课件_不等式及其解集
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人教版七年级下册课件不等式及其解集
9.1.1 不等式及其解集
儿童火车票身高新标准
问题1: 五一节快到了，小李准备和父母
全 单位"米 价 票
半 价 票
坐火车去衡山旅游.若小李身高 为x米，那么：
（1）根据儿童火车票身高新标准 ① 当x满足 x＜1.1 时，他可免票. ② 当x满足 x ≥ 1.5 时，他该买全票.
（2）已知小李家到衡山的距离为120
A. x=3是2x>1的解集 B. x=3不是2x>1的解 C. x=3是2x>1的唯一解 D. x=3是2x>1的解
2 .下列数值哪些是不等式 x+3> 6的解?哪些不是? -4, -2.5, 0, 1, 2.5, 3, 3.2, 4.8, 8, 12
才自清明志自高。
不等式解集的几何表示 志之所趋，无远勿届，穷山复海不能限也;志之所向，无坚不摧。
当x=2时，x＋3=5成立； x=3是2x>1的唯一解 D. 1 不等式及其解集 以这个速度行驶50千米所用的时间不到 小时
1 不等关系 不相等 处处可见
在古代，我们的祖先就懂得了翘翘板的工作原理， 并且根据这一原理设计出了一些简单机械，并把它们 用到了生活实践当中．
“不相等”处处可见.从今天起，我们开始学习一类 新的数学知识：不等式．
对比来工作的． 解: ⑴ x>2 ;
“总≤”结读:作用“数小轴于表或示等不于等”式或的“解不集大的于步”骤: 思①考若:该不车等计式划的在解上和午不1等0点式准的时解到集达是，一可样列的式吗子?两者有什么区别与区别. ？ （(3)6x）的a一+2半≠与a-2 的和不大于4 ①⑶ 当 a与x满5和足小于7 ; ⑷时，a与他2可的免差票不.小于－1； 已思知考导 :不火等线式的的燃解烧和速不度等为式0的. 解集是一样的吗?两者有什么区别与区别？ x“=≥3”是读2x作>1“的大解于集或等B于. ”或“不小于” 你解还：记 设得导小火孩线玩的的长翘度翘为板x米吗。？你想过它的工作原 雄新鹰的必 数须学比知鸟识飞：得不高等，式因．为它的猎物就是鸟。
人教版数学 七年级下册第9章9.1.1不等式及其解集 课件(公开课 )
拔河时力气的大小
新课探究
问题：一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地 50千米，要在12：00之前驶过A地，车速应满 足什么条件？
A
汽车
分析：设车速是x千米/时
从时间上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以 2 这个速度行驶50千米所用的时间不到 小时，即 3
50 2 x 3
2 x 50 3
标出数轴上某一区间,其中的 点对应的数值都是不等式的解. 10 20
0
5
15
例2： 用数轴表示下列不等式的解集: ⑴ x>－1; ⑵ x≥ －1; ⑶ x< －1; ⑷ x≤ －1.
解:
○ ●
-1
0
-1
0
⑴
○
⑵
●
-1
0
-1
0
⑷ 总结: ①第一步:画数轴; 第二步:定界点; 第三步:定方向. ②规律: 大于向右画,小于向左画; 有等号(≥ ,≤)画实心点,无等号(>,<)画空心圆.
解：x+y ≤－2； （5）a与b的和的20％至多为15．
解：20%(a+b) ≤15
二.不等式的解： 2 x 50 3
你能找出一个符合条件的x的值吗？ 使方程等号两边相等的未知数的值叫方程的解. 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
动动脑： 不等式的解与方程的解有什 么区别？
注意：不等式的解与一元一次方程的解是 有区别的．不等式的解是不确定的，是一 个范围，而一元一次方程的解则是一个具 体的数值．
（6）ａ的相反数至少为1．
解：-a≥1.
