《信号与系统》综合复习资料
《信号与系统》复习
物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为， 复振幅为[X(j)/2p]d 的虚指数信号ejw t的线性组合。
简述傅氏反变换公式的物理意义？
傅里叶变换性质
F 时移特性 x(t t 0 ) X( j) e jt
0
x(t)
X(j)
展缩特性
1 F x (at) X( j ) a a
(n = 1,2) (n = 1,2)
奇对称周期信号其傅里叶级数只含有正弦项。
周期信号的傅里叶级数 周期信号x(t) 如图 所示，其傅氏级数系数的特点是
偶对称周期信号其傅里叶级数只含有直流项与余弦项 周期信号f(t)如图所示，其直流分量等于_____
周期信号的频谱及特点
Cn是频率的函数，它反映了组成信号各次谐波 的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数。
《信号与系统》复习
考核方式
平时成绩20％ 实验成绩20％ 期末成绩60％
题型： 选择题（每题3分，共30分） 填空题（每空2分，共20分） 简答题（每题4分，共20分）
计算题（每题10分，共30分）
第一章：信号与系统分析导论
周期信号平均功率计算 若电路中电阻R=1Ω，流过的电流为周期电流i(t)＝ 4cos(2πt)＋2cos(3πt) A，其平均功率为（ ） 系统的数学模型 连续时间系统：系统的输入激励与输出响应都必须为 连续时间信号，其数学模型是微分方程式。 离散时间系统： 系统的输入激励与输出响应都必须 为离散时间信号，其数学模型是差分方程式。
L[ yzs (t )] Yzs ( s) H ( s) L[ x(t )] X ( s)
写出系统函数H (s) 的定义式
简述拉氏变换求解微分方程的过程
信号与系统总复习要点
《信号与系统》总复习要点第一章绪论1．信号的分类：模拟信号，数字信号，离散信号，抽样信号2．信号的运算：移位、反褶、尺度、微分、积分、加法和乘法3. δ(t)的抽样性质 (式1-14)4．线性系统的定义：齐次性、叠加性5．描述连续时间系统的数字模型：微分方程描述离散时间系统的数字模型：差分方程6．连续系统的基本运算单元：加法器，乘法器，积分器离散系统的基本运算单元：加法器，乘法器，延时器7．连续系统的分析方法：时域分析方法，频域分析法(FT)，复频域分析法（LT）离散子系统的分析方法：时域分析方法，Z域分析方法8．系统模拟图的画法9．系统线性、时不变性、因果性的判定第二章连续时间系统的时域分析1．微分方程的齐次解+特解的求法自由响应+强迫响应2．系统的零输入响应+零状态响应求法3．系统的暂态响应+稳态响应求法4．0-→0+跳变量冲激函数匹配法5．单位冲激响应h(t), 单位阶跃响应g(t), 与求法h(t)=g'(t), g(t)=h (-1)(t)类似δ(t)与u(t)的关系6．卷积的计算公式，零状态响应y zs (t)=e(t)*h(t)=∫∞-∞e(τ)h(t-τ)d τ=h(t)*e(t)7．卷积的性质串连系统，并联系统的单位冲激响应f(t)*δ(t)= f(t)f(t)*δ(t-3)= f(t-3)8. 理解系统的线性 P57 (1) (2) (3)第三章 傅立叶变换 t →w1．周期信号FS ，公式，频谱：离散谱，幅度谱2．非周期信号FT ，公式，频谱：连续谱，密度谱3． FT FT -14．吉布斯现象 P100---P1015．典型非周期信号的FT （单矩形脉冲）6．FT 的性质①对称性②信号时域压缩，频域展宽 P127，P128 ()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛=a F a at f F ω1()()j t F f t e dt ωω∞--∞=⎰1()()2j t f t F e d ωωωπ∞-∞=⎰③尺度和时移性质 P129④频移性质：频谱搬移 cos(w 0t)的FT⑤时域微积分特性，频域微分特性⑥卷积定理（时域卷积定理、频域卷积定理）7．周期信号的FT ：冲激8．抽样信号f s (t)的FT 及频谱F s (ω)9．抽样定理①条件 f s >=2f m w s >=2w m②奈奎斯特频率 f s =2f m③奈奎斯特间隔 T s =1/f s10.关于频谱混叠的概念第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s 域分析 t →s 1． LT LT -12．典型信号的LT3．LT 性质：时移，频移，尺度，卷积()j 1e baf at b F a a ωω⎛⎫+↔⋅ ⎪⎝⎭0001[()cos()][()()]2F f t t F F ωωωωω=++-()()⎰∞∞--=tt f s F ts d e ()()⎰∞+∞-=j j d e j π21 σσss F t f t s []000()()()e st L f t t u t t F s ---=()e ()αt L f t F s α-⎡⎤=+⎣⎦[]()1() 0s L f at F a a a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭4．LT 的逆变换①查表法②部分分式展开法（系数求法）③留数法5．LT 分析法 （第四章课件63张，64张，78张，81张） 求H(s), h(t), y zi (t), y zs (t), y(t)6．系统函数H(s) h(t) 一对拉氏变换对 H(s)的极点决定h(t)的形式H(s)的零点影响h(t)的幅度和相位7．H(s)的零极点 稳定性： ①②极点全在S 面左半面 P241 例4-26 8．连续系统的频响特性 H(jw)=H(s)│s=jw9．全通网络（相位校正），最小相移网络第五章 傅立叶变换应用于通信系统－滤波、调制与抽样1．h(t) H(jw) 构成傅式变换对2．无失真传输概念3．实现无失真传输的系统要满足的时域条件、频域条件4．理想低通滤波器的频响特性，及其单位冲激响应5．信号调制、解调的原理()||h t dt M ∞-∞≤⎰第七章 离散时间系统的时域分析1．离散序列的周期判定：2π/w 0，分三种情况讨论2．