宁波中考数学专题题库∶二次函数的综合题

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知二次函数223y ax ax =-+的最大值为4，且该抛物线与y 轴的交点为C ，顶点为

D .

（1）求该二次函数的解析式及点C ，D 的坐标； （2）点(,0)P t 是x 轴上的动点，

①求PC PD -的最大值及对应的点P 的坐标；

②设(0,2)Q t 是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数2

||23y a x a x =-+的图像只有一个

公共点，求t 的取值范围.

【答案】（1）2y x 2x 3=-++，C 点坐标为(0,3)，顶点D 的坐标为(1,4)；（2）①最

，P 的坐标为(3,0)-，②t 的取值范围为3t ≤-或332

t ≤<或72t =.

【解析】 【分析】

（1）先利用对称轴公式x=2a

12a

--

=，计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；

（2）根据三角形的三边关系：可知P 、C 、D 三点共线时|PC-PD|取得最大值，求出直线CD 与x 轴的交点坐标，就是此时点P 的坐标；

（3）先把函数中的绝对值化去，可知22x 23,0,

y x 23,0.

x x x x ?-++≥=?--+

的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ 过点（0，3），即点Q 与点C 重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ 过点（3，0），即点P 与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t 的取值；②线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x≥0）时有一个公共点时，求t 的值；③当线段PQ 过点（-3，0），即点P 与点（-3，0）重合时，线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x ＜0）时也有一个公共点，则当t≤-3时，都满足条件；综合以上结论，得出t 的取值． 【详解】 解：（1）∵2a

x 12a

-=-

=， ∴2y ax ax 3=-+的对称轴为x 1=. ∵2y ax ax 3=-+人最大值为4， ∴抛物线过点()1,4. 得a 2a 34-+=， 解得a 1=-.

∴该二次函数的解析式为2y x 2x 3=-++.

C 点坐标为()0,3，顶点

D 的坐标为()1,4.

（2）①∵PC PD CD -≤，

∴当P,C,D 三点在一条直线上时，PC PD -取得最大值.

连接DC 并延长交y 轴于点P ，PC PD CD -===

∴PC PD -

. 易得直线CD 的方程为y x 3=+. 把()P t,0代入，得t 3=-. ∴此时对应的点P 的坐标为()3,0-.

②2

y a |x |2a x 3=-+的解析式可化为22x 23,0,

y x 23,0.x x x x ?-++≥=?--+

设线段PQ 所在直线的方程为y kx b =+，将()P t,0，()Q 0,2t 的坐标代入，可得线段

PQ 所在直线的方程为y 2x 2t =-+.

（1）当线段PQ 过点()3,0-，即点P 与点()3,0-重合时，线段PQ 与函数

22x 23,0,

y x 23,0.

x x x x ?-++≥=?--+

∴当t 3≤-时，线段PQ 与函数22x 23,0,

y x 23,0.

x x x x ?-++≥=?--+

（2）当线段PQ 过点()0,3，即点Q 与点C 重合时，线段PQ 与函数

22x 23,0,y x 23,0.

x x x x ?-++≥=?--+

当线段PQ 过点()3,0，即点P 与点()3,0重合时，t 3=，此时线段PQ 与函数

22x 23,0,

y x 23,0.

x x x x ?-++≥=?--+

所以当3

t 32≤<时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.

x x x x ?-++≥=?--+

（3）将y 2x 2t =-+带入()2

y x 2x 3x 0=-++≥，并整理，得2x 4x 2t 30-+-=.

()Δ1642t 3288t =--=-.

令288t 0-=，解得7

t 2

=

. ∴当7

t 2=时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.

x x x x ?-++≥=?--+

综上所述，t 的取值范围为t 3≤-或3

t 32≤<或7t 2

=. 【点睛】

本题考查了二次函数的综合应用，先利用待定系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起；同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解．

2．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式；

（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ．

①求线段PM 的最大值；

②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．

【答案】（1）二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）①PM 最大=9

4

；②P （2，﹣3）或（22﹣2）． 【解析】 【分析】

（1）根据待定系数法，可得答案；

（2）①根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】

（1）将A ，B ，C 代入函数解析式，

得09303a b c a b c c -+=??++=??=-?