请直接想出下列不等式的解集，并在数轴上 表示. （1） 2x＜８
0 1 2 3 4
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
孟良崮中学不等式及其解集__课件_新人教版3
不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向 不变 .
b±c。 3)6>2, 6×5 ＞ 2×5, 6×(- 5) ＜ 2×(- 5) 4)-2<3, (-2)×6 ＜ 3×6, (-2)×(- 6) ＞ 3×(- 6) 不等式两边乘(或除以)同一个 正数 ,不等号的方向 不变 .
如果a＞b，c＞0，那么ac ＞ 如果a＞b，c＜0，那么ac ＜ bc（或a/c ＞ b/c）。 bc（或a/c ＜ b/c）。 不等式两边乘(或除以)同一个 负数 ,不等号的方向 改变 。
小颖种了一株树苗，开始时树苗高为 40厘米. 栽种后每周树苗长高约15厘 米，大约几周后树苗高超过1米？
作业：
P134 习题9.1：6
下课了!
不等式的解
不等式的解集
不等式
一元一次 不等式
……
用数轴表示不 等式的解集
（8）m的三分之一至多为n。 1/3 m≤n
课后思考
2、a,b两个实数在数轴上的对应点如图所示：
用“＜”或“＞”号填空： （1）a__________b; （2）|a|__________|b|; （3）a+b__________0; （4）a－b__________0; （5）a+b__________a－b; （6）ab__________a.
x－7＋7＞26＋7
x＞33。 这个不等式的解集在数轴上的表示如图
0
33
随堂练习
2、用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表 示解集： （1）x＋5＞－1； （2）4x＜3x－5；
（3）1/ 7 x＜6/7； （4）－8x＞10 3、用不等式表示下列语句并写出解集：
（1）x的3倍大于或等于1；
b±c。 3)6>2, 6×5 ＞ 2×5, 6×(- 5) ＜ 2×(- 5) 4)-2<3, (-2)×6 ＜ 3×6, (-2)×(- 6) ＞ 3×(- 6) 不等式两边乘(或除以)同一个 正数 ,不等号的方向 不变 .
如果a＞b，c＞0，那么ac ＞ 如果a＞b，c＜0，那么ac ＜ bc（或a/c ＞ b/c）。 bc（或a/c ＜ b/c）。 不等式两边乘(或除以)同一个 负数 ,不等号的方向 改变 。
小颖种了一株树苗，开始时树苗高为 40厘米. 栽种后每周树苗长高约15厘 米，大约几周后树苗高超过1米？
作业：
P134 习题9.1：6
下课了!
不等式的解
不等式的解集
不等式
一元一次 不等式
……
用数轴表示不 等式的解集
（8）m的三分之一至多为n。 1/3 m≤n
课后思考
2、a,b两个实数在数轴上的对应点如图所示：
用“＜”或“＞”号填空： （1）a__________b; （2）|a|__________|b|; （3）a+b__________0; （4）a－b__________0; （5）a+b__________a－b; （6）ab__________a.
