2.5 平面直角坐标系中的距离公式
是等腰三角形。
2011-3-24
6
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数运算； 第二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关系. 第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关系.
2011-3-24
7
二.点到直线的距离 点到直线的距离
如图， 到直线l的距离，就是指从点P到直线l 如图，P到直线l的距离，就是指从点P到直线l 垂线段PQ的长度，其中Q是垂足. PQ的长度 的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足. y
P
l
Q
o x
已知点P 和直线l:Ax+By+C=0, 思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0, 怎 样求点 到直线l的距离呢 样求点P到直线l的距离呢?
y
R Q S
P(x0,y0)
O
x
L:Ax+By+C=0
2011-3-24
12
点到直线的距离： 点到直线的距离：
到直线l:Ax+By+C=0的距离： l:Ax+By+C=0的距离 P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：
例4
d=
| Ax0 +B 0 +C| y A +B
2 2
1、求点A（-2，3）到直线3x+4y+3=0的距离. 求点A 到直线3x+4y+3=0的距离. 3x+4y+3=0的距离
2011-3-24
x
d=
C1 - C2 A +B
2 2
16
练习3 练习3
14 53 1.平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离是 53 平行线2x 的距离是______; 1.平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离是______;
2 13 2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是 13 两平行线3x 的距离是____. 2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是____.
A h C O B
x
2011-3-24
14
用解析法证明:等腰三角形底边 例6 用解析法证明 等腰三角形底边 延长线上一点到两腰的距离之差等 于一腰上的高. 于一腰上的高
2011-3-24
15
两条平行直线间的距离： 两条平行直线间的距离：
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直 y l1 线间的公垂线段的长. 公垂线段的长 线间的公垂线段的长. P l2 Q o =0与 例7、求证：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与 求证：两条平行线l =0的距离是 l2: Ax+By+C2=0的距离是
2 求过点A（－1,2），且与原点的距离等于 1,2）， 2、求过点A（－1,2），且与原点的距离等于 2
的直线方程 .
2011-3-24
19
小结
1.平面内两点P 1.平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是 平面内两点
| PP |= (x2 − x ) +(y2 − y ) 1 2 1 1
1.5 平面直角坐标系中的 距离公式
2011-3-24
1
一.两点间的距离 两点间的距离
已知平面上两点P 已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何 的距离| 求P1 P2的距离| P1 P2 |呢? (1) x1≠x2, y1=y2 (2) x1 = x2, y1 ≠ y2 (3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2
| PP |= x2 −x | 1 2 | 1 | PP |= y2 − y | 1 2 | 1
2011-3-24
2
两点间的距离 (3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2
已知平面上两点P 已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何 求P1 P2的距离| P1 P2 |呢? 的距离| y P1(x1,y1) Q (x ,y )
2011-3-24
4
已知三角形ABC的三个顶点是 例2 已知三角形 的三个顶点是
1 3 A(-1,0),B(1,0),C( , 试判断三角 ) ,试判断三角 2 2
的形状. 形ABC的形状 的形状
2011-3-24
5
例3 ∆ABC中，D是BC边上任意一点
（D与B，C不重合），且 ΑΒ =
2
ΑD + D DC 求证：∆ΑΒC Β • .
2 1
P2(x2,y2)
o
x
2
| PP |= (x2 − x ) +(y2 − y ) 1 2 1 1
2
2011-3-24
特别地, 原点O与任一点P ( x, y )的距离 : | OP |= x + y
2 2
3
例1、求下列两点间的距离： 、求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0) 、 ， ， (3)、P(6，0),Q(0，-2) 、 ， ， (2)、C(0，-4),D(0，-1) 、 ， ， (4)、M(2，1),N(5，-1) 、 ， ，
4 (2)点P(-1,2)到直线3y=2的距离是______. 3
2011-3-24
10
下面设A≠0,B 下面设A≠0,B ≠0, 我们进一步探求点 到直线的距离公式: 到直线的距离公式:
[思路一] 利用两点间距离公式 利用两点间距离公式:
y
P
l
Q
o
2011-3-24
x
11
[思路二] 构造直角三角形求其高. 思路二] 构造直角三角形求其高.