，解得123a b c =??

=-??=-?，

这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3； （2）设BC 的解析式为y=kx+b ，

将B ，C 的坐标代入函数解析式，得

303k b b +=??=-?，解得1

3

k b =??

=-?， BC 的解析式为y=x ﹣3，

设M （n ，n ﹣3），P （n ，n 2﹣2n ﹣3）， PM=（n ﹣3）﹣（n 2﹣2n ﹣3）=﹣n 2+3n=﹣（n ﹣32）2+9

4

， 当n=

32时，PM 最大=9

4

； ②当PM=PC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n 2﹣2n ﹣3+3）2， 解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=2， n 2﹣2n ﹣3=-3， P （2，-3）；

当PM=MC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n ﹣3+3）2，

解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=3+2（不符合题意，舍），n 3=3-2， n 2﹣2n ﹣3=2-42， P （3-2，2-42）；

综上所述：P （2，﹣3）或（3-2，2﹣42）． 【点睛】

本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.

3．已知，m ，n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示． （1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ，求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；

（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P 为2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．

【答案】（1）223y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；

（3）2213

(03)22

13(03)2

2t t t S t t t t ?-+??=??-??＜＜＜或＞

【解析】

试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；

（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；

（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程

2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线2

23

y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{3b c c -+==-，∴2{3

b c =-=-，∴抛物线解析式为223y x x =--；

（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），

∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；

（3）如图，∵B （0，﹣3），C （3，0），∴直线BC 解析式为y=x ﹣3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P （t ，t ﹣3），M （t ，223t t --），过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，∵

，∴QF=1．

①当点P 在点M 上方时，即0＜t ＜3时，PM=t ﹣3﹣（223t t --）=23t t -+，∴S=

12

PM×QF=21(3)2t t -+=213

22t t -+，②如图3，当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t

＞3时，PM=223t t --﹣（t ﹣3）=23t t -，∴S=

12PM×QF=12

（23t t -）=213

22t t -．

综上所述，S=2213

(03)22

{13 (03)22

t t t t t t t 或-+<<-．

考点：二次函数综合题；分类讨论．

4．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+n与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)过C、B两点，交x轴于另一点A，连接AC，且

tan∠CAO=3．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P是射线CB上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交抛物线于Q，设P点横坐标为t，线段PQ的长为d，求出d与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；

(3)在(2)的条件下，当点P在线段BC上时，设PH=e，已知d，e是以y为未知数的一元二

次方程：y2－(m+3)y+1

4

(5m2－2m+13)="0" (m为常数)的两个实数根，点M在抛物线上，连

接MQ、MH、PM，且．MP平分∠QMH，求出t值及点M的坐标．

【答案】(1) y=-x2+2x+3；(2)

2

2

3(03)

{

3(3)

d t t t

d t t t

=-+<<

=->

；（3）t=1，2，2)和(12，

2).

【解析】

【分析】

（1）当x=0时代入抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）就可以求出y=3而得出C的坐标，就可以得出直线的解析式，就可以求出B的坐标，在直角三角形AOC中，由三角形函数值就可以求出OA的值，得出A的坐标，再由待定系数法建立二元一次方程组求出其解就可以得出结论；

（2）分两种情况讨论，当点P 在线段CB 上时，和如图3点P 在射线BN 上时，就有P 点的坐标为（t ，-t+3），Q 点的坐标为（t ，-t 2+2t+3），就可以得出d 与t 之间的函数关系式而得出结论；