x－7＋7＞26＋7
x＞33。 这个不等式的解集在数轴上的表示如图
0
33
随堂练习
2、用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表 示解集： （1）x＋5＞－1； （2）4x＜3x－5；
（3）1/ 7 x＜6/7； （4）－8x＞10 3、用不等式表示下列语句并写出解集：
（1）x的3倍大于或等于1；
人教版数学下册.1不等式及其解集 (共20张PPT)教育课件
D．18≤t≤27
2．无论x取什么数，下列不等式总成立的是（D ）
A．x+5＞0
B．x+5＜0
C．x2＜0 D．x2≥0
随堂检测
3．高钙牛奶的包装盒上注明“每100克内含钙≥150毫克”，它的含义是指（ B ）
A．每100克内含钙150毫克 B．每100克内含钙不低于150毫克 C．每100克内含钙高于150毫克 D．每100克内含钙不超过150毫克
• • 理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。
2．若m是非负数，则用不等式表示正确的是（ D ）
A．m＜0 B．m＞0 C．m≤0
D．m≥0
预习反馈
3．用不等号“＞、＜、≥、≤”填空：a2+1 > 0．
4.“a＜b”的反面是（ C ）
A．a≠b B．a＞b
C．a≥b
D．a=b
课堂探究
问题
一辆匀速行驶的汽车在11 :20距离A地50千米，要在12 :00之前驶过A地，车 速应满足什么条件？
的解吗？x=75呢？x=72呢？
解：当x=75时，2 x＝50 ， 3
不等式不成立，
所以 x=75不是不等式 2 x 50 的 3
解
课堂探究
思考： x=78是不等式 2 x 50 的解吗？x=75呢？x=72呢？ 3
一元一次不等式课件(共21张PPT)
随堂演练
基础巩固
1. 若代数式 2x 3 的值是非负数，则x的
7
取值范围是（ B ）
3
A.x≥ 2
C.x＞
3 2
B.x≥ 3
2
D.x＞ 3
2
2.如图所示，图中阴影部分表示x的取值范 围，则下列表示中正确的是（ B ）
A.-3＞x＞2 C.-3≤x≤2
B.-3＜x≤2 D.-3＜x＜2
3.当x或y满足什么条件时，下列关系成立？
系数化为1得：x≥8.
08
（2） 2 x ≥ 2x 1
2
3
解：去分母得：3（2+x）≥2（2x-1）；
去括号得：6+3x≥4x-2； 移项得：3x-4x ≥ -2-6； 合并同类项得：-x ≥ -8；
将解集用数轴表 示，则如下图：
系数化为1得：x≤8.
0
8
小 结 解一元一次不等式的一般步骤
01
（3）未知数的次数都是1.
含有一个未知数，未知数次数是1的 不等式，叫做一元一次不等式．
解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1）2（1+x）＜3； （2） 2 x ≥ 2x 1
2
3
解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1）2（1+x）＜3；
解：去括号得：2+2x＜3； 将解集用数轴表
移项得：2x＜3-2；
03
05
通过解这两个不等式，
去 分 母
你02能归纳出移解一元0一4 次 不等式的一项般步骤吗？
系数 化为
去
合并
1
括
同类
号
项
练 习 1.解下列不等式和方程（不等式
的解集要在数轴上表示出来）
人教版七年级下册数学第9章 不等式与不等式组全章课件
10天的工作量 < 500件
（2）“提前完成任务”是什么意思？
10天的工作量 ≥ 500件
（三）深入探究,阶段小结
解：每个小组每天生产x件产品，
依题意得： 3×10x<500, ① 3×10(x+1)>500. ②
①式解得：x
<
16
2 3
②式解得：x
>15
2 3
∴不等式组的解集为
15
2 3
<x
< 16
问题3：
从刚才的练习中你发现了什么？请你把你的发现和合作小组的同学 交流．
⑴ 5＞3， 5+2 ＞ 3+2， 5-2 ＞ 3-2； ⑵ -1＜3， -1+2 ＜ 3+2，-1-3＜ 3-3； ⑶ 6＜2， 6×5 ＜ 2×5，
6×（-5） ＞2×（-5）； ⑷ -2＜3， （-2）×6 ＜ 3×6，
依题意得：40x≤2400 且 40x≥2000
（二）概念认识
c>10－3 且 c<10+3
c >10－3 c <10+3
一元一次 不等式组
40x≤2400 且 40x≥2000
40x≤2400
【问题3】
40x≥2000
请大家判断一下，下列式子是一元一次不等式
组吗？一元一次不等式组有什么特点？
x － 3 >0
23 从图中可以找到两个不等式解集的公共部分， 得不等式组的解集是: x >3
（五）练习巩固
【问题 7】完成课本 140 页练习 1.
