2018年四川省成都市高考数学三诊试卷(文科)(J)
2018年四川省成都市高考数学三诊试卷（文科）(J)副标题一、选择题（本大题共10小题，共10.0分）1.设全集1，2，，集合，则集合中元素的个数是A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】解：2，；．故选：A．可解出集合A，然后进行补集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的概念，以及补集的运算．2.命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】解：“，”的否定是“，”，故选：D．直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，基本知识的考查．3.定义符号函数则函数的图象大致是A.B.C.D.【答案】B【解析】解：用排除法，易知是偶函数，故排除A选项；当时，，故排除D选项；当时，，故排除C选项．故选：B．分析函数的奇偶性，及当时和当时，的符号，利用排除法可得答案．本题考查的知识点是函数的图象和性质，难度中档．4.已知实数，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：易知，，，．故选：A．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.当时，若，则的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由诱导公式得，所以；又，且，所以，所以．故选：C．根据三角函数诱导公式以及同角的三角函数关系，求解即可．本题考查了三角函数诱导公式以及同角的三角函数基本关系应用问题，是基础题．6.已知甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球现随机地从甲袋中出1个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出红球的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：先从甲袋中取出1个球放入乙袋，再从乙袋出1个球的总数为，取出红球的总数为，所以乙袋中取出红球的概率为．故选：B．先从甲袋中取出1个球放入乙袋，再从乙袋出1个球的总数为，取出红球的总数为，由此能求出乙袋中取出红球的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.某企业可生产A，B两种产品投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，场地100平方米若该企业现可使用资金1400万元，场地900平方米投资生产A，B两种产品，则两种产品的量之和的最大值是A. 467吨B. 450吨C. 575吨D. 600吨【答案】C【解析】解：设生产A，B产品的产量分别为x，单位：100吨，则两种产品的量之和．由题意得约束条件，得可行区域如图，其中，，．由可行区域可得目标函数经过时，z取最大值，故吨．故选：C．设生产A，B产品的产量分别为x，单位：100吨，则两种产品的量之和，再由已知得到x，y所满足的不等式组，作出可行域，数形结合得答案．本题考查简单的数学建模思想方法及数形结合的解题思想方法，属中档题．8.在正三棱柱底面是正三角形，侧棱垂直于底面的棱柱中，所有棱长之和为定值若正三棱柱的顶点都在球O的表面上，则当正三棱柱侧面积取得最大值24时，该球的表面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设正三棱柱底面边长为x，侧棱为y，则，三棱柱侧面积．，当且仅当，即时，等号成立，，，．正三棱柱的外接球的球心O到顶点A的距离为，该球的表面积为．故选：D．设正三棱柱底面边长为x，侧棱为y，则，三棱柱侧面积当且仅当时，正三棱柱侧面积取得最大值24，求出正三棱柱的外接球的球心O到顶点A的距离，由此能求出该球的表面积．本题考查三棱柱的外接球的表面积的求法，考查三棱柱、球等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．9.已知P为所在平面内一点，，，则的面积等于A. B. C. D.【答案】C【解析】解：分别取边BC，AC的中点D，E，则，，因为，所以，所以E，D，P三点共线，且．又，所以，所以，所以的面积．故选：C．分别取边BC，AC的中点D，推导出E，D，P三点共线，且从而，，由此能求出的面积．本题考查平面向量线性运算，考查三角形面积等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．10.在关于x的不等式其中为自然对数的底数的解集中，有且仅有两个正整数，则实数a的取值范围为【答案】D【解析】解：当时，由可得，显然当时，不等式在恒成立，不符合题意；当时，令，则在上单调递增，令，则，在上单调递增，，，且有2个正整数解，，即，解得．故选：D．化简不等式可得，根据两函数的单调性得出正整数解为1和2，列出不等式组解出即可．本题考查了函数零点与函数单调性的关系，属于中档题．二、填空题（本大题共3小题，共3.0分）11.已知2弧度的圆心角所对的弦长为1，那么这个圆心角所对的弧长是______．【答案】设半径为R，则，所以，弧长．故答案为：．根据题意画出图形，结合图形求出半径和弧长．本题考查了扇形的半径与弧长的计算问题，是基础题．12.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则角C的大小为______．【答案】【解析】解：，，，由正弦定理，得，又，．故答案为：．由已知利用正弦定理可求的值，进而可求B，利用三角形内角和定理可求C的值．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．13.如图，在正方体中，E是棱的中点，则异面直线AE与所成角的余弦值为______．【答案】【解析】解：以点D原点，DA，DC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设棱长为2，则0，，0，，2，，0，，，，，异面直线AE与所成角的余弦值为．故答案为：．以点D原点，DA，DC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设棱长为2，求出的坐标，求其夹角余弦值，可得异面直线AE与所成角的余弦值．本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，是基础的计算题．三、解答题（本大题共7小题，共7.0分）14.已知为等比数列的前n项和，，，成等差数列，且．求数列的通项公式；Ⅱ设，求数列的前n项和．【答案】解：Ⅰ设等比数列的公比为q，、、成等差数列，，即，又，，，解得，，Ⅱ由Ⅰ得，，设，，得，，．【解析】Ⅰ设等比数列的公比为q，由题意和等差中项的性质列出方程并化简，由等比数列的通项公式和条件列出方程组，求出q和的值，代入通项公式求出；Ⅱ由Ⅰ化简，利用错位相减法、等比数列的前n项和公式求出数列的前n 项和．本题考查了等比数列的通项公式、前n项和公式，等差中项的性质，以及错位相减法求数列的和，考查了方程思想，化简、变形能力．15.根据上表中的数据作出散点图，得知产品研发费的自然对数值精确到小数点后第二位和销售额y具有线性相关关系．求销售额y关于产品研发费x的回归方程的计算结果精确到小数点后第二位；Ⅱ根据的结果预则：若2018年的销售额要达到70万元，则产品研发费大约需要多少万元？参考数据：，，参考公式：对于一组数据斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．【答案】解：求产品研发费的自然对数值z和销售额y的回归直线方程，，，关于x的回归方程为；Ⅱ根据的回归方程，令，得，解得，年的销售额要达到70万元，则产品研发费大约需要万元．【解析】求产品研发费的自然对数值z和销售额y的回归直线方程，从而得到y关于x的回归方程；Ⅱ根据的回归方程，令求得x的值即可．本题考查了用线性回归方程系数公式求线性方程以及用样本估计总体解决简单实际问题，是中档题．16.如图，在等腰梯形ABCD中，已知，，，，点E为AB的中点；现将三角形BEC沿线段EC折起，形成直二面角，如图，连接PA，PD得四棱锥，如图．求证：；Ⅱ求四棱锥的体积．【答案】Ⅰ证明：连接BD交EC于Q，连接DE，，E为AB的中点，，，，则四边形AECD、BEDC为平行四边形，，又，，又，，则四边形EBCD为菱形，，即，且，在四棱锥中，，且，，平面PDQ，而平面PDQ，则；Ⅱ解：二面角是直二面角，又，平面PEC，平面AECD，．四边形【解析】Ⅰ连接BD交EC于Q，连接DE，由已知可得四边形AECD、BEDC为平行在四棱锥中，有，且，由线面垂直的判定可得平面PDQ，进一步得到；Ⅱ由二面角是直二面角，且，可得平面AECD，然后利用棱锥体积公式求得四棱锥的体积．本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．17.在平面直角坐标系xOy中，已知点，，动点M满足记动点M的轨迹方程为曲线C，直线l：与曲线C相交于不同的两点P，Q．求曲线C的方程；Ⅱ若曲线C上存在点N，使得，求的取值范围．【答案】解：点，，动点M满足．动点M的轨迹方程为以A，B为焦点的椭圆，设标准方程为：．，，，联立解得，，．曲线C的方程为：．Ⅱ设，联立，化为：，，解得．，，．，．，．又点N在椭圆C上，，化为：，，．，解得，且．的取值范围是：．【解析】由点，，动点M满足动点M的轨迹方程为以A，B为焦点的椭圆，设标准方程为：由，，，解出即可得出．Ⅱ设，联立，化为：，，解得由，可得，根据点N在椭圆C上即可得出．质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18.已知函数，若函数图象上任意一点P关于直线的对称点Q恰好在函数的图象上．证明：；Ⅱ若函数在上存在极值，求k的最大值．【答案】解：Ⅰ证明：由已知得，设，，令，可得．当时，，当时，，在递减，在递增，，即；；Ⅱ由已知可得，则．函数在上存在极值，函数在上有解．即方程在上有解，令，，，在递增，，．函数存在零点，，，，的最大值为4．【解析】Ⅰ由已知得，设，，可得在递减，在递增，即，；Ⅱ由已知可得，则．只需方程在上有解，令，利用导数即可得函数存在零点，即可得解．本题考查了导数在研究函数的极值的应用，考查了函数的单调性、零点问题，属于中档题．19.在极坐标系中，曲线C的极坐标方程是，直线l的极坐标方程是，点在直线l上以极点为坐标原点O，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy，且两坐标系取相同的单位长度．求曲线C及直线l的直角坐标方程；Ⅱ若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求的值．【答案】解：曲线C的极坐标方程是，转化为直角坐标方程为：，直线l的极坐标方程是，转化为直角坐标方程为：．Ⅱ点的直角坐标为且点Q在直线l上．设直线的参数方程为：为参数，把直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程为：，整理得：，和为A和B对应的参数，所以：，所以：．考点：1、极坐标和直角坐标的互化；2、参数的意义．【解析】Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．Ⅱ利用直线和曲线的位置关系，整理成一元二次方程，利用根和系数的关系求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．20.已知函数，．当时，解不等式；Ⅱ若不等式的解集为非空集合，求a的取值范围．【答案】解：原不等式即，当时，原不等式即，解得：，当时，原不等式即，解得：，当时，原不等式即，解得：，综上，原不等式的解集是；Ⅱ．当时，，显然不等式的解集为非空集合，当时，易知当时，取得最小值，即，欲使不等式的解集为非空集合，必需，故；当时，易知当时，取最小值，即，欲使不等式的解集为非空集合，必需，；综上，当时，不等式的解集是非空集合．【解析】Ⅰ通过讨论x的范围，求出各个区间的不等式的解集，取并集即可；Ⅱ通过讨论a的范围，求出的最小值，得到关于a的不等式，从而确定a的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
蓉城名校联盟2018级高三第三次联考文科数学试卷及答案
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为_______．
x 1，x 0
15．已知函数
f
(x)
x2
2x ，x
，若 0
f
( x1 )
f
(x2 ) ，且 x1
x2 ，则 |
x1
x2
| 的最大
值为_______．
高中 2018 级文科数学试题 第 2 页 （共 4 页）
16．已知等比数列{an} 的前 n 项和 Sn 满足 Sn 2n1 m ，数列{bn} 满足bn log2 an ，其中
图示规范填涂；非选择题必须使用 0.5
事 毫米的黑色墨迹签字笔作答。 3.必须在题目所指示的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效，在草稿纸、
项
试题卷上答题无效。
4.保持答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁使用涂改液和修正带。
【高三数学试题精选】2018成都市高三数学第三次诊断考试题(理含答案)
2018成都市高三数学第三次诊断考试题(理含答案)
c 成都市F的余弦值
18（本小题满分12分）
某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表
由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为
(1) 从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；
(2))从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为，求随机变量的分布列及其均值
19（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且
(1)求数列的通项式；
(2)设数列满足，求 ,求使成立的的最小值
20（本小题满分13分）
已知一动圆经过点，且在轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线c
（1）求曲线c的方程；
（2）过点任意作相互垂直的两条直线，分别交曲线c于不同的两点A,B和不同的两点D,E设线段AB,DE的中点分别为P,Q
①求证直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；
②求的最小值；
21（本小题满分14分）
已知函数，其中为自然对数的底数
(1)设函数试讨论函数的单调性；
(2)设函数，若对任意，且都有成立，求实数的取值范围。
四川省成都市第七中学2018届高三下学期三诊模拟考试数学文试题含
百度文库 - 让每个人平等地提升自我成都七中 2018 届高三三诊模拟试题 (文科)数学 第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则 为（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：通过解二次不等式求得集合 A，利用根式函数的定义域求得集合 B，然后再根据交集运算求 ．详解：由题意得，∴．故选 C．点睛：本题考查交集运算、二次不等式的解法和根式函数的定义域，主要考查学生的转化能力和计算求解能力．2. 已知复数 满足( 为虚数单位)，则 的虚部为（ ）A.B. -1 C. 1 D.【答案】C【解析】分析：根据复数的乘除法求出复数 z 的代数形式，然后根据代数形式再判断复数的虚部．详解：由得，∴，∴复数 z 的虚部为 1． 故选 C． 点睛：本题考查复数的计算和复数的基本概念，解题时注意在复数 是 ，而不是 ．中，虚部3. 把 内的均匀随机数 分别转化为 和 内的均匀随机数 ， ，需实施的变换分别-1-百度文库 - 让每个人平等地提升自我为A.B.C.D.【答案】C 【解析】分析：根据变换公式求解，即若 是 均匀随机数．上的均匀随机数，则详解：由随机数的变换公式可得，就是 上的.故选 C．点睛：本题考查由 上的均匀随机数变换到任意区间上的均匀随机数的的方法、考查学生的运算能力，解题的关键是正确运用变换公式求解．4. 已知命题,，命题，，则下列说法中正确的是（ ）A. 命题 是假命题 B. 命题 是真命题C. 命题真命题 D. 命题是假命题【答案】C【解析】试题分析：命题 为真命题.对命题 ，当 时，，故为假命题， 为真命题.所以 C 正确. 考点：逻辑与命题. 5. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三 视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（ ）-2-百度文库 - 让每个人平等地提升自我A. 4 B.C.D. 2【答案】B【解析】分析：仔细观察三视图，发挥空间想象力，可知该几何体是底面为斜边边长为 2 的等腰直角三角形、高为 2 的直三棱柱，进而可得结果.详解：由三视图知，该几何体是底面为斜边边长为 2 的等腰直角三角形、高为 2 的直三棱柱，所以该几何体的表面积为，故选 B.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中 档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其 “翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”， 还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三 视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.6. 已知 为内一点，且，，若 , , 三点共线，则 的值为（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】设 上 边中点，则，由题意，所以，因此 三点共线，则， ，故选 B．7. 在约束条件下，目标函数的最大值为（ ）A. 26 B. 24 【答案】AC. 22D. 20【解析】分析：画出约束条件对应的平面区域，将目标函数化为，平移直线可得出，目标函数 详解：在坐标处时取得最大值，从而可得结果.-3-百度文库 - 让每个人平等地提升自我........................... 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的 一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找 到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过 的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 8. 运行下列框图输出的结果为 43，则判断框应填入的条件是（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：根据程序框图依次运行程序，根据所得的结果为 43 确定判断框内需要的条件．详解：依次运行程序可得：①，满足条件，继续运行，；②，满足条件，继续运行，；-4-百度文库 - 让每个人平等地提升自我③，满足条件，继续运行，；④，满足条件，继续运行，；⑤，满足条件，继续运行，；⑥，不满足条件，输出 43．结合选项可得选项 A 满足题意．故选 A．点睛：解答不全程序框图中的条件的问题的策略：（1）先假设参数的判断条件满足或不满足；（2）运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；（3）根据此时各个变量的值，补全程序框图中欠缺的条件．9. 已知函数是奇函数，则的值为（ ）A. 0 B. -1 C. -2 D. -4 【答案】C 【解析】分析：利用分段函数解析式，先求的值，再利用函数的奇偶性，化简求解即可.