八年级下册北师大版数学课件d
• 由y1< y2，得150x>160x-160 解得x>16
• ∵参加旅游的人数为10~25人
• ∴当x=16时，甲，乙两旅游社费用相同，当17≤x≤25时，甲家费用少。当
10≤x≤15时，乙家费用少
6、一元一次不等式组
• 练一练
• 解不等式组
• 3x-2<x+1 • x+5>4x+1
（1） （2）
分解因式与整式乘法是两种相反的恒等变形，也 是思维方向相反的两种思维方式，因此，分解因 式的思维过程实际也是整式乘法的逆向思维的过 程。
问：下列各题中，从左式到右式的变形，哪 些是分解因式?哪些不是分解因式?为什么?
• (1)ａ2＋2ａｂ＋ｂ2＝(ａ＋ｂ)2； • (2)ｘ2－3ｘ＋2＝(ｘ－1)(ｘ－2)；
•
(3) 3)9(m+n)² -(m-n)² =[3(m+n)]² -(m-n)²
•
=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]
•
=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)
•
=(4m+2n)(2m+4n)
当多项式的各项含
•
=4(2m+n)(m+2n)
有公因式时，通常
先提出这个公因式
运用公式法的练习
•
把下列各式分解因式
•
(1)25-16x (2)9a² -1/4 b² (3)9(m+n)² -(m-n)²
• 解：(1) 25-16x=5² -(4x)² =(5+4x)(5-4x)
•
(2) 9a² -1/4b² =(3a)² -(1/2 b)² =(3a+1/2 b)(3a-1/2 b)
(3)(ｘ＋2)(ｘ－1)＝ｘ2＋ｘ－2；
• (4)ｘ(ｘ＋2)＝ｘ2＋2ｘ；
(5)ｘ2－ｙ2＝(ｘ＋ｙ)(ｘ－ｙ)；
要变号
• 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而
将多项式化成两个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
3、运用公式法
• 乘法公式之平方差
•
• 反过来，就得到 •
(a+b)(a-b)=a² -b² a² -b² =(a+b)(a-b)
• 乘法公式之完全平方
•
多项式分解因式的概念
•把一个多项式化成几个整式的积的形式， 叫做把这个多项式分解因式，也叫做把这 个多项式因式分解.
分解因式与整式乘法的关系：
分解因式
结合：a2-b2
（a+b）（a-b）
整式乘法
分解因式与整式乘法的关系
•说明：从左到右是分解因式其特点是： 由和差形式（多项式）转化成整式的积的 形式；从右到左是整式乘法其特点是：由 整式积的形式转化成和差形式（多项式）.
(a+b)² =a² +2ab+b²
• 反过来，就得到
•
a² +2ab+b² =(a+b)²
(a-b)² =a² -2ab+b² a² -2ab+b² =(a-b)²
• 你知道吗？
• 由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那
么就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用 公式法。
• 你知道吗？
• 把一个多项式化成几个简单的整式的积的形式，这种变形叫做把这个
多项式分解因式。
2、提公因式法
• 练一练
• 将下列各式分解因式
• (1)3x+x³ (2)7x² -21 (3)8a³ b² -12ab³ c+ab (4)-24x³ +12x² -
28x
• 解:(1)3x+x³ =x·3+x·x² =x(3+x² )；(2)7x² -21x=7x·x-7x·3=7x(x-3)
较少？
• 解：设该单位参加旅游人数是 x 人，选择甲旅行社是，所需费用y1元，选择乙旅行社
是，所需的费用为y2元，则
•
y1=200*0.75，即y1=150x
•
y2=200*0.8(x-1)，即y2=160x-160
• 由y1= y2，得150x=160x-160 解得x=16
• 由y1> y2，得150x>160x-160 解得x<16
八年级下册北师大版数学课件d
5、一元一次不等式与一次函数
• 练一练
• 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10~25
人，甲，乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是没人200元。经过协商，
甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可以免去以为旅客
的旅游费用，其余游客八折优惠。该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用
• 结论：分解因式与整式乘法正好相反.