（六）课堂小结
【问题 8】本节课你学到了哪些知识？
第九章 不等式与不等式组
（2）“提前完成任务”是什么意思？
10天的工作量 ≥ 500件
（三）深入探究,阶段小结
解：每个小组每天生产x件产品，
依题意得： 3×10x<500, ① 3×10(x+1)>500. ②
①式解得：x
<
16
2 3
②式解得：x
>15
2 3
∴不等式组的解集为
15
2 3
<x
< 16
问题3：
从刚才的练习中你发现了什么？请你把你的发现和合作小组的同学 交流．
⑴ 5＞3， 5+2 ＞ 3+2， 5-2 ＞ 3-2； ⑵ -1＜3， -1+2 ＜ 3+2，-1-3＜ 3-3； ⑶ 6＜2， 6×5 ＜ 2×5，
6×（-5） ＞2×（-5）； ⑷ -2＜3， （-2）×6 ＜ 3×6，
依题意得：40x≤2400 且 40x≥2000
（二）概念认识
c>10－3 且 c<10+3
c >10－3 c <10+3
一元一次 不等式组
40x≤2400 且 40x≥2000
40x≤2400
【问题3】
40x≥2000
请大家判断一下，下列式子是一元一次不等式
组吗？一元一次不等式组有什么特点？
x － 3 >0
23 从图中可以找到两个不等式解集的公共部分， 得不等式组的解集是: x >3
（五）练习巩固
【问题 7】完成课本 140 页练习 1.
（六）课堂小结
【问题 8】本节课你学到了哪些知识？
第九章 不等式与不等式组
2.3第1课时 一元二次不等式及其解法PPT课件(人教版)
31
3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则x1＋x2，x1x2为何值？
提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解
集分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则xx11＋x2＝x2＝ac，－ba，
＜0 c(a＞0)的图象
的步 得等的集 骤 不式解
y＞0 y＜0
{_x_|_x_＜__x_1_或___x_＞__x_2_} ___x__x_≠__－__2b_a__
__{__x|_x_1＜___x＜___x_2}___
___∅_
__R__ __∅__
9
思考 3：若一元二次不等式 ax2＋x－1>0 的解集为 R，则实数 a 应满 足什么条件？
16
[解] (1)因为 Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程 2x2＋7x＋3＝0 有两
个不等实根 x1＝－3，x2＝－12.又二次函数 y＝2x2＋7x＋3 的图象开口向上，
所以原不等式的解集为xx>－12或x<－3
.
(2)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式的解集为xx＝94
.
(3)原不等式可化为 2x2－3x＋2>0，因为 Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所
∅ [原不等式变形为3x2－5x＋
集为________．
4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－
23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解．
3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则x1＋x2，x1x2为何值？
提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解
集分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则xx11＋x2＝x2＝ac，－ba，
＜0 c(a＞0)的图象
的步 得等的集 骤 不式解
y＞0 y＜0
{_x_|_x_＜__x_1_或___x_＞__x_2_} ___x__x_≠__－__2b_a__
__{__x|_x_1＜___x＜___x_2}___
___∅_
__R__ __∅__
9
思考 3：若一元二次不等式 ax2＋x－1>0 的解集为 R，则实数 a 应满 足什么条件？
16
[解] (1)因为 Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程 2x2＋7x＋3＝0 有两
个不等实根 x1＝－3，x2＝－12.又二次函数 y＝2x2＋7x＋3 的图象开口向上，
所以原不等式的解集为xx>－12或x<－3
.
(2)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式的解集为xx＝94
.
(3)原不等式可化为 2x2－3x＋2>0，因为 Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所
∅ [原不等式变形为3x2－5x＋
集为________．
4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－
23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解．
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行驶
的路程要超过50 km．
思考
一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50 km，要在12：00 之前驶过A地.你能用式子表示出车速应满足的条件吗？ （2）如何用式子表示以上不 等关系？
设：车速为x km/h．
不等式的概念
像
这样，用符号“＜”或“＞”表示大小
关系的式子，叫不等式．
像a+2≠a-2这样用“≠”表示的不等关系的式子也是不等式．
解集的数轴表示 除了用不等式 x＞75 表示解集，还有其他表示方法吗？ 还可以用数轴表示不等式的解集
画空心表示不包含75这个点
例题 用数轴表示下列不等式的解集： （1） x >-1； （2）x ≥ -1； （3）x < -1；（4）x ≤ -1 . 解：
总结: ①用数轴表示不等式的解集的步骤： 第一步:画数轴; 第二步:定界点; 第三步:定方向. ②用数轴表示不等式的解集,，应记住下面的规律: 大于向右画，小于向左画; 有等号(≥ ，≤)画实心点，无等号(>，<)画空心圆.
