2008年高考数学理科试题汇编--概率与统计

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5.2008年高考概率与统计试题分析

2008年高考概率与统计试题分析王卫华湖北省黄梅县第一中学　435500 概率与统计问题,是近年来高考备考的重点和热点之一,概率与统计问题作为解答题之一出现,已经成为高考命题以及各级考试命题的共识.下面通过简析2008年高考题中有关概率统计方面的试题,来分析命题方向,透视命题信息,以便科学高效地组织好新课程的高考复习.1　考试内容随机事件的概率,等可能性事件的概率,互斥事件、相互独立事件同时发生的概率,独立重复试验;抽样方法,总体分布的估计,总体期望值和方差的估计.2　考试要求1)了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义;2)了解等可能事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率;3)了解互斥事件与相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率;4)会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率;5)了解随机抽样,了解分层抽样的意义,会对简单实际问题进行抽样;6)会用样本频率分布估计总体分布;7)会用样本平均数估计总体期望值,会用样本的方差估计总体方差.3　试题特点1)各地高考题中概率统计试题的题量大致为2道,约占全卷总分的6%-10%,试题的难度为中等或中等偏易.2)概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编,通过对基础知识的重新组合、变式和拓展,从而加工为立意高、情境新、设问巧,并赋予时代气息、贴近学生实际的问题.如有关奥运方面的试题比比皆是,也有有关人体健康方面的题目.这样的试题体现了数学试卷新的设计理念,尊重不同考生群体思维的差异,贴近考生的实际,体现了人文教育的精神.3)概率统计试题主要考查基本概念和基本公式,对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望、方差、抽样方法等内容都进行了考查.1(1-x)n<0,所以只需证ln(x-1)≤x-1.令h(x)=x-1-ln(x-1),则h′(x)=1-1x-1=x-2x-1≥0(x≥2).所以当x≥2时,h(x)=x-1-ln(x-1)单调递增.又h(2)=1>0,所以当x≥2时,恒有h(x)>0,即ln(x-1)<x-1命题成立.综上所述,结论成立.即f(x)≤x-1.在高考中,等价转化思想无处不见,特别是对于综合性较强的问题,我们要具体问题具体分析,不断培养和训练自觉的转化意识,将有利于强化解决数学问题中的应变能力,提高思维能力和技能、技巧.(收稿日期:2008210230)4)概率统计试题在试卷中的题型逐年发生变化,这几年发展逐步稳定,到2008年已成为高考卷中的主流应用题.3.1　考查五大概率基本模型随机事件的概率问题,以古典概型为基础,以互斥事件的和与相互独立事件的积为主力,以独立重复试验作策应,活跃在文科及理科试卷之中.它既是一类独立的概率问题,又是概率与统计问题的认知与求解的基础.其中,对于比较复杂的概率问题,化整为零———集零为整,无可争议地成为解题的第一战略战术.例1　(山东理)在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…,18的18名火炬手,若从中任选3人,则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为( ).(A)151　(B)168　(C)1306　(D)1408分析　解答此题的关键在于正确理解公差的定义以及列举法的正确运用.解析　显然总数为C318=816,满足要求的共有12种:1,4,7;2,5,8;3,6,9;4,7,10; 5,8,11;6,9,12;7,10,13;8,11,14;9,12,15; 10,13,16;11,14,17;12,15,18.故所求的概率为12816=168.所以答案选B.小结　本题考查了排列组合、数列公差的具体用法与概率,解决本题的关键是通过列举法找出满足要求的方法数.这是一道属于等可能事件的概率题,在求解的过程中,先求出不加条件限制的所有可能性m,然后再根据条件,求出满足题目要求的可能种数n,最后要求的概率就是nm.例2　(湖南)甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约,设每人面试合格的概率都是12,且面试是否合格互不影响.求:(Ⅰ)至少有1人面试合格的概率;(Ⅱ)没有人签约的概率.分析　概率应用题应首先弄清关键词语,碰到“至少”、“至多”之类的的词语可考虑用对立事件来处理.解析　用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格,由题意知A,B,C相互独立,且P(A)=P(B)=P(C)=12.(Ⅰ)至少有1人面试合格的概率是1-P(A B C)=1-P(A)P(B)P(C)=1-123=78.(Ⅱ)没有人签约的概率为P(A B C)+P(A B C)+P(A B C)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)　+P(A)P(B)P(C)=123+123+123=38.小结　本题主要考查概率知识,要记住相互独立事件同时发生时概率的求法,会应用对立事件间的概率关系.例3　(湖北)明天上午李明要参加奥运志愿者活动,为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己,假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是.分析　对于较复杂的概率问题,应分清事件的构成以及概率的转化,熟悉“至少有一个发生”、“至多有—个发生”、“恰有一个发生”等语句的真实含义,如果从正面直接求解上面的高考题,计算比较繁琐.若注意运用集合的观点(补集的思想),利用事物的内在联系,促成复杂事件的概率问题向简单事件的概率问题的转化,这样解答题目就容易得到答案.