理工类专业课复习资料-信号与系统-复习知识总结

重难点1.信号的概念与分类按所具有的时间特性划分：确定信号和随机信号；连续信号和离散信号；周期信号和非周期信号；能量信号与功率信号；因果信号与反因果信号；正弦信号是最常用的周期信号，正弦信号组合后在任一对频率（或周期）的比值是有理分数时才是周期的。

其周期为各个周期的最小公倍数。

①连续正弦信号一定是周期信号。

②两连续周期信号之和不一定是周期信号。

周期信号是功率信号。

除了具有无限能量及无限功率的信号外，时限的或或 T3,仏）=°的非周期信号就是能量信号，当t *，丰0的非周期信号是功率信号。

1.典型信号①指数信号： f (t) = Ke at，a e R②正弦信号：f (t) = K sin(破 + O')③复指数信号：f (t) = Ke st，s = a + j①④抽样信号：Sa(t)=乎奇异信号（1）单位阶跃信号/八(0 (t v0)u(t) = {1 t = 0 是u(t)的跳变点。

（2）单位冲激信号1「5(t)dt=1I 5(t)= 0 （当t丰0时）单位冲激信号的性质：(1)取样性j f(t)5(t)dt = f(0) j 5(tf f(t)dt = f仏)J—8 J—8相乘性质：f(岡)=f(0R(t)f(t')3(t-10)= f (t0)S(t- t)(2)是偶函数d(t )= 5 -1(3)比例性5(at) =15(t)l a l（4）微积分性质5（t）=迎）；d tf 5(丁) d 丁 = u (t)J—8(5)冲激偶 f (t )5(t) = f (0)5(t) - f r(0)5(t)d —8d —85'(—t ) = —5'()f 5'(t )d t = 0J —8带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度。

正跳变对应 着正冲激；负跳变对应着负冲激。

重难点2.信号的时域运算 ① 移位：f (t +10)， t 0为常数当t 0>0时，f (t +10)相当于f (t)波形在t 轴上左移t 0 ；当t 0 <0时，f (t +10)相当于f (t ) 波形在t 轴上右移t 0。

② 反褶： f (—t)f (—t)的波形相当于将f (t)以t =0为轴反褶。

③ 尺度变换： f (at)，a 为常数当a >1时，f (at )的波形时将f (t)的波形在时间轴上压缩为原来的-；a 当0<a <1时，f (at )的波形在时间轴上扩展为原来的-。

a④ 微分运算： d f (t)信号经微分运算后会突岀其变化部分。

dt 2.系统的分类根据其数学模型的差异，可将系统划分为不同的类型：连续时间系统与离散时间系统；线性系 统与非线性系统；时变系统与时不变系统； 重难点3.系统的特性(1)线性性若同时满足叠加性与均匀性，则称满足线性性。

当激励为Cft) + C 2 f 2(t) ( G 、C 2分别为常数时)，系统的响应为C 1 y 1(t ) + C 2 y 2(t)。

线性系统具有分解特性：y(t)= y z>(t) + y zs (t )零输入响应是初始值的线性函数，零状态响应是输入信号的线性函数，但全响应既不是输 入信号也不是初始值的线性函数。

(2) 时不变性：对于时不变系统，当激励为f (t —10)时，响应为f (t —10)。

(3)因果性线性非时变系统具有微分特性、积分特性。

重难点4.系统的全响应可按三种方式分解：全响应y (t )=零输入响应(t ) +零状态响应(t )； 全响^y(t)=自由响应y 方(t) +强迫响应y , (t)；、tS'(t )d t = S (t )f (t R '(t )d t = -f' (0)各响应分量的关系：n n n的)= £%%'+ 即)即)H v 」强迫响应F=1 v 」=\ v __________________________________ ,自由响应零输入响应零状态响应重难点5.系统的零输入响应就是解齐次方程，形式由特征根确定，待定系数由初始状态确定。

零输入响应必然是自由响应的一部分。

重难点6.任意信号可分解为无穷多个冲激函数的连续和：P 00/(0 = [ /(rW-r)JrJ—00那么系统的的零状态响应为激励信号与单位冲激响应的卷积积分，即W)o零状态响应可分解为自由响应和强迫响应两部分。

重难点7.单位冲激响应的求解。

冲激响应”⑺是冲激信号作用系统的零状态响应。

重难点8.卷积积分(1)定义乂⑺ * £ ⑺=J Zfi (E(― 0沂=J 二乂(― Ch Wc(2)卷积代数①交换律f^trut)=utrut)②分配率h⑺* M (0+£ (0]=/;⑺*»⑺+/;⑺* £ (0③结合律M⑺* h (功* £⑺=/；⑺* M⑺* £ (0]重难点9.卷积的图解法(求某一时刻卷积值)印、* h(0=r fi a—gJ—00卷积过程可分解为四步：(1)换元：t 换为T f 得 /；( T ), T )(2)反转平移：由无(T)反转一无(-T)右移t 一无(t-T)(3)乘积：/i( T )^(t- T )(4)积分：T从-8到8对乘积项积分。

