分段函数的二重积分
高等数学(第三版)课件：二重积分的计算
式：0 x π ,0 y 2 所确定的长方形区域. 2
解 这题可以不必画积区域.分析被积函数可知，如先
对x积分，需用分部积分法. 如先对y积分则不必，
计算会简单些.因此，我们选择先对y积分，即
π
xy
cos(
xy
2
)dxdy
2
0
dx
2
0
xy
cos(
xy
2
)dy
D
1π
2
2
0
sin( xy 2 )
和
x
π
D
所围成的三角形区域.
2
解法1 先对y积分. 作平行于y轴的直线与积分 区域D
相交，沿着y的正方向看，入口曲线为y=0，出口
曲线为y=x，D在x 轴上的投影区间为[0, π] . 2
sin
x
cos
ydxdy
π
2
0
dx
x
0
sin
x
cos
ydy
D
π
02
sin
x
sin
y
x 0
dy
π
02
sin
2
xdx
由 y x, x 2,
得x 2, y 2.
在y轴上的积分区间为12 ,2
当1 y 1时，平行于x轴的直线与区域D相交时，
2 沿x轴正方向看，入口曲线为
x，出1口曲线为x=2.
y
当1 y 2时，平行于x轴的直线与区域D相交时, 沿x轴正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为x=2.
依上述不等式组可作出区域D的图形，
再化为先对y积分后对x积分的二次积分.
01
dy
1y
谈二重积分的计算方法与技巧_杨庆
f ( x, y ) 为关于 x 的偶函数， 则有
D
∬ f ( x, y )dxdy = 2∬ f ( x, y )dxdy 。
( x, y ) ( x, y ) ∈ D, x ≥ 0 ； x 若 f ( , y ) 为关于 x 的奇函数， 则有 ∬ f ( x, y ) dxdy = 0。
其中 D1 =
— 131 —
科技信息
试析 《洛丽塔》 虚构中的真实
沈阳理工大学外国语学院 贾 娜
［摘 要］ 《洛丽塔》 因描写继父与幼女的不伦之恋， 广受各国读者关注。从道德、 心理、 真实性等层面对这对父女畸恋的分析却遭到 了作者纳博科夫的否定。 本文试图通过对小说中亨伯特对洛丽塔的爱， 分析这部虚构小说中的永恒真理。 ［关键词］ 少年 成年 永恒 得不到的真爱
成的闭区域。 解： 方法一. 画出区域 D 的图形， 若将它视为 X-区域(如图 1)， 则它 的积分限为 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ x ； 于是有
é y ù| | xydyù ê ú dx = ∫ ê I = ∬ xy dxdy = ∫1 é ∫ êx ⋅ 2 ú ú | dx 1 1 ë û D ë û |1
y
2 3 2æ é 2 y 4ù | | = 11 。 y ö = = ∫1 ç 2 d ÷ ê ú ç y 2 ÷ y êy | 8ú 8 ë û |1 è ø
例 4. 计算 I = ∫0 dx ∫x e
I = ∫0 dx ∫x e
1 - 2 y 0 1 1 - 2 y 1
dy 。 解： 方法一. 交换积分次序。 |1 1 -1 = 1 ∫ e dy 2 = - 1 e | |0 = 2 (1 - e ) 。 2 2 方法二. 利用分部积分法。 1 1 - 2 1 1 - 2 é e ydú ù I = ∫0 dx ∫x e y dy = ∫0 ê yû dx ë∫x 1 - 2 1 |1 æ 1 -y2 d ö y ç x∫ e ÷ | - ∫ xd ç ∫ e =æ dy ö y÷ x è ø |0 0 è x ø
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法在高等数学的学习中，二重积分是一个重要的概念和工具，它在解决许多实际问题和理论推导中都有着广泛的应用。
理解和掌握二重积分的计算方法对于我们深入学习数学以及解决相关的实际问题至关重要。
首先，让我们来明确一下二重积分的定义。
二重积分是在平面区域上对某个二元函数进行积分。
简单来说，就是把平面区域划分成许多小的区域，然后对每个小区域上的函数值乘以小区域的面积，再把这些乘积相加。
接下来，我们来介绍几种常见的二重积分计算方法。
一、直角坐标系下的计算方法在直角坐标系中，二重积分可以表示为两种形式：先对 x 积分再对y 积分，或者先对 y 积分再对 x 积分。
