线性空间,基和维数
无限维的.
因为，对任意的正整数 n，都有 n 个线性无关的
向量
1，x，x2，…，xn－1
§6.3 维数 基 坐标
2、有限维线性空间
（1）n 维线性空间： 若在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量，但是
任意 n＋1 个向量都是线性相关的，则称 V 是一个 n 维线性空间；常记作 dimV＝ n . 注：零空间的维数定义为0.
但是，在不同基下 的坐标一般是不同的．
§6.3 维数 基 坐标
3、线性空间的基与维数的确定 定理：若线性空间V中的向量组1,2 ,L ,n 满足
ⅰ） 1,2 ,L ,n 线性无关； ⅱ） V , 可经 1,2 ,L ,n 线性表出 , 则V为n 维线性空间，1,2 ,L ,n 为V的一组基．
0
O 0 就是 Pmn 的一组基．
第j列
mn
A (aij ) Pmn , 有 A
aij Eij
§6.3 维数 基 坐标
i1 i1
例6 在线性空间 P4 中求向量 (1,2,1,1) 在基
1,2,3,4 下的坐标，其中
1 (1,1,1,1), 2 (1,1,1,1), 3 (1,1,1,1), 4 (1,1,1,1) 解：设 x11 x22 x33 x44 ，则有线性方程组
． 1, 4
1) 4
．
§6.3 维数 基 坐标
练习 1.已知全体正实数R＋对于加法与数量乘法：
a b ab, k oa ak a, b R ,k R
构成实数域R上的线性空间，求R＋的维数与一组基. 2.求实数域R上的线性空间V的维数与一组基.这里
1 0 0
V
一般地，向量空间 Pn {(a1, a2,L , an ) ai P,i 1, 2,L , n} 为n维的，
1 (1,0,L ,0),2 (0,1,L ,0),L ,n (0,L ,0,1)
就是 Pn 的一组基．称为Pn的标准基.
§6.3 维数 基 坐标
注意：
① n维线性空间 V的基不是唯一的，V中任意 n个 线性无关的向量都是V的一组基．
使 k11 k22 L krr
则称向量 可经向量组 1,2,L ,r 线性表出；
§6.3 维数 基 坐标
若向量组 1, 2,L , s 中每一向量皆可经向量组
1,2,L ,r 线性表出，则称向量组 1, 2,L , s
可经向量组 1,2,L ,r 线性表出；
dimV＝ 0 V＝{0}
§6.3 维数 基 坐标
（2）基 在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量
1, 2 ,L , n ，称为 V 的一组基；
（3）坐标
设 1,2,L ,n 为线性空间 V 的一组基， V , 若 a11 a2 2 L an n , a1,a2 ,L ,an P
又对 f (x) P[x]n，按泰勒展开公式有 f (x) f (a) f (a)(x a) L f (n1) (a) (x a)n1
(n 1)! 即,f(x)可经1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1线性表出.
∴1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1为P[x]n的一组基．
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
§6.3 维数 ·基与坐标
一、线性空间中向量之间的线性关系 二、线性空间的维数、基与坐标
§6.3 维数 基 坐标
注： 此时， f (x) a0 a1x L an1xn1
在基1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1下的坐标是 ( f (a), f (a),L , f (n1) (a)) (n 1)!
§6.3 维数 基 坐标
例4 求全体复数的集合C看成复数域C上的线性 空间的维数与一组基；
§6.3 维数 基 坐标
（2）若向量组1,2,L ,r 线性无关，且可被
向量组 1, 2,L , s 线性表出，则 r s ;
若 1,2,L ,r与 1, 2,L , s 为两线性无关的
等价向量组，则 r s.
（3）若向量组 1,2,L ,r 线性无关，但向量组
f
( A)
f
(x)
R[ x], A
0 0
0
0
2
,
1 i 3
2
§6.3 维数 基 坐标
1 解: 数1是R＋的零元素. (Q x R , x 1 x1 x).
任取R＋中的一个数 a , 且 a 1，则a是线性无关的.
又x R , 有k logax R, 使k oa ak alogax x. 即 x 可由 a 线性表出.
故R＋是一维的，任一正实数 a( 1)就是R＋的一组基.
§6.3 维数 基 坐标
2
解: Q
2 1 i
2
3,
3 1,
1
n
2
在基
E11, E12 , E21, E22 下的
坐标就是 (a11, a12, a21, a22 ).