（3）根据根的判别式就可以求出m 的值，就可以求出方程的解而求得PQ 和PH 的值，延长MP 至L ，使LP=MP ，连接LQ 、LH ，如图2，延长MP 至L ，使LP=MP ，连接LQ 、LH ，就可以得出四边形LQMH 是平行四边形，进而得出四边形LQMH 是菱形，由菱形的性质就可以求出结论． 【详解】

（1）当x=0，则y=-x+n=0+n=n ，y=ax 2+bx+3=3， ∴OC=3=n ． 当y=0，

∴-x+3=0，x=3=OB ， ∴B （3，0）．

在△AOC 中，∠AOC ＝90°，tan ∠CAO=3

3OC OA OA

==， ∴OA=1， ∴A （-1，0）．

将A （-1，0），B （3，0）代入y=ax2+bx+3， 得

9330{30

a b a b ++=-+=， 解得：1

{

2

a b =-= ∴抛物线的解析式：y=-x 2+2x+3； (2) 如图1，

∵P 点的横坐标为t 且PQ 垂直于x 轴 ∴P 点的坐标为(t ，－t+3)， Q 点的坐标为(t ，－t 2+2t+3).

∴PQ=|(－t+3)－(－t 2+2t+3)|="|" t 2－3t |

∴22

3(03){3(3)

d t t t d t t t =-+<<=->；

∵d，e是y2－(m+3)y+1

(5m2－2m+13)=0（m为常数）的两个实数根，

4

∴△≥0，即△=(m+3)2－4×1

(5m2－2m+13)≥0

4

整理得：△= －4(m－1)2≥0，∵－4(m－1)2≤0，

∴△=0，m=1，

∴ PQ与PH是y2－4y+4=0的两个实数根，解得y1=y2=2

∴ PQ=PH=2，∴－t+3=2，∴t="1,"

∴此时Q是抛物线的顶点，

延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，如图2，

∵LP=MP，PQ=PH，∴四边形LQMH是平行四边形，

∴LH∥QM，∴∠1=∠3，∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，

∴LH=MH，∴平行四边形LQMH是菱形，

∴PM⊥QH，∴点M的纵坐标与P点纵坐标相同，都是2，

∴在y=－x2+2x+3令y=2，得x2－2x－1=0，∴x1=1+2，x2=1－2

综上：t值为1，M点坐标为(1+2，2)和(1－2，2).

5．如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与y轴交于点C

.

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、 Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ 上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ.

①若点P 的横坐标为1

2

-

，求△DPQ 面积的最大值，并求此时点D 的坐标； ②直尺在平移过程中，△DPQ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.

【答案】（1）抛物线y=-x 2+2x+3；（2）①点D （ 31524

，）；②△PQD 面积的最大值为8 【解析】

分析：（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

（2）（I ）由点P 的横坐标可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，过点D 作DE ∥y 轴交直线PQ 于点E ，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-x+5

4

），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+6x+

7

2

，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； （II ）假设存在，设点P 的横坐标为t ，则点Q 的横坐标为4+t ，进而可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-2（t+1）x+t 2+4t+3），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t ，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 详解：（1）将A （-1，0）、B （3，0）代入y=ax 2+bx+3，得：

309330a b a b -+??

++?＝＝，解得：1

2a b -???