离散时间信号的运算、典型离散时间信号3．离散系统的阶次确定4．离散时间系统的差分方程，及模拟图的画法5．u(n), δ(n), g(n), h(n)的关系δ(n)= u(n)- u(n-1) h(n)= g(n)- g(n-1) 6．离散时间系统的时域求解法 （迭代、齐次解＋特解、零输入＋零状态）7．离散系统的单位冲激响应h(n)及其求法8．卷积和9．系统的零状态响应y zs (n)＝x(n)*h(n) 10．有限长两序列求卷积：x 1(n)：长N x 2(n)：长M 见书例7-16， 对位相乘求和法， 长度：N+M-111．卷积性质：见课件第七章2，第35张12．离散系统的因果性，稳定性时域：因果性 n<0 ,h(n)=0稳定性 h(n)绝对可和()()k u n n k δ∞==-∑0()()k g n h n k ∞==-∑()()()()∑∞-∞=-=*m m n h m x n h n x ()n h n ∞=-∞<∞∑第八章 Z 变换、离散时间系统的Z 域分析1．LT →ZT: z=e sTZ 平面与S 平面的映射关系2． ZTZT -13．典型序列的Z 变换 4．Z 变换的收敛域： 有限长序列 有无0，∞右边序列 圆外左边序列 圆内双边序列 圆环5．逆Z 变换 ①查表法②部分分式展开法（与LT -1不同的，先得除以Z ） ③留数法6．ZT 的性质时移性质 (1)双边序列移位(2)单边序列移位 ①左移 ②右移 序列的线性加权性质序列的指数加权性质卷积定理7．Z 域分析法解差分方程：书P81 例8-16第八章课件2 第33张～37张 ()()n n X z x n z ∞-=-∞=∑()⎰-π=c n z z z X jn x d 21)(18．系统函数H(z) h(n) H(z) Z 变换对 求H(z), h(n), y zs (n), y zi (n), y(n), H(e jw ) *见书P86：例8-19， P109 8-36 8-379．离散系统的稳定性，因果性稳定性 因果性时域 n<0, h(n)=0 频域 H(z)所有极点在单位圆内 收敛域（圆外）含单位圆10．离散系统的频响特性H(e jw )=H(z)│z=ejw =│H(e jw )│e j ψ(w)幅度谱：描点作图，2π为周期相位谱书P98，例8-22， 第八章课件：59张，60张 ()n h n ∞=-∞<∞∑。
(完整版)信号与系统复习知识点
第一章
1．信号的运算：时移、反褶、尺度变换、微分、积分等；
2．LTI系统的基本性质：叠加性、时不变特性、微分特性、因果性、可分解线性；
3．阶跃型号与冲激信号及其特性。
单位冲激信号的性质：
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
例、求下列积分
例、已知信号 的波形如下图1所示，试画出下列各信号的波形
抽样信号的拉氏变换
求半波整流和全波整流周期信号的拉氏变换
（1）
（2）
4－29求下列波形的拉氏变换
（1）
解题思路：单对称方波 ——周期方波——乘
—— ——
（2）
第一周期：
周期信号的拉氏变换：
第五章
1．频域系统函数 ，理想低通滤波器频谱特性；
2．无失真传输条件：幅频特性为常数，相频特性是过原点的直线；
3．系统的物理可实现性判断(1)佩利－维纳准则；(2)系统可实现性的本质是因果性。
被理想抽样信号的傅立叶变换：
被非理想抽样信号傅立叶变换：
第四章
1．典型信号的拉氏变换及拉氏变换的基本性质；
2．S域元件模型、系统函数、系统函数与激励信号极点分布与电响应的关系、系统函数与输入输出方程的关系(利用拉氏变换求解电系统响应)；
3．线性系统的稳定性分析。
周期信号的拉氏变换
为信号第一个周期 的拉氏变换；整个周期信号 的拉氏变换为：
第七章
1.离散系统和信号的描述方法、基本性质
2.差分方程的经典解法
3.卷积和定义及其求解方法
第八章
1. z变换的定义、收敛域和基本性质，常用序列的z变换
2.逆z变换的求解方法
3. 的定义、零极点分布与信号/系统性质的关系
信号与系统复习资料
0, u[n] 1,
n0 n0
0, n 0 [ n] 1, n 0
0, t 0 (t ) t 0
掌握单位阶跃信号和单位冲激信号的关系，单位冲激信号的 采样性质和筛选性质。
st
假定积分收敛
e
h( )es d
证明思路：用卷积公式，写成 h(t)*x(t)的形式，注意积分公式里 边t是常量，把est提到积分公式外 面。
H ( s)e st
复指数信号是LTI系统的特征函数，对于某一给定 的复数z，常数H(z)就是与特征函数zn对应的系统的 特征值。 证明：
信号的采样与恢复
(采样信号的频谱,采样信号无失真恢复的条件)
LTI系统的特征函数与特征值
一个信号，若系统对该信号的响应仅是一个常数乘以输入， 则称该信号为系统的特征函数。而幅度因子（常数）称为 系统的特征值。 LTI系统的特征函数
x(t ) e
st
y (t ) H ( s)e st
LTI系统
连续时间系统：ax1 (t ) bx2 (t ) ay1 (t ) by2 (t ) 离散时间系统：ax1[n] bx2 [n] ay1[n] by2 [n]
因果性 一个系统，在任何时刻的输出只决定于现在以及过去的输入， 则称该系统为因果系统 LTI系统满足因果性的充要条件是：
1 ak N
n N
x[n]e
jk0 n
1 N
n N
x[n]e
jk 2N n
连续时间非周期信号的傅立叶变换关系
X ( j ) x(t )e jt dt
信号与系统复习题资料
一、选择题 1.积分(cos )(1)d t t t t t t π∞∞-∞-∞+δ-=0δ-=⎰⎰的值为（ ）。
A. )(3t etδ-B.1C.)1(-t δD.02.积分⎰∞∞-+dtt t )()1(δ的值为（ ）A.4B.3C.2D.1 3.()()[]=*-t t e dtd tεε2（ ） A.()t δ B.()t e tε2- C.()t δ2- D.t e 22-- 4、信号)()(2t e t f tε=的拉氏变换及收敛域为（ ）。
B.2]Re[,21)(-<-=s s s FC. 2]Re[,21)(->+=s s s F D.2]Re[,21)(<+=s s s F 5. 信号f(t)=ε(t)*(δ(t)-δ(t -4))的单边拉氏变换F(s)=( )。