详解：因为函数是奇函数，，，故选 C. 点睛：本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析 式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解 决这类题一定要层次清楚，思路清晰.10. 将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移 个单位长度得到的图象，则函数的单调递增区间为（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：根据函数的图象变换规律，求得的单调性列不等式可得 的单调递增区间.解析式，再利用正弦函数详解：将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），可得的图象，再将所得图象向右平移 个单位长度，得到函数的图象，-5-百度文库 - 让每个人平等地提升自我令，求得，可得函数的增区间为，故选 C.点睛：本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的图像变换，属于中档题.的函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将 的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.11. 已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于 ，抛物线的焦点与双曲线 的右焦点重合，则抛物线 上的动点 到直线和距离之和的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 【答案】BD. 4【解析】分析：由双曲线的右顶点到渐近线的距离求出 ，从而可确定双曲线的方程和焦点坐标，进而得到抛物线的方程和焦点，然后根据抛物线的定义将点 M 到直线 的距离转化为 到焦点的距离，最后结合图形根据“垂线段最短”求解．详解：由双曲线方程可得，双曲线的右顶点为 ，渐近线方程为，即．∵双曲线的右顶点到渐近线的距离等于 ，∴，解得 ，∴双曲线的方程为，∴双曲线的焦点为 ．又抛物线的焦点与双曲线 的右焦点重合，∴，-6-百度文库 - 让每个人平等地提升自我∴抛物线的方程为，焦点坐标为 ．如图，设点 M 到直线 的距离为 ，到直线 的距离为 ，则，∴．结合图形可得当三点共线时，最小，且最小值为点 F 到直线 的距离．故选 B． 点睛：与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，根据定义实现由点到点 的距离与点到直线的距离的转化，具体有以下两种情形： （1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”， 使问题得解； （2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中 的垂线段最短”解决．12. 定义函数,则函数在区间内的所有零点的和为（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：将函数 的零点问题转化为函数和函数 图象交点的问题处理，利用数形结合的方法求解，在同一坐标系中画出两函数的图象．结合图象得到两函数交点的横 坐标，最后转化为等比数列求和的问题解决．详解：由得，-7-百度文库 - 让每个人平等地提升自我故函数 的零点即为函数和函数 图象交点的横坐标．由可得，函数是以区间为一段，其图象为在水平方向上伸长为原来的2 倍，同时在竖方向上缩短为原来的 ．从而先作出函数在区间 上的图象，再依次作出在上的图象（如图）．然后再作出函数 的图象，结合图象可得两图象的交点在函数的极大值的位置，由此可得函数 在区间上的零点为，故所有零点之和为．故选 D． 点睛：（1）本题考查函数图象的应用及函数的零点，考查数形结合在解题中的应用及学生的 应用知识解决问题的能力． （2）应用函数的图象解题的策略 ①研究两函数图象的交点个数：在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解； ②确定方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程 f(x)＝0 的根就是函数 f(x)图象与 x 轴的交点的横坐标，方程 f(x)＝g(x)的根就是函数 f(x) 与 g(x)图象交点的横坐标．第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.__________．【答案】3-8-百度文库 - 让每个人平等地提升自我【解析】分析：直接根据对数的运算法则，可求得原式的值.详解：，故答案为 .点睛：本题主要考查对数的运算法则，意在考查计算能力，属于简单题，解答过程注意避免计算错误.14. 在平面直角坐标系中，三点,，，则三角形 的外接圆方程是__________．【答案】【解析】分析：可以设圆的方程为，由 三点在圆上，三点坐标代入所设方程，解方程组可得 的值，从而可得三角形 的外接圆方程.详解：设三角形 的外接球方程是，由点,，在圆上可得，，解得，故三角形的外接球方程为，故答案为.点睛：本题主要考查圆的方程和性质，属于中档题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标 ，根据题意列出关于 的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.15. 在锐角中，角 、 、 所对的边分别为 ，且 、 、 成等差数列，，则面积的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：由 、 、 成等差数列可得 ，然后根据正弦定理可得，，在此基础上求得的面积后再根据三角变换可得．再根据锐角三角形求得，于是可得面积的取值范围．详解：∵中 、 、 成等差数列，∴．-9-由正弦定理得∴，∴百度文库 - 让每个人平等地提升自我，∵为锐角三角形，∴，解得， ．∴，∴，∴，故面积的取值范围是．点睛：（1）解决三角形中的范围问题的常用方法：①利用余弦定理并结合基本不等式求解；②结合正弦定理将问题转化为形如的形式后根据三角函数的有关知识求解．（2）解答本题时容易出现的错误时忽视“锐角”这一条件，从而扩大了角 的范围．16. 四棱锥中，底面是边长为 2 的正方形，侧面 是以 为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥的体积取值范围为，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是__________．【答案】【解析】四棱锥中，可得：平面平面平面，过 作于 ，则 平面，设，故，所以，，在 中，，则有，,所以 的外接圆半径，将该四棱锥补成一个以 为一个底面的直三棱柱，得外接球的半径- 10 -百度文库 - 让每个人平等地提升自我，所以．故答案为：点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问 题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到 各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成 的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 某县共有 90 间农村淘宝服务站，随机抽取 5 间，统计元旦期间的网购金额(单位：万元) 的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数. （1）根据茎叶图计算样本均值； （2）若网购金额(单位：万元)不小于 18 的服务站定义为优秀服务站，其余为非优秀服务站. 根据茎叶图推断 90 间服务站中有几间优秀服务站？ （3）从随机抽取的 5 间服务站中再任取 2 间作网购商品的调查，求恰有 1 间是优秀服务站的 概率.【答案】（1）12;（2）36;（3） . 【解析】分析：（1）直接利用平均值公式求解即可；（2）根据样本中优秀服务站的频率估计 总体中优秀服务站的频率，从而可得结果；（3）利用列举法可得随机抽取的 5 间服务站中任 取 2 间的可能性共有 种，其中其中恰有 1 间是优秀服务站的情况有 种，由古典概型概率公 式可得结果. 详解：（1）样本均值（2）样本中优秀服务站为 2 间，频率为 ，由此估计 90 间服务站中有 站；间优秀服务- 11 -百度文库 - 让每个人平等地提升自我（3）由于样本中优秀服务站为 2 间，记为 ，非优秀服务站为 3 间，记为，从随机抽取的 5 间服务站中任取 2 间的可能性有共 10 种情况，其中恰有 1 间是优秀服务站的情况为6 种情况，故所求概率为 .点睛：本题主要考查样本的平均值以及古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概 型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法： 适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，….，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.18. 在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，，面面，..（1）求证：平面平面 ；（2）设 为线段 上一点，，试问在线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ，若存在，试指出点 的位置；若不存在，说明理由?（3）在（2）的条件下，求点 到平面 的距离.【答案】（1）见解析.（2）见解析.（3） .【解析】分析：（1）在梯形中，过点作 作于 ，可得，所以，由面面，可得出，利用线面垂直的判定定理得 平面 ,进而可得平面平面 ； （2）在线段 上取点 ，使得，连接 ，先证明与相似，于是得，由线面平行的判定定理可得结果；（3）点 到平面 的距离就是点到平面 的距离，设 到平面 的距离为 ，利用体积相等可得，，- 12 -百度文库 - 让每个人平等地提升自我解得 .详解：（1）因为面面，面面，.故四边形是正方形，所以.在中，，∴.，∴，∴∴.因为，平面 ，平面 .∴ 平面 ,平面 ，∴平面平面 .（2）在线段 上存在点 ，使得 平面在线段 上取点 ，使得，连接 .，所以 面，在 中，因为，所以与 相似，所以又 平面 ， 平面 ，所以 平面 . （3）点 到平面 的距离就是点 到平面 的距离，设 到平面的距离为 ，利用同角相等可得，，可得 .点睛：证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法 在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线 - 13 -百度文库 - 让每个人平等地提升自我面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即 两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.19. 设 、 分别是椭圆的左、右焦点.若 是该椭圆上的一个动点，的最大值为 1.（1）求椭圆 的方程；（2）设直线与椭圆交于不同的两点 、 ，且直线 的斜率 的取值范围.为锐角(其中 为坐标原点)，求【答案】（1）;（2） .详解：（1）易知 ，，所以，，设，，则因为，故当，即点 为椭圆长轴端点时，，解得有最大值 1，即故所求的椭圆方程为- 14 -百度文库 - 让每个人平等地提升自我（2）设，，由得，故，.又为锐角，∴又∴，∴，解得∴ 的取值范围是.点睛：求参数取值范围常用的方法和思路：①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不 等式，可列出相应的不等式组，再通过解不等式确定参数范围;②分离参数法：先将参数分离， 转化成求函数值域问题加以解决.20. 已知函数，其中 ；（Ⅰ）若函数 在 处取得极值，求实数 的值，（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，若关于 的不等式，当 时恒成立，求 的值. 【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ） .【解析】分析：（1）根据求得对 恒成立，构造函数，故得；（2）由题意结合分离参数可得，，利用导数可得,又，所以得到 ．- 15 -百度文库 - 让每个人平等地提升自我（3）由题意，令，构造函数，则由题意得可得方程在区间 上只少有两个解．然后分类讨论可得实数 的范围是．详解：（1）∵，∴，又函数 在 处取得极值，∴，解得 ．经验证知 ∴．满足条件，（2）当 时，，∴．由题意得对 恒成立，∴对 恒成立．令，，则∴在上单调递增，∴，∴,又，∴．（3）由题意得， ，令，设则方程在区间 上只少有两个解，- 16 -又，∴方程百度文库 - 让每个人平等地提升自我在区间上有解，由于，①当 时，，函数在 上是增函数，且，∴方程在区间上无解；②当时，，同①可得方程无解；③当时，函数 在 上递增，在 上递减，且 ，要使方程在区间上有解，则，即，∴；④当 时，函数 在 上递增，在 上递减，且 ，此时方程在 内必有解；⑤当 时，函数 在 上递增，在 上递减，且，∴方程在区间内无解．综上可得实数 的范围是.点睛：（1）由于是 为极值点的必要不充分条件，故根据函数的极值点求得参数的值后要进行验证，否则可能会得到错误的结论． （2）已知恒成立求参数的取值范围时，若参数容易分离，则可将参数分离后转化为求函数的 最值问题处理；若函数的最值不存在，则可利用函数值域的端点值求解． 21. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为( 为参数).在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系屮，曲线.（Ⅰ）写出曲线 ， 的普通方程；（Ⅱ）过曲线 的左焦点且倾斜角为 的直线 交曲线 于 两点，求 .- 17 -百度文库 - 让每个人平等地提升自我【答案】（Ⅰ）,.（Ⅱ） .【解析】分析：（1）将曲线 中的参数消去可得曲线 的普通方程，根据极坐标与直角坐标 间的变换公式消去 中的 可得 的直角坐标方程．（2）由条件求出直线 的参数方程为（ 为参数），将其代入曲线 的普通方程后根据参数 的几何意义求解．详解：（1）将参数方程 得即，( 为参数)中的参数 消去， ，∴曲线 的普通方程为．将，，代入，得，∴曲线 的直角坐标方程为.（2）由题意知曲线 左焦点为，直线 的倾斜角为 ，∴直线 的参数方程为（ 为参数），将直线 的参数方程代入，其中.设点 对应的参数分别为 ，则，.∴ - 18 -整理可得 .百度文库 - 让每个人平等地提升自我点睛：用直线参数方程中参数 t 的几何意义求长度时要注意直线参数方程的形式为 （ 为参数），其中方程中参数 的系数的平方和必须等于 1，在此条件下 才表示直线上一点到定点的距离．22. 选修 4-5：不等式选讲已知，使不等式成立.（1）求满足条件的实数 的集合 ；（2）若 ， ，对，不等式【答案】（1）见解析.（2）18. 【解析】试题分析：(1)分可得出;(2) 由(1)知,恒成立，求的最小值.三种情况去绝对值讨论,求出函数的最小值,即 ,根据基本不等式. 试题解析：(1)令,则,由于使不等式成立,有.(2)由(1)知,,根据基本不等式,从而,当且仅当时取等号,再根据基本不等式,当且仅当时取等号.所以 的最小值为 6.点睛：本题主要考查含绝对值不等式的解法、基本不等式的应用,考查了逻辑推理能力与分类讨论思想.- 19 -。
四川省成都2018年高考数学三诊试卷(文科)Word版含解析
四川省成都2018年高考数学三诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在一次抛硬币实验中，甲、乙两人各抛一枚硬币一次，设命题p是“甲抛的硬币正面向上”，q是“乙抛的硬币正面向上”，则命题“至少有一人抛的硬币是正面向下”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∧（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q2．已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（0，1）3．若，则a=（）A．﹣5﹣i B．﹣5+i C．5﹣i D．5+i4．设f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2﹣x，则=（）A．B．C．D．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．36+12πB．36+16πC．40+12πD．40+16π6．设D为△ABC中BC边上的中点，且O为AD边的中点，则（）A．B．C．D．7．执行如图的程序框图，则输出x的值是（）A．2016 B．1024 C．D．﹣18．函数f（x）=sinx•（4cos2x﹣1）的最小正周期是（）A．B． C．πD．2π9．等差数列{a n}中的a2、a4030是函数的两个极值点，则log2（a2016）=（）A．2 B．3 C．4 D．510．已知M（x0，y0）是函数C： +y2=1上的一点，F1，F2是C上的两个焦点，若•＜0，则x0的取值范围是（）A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，）D．（﹣，）11．已知函数f（x）=x2﹣2ax+1对任意x∈（0，2]恒有f（x）≥0成立，则实数a的取值范围是（）A． B． C．（﹣∞，1] D．12．设集合，C={（x，y）|2|x﹣3|+|y ﹣4|=λ}，若（A∪B）∩C≠ϕ，则实数λ的取值范围是（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共四小题，每小题5分13．已知向量||=l，||=，且•（2+）=1，则向量，的夹角的余弦值为．14．若m，n满足，则u=m﹣2n的取值范围是．15．直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，2），则b﹣a= ．16．已知函数，若函数h（x）=f（x）﹣mx﹣2有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，cosA﹣cos2A=0．（1）求角C；（2）若b2+c2=a﹣bc+2，求S△ABC．18．某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．（1）假设n=2，求第一大块地都种植品种甲的概率；（2）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如表：分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．如图，椭圆的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点．当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°．（Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．记△GFD的面积为S1，△OED（O为原点）的面积为S2，求的取值范围．21．已知函数（a∈R，且a≠0）．（1）讨论f（x）的单调区间；（2）若直线y=ax的图象恒在函数y=f（x）图象的上方，求a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．在极坐标系下，知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线．（1）求圆O与直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求圆O和直线l的公共点的极坐标．23．