当我们选择先对 x 积分时，我们需要把积分区域投影到 x 轴上，确定 x 的积分限。
然后，对于每个固定的 x 值，在对应的垂直于 x 轴的线段上确定 y 的积分限。
例如，对于积分区域 D 是由直线 y ＝ x ，y ＝ 1 以及 x ＝ 0 所围成的三角形，我们要计算二重积分∬D f(x,y)dxdy。
先对 x 积分，x 的积分限是从 0 到 y ，y 的积分限是从 0 到 1 。
则可以将二重积分化为累次积分：∫₀¹(∫₀ʸ f(x,y)dx)dy 。
同样，如果先对 y 积分，就把积分区域投影到 y 轴上，确定 y 的积分限，然后再确定每个固定 y 值对应的 x 的积分限。
二、极坐标系下的计算方法在某些情况下，使用极坐标系来计算二重积分会更加方便。
极坐标系中的坐标是（r,θ) ，其中 r 表示点到原点的距离，θ 表示极角。
在极坐标系下，二重积分的表达式为∬D f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ 。
比如，对于圆形或者扇形的积分区域，使用极坐标系往往能简化计算。
例如，计算以原点为圆心，半径为 R 的圆上的二重积分，积分区域 D 为 x²＋y² ≤ R² 。
在极坐标系中，r 的积分限是从 0 到 R ，θ 的积分限是从 0 到2π 。
分区域函数的二重积分法
Ⅱ ＝， Ｄ ， ｏ
ｆ（ ｙ ｄ ｚ，） 一 １ ，
试证 存在 （， ）∈ Ｄ， 使得
’
使 分 区域 函数 的 二 重 积 分 具 有 相 当 的综 合 性 ， 构 成 了高 等 数 学 重 积 分 的 一 个 重 点 及 难 点 ， 高 校 在 的期末考试 、 研究 生 入 学 考 试 及 数 学 竞 赛 卷 面 上
＋ ，
将积分 区域 Ｄ 划分 为 Ｄ 和 Ｄ。 两部分 （ １ ， 图 ） 则
对上 式两边 同时 在区域 Ｄ 上 作二 重积 分 ， 有 则
Ａ』 ＝Ｄ 『
从 而有
＿
州ｒ Ｄ
ＪＪｘｘ＋ Ｉｄ ＝Ｄ ｄｙ ｄｙ 『ｙｄ ｚ ＝ ． 』ｘｘ＋。 ｄ 』ｌ 『ｙｄ Ｊｄｙ 『捌 ＝ Ｄ ｄｙ『 ｚ一Ｄ ， ｌ ， ｊ岫＋ｎｙ 『 ．（ 。 Ｊｘ １ ］ 岫 ＝ ＋２ ． ｌ ｎ ．
试 计算 二重积 分
Ｊ ｌ ｍ ｘｘ ，）ｘｙ — Ｉ ａ（ｙ１ｄｄ ，
其 中积分 区域 Ｄ ＝ （ ， （ ）ｆ ０≤ ≤ ２ ０≤ Ｙ≤ ２ ． ， ｝
解 用 曲线
ｘｙ ＝＝１ ＝
Ａ— ｌｆｘ ｌ （，）
解 由所给 条件 ， 有
ｆｘｙ 一 再 （， ）
Ｃｓｄ ｒ ＋］一 ０ｉＯ ３ ｒｒ ５ｎ ［ ［ ｚ ８ｇ： １ ｄ
Ｊ （ｙ ｄ ＪＥｚ ） ａ ｏ ，］ ， ｆ
其 中 ［ （ ） 表 示 不超 过 ｆ（ ）的最 大 整 数． 厂 ， ］ ｘ， 其
计算 方法 一般 是 转 化 为 累 次 积 分 ， ｆ ｘ， 用 （ ）能 取
考研数学中二重积分的计算方法与技巧
考研数学中二重积分的计算方法与技巧顾 贞 洪 港 高恒嵩高等数学作为大多数专业研究生考试的必考科目，其有自己固有的特点，大纲几乎不变，注重基本知识点的考察，注重学生的综合应用能力，也考察学生解题的技巧.二重积分作为考研数学必考的知识点，在解题方面有一定的技巧可循，本文针对研究生考试中二重积分的考察给出具有参考性的解题技巧.二重积分的一般计算步骤如下：（1） 画出积分区域D 的草图；（2） 根据积分区域D 以及被积函数的特点确定合适的坐标系；（3） 在相应坐标系下确定积分次序，化为二次积分； （4） 确定二次积分的上、下限，做定积分运算.但是在历年考试题中，越来越多的题目注重解题技巧的考查，考题经常以下列几种情况出现：1分段函数的二重积分如果被积函数中含有函数关系min max,以及绝对值函数，则需要对二重积分进行分区域积分.例1：（2008年试题）计算⎰⎰Ddxdy xy }1,max{，其中}20,20),({≤≤≤≤=y x y x D .解：积分区域如图1所示：因为⎩⎨⎧>≤=111}1,max{xy xy xy xy ，所以有：max{,1}Dxy dxdy ⎰⎰1122222111022x xdx dy dx dy dx xydy=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2ln 419)ln 21(21ln 2ln 2212212+=-+-+⨯=x x2交换二重积分的次序交换积分次序的步骤如下： （1） 先验证二次积分是否是二重积分的二次积分（积分下限小于上限）（2） 由所给二次积分的上、下限写出积分区域D 的不等式组（3） 依据不等式组画出积分区域D 的草图（4） 根据积分区域D 的草图写出另一种积分次序下的二次积分。