A.1B.4s 1s 1+-D.se -4s6.某一因果线性时不变系统，其初始状态为零，当输入信号为ε(t)时，其输出r(t)的拉氏变换为R(s)，问当输入r 1(t)=ε(t -1)-ε(t -2)时，响应r 1(t)的拉氏变换R 1(s)=( )。
A.(e-s-e-2s)R(s) B.R(s-1)-R(s-2) C.(2-s 11-s 1-)R(s) D.R(s)s )e -(e -2s -s 7.已知信号f(t)的波形如下图所示，则f(t)的表达式为（ ）。
A.)1()()(--=t u t u t fB.)1()()(-+=t u t u t fC.)1()()(+-=t u t u t fD.)()1()(t u t u t f -+= 8.求信号)()52(t u etj +-的傅里叶变换（ ）。
A.ωω521j e j + C.)5(21-+-ωj D.ωω251j e j+ t9.)2)(1()2(2)(-++=s s s s s H ，属于其极点的是（ ）。
A.1B.2C.0D.-210.已知信号f （t ）的频带宽度为Δω，则f （3t -2）的频带宽度为（ ）。
信号与系统复习知识总结
重难点1.信号的概念与分类 按所具有的时间特性划分：确定信号和随机信号； 连续信号和离散信号； 周期信号和非周期信号； 能量信号与功率信号； 因果信号与反因果信号；正弦信号是最常用的周期信号,正弦信号组合后在任一对频率或周期的比值是有理分数时才是周期的;其周期为各个周期的最小公倍数;① 连续正弦信号一定是周期信号;② 两连续周期信号之和不一定是周期信号;周期信号是功率信号;除了具有无限能量及无限功率的信号外,时限的或,∞→t 0)(=t f 的非周期信号就是能量信号,当∞→t ,0)(≠t f 的非周期信号是功率信号;1. 典型信号① 指数信号： ()at f t Ke =,a ∈R ② 正弦信号： ()sin()f t K t ωθ=+ ③ 复指数信号： ()st f t Ke =,s j σω=+ ④ 抽样信号： sin ()tSa t t= 奇异信号（1） 单位阶跃信号1()u t ={ 0t =是()u t 的跳变点;（2） 单位冲激信号单位冲激信号的性质：1取样性 11()()(0)()()()f t t dt f t t f t dt f t δδ∞∞-∞-∞=-=⎰⎰()0t δ=当0t ≠时相乘性质：()()(0)()f t t f t δδ= 2是偶函数 ()()t t δδ=- 3比例性 ()1()at t aδδ=4微积分性质 d ()()d u t t tδ= ； ()d ()t u t δττ-∞=⎰5冲激偶 ()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ'''=- ； ()()d (0)f t t t f δ∞-∞''=-⎰ ()d ()tt t t δδ-∞'=⎰ ；带跳变点的分段信号的导数,必含有冲激函数,其跳变幅度就是冲激函数的强度;正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激;重难点2.信号的时域运算 ① 移位： 0()f t t +, 0t 为常数当0t >0时,0()f t t +相当于()f t 波形在t 轴上左移0t ；当0t <0时, 0()f t t +相当于()f t 波形在t 轴上右移0t ;② 反褶： ()f t - ()f t -的波形相当于将()f t 以t =0为轴反褶; ③ 尺度变换： ()f at ,a 为常数当a >1时,()f at 的波形时将()f t 的波形在时间轴上压缩为原来的1a； 当0<a <1时,()f at 的波形在时间轴上扩展为原来的1a; ④ 微分运算： ()df t dt信号经微分运算后会突出其变化部分; 2. 系统的分类根据其数学模型的差异,可将系统划分为不同的类型：连续时间系统与离散时间系统；线性系统与非线性系统；时变系统与时不变系统； 重难点3.系统的特性（1） 线性性若同时满足叠加性与均匀性,则称满足线性性;当激励为1122()()C f t C f t +1C 、2C 分别为常数时,系统的响应为1122()()C y t C y t +;线性系统具有分解特性：)()()(t y t y t y zs zi +=零输入响应是初始值的线性函数,零状态响应是输入信号的线性函数,但全响应既不是输入信号也不是初始值的线性函数;（2） 时不变性 :对于时不变系统,当激励为0()f t t -时,响应为0()f t t -; （3） 因果性线性非时变系统具有微分特性、积分特性; 重难点4.系统的全响应可按三种方式分解：各响应分量的关系：重难点5.系统的零输入响应就是解齐次方程,形式由特征根确定,待定系数由-0初始状态确定;零输入响应必然是自由响应的一部分;重难点6.任意信号可分解为无穷多个冲激函数的连续和：那么系统的的零状态响应为激励信号与单位冲激响应的卷积积分,即)()()(t h t f t y zs *=;零状态响应可分解为自由响应和强迫响应两部分;重难点7.单位冲激响应的求解;冲激响应)(t h 是冲激信号作用系统的零状态响应; 重难点8.卷积积分（1） 定义 ττττττd f t f d t f f t f t f )()()()()(*)(212121-=-=⎰⎰∞∞-∞∞-（2） 卷积代数① 交换律 )(*)()(*)((1221t f t f t f t f =② 分配率 )(*)()(*)()]()([*)(3121321t f t f t f t f t f t f t f +=+ ③ 结合律 )](*)([*)()(*)](*)([321321t f t f t f t f t f t f = 重难点9.