问题：你能利用分解因式与整式乘法正好相 反这一关系，举出几个分解因式的例子吗？
• 如： • 由(x+1)(x-1)=x2-1得x2-1=(x+1)(x-1) • 由(x+2)(x-1)=x2+x-2得x2+x-2=(x+2)(x-1)等.
分解因式是整式中的一种恒等变形
• 解不等式（1）得 x<3/2
• 解不等式（2）得 x<4/3
• ∴原不等式的解集是 x<4/3
• 你知道吗？
• 关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元
一次不等式组
• 1、分解因式 • 2、提公因式法 • 3、运用公式法
1、分解因式
• 练一练
• 算式填空 • (1)3x² -3x=(3x)(x-1) • (2)m² -16=（m+4)(m-4) • (3)ma+mb+mc=(m)(a+b+c) • (4)a³ -a=(a)(a+1)(a-1) • (5)y² -6y+9=(y-3)²
• (3)8a³ b² -12ab³ c+ab=ab·8a² b-ab·12b² c+ab·1
•
=ab(8a² b-12b² c+1)
(4)-24x³ +12x² -28x=-(24x³ -12x² +28x)
=-(4x·6x-4x·3x+4x·7)
=-4x(6x² -3x+7)
• 你知道吗？
当多项式的第一项的系数 是负数时，通常先提出 “-”号，使括号内第一项 的系数成为正数，在提出 “-”号时，多项式各项都
，然后再进一步分
解因式。
第二章 分解因式
1 分解因式
多项式分解因式的概念
请同学观察下面两个等式： a3＋b3=(a＋b)(a2-ab＋b2)， 3ｍ2-3ｎ2＝3(ｍ＋ｎ)(ｍ-ｎ).
• 可以看出，这两个等式的左边都是多项式，
右边都是整式乘积的形式，并且右边的每一 个因式都能整除左边的式项式.
•我们把上面这种从左式到右式的恒等变形叫做 多项式的分解因式.
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八年级数学下册(北师大版)3.2.2图形的平移与旋转(旋转作图)课件
后作这两部分关于GH的轴
对称图形，这样就可以得
到整个图形。
G
F
旋转图案设计欣赏
课后任务：
1、旋转作图的步骤 ： （1）明确题目要求：弄清旋转中心、方向和角度； （2）分析所作图形：找出构成图形的关键点； （3）旋转关键点：沿一定的方向和角度分别作出
各关键点的对应点； （4）作出新图形： 顺次连接作出的各点；
（5）写出结论： 说明所作出的图形．
2、“旋转”作图的条件 ： （1）图形原来的位置； （2）旋转中心； （3）旋转方向； （4）旋转角度．
1．将△AOB绕点O旋转180°得到△DOC，则下列作图正确的是( )
2．如图，在正方形网格中有△ABC，△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°后的 图案应该是( )
各关键点的对应点；
（4）作出新图形： 顺次连接作出的各点；
（5）写出结论： 说明所作出的图形．
目标检测1：
目标检测1：
3、如图，在方格纸上，△DEF是由△ABC绕定 点P顺时针旋转得到的，如果用(2，1)表示方格 纸上A点的位置，(1，2)表示B点的位置，那么 点P的位置为( A ) A．(5，2) B．(2，5) C．(2，1) D．(1，2)
第三章 图形的平移与旋转
3.2 图形的旋转(第二课时）
3.2.2 旋转作图
课前学习——知识回顾
1、“旋转”的定义： 在平面内，将一个图形绕着_一__个_定_点__沿_某_个_方__向_转动
_一_个__角_度__，这样的图形运动称为__旋_转__(变_换__) ___． 2、“旋转”的基本性质： （1）经过旋转，图形的___形_状__和_大_小_____不变； （2）经过旋转，图形上的每一点都绕_旋__转_中_心_沿相同 的方向转动了相同的__角__度__； （3）任意一对_对__应_点__与_旋_转__中_心__的连线所成的角都是 ___旋_转_角___，对应点到__旋_转__中_心___的距离相等．
北师大版八年级下册数学《平行四边形的性质》平行四边形研讨说课复习课件
又∵ AB=CD，
∴ AB-AE=CD-CF. ∴ BE=DF.