2
2
特别地, 原点O与任一点P ( x, y )的距离 : | OP |= x + y
2 2
2011-3-24
20
小结
2.平面内一点P(x 到直线Ax+By+C=0 2.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0 平面内一点 的距离公式是
d = Ax
0
+ By A
2
0
+ C
2
+ B
当A=0或B=0时,公式仍然成立. A=0或B=0时 公式仍然成立. 3.两条平行线Ax+By+C =0与 3.两条平行线Ax+By+C1=0与 两条平行线 =0的距离是 Ax+By+C2=0的距离是
2011-3-24 8
当A=0或B=0时,直线方程为 A=0或B=0时 的形式. y=y1或x=x1的形式.
y P (x0,y0) y=y1
Q (x0,y1)
y
(x1,y0)
Q
P(x0,y0) x x=x1
o
x
o
PQ = y 0 - y1
2011-3-24
PQ = x 0 - x1
9
练习
5 (1)点P(-1,2)到直线3x=2的距离是______. 3
2. 求点B（-5，7）到直线12x+5y+3=0的距离. 到直线12x+5y+3=0的距离. 12x+5y+3=0的距离
到直线2x+y 10=0的距离 2x+y的距离. 3、求点P0（-1，2）到直线2x+y-10=0的距离. 求点P
2011-3-24 13
例题分析
例5:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0)，求 的 ∆ABC 5:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0)， 已知点A(1,3),B(3,1),C( 面 积 y
2011-3-24
17
例8 两平行直线l1 , l2分别过A(1, 0)
与B (0,5).若l1与l2的距离为5， 求这两直线方程。
2011-3-24
பைடு நூலகம்18
练习
1、点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值. A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4 到直线x+y+1=0的距离为 的值.
d =
2011-3-24
C A
1 2
- C
2 2
21
+ B
平面直角坐标系中的距离公式和中点公式PPT课件
如图所示．设 A(x1，y1)，B(x2，y2) ．
y
B2
B
A A2 A1 O
C B1 x
过 A，B 分别向 x 轴作垂线 AA1，BB1，垂足分别为 A1，B1 ；
过 A，B 分别向 y 轴作垂线 AA2，BB2，垂足分别为 A2，B2 ；
其中直线 BB1 和 AA2 相交于 点C．
精选ppt
3
精选ppt
4
平面上两点间的距离公式
y
A(x2 ，y2) O
B(x2，y2)
设点 A(x1，y1)，B(x2，y2) ，则
|A|B (x2x1)2(y2y1)2．
x
精选ppt
5
求两点之间的距离的计算步骤：
S1 给两点的坐标赋值： x1＝？，y1＝？，x2＝？，y2＝？
S2 计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即 dx＝x2－x1，dy＝y2－y1；
如图所示．设 A(x1，y1)，B(x2，y2) ．
y B2
A A2 A1 O
（1）以上四个垂足 A1，B1，A2，B2
B
的坐标分别是多少？
（2）|AC| 与 |A1B1| 关系如何？
如何求 |A1B1| ？
C （3）|BC| 等于多少？
B1 x （4）在直角三角形中，如何求 |AB| ？ （5）你能表示出 |AB| 吗？
精选ppt
18
必做题：P 70 练习 A 第 1 题，第 2 题； 选做题：P 70 练习 B 第 3 题．
精选ppt
19
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
精选ppt
13
例3 已知坐标平面内的任意一点 P(a，b)，
平面直角坐标系中的距离公式和中点公式.
求下列各点关于 x 轴和 y 轴的对称点的坐标： A(2，3)，B(－3，5),C(－2，－4)，D(3，－5)．
例4 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(－3，0)， B(2，－2)，C(5，2)，求顶点 D 的坐标．
解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同， 所以它们的坐标也相同． 设点 D 的坐标为 (x，y) ，则
x2 35 1
2
2
y2 02 1
2
2
解得
x 0 y 4
所以顶点 D 的坐标为 (0，4) ．
已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，0)，B(2，－4)，C(6，2)， 求顶点 D 的坐标．
1．直角坐标系中两点间的距离公式． 2．直角坐标系中两点的中点公式． 3．点的对称．
设点 A(x1，y1)，B(x2，y2) ，则
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2．
x
求两点之间的距离的计算步骤：
S1 给两点的坐标赋值： x1＝？，y1＝？，x2＝？，y2＝？
S2 计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即 dx＝x2－x1，dy＝y2－y1；
S3
计算 d＝
（1）以上四个垂足 A1，B1，A2，B2 的坐标分别是多少？
B
（2）|AC| 与 |A1B1| 关系如何？ 如何求 |A1B1| ？
C （3）|BC| 等于多少？
B1 x （4）在直角三角形中，如何求 |AB| ？ （5）你能表示出 |AB| 吗？
平面上两点间的距离公式
y
A(x2 ，y2) O
B(x2，y2)
关于坐标原点成中心对称．
证明 设 P 与P 的对称中心为(x0，y0)，则 x (x)
2019_2020学年高中数学第二章平面直角坐标系中的距离公式练习含解析北师大版必修