卷积的图解法 求某一时刻卷积值 卷积过程可分解为四步：1换元： t 换为τ→得 f 1τ, f 2τ2反转平移：由f 2τ反转→ f 2–τ 右移t → f 2t-τ 3乘积： f 1τ f 2t-τ4积分： τ从 –∞到∞对乘积项积分; 3性质1ft δt=δtft = ft )()(*)(00t t f t t t f -=-δ)()(*)(2121t t t f t t t t f --=--δ 210,,t t t 为常数2ft δ’t = f’t 3ftut ()()d ()d tf u t f τττττ∞-∞-∞=-=⎰⎰ut ut = tut4[]121221d ()d ()d ()*()*()()*d d d n n nn n nf t f t f t f t f t f t t t t ==5121212[()*()]d [()d ]*()()*[()d ]t t tf f f f t f t f τττττττ-∞-∞-∞==⎰⎰⎰6 f 1t –t 1 f 2t –t 2 = f 1t –t 1 –t 2 f 2t = f 1t f 2t –t 1 –t 2 = f t –t 1 –t 27 两个因果信号的卷积,其积分限是从0到t ; 8系统全响应的求解方法过程归纳如下：a.根据系统建立微分方程；b.由特征根求系统的零输入响应)(t y zi ；c.求冲激响应)(t h ；d.求系统的零状态响应)()()(t h t f t y zs *=；e.求系统的全响应)()()(t y t y t y zs zi +=;重难点10.周期信号的傅里叶级数任一满足狄利克雷条件的周期信号()f t 1T 为其周期可展开为傅里叶级数; 1三角函数形式的傅里叶级数0111()[cos()sin()]n n n f t a a n t b n t ωω∞==++∑ 式中112T πω=,n 为正整数;直流分量010011()t T t a f t dt T +=⎰ 余弦分量的幅度01112()cos()t T n t a f t n t dt T ω+=⎰ 正弦分量的幅度01112()sin()t T n t b f t n t dt T ω+=⎰三角函数形式的傅里叶级数的另一种形式为011()cos()n n n f t a A n t ωϕ∞==++∑2指数形式的傅里叶级数 1()jn tnn f t F eω∞=-∞=∑ 式中,n 为从-∞到+∞的整数;复数频谱011011()t T jn t n t F f t e dt T ω+-=⎰利用周期信号的对称性可以简化傅里叶级数中系数的计算;从而可知周期信号所包含的频率成分;有些周期信号的对称性是隐藏的,删除直流分量后就可以显示其对称性;①实偶函数的傅里叶级数中不包含正弦项,只可能包含直流项和余弦项; ②实奇数的傅里叶级数中不包含余弦项和直流项,只可能包含正弦项;③实奇谐函数的傅里叶级数中只可能包含基波和奇次谐波的正弦、余弦项,而不包含偶次谐波项;重难点11.从对周期矩形脉冲信号的分析可知：1 信号的持续时间与频带宽度成反比;2 周期T 越大,谱线越密,离散频谱将变成连续频谱；3 周期信号频谱的三大特点：离散性、谐波性、收敛性;重难点12.傅里叶变换 傅里叶变换定义为正变换()[()]()j t F f f t f t e dt ωω∞--∞==⎰逆变换11()[()]()2j t f t f F F e d ωωωωπ∞--∞==⎰频谱密度函数()F ω一般是复函数,可以写作 ()()()j F F e ϕωωω=其中()F ω是()F ω的模,它代表信号中个频谱分量的相对大小,是ω的偶函数;()ϕω是()F ω的相位函数,它表示信号中各频率分量之间的相位关系,是ω的奇函数;常用函数 F 变换对：δtπδωut 1()j πδωω+e -t ut 1j ωα+ g τt2Sa ωττ⎛⎫⎪⎝⎭sgn t 2j ωe –|t |222ααω+ 重难点13.傅里叶变换的基本性质 1 线性特性1212()()()()af t bf t aF j bF j ωω+↔+2 对称特性 ()2()F jt f πω↔-3 展缩特性 1()()f at F j a aω←−→ 4 时移特性0-j t 0()()f t t F j e ωω-←→⋅5 频移特性 0j 0()[()]t f t e F j ωωω⋅←→- 6 时域卷积特性 1212()()()()f t f t F j F j ωω*←→⋅ 7 频域卷积特性 12121()()[()()]2f t f t F j F j ωωπ⋅←→*8 时域微分特性 ()()n n n d fj F j dtωω←→⋅9 积分特性1()()(0)()tf d F j F j ττωπδωω-∞←→+⎰10.频域微分特性 ()()n nnndF j t f t j d ωω←→⋅ 11奇偶虚实性若()()()F R jX ωωω=+,则①()f t 是实偶函数()()f R ωω=,即()f ω为ω的实偶函数; ②()f t 是实奇函数()()f jX ωω=,即()f ω为ω的虚奇函数; 重难点14.周期信号的傅里叶变换周期信号()f t 的傅里叶变换是由一些冲激函数组成的,这些冲激位于信号的谐频11(0,,2,)ωω±±处,每个冲激的强度等于()f t 的傅里叶级数的相应系数n F 的2π倍;即重难点15.冲激抽样信号的频谱冲激抽样信号()s f t 的频谱为1()()s sn sf F n T ωωω∞=-∞=-∑其中s T 为抽样周期,()f ω为被抽样信号()f t 的频谱;上式表明,信号在时域被冲激序列抽样后,它的频谱()s F ω是连续信号频谱()f ω以抽样频谱s ω为周期等幅地重复;重难点16．对于线性非时变系统,若输入为非周期信号,系统的零状态响可用傅里叶变换求得;其方法为：1 求激励ft 的傅里叶变换F j;2 求频域系统函数H j;3 求零状态响应y zs t 的傅里叶变换Y zs j,即Y zs j= H j F j;4 求零状态响应的时域解,即y zs t = F -1Y zs j重难点17．对于线性非时变稳定系统,若输入为正弦信号)cos()(0t A t f ω=,则稳态响应为其中,)()(00ϕωωj e j H j H =为频域系统函数;重难点18．对于线性非时变系统,若输入为非正弦的周期信号,则系统的稳态响应的频谱为其中,n F 是输入信号的频谱,即)(t f 的指数傅里叶级数的复系统;)(Ωjn H 是系统函数,为基波;n Y 是输出信号的频谱;时间响应为重难点19．