B C
通过这节课的学习，你有哪些收获？还有
什么疑惑？
定义：两组对边分别平行的四边形叫做
平 行 四 边 形
性质
平行四边形. 对边相等
边 对边平行 对角相等
角
邻角互补
中心对称图形
数学思想：“化归”
谢 谢 观 看！
3 平行四边形的性质
第2课时
平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两 个全等的三角形；
四边形问题
转化
三角形问题
A B
D C
小试牛刀： （1）在平行四边形ABCD 中，已知∠A= 130°， 则∠B=__5_0_°_ ，∠C=__1_3_0_°， ∠D= __5_0_°_； （2）平行四边形ABCD 中，∠A比∠B 大20°， 则∠C=_1_0_0_°_； （3）在平行四边形ABCD 中，AD= 30， CD= 25，则AB=_2_5___， BC=__3_0__ .
2．平行四边形ABCD的两条对角线相交于O，OA， OB，AB的长度分别为3cm、4cm、5cm， 求其它各边以及两条对角线的长度。
解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，AD=BC OA=OC，OB=OD
又∵OA=3cm， OB=4cm， AB=5cm ∴AC=6cm BD=8cm CD=5cm ∵△AOB中，32+42=52，即AO2+BO2=AB2 ∴∠AOB =90° ∴AC⊥BD ∴Rt△AOD中，OA2+OD2=AD2 ∴AD=5cm，BC=5cm,
2.记作： ABCD . 读作：平行四边形ABCD. 3.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的 对角线.如图线段BD. 4.平行四边形中，相对的边称为对边，
1.2直角三角形——直角三角形的边角性质+练习课件+2023-—2024学年北师大版数学八年级下册
【点拨】
∵1 宣＝12矩，1 欘＝112宣，1 矩＝90°，∠A＝1 矩，
∠B＝1
欘
，
∴∠A
＝ 90°，
∠
B
＝
1
1 2
1 ×2
×90°＝
67.5°，
∴∠C＝90°－∠B＝90°－67.5＝22.5°.
3 (母题：教材P34复习题T5)若三角形三个内角的比为 1 ∶2 ∶3，则这个三角形是__直__角____三角形．
(2)若AE是△ABC的角平分线，AE，CD相交于点F，求证： ∠CFE＝∠CEF. 【证明】∵AE是△ABC的角平分线，∴∠DAF＝∠CAE. ∵∠FDA＝90°，∠ACE＝90°， ∴∠DAF＋∠AFD＝90°，∠CAE＋∠CEA＝90°. ∴∠AFD＝∠CEA. ∵∠AFD＝∠CFE， ∴∠CFE＝∠CEA，即∠CFE＝∠CEF.
解：如图②，延长 MN 至点 C′，使 NC′＝NC，连接 AC′， 则 AC′的长即为蚂蚁爬行的最短路程． 在 Rt△AMC′中，AM＝3×2＝6(cm)， MC′＝20＋2＝22(cm)． 由勾股定理，得 AC′2＝AM2＋MC′2＝62＋222＝520， 则 AC′＝2 130 cm. 答：蚂蚁需要爬行的最短路程是 2 130 cm.
∵∠C＝90°，∴∠4＋∠5＝90°. ∴∠3＋∠5＝90°，即∠FBG＝90°. 又∵DF⊥EG，DE＝DG，∴FG＝EF. 在Rt△FBG中，BG2＋BF2＝FG2，∴AE2＋BF2＝EF2.
【点方法】
欲证AE2＋BF2＝EF2，应联想到勾股定理，把AE， BF和EF转. 化. 为同一个直角三角形的三边．
【点拨】
∵直角三角形的三边a，b，c满足c>a>b，∴该直角三 角形的斜边为c，∴c2＝a2＋b2，∴c2－a2－b2＝0，∴S1＝ c2－a2－b2＋b(a＋b－c)＝ab＋b2－bc. ∵S2＝b(a＋b－c)＝ ab＋b2－bc，∴S1＝S2，故选C.