一般地，数域P上的全体 m n 矩阵构成的线性空间
Pmn 为 m n 维的，
矩阵单位
0
0
O
Eij
01 O 0
第i行 i 1, 2,L , m
j 1, 2,L , n
解：令
E11
1 0
0 0
,
E12
0 0
1 0
,
E21
0 1
0 0
,
E22
0 0
0 1
则 E11, E12, E21, E22 是线性无关的．
事实上，由 aE11 bE12 cE21 dE22 0 ，即
a c
b d
0
有 a b c d 0.
若把C看成是实数域R上的线性空间呢？
解：复数域C上的线性空间C是1维的，数1就是它的 一组基； 而实数域R上的线性空间C为2维的，数1，i 就为
它的一组基．
注：任意数域P看成是它自身上的线性空间是一维的，
数1就是它的一组基.
§6.3 维数 基 坐标
例5 求数域P上的线性空间 P22 的维数和一组基．
若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组 为等价的．
（3）1,2,L ,r V ，若存在不全为零的数 k1, k2,L , kr P ，使得 k11 k22 L krr 0 则称向量组 1,2,L ,r 为线性相关的；
§6.3 维数 基 坐标
（4）如果向量组 1,2,L ,r不是线性相关的，即
∴ 1，x，x2，…，xn－1 为P[x]n的一组基， 从而，P[x]n是n维的.
注： 此时， f (x) a0 a1x L an1xn1
在基1，x，x2，…，xn－1下的坐标就是
(a0, a1,L , an1)
§6.3 维数 基 坐标
（2）1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1是线性无关的．
又对
A
a11 a21
a12 a22
P 22
，有
A a11E11 a12E12 a21E21 a22E22 ∴ E11, E12, E21, E22 是 P22 的一组基，P22是4维的．
§6.3 维数 基 坐标
注：
矩阵
A
a11 a21
a12 a22
x1 x2 x3 x4 1
x1 x1 x1
x2 x2 x2
x3 x3 x3
x4 x4 x4
2 1 1
解之得，x1
5 4 , x2
1 4
,
x3
1, 4
x4
∴ξ在基 1,2,3,4下的坐标为 (
1
5
,
1
4 ,
44
1,2,L ,r , 线性相关，则 可被向量组
1,2,L ,r 线性表出，且表法是唯一的．
§6.3 维数 基 坐标
二、线性空间的维数、基与坐标
1、无限维线性空间
若线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量， 则称 V 是无限维线性空间．
例1 所有实系数多项式所成的线性空间 R[x] 是
② 任意两组基向量是等价的．
例3（1）证明：线性空间P[x]n是n 维的，且 1，x，x2，…，xn－1 为 P[x]n 的一组基．
（2）证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1 也为P[x]n的一组基．
§6.3 维数 基 坐标
证:（1）首先，1，x，x2，…，xn－1是线性无关的． 其次，f (x) a0 a1x L an1xn1 P[x]n f (x) 可经 1，x，x2，…，xn－1线性表出．
n 3k n 3k 1 n 3k 2
kZ
1 0 0
A2
0 0
2
0
0
,
1 0 0
A3
0 0
1 0
0 1
E,
E n 3k
§7.2 线性空间的基与维数
定义2 在线性空间 V 的任一基中基向量的 个数称为线性空间 V 的维数，记为 dimV
下面讨论求线性空间基与维数的方法： (1)目测法。此法就是初步目测出基与维数， 然后再加以检验。
(2)基变换法。此法就是根据下面的结论： 已知线性空间的一个基为 1,2 L ,n ，则
当 m 0 时，定理显然成立； 当 m k 时，假设定理成立；
当 m k 1 时，1,2 L ,s 是 Vs 的基（则它们一定 线性无关），但还不是 Vn 的基，则在 Vn 中必存 在一个向量 s1 不能由1,2 L ,s 线性表出，这 时就把 s1 添加进去，于是 1,L ,s,s1 必线性无关 （否则，若 1,L ,s,s1 线性相关，由于 1,L ,s,s1 线性无关，则 s 1 可由 1,2 L ,s 线性表出， 矛盾），把它作为 Vn 的子空间 Vs1 的一个基， 于是 Vs1 是 s 1 维的。
xn
x1
x1
x2
P 1
x2
M
M
xn
xn
（7.4）
证因
x1
x1
x1
1 , 2 ,L
,n
x2
M
1, 2,L
,
n
x2
M
1
,
2
,L
,
n
P
x2
M
,
xn
xn
xn
而 1,2,L ,n 线性无关，故有（7.4）式。
说明 此定理的逆定理成立，即若 Vn 中任一元素 的两种坐标满足坐标变换公式（7.4），则两个 基满足基变换公式（7.2）或（7.3）。
第七章 线性空间
线性空间的基与维数
2,
a
3,
a
T
4)
线性空间 V的任一元素在不同的基下所对的
坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是
唯一的．
例２ 所有二阶实矩阵组成的集合V，对于矩阵 的加法和数量乘法，构成实数域 R上的一个线性
空间．对于V中的矩阵
E
11
1 0
0 0
,
E
12
0 0
1 , 0
0 0
0 0
E
21
1
0
,
E
22
( x1, x2 , , xn )T
结论
１．数域 P上任意两个n 维线性空间都同
构２．．同构的线性空间之间具有反身性、对称性
与传递性．
３．同维数的线性空间必同构．
同构的意义
在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间 的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所 关心的只是这些运算的代数性质．从这个意义上可 以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限 维线性空间唯一本质的特征就是它的维数．
( 2)
V中任一元素总可由1,2 ,
,
线
n
性
表示,
那末, 1,2 , ,n 就称为线性空间V 的一个
基, n 称为线性空间V 的维数.
维数为n的线性空间称为n 维线性空间,记作Vn . 当一个线性空间 V 中存在任意多个线性无关
的向量时，就称 V 是无限维的．
若1 ,2 , ,n为Vn的一个基,则Vn可表示为
一、线性空间的基与维数
已知：在 Rn中，线性无关的向量组最多由 n 个向量组成，而任意 n 1个向量都是线性相关的．
问题：线性空间的一个重要特征——在线性空 间V 中，最多能有多少线性无关的向量？
基与维数的几种求法
线性空间基和维数的求法方法一 根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V 中，如果有n 个向量n αα,,1 满足:(1)n ααα,2,1 线性无关。
(2)V 中任一向量α总可以由n ααα,,21, 线性表示。
那么称V 为n 维（有限维）线性空间，n 为V 的维数，记为dim v n =，并称n ααα,,2,1 为线性空间V 的一组基。
如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V 为无限维的。
例1 设{}0V X AX ==，A 为数域P 上m n ⨯矩阵，X 为数域P 上n 维向量，求V 的维数和一组基。
解 设矩阵A 的秩为r ，则齐次线性方程组0AX =的任一基础解系都是V 的基，且V 的维数为n r -。
例2 数域P 上全体形如0a a b ⎛⎫⎪-⎝⎭的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基。
解 易证0100,1001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭为线性空间0,a V a b p a b ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭｜的一组线性无关的向量组，且对V 中任一元素0a a b ⎛⎫ ⎪-⎝⎭有00100+1001a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 按定义0100,1001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为V 的一组基，V 的维数为2。
方法二 在已知线性空间的维数为n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。
例3 假定[]n R x 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：()()()211,1,1,,1n x x x ----构成[]n R x 的基。
证明 考察()()1121110n n k k x k x -⋅+-++-=由1n x-的系数为0得0n k =，并代入上式可得2n x -的系数10n k -=依此类推便有110n n k k k -====，故()()11,1,,1n x x ---线性无关又[]nR x 的维数为n ,于是()()11,1,,1n x x ---为[]nR x 的基。
第二章3基与维数
1
例：设
1
1
,
0
2
2
1
,
3
3
3
1
,
2
5
0 7
,
验证1,2 ,3 是R3的基，并求向量 在基1,2 ,3
下的坐标。
3
2.3.2、 坐标变换公式
设V是n维线性空间.给了V的两组基
B (v1,…,vn )和B' (v1 ',…,vn ')
则有
p1 j
v
j
'
v1
p1
j
1
0
0
1'= 1，2'=
1
，
，
n
'=
0
1
1
1
构成Rn的另一组基B' (1 ',2 ', ,n ').
5ห้องสมุดไป่ตู้
从E到B的过渡矩阵为
1 0
0
1 1
0
1 1
1
6
命题:设矩阵P是基B到B’的过渡矩阵，则P可逆.