1．5 平面直角坐标系中的距离公式填一填1.两点间的距离公式 (1)数轴上：一般地，数轴上两点A ，B 对应的实数分别是x A ，x B ，则|AB |＝|x B －x A |. (2)平面直角坐标系中：一般地，若两点A ，B 对应的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12. 2．点到直线的距离点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离记为d ，则d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. 3．两平行线间的距离两条平行直线的方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，两条直线间的距离记为d ，即d ＝|C 2－C 1|A 2＋B2.判一判1.原点O 到点P (x ，y )的距离为|OP |＝x 2＋y 2.(√) 23．平面内任意两点间的距离均可使用两点间的距离公式．(√)4．直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0的距离是|C 1－C 2|.(×)5．原点到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式是|C |A 2＋B2.(√)6．平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值．(√) 7．连接两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离．(×)8想一想1. 提示：点到直线的距离公式只适用直线方程的一般式．2．两条平行直线间的距离公式写成d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时对两条直线应有什么要求？提示：两条平行直线的方程都是一般式，并且x ，y 的系数分别对应相等． 3．两条平行直线间距离有哪几种求法？ 提示：(1)直接利用两平行线间的距离公式．(2)在一条直线上任意选取一点利用点到直线的距离公式求解(一般要选特殊的点，如直线与坐标轴的交点、坐标为整数的点)．(3)当两直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决． ①当两直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则d ＝|x 2－x 1|； ②当两直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，则d ＝|y 2－y 1|. 4．距离公式综合应用的常见类型有哪些？ 提示：(1)最值问题．①利用对称转化为两点之间的距离问题．②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值． (2)求参数问题．利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值． (3)求方程的问题．立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．思考感悟：练一练1.已知A (3,7)，B A ．5 B. 5 C ．3 D ．29 答案：B2．已知直线上两点A (a ，b )，B (c ，d )，且a 2＋b 2－c 2＋d 2＝0，则( ) A ．原点一定是线段AB 的中点 B ．A ，B 一定都与原点重合C ．原点一定在线段AB 上，但不是线段AB 的中点D ．原点一定在线段AB 的垂直平分线上 答案：D3．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )A ．3 2 B.22C ．3 D.322答案：D4．点(5，－3)到直线x ＋2＝0的距离等于( ) A ．7 B ．5 C ．3 D ．2 答案：A5．直线l 1：x ＋y ＝0与直线l 2：2x ＋2y ＋1＝0间的距离是________．答案：24知识点一两点间距离公式的应用1.已知点A (2，m )与点B (m,1)间的距离是13，则实数m ＝( )A ．－1B ．4C ．－1或4D ．－4或1 解析：∵|AB |＝m －22＋1－m 2＝13，∴m 2－3m －4＝0，解得m ＝－1或m ＝4. 答案：C2．已知点A (2,1)，B (－2,3)，C (0,1)，则△ABC 中，BC 边上的中线长为________． 解析：BC 中点为(－1,2)，所以BC 边上中线长为2＋12＋1－22＝10. 答案：10知识点二 求点到直线的距离3.已知点(a,1)到直线x －y ＋1＝0的距离为1，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C. 2 D ．± 2解析：由题意，得|a －1＋1|12＋－12＝1，即|a |＝2， 所以a ＝± 2.故选D. 答案：D4．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是原点，则|OP |的最小值是( ) A.10 B ．2 2 C. 6 D ．2解析：由题意可知|OP |的最小值即原点(0,0)到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|－4|2＝2 2.知识点三 两条平行直线间的距离5.12b ＋c 等于( )A ．－12B ．48C ．36D ．－12或48解析：将l 1：3x ＋4y ＋5＝0改写为6x ＋8y ＋10＝0， 因为两条直线平行，所以b ＝8. 由|10－c |62＋82＝3，解得c ＝－20或c ＝40.所以b ＋c ＝－12或48.故选D. 答案：D6．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A ．4 B.21313C.51326 D.71326解析：由两直线平行可知36＝2m ≠－31，故m ＝4.又方程6x ＋4y ＋1＝0可化简为3x ＋2y ＋12＝0，∴平行线间的距离为|12－－3|22＋32＝71326.