解题,数学教师成长的阶梯

解题——数学教师成长的阶梯有人说，解数学题，上数学课，写数学论文是数学教师的三项基本功．这话不假！笔者与数万道数学题“交过手”．由于长期从事解数学题的实践，积累了不少解题的资料，整理了数学题卡万余张，也产生过不少解数学题的所谓“火花”，这些“火花”的不断闪现又不禁使我产生想要表达解题体会的冲动，于是整理出关于数学解题的文章近300余篇在报刊发表．我深知自己解题能力一般，但与解题的感情却不一般．解题是我每天必进行的思维活动，解题活跃了我的思维，培养了我的能力，练就了我的本领，提高了我的素养，我在解题实践中找到了欢乐．现结合本人解题的成长历程谈点关于解题的管见．一、数学教师解题的重要意义1.数学教师解题是数学教学的需要．波利亚强调指出：“中学数学教学首要的任务就是加强解题训练．”“解题的价值不是答案本身，而是在于弄清‘怎样想到这个解法的，是什么促使你这样想、这样做的？’”他有一句名言：掌握数学就是意味着善于解题．数学教学的一个重要基础是教师必须熟悉教学内容，可以说教学过程就是指导学生运用所学知识、方法不断发现问题、分析问题、解决问题的过程．解题就是熟悉教学内容的必经之路，解题是具有强烈的实践性与探索性的思维活动．“就像游泳、滑雪与弹钢琴一样，只能通过模仿和实践来学到它……你想学会游泳，你就必须下水，你想成为解题的能手，你就必须去解题”（波利亚：《数学的发现》序言）．数学的基础知识要通过解题实践来消化，数学的思维素质要通过解题实践来优化，数学的解题方法要通过解题实践来强化．数学教师只有通过解题实践，才能熟悉所教内容，形成数学能力；才能灵活驾驭教材，有针对性地对学生进行解题指导；当学生遇到解题困惑时，才能把自己解题时的所思、所想、所困、所惑、所获等等通过解题实践所获得的东西生动、鲜活、艺术地表达出来，与所教学生分享．才能对教学对象给予适时的启发、恰到好处的点拨和简练精当的指导．否则，只能是生硬地将参考书上的解答或问题的正确答案展现给学生，少了许多过程性的指导和过程性的情趣，从而也就缺少了师生互动中情感、态度、价值观的一条重要的培养途径．2.数学教师解题是数学研究的需要数学解题研究是数学研究的重要内容，也是数学教学研究的重要组成部分．数学的解题研究是充满情趣、颇具魅力的思维活动，它让广大数学教师和数学教育工作者情不自禁参与其中，为之添砖，为之加瓦．教师广泛收集解题资料，充分参与解题实践，深入剖析解题过程，可以发现许多新问题，对这些新问题的深入研究又能产生许多新的成果，从而不断推进数学教育研究，使得数学研究更加五彩缤纷、充满朝气与活力．在此过程中，也不断推动教师自身素质的提高．教师解题，能发现一些解题规律、命题规律，得出一些有益的结论．笔者通过对近些年高考应用题的解题分析，总结出高考应用题在考查数学思维方面的一些规律，撰写了《浅议高考应用题中思维障碍的设置》发表于安徽《中学数学教学》2003年第6期．3.数学教师解题是专业成长的需要．著名数学家华罗庚说过，学数学不解题，如入宝山而空返．任何一种能力都是在不断实践中发展培养起来的，数学解题能力的培养也是如此．教师通过不断地解题，逐步积累解题经验，掌握数学解题的思维方法，培养解题的能力，从而提升数学教师自身的素质，实现数学教师的专业成长．1980年8月，早早就师范毕业的我背着行囊，揣着组织给我的分配通知书，来到湖南安化梅城镇上的一所初级中学，开始了我漫长的教书生涯，那年我才十六岁．由于“文革”的影响，那时的我专业基础并不扎实．面对一双双渴求知识的眼睛，我有些胆怯——我这师范毕业初出茅庐的小伙子能胜任初中数学教学吗？两个班的学生近120人，虽然良莠不齐，但也不乏有几个“数学尖子”，他们不知从哪弄来些难题，常常趁下课的十分钟时间，来“请教”我——试试老师有多少功力！后来我才知道，这是学生测试老师专业水平的狠招！天生喜欢解题的我，虽然有一定的知识和方法的积累，大部分问题的解题思路甚至答案能脱口而出，但也有面对问题目瞪口呆的时候．如果不能及时将问题解决，使学生心服口服，我的教学根基、我的教师形象、我的专业权威会大打折扣．那时的我，依靠父母给我创造的良好的生活条件，我除了工作，就是学习．为了提高自己的解题能力，我常常不分白天黑夜，夜以继日，默默无闻地干着一系列“傻”事：工整地抄下了教材所有定义、定理、公理，并自觉背诵过关；从教材开始，一个不漏，逐题求解，在作业本上完成了教材上所有题目的解答；完成了购买的几本习题集的所有题目的解答；在作业本上完成了几十套中考数学试题的解答．每当进行中考试题自我训练时，为了防止朋友来访影响解题训练，我总是安排学生将自己反锁在课室后面的办公室里（随着时代的发展，这类楼房结构早已成为历史），一段时间的训练后，竟产生出55分钟左右的时间能完整地解完一套中考题的“辉煌”成果（含抄题时间，注：那是1987年的事）．