解析　1-(1-0.80)(1-0.90)=0.98.小结　本题是考查学生分类讨论的能力和对基本概率题型的熟练掌握程度.例4　(天津卷)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为1 2与p,且乙投球2次均未命中的概率为116.(Ⅰ)求乙投球的命中率p;(Ⅱ)求甲投球2次,至少命中1次的概率;(Ⅲ)若甲、乙两人各投球2次,求两人共命中2次的概率.分析　本题的亮点是知道事件最后的概率而求一次发生的概率,是逆向思维,本题并不复杂,从正面和反面突破都可以.(Ⅰ)解法1　设“甲投球一次命中”为事件A,“乙投球一次命中”为事件B.由题意得(1-P(B))2=(1-p)2=1 16,解得　p=34或54(舍去).所以乙投球的命中率为34.解法2　设“甲投球一次命中”为事件A,“乙投球一次命中”为事件B.由题意得P(B)P(B)=1 16,于是P(B)=14或P(B)=-14(舍去),故　p=1-P(B)=34.所以乙投球的命中率为34.(Ⅱ)解法1　由题设和(Ⅰ)知P(A)=12,P(A)=12.故甲投球2次至少命中1次的概率为1-P(A・A)=3 4 .解法2　由题设和(Ⅰ)知P(A)=12,P(A)=12.故甲投球2次至少命中1次的概率为C12P(A)P(A)+P(A)P(A)=3 4 .(Ⅲ)由题设和(Ⅰ)知,P(A)=12,P(A)=12,P(B)=34,P(B)=14.甲、乙两人各投球2次,共命中2次有3种情况:甲、乙两人各中一次;甲中两次,乙两次均不中;甲两次均不中,乙中2次.概率分别为C12P(A)P(A)・C12P(B)P(B)=316, P(A・A)P(B・B)=164,P(A・A)P(B・B)=964.所以甲、乙两人各投两次,共命中2次的概率为316+164+964=1132.小结　本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.例5　(安徽)在某次普通话测试中,为测试汉字发音水平,设置了10张卡片,每张卡片印有一个汉字的拼音,其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”.(Ⅰ)现对3位被测试者先后进行测试,第1位被测试者从这10张卡片中随机抽取1张,测试后放回,余下2位的测试,也按同样的方法进行.求这3位被测试者抽取的卡片上,拼音都带有后鼻音“g”的概率.(Ⅱ)若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张,求这3张卡片上,拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于2张的概率.分析　本题显然是按相互独立事件来处理,第Ⅱ问可按分类的思想,用互斥事件的理论来处理.解　(Ⅰ)每次测试中,被测试者从10张卡片中随机抽取1张卡片,拼音带有后鼻音“g”的概率为310,因为3位被测试者分别随机抽取1张卡片的事件是相互独立的,因而所求的概率为310×310×310=271000.(Ⅱ)设A i (i =1,2,3)表示所抽取的3张卡片中,恰有i 张卡片带有后鼻音“g ”的事件,且其相应的概率为P (A i ),则P (A 2)=C 17C 23C 310=740,P (A 3)=C 33C 310=1120.因而所求概率为P (A 2+A 3)=P (A 2)+P (A 3)=740+1120=1160.小结　本题主要考查排列、组合知识与等可能事件互斥事件概率的计算,运用概率知识分析问题和解决实际问题的能力.3.2　考查概率与其它知识的综合问题随着课改的进一步实施,概率问题出现了综合化的新趋势,求解概率综合问题应特别注意将所求问题转化为纯概率问题求解.例6　(江苏)在平面直角坐标系x Oy 中,设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D 中随意投一点,则落入E 中的概率为.分析　概率与几何体的交汇问题,实际可归结为几何概型问题.要解此问题需把握:总体事件和有利事件如何表示?需通过什么来确定所求的概率?怎样求?图1解析　如图1,区域D 表示边长为4的正方形A B CD 的内部(含边界),区域E 表示单位圆及其内部,因此P =π×124×4=π16.答案π16.小结　本小题是概率与几何交汇的题,它考查几何概型,解决此题的关键是正确的图形,分清哪些是总样本,哪些是有利事件.3.3　考查随机变量分布列和数学期望、方差求解离散型随机变量分布列必须解决好两个问题,一是求出ξ的所有取值,二是求出ξ取每一个值时的概率.大致可分为3个步骤进行:①明确随机变量的所有可能取值,以及取每一个值时所表示的意义;②利用概率知识,求出随机变量每个取值的概率;③按规范形式写出分布列,并用分布列的性质验证.例7　(江西理)因冰雪灾害,某柑桔基地果林严重受损,为此有关专家提出两种拯救果树的方案,每种方案都需分2年实施.若实施方案1,预计第1年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3,0.3,0.4;第2年可以使柑桔产量为第1年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5,0.5.若实施方案2,预计第1年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2,0.3,0.5;第2年可以使柑桔产量为第1年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4,0.6.实施每种方案第1年与第2年相互独立,令ξi (i =1,2)表示方案i 实施2年后柑桔产量达到灾前产量的倍数.(Ⅰ)写出ξ1,ξ2的分布列;(Ⅱ)实施哪种方案,2年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大?(Ⅲ)不管哪种方案,如果实施2年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量,预计利润分别为10万元、15万元、20万元.问实施哪种方案的平均利润更大?