故选D. 答案：D知识点四 对称问题7.直线y ＝3xA ．y ＝3x －10B ．y ＝3x －18C ．y ＝3x ＋4D ．y ＝4x ＋3解析：在直线上任取两点A (1，－1)，B (0，－4)，则其关于点P 的对称点A ′，B ′可由中点坐标公式求得为A ′(3，－1)，B ′(4,2)，由两点式可求得方程为y ＝3x －10.答案：A8．直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线的方程是( ) A ．3x －2y ＋2＝0 B ．2x ＋3y ＋7＝0 C ．3x －2y －12＝0 D ．2x ＋3y ＋8＝0解析：由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x ＋3y －6＝0平行，则可设所求直线的方程为2x ＋3y ＋C ＝0(C ≠－6)．在直线2x ＋3y －6＝0上任取一点(3,0)，其关于点(1，－1)对称的点为(－1，－2)，则点(－1，－2)必在所求直线上，∴2×(－1)＋3×(－2)＋C ＝0，解得C ＝8. 故所求直线的方程为2x ＋3y ＋8＝0. 答案：D综合知识 距离公式的综合应用9.已知△ABC 中，A (2，－1)，B (4,3)，C (3，－2)． (1)求BC 边上的高所在直线方程的一般式； (2)求△ABC 的面积．解析：(1)因为k BC ＝3－－24－3＝5，所以BC 边上的高AD 所在直线斜率k ＝－15.所以AD 所在直线方程为y ＋1＝－15(x －2)．即x ＋5y ＋3＝0.(2)BC 的直线方程为：y ＋2＝5(x －3)． 即5x －y －17＝0，点A 到直线BC 的距离为|2×5－－1－17|52＋－12＝626. 又因为|BC |＝3－42＋－2－32＝26，所以△ABC 的面积S ＝12×626×26＝3.10．已知直线l 1经过点A (0,1)，直线l 2经过点B (5,0)，且直线l 1∥l 2，l 1与l 2间的距离为5，求直线l 1，l 2的方程．解析：∵直线l 1∥l 2，∴当直线l 1，l 2垂直于x 轴时，直线l 1的方程为x ＝0，直线l 2的方程为x ＝5， 这时直线l 1，l 2之间的距离等于5，符合题意． 当直线l 1，l 2不垂直于x 轴时，可设其斜率为k ， 依题意得，直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0，直线l 2的方程为y ＝k (x －5)， 即kx －y －5k ＝0.由两条平行直线间的距离公式，得|1＋5k |1＋k2＝5， 解得k ＝125.∴直线l 1的方程为12x －5y ＋5＝0，直线l 2的方程为12x －5y －60＝0.综上，符合题意的直线l 1，l 2的方程有两组：l 1：x ＝0，l 2：x ＝5或l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0.基础达标一、选择题1．点P (1，－1)到直线l ：3y ＝2的距离是( )A ．3 B.53C ．1 D.22解析：点P (1，－1)到直线l 的距离d ＝|3×－1－2|02＋32＝53，选B. 答案：B2．已知点M (1,4)到直线l ：mx ＋y －1＝0的距离为3，则实数m ＝( )A ．0 B.34C ．3D ．0或34解析：点M 到直线l 的距离d ＝|m ＋4－1|m 2＋1＝|m ＋3|m 2＋1，所以|m ＋3|m 2＋1＝3，解得m ＝0或m ＝34，选D.答案：D3．两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0间的距离为( ) A.1310 B.135 C.72 D.235解析：直线3x ＋4y －12＝0，即直线6x ＋8y －24＝0，根据直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0平行，可得a ＝6，故两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0间的距离为|－24－11|36＋64＝72. 答案：C4．已知点A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)，则△ABC 的面积等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析：设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h .|AB |＝3－12＋1－32＝22，AB 边上的高h 就是点C 到直线AB 的距离．AB 边所在的直线方程为y －31－3＝x －13－1，即x ＋y －4＝0.点C 到直线x ＋y －4＝0的距离为|－1＋0－4|2＝52，因此，S △ABC ＝12×22×52＝5.答案：C5．直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，原点O 到l 的距离为1，且l 与y 轴正半轴有交点．则直线l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析：因为直线l 与直线y ＝x ＋1垂直，所以设直线l 的方程为y ＝－x ＋b .又l 与y 轴正半轴有交点，知b >0，即x ＋y －b ＝0(b >0)，原点O (0,0)到直线x ＋y －b ＝0(b >0)的距离为|0＋0－b |12＋12＝1，解得b ＝2(b ＝－2舍去)，所以所求直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 答案：A6．已知△ABC 的三个顶点是A (－a,0)，B (a,0)和C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，32a ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．