题目2】选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A＝12c d(c，d为实数).若矩阵A属于特征值2，3的一个特征向量分别为21，11，求矩阵A的逆矩阵A－1.解由题意知12c d21＝42c＋d＝221，12 c d 11＝3c＋d＝311，所以2c＋d＝2，c＋d＝3，解得c＝－1，d＝4.所以A＝12－14，所以A－1＝23－131616.【题目3】选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l的极坐标方程为ρsinθ－π3＝3，曲线C的参数方程为x＝2cos θ，y＝2sin θ(θ为参数)，设点P是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值.解由ρsinθ－π3＝3，可得ρ12sin θ－32cos θ＝3.所以y－3x＝6，即3x－y＋6＝0，由x＝2cos θ，y＝2sin θ得x2＋y2＝4，圆的半径为r＝2，所以圆心到直线l的距离d＝62＝3，所以P到直线l的距离的最大值为d＋r＝5.【题目4】选修4－5：不等式选讲已知x，y，z∈R，且x＋2y＋3z＋8＝0.求证：(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥14. 证明因为[(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2](12＋22＋32)≥[(x－1)＋2(y＋2)＋3(z－3)]2＝(x＋2y＋3z－6)2＝142，当且仅当x－11＝y＋22＝z－33，即x＝z＝0，y＝－4时，取等号，所以(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥14.必做部分【题目1】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知CA＝CB ＝1，AA1＝2，∠BCA＝90°.(1)求异面直线BA 1与CB 1夹角的余弦值；(2)求二面角B －AB 1－C 平面角的余弦值. 解如图，以{CA →，CB →，CC 1→}为正交基底，建立空间直角坐标系C －xyz ，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，A 1(1，0，2)，B 1(0，1，2)，所以CB 1→＝(0，1，2)，AB →＝(－1，1，0)，AB 1→＝(－1，1，2)，BA 1→＝(1，－1，2).(1)因为cos 〈CB 1→，BA 1→〉＝CB 1→·BA 1→|CB 1→||BA 1→|＝35×6＝3010，所以异面直线BA 1与CB 1夹角的余弦值为3010.(2)设平面CAB 1的法向量为m ＝(x ，y ，z)，则m ·AB 1→＝0，m ·CB 1→＝0，即－x ＋y ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0，取平面CAB 1的一个法向量为m ＝(0，2，－1)；设平面BAB 1的法向量为n ＝(r ，s ，t)，则n ·AB 1→＝0，n ·AB →＝0，即－r ＋s ＋2t ＝0，－r ＋s ＝0，取平面BAB 1的一个法向量为n ＝(1，1，0)，则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝25×2＝105，易知二面角B －AB 1－C 为锐角，所以二面角B －AB 1－C 平面角的余弦值为105. 【题目2】在数列{a n }中，已知a 1＝20，a 2＝30，a n ＋1＝3a n －a n －1(n ∈N *，n ≥2).(1)当n ＝2，3时，分别求a 2n －a n －1a n ＋1的值，并判断a 2n －a n －1a n ＋1(n ≥2)是否为定值，然后给出证明；(2)求出所有的正整数n ，使得5a n ＋1a n ＋1为完全平方数. 解(1)由已知得a 3＝70，a 4＝180.所以当n ＝2时，a 2n －a n －1a n ＋1＝－500；当n ＝3时，a2n－a n－1a n＋1＝－500.猜想：a2n－a n－1a n＋1＝－500(n≥2).下面用数学归纳法证明：②当n＝2时，结论成立.②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即a2k－a k－1a k＋1＝－500.将a k＋1＝3a k－a k－1代入上式，可得a2k－3a k a k＋1＋a2k＋1＝－500.则当n＝k＋1时，a2k＋1－a k a k＋2＝a2k＋1－a k(3a k＋1－a k)＝a2k＋1－3a k a k＋1＋a2k＝－500.故当n＝k＋1结论成立，根据①②可得a2n－a n－1a n＋1＝－500(n≥2)成立.(2)将a n－1＝3a n－a n＋1代入a2n－a n－1a n＋1＝－500，得a2n＋1－3a n a n＋1＋a2n＝－500，则5a n＋1a n＝(a n＋1＋a n)2＋500，5a n a n＋1＋1＝(a n＋1＋a n)2＋501，设5a n＋1a n＋1＝t2(t∈N*)，则t2－(a n＋1＋a n)2＝501，即[t－(a n＋1＋a n)](t＋a n＋1＋a n)＝501，又a n＋1＋a n∈N，且501＝1×501＝3×167，故a n＋1＋a n－t＝－1，a n＋1＋a n＋t＝501或a n＋1＋a n－t＝－3，a n＋1＋a n＋t＝167，所以t＝251，a n＋1＋a n＝250或t＝85，a n＋1＋a n＝82，由a n＋1＋a n＝250解得n＝3；由a n＋1＋a n＝82得n无整数解，所以当n＝3时，满足条件.