分析　解答比较大小问题一般的都是先求出相关的表达式,然后再比较它们的大小,本题的两小问尽管均是与概率有关,但是方法依旧.解析　(Ⅰ)ξ1,ξ2的分布列如表1、表2所示.表1ξ10.80.911.1251.25P 10.20.150.350.150.15表2ξ20.80.9611.21.44P 20.30.20.180.240.08 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得P 1>1的概率P (P 1>1)=0.15+0.15=0.3,P2>1的概率P(P2>1)=0.24+0.08=0.32.可见,P(P2>1)>P(P1>1),所以实施方案2,2年后产量超过灾前概率更大.(Ⅲ)设实施方案1,2的平均利润分别为利润1、利润2,根据题意利润1=(0.2+0.15)×10+0.35×15　+(0.15+0.15)×20=14.75(万元),利润2=(0.3+0.2)×10+0.18×15　+(0.24+0.08)×20=14.1(万元).即利润1>利润2,所以实施方案1平均利润更大.小结　本题主要考查随机变量分布列与概率,考查随机变量期望及概率在实际生产或生活中的应用以及不等式的具体应用,关键是把实际问题转化为概率数学问题.例8　(安徽)为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳,各株沙柳成活与否是相互独立的,成活率为p,设ξ为成活沙柳的株数,数学期望Eξ=3,标准差σξ为62.(Ⅰ)求n,p的值并写出ξ的分布列;(Ⅱ)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率.分析　做好本题的关键在于记住公式Eξ=n p,Dξ=(σξ)2=n p(1-p),当然也可以按数学期望和方差的定义进行推导,不过比较麻繁.解　(Ⅰ)由Eξ=n p=3,(σξ)2=n p(1-p)=32,得1-p=12,从而n=6,p=12,ξ的分布列如表3所示.表3ξ0123456P 164664156420641564664164 (Ⅱ)记“需要补种沙柳”为事件A,则P(A)=P(ξ≤3),得P(A)=1+6+15+2064=2132,或　P(A)=1-P(ξ>3)=1-15+6+164=2132.小结　本题主要考查二项分布的分布列、数学期望以及标准差的概念和计算,考查分析问题及解决实际问题的能力.例9　(宁夏)A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2,根据市场分析,X1和X2的分布列如表4、表5所示.表4X15%10%P0.80.2表5X22%8%12%P0.20.50.3 (Ⅰ)在A,B两个项目上各投资100万元,Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D Y1,D Y2;(Ⅱ)将x(0≤x≤100)万元投资A项目,100-x万元投资B项目,f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f(x)的最小值,并指出x为何值时,f(x)取到最小值.(注:D(a X+b)=a2D X)分析　解答本题第Ⅰ小题的关键在于熟练运用方差的定义,解答第Ⅱ小题的关键在于运用有关方差的公式D(a X+b)=a2D X 以及二次函数求最值的重要方法———配方法.解析　(Ⅰ)由题设可知Y1和Y2的分布列分别见表6、表7.表6Y1510P0.80.2表7Y22812P0.20.50.3 E Y1=5×0.8+10×0.2=6,D Y 1=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4,E Y 2=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,D Y 2=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5　+(12-8)2×0.3=12.(Ⅱ)f (x )=D x 100Y 1+D 100-x100Y 2=x 1002D Y 1+100-x 1002D Y 2=41002[x 2+3(100-x )2]=41002(4x 2-600x +3×1002),当x =6002×4=75时,f (x )=3为最小值.小结　本题考查分布列、期望、方差的有关概念、二次函数求最值以及利用所学知识解决实际问题的能力.3.4　考查抽样方法、总体分布本部分主要考查应用概率统计知识解决实际问题的能力,其难度大致与教材持平,已经形成新热点,学习时应引起重视.例10　(安徽)设2个正态分布N (μ1,σ21)(σ1>0)和N (μ2,σ22)(σ2>0)的密度函数图2图像如图2所示.则有( ).(A )μ1<μ2,σ1<σ2(B )μ1<μ2,σ1>σ2(C )μ1>μ2,σ1<σ2(D )μ1>μ2,σ1>σ2分析　解决此题的关键在于记住正态分布的图形形状,明确各参数的几何意义. 解析　根据正态分布N (μ,σ2)函数的性质:正态分布曲线是一条关于x =μ对称,在x =μ处取得最大值的连续钟形曲线;σ越大,曲线的最高点越低且弯曲较平缓;反过来,σ越小,曲线的最高点越高且弯曲较陡峭,选A .小结　本题主要考查正态分布知识,关键是要搞清字母的代表意义.例11　(湖北)一个公司共有1000名员工,下设一些部门,要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本,已知某部门有200名员工,那么从该部门抽取的员工人数是.分析　求解本题的关键在于掌握分层抽样的定义,对分层抽样,简单地说就是比例相等,即每一层抽取的个体数与该层总体数的比值相等,所以解决这一类问题时,只要列出一个比例式即可解决.解析　设从该部门抽取的员工人数是y ,则1000÷50=200÷y ,则y =10,故从该部门抽取的员工人数是10.小结　本题是考查分层抽样的有关知识.在学习中要掌握3种抽样方法的定义及各自特点,才能做到以不变应万变.由上面可以看出:各地高考题多数把概率与统计作为应用大题出现,符合高考命题支持课程改革的原则,而且试题取材根植于课本,学习时应扎扎实实抓好基本模型的运用,学会将实际问题转化为概率模型或统计模型求解,发挥工具的作用.(收稿日期:2008210228)。