八年级数学北师大版初二下册--第四单元 4.3《公式法--第三课时：分组分解法及分解因式的方法》课件
解：(1)原式＝a(a－b)＋c(a－b)＝(a－b)(a＋c)． (2)原式＝(x3－x)＋(6x2－6)＝x(x2－1)＋6(x2－1) ＝(x2－1)(x＋6)＝(x＋1)(x－1)(x＋6)．
知1－讲
例2 分解因式：－x2－2xy＋1－y2.
导引：按分组分解法，第一、二、四项提出负号后符 合完全平方式，再与“1”又组成平方差公式.
ìïïíïïî
4x－4 y＝96， x2－y2＝960，
但直接解方程组很烦琐，可利用平方差公式分解
因式：x2－y2＝(x＋y)(x－y)，再利用整体思想求
出x＋y的值，从而转化为二元一次方程组求解．
知2－讲
解：设大正方形的边长为x cm，小正方形的边长为y cm，
由题意得
ìïïíïïî
4x－4 y＝96，① x 2－y2＝960，②
知1－练
3 将多项式a2－9b2＋2a－6b分解因式为( D ) A．(a＋2)(3b＋2)(a－3b) B．(a－9b)(a＋9b) C．(a－9b)(a＋9b＋2) D．(a－3b)(a＋3b＋2)
知1－练
4 分解因式x2－2xy＋y2＋x－y的结果是( A ) A．(x－y)(x－y＋1) B．(x－y)(x－y－1) C．(x＋y)(x－y＋1) D．(x＋y)(x－y－1)
知1－练
5 分解因式： (1) ac＋ad＋bc＋bd＝__(_a_＋__b_)_(c_＋__d_)__； (2) x2－xy＋xz－yz＝___(_x_－__y_)(_x_＋__z_)_．
6 分解因式： a2－4ab＋4b2－1＝_(_a_－__2_b_＋__1_)_(a_－__2_b_－___1_) ．
2.分解技巧：分组分解是因式分解的一种复杂的方法， 让我们来须有预见性. 能预见到下一步能继续分解. 而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特 点，恰当的分组是分组分解法的关键 .
知1－讲
例2 分解因式：－x2－2xy＋1－y2.
导引：按分组分解法，第一、二、四项提出负号后符 合完全平方式，再与“1”又组成平方差公式.
ìïïíïïî
4x－4 y＝96， x2－y2＝960，
但直接解方程组很烦琐，可利用平方差公式分解
因式：x2－y2＝(x＋y)(x－y)，再利用整体思想求
出x＋y的值，从而转化为二元一次方程组求解．
知2－讲
解：设大正方形的边长为x cm，小正方形的边长为y cm，
由题意得
ìïïíïïî
4x－4 y＝96，① x 2－y2＝960，②
知1－练
3 将多项式a2－9b2＋2a－6b分解因式为( D ) A．(a＋2)(3b＋2)(a－3b) B．(a－9b)(a＋9b) C．(a－9b)(a＋9b＋2) D．(a－3b)(a＋3b＋2)
知1－练
4 分解因式x2－2xy＋y2＋x－y的结果是( A ) A．(x－y)(x－y＋1) B．(x－y)(x－y－1) C．(x＋y)(x－y＋1) D．(x＋y)(x－y－1)
知1－练
5 分解因式： (1) ac＋ad＋bc＋bd＝__(_a_＋__b_)_(c_＋__d_)__； (2) x2－xy＋xz－yz＝___(_x_－__y_)(_x_＋__z_)_．
6 分解因式： a2－4ab＋4b2－1＝_(_a_－__2_b_＋__1_)_(a_－__2_b_－___1_) ．
2.分解技巧：分组分解是因式分解的一种复杂的方法， 让我们来须有预见性. 能预见到下一步能继续分解. 而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特 点，恰当的分组是分组分解法的关键 .