证明:P是基B到B’的过渡矩阵，故B’=BP. 又B’也是线性空间V的基，故有基B’到基B的过 渡矩阵Q，满足B=B’Q. 于是B=B’Q=BPQ.即
1
,
1 ;
0 0 1
都是向量空间R3的基。
1 1 1
2
,
1
,
0
;
3 0 1
2
定义：设V是Rn 中的r 维子空间，1,2 , ,r 是V 的一个基，对任意的 V , 有
x1 1 x2 2 xr r
称 x1, x2 , , xr T 是向量 在基 1,2, ,r 下的坐标。
线性空间的基与维数
线性空间的基与维数线性空间是线性代数中的重要概念，它是由一组元素构成的集合，这些元素之间满足线性运算的性质。
在线性空间中，基与维数是两个重要的概念。
一、线性空间的基线性空间的基是指线性空间中的一组线性无关的元素，通过这组元素可以表示整个线性空间中的任意元素。
换言之，线性空间中的每个元素都可以唯一地由基中的元素线性组合而成。
线性空间的基具有以下特性：1. 基中的元素线性无关，即任意一个基中的元素不能被其他基中的元素线性表示。
2. 基中的元素张成整个线性空间，即线性空间中的任意元素都可以由基中的元素线性组合而成。
3. 基中的元素个数是唯一的，即同一个线性空间中的不同基所包含的元素个数是相同的，这个个数称为线性空间的维数。
二、线性空间的维数线性空间的维数是指线性空间中的基所包含的元素的个数，用整数表示。
维数是衡量线性空间大小的一个重要指标。
线性空间的维数具有以下性质：1. 对于一个线性空间，如果存在一个有限的基，则该线性空间的维数是有限的。
2. 对于一个线性空间，如果不存在有限的基，则该线性空间的维数是无限的。
维数是线性空间一个重要的性质，它决定了线性空间的很多性质。
在线性代数中，我们可以通过求解线性方程组的秩来确定线性空间的维数。
三、基与维数的应用基与维数在线性代数的各个分支中有广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景：1. 线性变换的表示：线性变换可以由一个矩阵表示，基的选择与线性变换的矩阵表示密切相关。
2. 向量空间的表示：向量空间中的向量可以由线性组合表示，基的选择可以简化向量空间中向量的表示和计算。
3. 子空间的判断：基与维数可以用来判断一个子集是否构成了线性空间的子空间。
4. 线性方程组的解空间：线性方程组的解空间可以由基与维数表示。
总结：线性空间的基与维数是线性代数中的重要概念。
基是线性空间中一组线性无关的元素，可以表示线性空间中的任意元素；维数是基所包含的元素的个数，它决定了线性空间的很多性质。
线性空间,基和维数
§1 集合映射 集合 §2 线性空间的定义 与简单性质 §3 维数基与坐标 维数 §4 基变换与坐标变换 §5 线性子空间 §6 子空间的交与和 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构 小结与习题
§6.3 维数 基与坐标
一、线性空间中向量之间的线性关系 二、线性空间的维数、基与坐标 线性空间的维数、
§6.3 维数 基 坐标
（ 2） 基 在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量
ε 1 , ε 2 ,L , ε n ，称为 V 的一组基； 的一组基
（3）坐标
ε1 , ε 2 ,L, ε n 为线性空间 V 的一组基， ∈ V , α 的一组基， 若 α = a1ε 1 + a2ε 2 + L + anε n , a1 , a2 ,L , an ∈ P
注：任意数域 看成是它自身上的线性空间是一维的， 任意数域P看成是它自身上的线性空间是一维的 看成是它自身上的线性空间是一维的，
就是它的一组基. 数1就是它的一组基 就是它的一组基
§6.3 维数 基 坐标
例5
求数域P上的线性空间 求数域 上的线性空间 P
2×2
的维数和一组基． 的维数和一组基．
解：令 E11 = 1 0 , E12 = 0 1 , E21 = 0 0 , E22 = 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0
§6.3 维数 基 坐标
注意： 注意：
的基不是唯一的， 中任意 个 ① n 维线性空间 V的基不是唯一的，V中任意 n个 的基不是唯一的 线性无关的向量都是V的一组基． 线性无关的向量都是 的一组基． 的一组基 任意两组基向量是等价的． ② 任意两组基向量是等价的． 例3（1）证明：线性空间 维的， （ ）证明：线性空间P[x]n是n 维的，且 1，x，x2，…，xn－1 为 P[x]n 的一组基． ， ， 的一组基． ， － （2）证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1 ）证明： ， － ， － ， － － 也为P[x]n的一组基． 的一组基． 也为