08届高考数学概率与统计训练题

08届高考数学概率与统计训练题班级姓名学号成绩一、选择题:1．下列说法错误的是A ．在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体B ．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C ．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D ．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大2．某个班级内有40名学生，抽10名同学去参加某项活动，每个同学被抽到的概率是41，其中解释正确的是A ．4个人中必有一个被抽到 B. 每个人被抽到的可能性是41 C ．由于抽到与不被抽到有两种情况，不被抽到的概率为41D ．以上说话都不正确 3．从甲、乙两班分别任意抽出10名学生进行英语口语测验，其测验成绩的方差分别为S 12= 13.2，S 22=26．26，则A ．甲班10名学生的成绩比乙班10名学生的成绩整齐B ．乙班10名学生的成绩比甲班10名学生的成绩整齐C ．甲、乙两班10名学生的成绩一样整齐D ．不能比较甲、乙两班10名学生成绩的整齐程度4．从{a,b,c,d,e}的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{a,b,c}的子集的概率是 A ．53 B. 52 C. 41 D. 81 5．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输人为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是 A ．3.5 B ．-3 C ．3 D ．-0.56．在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点D ，则AD 的长小于AC 的长的概率为A ．21 B. 221 C. 22 D. 27．某题的得分情况如下：其中众数是A ．37.0％B ．20.2％C ．4分D ．0分8．根据多年气象统计资料，某地6月1日下雨的概率为0.45，阴天的概率为0.20，则该日晴天的概率为 A ．0.65 B ．0.55 C ．0.35 D ．0.75 二、填空题：9.一个公司共有240名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为20的样本．已知某部门有60名员工，那么从这一部门抽取的员工人数是。

2008年高考数学概率汇编答案

参考答案1．(1)由233,()(1),E np np p ξσξ===-=得11p -=,从而16,n p ==ξ的分布列为(2)记”需要补种沙柳”为事件A, 则()(3),P A P ξ=≤得16152021(),6432P A +++==或156121()1(3)16432P A P ξ++=->=-=2．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则4~(10)B p ξ，．（Ⅰ）记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A 发生当且仅当0ξ=，()1()P A P A =-1(0)P ξ=-=4101(1)p =--，又410()10.999P A =-，故0.001p =．（Ⅱ）该险种总收入为10000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出 1000050000ξ+，盈利 10000(1000050000)a ηξ=-+，盈利的期望为 100001000050E a E ηξ=--，由43~(1010)B ξ-，知，31000010E ξ-=⨯，4441010510E a E ηξ=--⨯4443410101010510a -=-⨯⨯-⨯．0E η≥4441010105100a ⇔-⨯-⨯≥1050a ⇔--≥15a ⇔≥（元）．故每位投保人应交纳的最低保费为15元．3．解：令,,k k k A B C 分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜.（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为12312333111()().224P A C B P B C A +=+=（Ⅱ）ξ的所有可能值为2，3，4，5，6，且121222111(2)()(),222P P A A P B B ξ==+=+=12312333111(3)()().224P P A C C P B C C ξ==+=+=1234123444111(4)()().228P P A C B B P B C A A ξ==+=+=123451234555111(5)()(),2216P P A C B A A P B C A B B ξ==+=+=123451234555111(6)()(),2216P P A C B A C P B C A B C ξ==+=+=故有分布列从而111114723456248161616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（局）.4．解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3324541()40A A P E C A==，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140．（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么4424541()10A P E C A==，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10P E P E =-=．（Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“2ξ=”是指有两人同时参加A 岗位服务，则235334541(2)4C A P C A ξ===．所以3(1)1(2)P P ξξ==-==，ξ的分布列是5．解:设“科目A 第一次考试合格”为事件A 1 ，“科目A 补考合格”为事件A 2；“科目B 第一次考试合格”为事件B 1 ，“科目B 补考合格”为事件B 2.(Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为A 1·B 1,注意到A 1与B 1相互独立，则1111211()()()323P A B P A P B =⨯=⨯=g . 答：该考生不需要补考就获得证书的概率为13.(Ⅱ)由已知得，ξ＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得1112(2)()()P P A B P A A ξ==+g g2111114.3233399=⨯+⨯=+=112112122(3)()()()P P A B B P A B B P A A B ξ==++g g g g g g 2112111211114,3223223326699=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=12221212(4)()()P P A A B B P A A B B ξ==+g g g g g g 12111211111,3322332218189=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= 故4418234.9993E ξ=⨯+⨯+⨯=答：该考生参加考试次数的数学期望为83.6．解：（1）ξ的所有可能取值有6，2，1，-2；126(6)0.63200P ξ===，50(2)0.25200P ξ===20(1)0.1P ξ===，4(2)0.02P ξ=-==，故ξ的分布列为：（2）60.6320.2510.1(2)0.02 4.34E ξ=⨯+⨯+⨯+-⨯= （3）设技术革新后的三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为()60.72(10.70.01)(2)0.01 4.76(00.29)E x x x x =⨯+⨯---+-⨯=-≤≤依题意，() 4.73E x ≥，即4.764x -≥，解得0.03x ≤所以三等品率最多为3%7．解：（Ⅰ）ξ的分布列为：∴1113101234 1.5.22010205E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= D 2222211131(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)(4 1.5) 2.75.22010205ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（Ⅱ）由D a D η=ξ2，得a 2×2.75＝11，即 2.a =±又,E aE b η=ξ+所以，当a =2时，由1＝2×1.5+b ,得b =－2;当a =－2时，由1＝－2×1.5+b ，得b =4. ∴2,2a b =⎧⎨=-⎩或2,4a b =-⎧⎨=⎩即为所求.8．解用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格。

08年--14年福建理科----概率与统计

08--14 福建理科高考概率与统计08年（5）某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是 A ．16625 B ．96625 C ．192625 D ．256625【标准答案】B 【试题解析】独立重复实验4(4,)5B ，22244196(2)55625P k C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（7）要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为A ．14B ． 24C ．28D ．48【试题解析】 6人中选4人的方案4615C =种，没有女生的方案只有一种，所以满足要求的方案总数有14种。