……凭着良好的解题技能和虚心好学的治学态度，我调入了县一中，担任高中数学教学工作．记得教第一届高中毕业班时，也常常被学生“问倒”，学生手头上的资料比老师还要多．不过，这样一种良好的教学氛围促进了师生共同成长．在解题的过程中，我不仅和学生建立了良好和谐的感情，而且寻找到了和学生共同思考、共同分析、共同研究的乐趣，当和我一起共破难题的学生考上清华、北大时，我好不惬意．多年来，我养成了自觉解题的习惯，每当高考结束，我总是尽快找来高考题，自我检测，并认真研究试题，也发表过好几篇关于高考试题巧解、分析、点评的文章．随着解题实践的不断深入，我已在高三教学岗位上奋斗了13个春秋，我的解题能力不断增强，专业水平不断提高，我手头上的数学书籍也越来越多，研究的问题也越来越广泛．每天晚上，我总是要解几道题“过把瘾”才入睡．解题是数学教师数学活动的基本形式，是数学教师数学活动的主要内容，是数学教师数学教学的必经之路，是数学教师的成才之道，是数学教师专业成长的催化剂．二、数学教师解题的主要方式1.平时随机解题数学教师一般在工作单位承担着比较繁重的教学和研究工作，一般难于有成块的时间进行解题训练，解题只能利用茶余饭后的零散时间．随机解题可以根据数学教师在学校担负的工作情况随时作出恰当的调整，是一种较为灵活的训练方式，是数学教师解题训练的主要方式，其训练时间安排相对灵活，操作起来相对简便．用这种方式解题，重在对解题过程的分析研究，对问题深入探究，将问题进行联系、变形、拓展、推广．2.自我限时训练随机解题培养能力，限时训练优化思维．限时训练是指教师能挤出半小时、一小时等“成块”时间来训练．这时可以挑一些具有一定难度的各地市模拟考试题，删去部分容易题，进行限时自我训练．这样可以促使教师养成良好的解题习惯，锻炼数学教师的解题思维，培养数学教师敏捷的思维能力．3.师生同场考试利用统考时机，教师同时参与学生的考试，师生同场唱“同一首歌”，这是一种强度较大的强化训练好形式，也是数学教师解题最为有效的训练途径．采用这种“以身试考，置身其中”的方式进行解题训练，需要教师解放思想，转变角色，需要有足够的勇气和胆识．训练时重在准确审题，熟练运用解题方法，快捷运算，感受、体验应考的氛围，收集应考信息，促进教师深入研究高考、课标、考纲、考试说明、学情和考情，以便考后指导更具针对性，提高复习效率．目前不少地方采用教师和学生同时参加某种模拟考试的方法对青年教师进行培养，不失为一条好途径．三、数学教师解题的主要途径1.立足教材，逐步深入教材上的例题、练习题、习题等，是教师直接面对不允回避的问题，是学生最为关心、最为迫切需要解决的问题．教师要通过解题训练，对这些题做到题题过关，一看便会，一算就对，驾轻就熟，如履平地．通过对教材上的题的解答和研究，特别是对教材上典型例题、习题的研究，将中学数学基础知识、基本思想和基本方法联成网络．切切不可好高骛远，夜郎自大．2.真题训练，真情感受高考、中考真题及模拟考试题，一般都有较好的试题结构，良好的能力立意，每套题中还镶嵌着几道精彩原创题，一般都凝聚了数学教育工作者的心血，是数学教育工作者的智慧的结晶．教师经常求解这样的问题，能不断积累和丰富新知识、新方法，能在解题实践中体现“与时俱进”，把握数学教学发展的“脉搏”，真情演练，真实感受，获得对试题的“真情实感”，为教学研究、解题研究积累有价值的素材．3.赛题训练，异样收获数学竞赛题常常以其试题的情景新颖和表述简练、解法的思路巧妙而吸引着无数数学爱好者，数学教师适当求解数学竞赛题，能开阔视野，广开思路，培养数学思维的敏捷性、深刻性、创造性等思维品质，领悟精彩纷呈的数学技巧，深化对数学思想方法的理解，体会到数学问题的魅力，使自己的解题能力上升到一个新高度．通过对数学竞赛题的解题训练，常可获得令人拍案叫绝的解题策略，常有意想不到的异样收获．例如：题1 （1963年莫斯科竞赛题）设a,b,c +∈R ，求证23≥+++++b a c a c b c b a ； 题2 （第二届友谊杯国际数学竞赛题） 设a,b,c +∈R ，求证2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++． 两题的优美解法已有数种，此略．我们先对题2左边略作变形：ba c a cbc b a +++++222 =)()()()(222c b a c ba cb ac b a c b a ++-++++++++ =)()()()(c b a ba cb ac a c c b a b c b c b a a ++-+++++++++++ =)1)((-+++++++ba c a cbc b a c b a ． 