例2：计算dy e dx xy ⎰⎰-222解：积分区域如图2所示：因为⎰-22xy dy e 不可积，所以交换二重积分次序，则有：)1(214022022222-----===⎰⎰⎰⎰⎰⎰e dx dy e dx e dy dy e dx yy yy xy图1 图2 图3 图43利用积分区域的对称性计算二重积分（1）利用积分区域的对称性，被积函数的奇偶性计算 设()y x f ,在积分区域D 上连续，D 关于y 轴对称，1D 为D 中0≥x 的部分.则有：()()⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=DD y x f y x f y x f y x f d y x f d y x f ),(),(0),(),(,2,1σσ设()y x f ,在积分区域D 上连续，D 关于x 轴对称，1D 为D 中0≥y 的部分.则有:()()⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=D D y x f y x f y x f y x f d y x f d y x f ),(),(0),(),(,2,1σσ 例3：（2017年试题）已知平面区域22{(,)2}D x y x y y =+≤，计算二重积分2(1).Dx dxdy +⎰⎰解析：积分区域具有对称性如图3，首先考虑使用奇偶性，其次，因为积分区域为圆域，需要使用极坐标进行求解。
2014考研数学基础讲义9二重积分
∫∫ f ( x，y )dσ = ∫∫ f ( x，y )dσ + ∫∫ f ( x，y )dσ ，其中 D = D ∪ D 。除公共边界外， D 与 D 不
D D1 D2
重叠。 （4）
∫∫ 1dσ = σ = S
D
D
（5）若 f ( x，y ) ≤ g ( x，y )， ( x，y ) ∈ D ，则
【例 4】 计算
35π a 4 12
∫∫ (
x + y ≤1
x + y )dxdy
解 I= 8
∫ 0xdx ∫ 0
1
1− x 1 4 dy = 8∫ x (1 − x ) dx = 0 3
【例 5】 计算
∫∫
x ≤1 0≤ y ≤ 2
2
y − x 2 dxdy
原式 =
1 4 3π 5 π + + 1 = + 3 3 8 3 2
∫∫ f ( x，y )dσ = f (ξ，η )iS 。我们也把 S ∫∫ f ( x，y )dσ 称为 f ( x，y ) 在 D 上的积分平均值。
D
D
1
【例】利用二重积分的性质估计 I=
∫∫ ( 4 x
x2 + y2 ≤2
2
+ y 2 + 7 dxdy 的值. （14π ≤ I ≤ 30π .）
{( x，y ) a ≤ x ≤ b，ϕ ( x ) ≤ y ≤ ϕ ( x )} ，其中 ϕ ( x )，ϕ ( x ) 在 [ a，b] 上连
1 2 1 2
续， f ( x，y ) 在 D 上连续，则 模型Ⅱ 设有界闭区域 D = 模型Ⅱ：
∫∫ f ( x，y )dσ = ∫∫ f ( x，y )dxdy = ∫ adx ∫ ϕ ( x ) f ( x，y ) dy 。
二重积分的计算方法与技巧
用 不等 式组 表 示出 来 , 这 是 造 成 计 算 二 重 积 分 困 难 和计 算 结果 错 误 的 最 大 原 因 。其 实 , 在 直 角 坐 标 系 中 , 积 分区 域 不外 乎以 下 两种 基本 类 型 : ( 1 ) 积分 区域 有 一条 或两 条 端线 平行 于 轴 ( 如 图 1) 此 时 , 应将 区 域 D 投 影到 x 轴 上 , 设 x 的 区间 为 [ a , b ] , 并 求出 区 域 的 D 下 、 上边界方程分别为 y = y 1 ( x) ,y = y2 ( x) 。对 区间 [ a , b ] 内 任 意 一 点 , 作 平 行 于 y 轴 的直 线 , 交 D 的 边 界 于 两 点 , 则 这 两 点 的 纵 坐 标分 别为 y1 ( x ) ,y 2 ( x ) , 所以 区域 表 示成 D: a≤ x≤ b y1 ( x) ≤ y 2 ( x) 图 3 图4