（13）若55432543210(2)x a x a x a x a x a x a -=+++++，则12345a a a a a ++++= 。

（用数字作答）。

31【试题解析】令1x =得5432101a a a a a a +++++=-；令0x =得032a =-。

所以 1234531a a a a a ++++=。

（20）（本小题满分12分）某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试。

已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。

现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为23，科目B 每次考试成绩合格的概率均为12.假设各次考试成绩合格与否均互不影响. （Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望E ξ. 解：设“科目A 第一次考试合格”为事件1A ，“科目A 补考合格”为事件2A ；“科目B 第一次考试合格”为事件1B ，“科目B 补考合格”为事件2B .(Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为11A B ,注意到1A 与1B 相互独立，则1111211()()()323P A B P A P B =⨯=⨯=. 答：该考生不需要补考就获得证书的概率为13. (Ⅱ)由已知得，2,3,4ξ=，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得1112(2)()()P P A B P A A ξ==+2111114.3233399=⨯+⨯=+= 112112122(3)()()()P P A B B P A B B P A A B ξ==++ 2112111211114,3223223326693=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++= 12221212(4)()()P P A A B B P A A B B ξ==+ 故 12111211111,3322332218189=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= 4418234.9993E ξ=⨯+⨯+⨯=答：该考生参加考试次数的数学期望为83. 09年8.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%。

2008年高考试题——数学理(山东卷)

2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理）第Ⅰ卷（共60分）参考公式：球的表面积公式：S ＝4πr 2，其中R 是球的半径. 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率：P n （k ）＝C kn p k (1-p )n-k （k ＝0，1，2，…，n ）.如果事件A 、B 互斥，那么P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）. 如果事件A 、B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）·P （B ）.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）满足M ⊆{}1234,,,a a a a 且{}{}12312,,,M a a a a a ⋂=的集合M 的个数是（A ）1 (B)2 (C)3 (D)4 解析：本题考查集合子集的概念及交集运算。

集合M 中必含有12,a a 则{}{}12124,,,M a a M a a a ==或（2）设z 的共轭复数是z ，或z +z =4,z ·z ＝8，则zz等于（A ）1 （B ）-i (C)±1 (D) ±i 解析：本题考查共轭复数的概念、复数的运算。

可设2z bi =+，由8z z ⋅=得248, 2.b b +==±()2222.88i z z i z ±===±（3）函数ln cos ()22y x x ππ=-<<的图象是解析：本题考查复合函数的图象。

l n c o s 22y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭是偶函数，可排除B,D;由cos x 的值域可以确定。

（4）设函数()1f x x x a =++-的图象关于直线x ＝1对称，则a 的值为(A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1 解析：本题考查分段函数的图象。

……2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-全国卷1

2008年高考试题——数学理(全国卷1)(有答案解析)