已知函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）≤5的解集；（2）若关于x的不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空，求实数m的取值范围．四川省成都2018年高考数学三诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在一次抛硬币实验中，甲、乙两人各抛一枚硬币一次，设命题p是“甲抛的硬币正面向上”，q是“乙抛的硬币正面向上”，则命题“至少有一人抛的硬币是正面向下”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∧（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q【考点】2E：复合命题的真假．【分析】利用“或”“且”“非”命题的意义即可得出．【解答】解：￢P，表示“甲抛的硬币正面向下”，￢q表示“乙抛的硬币正面向下”．则（￢p）∨（￢q）表示“至少有一人抛的硬币是正面向下”．故选：A．2．已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（0，1）【考点】1D：并集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B．【解答】解：集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2﹣1＜0}={x|﹣1＜x＜1}，A∪B={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2）．故选：B．3．若，则a=（）A．﹣5﹣i B．﹣5+i C．5﹣i D．5+i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵，∴1+ai=（2+i）（1+2i）=5i，∴a===5+i．故选：D．4．设f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2﹣x，则=（）A．B．C．D．【考点】3L：函数奇偶性的性质；31：函数的概念及其构成要素．【分析】根据题意，由函数的周期性以及奇偶性分析可得=﹣f（）=﹣f（），又由函数在解析式可得f（）的值，综合可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，则=﹣f（）=﹣f（），又由当0≤x≤1时，f（x）=x2﹣x，则f（）=（）2﹣（）=﹣，则=，故选：C．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．36+12πB．36+16πC．40+12πD．40+16π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】几何体为棱柱与半圆柱的组合体，作出直观图，代入数据计算．【解答】解：由三视图可知几何体为长方体与半圆柱的组合体，作出几何体的直观图如图所示：其中半圆柱的底面半径为2，高为4，长方体的棱长分别为4，2，2，∴几何体的表面积S=π×22×2++2×4+2×4×2+2×4+2×2×2=12π+40．故选C．6．设D为△ABC中BC边上的中点，且O为AD边的中点，则（）A．B．C．D．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据向量的平行四边形法则和三角形法则即可求出【解答】解：如图=﹣=﹣=×（+）﹣=﹣+，故选：A．7．执行如图的程序框图，则输出x的值是（）A．2016 B．1024 C．D．﹣1【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当y=1024时，不满足条件退出循环，输出x的值即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=2，y=0满足条件y＜1024，执行循环体，x=﹣1，y=1满足条件y＜1024，执行循环体，x=，y=2满足条件y＜1024，执行循环体，x=2，y=3满足条件y＜1024，执行循环体，x=﹣1，y=4…观察规律可知，x的取值周期为3，由于1024=341×3+1，可得：满足条件y＜1024，执行循环体，x=﹣1，y=1024不满足条件y＜1024，退出循环，输出x的值为﹣1．故选：D．8．函数f（x）=sinx•（4cos2x﹣1）的最小正周期是（）A．B． C．πD．2π【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期．【解答】解：函数f（x）=sinx•（4cos2x﹣1）化简可得：f（x）=4sinx•cos2x﹣sinx=4sinx（1﹣sin2x）﹣sinx=3sinx﹣4sin3x=sin3x．∴最小正周期T=．故选：B．9．等差数列{a n}中的a2、a4030是函数的两个极值点，则log2（a2016）=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】84：等差数列的通项公式；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求函数的导数，由题意可得a2、a4030是对应方程的实根，由韦达定理可得a2+a4030的值，然后由等差数列的性质可得a2016的值，代入化简即可．【解答】解：∵，∴f′（x）=x2﹣8x+6，∵等差数列{a n}中的a2、a4030是函数的两个极值点，∴a2+a4030=8，∴，∴log2（a2016）=log24=2．故选：A．10．已知M（x0，y0）是函数C： +y2=1上的一点，F1，F2是C上的两个焦点，若•＜0，则x0的取值范围是（）A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，）D．（﹣，）【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，利用向量的数量积公式，结合椭圆的方程，即可求出x0的取值范围．【解答】解：椭圆C： +y2=1，的焦点坐标F1（﹣，0），F2（，0），=（﹣﹣x0，﹣y0），=（﹣x0，﹣y0）则•=x02﹣3+y02=﹣2，∵•＜0，∴﹣2＜0，解得：﹣＜x0＜，故答案选：C．11．已知函数f（x）=x2﹣2ax+1对任意x∈（0，2]恒有f（x）≥0成立，则实数a的取值范围是（）A． B． C．（﹣∞，1] D．【考点】3W：二次函数的性质．【分析】运用参数分离，得到2a≤x+在x∈（0，2]恒成立，对右边运用基本不等式，求得最小值2，解2a≤2，即可得到．【解答】解：f（x）=x2﹣2ax+1对任意x∈（0，2]恒有f（x）≥0成立，即有2a≤x+在x∈（0，2]恒成立，由于x+≥2，当且仅当x=1取最小值2，则2a≤2，即有a≤1．故选C．12．设集合，C={（x，y）|2|x﹣3|+|y ﹣4|=λ}，若（A∪B）∩C≠ϕ，则实数λ的取值范围是（）A． B．C． D．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】集合A、B是表示以（3，4）点为圆心，半径为和的同心圆；集合C在λ＞0时表示以（3，4）为中心，四条边的斜率为±2的菱形；结合题意画出图形，利用图形知（A∪B）∩C≠∅，是菱形与A或B圆有交点，从而求得实数λ的取值范围．【解答】解：集合A={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=}表示以（3，4）点为圆心，半径为的圆；集合B={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=}表示以（3，4）点为圆心半径为的圆；集合C={（x，y）|2|x﹣3|+|y﹣4|=λ}在λ＞0时，表示以（3，4）为中心，四条边的斜率为±2的菱形，如下图所示：若（A∪B）∩C≠∅，则菱形与A或B圆有交点，当λ＜时，菱形在小圆的内部，与两圆均无交点，不满足答案；当菱形与小圆相切时，圆心（3，4）到菱形2|x﹣3|+|y﹣4|=λ任一边的距离等于大于半径，当x＞3，且y＞4时，菱形一边的方程可化为2x+y﹣（10+λ）=0，由d==得：λ=2；当2＜λ＜时，菱形在大圆的内部，与两圆均无交点，不满足答案；当菱形与大圆相切时，圆心（3，4）到菱形2|x﹣3|+|y﹣4|=λ任一边的距离等于大于半径，当x＞3，且y＞4时，菱形一边的方程可化为2x+y﹣（10+λ）=0，由d==得：λ=6，故λ＞6时，两圆均在菱形内部，与菱形无交点，不满足答案；综上实数λ的取值范围是[，2]∪[，6]，即[，2]∪[，6]．故选：A．二、填空题：本大题共四小题，每小题5分13．已知向量||=l，||=，且•（2+）=1，则向量，的夹角的余弦值为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的数量积运算法则和夹角公式即可得出．【解答】解：∵•（2+）=1，∴，∵，∴，化为．∴==﹣．故答案为：．14．若m，n满足，则u=m﹣2n的取值范围是．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（4，0），联立，解得B（，）．化目标函数u=m﹣2n为n=，由图可知，当直线n=过A时，直线在n轴上的截距最小，z有最大值为4；当直线n=过B时，直线在n轴上的截距最大，z有最小值为．∴u=m﹣2n的取值范围是：．故答案为：．15．直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，2），则b﹣a= 5 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先根据曲线y=x3+ax+b过点（1，2）得出a、b的关系式，再根据切线过点（1，2）求出k，然后求出x=1处的导数并求出a，从而得到b，即可得到b﹣a的值．【解答】解：∵y=x3+ax+b过点（1，2），∴a+b=1，∵直线y=kx+1过点（1，2），∴k+1=2，即k=1，又∵y′=3x2+a，∴k=y′|x=1=3+a=1，即a=﹣2，∴b=1﹣a=3，∴b﹣a=3+2=5．故答案为：5．16．已知函数，若函数h（x）=f（x）﹣mx﹣2有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣e]∪{0}∪{﹣} ．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】画出图象f（x）=转化为函数f（x）与y=mx﹣2有且仅有一个公共点，分类讨论，①当m=0时，y=2与f（x）有一个交点；②当y=mx+2与y=相切，结合导数求解即可，求解相切问题；③y=mx+2过（1，2﹣e）（0，2），动态变化得出此时的m的范围．【解答】解：∵f（x）=∴f（x）=∵函数h（x）=f（x）﹣mx﹣2有且仅有一个零点，∴f（x）与y=mx+2有一个公共点∵直线y=mx+2过（0，2）点①当m=0时，y=2与f（x）有一个交点②当y=mx+2与y=相切即y′=切点（x0，），m=﹣=﹣+2，x0＞1x0=（舍去），x0=3∴m==③y=mx+2过（1，2﹣e），（0，2）m=﹣e当m≤﹣e时，f（x）与y=mx+2有一个公共点故答案为：（﹣∞，﹣e]∪{0}∪{﹣}三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，cosA﹣cos2A=0．（1）求角C；（2）若b2+c2=a﹣bc+2，求S△ABC．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据二倍角公式即可求出A，再根据三角形的内角和定理即可求出C，（2）根据余弦定理和b2+c2=a﹣bc+2，求出a，再根据两角差的正弦公式即可求出sinC，再由正弦公式和三角形的面积公式即可求出【解答】解：（1）因为cosA﹣cos2A=0，所以2cos2A﹣cosA﹣1=0，解得cosA=﹣，cosA=1（舍去）．所以，又，所以．（2）在△ABC中，因为，由余弦定理所以a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc，又b2+c2=a﹣bc+2，所以a2=a+2，所以a=2，又因为，由正弦定理得，所以．18．某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．（1）假设n=2，求第一大块地都种植品种甲的概率；（2）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如表：分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；BC：极差、方差与标准差．【分析】（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是先从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个，满足条件的事件是第一大块地都种品种甲，根据古典概型概率公式得到结果．（2）首先做出两个品种的每公顷产量的样本平均数和样本方差，把两个品种的平均数和方差进行比较，得到乙的平均数大，乙的方差比较小，得到结果．【解答】解：（1）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，令事件A=“第一大块地都种品种甲”．从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）．而事件A包含1个基本事件：（1，2）．所以P（A）=（2）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：==400，S2甲=（32+（﹣3）2+（﹣10）2+42+（﹣12）2+02+122+62）=57.25，品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：==412，S2乙=（72+（﹣9）2+（0）2+62+（﹣4）2+112+（﹣12）2+12）=56．由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．【考点】LX：直线与平面垂直的性质；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）连接BC1，则O为B1C与BC1的交点，证明B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AB；（2）作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，证明△CBB1为等边三角形，求出B1到平面ABC 的距离，即可求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．【解答】（1）证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，∵AO⊥平面BB1C1C，∴AO⊥B1C，∵AO∩BC1=O，∴B1C⊥平面ABO，∵AB⊂平面ABO，∴B1C⊥AB；（2）解：作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，∵BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD=O，∴BC⊥平面AOD，∴OH⊥BC，∵OH⊥AD，BC∩AD=D，∴OH⊥平面ABC，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为等边三角形，∵BC=1，∴OD=，∵AC⊥AB1，∴OA=B1C=，由OH•AD=OD•OA，可得AD==，∴OH=，∵O为B1C的中点，∴B1到平面ABC的距离为，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．如图，椭圆的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点．当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°．（Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．记△GFD的面积为S1，△OED（O为原点）的面积为S2，求的取值范围．【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系；K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意知当直线AB经过椭圆的顶点（0，b）时，其倾斜角为60°，设 F（﹣c，0），由直线斜率可求得b，c关系式，再与a2=b2+c2联立可得a，c关系，由此即可求得离心率；（Ⅱ）由（Ⅰ）椭圆方程可化为，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意直线AB 不能与x，y轴垂直，故设直线AB的方程为y=k（x+c），将其代入椭圆方程消掉y变为关于x的二次方程，由韦达定理及中点坐标公式可用k，c表示出中点G的坐标，由GD⊥AB得k GD•k=﹣1，则D点横坐标也可表示出来，易知△GFD∽△OED，故=，用两点间距离公式即可表示出来，根据式子结构特点可求得的范围；【解答】解：（Ⅰ）依题意，当直线AB经过椭圆的顶点（0，b）时，其倾斜角为60°．设 F（﹣c，0），则．将代入a2=b2+c2，得a=2c．所以椭圆的离心率为．（Ⅱ）由（Ⅰ），椭圆的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2）．依题意，直线AB不能与x，y轴垂直，故设直线AB的方程为y=k（x+c），将其代入3x2+4y2=12c2，整理得（4k2+3）x2+8ck2x+4k2c2﹣12c2=0．则，，所以．因为 GD⊥AB，所以，．因为△GFD∽△OED，所以=．所以的取值范围是（9，+∞）．21．已知函数（a∈R，且a≠0）．（1）讨论f（x）的单调区间；（2）若直线y=ax的图象恒在函数y=f（x）图象的上方，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的定义域，求出导函数，根据导函数讨论参数a，得出函数的单调区间；（2）构造函数令h（x）=ax﹣f（x），则．问题转化为h（x）＞0恒成立时a的取值范围．对参数a进行分类讨论，利用导函数得出函数的最值即可．【解答】解：（1）f （x ）的定义域为，且．①当a ＜0时，∵，∴ax ＜﹣1，∴f'（x ）＞0，函数在是增函数；②当a ＞0时，ax+1＞0，在区间上，f'（x ）＞0；在区间（0，+∞）上，f'（x ）＜0．所以f （x ）在区间上是增函数；在区间（0，+∞）上是减函数．（2）令h （x ）=ax ﹣f （x ），则．问题转化为h （x ）＞0恒成立时a 的取值范围．当a ＜0时，取，则h （x ）=2ae ﹣3＜0，不合题意．当a ＞0时，h （x ）=ax ﹣f （x ），则．由于，所以在区间上，h'（x ）＜0；在区间上，h'（x ）＞0．所以h （x ）的最小值为，所以只需，即，所以，所以．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．在极坐标系下，知圆O：ρ=cos θ+sin θ和直线．（1）求圆O 与直线l 的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求圆O 和直线l 的公共点的极坐标． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）圆O的极坐标方程化为ρ2=ρcosθ+ρsinθ，由此能求出圆O的直角坐标方程；直线l的极坐标方程化为ρsinθ﹣ρcosθ=1，由此能求出直线l的直角坐标方程．（2）圆O与直线l的直角坐标方程联立，求出圆O与直线l的在直角坐标系下的公共点，由此能求出圆O 和直线l的公共点的极坐标．【解答】解：（1）圆O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ2=ρcosθ+ρsinθ，故圆O的直角坐标方程为：x2+y2﹣x﹣y=0，直线，即ρsinθ﹣ρcosθ=1，则直线的直角坐标方程为：x﹣y+1=0．（2）由（1）知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得，解得．即圆O与直线l的在直角坐标系下的公共点为（0，1），转化为极坐标为．23．已知函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）≤5的解集；（2）若关于x的不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空，求实数m的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）让绝对值内各因式为0，求得x值，再由求得的x值把函数定义域分段化简求解，取并集得答案；（2）由（1）可得函数f（x）的最小值，把不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空转化为|m﹣2|大于f（x）的最小值求解．【解答】解：（1）原不等式为：|2x+3|+|2x﹣1|≤5，当时，原不等式可转化为﹣4x﹣2≤5，即；当时，原不等式可转化为4≤5恒成立，∴；当时，原不等式可转化为4x+2≤5，即．∴原不等式的解集为．（2）由已知函数，可得函数y=f（x）的最小值为4，∴|m﹣2|＞4，解得m＞6或m＜﹣2．。
