高等数学洛必达法则教学ppt
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高等数学课件同济版第二节洛必达法则
,
汇报人：
目录
洛必达法则的起源和历史
洛必达法则是由法国数学家洛必达提出的 洛必达法则是微积分中的一个重要法则，用于解决极限问题 洛必达法则在17世纪末被提出，并在18世纪初被广泛应用
洛必达法则在微积分的发展中起到了重要作用，对现代数学和科学产生了深远影响
洛必达法则在高等数学中的地位和作用
洛必达法则是微积 分中的一个重要定 理，用于解决极限 问题
洛必达法则在高等 数学中广泛应用于 求极限、求导数、 求积分等问题
洛必达法则是解决 复杂极限问题的有 效工具，可以提高 求解效率
洛必达法则在高等 数学中具有重要的 理论价值和实际应 用价值
洛必达法则的定义和定理
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洛必达法则：一种用于求极限的方法，由法国数学家洛必达提出
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法则的逆形式
洛必达法则的变种：包括洛必 达法则的推广形式和洛必达法 则的逆形式
洛必达法则的变种和推广形式： 包括洛必达法则的推广形式和 洛必达法则的逆形式
总结洛必达法则的重要性和应用价值
洛必达法则是微积分中的重要定理， 对于解决极限问题具有重要意义。
洛必达法则可以帮助我们更好地理 解和掌握微积分的基本概念和方法。
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洛必达法则在工程、物理、经济等 领域有着广泛的应用价值。
洛必达法则在解决实际问题时，可 以提高计算效率和准确性。
分析洛必达法则在高等数学中的地位和发展趋势
洛必达法则是微积 分中的重要定理， 广泛应用于求极限、 导数、积分等领域
洛必达法则在高等数 学中的地位：是解决 复杂数学问题的重要 工具，也是理解微积 分概念的重要途径
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汇报人：
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洛必达法则的起源和历史
洛必达法则是由法国数学家洛必达提出的 洛必达法则是微积分中的一个重要法则，用于解决极限问题 洛必达法则在17世纪末被提出，并在18世纪初被广泛应用
洛必达法则在微积分的发展中起到了重要作用，对现代数学和科学产生了深远影响
洛必达法则在高等数学中的地位和作用
洛必达法则是微积 分中的一个重要定 理，用于解决极限 问题
洛必达法则在高等 数学中广泛应用于 求极限、求导数、 求积分等问题
洛必达法则是解决 复杂极限问题的有 效工具，可以提高 求解效率
洛必达法则在高等 数学中具有重要的 理论价值和实际应 用价值
洛必达法则的定义和定理
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洛必达法则：一种用于求极限的方法，由法国数学家洛必达提出
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法则的逆形式
洛必达法则的变种：包括洛必 达法则的推广形式和洛必达法 则的逆形式
洛必达法则的变种和推广形式： 包括洛必达法则的推广形式和 洛必达法则的逆形式
总结洛必达法则的重要性和应用价值
洛必达法则是微积分中的重要定理， 对于解决极限问题具有重要意义。
洛必达法则可以帮助我们更好地理 解和掌握微积分的基本概念和方法。
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洛必达法则在工程、物理、经济等 领域有着广泛的应用价值。
洛必达法则在解决实际问题时，可 以提高计算效率和准确性。
分析洛必达法则在高等数学中的地位和发展趋势
洛必达法则是微积 分中的重要定理， 广泛应用于求极限、 导数、积分等领域
洛必达法则在高等数 学中的地位：是解决 复杂数学问题的重要 工具，也是理解微积 分概念的重要途径
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高等数学第三章第二节洛必达法则课件.ppt
lim f (x) g(x)
是未定式极限 , 如果
f (x) 极限 g ( x)
不存在
,
是否
f (x) g(x)
的极限也不存在
?
举例说明 .
3 2
ln(1 x)～ x
分析:
原式
1
lim
3sin
x
x2
cos
1 x
1
(3
0)
2 x0
x
2
1
3.
6
分析:
பைடு நூலகம்原式
lim
x0
cos
x x
(x sin 2
sin x
求
lim
x
xn ex
(n 0 , 0).
型
n 为正整数的情形.
解:原式 lim
x
nxn1
ex
lim
x
n(n 1)xn2
2 e x
lim
x
n!
n e x
0
说明:
1) 例3 , 例4 表明 x 时,
ln x,
ex ( 0)
后者比前者趋于 更快 .