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）第Ⅰ卷参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k kn k n n P k C P P k n -=-=，，，一、选择题 1．函数y ）A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（）3．在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =（） A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c 4．设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（） A ．2B ．1C ．0D ．1-5．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（） A ．138B ．135C ．95D ．236．若函数(1)y f x =-的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =A ．B ．C ．D ．年级班别：姓名：考场；考号（） A ．21x e-B ．2xeC ．21x e+D ．22x e+7．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（） A ．2B ．12C ．12- D ．2-8．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位 9．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（） A ．(10)(1)-+∞，， B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，10．若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b+≥ 11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（）A ．13B．3C．3D ．2312．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（） A ．96 B ．84 C ．60 D ．48第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．13．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为．14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．16．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=．（Ⅰ）求tan cot A B 的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 18．（本小题满分12分）四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小．19．（本小题满分12分）已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．20．（本小题满分12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3C DE AB只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望． 21．（本小题满分12分）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 22．（本小题满分12分）设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数；（Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b +>． 2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）答案与解析：1.C. 由(1)x x x -≥≥0,0得0x x =≥1,或；2.A.根据汽车加速行驶212s at =，匀速行驶s vt =，减速行驶212s at =-结合函数图象可知. 3. A.2(),322AD AB AC AD AD AB AC -=-=+=c +b ,1233AD =c +b4. D 222()(21)2(1)0,1a i i a ai i a a i a +=+-=-+->=-5.C ．243511014,104,3,10454013595a a a a a d S a d +=+==-==+=-+=由得6. B.2(1)2(1)2ln 1,(1),()y x x y x e f x e f x e --=⇒=-==7. D.3212211,,11(1)2x x y y y x x x =+''==+=-=----,2,2a a -==- 8.A ． π55cos 2sin(2)sin 2()3612y x x x ππ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，只需将函数sin 2y x =的图像向左平移5π12个单位得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像.9.D ．由奇函数()f x 可知()()2()0f x f x f x x x--=<，而(1)0f =，则(1)(1)0f f -=-=，当0x >时，()0(1)f x f <=；当0x <时，()0(1)f x f >=-，又()f x 在(0)+∞，上为增函数，则奇函数()f x 在(,0)-∞上为增函数，01,10x x <<-<<或.10.D ．由题意知直线1x ya b+=与圆221x y +=22111a b +1,≥. 另解：设向量11(cos ,sin ),(,)a bααm =n =，由题意知cos sin 1a bαα+= 由⋅≤m n m n可得cos sin 1a b αα=+≤11.C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a，则1AB =，棱柱的高13AO a ===（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC所成角的正弦值为113AO AB =. 另解：设1,,AB AC AA 为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA 的两两间的夹角为060 长度均为a ，平面ABC 的法向量为111133OA AA AB AC =--,11AB AB AA =+ 2111126,,33OA AB a OA AB ⋅=== 则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为111123OA AB AO AB ⋅=. 12.B.分三类：种两种花有24A 种种法；种三种花有342A 种种法；种四种花有44A 种种法.共有234444284A A A ++=.另解：按A B C D ---顺序种花，可分A C 、同色与不同色有43(1322)84⨯⨯⨯+⨯= 13.答案：9．如图，作出可行域，作出直线0:20l x y -=，将0l 平移至过点A 处时，函数2z x y =-有最大值9.14. 答案：2.由抛物线21y ax =-的焦点坐标为1(0,1)4a -为坐标原点得，14a =，则2114y x =- 与坐标轴的交点为(0,1),(2,0),(2,0)--，则以这三点围成的三角形的面积为14122⨯⨯= 15.答案：38.设1AB BC ==，7cos 18B =-则222252cos 9AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=53AC =，582321,21,3328c a c e a =+====. 16.答案：16.设2AB =，作CO ABDE ⊥面， OH AB ⊥，则CH AB ⊥，CHO ∠为二面角C AB D --cos 1CH OH CH CHO ==⋅∠=，结合等边三角形ABC与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM CH ==11(),22AN AC AB EM AC AE =+=-,1()()22AN EM AB AC AC AE ⋅=+⋅-=2故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM⋅=另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----,1111(,(,2222M N ---,则3121321(,,),(,,),,32222222AN EM AN EM AN EM ==-⋅===, 故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM⋅=. 17.解析：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -= 可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+ 即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =；（Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>2tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --===+++≤34当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号成立，故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34.18．解：（1）取BC 中点F ，连接DF 交CE 于点O ，AB AC =，∴AF BC ⊥，又面ABC ⊥面BCDE ，∴AF ⊥面BCDE ，∴AF CE ⊥．tan tan CED FDC ∠=∠=， ∴90OED ODE ∠+∠=，90DOE ∴∠=，即CE DF ⊥，CE ∴⊥面ADF ，CE AD ∴⊥．（2）在面ACD 内过C 点作AD 的垂线，垂足为G ．CG AD ⊥，CE AD ⊥，AD ∴⊥面CEG ，EG AD ∴⊥，则CGE ∠即为所求二面角的平面角．233AC CD CG AD==，3DG =，3EG==，CE =222cos 2CG GE CE CGE CG GE +-∠==，πarccos CGE ∴∠=-⎝⎭，即二面角C ADE --的大小πarccos 10⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．19. 解：（1）32()1f x x ax x =+++求导：2()321f x x ax '=++当23a≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增当23a >，()0f x '=求得两根为3a x -±=即()f x 在⎛-∞⎝⎭递增，⎝⎭递减，3a ⎛⎫-++∞⎪ ⎪⎝⎭递增（2）233133a a ⎧---⎪⎪⎨-+⎪-⎪⎩，且23a >解得：74a ≥20．解：对于乙：0.20.4⨯+．（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，ξ的期望为20.430.440.2 2.8E ξ=⨯+⨯+⨯=． 21. 解：（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+ 由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+ 得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠== 由倍角公式∴22431ba ba =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =,则离心率e = （Ⅱ）过F 直线方程为()ay x cb=--,与双曲线方程22221x y a b -=联立将2a b =，c =代入，化简有22152104x x b b-+=124x =-= 将数值代入，有4=解得3b = 故所求得双曲线方程为：221369x y -=． 22. 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数；（Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b +>． 22.解析：（Ⅰ）证明：()ln f x x x x =-,()ln f x x '=-,当(01)x ∈，时，()ln 0f x x '=-> 故函数()f x 在区间(01)，是增函数；（Ⅱ）证明：（数学归纳法证明）（ⅰ）当1n =时，101a <<，11ln 0a a <211111()ln a f a a a a a ==->由函数()f x 在区间(01)，是增函数，且函数()f x 在1x =处连续，则()f x 在区间(01]，是增函数，21111()ln 1a f a a a a ==-<，即121a a <<成立；（ⅱ）假设当(*)x k k N =∈时，11k k a a +<<成立，即1101k k a a a +<<<≤ 那么当1n k =+时，由()f x 在区间(01]，是增函数，1101k k a a a +<<<≤得1()()(1)k k f a f a f +<<.而1()n n a f a +=，则121(),()k k k k a f a a f a +++==，121k k a a ++<<，也就是说当1n k =+时，11n n a a +<<也成立；根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n ，11n n a a +<<恒成立. （Ⅲ）证明：由()ln f x x x x =-．1()n n a f a +=可得kk k k a a b a b a ln 1--=-+11ln ki i i a b a a ==--∑ 1，若存在某i k ≤满足i a b ≤，则由⑵知：1k i a b a b +-<-≥02，若对任意i k ≤都有b a i >，则kk k k a a b a b a ln 1--=-+ 11ln ki i i a b a a ==--∑11ln ki i a b a b ==--∑11()ln ki i a b a b ==--∑b ka b a ln 11--> b ka b a ln 11--≥)(11b a b a --->0=，即1k a b +>成立.。

2008高考全国卷Ⅰ数学理科试题含答案(全word版)