＝＝， ∴抛物线的表达式为y=-x 2+2x+3． （2）（I ）当点P 的横坐标为-12

时，点Q 的横坐标为7

2，

∴此时点P 的坐标为（-

12，74

），点Q 的坐标为（72，-9

4）．

设直线PQ 的表达式为y=mx+n ， 将P （-

12，74

）、Q （72，-9

4）代入y=mx+n ，得：

1

724

792

4m n m n ?-+????+-??＝＝，解得：154m n -?????＝＝，

∴直线PQ 的表达式为y=-x+

5

4

． 如图②，过点D 作DE ∥y 轴交直线PQ 于点E ，

设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-x+5

4

）， ∴DE=-x 2+2x+3-（-x+5

4）=-x 2+3x+74

， ∴S △DPQ =

12

DE?（x Q -x P ）=-2x 2+6x+72=-2（x-3

2）2+8．

∵-2＜0， ∴当x=

32时，△DPQ 的面积取最大值，最大值为8，此时点D 的坐标为（32

，15

4）．

（II ）假设存在，设点P 的横坐标为t ，则点Q 的横坐标为4+t ，

∴点P 的坐标为（t ，-t 2+2t+3），点Q 的坐标为（4+t ，-（4+t ）2+2（4+t ）+3）， 利用待定系数法易知，直线PQ 的表达式为y=-2（t+1）x+t 2+4t+3．

设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-2（t+1）x+t 2+4t+3）， ∴DE=-x 2+2x+3-[-2（t+1）x+t 2+4t+3]=-x 2+2（t+2）x-t 2-4t ， ∴S △DPQ =

1

2

DE?（x Q -x P ）=-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t=-2[x-（t+2）]2+8． ∵-2＜0，

∴当x=t+2时，△DPQ 的面积取最大值，最大值为8．

∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ 面积有最大值，面积的最大值为8． 点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）（I ）利用三角形的面积公式找出S △DPQ =-2x 2+6x+

7

2

；（II ）利用三角形的面积公式找出S △DPQ =-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t ．

6．如图，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为()4,3A ，与y 轴相交于点()0,5B -，对称轴为直线l ，点M 是线段AB 的中点.

（1）求抛物线的表达式；

（2）写出点M 的坐标并求直线AB 的表达式；

（3）设动点P ，Q 分别在抛物线和对称轴l 上，当以A ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求P ，Q 两点的坐标. 【答案】（1）2

1452

=-

+-y x x ；（2）()2,1-M ，25y x =-；（3）点P 、Q 的坐标分别为()6,1或()2,1、()4,3-或()4,1． 【解析】 【分析】

（1）函数表达式为：()2

43y a x ==+，将点B 坐标代入上式，即可求解； （2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ，设直线AB 的表达式为：5y kx =-，将点

A 坐标代入上式，即可求解；

（3）分当AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可. 【详解】

解：（1）函数表达式为：()2

43y a x ==+， 将点B 坐标代入上式并解得：12

a =-， 故抛物线的表达式为：2

1452

=-

+-y x x ； （2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ， 设直线AB 的表达式为：5y kx =-，

将点A 坐标代入上式得：345k =-，解得：2k =， 故直线AB 的表达式为：25y x =-； （3）设点()4,Q s 、点21,452P m m m ??-

+- ???

， ①当AM 是平行四边形的一条边时，

点A 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M ，

同样点21,452P m m m ??

-+-

???

向左平移2个单位、向下平移4个单位得到()4,Q s ，

即：24m -=，2

14542

m m s -

+--=， 解得：6m =，3s =-，

故点P 、Q 的坐标分别为()6,1、()4,3-； ②当AM 是平行四边形的对角线时， 由中点定理得：424m +=+，2

131452

m m s -=-+-+， 解得：2m =，1s =，

故点P 、Q 的坐标分别为()2,1、()4,1；

故点P 、Q 的坐标分别为()6,1，()4,3-或()2,1、()4,3-，()2,1或()4,1． 【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等，其中（3），要主要分类求解，避免遗漏.

7．已知函数()()22,1,2

22x nx n x n y n n

x x x n ?-++≥?