四川省成都市高考数学三诊试卷(文科)
年龄（单位： [20，30） [30，40） [40，50） [50，60） [60，70] 岁）
保费（单位： 元）
30
60
90
120
150
（Ⅰ）求频率分布直方图中实数 a 的值，并求出该样本年龄的中位数； （Ⅱ）现分别在年龄段[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]中 各选出 1 人共 5 人进行回访，若从这 5 人中随机选出 2 人，求这 2 人所交保费之和 大于 200 元的概率．
本题考查了不等式的基本性质，属基础题．
8.【答案】A
【解析】解：
=
，
所以：
，
=
，
=，
所以：
．
故选：A． 首先把数列的通项公式进行转换，进一步利用裂项相消法求出数列的和． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用 ，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
18. 某保险公司给年龄在 20～70 岁的民众提供某种疾 病的一年期医疗保险，现从 10000 名参保人员中 随机抽取 100 名作为样本进行分析，按年龄段[20， 30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]分成 了五组，其频率分布直方图如下图所示；参保年
龄与每人每年应交纳的保费如表所示．
9.【答案】B
【解析】解：根据程序框图：执行循环前：a=0，b=0，n=0， 执行第一次循环时：，a=1，b=2， 所以：92+82≤40 不成立． 继续进行循环， …， 当 a=4，b=8 时， 62+22=40， 所以：n=1， 由于 a≥5 不成立，执行下一次循环， 当 a=5 时， 输出结果 n=2 故选：B． 直接利用程序框图的循环结构和条件结构的应用求出结果． 本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考察学生的运算能 力和转换能力，属于基础题型．
2018年四川省成都七中高考数学三诊试卷(文科)
2018年四川省成都七中高考数学三诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|3x﹣x2＞0}，，则A∩B为（）A．[0，3） B．（1，3） C．（0，1]D．∅2．（5分）已知复数z满足（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．i B．﹣1 C．1 D．﹣i3．（5分）把[0，1]内的均匀随机数分别转化为[0，4]和[﹣4，1]内的均匀随机数，需实施的变换分别为（）A．y=﹣4x，y=5x﹣4 B．y=4x﹣4，y=4x+3C．y=4x，y=5x﹣4 D．y=4x，y=4x+34．（5分）已知命题p：∃x0∈R，x0﹣2＞0，命题q：∀x∈R，＜x，则下列说法中正确的是（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（￢q）是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题5．（5分）《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（）A．4 B．C．D．26．（5分）已知O为△ABC内一点，且，，若B，O，D 三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．7．（5分）在约束条件下，目标函数z=x+2y的最大值为（）A．26 B．24 C．22 D．208．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为43，则判断框内应填入的条件是（）A．z≤42？ B．z≤20？ C．z≤50？ D．z≤52？9．（5分）已知函数f（x）=是奇函数，则g（f（﹣2））的值为（）A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣410．（5分）将函数f（x）=sinx图象上每一点的缩短为原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的单调递增区间为（）A．B．C．D．11．（5分）已知双曲线C：﹣4y2=1（a＞0）的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线E：y2=2px的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线l1：4x﹣3y+6=0和l2：x=﹣1的距离之和的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）定义函数f（x）=，则函数g（x）=xf（x）﹣6在区间[1，2n]（n∈N*）内的所有零点的和为（）A．n B．2n C．（2n﹣1） D．（2n﹣1）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）=．14．（5分）已知在平面直角坐标系中，O（0，0），A（2，4），B（6，2），则三角形OAB的外接圆的方程是．15．（5分）在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且A、B、C 成等差数列，，则△ABC面积的取值范围是．16．（5分）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥S﹣ABCD的体积取值范围为，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3=7，且a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列的前n项和S n，求S n．18．（12分）某县共有90间农村淘宝服务站，随机抽取5间，统计元旦期间的网购金额（单位：万元）的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）若网购金额（单位：万元）不小于18的服务站定义为优秀服务站，其余为非优秀服务站．根据茎叶图推断90间服务站中有几间优秀服务站？（3）从随机抽取的5间服务站中再任取2间作网购商品的调查，求恰有1间是优秀服务站的概率．19．（12分）在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形，AB∥DC，CD⊥AD，面ABCD⊥面ADEF，AB=AD=1．CD=2．（1）求证：平面EBC⊥平面EBD；（2）设M为线段EC上一点，，试问在线段BC上是否存在一点T，使得MT∥平面BDE，若存在，试指出点T的位置；若不存在，说明理由？（3）在（2）的条件下，求点A到平面MBC的距离．20．（12分）设F1、F2分别是椭圆E：+=1（b＞0）的左、右焦点，若P是该椭圆上的一个动点，且•得最大值为1．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线l：x=ky﹣1与椭圆E交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（O为坐标原点），求k的取值范围．21．（12分）已知函数，其中a∈R；（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值，（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，若关于x的不等式，当x≥1时恒成立，求t的值．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．（Ⅰ）写出曲线C1，C2的普通方程；（Ⅱ）过曲线C1的左焦点且倾斜角为的直线l交曲线C2于A，B两点，求|AB|．选修4-5：不等式选讲23．已知∃x∈R，使不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（1）求满足条件的实数t的集合T；（2）若m＞1，n＞1，对∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，求m2+n2的最小值．2018年四川省成都七中高考数学三诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|3x﹣x2＞0}，，则A∩B为（）A．[0，3） B．（1，3） C．（0，1]D．∅【解答】解：∵集合A={x|3x﹣x2＞0}={x|0＜x＜3}，={x|x≤1}，∴A∩B={x|0＜x≤1}=（0，1]．故选：C．2．（5分）已知复数z满足（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．i B．﹣1 C．1 D．﹣i【解答】解：复数z满足（i是虚数单位），∴1+z=i﹣iz，∴z====i．则z的虚部为1．故选：C．3．（5分）把[0，1]内的均匀随机数分别转化为[0，4]和[﹣4，1]内的均匀随机数，需实施的变换分别为（）A．y=﹣4x，y=5x﹣4 B．y=4x﹣4，y=4x+3C．y=4x，y=5x﹣4 D．y=4x，y=4x+3【解答】解：注意到[0，4]的区间长度是[0，1]的区间长度4倍，因此设y=4x+b （b是常数）再用两个区间中点的对应值，得当x=时，y=2，所以2=4×+b，可得b=0因此x与y的关系式为：y=4x，注意到[﹣4，1]的区间长度是[0，1]的区间长度5倍，因此设y=5x+b （b是常数）再用两个区间中点的对应值，得当x=时，y=﹣，所以﹣=5×+b，可得b=﹣4因此x与y的关系式为：y=5x﹣4，故选：C．4．（5分）已知命题p：∃x0∈R，x0﹣2＞0，命题q：∀x∈R，＜x，则下列说法中正确的是（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（￢q）是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题【解答】解：∃x0=3∈R，x0﹣2＞0，故命题p为真命题；当x∈[0，1]时，≥x，故命题q为假命题，故命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，命题p∧（￢q）是真命题，命题p∨（￢q）是真命题，故选：C．5．（5分）《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（）A．4 B．C．D．2【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，底面面积为：×2×1=1，底面周长为：2+2×=2+2，故棱柱的表面积S=2×1+2×（2+2）=6+4，故选：B．6．（5分）已知O为△ABC内一点，且，，若B，O，D 三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．【解答】解：以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与BC相交于点E，E为BC的中点．∵，∴=2=2，∴点O是直线AE的中点．∵，B，O，D三点共线，∴点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，则点M为AC的中点．则OM=EC=BC，=，∴DM=MC，∴AD=AM=AC，∴t=．故选：B．7．（5分）在约束条件下，目标函数z=x+2y的最大值为（）A．26 B．24 C．22 D．20【解答】解：由约束条件作出可行域如图：联立，解得A（6，10），化目标函数z=x+2y为y=﹣x+．由图可知，当直线y=﹣x+过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为：26．故选：A．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为43，则判断框内应填入的条件是（）A．z≤42？ B．z≤20？ C．z≤50？ D．z≤52？【解答】解：第一次执行z=2x+y后，z=1，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则x=1，y=1，第二次执行z=2x+y后，z=3，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则x=1，y=3，第三次执行z=2x+y后，z=5，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则x=3，y=5，第四次执行z=2x+y后，z=11，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则x=5，y=11，第五次执行z=2x+y后，z=21，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则x=11，y=21，第六次执行z=2x+y后，z=43，满足输出条件，故进行循环的条件可以为z≤42？，故选：A．9．（5分）已知函数f（x）=是奇函数，则g（f（﹣2））的值为（）A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣4【解答】解：函数f（x）=是奇函数，所以，f（﹣2）=﹣f（2）=﹣（4﹣2）=﹣2．g（f（﹣2））=g（﹣2）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2，故选：C．10．（5分）将函数f（x）=sinx图象上每一点的缩短为原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的单调递增区间为（）A．B．C．D．【解答】解：将函数f（x）=sinx图象上的所有点缩短为原来的一半（纵坐标不变），可得图象C1：y=sin2x，再把曲线C1上所有点向右平移个单位长度得到y=g（x）的图象，即g（x）=sin （2x﹣），由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，则可得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即g（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．故选：C．11．（5分）已知双曲线C：﹣4y2=1（a＞0）的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线E：y2=2px的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线l1：4x﹣3y+6=0和l2：x=﹣1的距离之和的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：双曲线C：﹣4y2=1的渐近线方程为y=±，右顶点（a，0）到其一条渐近线的距离等于，可得=，解得a=，即有c==1，由题意可得=1，解得p=2，即有抛物线的方程为y2=4x，如图，过点M作MA⊥l1于点A，作MB⊥准线l2：x=﹣1于点C，连接MF，根据抛物线的定义得MA+MC=MA+MF，设M到l1的距离为d1，M到直线l2的距离为d2，∴d1+d2=MA+MC=MA+MF，根据平面几何知识，可得当M、A、F三点共线时，MA+MF有最小值．∵F（1，0）到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离为=2．∴MA+MF的最小值是2，由此可得所求距离和的最小值为2．故选：B．12．（5分）定义函数f（x）=，则函数g（x）=xf（x）﹣6在区间[1，2n]（n∈N*）内的所有零点的和为（）A．n B．2n C．（2n﹣1） D．（2n﹣1）【解答】解：当时，f（x）=8x﹣8，所以，此时当时，g（x）max=0；当时，f（x）=16﹣8x，所以g（x）=﹣8（x﹣1）2+2＜0；由此可得1≤x≤2时，g（x）max=0．下面考虑2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x）的最大值的情况．当2n﹣1≤x≤3•2n﹣2时，由函数f（x）的定义知，因为，所以，此时当x=3•2n﹣2时，g（x）max=0；当3•2n﹣2≤x≤2n时，同理可知，．由此可得2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x）max=0．综上可得：对于一切的n∈N*，函数g（x）在区间[2n﹣1，2n]上有1个零点，从而g（x）在区间[1，2n]上有n个零点，且这些零点为，因此，所有这些零点的和为．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）=3．【解答】解：原式=+1=2+1=3．故答案为：3．14．（5分）已知在平面直角坐标系中，O（0，0），A（2，4），B（6，2），则三角形OAB的外接圆的方程是x2+y2﹣6x﹣2y=0．【解答】解：设三角形OAB的外接圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0，把O（0，0），A（2，4），B（6，2）代入可得：，解得：D=﹣6，E=﹣2，F=0．∴三角形OAB的外接圆的方程是：x2+y2﹣6x﹣2y=0，故答案为：x2+y2﹣6x﹣2y=0．15．（5分）在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且A、B、C成等差数列，，则△ABC面积的取值范围是．【解答】解：∵A、B、C成等差数列，A+B+C=π，∴2B=A+C，即B=，∵b=，cosB=，可得sinB=，由正弦定理可得===2R=2，则a=2sinA，c=2sinC，可设A=﹣d，C=+d，由锐角△ABC，可得﹣＜d＜，sind∈[0，），则ac=4sinAsinC=4sin（﹣d）sin（+d）=4（cosd﹣sind）（cosd+sind）=4（cos2d﹣sin2d）=4（﹣sin2d）∈（2，3]，则三角形ABC的面积为S=acsin=ac∈（，]，故答案为：（，]．16．（5分）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥S﹣ABCD的体积取值范围为，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是[，20π]．．