2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如, 用洛必达法则
x)
lim
x0
x
sin x3
x
sin x ～ x
lim cos x 1
x0
lim 1
x0
cos 3x2
x
lim
x0
1 2
x2
3x2
1 6
1
cos
x
～
1 2
x
2
3)
lim f (x) xa F(x)
高数课件9洛必达法则
由慢到快依次是： 对数函数、幂函数、 指数函数 这一点从图上即可看出 o
y x
y ln x
x
tan x . 例6 求 lim x tan 3 x
2
( )
解 直接应用法则比较麻烦，先变形，再用法则
tan x sin x cos 3 x lim lim x tan 3 x x sin 3 x cos x
( 1)( [ ] 1)( [ ] ) x r 1 lim x [ ]1e x ( 1)( [ ] 1)( [ ]) lim 0 [ ]1 x 1 r x e x x 当 x 时， ln x , x , e 都趋于 本例说明： x ye 但它们趋于+∞的速度有快有慢 y
1 1 例10 求 lim( ). x 0 sin x x
解
x sin x 原式 lim x 0 x sin x
()
1 cos x lim 0. x 0 sin x x cos x
3. 0 ,1 , 型
0 0
步骤: 00
0 ln 0 取对数 1 ln 1 0 ln 0
关于 型的极限，有下述定理
定理
设f ( x ), g ( x )在x0的某邻域内有定义，且 (1) lim f ( x ) lim g ( x )
x x0 x x0
( 2) f ( x ), g ( x )可导，且g( x ) 0 f ( x ) ( 3) lim A(或 ) x x 0 g ( x ) f ( x) f ( x ) 则 lim lim A(或 ) x x0 g ( x ) x x 0 g ( x )
y x
y ln x
x
tan x . 例6 求 lim x tan 3 x
2
( )
解 直接应用法则比较麻烦，先变形，再用法则
tan x sin x cos 3 x lim lim x tan 3 x x sin 3 x cos x
( 1)( [ ] 1)( [ ] ) x r 1 lim x [ ]1e x ( 1)( [ ] 1)( [ ]) lim 0 [ ]1 x 1 r x e x x 当 x 时， ln x , x , e 都趋于 本例说明： x ye 但它们趋于+∞的速度有快有慢 y
1 1 例10 求 lim( ). x 0 sin x x
解
x sin x 原式 lim x 0 x sin x
()
1 cos x lim 0. x 0 sin x x cos x
3. 0 ,1 , 型
0 0
步骤: 00
0 ln 0 取对数 1 ln 1 0 ln 0
关于 型的极限，有下述定理
定理
设f ( x ), g ( x )在x0的某邻域内有定义，且 (1) lim f ( x ) lim g ( x )
x x0 x x0
( 2) f ( x ), g ( x )可导，且g( x ) 0 f ( x ) ( 3) lim A(或 ) x x 0 g ( x ) f ( x) f ( x ) 则 lim lim A(或 ) x x0 g ( x ) x x 0 g ( x )
《洛必达法则》课件
简化求导后的表达式，得出所 求的极限值。Байду номын сангаас
洛必达法则的证明过程
01 利用导数的定义和性质，证明洛必达法则在一定 条件下成立。
02
通过反证法，证明洛必达法则的正确性。
03 利用数学归纳法，证明洛必达法则在更广泛的情 况下成立。
03
洛必达法则的实例解析
洛必达法则在极限计算中的应用
总结词
洛必达法则是计算极限的重要工具，尤其在处理复杂函数或不定式时，通过求导简化计 算过程，得到极限值。
洛必达法则与其他方法的比较
01
02
03
与其他求极限的方法相 比，洛必达法则是比较
直接和简便的。
对于一些特殊问题，其 他方法可能更加适用， 例如泰勒级数、等价无
穷小等。
在使用洛必达法则时， 需要注意与其他方法的 结合使用，以便更好地
解决问题。
05
洛必达法则的习题与解 析
基础题目解析
总结词
掌握洛必达法则的基本应用
洛必达法则的推导过程
导数的定义和性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有连续性、可加性、可乘性和 链式法则等性质。
洛必达法则的推导步骤
确定函数在所求点处的导数是 否存在。
对函数进行变形，使其满足洛 必达法则的形式。