线段的垂直平分线(第1课时)-2022-2023学年八年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
情况一：当点P在线段AB上时，
∵PA=PB，
∴点P为线段AB的中点，
A 显然此时点P在线段AB的垂直平分线上；
P
B
命题：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
已知：线段AB，点P是平面内一点，且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
情况二：当点P在线段AB外时，如图. ∵PA=PB， ∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C， ∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC.
你能证明这个定理吗 ？
M P
A
CB
N
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 已知: 如图, 直线MN⊥AB, 垂足是C，且AC=BC, P是MN上任意一点. 求证: PA=PB.
证明：∵MN⊥AB
∴∠PCA=∠PCB=90°
M P
∵AC=BC, PC=PC
∴△APC≌△BPC(SAS)
内容 作用
内容 判定
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点 的距离相等 见垂直平分线，得线段相等
到线段的两个端点距离相等的点在线段的 垂直平分线上
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
六、布置作业
完成课本P23习题1.7中第1、2、3、4题
学习数学就像一个圆，思考的越多，半径越大，思维接触的区域 就越辽阔。
解：（2）∵EF垂直平分AC，AD垂直平分BE， ∴AC＝2CF＝2×3＝6cm，CE＝AE＝AB，DB＝ DE， ∴C△ABC＝AC+CB+AB
＝AC+CD+DB+AB ＝AC+CD+（DE+CE） ＝AC+2CD ＝6+2×4＝14（cm），
八年级数学北师大版初二下册--第五单元5.4《分式方程：第二课时--解分式方程》课件
分式方程 去分母 整式方程
知1－讲
解分式方程的一般步骤：
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程. （转化思想）
2、解这个整式方程. 3、检验 . 4、写出原方程的根.
例1 解方程
1 = 3. x- 2 x
解：方程两边都乘x(x－2)，得x＝3(x－2).
解这个方程，得x＝3.
解得x＝2.
检验：当x＝2时，( x＋2)( x－2)＝0，
所以x＝2是原方程的增根，即原方程无解．
易错总结：
分式方程转化为整式方程后，由于去分母使未 知数的取值范围发生了变化，有可能产生增根， 因此在解分式方程时一定要验根，如果不验根， 有可能误将x＝2当成原分式方程的根．
2 易错小结
2．当k为何值时，关于x的方程
综上可知，当k＜3且k≠－12时，原分式方程的
解为负数．
易错总结：
在解分式方程时，要注意出现未知数的取值使 原分式方程中的分式的分母为零，即产生增根 的情况．因此本题中要使方程的解为负数，除 了k＜3外，还必须考虑原分式方程的分母不等 于0.
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！
2＋ x－1
a 1－x
＝4
的解为正数，且使关于y的不等式组
ìïïïíïïïî
y＋2－ y 32
2( y－a) £
> 0
1，
的解集为y<－2，则符合条件的所有整数a的和为
( A) A．10
B．12
C．14
D．16
知识点 3 分式方程的增根
议一议
在解方程
1x-
x= 2
12- x
2 时，小亮的解法如下:
方程两边都乘 x－2,得 1－x＝－1－2(x－2 ).
知1－讲
解分式方程的一般步骤：
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程. （转化思想）
2、解这个整式方程. 3、检验 . 4、写出原方程的根.
例1 解方程
1 = 3. x- 2 x
解：方程两边都乘x(x－2)，得x＝3(x－2).
解这个方程，得x＝3.
解得x＝2.
检验：当x＝2时，( x＋2)( x－2)＝0，
所以x＝2是原方程的增根，即原方程无解．
易错总结：
分式方程转化为整式方程后，由于去分母使未 知数的取值范围发生了变化，有可能产生增根， 因此在解分式方程时一定要验根，如果不验根， 有可能误将x＝2当成原分式方程的根．
2 易错小结
2．当k为何值时，关于x的方程
综上可知，当k＜3且k≠－12时，原分式方程的
解为负数．
易错总结：
在解分式方程时，要注意出现未知数的取值使 原分式方程中的分式的分母为零，即产生增根 的情况．因此本题中要使方程的解为负数，除 了k＜3外，还必须考虑原分式方程的分母不等 于0.