=?-++

①点()4,P b 在此函数图象上，求b 的值； ②求此函数的最大值．

（2）已知线段AB 的两个端点坐标分别为()()2,24,2A B 、，当此函数的图象与线段

AB 只有一个交点时，直接写出n 的取值范围．

（3）当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4，求n 的取值范围．

【答案】（1）①92b =

②458；（2）

1845n <≤，8

23

n ≤<时，图象与线段AB 只有一个交点；（3）函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4时，8n >或31

42

n ≤<． 【解析】 【分析】

（1）①将()4,P b 代入2155

222

y x x =-++；②当5x ≥时，当5x =时有最大值为5；当5x <时，当52x =

时有最大值为458；故函数的最大值为45

8

； （2）将点()4,2代入2

y x nx n =-++中，得到185n =

，所以

18

45

n <≤时，图象与线段AB 只有一个交点；将点()2,2）代入2

y x nx n =-++和21222

n n y x x =-++中，得到

82,3

n n ==

， 所以8

23

n ≤<时图象与线段AB 只有一个交点； （3）当x

n =时，42

n >，得到8n >；当2

n x =时，148

2

n +≤，得到312

n ≥，当x n

=时，2

2

y n n n n =-++=，4n <． 【详解】

解：（1）当5n =时，

()()22555155

52

22x x x y x x x ?-++≥?

=?-++

222

y x x =-++， ∴9

2

b =

； ②当5x ≥时，当5x =时有最大值为5； 当5x <时，当52x =时有最大值为458； ∴函数的最大值为

458

； （2）将点()4,2代入2

y x nx n =-++中，

∴185

n =， ∴

18

45

n <≤时，图象与线段AB 只有一个交点； 将点()2,2代入2

y x nx n =-++中， ∴2n =， 将点()2,2代入21222

n n

y x x =-++中， ∴8

3

n =

， ∴8

23

n ≤<

时图象与线段AB 只有一个交点； 综上所述：1845n <≤，8

23

n ≤<时，图象与线段AB 只有一个交点； （3）当x

n =时，22112

2

2

2

n n y n n =-++=，

42

n

>，∴8n >； 当2n x =

时，182

n y =+， 1482n +≤，∴312

n ≥， 当x

n =时，22y n n n n =-++=，

4n <；

∴函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4时，8n >或31

42

n ≤<． 【点睛】

考核知识点：二次函数综合.数形结合分析问题是关键.

8．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线（

）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线l ：

与

y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD=4AC ．

（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k ，b 用含a 的式子表示）； （2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为，求a 的值； （3）设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．

【答案】（1）A （－1，0），；（2）；（3）P 的坐标为（1，）

或（1，－4）． 【解析】

试题分析：（1）在中，令y=0，得到，，得到A（－1，0），B（3，0），由直线l经过点A，得到，故，令

，即，由于CD＝4AC，故点D的横坐标

为4，即有，得到，从而得出直线l的函数表达式；

（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），

EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝，故△ACE的面积的最大值为，而△ACE的面积的最大值为，所以

，解得；

（3）令，即，解得，，得到D （4，5a），因为抛物线的对称轴为，设P（1，m），然后分两种情况讨论：①若AD是矩形的一条边，②若AD是矩形的一条对角线．

试题解析：（1）∵=，令y=0，得到，，∴A（－1，0），B（3，0），∵直线l经过点A，∴，，∴，令

，即，∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为

4，∴，∴，∴直线l的函数表达式为；

（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），

EF＝=，

S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝

＝＝，

∴△ACE的面积的最大值为，∵△ACE的面积的最大值为，∴，解得；

（3）令，即，解得，，∴D（4，5a），∵，∴抛物线的对称轴为，设P（1，m），

①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a），m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°，∴，

∴，即，∵，

∴，∴P1（1，）；

②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，），m ＝，则P（1，8a），∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°，

∴，∴，即

，∵，∴，∴P2（1，－4）．

综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）

或（1，－4）．

考点：二次函数综合题．

9．如图1，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣4，0），B （1，0）两点，过点B 的直线

y=kx+

2

3

分别与y 轴及抛物线交于点C ，D ． （1）求直线和抛物线的表达式；

（2）动点P 从点O 出发，在x 轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，△PDC 为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t 的值；

（3）如图2，将直线BD 沿y 轴向下平移4个单位后，与x 轴，y 轴分别交于E ，F 两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M ，在直线EF 上是否存在点N ，使DM+MN 的值最小？若存在，求出其最小值及点M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为：y=228233x x +-，BD 解析式为y=﹣22