利用导数的性质和极限的运算 法则，对分子和分母分别求导 。
详细描述
通过解析基础题目，了解洛必达法则的基本形式和适用条件，掌握如何利用洛 必达法则求解简单函数的极限。
进阶题目解析
总结词
提升对复杂函数极限的求解能力
详细描述
解析进阶题目，学会处理含有参数、复合函数、幂指函数等复杂情况的极限问题，进一步掌握洛必达法则的应用 技巧。
洛必达法则的证明过程
01 利用导数的定义和性质，证明洛必达法则在一定 条件下成立。
02
通过反证法，证明洛必达法则的正确性。
03 利用数学归纳法，证明洛必达法则在更广泛的情 况下成立。
03
洛必达法则的实例解析
洛必达法则在极限计算中的应用
总结词
洛必达法则是计算极限的重要工具，尤其在处理复杂函数或不定式时，通过求导简化计 算过程，得到极限值。
洛必达法则与其他方法的比较
01
02
03
与其他求极限的方法相 比，洛必达法则是比较
直接和简便的。
对于一些特殊问题，其 他方法可能更加适用， 例如泰勒级数、等价无
穷小等。
在使用洛必达法则时， 需要注意与其他方法的 结合使用，以便更好地
解决问题。
05
洛必达法则的习题与解 析
基础题目解析
总结词
掌握洛必达法则的基本应用
洛必达法则的推导过程
导数的定义和性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有连续性、可加性、可乘性和 链式法则等性质。
洛必达法则的推导步骤
确定函数在所求点处的导数是 否存在。
对函数进行变形，使其满足洛 必达法则的形式。
利用导数的性质和极限的运算 法则，对分子和分母分别求导 。
详细描述
通过解析基础题目，了解洛必达法则的基本形式和适用条件，掌握如何利用洛 必达法则求解简单函数的极限。
进阶题目解析
总结词
提升对复杂函数极限的求解能力
详细描述
解析进阶题目，学会处理含有参数、复合函数、幂指函数等复杂情况的极限问题，进一步掌握洛必达法则的应用 技巧。
高等数学课件--D3_2洛必达法则
n
1
e 1 ~ u
2
lim
2012-10-12
1 ln n n
n
n
1 n 2 同济高等数学课件
lim
ln n n
1 2
例3
0
例3 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
0 ,1 , 型
0 0
洛必达法则
f
g
e
g ln f
0
型
f g
1 g 1 g
型
0 型
0
1 f
型
1 f
f g
f
1 g
2012-10-12
同济高等数学课件
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思考与练习
1. 设 lim 是否
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
是未定式极限 , 如果
f ( x ) g ( x )
极限不存在 ,
的极限也不存在 ? 举例说明 .
3) lim f ( x ) F ( x)
x a
存在 (或为∞)
lim f ( x) F ( x )
lim
xa
f ( x) F ( x)
x a
(洛必达法则)
证: 仅就极限 lim
xa
2012-10-12
f ( x) F ( x)
存在的情形加以证明 .
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同济高等数学课件
1 6
cos x ( x sin x) x sin x
2
sin x ～ x
lim cos x 1
x0
x 0
x sin x
x
经典洛必达法则-PPT课件
f ( ) 对任 k , 意 存 的 在 ( a 实 点 b ), 使 数 k . f ( ) f () 分析 要 证 ( ) kf ( ) 0 . k, 即证 f f ()
k k e f ( ) e kf ( ) 0
cos x 0 .( ) 例 求 lim 0 x 2 x 2 sin x (cosx) 解 原式 lim lim sin 1. 1 x 2 x 2 ) 2 (x 2
cos x 1 x 0 例求 lim .( ) 3 x 0 0 x 1 s in x 21 x 解 原式 lim . 2 x 0 3 x
例
3 x 3 x 2 求 lim . 3 2 x 1x x x 1
0 ( ) 0
解：
正解：
×
注意: 不是未定式不能用L’Hospital法则 !
2、 型未定式解法：
定理3：设
(1) 定理 3 对其他极限过程也是成 立的。
f ( x ) ( 2 ) 当 lim 不存在也不为 时，应改用他 F ( x )
f( x x ) sin x 0
F ( x ) f ( x ) sin x
验证 F ( x ) 在 [0,] 上满足Rolle定理条件.