在时域中,无失真传输的条件是 )()(0t t f K t y -=在频域中,无失真传输系统的特性为 0)(t j e K j H ωω-=20．理想滤波器是指可使通带之内的输入信号的所有频率分量以相同的增益和延时完全通过,且完全阻止通带之外的输入信号的所有频率分量的滤波器;理想滤波器是非因果性的,物理上不可实现的;重难点21．理想低通滤波器的阶跃响应的上升时间与系统的截止频率带宽成反比;重难点22．时域取样定理注意：为恢复原信号,必须满足两个条件：1f t 必须是带限信号；2取样频率不能太低,必须f s ≥2f m,或者说,取样间隔不能太大,必须T s ≤1/2f m ；否则将发生混叠; 通常把最低允许的取样频率f s=2f m 称为奈奎斯特Nyquist 频率； 把最大允许的取样间隔T s=1/2f m 称为奈奎斯特间隔;重难点23．单边拉氏变换的定义为积分下限定义为-=0t ;因此,单位冲激函数1)(⇔t δ,求解微分方程时,初始条件取为-=0t ;重难点24．拉普拉斯变换收敛域：使得拉氏变换存在的S 平面上σ的取值范围称为拉氏变换的收敛域;)(t f 是有限长时,收敛域整个S 平面；)(t f 是右边信号时,收敛域0σσ>的右边区域；)(t f 是左边信号时,收敛域0σσ<的左边区域；)(t f 是双边信号时,收敛域是S 平面上一条带状区域;要说明的是,我们讨论单边拉氏变换,只要σ取得足够大总是满足绝对可积条件,因此一般不写收敛域;单边拉氏变换,只要σ取得足够大总是满足绝对可积条件,因此一般不写收敛域;重难点25．拉普拉斯正变换求解：常用信号的单边拉氏变换 重难点26.拉普拉斯变换的性质6时域卷积定理 f 1t f 2t ←→ F 1s F 2s7周期信号,只要求出第一周期的拉氏变换1()F s ,1()()1sTF s F s e-=- 频域微分性： d ()()()d F s t f t s-←→频域积分性： ()()s f t F d tηη∞←→⎰初值定理：0(0)lim ()lim ()t s f f t sF s →+→∞+==终值定理若ft 当t →∞时存在,并且 ft ← → F s , Res>0, 0<0,则 0()lim ()s f sF s →∞=拉氏变换的性质及应用;一般规律：有t 相乘时,用频域微分性质; 有实指数t e α相乘时,用频移性质; 分段直线组成的波形,用时域微分性质;周期信号,只要求出第一周期的拉氏变换1()F s ,1()()1sTF s F s e-=- 由于拉氏变换均指单边拉氏变换,对于非因果信号,在求其拉氏变换时应当作因果信号处理;重难点27．拉普拉斯反变换求解：掌握部分分式展开法求解拉普拉斯逆变换的方法1单实根时 )(t Ke a s Kt a ε-⇔+2二重根时2()()t KKte t s αεα-↔+ 重难点28．微分方程的拉普拉斯变换分析：当线性时不变系统用线性常系数微分方程描述时,可对方程取拉氏变换,并代入初始条件,从而将时域方程转化为S 域代数方程,求出响应的象函数,再对其求反变换得到系统的响应;重难点29．动态电路的S 域模型：由时域电路模型能正确画出S 域电路模型,是用拉普拉斯变换分析电路的基础; 引入复频域阻抗后,电路定律的复频域形式与其相量形式相似;重难点30．系统的零状态响应为 )()()(s F s H s Y zs =其中,)()(s H t h ⇔,)(s H 是冲激响应的象函数,称为系统函数;系统函数定义为)()()(s F s Y s H zs =重难点31．系统函数的定义重难点32．系统函数的零、极点分布图重难点33．系统函数H ·与时域响应h · ：LTI 连续因果系统的h t 的函数形式由H s 的极点确定;① Hs 在左半平面的极点无论一阶极点或重极点,它们对应的时域函数都是按指数规律衰减的;结论：极点全部在左半开平面的系统因果是稳定的系统;② Hs 在虚轴上的一阶极点对应的时域函数是幅度不随时间变化的阶跃函数或正弦函数;Hs 在虚轴上的二阶极点或二阶以上极点对应的时域函数随时间的增长而增大;③ H s 在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点,其所对应的响应函数都是递增的;重难点34．系统的稳定性：稳定系统 Hs 的极点都在左半开平面,)θ+边界稳定系统 Hs 的极点都在虚轴上,且为一阶, 不稳定系统 Hs 的极点都在右半开平面或虚轴上二阶以上;H s=11101110()()m m m m n n n n b s b s b s b N s D s a s a s a s a ----++++=++++ 判断准则：1多项式的全部系数i a 符号相同为正数；2无缺项；3对三阶系统,323210()D s a s a s a s a =+++的各项系数全为正,且满足1203a a a a > 重难点35、常用的典型信号 1．单位抽样序列)(n δ)(n δ的延迟形式： 1,()0,n m n m n mδ=⎧-=⎨≠⎩推出一般式： ∑∞-∞=-=k k n k x n x )()()(δ2．单位阶跃序列()n ε与)(n δ的关系： ()()(1)n n n δεε=-- 延迟的表达式()n m ε-; 3． 矩形序列)(n R N -----有限长序列 4． 实指数序列----实指数序列)(n u a n 重难点36、离散系统的时域模拟它的基本单元是延时器,乘法器,相加器; 重难点37、系统的零输入响应若其特征根均为单根,则其零输入响应为：1()nkx xi i i y k c λ==∑C 由初始状态定相当于0-的条件 重难点38、卷积和的定义12()()()k f n f k f n k ∞=-∞=-∑=f 1n f 2n卷积和的性质1 交换律：()()()()1221f n f n f n f n *=*2 分配律：()()()()()()123123f n f n f n f n f n f n **=**⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦3 结合律.