显然，若23≥+++++b a c a c b c b a ，则可得2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++； 反之，若2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++，则可得23≥+++++b a c a c b c b a ． 原来，两道赛题等价！另外，常常求解一些基本的高等数学题，掌握高等数学题的基本解题方法和策略，能居高临下，深化对中学数学解题研究，是中学数学教师解题训练不可或缺的．4.积累“好题”，分类整理教师在不断解题的实践中逐步积累知识、方法的同时，要注意采用恰当的方式随时积累数学“好题”，为以后数学教学、数学解题研究积累一定的素材．笔者近十多年来，以每年积累千题的速度，采取卡片形式，整理了万余道数学“好题”．并按问题内容分门别类整理，编码装入信封．既为课堂教学、课后辅导备料，也为解题研究、教学改革聚材．5.一题多解，活跃思维一题多解是对问题进行多角度、多方位的思考，寻求不同解题策略解决问题的方法．由于解题者对问题的分析和思考不是固定的、一成不变的，因而往往能获得对问题全面、深刻、丰富的认识，产生不同途径的解决问题的策略．久而久之，就能培养我们全面深刻、灵活善变的思维能力．（1）一题多解能启发思考，活跃思维一题多解在思维培养方面的功能是显然的．由于对同一个问题从不同角度加以分析，获得不同的解题路径，最后产生殊途同归的效果，每每完成一道题的多解，往往给人以愉悦的感觉．笔者发表的关于解题的文章中，涉及一题多解的文章有30多篇．如笔者在解2001年广州市高考模拟题“在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且角A 为80°，a 2=b(b+c)，求角C 的度数”时，经过分析研究，发现此题至少可以利用三角、复数、平面几何手段求解，于是撰写了《六法巧解一道高考模拟题》，发表于湖南《高中生》2002年第11期．又如在解“求经过A （4，－1）且与已知圆056222=+-++y x y x 切于点B （1，2）的圆的方程”这道题时，经过研究，得出了十一种不同的解法．于是撰写了《一道圆的方程问题的多种解法》发表于2005年5月19日海南《考试报》．（2）一题多解能解除疑惑，促进研究一般而言，一题多解都能得到同样形式的结果，但在解题实践中，本人的确遇到过“殊途”不能“同归”的例子．笔者在解“已知16log 8=a ，16b =5，试用a 、b 表示40log 32”时，通过思考，得到两种不同的解法．解法1： 40log 32=b a a +-=+-=⨯⨯=25log 8log 8log 16log )58(log 8832log 40log 32log 16161621616161616． 解法240log 32=ba ab a a +-=++=++=13168log 5log 8log 4log 8log 40log 32log 216161616161616． 乍一看，结果“不同”．“问题”出在哪里呢？原来，由已知条件16log 8=a ，可得a =43，此时b a a +-2ba a +-=13，即这两个结果是相同的． 笔者用不同方法求解“已知△ABC 中，A ∶B ∶C=2∶3∶4，AB ∶BC=3∶2，AC=5，求△ABC 的周长（1985年安徽省成人高考文科数学试题第五题）”时，遇到了相互矛盾的结果．利用条件A ∶B ∶C=2∶3∶4，求出各角，继而利用余弦定理求出AB 、BC ，得△ABC 的周长为7725+5．而用平面几何方法又求得△ABC 的周长为15．两种解法竟得出不同的结果，让我百思不得其解．也是笔者头一次遇到这类“奇”事！后经分析，原来条件A ∶B ∶C=2∶3∶4与AB ∶BC=3∶2不相容！题目中各已知条件内部相容，不能相互矛盾，这是命题的一个基本原则．6．独辟蹊径，避繁就简“分析典型例题的解题过程是学会解题的有效途径，至少在没有找到更好的途径之前，这是一个无以替代的好主意．”教师在分析典型例题的解题过程时，除了从规范、有序、简练、科学等角度分析外，还应多从批判的角度进行分析和研究．研究解题方法是否可以作些改进．比如不少高三复习资料有这样一题：铜片绕在盘上，空盘时盘蕊半径为40mm ，满盘时半径为80mm ，铜片厚度为0.1mm ，满盘时铜片总长度为 πmm ．