斜三角形解析：因为k AC ＝32a a 2＋a ＝33，k BC ＝32a a2－a＝－3，k AC ·k BC ＝－1，所以AC ⊥BC ，又|AC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＝3|a |. |BC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －02＝|a |，|AC |≠|BC |. 所以△ABC 为直角三角形．答案：C7．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值为( )A ．3 2B ．2 C. 2 D ．4解析：由题意，知点M 在直线l 1与l 2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋7|2＝|c ＋5|2，即c ＝－6，∴点M 在直线x ＋y －6＝0上，∴点M 到原点的距离的最小值就是原点到直线x ＋y －6＝0的距离，即|－6|2＝3 2.答案：A 二、填空题8．已知点A (－1,2)，B (3，b )的距离是5，则b ＝________.解析：根据两点间的距离公式，可得3＋12＋b －22＝5，解得b ＝5或b ＝－1. 答案：5或－19．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________．解析：∵|5×2－12k ＋6|52＋122＝4， ∴|16－12k |＝52，∴k ＝－3，或k ＝173.答案：－3或17310．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋n ＝0平行且距离为10，则m ＋n ＝________. 解析：因为两直线平行，所以m ＝2， 由两平行线的距离公式知⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3－n 232＋12＝10， 解得n ＝14或n ＝－26.所以m ＋n ＝16或m ＋n ＝－24. 答案：16或－2411．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________________________________________________________________________．解析：显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意； 设所求直线方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2， 所以k ＝2或k ＝－23.所以所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 答案：2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝012．已知实数x ，y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为________．解析：求x 2＋y 2的最小值，就是求2x ＋y ＋5＝0上的点到原点的距离的最小值，转化为坐标原点到直线2x ＋y ＋5＝0的距离d ＝522＋12＝ 5. 答案： 5 三、解答题13．已知点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；(2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解析：(1)过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为(2，－1)，可见，过P 点垂直于x 轴的直线满足条件，此时直线l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若直线l 的斜率存在，设其方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34，此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)过P 点且与原点O 距离最大的直线是过P 点且与OP 垂直的直线．由l ⊥OP ，得k l k OP＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，存在过点P 且到原点距离最大为5的直线，因此不存在过点P 到原点距离为6的直线．14．已知直线l 1：x ＋3y －3m 2＝0和直线l 2：2x ＋y －m 2－5m ＝0相交于点P (m ∈R )． (1)用m 表示直线l 1与l 2的交点P 的坐标；(2)当m 为何值时，点P 到直线x ＋y ＋3＝0的距离最短？并求出最短距离．解析：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3m 2＝0，2x ＋y －m 2－5m ＝0，得x ＝3m ，y ＝m 2－m ，∴直线l 1与l 2的交点P 的坐标为(3m ，m 2－m )．(2)设点P 到直线x ＋y ＋3＝0的距离为d ，d ＝|3m ＋m 2－m ＋3|2＝|m 2＋2m ＋3|2＝|m ＋12＋2|2＝m ＋12＋22，∴当m ＝－1时，即P 点坐标为(－3,2)时，点P 到直线x ＋y ＋3＝0的距离最短，最短距离为 2.能力提升15.已知两点A (2,3)，B (4,1)，直线l ：x ＋2y －2＝0，在直线l 上求一点P . (1)使|PA |＋|PB |最小； (2)使||PA |－|PB ||最大．解析：(1)可判断A ，B 在直线l 的同侧，设A 点关于l 的对称点A 1的坐标为(x 1，y 1)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋22＋2·y 1＋32－2＝0，y 1－3x 1－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－25，y 1＝－95.由直线的两点式方程得直线A 1B 的方程为y －1－95－1＝x －4－25－4，即y ＝711(x －4)＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，y ＝711x －4＋1得直线A 1B 与l 的交点为P ⎝⎛⎭⎪⎫5625，－325，由平面几何知识可知，此时|PA |＋|PB |最小．