：()()()()()()()1231213f n f n f n f n f n f n f n *+=*+*⎡⎤⎣⎦f n δn = f n , f n δn – n 0 = f n – n 0 f n εn =()nk f k =-∞∑f 1n – n 1 f 2n – n 2 = f 1n – n 1 – n 2 f 2n卷和的计算：不进位乘法求卷积、利用列表法计算、卷积的图解法 重难点39、离散系统的零状态响应离散系统的零状态响应等于系统激励与系统单位序列响应的卷积和;即 重难点40．z 变换定义()()n n F z f n z ∞-=-∞=∑称为序列f k 的双边z 变换()()n n F z f n z ∞-==∑ 称为序列f k 的单边z 变换重难点41．收敛域因果序列的收敛域是半径为|a|的圆外部分; 重难点42．熟悉基本序列的Z 变换;k ←→ 1 , z>0 k ←→1zz -, z>1 重难点43．z 变换的性质 1移位特性双边z 变换的移位：()n z F z -↔f(k -n)单边z 变换的移位： f k-2 ←→ z -2F z + f -2 + f -1z -1 2序列乘a k z 域尺度变换 a k f k ←→ F z/a3卷积定理 f 1k f 2k ←→ F 1z F 2z 重难点44．掌握部分分式法求逆Z 变换; 重难点45．掌握离散系统Z 域的分析方法; 1差分方程的变换解 2系统的z 域框图 3稳定性Hz 按其极点在z 平面上的位置可分为：在单位圆内、在单位圆上和在单位圆外三类;① 极点全部在单位圆内的系统因果是稳定系统;② Hz 在单位圆上是一阶极点,单位圆外无极点,系统是临界稳定系统;③ Hz 在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点,系统是不稳定系统;。
信号系统复习资料
变为f (t -t)时，相应的输出响应y (t )是否变为y (t -t )。
‘ ᩴ -第一章信号与系统分析导论1.信号分类：确定信号与随机信号、连续时间信号与离散时间信号、周期信号和非周期信号、能量信号与功率信号。
2.系统分类：连续时间系统与离散时间系统、线性系统和非线性系统、非时变系统与时变系统、因果系统与非因果系统3.掌握信号周期的判断、线性系统的判断、时不变系统的判断（1）判断周期性 Ω0 /2π = m/N ，N 、m 是不可约的整数，则信号的周期为 N 。
例 f 1[k ] = sin(kpi /6)W0 /2pi = 1/12, 由于 1/12 是不可约的有理数， 故离散序列的周期 N=12。
习题 1-4（2）判断一个系统是否为线性系统，应从三个方面来判断：1）、具有可分解性y (t ) = y zi (t ) + y zs (t )2）、零输入线性，系统的零输入响应必须对所有的初始状态呈现线性特性。
3）、零状态线性，系统的零状态响应必须对所有的输入信号呈现线性特性。
例： y (t ) = 2 y (0) + 6 f2(t ) ，可分解但是 y zs (t ) 是非线性的，故不是线性系统习题 1-7（3）判断系统是否为时不变系统，只需判断当输入激励 f (t )0 0注意：时不变特性只考虑系统的零状态响应，因此在判断系统的时不变特性时，不涉及系统的初始状态。
例 y (t)=cos t ·f (t )y (t ) = cos(t ) f (t - t 0 ) 而 y (t - t 0 ) = cos(t - t 0 ) f (t - t 0 ) 故不相等，是时变系统。
习题 1-8第二章信号的时域分析1.掌握普通信号的定义(1) 指数信号——实指数信号 f (t ) = Ae αt(2) 虚指数信号 f (t ) = e jω0tEuler 公式：cos(ωt ) = 1 2(e j ωt + e - j ωt)sin(ωt ) =1 2 j(e j ωt - e - j ωt )(3) 指数信号——复指数信号 f (t ) = Ae sts = σ + j ω01f (t ) = Ae σt e j ω0t = Ae σtcos ω0t + jAe σtsin ω0t〰〰〰〰(4) 抽样函数 Sa(t ) = sin t / t抽样函数具有以下性质：- π π2π 〰ᩴSa(0) = 1Sa(k π ) = 0, k = ±1,±2∞⎰ -∞Sa(t )dt = πu (t ) = ⎨u (t - t 0 ) = ⎨⎰ ⎰δ (τ )d τ = ⎨⎧1 t >r (t ) = ⎨= ⎰ u (τ ) ⋅ d τ ⎰δ (t )dt = 0 ⎰δ (τ )d τ =δ (t ) f (t )δ (t ) = f (0)δ (t ) - f (0)δ (t )⎰f (t )δ (t )dt = - f ⎰sin(t ) ⋅δ (t - )dt = sin( ) = 2 / 2(2)⎰ e -5t ⋅δ (t -1)dt = e -5⨯1 = 1/ e 5(3)⎰ e -2t ⋅δ (t + 8)dt = 0 2.掌握奇异信号的定义 (1) 单位阶跃信号⎧1 ⎩0 t > 0 t < 0 t⎧1⎩0t > t 0 t < t 0t(2) 冲激信号δ(t )=0 , t ≠0+∞ -∞δ (t ) dt = 1δ (t - t 0 ) = 0t ≠ t 0∞ ⎰ -∞δ (t - t 0)dt = t 0 +∆ ⎰ t 0 -∆δ (t - t 0)dt = 1冲激信号的性质a)筛选特性 f (t )δ (t - t 0 ) = f (t 0 )δ (t - t 0 )b)取样特性 ∞⎰-∞f (t )δ (t - t 0 )dt = f (t 0 )c)展缩特性 δ (at ) = 1aδ (t ) , δ (t ) = δ (-t )推论：冲激信号是偶函数。
信号与系统期末考试知识点梳理