3.
f ( ) 对任 k , 意 存 的 在 ( a 实 点 b ), 使 数 k . f ( ) f () 分析 要 证 ( ) kf ( ) 0 . k, 即证 f f ()
f ( x ) f ( x ) ( 或 f ( x ) f ( x )), 0 0 ( x ) 0 . 那么 f 0
洛必达法则-PPT
arctan x
【例3】求 lim 2 x
1
.
(0) 0
x
【解】 原式
lim
x
1
1
x 1 x2
2
x2
lim x1
x2
1.
【例4】求 lim lnsinax . x0 lnsinbx
()
【解】原式
a cos ax sinbx
lim
x0 bcos bx sinax
cosax lim x0 cosbx
x0
x2 3x2
1 3
二、0·∞,∞－∞,00,1∞,∞0 型未定式解法
【关键】将以上其它类型未定式化为洛必达法则可 解决的类型 ( 0 ), ( )
0
1. 【0·∞】型
注：以下写法仅是记号
【步骤】 0 1 , 或 0 0 1 0 .
00
【例8】 求 lim x2e x . x
x0 1
【例2】
求
lim
x1
x3 x3
3x x2
x
2
1
.
(0) 0
【解】原式
lim
x1
3
3 x2
x2 3 2x
1
lim 6x x1 6 x
2
3. 2
【注意】（1） 上式中 lim 6已x 不是未定式， x1 6 x 2
不能再使用洛必达法则，否则导致 错误的结果.
（2） 由此可见，在使用罗必达法则时应 步步整理、步步判别。如果不是未定式就 坚决不能用洛必达法则。
2
【例6】
求
xn
lim
x
e
x
(n 为正整数， 0)
高三数学复习课件_专题6、洛必达法则
解析： 0 型 0
lim
x0
s
in x
x
l i m( s i n x) x0 x
limcosx x0 1
1
二、洛必达法则求极限
例2.求 limxlnx x 0
解析：不适合条件，需转化
1
lim
x 0
x
l
n
x
lim
x 0
ln 1 x
x
lim
x 0
x 1
x2
lim(x) 0 x 0
例3.求
lim(
x1
x
1
1
l
1 n
) x
解析：
l
x
i m(
1
x
1
1
1 ln
) x
lxi1m(lxnx1)xln1x
lim x1 l
n
1 x
1
x
x
x
1
l
x
im 1 l
n
1 x
1
x 1
1 x
1
lim
x1
x2 11 x x2
1 2
例4.求
lim
x1
x
3 x3
x
2 3x
x
2
1
解析：
limx3 x2 x 1 x1 x3 3 x 2
h)
3 5
f( x0
)
6 5
三、洛必达法则的应用
适用题型： 1.不等式恒成立或能成立题目。
2.能分离参数成 a h(x)或a h(x) ，归结 为求 h(x)的某个最值(或其极限值)问题。 3.常规方法不易求得最值或其极限值(往往
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但
lim
x0
x2 sin 1 x
ex 1
x
lim
x0
ex
1
x sin
1 x
10
0
三、其他类型未定式的极限
0 , , 00 ,1 , 0
关键：将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的
类型： 或 0 0
1. 0
步骤：0 1 , 或 0 0 1 .
0
例12 求 lim x ln x x 0
2)上述定理对“ 0 ”型或“
”型的极限均成
0
立，其它类型的不定型需要转化为以上两种类型后
才能使用洛必达法则。
例1 求 lim sin 2x x0 3x (0) 0
解 lim sin 2x x0 3x
(sin 2x)
2cos 2x
lim x0
(3 x )'
lim x0
3
2 3
不是未定式不能用洛必达法则 !
不存在()
洛必达法则失效！
lim
x sin x
1 sin x
lim
x
1
x x sin x x 1 sin x
x
例10
求 lim x sin x x0 (1 cos x) e x 1
解 lim x sin x x0 (1 cos x) e x 1
能用等价无穷小代 换的先代换
lim 1
2 x0 3 x
例7
求
lim
x
xn ex
解
xn
lim
x
e
x
()
nx n1
lim
x
ex
n(n 1)xn2
lim x
2ex
L
n!