【解答】解：如图，由题意可知，平面SAB⊥平面ABCD，过S作SO⊥AB，垂足为O，可得SO⊥面ABCD∵四棱锥S﹣ABCD的体积取值范围为，则V==∈，∴SO∈[，2]，当SO=时，△SAB为等边△时，设N为正方形ABCD的外心，G为△SAB的外心，M为球心，可得MN=OG=，此时球半径R=BM=，当SO=时，△SAB为钝角△时，∠SAB=120°，△SAB外接圆半径r=2，外心到AB的距离为2sin60°=．此时球半径R==．∴四棱锥S﹣ABCD的外接球的表面积为4πR2=20π当SO=2时，△SAB为直角△，该四棱锥外接球就是以棱长为2的正方体的外接球，R=∴四棱锥S﹣ABCD的外接球的表面积取值范围为：[，20π]．故答案为：[，20π]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3=7，且a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列的前n项和S n，求S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由a3=7，且a1，a4，a13成等比数列，得，解得a1=3，d=2．∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1；（2）∵，∴数列的前n项和S n=3•21+5•22+…+（2n+1）•2n，，∴=，∴S n=2﹣（1﹣2n）×2n+1．18．（12分）某县共有90间农村淘宝服务站，随机抽取5间，统计元旦期间的网购金额（单位：万元）的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）若网购金额（单位：万元）不小于18的服务站定义为优秀服务站，其余为非优秀服务站．根据茎叶图推断90间服务站中有几间优秀服务站？（3）从随机抽取的5间服务站中再任取2间作网购商品的调查，求恰有1间是优秀服务站的概率．【解答】解：（1）样本均值．（2）样本中优秀服务站为2间，频率为，由此估计90间服务站中有间优秀服务站；（3）由于样本中优秀服务站为2间，记为a1，a2，非优秀服务站为3间，记为b1，b2，b3，从随机抽取的5间服务站中任取2间的可能性有：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共10种情况，其中恰有1间是优秀服务站的情况为：（a1，a1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3）6种情况，故所求概率为．19．（12分）在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形，AB∥DC，CD⊥AD，面ABCD⊥面ADEF，AB=AD=1．CD=2．（1）求证：平面EBC⊥平面EBD；（2）设M为线段EC上一点，，试问在线段BC上是否存在一点T，使得MT∥平面BDE，若存在，试指出点T的位置；若不存在，说明理由？（3）在（2）的条件下，求点A到平面MBC的距离．【解答】证明：（1）因为面ABCD⊥面ADEF，面ABCD∩面ADEF=AD，ED⊥AD 所以ED⊥面ABCD，ED⊥BC．在梯形ABCD中，过点作B作BH⊥CD于H，故四边形ABHD是正方形，所以∠ADB=45°．在△BCH中，BH=CH=1，∴∠BCH=45°，，∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°∴BC⊥BD．因为BD∩ED=D，BD⊂平面EBD，ED⊂平面EBD．∴BC⊥平面EBD，BC⊂平面EBC，∴平面EBC⊥平面EBD．解：（2）在线段BC上存在点T，使得MT∥平面BDE在线段BC上取点T，使得，连接MT．在△EBC中，因为，所以△CMT与△CEB相似，所以MT∥EB又MT⊄平面BDE，EB⊂平面BDE，所以MT∥平面BDE．（3）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），M（0，，），=（0，﹣1，0），=（﹣1，1，0），=（﹣1，﹣，），设平面MBC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，2），∴点A到平面MBC的距离d===．20．（12分）设F1、F2分别是椭圆E：+=1（b＞0）的左、右焦点，若P是该椭圆上的一个动点，且•得最大值为1．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线l：x=ky﹣1与椭圆E交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（O为坐标原点），求k的取值范围．【解答】解：（1）设P（m，n），由椭圆E：+=1（b＞0）=1可得，F1（﹣，0），F2（，0），=（﹣﹣m，﹣n），=（﹣m，﹣n），可得•=m2+n2﹣（4﹣b2），由m2+n2表示原点和椭圆上的点的距离的平方，可得x轴上的顶点与原点的距离最大，即有4﹣（4﹣b2）=1，解得b2=1，则椭圆的方程为+y2=1；（2）可设，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去x，整理得：（k2+4）y2﹣2ky﹣3=0∴△=4k2+12（k2+4）＞0，∴y1+y2=，y1y2=﹣，∴x1x2=（ky1﹣1）（ky2﹣1）=k2y1y2﹣k（y1+y2）+1=﹣﹣+1=∵∠AOB为锐角，∴cos∠AOB＞0，∴x1x2+y1y2＞0，∴﹣＞0，即1﹣4k2＞0，解得﹣＜k＜，故k的取值范围为（﹣，）．21．（12分）已知函数，其中a∈R；（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值，（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，若关于x的不等式，当x≥1时恒成立，求t的值．【解答】解：（Ⅰ）当x=1时，f'（x）=0，解得a=1经验证a=1满足条件，（Ⅱ）当a=1时，整理得t＜（x+2）ln（x+1）﹣x令h（x）=（x+2）ln（x+1）﹣x，则，（x≥1）所以h（x）min=3ln2﹣1，即t＜3ln2﹣1∈（0，2），∴t=1．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．（Ⅰ）写出曲线C1，C2的普通方程；（Ⅱ）过曲线C1的左焦点且倾斜角为的直线l交曲线C2于A，B两点，求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）…（1分）即C1的普通方程为．…（3分）∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，C2可化为x2+y2+4x﹣2y+4=0，…（3分）即（x+2）2+（y﹣1）2=1．…（4分）（Ⅱ）曲线C1左焦点为（﹣4，0），…（5分）直线l的倾斜角为，．…（6分）所以直线l的参数方程为：（t为参数），…（7分）将其代入曲线C2整理可得：，…（8分）所以△=．设A，B对应的参数分别为t 1，t2，则．…（9分）所以．…（10分）选修4-5：不等式选讲23．已知∃x∈R，使不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（1）求满足条件的实数t的集合T；（2）若m＞1，n＞1，对∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，求m2+n2的最小值．【解答】解：（1）令f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|，则f（x）=，∴﹣1≤f（x）≤1；由于∃x∈R使不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立，则有t∈T={t|t≤1}；（2）由（1）知，log3m•log3n≥1，根据基本不等式，从而mn≥32，当且仅当m=n=3时取等号，再根据基本不等式，当且仅当m=n=3时取等号；∴m2+n2≥2mn=18，即m2+n2的最小值为18．。
2018年四川省成都市高考数学三诊试卷(理科)(J)
2018年四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）(J)副标题一、选择题（本大题共11小题，共11.0分）1.设全集1，2，，集合，则集合中元素的个数是A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】解：2，；．故选：A．可解出集合A，然后进行补集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的概念，以及补集的运算．2.命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】解：“，”的否定是“，”，故选：D．直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，基本知识的考查．3.定义符号函数则函数的图象大致是A.B.C.D.【答案】B【解析】解：用排除法，易知是偶函数，故排除A选项；当时，，故排除D选项；当时，，故排除C选项．故选：B．分析函数的奇偶性，及当时和当时，的符号，利用排除法可得答案．本题考查的知识点是函数的图象和性质，难度中档．4.已知实数，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：易知，，，．故选：A．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.当时，若，则的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由诱导公式得，所以；又，且，所以，所以．故选：C．根据三角函数诱导公式以及同角的三角函数关系，求解即可．本题考查了三角函数诱导公式以及同角的三角函数基本关系应用问题，是基础题．6.已知甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球现随机地从甲袋中出1个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出红球的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：先从甲袋中取出1个球放入乙袋，再从乙袋出1个球的总数为，取出红球的总数为，所以乙袋中取出红球的概率为．故选：B．先从甲袋中取出1个球放入乙袋，再从乙袋出1个球的总数为，取出红球的总数为，由此能求出乙袋中取出红球的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.某企业可生产A，B两种产品投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，场地100平方米若该企业现可使用资金1400万元，场地900平方米投资生产A，B两种产品，则两种产品的量之和的最大值是A. 467吨B. 450吨C. 575吨D. 600吨【答案】C【解析】解：设生产A，B产品的产量分别为x，单位：100吨，则两种产品的量之和．由题意得约束条件，得可行区域如图，其中，，．由可行区域可得目标函数经过时，z取最大值，故吨．故选：C．设生产A，B产品的产量分别为x，单位：100吨，则两种产品的量之和，再由已知得到x，y所满足的不等式组，作出可行域，数形结合得答案．本题考查简单的数学建模思想方法及数形结合的解题思想方法，属中档题．8.在正三棱柱底面是正三角形，侧棱垂直于底面的棱柱中，所有棱长之和为定值若正三棱柱的顶点都在球O的表面上，则当正三棱柱侧面积取得最大值24时，该球的表面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设正三棱柱底面边长为x，侧棱为y，则，三棱柱侧面积．，当且仅当，即时，等号成立，，，．正三棱柱的外接球的球心O到顶点A的距离为，该球的表面积为．故选：D．设正三棱柱底面边长为x，侧棱为y，则，三棱柱侧面积当且仅当时，正三棱柱侧面积取得最大值24，求出正三棱柱的外接球的球心O到顶点A的距离，由此能求出该球的表面积．本题考查三棱柱的外接球的表面积的求法，考查三棱柱、球等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．9.已知P为所在平面内一点，，，则的面积等于A. B. C. D.【答案】C【解析】解：分别取边BC，AC的中点D，E，则，，因为，所以，所以E，D，P三点共线，且．又，所以，所以，所以的面积．故选：C．分别取边BC，AC的中点D，推导出E，D，P三点共线，且从而，，由此能求出的面积．本题考查平面向量线性运算，考查三角形面积等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．10.已知A，B是椭圆C：上关于坐标原点O对称的两个点，P，M，N是椭圆C异于A，B的点，且，，则的面积为A. B. C. D.【答案】C【解析】解法一：特殊值法，取A，B为短轴的端点，即，，点P为左顶点，则直线OM，ON的方程分别为，，所以，，所以．故选C．解法二：若PA，PB与坐标轴平行或垂直时，可得点M，N为椭圆C长轴和短轴的一个端点，所以；若PA，PB与坐标轴不平行或不垂直时，则，设直线OM，ON的方程分别为，，则联立，解得，同理可得，所以．故选：C．方法一、取特殊点，，，点P为左顶点，求得直线OM，ON的方程，可得M，N的坐标，由三角形的面积公式计算可得所求；方法二、讨论若PA，PB与坐标轴平行或垂直时，若PA，PB与坐标轴不平行或不垂直时，联立椭圆方程和直线方程，求得M，N的坐标，即可得到所求三角形的面积．本题考查椭圆方程的运用，考查直线的斜率公式和直线方程的运用，考查运算能力，属于中档题．11.在关于x的不等式其中为自然对数的底数的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由，化简得，设，，则原不等式即为．若，则当时，，，原不等式的解集中有无数个大于2的整数，．，，．当，即时，设，则．设，则，在上为减函数，，当时，，在上为减函数，即，当时，不等式恒成立，原不等式的解集中没有大于2的整数．要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则，即，解得．则实数a的取值范围为故选：D．化简不等式可得，设，，则原不等式即为，根据两函数的单调性分类讨论，得出不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数的不等式组解出即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了不等式恒成立问题，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共4.0分）12.的展开式中各项系数之和为______．【答案】0【解析】解：令，得展开式中各项系数之和为．故答案为：0．直接在二项式中取即可求得的展开式中各项系数之和．本题考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．13.如图，在正方体中，E是棱的中点，则异面直线AE与所成角的余弦值为______．【答案】【解析】解：以点D原点，DA，DC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设棱长为2，则0，，0，，2，，0，，，，，异面直线AE与所成角的余弦值为．故答案为：．以点D原点，DA，DC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设棱长为2，求出的坐标，求其夹角余弦值，可得异面直线AE与所成角的余弦值．本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，是基础的计算题．14.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则______．【答案】【解析】解：因为，所以，又，所以，由余弦定理得：，所以，所以，．所以．故答案为：．由已知利用正弦定理可得，进而可求，由余弦定理可求的值，利用三角函数恒等变换的应用可求，，的值，进而可求的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．15.已知集合2，3，4，5，6，7，8，的所有3个元素的子集记为，，，，，记为集合2，3，，中的最大元素，则______．【答案】630【解析】解：集合M含有3个元素的子集共有，所以．在集合2，3，，中：最大元素为3的集合有个；最大元素为4的集合有；最大元素为5的集合有；最大元素为6的集合有；最大元素为7的集合有；最大元素为8的集合有；最大元素为9的集合有．所以．故答案为：630．集合M含有3个元素的子集共有，所以由此利用分类讨论思想能求出的值．本题考查集合中k个元素的和的求法，考查集合的子集等基础知识，考查函数与方程思想，考查函数与方程思想，是基础题．三、解答题（本大题共7小题，共7.0分）16.已知为等比数列的前n项和，，，成等差数列，且．求数列的通项公式；Ⅱ设，求数列的前n项和．【答案】解：Ⅰ设等比数列的公比为q，、、成等差数列，，即，又，，，解得，，；Ⅱ由Ⅰ得，，设，，得，，．【解析】Ⅰ设等比数列的公比为q，由题意和等差中项的性质列出方程并化简，由等比数列的通项公式和条件列出方程组，求出q和的值，代入通项公式求出；Ⅱ由Ⅰ化简，利用错位相减法、等比数列的前n项和公式求出数列的前n 项和．本题考查了等比数列的通项公式、前n项和公式，等差中项的性质，以及错位相减法求数列的和，考查了方程思想，化简、变形能力．17.二位和销售额y具有线性相关关系．求销售额y关于产品研发费x的回归方程的计算结果精确到小数点后第二位；Ⅱ根据的结果预则：若2018年的销售额要达到70万元，则产品研发费大约需要多少万元？参考数据：，，参考公式：对于一组数据斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．【答案】解：求产品研发费的自然对数值z和销售额y的回归直线方程，，，，关于x的回归方程为；Ⅱ根据的回归方程，令，得，解得，年的销售额要达到70万元，则产品研发费大约需要万元．【解析】求产品研发费的自然对数值z和销售额y的回归直线方程，从而得到y关于x的回归方程；Ⅱ根据的回归方程，令求得x的值即可．本题考查了用线性回归方程系数公式求线性方程以及用样本估计总体解决简单实际问题，是中档题．18.如图，在等腰梯形ABCD中，已知，，，，点E为AB的中点；现将三角形BEC沿线段EC折起，形成直二面角，如图，连接PA，PD得四棱锥，如图．求证：；Ⅱ求平面PEC与平面PAD所成的锐二面角的余弦值．【答案】Ⅰ证明：如图，连接DE，连接DB与EC相交于Q，，E为AB的中点，，则，，，．四边形AECD，四边形BEDC是平行四边形．，又，，又，，则四边形EBCD为菱形．，即且．在四棱锥中，且，，平面PDQ，而平面PDQ，则；Ⅱ解：在直二面角中，，且平面平面AECD，平面平面，平面AEC，又，故以Q为为坐标原点，QC，QD，QP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．0，，0，，，0，，．．设平面ADP的一个法向量为，由，取，可得；又平面PEC的一个法向量．．平面PEC与平面PAD所成锐角的余弦值是．【解析】Ⅰ连接DE，连接DB与EC相交于Q，由已知可得四边形AECD，四边形BEDC 是平行四边形，则，再由已知进一步证明四边形EBCD为菱形，可得，即，又，由线面垂直的判定可得平面PDQ，则；Ⅱ在直二面角中，由，且平面平面AECD，可得平面立空间直角坐标系分别求出平面PEC与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面PEC与平面PAD所成的锐二面角的余弦值．本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的大小，是中档题．19.在平面直角坐标系xOy中，动点M与定点的距离和它到直线的距离的比是1：记动点M的轨迹为曲线C，直线l：与曲线C相交于不同的两点P，Q．求曲线C的方程；Ⅱ求面积的最大值．【答案】解：设动点，可得，化简得，曲线C的方程：得．Ⅱ设，，PQ的中点为将直线与联立，得，，即坐标原点O到直线l的距离，面积．