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k k n kn n P k C P P k n -=-= ，，，一、选择题1．函数y =）A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（）3．在ABC △中，AB = c ，AC = b ．若点D 满足2BD DC = ，则AD =（）A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c 4．设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（） A ．2B ．1C ．0D ．1-5．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（） A ．138B ．135C ．95D ．236．若函数(1)y f x =-的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（） A ．21x e-B ．2xeC ．21x e+D ．22x e+7．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（） A ．2B ．12C ．12- D ．2-8．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位9．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（）A ．(10)(1)-+∞ ，， B ．(1)(01)-∞- ，， C ．(1)(1)-∞-+∞ ，，D ．(10)(01)- ，， 10．若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b+≥ 11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为A ．B ．C ．D ．ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（）A ．13BCD ．2312．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（） A ．96 B ．84 C ．60 D ．482008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 13．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为．14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．16．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为3，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=．（Ⅰ）求tan cot A B 的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小．19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围． 20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．CDE AB方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望． 21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数；（Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b +>．2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）参考答案1. C. 由()10,0,1,0;x x x x x -≥≥≥=得或2. A ．根据汽车加速行驶212s at =，匀速行驶s vt =，减速行驶212s at =-结合函数图像可知；3. A. 由()2AD AB AC AD -=-，322AD AB AC c b =+=+ ，1233AD c b =+ ；4. D. ()()()22221210,1a i i a ai i a a i a +=+-=-+->=-；5. C. 由243511014,104,3,104595a a a a a d S a d +=+=⇒=-==+=；6. B.由()()()()212121,1,y x x y x e f x e f x e --=⇒=-==；7.D.由()3212211,','|,2,21121x x y y y a a x x x =+==+=-=--==----； 8.A.55cos 2sin 2sin 2,3612y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭只需将函数sin 2y x =的图像向左平移5π12个单位得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像. 9.D ．由奇函数()f x 可知()()2()0f x f x f x x x--=<，而(1)0f =，则(1)(1)0f f -=-=，当0x >时，()0(1)f x f <=；当0x <时，()0(1)f x f >=-，又()f x 在(0)+∞，上为增函数，则奇函数()f x 在(,0)-∞上为增函数，01,10x x <<-<<或.10.D ．由题意知直线1x ya b+=与圆221x y +=22111a b+1,≥. 另解：设向量11(cos ,sin ),(,)a bααm =n =，由题意知cos sin 1a bαα+= 由⋅≤m n m n可得cos sin 1a b αα=+11.C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a，则1AB =，棱柱的高13AO===（即点1B到底面ABC的距离），故1AB与底面ABC所成角的正弦值为113AOAB=另解：设1,,AB AC AA为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA的两两间的夹角为060长度均为a，平面ABC的法向量为111133OA AA AB AC=--,11AB AB AA=+211112,33OA AB a OA AB⋅===则1AB与底面ABC所成角的正弦值为11113OA ABAO AB⋅=.12.B.分三类：种两种花有24A种种法；种三种花有342A种种法；种四种花有44A种种法.共有234444284A A A++=.另解：按A B C D---顺序种花，可分A C、同色与不同色有43(1322)84⨯⨯⨯+⨯=13.答案：9．如图，作出可行域，作出直线:20l x y-=，将l平移至过点A处时，函数2z x y=-有最大值9.14. 答案：2.由抛物线21y ax=-的焦点坐标为1(0,1)4a-为坐标原点得，14a=，则2114y x=-与坐标轴的交点为(0,1),(2,0),(2,0)--，则以这三点围成的三角形的面积为14122⨯⨯= 15.答案：38.设1AB BC==，7cos18B=-则222252cos9AC AB BC AB BC B=+-⋅⋅= 53AC=，582321,21,3328ca c ea=+====.16.答案：16.设2AB=，作CO ABDE⊥面，OH AB⊥，则CH AB⊥，CHO∠为二面角C AB D--cos1CH OH CH CHO=⋅∠=，结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM CH==11(),22AN AC AB EM AC AE =+=- ,11()()22AN EM AB AC AC AE ⋅=+⋅-= 12故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM ⋅=另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----,1111(,(,2222M N ---,则31131(,(,,22222AN EM AN EM ==-⋅= 故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM ANEM ⋅= .17.解析：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -= 可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+ 即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =；（Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>2tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --===+++≤34当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号成立，故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34.18．解：（1）取BC 中点F ，连接DF 交CE 于点O ，AB AC =，∴AF BC ⊥，又面ABC ⊥面BCDE ，∴AF ⊥面BCDE ，∴AF CE ⊥． tan tan CED FDC ∠=∠=， ∴90OED ODE ∠+∠= ，90DOE ∴∠= ，即CE DF ⊥，CE ∴⊥面ADF ，CE AD ∴⊥．（2）在面ACD 内过C 点作AD 的垂线，垂足为G ．CG AD ⊥，CE AD ⊥，AD ∴⊥面CEG ，EG AD ∴⊥，则CGE ∠即为所求二面角的平面角．3AC CD CG AD ==，3DG =，3EG ==，CE =222cos 210CG GE CE CGE CG GE +-∠==- ，πarccos 10CGE ⎛∴∠=- ⎝⎭，即二面角C AD E --的大小πarccos 10⎛- ⎝⎭．19. 解：（1）32()1f x x ax x =+++求导：2()321f x x ax '=++ 当23a≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增当23a >，()0f x '=求得两根为3a x -=即()f x在⎛-∞ ⎝⎭递增，⎝⎭递减，⎫+∞⎪⎪⎝⎭递增（2）23133a -⎨-+⎪-⎪⎩，且23a>解得：74a ≥20．解：对于乙：0.20.4⨯+．（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，ξ的期望为20.430.440.2 2.8E ξ=⨯+⨯+⨯=． 21. 解：（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+ 由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+ 得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠==由倍角公式∴22431ba b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =,则离心率e = （Ⅱ）过F 直线方程为()a y x c b =--,与双曲线方程22221x y a b-=联立将2a b =，c =代入，化简有22152104x x b b-+=124x =-=将数值代入，有4=解得3b = 故所求的双曲线方程为221369x y -=。