(2)由直线的两点式方程求得直线AB 的方程为y －31－3＝x －24－2，即x ＋y －5＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x ＋y －5＝0得直线AB 与l 的交点为P (8，－3)，此时||PA |－|PB ||最大．16．已知三条直线l 1：mx －y ＋m ＝0，l 2：x ＋my －m (m ＋1)＝0，l 3：(m ＋1)x －y ＋(m ＋1)＝0，它们围成△ABC .(1)求证：不论m 取何值时，△ABC 中总有一个顶点为定点； (2)当m 取何值时，△ABC 的面积取最值？并求出最值． 解析：(1)证明：设直线l 1与直线l 3的交点为A .由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋m ＝0，m ＋1x －y ＋m ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，∴点A 的坐标为(－1,0)，∴不论m 取何值，△ABC 中总有一个顶点A (－1,0)为定点．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋my －m m ＋1＝0，m ＋1x －y ＋m ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝m ＋1，即l 2与l 3交点为B (0，m ＋1)．再由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋m ＝0，x ＋my －m m ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m m 2＋1，y ＝m 3＋m 2＋mm 2＋1，即l 1与l 2交点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫mm 2＋1，m 3＋m 2＋m m 2＋1.设边AB 上的高为h ， ∴S △ABC ＝12|AB |·h ＝12·1＋m ＋12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪m m ＋1m 2＋1－m 3＋m 2＋m m 2＋1＋m ＋1m ＋12＋1＝12·|m 2＋m ＋1|m 2＋1＝12·m 2＋m ＋1m 2＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m m 2＋1.当m ＝0时，S ＝12；当m ≠0时，S ＝12⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋1m ＋1m . ∵函数f (x )＝x ＋1x的值域为[2，＋∞)∪(－∞，－2]．∴－12≤1m ＋1m <0或0<1m ＋1m≤12，∴14≤S <12或12<S ≤34. 当m ＝1时，△ABC 的面积的最大值为34，当m ＝－1时，△ABC 的面积的最小值为14.。
平面直角坐标系中的距离公式(经典)
例2. 已知直线l1：2x－3y－8＝0， l2：6x－9y－3＝0， l1与l2是否平行？ 若平行，求l1与l2间的距离.
解：(方法一) 由k1=k2 可得： l1//l2
在直线l1上取点(4, 0)，其到直线l2的距离
d | 6 4 9 0 3 | 7 13
62 (9)2
13
∴直线l1与l2间的距离
d 7 13 13
例2. 已知直线l1：2x－3y－8＝0， l2：6x－9y－3＝0， l1与l2是否平行？ 若平行，求l1与l2间的距离.
解：(方法二) 由k1=k2 可得： l1//l2
将l2的方程变形为 ： 2x－3y－1＝0
∴直线l1与l2间的距离：
d | -18 | 7 13
22 (-3)2
想一想：
怎样用坐标的方法求点P(-3, 5)到直线 3x-4y＋5＝0的距离？P y
o
x
点ห้องสมุดไป่ตู้0(x0, y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离呢?
写出直线PQ的方程，
与l 联立求出点Ｑ的坐标，
然后用两点间的距离公式求得 |PQ|
.
y
P
l
Q
o
x
二、点到直线的距离公式：
P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
二、点到直线的距离公式
d Ax0 By0 C . A2 B2
三、两条平行直线间的距离公式
d | C1 C2 | A2 B2
课后练：
1. 求过点M(－2, 1)，且与A(－1, 2)， B(3, 0)距离相等的直线方程.
2. 求与直线 l：5x－12y＋6＝0 平行且到 l 的距离为2的直线的方程.
215平面直角坐标系中的距离公式课件(北师大必修2)
[错因] 本题出错的根本原因在于思维不严密，当 用待定系数法确定直线斜率时，一定要对斜率是否存在 的情况进行讨论，否则容易犯解析不全的错误．
[正解] ①当直线过点A(1,2)且垂直于x轴时，直线 方程为x＝1，原点(0,0)到直线的距离等于1，所以满足 题意．
②当直线过点 A(1,2)且与 x 轴不垂直时，由题意可设直 线方程为 y－2＝k(x－1)，
(2)M(3，92)，|CM|＝
（4－3）2＋（1－92）2＝
53 2.
[研一题]
[例2] 求点P(1,2)到下列直线的距离： (1)l1：y＝x－3； (2)l2：y＝－1； (3)y轴． [自主解答] (1)将直线方程化为一般式为 x－y－3＝0， 由点到直线的距离公式得d1＝ |112－＋2－－31|2＝2 2.
求经过点A(1,2)且到原点的距离等于1的直线方程． [错解] ∵所求直线过点 A(1,2)， ∴可设直线方程为 y－2＝k(x－1)， 即 kx－y－k＋2＝0. ∵原点到此直线的距离为 1， ∴|－kk2＋＋21|＝1，解得 k＝34， ∴所求直线方程为 y－2＝34(x－1)， 即 3x－4y＋5＝0.