信号与系统知识点综合CT:连续信号DT:离散信号第一章信号与系统1、功率信号与能量信号性质：1能量有限信号的平均功率必为0；2非0功率信号的能量无限；3存在信号既不是能量信号也不是功率信号;2、自变量变换1时移变换 xt→xt-t0,xn→xn-n2时间反转变换 xt→x-t,xn→x-n3尺度变换 xt→xkt3、CT、DT复指数信号周期频率CT所有的w对应唯一TDT为有理数4、单位脉冲、单位冲激、单位阶跃1DT信号关系2CT信号t=0时无定义关系3筛选性质aCT信号bDT信号5、系统性质（1）记忆系统 yn=yn-1+xn无记忆系统 yt=2xt（2）可逆系统 yt=2xt不可逆系统 yt=x2t（3）因果系统 yt=2xt非因果系统 yt=x-t（4）稳定系统 yn=xn+xn-1不稳定系统（5）线性系统零输入必定零输出齐次性 axt→ayt可加性 x1t+x2t→y1t+y2t（6）时不变系统 xt-to →yt-t第二章1、DT卷积和,CT卷积积分2、图解法（1）换元；2反转平移；3相乘；4求和第三章 CFS DFSCFS收敛条件：xt平方可积；Dirichlet条件;存在“吉伯斯现象”;DFS无收敛条件无吉伯斯现象1、三角函数表示第四、五章 CTFT DTFT1、1CTFTa非周期收敛条件充分非必要条件：xt平方可积；Dirichlet条件; 存在“吉伯斯现象”;2DTFTa非周期存在收敛条件不存在吉伯斯现象b周期2、对偶（1）CTFT、DFS 自身对偶CTFT的对偶性DFS的对偶性2DTFT与CFS 对偶3、时域、频域特性4、性质（1）时移与频移aCT信号bDT信号（2）时域微分差分和频域微分求和（a）CT信号（b）DT信号（3）时域扩展内插（a）CT信号（4）共轭性质（a）CT信号bDT信号5、系统稳定系统才存在Hjwyt=xthtYjw=XjwHjw第六章时频特性1、模、相位2、无失真条件3、理想滤波器非因果,是物理不可能实现的;4、非理想滤波器第七章采样1、理想采样2、Nyquist采样定理1xt带限于wmNyquist频率；2ws >2wmNyquist率;3、欠采样ws <=wm1高频→低频；2相位倒置;应用：1取样示波器；2频闪测速;4、CT信号用DT系统处理。
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《信号与系统》综合复习资料一、简答题1、dtt df t f t f x e t y t )()()()0()(+⋅=-其中x(0)是初始状态，为全响应，为激励，)()(t y t f 试回答该系统是否是线性的？2、已知描述LTI 连续系统的框图如图所示，请写出描述系统的微分方程。
3、若信号)(t f 的最高频率为20KHz ，则信号)3()2()(2t f t f t f +=的最高频率为___________KHz ；若对信号)(2t f 进行抽样，则奈奎斯特频率s f 为____________KHz 。
4、设系统的激励为()f t ，系统的零状态响应)(t y zs 与激励之间的关系为：)()(t f t y zs -=，判断该系统是否是时不变的，并说明理由。
5、已知信号()⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=8sin 4cos 2ππk k k f ，判断该信号是否为周期信号，如果是，请求其周期，并说明理由。
6、已知()1k+1 , 0,1,20 , k f k else==⎧⎨⎩，()2 1 , 0,1,2,30 , k f k else==⎧⎨⎩设()()()12f k f k f k =*，求()f k 。
7、设系统的激励为()f t ，系统的零状态响应)(t y zs 与激励之间的关系为：)1(*)()(-=k f k f k y zs ，判断该系统是否是线性的，并说明理由。
8、已知描述LTI 离散系统的框图如图所示，请写出描述系统的差分方程。
9、已知()f t 的频谱函数1,2/()0,2/rad sF j rad sωωω⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，对(2)f t 进行均匀抽样的奈奎斯特抽样间隔N T 为：_______________s 。
10、若信号()f t 的最高频率为20KHz ，则信号(2)f t 的最高频率为___________KHz ；若对信号(2)f t 进行抽样，则奈奎斯特频率s f 为____________KHz 。
11、已知描述系统的微分方程为'()sin ()()y t ty t f t +=其中()()f t y t 为激励，为响应，试判断此系统是否为线性的？12、已知信号3()sincos 62f k k k ππ=+，判断该信号是否为周期信号；若是则求该信号的周期，并说明理由。
二、作图题1、已知)(1k f 和)(2k f 的波形如图所示，求)(*)(21k f k f .2、已知()()12f t f t 、的波形如下图，求()()()12f t f t f t =*（可直接画出图形）3、已知信号()f k 的波形如图所示，画出信号(2)(2)f k k ε+⋅--的波形。
4、已知函数)(1t f 和)(2t f 波形如图所示，画出)(*)(21t f t f 波形图。
三、综合题1、某线性时不变系统在下述12(),()f t f t 两种输入情况下，初始状态都相同，已知当激励1()()f t t δ=时，系统的全响应()()213t y t e t ε-=；当激励()()2f t t ε=时，系统的全响应()()22t y t e t ε-=；试求该系统的单位冲激响应()ht ，写出描述该系统的微分方程。
2、已知某线性时不变连续系统的阶跃响应为3()(1.50.5)()tt g t ee t ε--=-；当系统的激励为()(2)()f t t t ε=+，系统的初始值为(0)3,(0)9,y y ++'==-求系统的完全响应。
3、某LTI 连续系统，已知当激励为)()(t t f ε=时，其零状态响应)()(2t e t y tzs ε-=。
求：（1）当输入为冲激函数)(t δ时的零状态响应；-1 01223-2 -1 0121（2）当输入为斜升函数)(t t ε时的零状态响应。
4、描述某LTI 连续系统的微分方程为已知输入()(), f t t ε=初始状态()()'02, 01y y --==；求系统的零输入响应()zi y t 、零状态响应()zs y t 和全响应()y t 。
5、某一LTI 连续系统，已知：当起始状态，输入时，其全响应为； 当起始状态，输入时，其全响应为， 求该系统的冲激响应。