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2008年高考数学试题分类汇编概率与统计一．选择题：1.（安徽卷10）．设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>，的密度函数图像如图所示。

则有（ A ） A ．1212,μμσσ<<B ．1212,μμσσ<>C ．1212,μμσσ><D ．1212,μμσσ>>2.（山东卷7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编能组成3为公差的等差数列的概率为B（A ）511 （B ）681（C ）3061 （D ）40813.（山东卷8)右图是根据《山东统计年整2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为（A ）304.6 （B ）303.6 (C)302.6 (D)301.64.（江西卷11）电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为C A ．1180 B ．1288 C ．1360 D ．14805.（湖南卷4）设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c = ( B )A.1B.2C.3D.46.（重庆卷5)已知随机变量ζ服从正态分布N (3,a 2),则P (3)ζ<＝D (A)15(B)14(C)13(D)127.（福建卷5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为45,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是BA.16625B.96625C.192625 D. 256625 8.（广东卷2）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S =（ D ）A ．16B ．24C ．36D ．489.（辽宁卷7）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ C ） A ．13B ．12C ．23D ．34二．填空题：1.（天津卷11）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________________人．102.（上海卷7）在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 34（结果用分数表示）3.（上海卷9）已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a ,b ,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 10.5和10.5;4.（江苏卷2）一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率．1125.（江苏卷6）在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率．16π6.（湖南卷15）对有n (n ≥4)个元素的总体{}1,2,,n 进行抽样，先将总体分成两个子总体{}1,2,,m 和{}1,2,,m m n ++ (m 是给定的正整数，且2≤m ≤n -2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则1n P = ; 所有ij P(1≤i ＜j ≤)n 的和等于 . 4()m n m - ,6三．解答题：1.（全国一20）．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．解：（Ⅰ）对于甲：次数 1 2 3 4 5 概率0.20.20.20.20.2对于乙：次数 2 3 4 概率0.40.40.20.20.40.20.80.210.210.64⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，ξ的期望为20.430.440.2 2.8E ξ=⨯+⨯+⨯=． 2.（全国二18）．（本小题满分12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为41010.999-．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p ；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则4~(10)B p ξ，．（Ⅰ）记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A 发生当且仅当0ξ=，2分()1()P A P A =-1(0)P ξ=-=4101(1)p =--，又410()10.999P A =-，故0.001p =． ······························· 5分（Ⅱ）该险种总收入为10000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出 1000050000ξ+，盈利 10000(1000050000)a ηξ=-+，盈利的期望为 100001000050000E a E ηξ=--， ············· 9分由43~(1010)B ξ-，知，31000010E ξ-=⨯， 4441010510E a E ηξ=--⨯4443410101010510a -=-⨯⨯-⨯． 0E η≥4441010105100a ⇔-⨯-⨯≥1050a ⇔--≥ 15a ⇔≥（元）．故每位投保人应交纳的最低保费为15元． ·················· 12分 3.（北京卷17）．（本小题共13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列．解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3324541()40A A P E C A ==，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140．（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么4424541()10A P E C A ==，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10P E P E =-=．（Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“2ξ=”是指有两人同时参加A 岗位服务，则235334541(2)4C A P C A ξ===．所以3(1)1(2)4P P ξξ==-==，ξ的分布列是 ξ1 3P34 144.（四川卷18）．（本小题满分12分）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。

（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望。

【解】：记A 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，记B 表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，记C 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，记D 表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，（Ⅰ）C A B A B =⋅+⋅ ()()P C P A B A B =⋅+⋅()()P A B P A B =⋅+⋅ ()()()()P A P B P A P B =⋅+⋅0.50.40.50.6=⨯+⨯ 0.5=（Ⅱ）D A B =⋅()()P D P A B =⋅ ()()P A P B =⋅0.50.4=⨯ 0.2=()()10.8P D P D =-= （Ⅲ）()3,0.8B ξ，故ξ的分布列()300.20.008P ξ===()12310.80.20.096P C ξ==⨯⨯= ()22320.80.20.384P C ξ==⨯⨯=()330.80.512P ξ===所以30.8 2.4E ξ=⨯=5.（天津卷18）（本小题满分12分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p ，且乙投球2次均未命中的概率为161．（Ⅰ）求乙投球的命中率p ；（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．解：本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．（Ⅰ）解法一：设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B ．由题意得()()()1611122=-=-p B P 解得43=p 或45（舍去），所以乙投球的命中率为43．解法二：设设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B ．由题意得1()()16P B P B =，于是1()4P B =或1()4P B =-（舍去），故31()4p P B =-=．所以乙投球的命中率为34．（Ⅱ）解法一：由题设和（Ⅰ）知()()21,21==A P A P ．故甲投球2次至少命中1次的概率为()431=⋅-A A P解法二：由题设和（Ⅰ）知()()21,21==A P A P 故甲投球2次至少命中1次的概率为()()()()4312=+A P A P A P A P C （Ⅲ）由题设和（Ⅰ）知，()()()()41,43,21,21====B P B P A P A P甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次均不中；甲两次均不中，乙中2次。