⑶性质1） ®* $（t）=的）*® =仆f== f（t 3"嵐2为常数）2）再）* $'（，）=广⑺foo f t/（r＞（/-r）dr = J /（r）drV —00 J—00u(t) ^u(t)=仞(t ) 4)茶[f 1(t )* f 2(t )]= * f 2(t ) =5) 「LA(C*，⑺皿=[J 言⑴血]* f 2(t ) = f 1(t )*[f \/2(r )dr]6) f 1(t -t 1)* f 2(t -t 2) = f 1(t -t l -t 2)* f 2(t) = f (t)* f 2(t -t l -t 2)= f (t -t l -t 2) 7) 两个因果信号的卷积，其积分限是从0到t 8) 系统全响应的求解方法过程归纳如下：a. 根据系统建立微分方程；b. 由特征根求系统的零输入响应y zi (t )；c. 求冲激响应h(t)；d. 求系统的零状态响应y zs (t ) = f (t ) * h (t )；e. 求系统的全响应y (t )=爲(t )+ y zs (t )。

重难点10.周期信号的傅里叶级数任一满足狄利克雷条件的周期信号f (t )( T 1为其周期)可展开为傅里叶级数。

(1)三角函数形式的傅里叶级数8f (t ) = acos(n 印)+ b sin(n©t )]n =11(,?0 +T 1 直流分量 a 0 = - J 0 1f (t )dtT Jt 02 (,^0 +T 1余弦分量的幅度a n = — J f (t ) cos(n©1t )dtT Jz 0 2(,^0 +T 正弦分量的幅度b n = - J 0 1f (t )sin(n©t )dt T Jz 08三角函数形式的傅里叶级数的另一种形式为f (t ) = a ° +Z A ” cos(n ©i t + 0”)n =1 8(2)指数形式的傅里叶级数 f (t ) =£ F n e jn a ^t式中，n 为从—8到+8的整数。

n=-8复数频谱F n = 1 广 f (t )e- ft利用周期信号的对称性可以简化傅里叶级数中系数的计算。

从而可知周期信号所包含的频率成分。

2冗式中=——，n 为正整数。

n=-8有些周期信号的对称性是隐藏的，删除直流分量后就可以显示其对称性。

① 实偶函数的傅里叶級数中不包含正弦项，只可能包含直流项和余弦项。

4 M +- b = 0, a = — [ 2f (t ) cos nQtdtT 恥 ② 实奇数的傅里叶級数中不包含余弦项和直流项，只可能包含正弦项。

Ta = 0,b =-卩+1 n nT 丄。

f(t) = f(t +T)，半周重叠(偶谐函数) 无奇次谐波，只有直流和偶次谐波 ③ 实奇谐函数的傅里叶級数中只可能包含基波和奇次谐波的正弦、余弦项，而不包含偶次谐波项。

—f(t)=f(t +T)，半周镜像(奇谐函数) 无偶次谐波，只有奇次谐波分量 重难点11.从对周期矩形脉冲信号的分析可知： f (t )=f (-t ),纵轴对称(偶函数) f (t ) = — f (―t )，原点对称(奇函数) 2f (t )sin n Q tdt (1)信号的持续时间与频带宽度成反比;(2)周期T 越大，谱线越密，离散频谱将变成连续频谱;(3)周期信号频谱的三大特点：离散性、谐波性、收敛性。

重难点12.傅里叶变换 傅里叶变换定义为 正变换 F (0)=2 (t )]=rf —8 逆变换 f (t ) = f F (0)] = —「F (0)e 0d 0 2 兀，-8频谱密度函数F (0) 一般是复函数，可以写作 F (0) = |F 0)|K) 其中”0)|是F (饥的模，它代表信号中个频谱分量的相对大小，是。

的偶函数。

少(。

)是F0) 的相位函数，它表示信号中各频率分量之间的相位关系，是刃的奇函数。

常用函数 F 变换对: s (t) 2 n 6(^)u(t) A 兀 3(0) + -^J 刃e ~at u(t) 1 j 0+aT Sasgn (t )e —血|a 2+ 刃 2 e 如 —2航(刃-O c ) cos O c t — TT [3(O + O c ) + 3(O -O c )] sin O c t — j n [3(o + O c ) - 3(O - O c )] 重难点13.傅里叶变换的基本性质1) 线性特性 af 1(t ) + bf 2 (t ) ◊ aF 1 (j o ) + bF 2 (j o ) 2) 对称特性 F(jg 2 f -O3) 展缩特性f ( a― 1 F(牛a4 )时移特性 f (t -t°) d F (j O )-次効。

5) 频移特性f (t )•网—F [ O -O 06) 时域卷积特性 f i (t ) * f 2 (t ) — F i ( j O ) • F 2 (j O ) 7) 频域卷积特性 f 1(t ) • f 2(t ) ^^^[F i (j O ) *F 2(j O )] 8) 时域微分特性d n f J (O • F(j O )9) 积分特性「f (r )d r <―>— F(j O ) + n F (0)$(O )_3j O10) .频域微分特性t n f (t ) 一 j n • ”〃 jd O11) 奇偶虚实性若 F (O ) = R(O ) + jX (O )，则① f (t)是实偶函数f (O ) = R (O )，即f (O )为O 的实偶函数。