6、已知某LTI 连续系统的系统函数()23122++++=s s s s s H ，求：（1）系统的冲激响应()t h ； （2）当激励)()(t t f ε=，初始状态()'(0) 1 , 01y y --==时系统的零输入响应() zi y t 和零状态响应()zs y t 。
7、某LTI 系统在下述12(),()f t f t 两种输入情况下，初始状态都相同，已知当激励1()()f t t δ=时，系统的全响应)()()(1t e t t y tεδ-+=；当激励()()2f t t ε=时，系统的全响应)(3)(2t e t y t ε-=；求：当激励为)()(23t et f tε-=时系统的全响应。
8、已知某LTI 系统的冲激响应2()()(3)()tt h t t e e t δε--=+-，求（1）系统的系统函数)(s H ； （2）求当激励()()()3' (0) 1 01t f t e t y y ε---===时系统的零输入响应() zi y t 和零状态响应()zsy t 。
参考答案一、简答题1、dtt df t f t f x e t y t )()()()0()(+⋅=- 其中x(0)是初始状态，为激励)(t f 为全响应，，)(t y 试回答该系统是否是线性的？ 解：由于无法区分零输入响应和零状态响应，因而系统为非线性的。
()10=-x ()()t t f ε21=()()t t y ε=1()20=-x ()()t t f δ=2()()t e t y t ε223-=2、已知描述LTI 连续系统的框图如图所示，请写出描述系统的微分方程。
解：由于输入输入之间无直接联系，设中间变量)(t x 如图所示,则各积分器的的输入信号分别如图所示。
由加法器的输入输出列些方程：左边加法器：)(3)(2)()(t x t x t f t x '--=''（1） 右边加法器：)(2)()(t x t x t y '-''=（2）由（1）式整理得到：)()(2)(3)(t f t x t x t x =+'+''（3） 消去中间变量)(t x :)](2)([2)(2t x t x t y '-''=(4))]'(2)([3)(3t x t x t y '-''='(5)])(2)([)('''-''=''t x t x t y (6)将(4)(5)(6)左右两边同时相加可得： 整理可得到：3、若信号)(t f 的最高频率为20KHz ，则信号)3()2()(2t f t f t f +=的最高频率为___________KHz ；若对信号)(2t f 进行抽样，则奈奎斯特频率s f 为____________KHz 。
解：本题目主要考查的是取样定理的条件：因而：)2(t f 的最高频率为40KHz ，)3(t f 的最高频率为60KHz)3()2()(2t f t f t f +=的最高频率为两个分信号最高频率，为60KHz ，若对信号)(2t f 进行抽样，奈奎斯特频率12022=≥m s f f KHz4、设系统的激励为()f t ，系统的零状态响应)(t y zs 与激励之间的关系为：)()(t f t y zs -=，判断该系统是否是时不变的，并说明理由。
解：设)()(01t t f t f -=，若系统为时不变的，则必有结论)(01t t y y zs zs -=。
根据题意，由)(1t f 作用于系统的零状态响应为：)()(011t t f t y zs -=，根据信号的基本运算，)()()(0011t t f t t f t y zs +-=-=，很明显，)(01t t y y zs zs -≠，因而系统为时变的。
5、已知信号()⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=8sin 4cos 2ππk k k f ，判断该信号是否为周期信号，如果是，请求其周期，并说明理由。
解：设)4cos(2)(1πk k f =，则其周期81=T ；设)8sin()(2πk k f =，则其周期162=T ；1T 和2T 的最小公倍数为16，因而)(k f 为周期信号，其周期为16.6、已知()1k+1 , 0,1,20 , k f k else==⎧⎨⎩，()2 1 , 0,1,2,30 , k f k else==⎧⎨⎩设()()()12f k f k f k =*，求()f k 。
解：根据列表法，⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧======elsek k k k k k f ,05,34,53,2,61,30,1)(7、设系统的激励为()f t ，系统的零状态响应)(t y zs 与激励之间的关系为：)1(*)()(-=k f k f k y zs ，判断该系统是否是线性的，并说明理由。
解：系统为非线性的。
因为表达式中出现了)(k f 的二次方。
8、已知描述LTI 离散系统的框图如图所示，请写出描述系统的差分方程。
解：该系统是一个二阶离散系统。
由于有两个加法器，因而输入与输出之间的联系被割断，必须设定中间变量，)(k x ,位置如图所示，各个延迟单元的输入如图所示，根据加法器列写方程： 左边加法器：)()1(3)2-(2)(k x k x k x k f =--- 整理可得：)()2-(2)1(3)(k f k x k x k x =+-+（1） 右边加法器：)1(2)()(--=k x k x k y （2） 由（1）（2）两式，消去中间变量可得：9、已知()f t 的频谱函数1,2/()0,2/rad sF j rad s ωωω⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，对(2)f t 进行均匀抽样的奈奎斯特抽样间隔NT 为：_______________s 。
答案：4π 10、已知描述系统的微分方程为'()sin ()()y t ty t f t +=其中()()f t y t 为激励，为响应，试判断此系统是否为线性的？解：系统为线性的。
因为微分方程是关于)(t y )(t f 及其导数的一次式。
11、已知信号3()sincos 62f k k k ππ=+，判断该信号是否为周期信号；若是则求该信号的周期，并说明理由。