设，且，．当且仅当，即时，等号成立．面积的最大值为．【解析】Ⅰ设动点，可得，化简得，Ⅱ设，，直线与联立，得，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式，弦长公式，结合已知条件能求出面积的最大值．本题考查椭圆方程的求法，考查面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式，弦长公式的合理运用．20.已知函数，其中，．讨论函数的单调性；Ⅱ设函数的导函数为若函数恰有两个零点，，证明：．【答案】Ⅰ解：由，得，．当，即时，，在上单调递减；当，即时，．当时，且，，在上单调递增；当时，，，x综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递增，Ⅱ证明：由知，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，又，函数恰有两个零点，，或．当，即时，令，当时，，且，有唯一的，使得，则不等式等价于，又，即，只需证明，即当时，证明成立，令，则，在上单调递增，即当时，有．原不等式成立．当，即时，令，当，时，，且，有唯一的，使得，则不等式等价于，又，即，只需证明，即当时，证明成立，令，则．在区间上单调递增，即当时，有．原不等式成立．综上，当函数恰有两个零点，，原不等式成立．【解析】Ⅰ求出原函数的导函数，然后对k分类分析，当时，求出导函数的零点，由导函数在各区间段内的符号，可得原函数的单调性；Ⅱ由知，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，结合，且函数恰有两个零点，，可得或当，即时，把不等式转化为，结合，即，转化为当时，证明成立，构造函数证明；当，即时，把不等式转化为，结合，即，转化为当时，证明成立，再构造函数证明．本题考查了导数的综合应用，考查数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，同时考查了放缩法证明不等式的方法，属于难题．21.在极坐标系中，曲线C的极坐标方程是，直线l的极坐标方程是，点在直线l上以极点为坐标原点O，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy，且两坐标系取相同的单位长度．求曲线C及直线l的直角坐标方程；Ⅱ若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求的值．【答案】解：曲线C的极坐标方程是，转化为直角坐标方程为：，直线l的极坐标方程是，转化为直角坐标方程为：．Ⅱ点的直角坐标为且点Q在直线l上．设直线的参数方程为：为参数，把直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程为：，整理得：，和为A和B对应的参数，所以：，所以：．考点：1、极坐标和直角坐标的互化；2、参数的意义．【解析】Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．Ⅱ利用直线和曲线的位置关系，整理成一元二次方程，利用根和系数的关系求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．22.已知函数，．当时，解不等式；Ⅱ若不等式的解集为非空集合，求a的取值范围．【答案】解：原不等式即，当时，原不等式即，解得：，当时，原不等式即，解得：，当时，原不等式即，解得：，综上，原不等式的解集是；Ⅱ．当时，，显然不等式的解集为非空集合，当时，易知当时，取得最小值，即，欲使不等式的解集为非空集合，必需，故；当时，易知当时，取最小值，即，欲使不等式的解集为非空集合，必需，；综上，当时，不等式的解集是非空集合．【解析】Ⅰ通过讨论x的范围，求出各个区间的不等式的解集，取并集即可；Ⅱ通过讨论a的范围，求出的最小值，得到关于a的不等式，从而确定a的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
2018年四川省成都市高考数学三诊试卷(理科)
2018 年四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0 分）1.设全集 U={0 ， 1， 2， 3} ，集合 A={ x∈N|（ x-1）（ x-3）≤ 0}，则集合 ? U A 中元素的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 42.若复数（ i 为虚数单位， a∈R）是纯虚数，则实数 a 的值是（）A. -1B. 1C.D.3.命题“ ? x∈（ 1，+∞）， x-1≥ lnx”的否定是（）A. ? x∈（1，+∞），x-1≤lnxB. ? x∈（1，+∞），x-1＜lnxC. ? x0∈（1，+∞），x0-1≥lnx0D. ? x0∈（1，+∞），x0-1＜lnx04.定义符号函数 sgnx=则函数 f（ x） =sinx?sgnx 的图象大致是（）A.B.C.D.5.已知实数 a=2ln2，b=2+2ln2 ， c=（ ln2 ）2，则 a， b， c 的大小关系是（）A. c＜a＜bB. c＜b＜aC. b＜a＜cD. a＜c＜bA. B. C. D.7. 已知甲袋中有 1 个黄球和 1 个红球，乙袋中有 2 个黄球和 2 个红球，现随机地从甲袋中取出 1 个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出 1 个球，则从乙袋中取出的球是红球的概率为（）A. B. C. D.8. 某企业可生产A， B 两种产品．投资生产 A 产品时，每生产100 吨需要资金200 万元，场地 200 平方米；投资生产 B 产品时，每生产100 吨需要资金300 万元，场地100 平方米．若该企业现可使用资金1400 万元，场地900 平方米投资生产A，B 两种产品，则两种产品的量之和的最大值是（）A. 467吨B. 450吨C. 575吨D.600 吨9.在正三棱柱 ABC-A1B1C1（底面是正三角形，侧棱垂直于底面的棱柱）中，所有棱长之和为定值 a．若正三棱柱 ABC-A1B1C1的顶点都在球O 的表面上，则当正三棱柱侧面积取得最大值 24 时，该球的表面积为（）A. B. C. 12π D.10.已知P ABC所在平面内一点，=，PBC 为△，则△的面积等于（）A. B. C. D.11.已知 A， B 是椭圆 C：上关于坐标原点O 对称的两个点， P， M，N 是椭圆 C 异于 A， B 的点，且 AP∥OM ， BP∥ON，则△MON 的面积为（）A. B. C. D.12.在关于 x 的不等式 e2x2-（ ae x+4e2） x+ae x+4e2＞ 0（其中 e=2.71828为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于 2 的整数，则实数 a 的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共 4 小题，共20.0 分）13.的展开式中各项系数之和为______．14.如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E 是棱 DD1的中点，则异面直线AE 与 BD 1所成角的余弦值为 ______ ．15.在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知，．则=______．16.已知集合 M={1 ， 2， 3，4， 5， 6， 7， 8，9} 的所有 3个元素的子集记为A1， A2，三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）17.已知S n为等比数列{ a n}的前n项和，S2，S4，S3成等差数列，且．（I）求数列 { a n} 的通项公式；（Ⅱ）设 b n=n|a n|，求数列 { b n} 的前 n 项和 T n．18. 某企业统计自 2011 年到 2017 年的产品研发费x 和销售额 y 的数据如表：2011 年2012年 2013 年2014 年2015 年2016 年2017 年产品研发费 x（单246111319位：万元）1z=ln x00.69 1.39 1.79 2.40 2.56 2.94销售额 y（单位：19324044525354万元）根据上表中的数据作出散点图，得知产品研发费的自然对数值z（精确到小数点后第二位）和销售额y 具有线性相关关系．（ I）求销售额 y关于产品研发费x 的回归方程（的计算结果精确到小数点后第二位）；（Ⅱ）根据（ I ）的结果预则：若 2018 年的销售额要达到 70 万元，则产品研发费大约需要多少万元？参考数据： ln55.5 ≈4.02，ln60.3 ≈4.10， ln127.7 ≈4.85（ x i（ z i（ x i（ z i）2）2）（ y i））（y i）842 1.68240 6.7943481.41参考公式：对于一组数据（x1，y1），（ x2， y2），（ x n，y n），其回归直线= x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=．19. 如图①，在等腰梯形ABCD中，已知AB CD ABC=60° CD=2，AB=4，点E为∥，∠，AB 的中点；现将三角形 BEC 沿线段 EC 折起，形成直二面角P-EC-A，如图②，连（I）求证： PD⊥EC ；（Ⅱ）求平面 PEC 与平面 PAD 所成的锐二面角的余弦值．20.在平面直角坐标系xOy 中，动点 M 与定点 F（ 1，0）的距离和它到直线x=4 的距离的比是 1：2．记动点 M 的轨迹为曲线 C，直线 l： y=kx+m（ m≠0）与曲线 C 相交于不同的两点 P， Q．（I）求曲线 C 的方程；（Ⅱ）求△OPQ 面积的最大值．21.已知函数 f（ x） =（1-k） x-kln x+k-1，其中 k∈R， k≠0．（I）讨论函数 f（ x）的单调性；（Ⅱ）设函数 f（x）的导函数为 g（ x）．若函数 f（ x）恰有两个零点 x1， x2（ x1＜x2），证明：．22. 在极坐标系中，曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθl的极坐标方程是，直线，点在直线 l 上．以极点为坐标原点 O，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy，且两坐标系取相同的单位长度．（ I）求曲线 C 及直线 l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点A， B，求 |QA|+|QB |的值．23.已知函数 f（ x） =|2x+1|+|x-a|，a∈R．（ I）当 a=2 时，解不等式 f（ x）≤4；（Ⅱ）若不等式f（ x）＜ 1 的解集为非空集合，求 a 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A={1 ，2，3} ；∴?A={0} ．U故选：A．可解出集合 A ，然后进行补集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的概念，以及补集的运算．2.【答案】B【解析】解：∵=是纯虚数，∴，即a=1．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 求得 a 值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：“? x∈（1，+∞），x-1≥lnx 的”否定是“?x0∈（1，+∞），x0-1＜lnx 0”，故选：D．直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，基本知识的考查．4.【答案】B【解析】解：用排除法，易知f （x）是偶函数，故排除A 选项；当 0＜x＜π时，f（x ）＞0，故排除 D 选项；当π＜x＜2π时，f（x）＜0，故排除 C 选项．故选：B．分析函数的奇偶性，及当 0＜ x＜π时和当π＜x＜2π时，f （x）的符号，利用排除法可得答案．本题考查的知识点是函数的图象和性质，难度中档．5.【答案】A【解析】ln2＜ 2，2+2ln2＞2，0＜（ln22解：易知1＜2）＜1，∴c＜a＜b．故选：A．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】诱导公式得，解：由所以；又，且，所以 sin α-cosα＞ 0，所以．故选：C．根据三角函数诱导公式以及同角的三角函数关系，求解即可．本题考查了三角函数诱导公式以及同角的三角函数基本关系应用问题，是基础题．7.【答案】B【解析】解：先从甲袋中取出 1 个球放入乙袋，再从乙袋出 1 个球的总数为 n=，取出红球的总数为 m=，所以乙袋中取出红球的概率为．故选：B．先从甲袋中取出 1 个球放入乙袋，再从乙袋出 1 个球的总数为，取出红球的总数为，由此能求出乙袋中取出红球的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识查查，考运算求解能力，考函数与方程思想，是基础题．8.【答案】C【解析】解：设生产 A ，B 产品的产量分别为 x，y（单位：100 吨），则两种产品的量之和 z=x+y ．由题意得约束条件，得可行区域如图，其中 A （4.5，0），B（3.25，2.5），．由可行区域可得目标函数 z=x+y 经过 B（3.25，2.5）时，z 取最大值，故z max=5.75（100 吨）．故选：C．设生产 A ，B 产品的产量分别为 x，y（单位：100 吨），则两种产品的量之和z=x+y ，再由已知得到 x，y 所满足的不等式组，作出可行域，数形结合得答案．本题考查简单的数学建模思想方法及数形结合的解题思想方法，属中档题．9.【答案】D【解析】解：设正三棱柱 ABC-A 1B1C1底面边长为 x，侧棱为 y，则 6x+3y=a，∴，当且仅当，即时，等号成立，∴a=24，x=2，y=4．∴正三棱柱 ABC-A 1B1C1的外接球的球心 O 到顶点 A，2．∴该球的表面积为 4πR=故选：D．设正三棱柱 ABC-A 1B1C1底面边长为 x，侧棱为 y，则的距离为 R=6x+3y=a，三棱柱ABC-A 1B1C1侧面积 S=3xy．当且仅当时，正三棱柱侧面积取得最大值 24，求出正三棱柱 ABC-A 1B1C1的外接球的球心O 到顶点 A 的距离，由此能求出该球的表面积．本题考查三棱柱的外接球的表面积的求法，考查三棱柱、球等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．10.【答案】C【解析】解：分别取边 BC，AC 的中点 D，E，则，，因为，所以，所以 E，D，P 三点共线，且．又，所以，所以，所以△PBC 的面积．分别取边导线，且．从BC，AC 的中点 D，推出 E，D，P 三点共而，，由此能求出△PBC 的面积．本题考查平面向量线性运算，考查三角形面积等基础知识查，考运算求解能查题．力，考函数与方程思想，是中档11.【答案】C【解析】解法一：特殊值法，取 A ，B 为短轴的端点，即 A （0，3），B（0，-3），点 P 为左顶点 P（-5，0），则直线 OM，ON 的方程分别为，，所以，，所以 S△MON=××=．故选 C．解法二：若 PA，PB 与坐标轴平行或垂直时，可得点 M ，N 为椭圆 C 长轴和短轴的一个端点，所以；若PA，PB 与坐标轴不平行或不垂直时，则，设直线 OM ，ON 的方程分别为 y=k1x，y=k2x，则联，．立解得，同理可得，所以= | |= | |=||=．故选：C ．方法一、取特殊点，A （0，3），B （0，-3），点P 为左顶点（-5，0），求得直线 OM ，ON 的方程，可得 M ，N 的坐标，由三角形的面积公式计算可得所求；方法二、讨论若 PA ，PB 与坐标轴平行或垂直 时，若PA ，PB 与坐标轴不平行或不垂直 时，联立椭圆方程和直 线方程，求得 M ，N 的坐标，即可得到所求三角形的面 积．本题考查椭圆方程的运用，考查直线的斜率公式和直 线方程的运用，考查运算能力，属于中档题．12.【答案】 D【解析】解：由e 2x 2-（ae x +4e 2）x+ae x +4e 2＞0，2 2化简得 e （x-2 ）＞ a （x-1），e 设22xf x =e（x-2），g （x ）=a （x-1）e ，则原不等式即 为 f （）＞xg （）．x（）若 a ≤0，则当 x ＞ 2 时，f （x ）＞0，g （x ）＜0，∴原不等式的解集中有无数个大于 2 的整数，∴a ＞0．∵f （2）=0，g （2）=ae 2＞0，∴f （2）＜g （2）．当 f （3）≤g（3），即 时 设h （x ）=f （x ）-g （x ）（x ≥4），， 则．设则 ，，∴φ（x ）在[4，+∞）上为减函数，∴φ（x ）≤φ（4）=2e 2（2-e ）＜0，∴当 x ≥4时，h'（x ）＜0，∴h （x ）在[4，+∞）上为减函数，∴当 x ≥4时，不等式 f （x）＜g（x）恒成立，∴原不等式的解集中没有大于 2 的整数．∴要使原不等式的解集中有且仅有两个大于 2 的整数，则，即，解得．则实数 a的取值范围为 [，）．故选：D．2222x化简不等式可得 e（x-2）＞a（x-1），e设 f（x）=e （x-2），g（）x=a（x-1）e ，则原不等式即为单调性分类讨论，得出不等式的解集f （x）＞g（x），根据两函数的中有且仅有两个大于 2 的整数的不等式组解出即可．本题考查了利用导数研究函数的单调查问题，属于中性，考了不等式恒成立档题．13.【答案】0【解析】5解：令x=1，得展开式中各项系数之和为（1-1）=0．故答案为：0．直接在二项式中取 x=1 即可求得的展开式中各项系数之和．本题考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．14.【答案】【解析】解：以点D 原点，DA ，DC，DD 1分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标系，设棱长为 2，则 A（2，0，0），E（0，0，1），B（2，2，0），D1（0，0，2），∴，，∴cos＜＞ ==，∴异面直线 AE 与 BD 1所成角的余弦值为．故答案为：．以点 D 原点，DA ，DC，DD 1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标设长为系，棱2，求出的坐标夹值，可得异面直线AE 与 BD1所成角的，求其角余弦余弦值．本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，是基础的计算题．【答案】15.【解析】为，解：因所以，又，所以 a=2c，由余弦定理得：，所以，所以，．所以．故答案为：．由已知利用正弦定理可得，进而可求 a=2c，由余弦定理可求 cosA 的值，利用三角函数恒等变换的应用可求 sinA ，sin2A，cos2A 的值进，而可求的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.【答案】630【解析】解：集合M 含有 3 个元素的子集共有，所以 k=84．在集合 A i（i=1，2，3，，k）中：最大元素为 3的集合有个；最大元素为 4 的集合有；最大元素为 5 的集合有；最大元素为 6 的集合有；最大元素为 7的集合有；最大元素为 8的集合有；最大元素为 9的集合有．所以 a1+a2++a k=3×1+4×3+5×6+6×10+7×15+8×21+9×28=630．故答案为：630．集合 M 含有 3 个元素的子集共有，所以k=84．由此利用分类讨论思想能求出 a1+a2++a k的值．本题考查集合中 k 个元素的和的求法，考查集合的子集等基础知识，考查函数与方程思想，考查函数与方程思想，是基础题．17.【答案】解：（Ⅰ）设等比数列{ a n}的公比为q，∵S2、 S4、 S3成等差数列，∴2S4=S2+S3，即 a3+2a4=0，又 a2+a3+a4=- ，∴a1q2+2a1q3=0，a1q+a1q2+a1q3=- ，解得 q=- ， a1=1 ，∴a n=a1 ?q n-1=（ - ）n-1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得， n|a n|=n?（）n-1，设 T n=1×（）0+2×（）1+3×（）2++n?