lim
x
nex
0
使用n次洛必 达法则
例8
求 lim x
ln x x
( >0)
解
()
1
ln x
lim
x
x
lim
x
x x 1
1
xx0 g( x)
x g( x)
通常称为未定式，分别记为 0 和 。
0
（1） 0 , （2） 0 , 0
（3） 00 , 0 ,1
例如,
lim tan x , x0 x
(0) 0
lim lnsin ax , x0 ln sin bx
()
lim x e x，0
x
lim x x，00
x0
arcsin
2cos 2x
(2cos 2x)
lim
lim
x0 3
x0 (3)
例2 求 lim x4 16 x2 x 2
解 方法一： ( 0 ) 0
x4 16
4x3
lim
lim 32
x2 x 2
x2 1
方法二：
x4 16
( x 2)( x 2)( x2 4)
lim
lim
x2 x 2 x2
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理 第二节 函数的性质 第三节 洛必达法则
第三节 洛必达法则
本节主要内容: 一.未定式 二.洛必达法则 三.其他类型未定式的极限
一、未定式
如果当xx0（或x ）时，两个函数 f(x)和g(x) 的极限都为零或都趋于无穷大，极限
lim f ( x) (或 lim f ( x) )
等价无穷小代换
洛必达法则
1 x2
lim
x0
2 3x2
1 6
lim
x0
sin x 6x
lim
x0
x 6x
1 6
arctan x
例5 求 lim 2 x
1
解
(0) x 0
lim
x
2
arctan
1 x
x
lim
x
1
1 x
2
1 x2
lim
x
x2 1 x2
lim
x
2x 2x
1
可多次使用洛必达法则，但在反复使用法则时，要时
x2
( x 2)( x2 4)
lim
x2
1
32
例3 求 lim sin 5x x sin 2 x
解
(0)
0
sin 5x lim x sin 2 x
lim
x
(sin (sin
5 2
x x
) )
lim
x
5 2
cos cos
5 2
x x
5 5 22
注意： 3) 在很多情况下，要与其它求极限的方法（如
lim(
x0
x
1
x )x2
1
lim (ln 1 )x
x0
x
0
lim( x 1 )
x1 1 x ln x
二、洛必达法则
定理3.3.1（洛必达法则）设函数 f(x) 、g(x) 满足：
（1） lim f ( x) 0, lim g( x) 0 ；
x x0
x x0
（2） f(x) 、g(x)在x0的某去心邻域
N ( x0 ,
)
内可导，
且 g(x) ≠0；
（3） lim f ( x) A （A为有限数，也可为无穷大）． xx0 g( x)
则
f (x)
f ( x)
lim
lim
A
xx0 g( x) xx0 g( x)
定理的证明
1) 应用洛必达法则时，是通过分子与分母分别求 导数来确定未定式的极限，而不是求商的导数.
等价无穷小代换或重要极限等）综合使用， 才能达到运算简捷的目的.
用洛必达法则
例如,
而
例4
求
lim
x0
x sin x x2 sin x
解
(0) 0
x sin x
x sin x
x sin x
1 cos x
lim
x0
x2 sin x
lim x0
x2 x
lim x0
x3
lim x0
3x2
lim
x
x
0
注意 4)若
不存在()
洛必达法则失效！
例如, lim x sin x x x
1 cos x lim x 1
极限不存在lBiblioteka m (1 sin x ) 1x
x
例9 求 lim x sin x x x sin x
解
()
lim x sin x lim 1 cos x x x sin x x 1 cos x
解 lim x ln x x0
ln x lim
1 x 0
x 1
lim x
x 0
1 x2
lim ( x) 0 x0
0
注意到：1 求导比 1
x
ln x
求导简单
例13 求 lim x2e x . x
解 lim x2e x . x
ex
lim
x
x2
ex lim
x sin x lim
x0 1 x2 x 2
x sin x
lim
x0 1 x3 1 2cos x
lim x0 3 x2
1 x2 lim 2
x0 3 x2
1 3
2
2
x2 sin 1
例11
求 lim x0
x ex 1
2x sin 1 cos 1
解 原式 lim x0
xx ex
分母→1，分子振荡而没有极限L.Hospital法则“失效”
刻注意检查是否为未定式，若不是未定式，不可使用 法则。
例6 求 lim ln tan 3x x0 ln tan 2 x
解
()
lim
x0
ln tan ln tan
3x
2x
lim
x0
tan tan
2x 3x
3 sec2 2 sec2
3x 2x
3 tan 2x lim
2 x0 tan 3 x
3 2x