(π为圆周率)本题源于学生身边的生活实际，情境熟悉，背景公平，题目朴素，短小灵巧，作为一道考查求等差数列前n 项和的应用题，堪称好题，其解题通法是：解：铜片厚度为0.1mm ，每绕一圈半径增加0.1mm ，满盘时共绕了(80－40)÷0.1=400(圈)． ∴铜片总长度L=40.05×2π+(40.05+0.1)×2π+……+[40.05+(400－1)×0.1]×2π=32040π+15960π=48000π(mm)．但若着眼于问题的整体，抓住其本质，略去其枝叶，则只需一元一次方程知识，就可化繁为简出其不意地得到一个令人拍案叫绝的简捷解法：解：设满盘时铜片总长度为x πmm ．则满盘时铜片所在圆环的面积为π(802－402)mm 2，由题意有x ×0.1=π(802－402)，解之得x=48000π(mm)．又如笔者在几本书中看到这样的问题：设△ABC 的三边长a 、b 、c(a 、b 、c 互不相等)成等比数列，而log c a 、log b c 、log a b 成等差数列，求证：公差d=23． 这些书提供的解法是：解：∵log c a=c a lg lg ，log b c=b c lg lg ，log a b=ab lg lg ． ∴logc alog b clog a b=1 ①又b 2=ac ，∴log b a+log b c=2， 2=ba log 1+logb c=bc b a a a log log log 1+，∴2log a b=1+log a blog b c ② 又 2log b c=log c a+log a b ③ 将①变形，得log b c=a b c a log log 1⋅代入②、③得 ⎩⎨⎧=+=--2)log (log log log 01log log log 2a b a b a a b c a c ac c a ⇒log a b=4337±，log c a=4335±-，log b c=4331±． 故d= log b c － log c a=……=23． 专业的敏感性和数学的直觉告诉我，问题的解法应该可以作些避繁就简的改进．经过分析思考，得出下面的解法．解：由题意： log c a=log b c －d ， ①log a b=log b c+d ， ②为方便计，设t= log b c ．∵b 2=ac ，∴由①得log cb c 2=t －d ⇒t 2+(1－d)t －2=0 ③ 由②得 b c b 2log =log b c+d ⇒t -21=t+d ⇒t 2+(d －2)t+1－2d=0 ④ ④－③得 (2d －3)t=2d －3．∵ t=log b c ≠1(a ，b ，c 互不相等)．∴ 2d －3=0，从而d=23． 类似地，还可有下面的解法．解：由题意：log c a=2log ac c －d ⇒log c a=1log 2+a c －d ① log 2a ac=2log ac c+d ⇒1log 2log 2121+=+a a c c +d ② 设t= log c a ，则由①得 t 2+(d+1)t+d －2=0 ③由②得 (2d －1)t 2+2(d+1)t －1=0 ④消去(d+1)t ，得 (2d －3)t 2=2d －3，∵ t=log c a ≠1(a ，b ，c 互不相等)∴ 2d －3=0，于是d=23． 7．隐去结论，开放问题解题之后，研究问题的结构，分析问题的条件、结论之间的内在联系，研究条件、结论可否作些变化，这些变化又是如何影响问题的．将数学题进行加工改造，编拟出新的问题，是数学解题训练的高级形式．这种训练能产生新的视角，往往有新的发现．笔者发表于1997年第4期《中学数学教学参考》的《隐去结论，让学生自己去探索》就是例证．又如，在解“在△ABC 中，若三边a ，b ，c 成等差数列，求证acos 22C +ccos 22A =32b ．”这道题时，经过研究，这道题在已知条件下，可以得出一系列结论，于是可以改编成开放式问题：“在△ABC 中，若三边a ，b ，c 成等差数列，可以得出哪些结论．”经过探索，可以推出下列结论：（1）sinA+sinC=2sinB ．（2）acos 22C +ccos 22A =32b ．（3）cosA+2cosB+cosC=2．（4）sin 22A +sin 22B +sin 22C =cos 22B ．（5）tan 2A ·tan 2C =31． （6）cot 2A +cot 2C =2cot 2B ，即cot 2A 、cot 2B 、cot 2C 也成等差数列． （7）cos(A －C)+4cosB=3．（8）5cosA －4cosAcosC+5cosC=4．继续分析下去，还可得到许多漂亮而深刻的结论．有趣的是，在△ABC 中，这些命题的逆命题都成立．且由条件、结论九者中任意一个成立，可推出其余八个都成立，可见这是一个内涵十分丰富且颇具趣味的三角问题．。