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！
2＋ x－1
a 1－x
＝4
的解为正数，且使关于y的不等式组
ìïïïíïïïî
y＋2－ y 32
2( y－a) £
> 0
1，
的解集为y<－2，则符合条件的所有整数a的和为
( A) A．10
B．12
C．14
D．16
知识点 3 分式方程的增根
议一议
在解方程
1x-
x= 2
12- x
2 时，小亮的解法如下:
方程两边都乘 x－2,得 1－x＝－1－2(x－2 ).
4-1 因式分解(课件)八年级数学下册(北师大版)
B．a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2
C．10x2－5x＝5x(2x－1)
D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
随堂练习
3.把x2－3xy2分解因式，结果正确的是( D )
A．(x＋3xy)(x－3xy)
பைடு நூலகம்
B．x(x－3xy)
C．x2(1－3xy2)
D．x(x－3y2)
4. 20162－2016不能被下列哪个数整除？( B )
A．a2＋1＝a(a＋
1
)
a
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1
D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
探究新知
分解因式的要求：
1.分解的结果最后是积的形式；
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低
于多项式的次数；
3.必须分解到每个因式不能再分解为止
随堂练习
A．6
B．2017
C．2016
D．2015
随堂练习
5.若x2＋3x＋m＝(x＋1)(x＋2)，则m的值为( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
6. 一个多项式分解因式的结果是(b3＋2)(2－b3)，那么
这个多项式是( B )
A．b6－4
B．4－b6
C．b6＋4
D．－b6－4
随堂练习
7. (3a－y)(3a＋y)是下列哪一个多项式因式分解的结果( C )
(2)2a3b2c+4ab3c-abc
=abc·2a2b+abc·4b2-abc·1
=abc (2a2b+4b2-1)
随堂练习
9.将下列各式分解因式
C．10x2－5x＝5x(2x－1)
D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
随堂练习
3.把x2－3xy2分解因式，结果正确的是( D )
A．(x＋3xy)(x－3xy)
பைடு நூலகம்
B．x(x－3xy)
C．x2(1－3xy2)
D．x(x－3y2)
4. 20162－2016不能被下列哪个数整除？( B )
A．a2＋1＝a(a＋
1
)
a
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1
D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
探究新知
分解因式的要求：
1.分解的结果最后是积的形式；
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低
于多项式的次数；
3.必须分解到每个因式不能再分解为止
随堂练习
A．6
B．2017
C．2016
D．2015
随堂练习
5.若x2＋3x＋m＝(x＋1)(x＋2)，则m的值为( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
6. 一个多项式分解因式的结果是(b3＋2)(2－b3)，那么
这个多项式是( B )
A．b6－4
B．4－b6
C．b6＋4
D．－b6－4
随堂练习
7. (3a－y)(3a＋y)是下列哪一个多项式因式分解的结果( C )
(2)2a3b2c+4ab3c-abc
=abc·2a2b+abc·4b2-abc·1
=abc (2a2b+4b2-1)
随堂练习
9.将下列各式分解因式
直角三角形(第1课时)-2022-2023学年八年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
勾股定理的证明—总统证明法
美国第二十任总统伽菲尔德,在 1876年利用了梯形面积公式证明勾股定
理.
c
b a
s1
1 2
(a
b)(a
b)
1 2
(a2
2ab
b2 )
a
1 2
a2
1 2
b2
ab，
b
s2
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2
ab
1 2
c2
伽菲尔德的证法在数学史上 被传为佳话,后来，人们为了 纪念他对勾股定理直观.简捷 .易懂.明了的证明，就把这 一证法称为“总统”证法 ．
在△ABC中，因为 ∠A +∠B+∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是 △ABC是直角三角形.
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形
(二)直角三角形-边的性质 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.即a2+b2=c2. 勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理.