满分练(二)选做部分请同学从下面所给的四题中选定两题作答【题目1】选修4－1：几何证明选讲如图，圆O的直径AB＝10，C为圆上一点，BC＝6，过点C 作圆O的切线l，AD⊥l于点D，且交圆O于点E，求DE 的长.解因为圆O的直径为AB，C为圆上一点，所以∠ACB＝90°，AC＝AB2－BC2＝102－62＝8.因为直线l为圆O的切线，所以∠DCA＝∠CBA.又AD⊥l，所以Rt△ABC∽Rt△ACD，所以ABAC＝ACAD＝BCDC.又因为AB＝10，BC＝6，AC＝8，所以AD＝AC2AB＝325，DC＝AC·BCAB＝245.由DC2＝DE·DA得DE＝DC2DA＝2452325＝185.【题目2】选修4－2：矩阵与变换设二阶矩阵A，B满足A－1＝1234，(BA)－1＝1001，求B－1.解设B－1＝a bc d，因为(BA)－1＝A－1B－1，所以1001＝1234a bc d，即a＋2c＝1，b＋2d＝0，3a＋4c＝0，3b＋4d＝1，解得a＝－2，b＝1，c＝32，d＝－12，所以B－1＝－2132－12.【题目3】选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线C：ρ＝2sin θ，过极点O的直线l与曲线C交于A，B 两点，且AB＝3，求直线l的方程.解设直线l的方程为θ＝θ0(ρ∈R)，A(0，0)，B(ρ1，θ0)，则AB＝|ρ1－0|＝|2sin θ0|.又AB＝3，故sin θ0＝±32 .解得θ0＝π3＋2kπ或θ0＝－π3＋2kπ，k∈Z.所以直线l的方程为θ＝π3或θ＝2π3(ρ∈R).【题目4】选修4－5：不等式选讲已知a≥0，b≥0，求证：a6＋b6≥ab(a4＋b4).证明∵a6＋b6－ab(a4＋b4)＝a5(a－b)－(a－b)b5＝(a－b)(a5－b5)＝(a－b)2(a4＋a3b＋a2b2＋ab3＋b4).又a≥0，b≥0，所以a6＋b6－ab(a4＋b4)≥0，即a6＋b6≥ab(a4＋b4).必做部分【题目1】某校高一、高二两个年级进行乒乓球对抗赛，每个年级选出3名学生组成代表队，比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，但不能参加两盘单打比赛.若每盘比赛中高一、高二获胜的概率分别为37，47.(1)按比赛规则，高一年级代表队可以派出多少种不同的出场阵容？(2)若单打获胜得2分，双打获胜得3分，求高一年级得分ξ的概率分布列和数学期望.解(1)先安排参加单打的队员有A23种方法，再安排参加双打的队员有C12种方法，所以，高一年级代表队出场共有A23C12＝12种不同的阵容.(2)ξ的取值可能是0，2，3，4，5，7.P(ξ＝0)＝64343，P(ξ＝2)＝96343，P(ξ＝3)＝48343，P(ξ＝4)＝36343，P(ξ＝5)＝72343，P(ξ＝7)＝27343.ξ的概率分布列为ξ023457 P643439634348343363437234327343所以E(ξ)＝0×64343＋2×96343＋3×48343＋4×36343＋5×72343＋7×27343＝3.【题目2】已知抛物线C ：x 2＝2py(p ＞0)过点(2，1)，直线l 过点P(0，－1)与抛物线C 交于A ，B 两点.点A 关于y 轴的对称点为A ′，连接A ′B. (1)求抛物线C 的标准方程；(2)问直线A ′B 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.解(1)将点(2，1)代入抛物线C 的方程得p ＝2，所以抛物线C 的标准方程为x2＝4y.(2)设直线l 的方程为y ＝kx －1，又设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则A ′（－x 1，y 1)，由y ＝14x 2，y ＝kx －1得x 2－4kx ＋4＝0，则Δ＝16k 2－16＞0，x 1＝2k －2k 2－1，x 2＝2k ＋2k 2－1，所以k A ′B ＝y 2－y 1x 2－（－x 1）＝x 224－x 214x 1＋x 2＝x 2－x 14，于是直线A ′B 的方程为y －x 224＝x 2－x 14(x －x 2)，所以y ＝x 2－x 14(x －x 2)＋x 224＝k 2－1x ＋1，当x ＝0时，y ＝1，所以直线A ′B 过定点(0，1).满分练(三)选做部分请同学从下面所给的四题中选定两题作答【题目1】选修4－1：几何证明选讲如图，等腰梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD.过点A作⊙O的切线交CD的延长线于点 E.求证：∠DAE＝∠BAC.证明∵AE为⊙O的切线，∴∠ACD＝∠DAE，又∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠BAC＝∠DAE.【题目2】选修4－2：矩阵与变换设矩阵A＝m00n，若矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为1，属于特征值2的一个特征向量为01，求矩阵A.解由题意得m00n1＝11，m0 0n 01＝21，所以m＝1，n＝2，故A＝1002.【题目3】选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知点P23，π6，直线l：ρcosθ＋π4＝22，求点P到直线l的距离.解点P的直角坐标为(3，3)，直线l的普通方程为x－y－4＝0，从而点P到直线l的距离为|3－3－4|2＝2＋62.