（）n-1，①T n=1×（）1+2×（）2+3×（）3+ +n?（）n，②① -②得，T n=（）0+（）1 +（）2 ++（）n-1 -n?（）n=-n?（）n=2-（ n+2） ?（）n，∴T n=4- （ n+2 ） ?（）n-1．【解析】（Ⅰ）设等比数列 {a n} 的公比为 q，由题意和等差中项的性质列出方程并化简，由等比数列的通项公式和条件列出方程组，求出 q 和 a1的值，代入通项公式求出 a n；（Ⅱ）由（Ⅰ）简化n|a n|，利用错位相减法、等比数列的前 n 项和公式求出数列{na n} 的前 n 项和．本题考查了等比数列的通项公式、前 n 项和公式，等差中项的性质，以及错位相减法求数列的和，考查了方程思想，化简、变形能力．18.【答案】解：（ I）求产品研发费的自然对数值z和销售额 y 的回归直线方程，∵ ==≈ 11.99，∴==42- 11.99 × 1.68 ≈ 21，.86∴=11.99z+21.86 ，∴y 关于 x 的回归方程为=11.99ln x+21.86；（Ⅱ）根据（ I ）的回归方程=11.99ln x+21.86，令 =11.99ln x+21.86=70 ，得 lnx≈4.02，解得 x≈55.5，∴2018 年的销售额要达到70 万元，则产品研发费大约需要55.5 万元．【解析】（I）求产品研发费的自然对数值 z 和销售额 y 的回归直线方程，从而得到 y 关于 x 的回归方程；（Ⅱ）根据I（）的回归方程，令=70 求得 x 的值即可．本题考查了用线性回归方程系数公式求 线性方程以及用 样本估计总体解决简单实际问题 ，是中档题．19.【答案】 （ Ⅰ）证明：如图，连接 DE ，连接 DB 与 EC 相交于 Q ，∵AB=4， E 为 AB 的中点， ∴BE=AE =2，则 BE ∥CD ， BE=CD ， CD ∥AE ， CD =AE ． ∴四边形 AECD ，四边形 BEDC 是平行四边形． ∴AD =CE ，又 AD=BC ， ∴CE=BC ，又 ∠ABC=60°， ∴CB=BE ，则四边形 EBCD 为菱形．∴BD ⊥EC ，即 BQ ⊥EC 且 DQ ⊥EC ．在四棱锥 P-AECD 中，∵PQ ⊥EC 且 DQ ⊥EC ，DQ ∩BQ=Q ， ∴EC ⊥平面 PDQ ，而 PD? 平面 PDQ ，则 PD ⊥EC ； （ Ⅱ ）解：在直二面角 P-EC -A 中， ∵PQ ⊥EC ，且平面 PEC ⊥平面 AECD ，平面 PEC ∩平面 AECD =EC ， ∴PQ ⊥平面 AEC ，又 DQ ⊥EC ，故以 Q 为为坐标原点， QC ， QD ， QP 所在直线分别为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系 Q-xyz ．∴C （ 1， 0，0），E （ -1，0，0）， D （0， ，0），P （ 0，0， ）， A （-2， ，0）．∴．设平面 ADP 的一个法向量为，由，取 z=1，可得 ；又平面 PEC 的一个法向量．∴cos ＜＞= ．∴平面 PEC 与平面 PAD 所成锐角的余弦值是．【解析】（Ⅰ）连接 DE ，连接 DB 与 EC 相交于 Q ，由已知可得四边形 AECD ，四边形BEDC 是平行四 边形，则 AD=CE ，再由已知进一步证明四边形 EBCD 为菱形，可得 BD ⊥EC ，即BQ ⊥EC ，又DQ ⊥EC ，由线面垂直的判定可得EC ⊥平面 PDQ ，则 PD ⊥EC ；（Ⅱ）在直二面角P-EC-A 中，由 PQ ⊥EC ，且平面 PEC ⊥平面 AECD ，可得 PQ ⊥平面 AEC ，又DQ ⊥EC ，故以Q 为为坐标原点，QC ，QD ，QP 所在直线分别为 x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系 Q-xyz ．分别求出平面 PEC 与平面 PAD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦 值可得平面 PEC 与平面 PAD 所成的锐二面角的余弦值．本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查空间想象能力与思 维能力，训练了利用空 间向量求解二面角的大小，是中档 题．20.【答案】 解：（ I ）设动点 M （ x ， y ），可得，化简得，∴曲线 C 的方程：得．（ Ⅱ ）设 P （ x 1， y 1）， Q （ x 2， y 2）， PQ 的中点为（ x 0，y 0）将直线 y=kx+m 与联立，222得（ 3+4k ） x +8 kmx+4 m -12=0 ，=16 12k 22）＞ 0，即 4k 2 2①（ +9-3m +3＞ m △|PQ |= ? ∴∵坐标原点 O 到直线 l 的距离 d=，∴△OPQ 面积 S △OPQ =?=2 × ．设 4k 22， ∴S △××= ．+3= t ， t ≥3且 t ＞ mOPQ =2当且仅当 t=2m 2，即 4k 2 +3=2m 2 时，等号成立． ∴△OPQ 面积的最大值为 ．【解析】（Ⅰ）设动点 M （x ，y ），可得，化简得 ，（Ⅱ）设 P （x ，y ），Q （x 2 ，y ），直线 y=kx+m 与联立，得（3+4k 2）1 1 2x 2+8kmx+4m 2-12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式， 弦长公式，结合已知条件能求出 △OPQ 面积的最大值．本题考查椭圆方程的求法，考查△OPQ 面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式，弦长公式的合理运用．21.【答案】 （ Ⅰ）解：由 （ ） （1-k ） x-klnx+k-1 ，得′（） （ ）- ，f x =fx = 1-k（1）当 1-k≤0，即 k≥1时， f′（ x）=（ 1-k） - ＜ 0，∴f（x）在（ 0，+∞）上单调递减；（ 2）当 1-k＞ 0，即 k＜1 时， f′（ x） =．①当 k＜ 0 时， -k＞ 0 且（ 1-k） x＞ 0，∴f′（ x）=＞ 0，∴f（x）在（ 0，+∞）上单调递增；②当 0＜ k＜ 1 时， f′（ x）==，∵＞ 0，当 x 变化时， f（ x）， f′（ x）的变化情况如下表：x（ 0，）（， +∞）f′（ x） -0+f（ x）单调递减极小值单调递增综上，当 k＜ 0 时， f（ x）在（ 0， +∞）上单调递增，当 0＜ k＜1 时， f（ x）在（ 0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，当 k≥1时， f（x）在（ 0，+∞）上单调递增，（Ⅱ）证明：由（ I ）知，当0＜ k＜ 1 时，函数f（ x）在（ 0，）上单调递减，在（， +∞）上单调递增，又 f（ 1） =0，∵函数 f（ x）恰有两个零点x1，x2（ x1＜ x2），∴或．①当，即时，+令 x2=1，∵当 x→0时， f（ x）→+∞，且，∴有唯一的 x1∈（ 0， 1），使得 f（ x1） =0 ，则不等式等价于，又∵（ 1-k） x1-klnx1 +k-1=0 ，即，∴只需证明，即当 0＜ x1＜1 时，证明成立，令 h（ x）=，则，∴h（ x）在（ 0， 1]上单调递增，即当0＜ x＜1 时，有 h（ x）＜ h（1） =0．∴原不等式成立．②当，即时，令 x1=1，∵当x→，+∞f x）→ +∞，时，（，且∴有唯一的 x2∈（ 1， +∞），使得f（ x2） =0，则不等式等价于，又∵（ 1-k） x2-klnx2 +k-1=0 ，即，只需证明，即当 x2＞ 1 时，证明成立，令 H（ x） =，则=．∴H （ x）在区间 [1，+∞）上单调递增，即当x＞ 1时，有 H （x）＞ H（ 1） =0．∴原不等式成立．综上，当函数f（ x）恰有两个零点x1， x2（ x1＜ x2），原不等式成立．【解析】本题考查了导数的综合应用，考查数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，同时考查了放缩法证明不等式的方法，属于难题．（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对 k 分类分析，当 0＜ k＜ 1 时，求出导函数的零点，由导函数在各区间段内的符号，可得原函数的单调性；（Ⅱ）由I（）知，当0＜k＜1 时，函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，结合 f （1）=0，且函数 f（x）恰有两个零点 x1，x2（x1＜x2），可得或．当，即时，把不等式转化为，结合（1-k）x1-klnx 1+k-1=0，即，转化为当 0＜x1＜1时证成立，构造函数证明；当，明，即时，把不等式转化为结，合（1-k）x2-klnx 2+k-1=0，即，转化为当 x2＞1时证，明成立，再构造函数证明．22.【答案】解：（I）曲线C的极坐标方程是ρ=4cos，θ转化为直角坐标方程为：（ x-2）2+y2=4，直线 l 的极坐标方程是，转化为直角坐标方程为：x+y-1=0．（Ⅱ）点的直角坐标为（0， 1）且点 Q 在直线 l 上．设直线的参数方程为：（ t 为参数），把直线的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程为：，整理得：，（ t1和 t2为 A 和 B 对应的参数），所以：， t1?t2=1所以： |QA|+|QB|=．考点： 1、极坐标和直角坐标的互化；2、参数的意义．【解析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系，整理成一元二次方程，利用根和系数的关系求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．23.【答案】解：（I）原不等式即|2x+1|+|x-2|≤4，①当 x≤- 时，原不等式即-2x-1-x+2≤4，解得： -1≤x≤- ，②当 - ＜ x≤2时，原不等式即2x+1- x+2≤4，解得： - ＜ x≤1，③当 x＞ 2 时，原不等式即2x+1+x-2≤4，解得： x∈?，综上，原不等式的解集是[-1，1]；（Ⅱ）∵f（ x） =|2x+1|+|x-a|．a∈R．①当 a=- 时， f（ x） = |2x+1| ≥0，显然不等式f（ x）＜ 1 的解集为非空集合，②当 a＞ - 时，易知当x=- 时， f（ x）取得最小值a+ ，即 f（ x） =|2x+1|+|x-a| ≥a+ ，欲使不等式f（ x）＜ 1 的解集为非空集合，必需a+ ＜ 1，故 - ＜a＜；③当 a＜ - 时，易知当x=- 时， f（ x）取最小值 -a- ，即 f（ x） =|2x+1|+|x-a| ≥-a- ，欲使不等式f（ x）＜ 1 的解集为非空集合，必需 -a- ＜ 1，∴＜a＜ - ；综上，当 - ＜ a＜时，不等式 f （x）＜ 1 的解集是非空集合．【解析】（Ⅰ）通过讨论 x 的范围，求出各个区间的不等式的解集，取并集即可；（Ⅱ）通过讨论 a的范围，求出 f （x）的最小值，得到关于 a 的不等式，从而确定a的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．第21 页，共 21页。
成都市2018年三诊数学试题深度评析PDF
a
3 3 a 1。 ，即 2e 2e
此题把函数定义域限定在整数范围内， 可以视为数列问题， 而研究数列的根本方法是列出来、 观察、归纳、猜想。于是作者在《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》一书中给出了如 下解法 法一（一个完整的探究过程：观察归纳猜想验证） ： 注 意 到 f 0 1 a 0 ， 而
基于对考试中心告诫的忽视，这个题在广东的平均得分仅 0.91。 由此我们看到了考试中心的：积极“引导教学” ，树好“一面旗” 。 从特殊到一般是研究的基本思路，所以特殊位置依然是优先考虑的重要位置，正因为 如此， 在 《全国卷高考数学分析及应对》 一书的 4.11 选填题的解题技巧的方法五种， 以 2016 全国 1 卷第 16 题来强调特殊位置的慎用和妙用。 （2018 届成都三诊第 11 题）
3 1) 2e
B. [
3 3 , ) 2e 4
C. [
3 3 , ) 2e 4
3 ，1) 2e
（2018 届成都三诊第 12 题）
（2017 绵阳三诊）已知函数 p x ln x x 4 ， q x axe , a R ，若关于 x 的不等式
2018年高考数学三诊试卷(文科)
2018年四川省自贡市高考数学三诊试卷（文科）一、选择题1．设集合A={x∈N|，0≤x≤2}，B={x∈N|1≤x≤3}，则A∪B=（）A．{1，2} B．{0，1，2，3} C．{x|1≤x≤2} D．{x|0≤x≤3}2．若从2个滨海城市和2个内陆城市中随机选取1个取旅游，那么恰好选1个滨海城市的概率是（）A．B．C．D．3．已知复数z=1+i，则等于（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣24．设变量x，y满足线性约束条件则目标函数z=2x+4y的最小值是（）A．6 B．﹣2 C．4 D．﹣65．阅读右边程序框图，当输入的值为3时，运行相应程序，则输出x的值为（）A．7 B．15 C．31 D．636．已知数列{a n}为等差数列，S n为前n项和，公差为d，若﹣=100，则d的值为（）A．B．C．10 D．207．设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊥α，则m∥βB．若m⊥α，n∥α，则m⊥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β8．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若sinA=2 sinB，，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．9．给出下列命题：①函数y=cos（﹣2x）是偶函数；②函数y=sin（x+）在闭区间上是增函数；③直线x=是函数y=sin（2x+）图象的一条对称轴；④将函数y=cos（2x﹣）的图象向左平移单位，得到函数y=cos2x的图象，其中正确的命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D． +211．已知函数f（x）=﹣2x5﹣x3﹣7x+2，若f（a2）+f（a﹣2）＞4，则实数a的取值范围（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，3）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）12．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），过双曲线右焦点F倾斜角为的直线与该双曲线的渐近线分别交于M、N．若|FM|=2|FN|，则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．或D．或二、填空题13．设等比数列{a n}的公比q=，前n项和为S n，则= ．14．已知向量，，其中||=，||=2，且（+）⊥，则向量，的夹角是．15．关于函数f（x）=ln，有下列三个命题：①f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；②f（x）为奇函数；③f（x）在定义域上是增函数；④对任意x1，x2∈（﹣1，1），都有f（x1）+f（x2）=f（）．其中真命题有（写出所有真命题的番号）16．如图所示，一辆装载集装箱的载重卡车高为3米，宽为2.2米，欲通过断面上部为抛物线形，下部为矩形ABCD的隧道．已知拱口宽AB等于拱高EF的4倍，AD=1米．若设拱口宽度为t米，则能使载重卡车通过隧道时t的最小整数值等于．三、解答题17．已知函数f（x）=4sinxcos（x﹣）+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值．18．如图，圆锥的横截面为等边三角形SAB，O为底面圆圆心，Q为底面圆周上一点．（Ⅰ）如果BQ的中点为C，OH⊥SC，求证：OH⊥平面SBQ；（Ⅱ）如果∠AOQ=60°，QB=2，求该圆锥的体积．19．某超市计划每天购进某商品若干件，该超市每销售一件该商品可获利润80元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损20元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利40元．（Ⅰ）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N）的函数解析式；（Ⅱ）商店记录了50天该商品的日需求量n（单位：件，n∈N），整理得下表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间内的概率．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为e=，它的一个顶点的坐标为（0，﹣1）（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若椭圆C上存在两个不同的点A、B关于直线y=﹣x+对称，求△OAB的面积的最大值（O为坐标原点）．21．已知函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx+b（a＞0）．（1）若函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x﹣1，求实数a，b的值；（2）在（1）的b下，当a≥2时，讨论函数f（x）的零点的个数．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．在直角坐标系xoy中，直线l过点M（3，4），其倾斜角为45°，以原点为极点，以x 正半轴为极轴建立极坐标，并使得它与直角坐标系xoy有相同的长度单位，圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的普通方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，求|MA|•|MB|的值．23．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2（Ⅰ）解不等式f（x）≥0（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．2018年四川省自贡市高考数学三诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．设集合A={x∈N|，0≤x≤2}，B={x∈N|1≤x≤3}，则A∪B=（）A．{1，2} B．{0，1，2，3} C．{x|1≤x≤2} D．{x|0≤x≤3}【考点】1D：并集及其运算．【分析】化简集合A、B，根据并集的定义写出A∪B．【解答】解：集合A={x∈N|，0≤x≤2}={0，1，2}，B={x∈N|1≤x≤3}={1，2，3}，则A∪B={0，1，2，3}．故选：B．2．若从2个滨海城市和2个内陆城市中随机选取1个取旅游，那么恰好选1个滨海城市的概率是（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=4，再求出恰好选1个海滨城市包含的基本事件个数m=2，由此能求出恰好选1个海滨城市的概率．【解答】解：从2个海滨城市和2个内陆城市中随机选1个去旅游，基本事件总数n=4恰好选1个海滨城市包含的基本事件个数m=2，恰好选1个海滨城市的概率是p==．故选：D．3．已知复数z=1+i，则等于（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】复数代入表达式，利用复数乘除运算化简复数为a+bi的形式即可．【解答】解：因为复数z=1+i，所以===﹣=2i．故选A．4．设变量x，y满足线性约束条件则目标函数z=2x+4y的最小值是（）A．6 B．﹣2 C．4 D．