高等代数 第6章线性空间 6.2 基底、坐标与维数
任一不超过4次的多项式 p a 4 x 4 a 3 x 3 a 2 x 2 a1 x a 0 可表示为 p a 0 p1 a 1 p 2 a 2 p 3 a 3 p 4 a 4 p 5
因此 p 在这个基下的坐标为 ( a 0 , a 1, a 2 , a 3 , a 4 )
T
若取另一基q1 1, q 2 1 x , q 3 2 x 2 , q 4 x 3 , q5 x4 , 则 1 p (a 0 a 1 )q1 a 1 q 2 a 2 q 3 a 3 q 4 a 4 q 5 2 因此 p 在这个基下的坐标为
1 ( a 0 a 1, a 1, a 2 , a 3 , a 4 ) 2 注意 线性空间 V的任一元素在不同的基下所对的 坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是 唯一的．
T
例２ 所有二阶实矩阵组成的集合 V ，对于矩阵 的加法和数量乘法，构成实数域 R上的一个线性 空间．对于 V 中的矩阵
有
1 E 11 0 0 E 21 1
0 0 1 , E 12 , 0 0 0 0 0 0 , E 22 0 0 1
而矩阵A在这组基下的坐标是 (a 11, a 12, a 21, a 22) .
T
例3 在线性空间R, 2 ( x a ), 3 ( x a ) , , n ( x a )
则由泰勒公式知
2
n 1
f ' ' (a ) 2 f ( x ) f (a ) f ' (a )( x a ) ( x a) 2! ( n 1) (a ) f n 1 ( x a) ( n 1)! 因此 f ( x )在基 1 , 2 , 3 , , n 下的坐标是
基与维数的几种求法
基与维数的几种求法线性空间基和维数的求法方法一根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间v中，如果有n个向量α1,,αn满足用户:(1)α1,α2,αn线性无关。
(2)v中任一向量α总可以由α1,α2,,αn线性则表示。
那么称v为n维（有限维）线性空间，n为v的维数，记为dimv=n，并称α1,α2,,αn为线性空间v的一组基为。
如果在v中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成v为无限维的。
基准1设v=xax=0，a为数域p上m⨯n矩阵，x为数域p上n佩向量，谋v的维数和一组基为。
解设矩阵a的秩为r，则齐次线性方程组ax=0的任一基础解系都是v的基，且v的维数为n-r。
基准2数域p上全体形似对矩阵的乘法及数与矩阵的乘法所共同组成⎪的二阶方阵，-ab⎪⎪的线性空间，谋此空间的维数和一组基为。
⎪⎪0a⎪⎪⎪01⎪⎪00⎪为线性空间,v=｜a,b∈p⎪⎪的一组线性毫无关系的向⎪⎪⎪⎪-10⎪⎪01⎪⎪⎪-ab⎪⎪⎪0a⎪⎪0a⎪⎪01⎪⎪00⎪量组，且对v中任一元素⎪=a⎪+b⎪⎪有ab1001-ab⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪01⎪⎪00⎪⎪,⎪为v的一组基为，v的维数为2。
⎪10⎪⎪01⎪方法二在已知线性空间的维数为n时，任意n个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。
基准3假设r[x]n就是一切次数大于n的实系数多项式迎上零多项式所构成的线性空间，证明：1,(x-1),(x-1),,(x-1)构成r[x]n的基。
证明实地考察k1⋅1+k2(x-1)++kn(x-1)的系数为0得kn=0，并代入上式可得xn-2的系数kn-1=0依此类推便存有kn=kn-1==k1=0，故1,(x-1),,(x-1)又r[x]的维数为n,于是1,(x-1),,(x-1)为r[x]的基。
方法三利用定理：数域p上两个非常有限佩线性空间同构的充份必要条件就是它们存有相同的维数。
例4设a=⎪，证明：由实数域上的矩阵a的全体实系数多项式f(a)共同组成的空间v=⎪f(a)｜a=⎪⎪⎪0-1⎪⎪⎪⎪与复数域c作为实数域r上的线性空间10⎪⎪⎪v'={a+bi｜a,b∈r}同构，并非谋它们的维数。
§3.4线性空间、基、维数和坐标
一、线性空间的定义线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广。