33

x +；（2）t 的值为

4915129±、233．（3）N 点坐标为（﹣2，﹣2），M 点坐标为（﹣3

2，﹣5

4

），213 【解析】

分析：（1）利用待定系数法求解可得；

（2）先求得点D 的坐标，过点D 分别作DE ⊥x 轴、DF ⊥y 轴，分P 1D ⊥P 1C 、P 2D ⊥DC 、

P3C⊥DC三种情况，利用相似三角形的性质逐一求解可得；

（3）通过作对称点，将折线转化成两点间距离，应用两点之间线段最短．详解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y=ax2+2x+c，

得

1680

20

a c

a c

-+=

?

?

++=

?

，

解得：

2

3

8

3 a

c

?

=

??

?

?

=-

??

，

∴抛物线解析式为：y=2

28

2

33

x x

+-，

∵过点B的直线y=kx+2

3

，

∴代入（1，0），得：k=﹣2

3

，

∴BD解析式为y=﹣22

33

x+；

（2）由

2

28

2

33

22

33

y x x

y x

﹣

?

=+-

??

?

?=+

??

得交点坐标为D（﹣5，4），如图1，过D作DE⊥x轴于点E，作DF⊥y轴于点F，

当P1D⊥P1C时，△P1DC为直角三角形，

则△DEP1∽△P1OC，

∴DE

PO

=

PE

OC

，即

4

t

=

5

2

3

t-

，

解得t=

15129

6

±

，

当P2D⊥DC于点D时，△P2DC为直角三角形

由△P2DB∽△DEB得

DB

EB

=2

P B

DB

，

即

52=

52

6

，

解得：t=

23

3

；

当P3C⊥DC时，△DFC∽△COP3，

∴DF

OC

=

3

CF

P O，即

5

2

3

=

10

3

t

，

解得：t=

4

9

，

∴t的值为4

9

、

15129

±

、

23

3

．

（3）由已知直线EF解析式为：y=﹣

2

3

x﹣

10

3

，

在抛物线上取点D的对称点D′，过点D′作D′N⊥EF于点N，交抛物线对称轴于点M

过点N作NH⊥DD′于点H，此时，DM+MN=D′N最小．

则△EOF∽△NHD′

设点N坐标为（a，﹣

210

33

a-），

∴OE

NH

=

OF

HD'

，即

5

210

4()

33

a

---=

10

3

2a

-

，

解得：a=﹣2，

则N点坐标为（﹣2，﹣2），

求得直线ND′的解析式为y=

3

2

x+1，

当x=﹣

3

2

时，y=﹣

5

4

，

∴M点坐标为（﹣3

2

，﹣

5

4

），

此时，DM+MN22

D H NH

'+22

46

+13

点睛：本题是二次函数和几何问题综合题，应用了二次函数性质以及转化的数学思想、分类讨论思想．解题时注意数形结合．

10．如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；

（3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．

【答案】（1）2

23y x x =--；（2）P （1，0）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可； （2）由图知：A ．B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l 与x 轴的交点，即为符合条件的P 点；

（3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC 、②MA=MC 、③AC=MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解．

试题解析：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）代入抛物线2

y ax bx c

=++中，得：0{9303a b c a b c c -+=++==-，解得：1

{23

a b c ==-=-，故抛物线的解析式：2

23y x x =--．

（2）当P 点在x 轴上，P ，A ，B 三点在一条直线上时，点P 到点A 、点B 的距离之和最短，此时x=2b

a

-

=1，故P （1，0）； （3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=2b

a

-=1，设M （1，m ），已知A （﹣1，0）、C （0，﹣3），则：

2MA =24m +，2MC =2

(3)1m ++=2610m m ++，2AC =10；

①若MA=MC ，则22MA MC =，得：24m +=2610m m ++，解得：m=﹣1；