（5）a 的4 倍大于 8；
（2）a 是负数； （4）a 与 2 的差大于 -1； （6）a 的一半小于 3.
练习 2. 下列数中哪些是不等式 x+3＞6 的解？哪些不是？
-4，-2，5，0，1，2.5，3.2，4.8，8，12 .
练习 3.直接说出不等式的解集：
练习 下列说法正确的是（ A ）
例题
不等式 x＋1≥－1的解集为： x ≥ －2
画数轴
定点
定方向
例题
注意：在数轴上表示－2 的点的位置上，应画实心圆心 ，表示包括这一点．
练习 写出下列数轴所表示的不等式的解集：
x > -3
x≥2
x < -3
x≤a
练习 直接说出不等式的解集，并在数轴上表示出来. （1）x＞3
（2）x＜-2
总结
答案：①②③⑤⑦⑧是不等式，④⑥不是.
思考
虽然这两个式子表示了车速要满足的条件，但是我们往往希望 更明确地得出 x 的取值．
车速可以是每小时80千米吗？ 车速可以是每小时78千米吗？ 车速可以是每小时75千米吗？ 车速可以是每小时72千米吗？
不等式的解
与方程的解类似，我们把使不等式成立的未知数的值叫做不 等式的解．
思考
不等式的解集
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等 式的解集．
求不等式的解集的过程叫做解不等式．
例题 请用不等式表示： （1） a 是负数； （2） a 与5的和小于-7； （3） a 的一半大于3.
例题
（） （） （）
练习 1.用不等式表示： （1）a 是正数；
（3）a 与 5 的和小于 7；
人教版数学七年级下册
第九章 不等式与不等式组
不等式及其解集
精品教学课件
教学目标 了解不等式概念，理解不等式的解和解集．
教学重点 不等式及解集概念的理解．
教学难点 不等式及解集概念的理解．
前言
现实世界中存在大量的数量关系，包括相等关系和不等 关系．用等式（包括方程），我们可以研究相等关系， 而研究不等关系需要用本章的不等式．
不等式的符号统称不等号，有 “＞” “＜” “≠”， 其 中“≤” “≥”也是不等号．
例题 下列式子哪些是不等式？
① -1＜3 是
③ 3x ≠ 4y 是
⑤ 2x -3 不是
② -x+2=4 不是
④ 6 ＞2
是
⑥ 2m ＜n 是
练习 其中不等式有（ B ）
练习 下列式子哪些是不等式？哪些不是不等式？
这节课我们学会了什么？
1．不等式的概念：
像
这样，用符号“＜”或“＞”表示大小
关系的式子，叫不等式．
2．不等式的解集：
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不 等式的解集．
总结
这节课我们学会了什么？
3．不等式的解集的数轴表示：
不等式的解集一般来说有以下四种情况：
(1) x > a (2) x < a
思考
一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50 km，要在12：00 之前驶过A地.你能用式子表示出车速应满足的条件吗？
（1）汽车在12:00之前驶过A地
的意思是什么？
从时间上看，汽车要在12：00
之前驶过A地，则以这个速度行
驶50 km所用的时间不
到从路程上．看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度
空大于往右走心小于往左走(3) x ≥ a (4) x ≤ a
步骤：
实
①画数轴
心
②定界点
③定方向
不等式 什么是不等式？ 什么是不等式的解集？ 如何用数轴表示不等式的解集？