线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题。
定义设F 是数的集合，若其满足（1）F∈1,0 （2）F ，均有∈∀b a ,∈≠÷×−+)0(,,,b b a b a b a b a 则称F 是一个数域。
R ，实数域Q ，有理数域常用数域C ，复数域F},,1, |),,{(1n i a a a i n =∈=},,2,1,,2,1, |]{[n j m i a a ij n m ij ==∈=×；F [x ]F F m ×n F },2,1,0,,1,0 , |){2210 ==∈++++=n n i a x a x a x a a i nn ；Fn F }0)( ,)( ],[F )(|)({≡∈=x f n x f x x f x f 或的次数小于}],[)(|)({上的连续函数是闭区间b a x f x f =F [x ]n C [a ,b ]βαγ+=若对于任一数与任一元素，总有唯一的一个元素与之对应，称为与的数量积，记作∈k V ∈αV ∈δk ααδk =定义设是一个非空集合，F 为数域．如果对于任意两个元素，总有唯一的一个元素与之对应，称为元素与的和，记作V ∈βα,V ∈γαβV F对F ，总有,,,,V k l αβγ∈∈;,,)3(αθααθ=+∈都有对任何中存在在V V ;)1(αββα+=+ ()();)2(γβαγβα++=++ 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么就称为数域F 上的线性空间：V 零元素(5) 1αα=()()(6) k l kl αα=()(8)k k k αβαβ+=+()(7) k l k l ααα+=+;),,)(θααααα=−+∈−∈( 4使的都存在对任何V V 负元素说明1．凡满足以上八条规律的加法及数乘运算，称为线性运算；2．线性空间中的向量不一定是有序数组；3．若一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间。
线性空间的基与维数
线性空间的基与维数线性空间是线性代数中的重要概念，它是指具有加法和数乘运算的集合，并满足线性空间的定义和性质。
在线性空间中，基和维数是两个核心概念，它们对于理解线性空间的结构和性质具有重要意义。
一、线性空间的定义和性质线性空间是指满足以下定义和性质的集合：1. 集合中存在加法运算，即对于任意两个元素x和y，存在相应的元素x+y；2. 集合中存在数乘运算，即对于任意元素x和数k，存在相应的元素kx；3. 加法和数乘运算满足封闭性，即对于任意元素x和y，x+y和kx 仍然属于该集合；4. 加法满足结合律和交换律，即对于任意元素x、y和z，(x+y)+z=x+(y+z)和x+y=y+x；5. 加法满足单位元存在性，即存在一个元素0，对于任意元素x，有x+0=x；6. 加法满足逆元存在性，即对于任意元素x，存在相应的元素-y，使得x+(-y)=0；7. 数乘运算满足结合律和分配律，即对于任意元素x和k、l，有k(lx)=(kl)x和(k+l)x=kx+lx；8. 数乘运算满足单位元存在性，即对于任意元素x，有1x=x。
二、在线性空间中，基是指一个线性无关且能生成整个空间的向量组。
即对于线性空间V，存在向量组{v1, v2, ..., vn}，满足以下条件：1. 线性无关性：向量组中的任意有限个向量线性无关，即不存在非零标量c1, c2, ..., cn，使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0；2. 生成性：向量组的线性组合能够生成整个线性空间V，即对于任意向量v∈V，存在标量c1, c2, ..., cn，使得v = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn。
线性空间的维数是指基中向量的个数，用n表示。
记作dim(V) = n。
三、线性空间的基与维数的性质线性空间的基与维数具有以下性质：1. 基的个数是唯一的：线性空间V的任意两个基所含向量个数相同；2. 维数的唯一性：线性空间V的维数唯一，与基的选择无关；3. 向量组的性质：线性空间V中的任意向量组若线性无关，则含有的向量个数不超过维数；4. 维数与子空间：线性空间V的任意非零子空间的维数小于等于V的维数；5. 维数与线性变换：线性空间V到线性空间W的线性映射T是满射时，有dim(W) ≤ dim(V)；当T是一一映射时，有dim(W) ≥ dim(V)。