﹣6【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，﹣3），化目标函数z=2x+4y为y=x+，由图可知，当直线y=x+过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为6﹣12=﹣6，故选：D．5．阅读右边程序框图，当输入的值为3时，运行相应程序，则输出x的值为（）A．7 B．15 C．31 D．63【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的x，n的值，当n=4时不满足条件n≤3，退出循环，输出x的值为31．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=3，n=1满足条件n≤3，执行循环体，x=7，n=2满足条件n≤3，执行循环体，x=15，n=3满足条件n≤3，执行循环体，x=31，n=4不满足条件n≤3，退出循环，输出x的值为31．故选：C．6．已知数列{a n}为等差数列，S n为前n项和，公差为d，若﹣=100，则d的值为（）A．B．C．10 D．20【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由等差数列{a n}可得： =d=n+为等差数列，即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}可得： =d=n+为等差数列，∵﹣=100，∴+﹣=100，∴10d=1，解得d=．故选：B．7．设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊥α，则m∥βB．若m⊥α，n∥α，则m⊥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】A：漏掉了m⊂β．B：根据线线垂直的判定可得结论是正确的．C：漏掉了m与n 相交、异面的情况．D：可以举出墙角的例子．【解答】解：A：直线m也可以在平面β内．B：根据线线垂直的判定可得结论是正确的．C：m与n可能平行也可能相交也可能异面．D：α与β也可以相交．可以举出墙角的例子．故选B．8．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若sinA=2 sinB，，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】根据题意，由正弦定理可得a=2b，进而由余弦定理可得a2+b2﹣2abcosC=5b2﹣4b2cos=16，解可得b的值，进而可得a的值，由三角形面积公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，△ABC中，若sinA=2sinB，则有a=2b，c2=a2+b2﹣2abcosC=5b2﹣4b2cos=16，解可得b=，则a=2b=，则S△ABC=absinC=，故选：A．9．给出下列命题：①函数y=cos（﹣2x）是偶函数；②函数y=sin（x+）在闭区间上是增函数；③直线x=是函数y=sin（2x+）图象的一条对称轴；④将函数y=cos（2x﹣）的图象向左平移单位，得到函数y=cos2x的图象，其中正确的命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式化简①，然后判断奇偶性；求出函数y=sin（x+）的增区间，判断②的正误；直线x=代入函数y=sin（2x+）是否取得最值，判断③的正误；利用平移求出解析式判断④的正误即可．【解答】解：①函数y=sin（﹣2x）=sin2x，它是奇函数，不正确；②函数y=sin（x+）的单调增区间是，k∈Z，在闭区间上是增函数，正确；③直线x=代入函数y=sin（2x+）=﹣1，所以x=图象的一条对称轴，正确；④将函数y=cos（2x﹣）的图象向左平移单位，得到函数y=cos（2x+）的图象，所以④不正确．故选：B．10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D． +2【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体由两个三棱锥组成的，利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，该几何体由两个三棱锥组成的，该几何体的表面积S=+1×1+++=．故选：A．11．已知函数f（x）=﹣2x5﹣x3﹣7x+2，若f（a2）+f（a﹣2）＞4，则实数a的取值范围（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，3）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，令g（x）=f（x）﹣2，则g（x）=f（x）﹣2=﹣2x5﹣x3﹣7x，分析可得g（x）的奇偶性与单调性，则f（a2）+f（a﹣2）＞4，可以转化为g（a2）＞﹣g（a﹣2），结合函数的奇偶性与单调性分析可得a2＜2﹣a，解可得a的范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，令g（x）=f（x）﹣2，则g（x）=f（x）﹣2=﹣2x5﹣x3﹣7x，g（﹣x）=﹣2（﹣x）5﹣（﹣x）3﹣7（﹣x）=﹣（﹣2x5﹣x3﹣7x），则g（x）为奇函数，而g（x）=﹣2x5﹣x3﹣7x，则g′（x）=﹣10x4﹣2x2﹣7＜0，则g（x）为减函数，若f（a2）+f（a﹣2）＞4，则有f（a2）﹣2＞﹣，即g（a2）＞﹣g（a﹣2），即g（a2）＞g（2﹣a），则有a2＜2﹣a，解可得﹣2＜a＜1，即a的取值范围是（﹣2，1）；故选：D．12．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），过双曲线右焦点F倾斜角为的直线与该双曲线的渐近线分别交于M、N．若|FM|=2|FN|，则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．或D．或【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，讨论b＞a＞0，可得N为FM的中点．当a＞b＞0时，可得=﹣2，求出直线MN的方程，联立渐近线方程可得M，N的坐标，求得b=3a或a=3b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：双曲线C：﹣=1的渐近线方程为y=±x，当b＞a＞0时，如右图．若|FM|=2|FN|，可得N为FM的中点．由直线MN：y=x﹣c，联立y=x，可得M（，），由直线MN：y=x﹣c，联立y=﹣x，可得N（，﹣），由F（c，0），可得﹣=，化简为b=3a，即有e====；当a＞b＞0时，如右图．若|FM|=2|FN|，可得=﹣2，由直线MN ：y=x ﹣c ，联立y=x ，可得M （，），由直线MN ：y=x ﹣c ，联立y=﹣x ，可得N （，﹣），由F （c ，0），可得=﹣2•（﹣），化简为a=3b ，即有e====．则该双曲线的离心率等于或．故选：D ．二、填空题13．设等比数列{a n }的公比q=，前n 项和为S n ，则=．【考点】8G ：等比数列的性质．【分析】利用等比数列的通项与求和公式，即可求出．【解答】解：∵等比数列{a n }的公比q=，∴S4==a1，a2=a1，∴==．故答案为：．14．已知向量，，其中||=，||=2，且（+）⊥，则向量，的夹角是．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量垂直的条件，结合向量数量积公式，即可求向量，的夹角【解答】解：设向量，的夹角为θ，∵||=，||=2，且（+）⊥，∴（+）•=+=+||•||cosθ=2+2cosθ=0，解得cosθ=﹣，∵0≤θ≤π，∴θ=，故答案为：15．关于函数f（x）=ln，有下列三个命题：①f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；②f（x）为奇函数；③f（x）在定义域上是增函数；④对任意x1，x2∈（﹣1，1），都有f（x1）+f（x2）=f（）．其中真命题有②④（写出所有真命题的番号）【考点】4N：对数函数的图象与性质．【分析】由函数f （x ）=ln =ln （），根据函数的各性质依次判断各选项即可．【解答】解：函数f （x ）=ln=ln （），其定义域满足：（1﹣x ）（1+x ）＞0，解得：﹣1＜x ＜1，∴定义域为{x|﹣1＜x ＜1}．∴①不对．由f （﹣x ）=ln=ln=ln （）﹣1=﹣ln=﹣f （x ），是奇函数，∴②对．定义域为{x|﹣1＜x ＜1}．函数y=在定义内是减函数，根据复合函数的单调性，同增异减，∴f （x ）在定义域上是减函数；③不对．f （x 1）+f （x 2）=ln +ln=ln （×）=f （）．∴④对．故答案为②④16．如图所示，一辆装载集装箱的载重卡车高为3米，宽为2.2米，欲通过断面上部为抛物线形，下部为矩形ABCD 的隧道．已知拱口宽AB 等于拱高EF 的4倍，AD=1米．若设拱口宽度为t 米，则能使载重卡车通过隧道时t 的最小整数值等于 9 ．【考点】K9：抛物线的应用．【分析】建立如图所示的坐标系，求出抛物线的方程，即可求出求出能使载重卡车通过隧道时t 的最小整数值．【解答】解：建立如图所示的坐标系，则B （，﹣），设抛物线方程为x 2=ay ，则，∴a=﹣t ，∴x 2=﹣ty ，由题意，x=1.1，y=﹣∴﹣+≥2，t=8，﹣+＜2，t=9，﹣+＞2，∴能使载重卡车通过隧道时t的最小整数值等于9．故答案为9．三、解答题17．已知函数f（x）=4sinxcos（x﹣）+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值．【考点】HW：三角函数的最值；H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】（Ⅰ）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin （ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期（Ⅱ）x∈上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值．【解答】解：函数f（x）=4sinxcos（x﹣）+1．化简可得：f（x）=4sinxcosxcos+4sin2xsin+1=sin2x+1﹣cos2x+1=2sin（2x）+2．（Ⅰ）∴函数f（x）的最小正周期T=．（Ⅱ）∵x∈上时，∴2x∈当2x=时，函数f（x）取得最大值为2×=．∴函数f（x）在区间上的最大值为．18．如图，圆锥的横截面为等边三角形SAB，O为底面圆圆心，Q为底面圆周上一点．（Ⅰ）如果BQ的中点为C，OH⊥SC，求证：OH⊥平面SBQ；（Ⅱ）如果∠AOQ=60°，QB=2，求该圆锥的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连接OC，AQ，由已知可得OC∥AQ，再由AB为圆的直径，可得OC⊥BQ，由SO ⊥平面ABQ，得SO⊥BQ，由线面垂直的判定可得BQ⊥平面SOC，进一步得到平面SBQ⊥平面SOC，由面面垂直的性质可OH⊥平面SBQ；（Ⅱ）由已知求解三角形可得OQ=OA=2，SA=4，则SO=．由已知体积公式求得圆锥的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，AQ，∵O为AB的中点，且BQ的中点为C，∴OC∥AQ，∵AB为圆的直径，∠AQB=90°，∴OC⊥BQ，∵SO⊥平面ABQ，∴SO⊥BQ，又SO∩OC=O，∴BQ⊥平面SOC，则平面SBQ⊥平面SOC，又平面SBQ∩平面SOC=SC，OH⊥SC，∴OH⊥平面SBQ；（Ⅱ）解：∵∠AOQ=60°，QB=2，∴OC=1，OQ=OA=2，SA=4，则SO=．∴圆锥的体积V=．19．某超市计划每天购进某商品若干件，该超市每销售一件该商品可获利润80元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损20元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利40元．（Ⅰ）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N）的函数解析式；（Ⅱ）商店记录了50天该商品的日需求量n（单位：件，n∈N），整理得下表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间内的概率．【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）分类求出函数解析式，即可得出利润y关于需求量n的函数解析式；（Ⅱ）利润在区间内，日需求量为10、11、12，其对应的频数分别为14、10、4，即可求出概率．【解答】解：（Ⅰ）当日需求量n≥10时，利润为y=80×10+（n﹣10）×40=40n+400；…当日需求量n＜10时，利润为y=80n﹣（10﹣n）×20=100n﹣200．…所以利润y关于需求量n的函数解析式为y=…（Ⅱ）50天内有5天获得的利润为500元，有7天获得的利润为600元，有10天获得的利润为700元，有14天获得的利润为800元，有10天获得的利润为840元，有4天获得的利润为880元．…若利润在区间内，日需求量为10、11、12，其对应的频数分别为14、10、4．…则利润在区间内的概率为=0.56．…20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为e=，它的一个顶点的坐标为（0，﹣1）（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若椭圆C上存在两个不同的点A、B关于直线y=﹣x+对称，求△OAB的面积的最大值（O为坐标原点）．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程．【分析】（I）由题意可得： =，b=1，a2=b2+c2，联立解得a，b，c即可得出．（II）直线AB的方程为：y=mx+n．与椭圆方程联立化为：（1+2m2）x2+4mnx+2n2﹣2=0，△＞0，可得1+2m2＞n2．设A（x1，y1），B（x2，y2）．利用根与系数的关系可得线段AB的中点G，代入直线y=﹣x+，可得：n=﹣．利用|AB|=．d=，可得S△OAB=|AB|•d，再利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（I）由题意可得： =，b=1，a2=b2+c2，联立解得a=，b=c=1．∴椭圆C的方程为： +y2=1．（II）直线AB的方程为：y=mx+n．联立，化为：（1+2m2）x2+4mnx+2n2﹣2=0，△=16m2n2﹣4（1+2m2）（2n2﹣2）＞0，∴1+2m2＞n2．设A（x1，y1），B（x2，y2）．∴x1+x2=，x1•x2=，∴线段AB的中点G，代入直线y=﹣x+，可得：n=﹣．∴x1+x2=2m，x1•x2=，∴|AB|==•=•．d==．∴S△OAB=|AB|•d=×（1+2m2）ו．令1+2m2=t＞1，则S△OAB==f（t），（1＜t＜4）．当t=1+2m2=2时，即m2=时，S△OAB的最大值为．21．已知函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx+b（a＞0）．（1）若函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x﹣1，求实数a，b的值；（2）在（1）的b下，当a≥2时，讨论函数f（x）的零点的个数．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；54：根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，由已知切线的方程可得f（1）=0，f′（1）=1，解方程可得a，b的值；（2）求出f（x）的导数，并分解因式，讨论a=2，a＞2，判断导数的符号，求得单调区间，由f（1）=0，运用构造函数法，求出导数，判断单调性，即可得到所求结论．【解答】解：（1）函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx+b的导数为f′（x）=2ax﹣（a+2）+，可得函数f（x）在x=1处的切线斜率为k=2a﹣a﹣2+1=a﹣1，由切线方程y=x﹣1，可得a﹣1=1，解得a=2；由f（1）=a﹣a﹣2+0+b=0，解得b=2．（2）f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx+2（x＞0，a≥2），导数为f′（x）=2ax﹣（a+2）+==，当a=2时，f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，f（x）在（0，+∞）递增，由f（1）=a﹣a ﹣2+0+2=0，可得f（x）此时有一个零点；当a＞2，即0＜＜时，由f′（x）＞0可得x＞或0＜x＜；由f′（x）＜0可得＜x＜．即有f（x）的增区间为（0，），（，+∞），减区间为（，），由f（1）=0，可得f（x）在（，+∞）有且只有一个零点，且f（）＜0．f（）=1﹣lna﹣，设g（x）=1﹣﹣lnx（x＞2），g′（x）=＜0（x＞2），可得g（x）在（2，+∞）递减，可得g（x）＜g（2）=1﹣﹣ln2=ln＜0，于是f（）＜0，f（x）在（0，）无零点，故a＞2时，f（x）有且只有一个零点．综上可得，a≥2时，f（x）有且只有一个零点．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．在直角坐标系xoy中，直线l过点M（3，4），其倾斜角为45°，以原点为极点，以x 正半轴为极轴建立极坐标，并使得它与直角坐标系xoy有相同的长度单位，圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的普通方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，求|MA|•|MB|的值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）直线l过点M（3，4），其倾斜角为45°，参数方程为，（t为参数）．由极坐标与直角坐标互化公式代入化简即可得出圆C的普通方程；（Ⅱ）直线l的参数方程代入圆方程得+9=0，利用|MA|•|MB|=|t1|•|t2|=|t1t2|即可得出．【解答】解：（Ⅰ）直线l 过点M （3，4），其倾斜角为45°，参数方程为，（t 为参数）．圆C 的极坐标方程为ρ=4sin θ，直角坐标方程为x 2+y 2﹣4y=0；（Ⅱ）将直线的参数方程代入圆方程得：+9=0，设A 、B 对应的参数分别为t 1、t 2，则t 1+t 2=5，t 1t 2=9，于是|MA|•|MB|=|t 1|•|t 2|=|t 1t 2|=9．23．已知函数f （x ）=|2x+1|﹣|x|﹣2（Ⅰ）解不等式f （x ）≥0（Ⅱ）若存在实数x ，使得f （x ）≤|x|+a ，求实数a 的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）化简函数的解析式，分类讨论，求得不等式的解集．（Ⅱ）不等式即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．根据绝对值的意义可得|x+|﹣|x|∈，故有+1≥﹣，由此求得a 的范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）=|2x+1|﹣|x|﹣2=，当x ＜﹣时，由﹣x ﹣3≥0，可得x ≤﹣3．当﹣≤x ＜0时，由3x ﹣1≥0，求得 x ∈∅．当x ≥0时，由x ﹣1≥0，求得 x ≥1．综上可得，不等式的解集为{x|x ≤﹣3 或x ≥1}．（Ⅱ）f （x ）≤|x|+a ，即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．由于|x+|﹣|x|表示数轴上的x 对应点到﹣对应点的距离减去它到原点的距离，故|x+|﹣|x|∈，故有+1≥﹣，求得a ≥﹣3．2018年5月23日。