林承初 : 二重积分的计算方法与技巧
= e- 1 2 y =
10 月
三、 将积分区域用不等式组表示出来
教学 中 发现 , 不 少 学 生 不 懂 得 如 何 将 积 分 区 域
x , y = 2 所围成的三角形 D (如图 4 ) , 有一边平 2 0≤ y≤ 2 行 于 x 轴 , 将 三角 形投 向 y 轴后 , 易 得 D : y≤ x≤ 2y
[ 收稿日期 ] 2006 - 07 - 17 [ 作者简介 ] 林承初 (1 963 - ) ,男 ,广西北流人 ,广西财经学院数学与统计系高级讲师 ,主要研究方向 : 系统理论 。
336
增刊
1 2
2 sin θ ) θ θ � 0 ecos + sin d ( θ+ sin θ cos sin θ π
同济-高等数学-第三版(9.2) 第二节 二重积分的计算法
积分区域 D 的边界曲线依次为 y = y1( x )，y = y2( x )，x = a，x = b . 考虑此二重积分的计算。
视二重积分为曲顶柱体体积，即假定有 f( x ,y ) 0 ,
考虑曲顶柱体体积的计算：即
f x , y dxdy V .
D
• 化二重积分为两次定积分 采用切片法计算曲顶柱体体积 V .
y
y y2 x
X型
y y1 x
O
则可用投影穿线法将 D
表示为不等式组的形式。
a
b
x
y
y y2 x
y1 x y y2 x , Dx : a x b.
D
P x, y
y y1 x
O
a
a xb
x
b
x
Y - 型区域
算的意义可看出，将二重积分化为两次定积分的计算实
际并不需要这一条件。
因此，所得结果具有一般性，即这种
将二重积分化为两次定积分的计算方法 对定义在 X - 型区域 D 上的连续函数
z = f( x ,y )都成立。
• 对运算过程的理解 以上结果将曲顶柱体体积计算归结为两次定积分。 第一次定积分是对固定的 x 进行的，即将关于 y 的 一元函数 z = f( x ,y )沿区间[ y1( x ), y2( x )]对 y 求积分, 其几何意义是计算截口曲边梯形的面积，截口面积是一
y
y y2 x
故由投影穿线法可将区域
表示为不等式组的形式
y1 x y y 2 x , D: a x b.
X型
y y1 x
O
a
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分段函数的二重积分
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数： 张鸿鹰 北京建筑工程学院基础部,北京,100044 高等数学研究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS 2006,9(2) 1次
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北京 ! !"""## ）
要 ! 利用二重积分的可加性计算分段函数的二重积分， 并对被积函数含有绝对值的二重积分计算方法进
在同济大学 《 高等数学》 （ 下）二重积分计算中没有出现分段函数的二重积分， 但与定积分类 似， 也有相应的问题" 这种问题的一般做法是先画积分区域的图形， 然后由被积函数的分段点将积 分区域分成若干部分区域， 使得在每个部分区域上的函数表达式明确， 再利用二重积分的可加性， 进行计算" 被积函数含有绝对值的二重积分实际上也是属于分段函数的二重积分， 运算前要去掉绝 对值号， 进行分域研究" 下面看几个例子" 例 !’ 解! 计算 # $
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张鸿鹰： 分段函数的二重积分
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引证文献(1条) 1.余品能.崔周进 分区域函数的二重积分法[期刊论文]-高等数学研究 2011(2)
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分段函数的二重积分
张鸿鹰 !
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