解得ab＝ ＝43， .
∴A 的坐标为(4,3)．
∵反射光线的反向延长线过 A(4,3)，
又由反射光线过 P(－4,3)，两点纵坐标相等，
故反射光线所在直线方程为 y＝3.
若本例已知条件不变，结论改为“求反射点Q的坐 标”． 解：由例题解析知，反射光线所在直线方程为y＝3.
由方程组y8＝x＋3，6y＝25，
又 3x－y＋1＝0，② 解由①、②组成的方程组3xx＋－y－y＋1＝1＝00，， 得xy＝＝10.， 所以所求的点为 P(0,1)．
2.5 平面直角坐标系中的距离公式
P
l
Q
o x
已知点P 和直线l:Ax+By+C=0, 思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0, 怎 样求点 到直线l的距离呢 样求点P到直线l的距离呢?
| PP |= x2 −x | 1 2 | 1 | PP |= y2 − y | 1 2 | 1
2011-3-24
2
两点间的距离 (3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2
已知平面上两点P 已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何 求P1 P2的距离| P1 P2 |呢? 的距离| y P1(x1,y1) Q (x ,y )
2011-3-24
17
例8 两平行直线l1 , l2分别过A(1, 0)
与B (0,5).若l1与l2的距离为5， 求这两直线方程。
2011-3-24
18
练习
1、点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值. A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4 到直线x+y+1=0的距离为 的值.
2011-3-24
x
d=
C1 - C2 A +B
2 2
16
练习3 练习3
14 53 1.平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离是 53 平行线2x 的距离是______; 1.平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离是______;
2 13 2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是 13 两平行线3x 的距离是____. 2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是____.
坐标中两个点的距离的公式是什么
坐标中两个点的距离的公式是什么在平面直角坐标系中，我们可以使用距离公式来计算两个点之间的距离。
这个公式称为欧几里得距离公式，也被称为直线距离公式。
下面，我将为您详细介绍这个公式及其应用。
欧几里得距离公式假设平面直角坐标系上有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以使用欧几里得距离公式来计算点A和点B之间的距离。
欧几里得距离公式如下：d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)在这个公式中，符号^2表示对括号内的值进行平方，sqrt表示求平方根。
x1、y1分别是点A的横坐标和纵坐标，x2、y2分别是点B的横坐标和纵坐标，d表示点A和点B之间的距离。
欧几里得距离公式的推导欧几里得距离公式可以通过勾股定理来推导得到。
勾股定理是一个三角函数关系，适用于直角三角形。
在平面直角坐标系中，我们可以将线段AB看作是一个直角三角形的斜边。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和。
在这里，我们可以将点A的横坐标差值(x2 - x1)和纵坐标差值(y2 - y1)分别作为直角边，斜边则是点A和点B之间的距离。
所以，点A和点B之间的距离可以表示为：d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)距离计算示例让我们通过一个简单的示例来计算两个点之间的距离。
假设点A的坐标为A(2, 3)，点B的坐标为B(5, 7)。
我们可以使用欧几里得距离公式来计算点A和点B之间的距离。
根据欧几里得距离公式，我们有：d = sqrt((5 - 2)^2 + (7 - 3)^2)计算得到：d = sqrt(3^2 + 4^2)d = sqrt(9 + 16)d = sqrt(25)d = 5因此，根据给定的坐标，点A和点B之间的距离为5个单位长度。
应用领域欧几里得距离公式广泛应用于各个领域，特别是在计算机科学和工程学中。
以下是一些应用领域的示例：•图像处理：用于计算图像上两个像素点之间的距离，可用于图像分割、边缘检测等任务。
平面直角坐标系中的距离公式和中点公式课件
添加文档副标题
目录
01.
02.
03.
04.
05.
06.