【题目4】选修4－5：不等式选讲解不等式：|x－2|＋x|x＋2|＞2.解当x≤－2时，不等式化为(2－x)＋x(－x－2)＞2，解得－3＜x≤－2；当－2＜x＜2时，不等式化为(2－x)＋x(x＋2)＞2，解得－2＜x＜－1或0＜x＜2；当x≥2时，不等式化为(x－2)＋x(x＋2)＞2，解得x≥2，所以原不等式的解集为{x|－3＜x＜－1或x＞0}.必做部分【题目1】甲、乙两人投篮命中的概率分别为23与12，各自相互独立.现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球.(1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；(2)设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望E(ξ).解(1)比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球.所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率为P＝C13×23×132×123＋C23×232×13×C13×123＋C33×233×C23×123＝1136.(2)ξ的取值为0，1，2，3，则P(ξ＝0)＝133×123＋C13×23×132×C13×123＋C23×232×13×C23×123＋233×123＝724，P(ξ＝1)＝133×C13×123＋C13×23×132×123＋C13×23×132×C23×123＋C23×2 32×13×C13×123＋C23×232×13×123＋233×C23×123＝1124，P(ξ＝2)＝133×C23×123＋C23×23×13×123＋C13×23×132×123＋233×C13×1 23＝524，P(ξ＝3)＝133×123＋233×123＝124，所以ξ的分布列为ξ0123P7241124524124所以数学期望E(ξ)＝0×724＋1×1124＋2×524＋3×124＝1.【题目2】设集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集，满足：A 不是B 的子集，且B 也不是A 的子集.(1)若M ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，直接写出所有不同的有序集合对(A ，B)的个数；(2)若M ＝{a 1，a 2，a 3，,，a n }，求所有不同的有序集合对(A ，B)的个数. 解(1)110.(2)集合M 有2n个子集，不同的有序集合对(A ，B)有2n(2n－1)个. 当AB ，并设B 中含有k(1≤k ≤n ，k ∈N *)个元素，则满足AB 的有序集合对(A ，B)有∑nk ＝1C k n (2k －1)＝∑n k ＝0C k n 2k －∑nk ＝0C k n＝3n －2n个. 同理，满足B A 的有序集合对(A ，B)有3n －2n个.故满足条件的有序集合对(A ，B)的个数为2n(2n－1)－2(3n－2n)＝4n＋2n－2×3n.满分练(四)选做部分请同学从下面所给的四题中选定两题作答【题目1】选修4－1：几何证明选讲如图，⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，且AB ＝AD ，E 是CB 延长线上一点，直线EA 与圆O 相切. 求证：CD AB ＝ABBE .证明连接AC ，∵EA 是圆O 的切线，∴∠EAB ＝∠ACB.∵AB ＝AD ，∴∠ACD ＝∠ACB ，∴∠ACD ＝∠EAB. ∵圆O 是四边形ABCD 的外接圆，∴∠D ＝∠ABE.∴△CDA ∽△ABE.∴CD AB ＝DABE ，∵AB ＝AD ，∴CD AB ＝ABBE.【题目2】选修4－2：矩阵与变换设矩阵M＝a021的一个特征值为2，若曲线C在矩阵M变换下的方程为x2＋y2＝1，求曲线C的方程.解由题意得矩阵M的特征多项式f(λ)＝(λ－a)(λ－1)，因为矩阵M有一个特征值为2，f(2)＝0，所以a＝2.所以M xy＝2021xy＝x′y′，即x′＝2x，y′＝2x＋y，代入方程x2＋y2＝1，得(2x)2＋(2x＋y)2＝1，即曲线C的方程为8x2＋4xy＋y2＝1.【题目3】选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，圆的参数方程为x＝2＋2cos α，y＝2sin α(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求：(1)圆的普通方程；(2)圆的极坐标方程.解(1)圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝4.(2)把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入圆的普通方程得圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ.【题目4】选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|－|a2－2a|，若函数f(x)的图象恒在x轴上方，求实数a的取值范围.解因|x＋1|＋|x－2|≥|x＋1－(x－2)|＝3，所以f(x)的最小值为3－|a2－2a|，由题设，得|a2－2a|<3，解得a∈(－1，3).必做部分【题目1】如图，在多面体ABCDEF中，ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，且AD＝DE＝2BF＝2.。