在Rt△BCD中，由勾股定理得
四、课堂练习
8. 如图，在△ABC中，已知AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线
AD=12c=CD，BC=10cm，∴ BD=5cm. ∴ 在△ABD中,
AD2+BD2=122+52＝144+25=169,
AB2=132=169 ∴AD2+BD2=AB2. ∴△ABD是直角三角形 在Rt△ADC中 ∴AC2=DC2+AD2=122+52＝144+25=169, ∴AC2=AB2 ∴AB=AC
四、课堂练习
3．△ABC的三边分别为a，b，c，则无法判断△ABC为直角三角形的
北师大版初中八年级下册数学课件 《提取公因式法》因式分解PPT(第1课时)
举一反三
2. 利用分解因式计算：（-2）²ºº¹+（-2）²ºº²× 1 2
解：（-2）²ºº¹+（-2）²ºº²×1 =（-2）²ºº¹×[1-(-2) ×] 2
1
=（-2）²ºº¹×0
2
=0
随堂检测
1.下列各式中,没有公因式的是( C )
A.ab-bc
B.y²-y
C.x²+2x+1 D.mn²-nm+m²
D
3. 把首项系数变为正数.
（1）-2x²y-2xy²=-（）
（2）-2x²+3x-1=-（） 2x²y+2xy²
2x²-3x+1
活动探究
探究点一 问题1：多项式ac+bc每项含有哪些因式？有相同的因式吗？3x²+x呢？ mb²+nb+b呢？ 解：多项式ac+bc的ac项含因式a、c、ac；bc项含因式b、c、bc.相同因式：c 多项式3x²+x含因式3、x、x²3x、3x²相同因式：x 多项式mb²+nb+b含因式m、b、b²mx²、n；相同因式：b
4.2提取公因式法 第1课时
八年级下册
学习目标 1 能确定多项式各项的单项式公因式; 2 会用提公因式法把多项式分解因式.
前置学习
1． 下列各式公因式是a的是（）D
A. ax＋ay＋5B．3ma－6ma²C．4a²＋10abD．a²－2a＋ma
2． －6xyz＋3xy²－9x²y的公因式是（）
A.－3xB．3xzC．3yzD．－3xy
活动探究
探究点二 问题1：把下列各式因式分解： （1）3x+x³；（2）7x³-21x²； （3）8a³b²-12ab³c+ab；（4）-24x³+12x²-28x. 解：（1）原式=3•x+x²•x=x(3+x²); （2）原式=7x²•x+7x²•3=7x² (x-3); （3）原式=ab•8a²b-ab•12b²c+ab=ab(8a²b-12b²c+1); （4）-（24x³-12x²+28x）=-（4x•6x²-4x•3x+4x•7) =-4x(6x²-3x+7).
北师大版八年级数学下册《一元一次不等式和一元一次不等式组——不等式的解集》教学PPT课件(4篇)
创设情境
为确保安全，引火线的长度应满足什么条件？
引火线长度
4cm
6cm
燃放者撤离到安全 区域外的时间
引火线燃烧完所用 时间
结论
大于 10÷4=2.5（s）
0.04÷0.02=2（s）
0.06÷0.02=3（s）
不安全
安全
学习目标
1.经历探索发现不等关系的过程，进一步体会模型思想. 2.探索并掌握不等式的基本性质，体会类比的思想方法. 3.会解一元一次不等式（组）并直观表示其解集，发展几何直观. 4.能够用一元一次不等式解决一些简单的实际问题. 5.体会不等式、函数、方程之间的联系.
A.X>2
B. X>4
C.X>-2
D. X>-4
学习目标 情境导入 例题讲解
巩固提升 归纳总结 当堂检测 课后作业
4.如图所示的不等式的解集是___x_＜__3_______.
5.在数轴上表示下列不等式的解集.
（1）X<-2.5;
（2） X>2.5;
（3） X≥3
-3 -2.5 -2 -1
0
0
1
2 2.5 3
A．
B．
C．
D．
4．关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集 x≤2 ．
学习目标 情境导入 例题讲解
巩固提升 归纳总结 当堂检测 课后作业
不等式
数学知识
思想方法
不等式的 解
不等式 的解集
用数轴表示不 等式的解集
类比思 想
数形结合 思想
学习目标 情境导入 例题讲解
巩固提升 归纳总结 当堂检测 课后作业
不等式的解集 解不等式