平面直角坐标系中的距离公式为：$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ 该公式表示点P(x1,y1)与点P(x2,y2)之间的距离 其中，x1、x2、y1、y2分别表示两点的横纵坐标 平方根符号表示取非负数的开方运算
地理学中的应用：确定两点之间的距离，计算地球上任意两地之间的距离 物理学中的应用：计算两点之间的直线距离，研究物体的运动轨迹 计算机科学中的应用：计算两点之间的最短路径，实现地图导航 统计学中的应用：计算样本间的距离，进行聚类分析
题目：求点A(2,3)到原点的距离 题目：求点B(-3,4)到原点的距离 题目：求点C(5,-2)到原点的距离
应用场景：距离公式常用于计算点到直线的距离，中点公式常用于计算两点之间 的中点坐标。
异同点：距离公式中的A、B、C为直线方程系数，而中点公式中的x1、y1、x2、 y2为两点的坐标。
距离公式：适用于 计算两点之间的直 线距离，常用于几 何学、物理学等领 域。
中点公式：适用于 求线段的中点坐标， 常用于解析几何、 线性代数等领域。
两点间的距离公式推导
任意两点间的距离公式推 导
两点间的距离公式与向量 的关系
距离公式的几何意义
两点间的距离 公式
பைடு நூலகம்
两点间的斜率 公式
两点间的中点 公式
两点间的对称 点公式
平面直角坐标系中 的中点公式为： M(x,y)=((x1+x2)/ 2,(y1+y2)/2)
该公式用于求平面直 角坐标系中任意两点 P1(x1,y1)和P2(x2,y2) 的中点M的坐标
平面直角坐标系中的距离公式
2 2
y
1 3 C( ， ) 2 2
O
B( 1， 0)
x
1 3 1, 4
AB 2，
3 3 AC 2 2
2
2
3,
2
所以 AC BC AB . 即ABC是直角三角形 .
34 . 5
l1 : 5x 12y 9 0的距离 . 例18 (1)求原点到直线
(2)求P(1 ， 2)到直线l2 : 2 x y 10 0的距离.
解 (1)原点到直线的距离为
d 5 0 12 0 9
9 . . 2 13 52 （ 12）
(2)点P到直线l2的距离为
d 2 (1) 2 10 2 1
2 2
2 5.
Ax0 By0 C 1.求下列点到直线的距离 . d . 2 2 （ 1 ）（0,0）， 3x 2 y 4 0; A B 解 (1)点(0,0)到直线的距离为
d 3 0 (2) 0 4
2 32 （ 2）
用上述方法可以得到
d
Ax0 By0 C A B
2 2
.
即点P到直线Ax By C 0的距离公式 .
点P(3,5)到直线l： 3x 4 y 5 0的距离 .
3 （ 3） （ 4） 5 （ 5） d . 2 2 （ 3） （ 4）
9 20 5 9 16 .
P78练习
4 4 13 . 13 13
（3）（2,3），x y; 解 (3)点(2,3)到直线的距离为
d 1 2 (1) (3) 0 1 （ 1 ）
平面直角坐标系中距离的计算
平面直角坐标系中距离的计算在平面直角坐标系中，我们可以用两个坐标值来表示一个点的位置。
假设有两个点A和B，它们的坐标分别为(Ax, Ay)和(Bx, By)。
要计算点A和点B之间的距离，我们可以使用勾股定理。
勾股定理是一个三角形中的定理，它表明在一个直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边平方的和。
在平面直角坐标系中，我们可以将两点之间的距离看作是一个直角三角形的斜边长度。
根据勾股定理，我们可以得到以下公式：距离AB = √((Bx - Ax)^2 + (By - Ay)^2)其中，^2表示取平方根，√表示开平方。
现在，我们来看一个具体的例子，假设点A的坐标为(2, 3)，点B 的坐标为(5, 7)。
我们可以使用上述公式来计算它们之间的距离。
距离AB = √((5 - 2)^2 + (7 - 3)^2)= √(3^2 + 4^2)= √(9 + 16)= √25= 5所以，点A和点B之间的距离为5个单位长度。
除了直接使用勾股定理计算两点之间的距离，我们还可以使用其他方法来得到相同的结果。
例如，我们可以利用向量的性质来计算两点之间的距离。
向量是具有大小和方向的量，可以表示平面上的位移。
在平面直角坐标系中，我们可以使用向量来表示从一个点到另一个点的位移。
假设有两个点A和B，它们的坐标分别为(Ax, Ay)和(Bx, By)，我们可以定义一个向量AB，它的坐标表示为(Bx - Ax, By - Ay)。
根据向量的性质，我们知道两个向量的长度相等当且仅当它们的坐标差的长度相等。
所以，我们可以使用向量的长度来计算两点之间的距离。
向量的长度计算公式如下：向量的长度= √((Bx - Ax)^2 + (By - Ay)^2)与勾股定理的计算公式相同。
通过向量的长度计算方法，我们可以得到与前面相同的结果，即点A和点B之间的距离为5个单位长度。
在实际应用中，计算平面上两点之间的距离是非常常见的。
无论是在几何学、物理学还是计算机图形学中，都需要用到这个概念。