第七章 函数(1)
第一节 多元函数

定 义 4 设 n 元 函 数 f (P ) 的 定 义 域 为 点 集 D, P0 是其聚点,如果对于任意给定的正数 , 总存在正数 ,使得对于适合不等式 0 | PP0 | 的 一 切 点 P D , 都 有 | f ( P ) A | 成立,则称 A 为 n元函数 f (P ) 当 P P0 时的极限,记为 lim f ( P ) A.
(3)n维空间
n 元有序实数组 的全体称为
n 维空间, 记作 R n , 即
R n R R R
ห้องสมุดไป่ตู้
n 维空间中的每一个元素 称为空间中的 一个点, k 个坐标 . 称为该点的第
• n维空间中两点间距离公式 :
设两点为 P ( x1 , x2 ,, xn ), Q( y1 , y2 ,, yn ),
3
其值随k的不同而变化, 故极限不存在.
sin( x 2 y ) . 例6 求极限 lim 2 2 x 0 x y y0
解
sin( x 2 y ) lim 2 x0 x y 2 y0
sin( x 2 y) x 2 y lim 2 , 2 2 x 0 x y x y y0
sin( x 2 y ) u x 2 y sin u lim 1, 其中 lim 2 x0 x y u0 u y0
sin( x 2 y ) x2 y 1 x x 0 0, lim x 2 y 2 0. 2 2 x 0 x y 2 y 0
与二元函数的极限类似,可以定义n元函数的极限
2 2
解
3 x2 y2 1 x y2 0
2 x y 4 2 x y
2 2
所求定义域为 D {( x, y ) | 2 x 2 y 2 4, x y 2 }.
信号与系统第七章 系统函数

=
K
N1N 2 " N m e j(ψ1+ψ2 +"ψm ) M1 M2 " Mn ej(θ1+θ2 +"θn )
H (jω)
=
K
N1N2 " Nm M1M2 "Mn
ϕ (ω) = (ψ1 +ψ2 + "ψm ) − (θ1 +θ 2 + "θ n )
当ω 沿虚轴移动时,各复数因子(矢量)的模和辐角都
①H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。 即当k→∞时,响应均趋于0。 ②H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳 态响应。
③H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点,其 所对应的响应序列都是递增的。即当k→∞时,响应 均趋于∞。
第 19 页
三、由系统函数零、极点分布 决定频响特性
v1(t ) −
R
+
C v2(t )
−
写出网络转移函数表达式
H (s)
=
V2 (s) V1 (s )
=
1 RC
⎜⎛ ⋅⎜ ⎜⎜⎝
s
1 +1
RC
⎟⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
=
1 RC
1 M1 ejθ1
= V2 ejϕ (ω) V1
M1
θ1
−1 RC
jω
O
σ
第 28 页
频响特性
jω
M1
V2 1 V1 1
2 θ1
−1 RC
O
σ
O1 RC
( ) H
jω
=
1 RC
1 M1 e jθ1
= V2 ejϕ (ω) V1
第七章格林函数法1 (2)

情况2:对于第二类边界条件,要求G满足
G M , M 0 M M 0 , M G n 0
可是,定解问题的解是不存在的,这从物理上看,其意义十 分明显:不妨把这个格林函数看成是温度分布,方程的第一 式右边的函数表明在区域中点有一个点热源。而边界条件式 表示在边界上是绝热的,由于边界绝热,从点源放出来的热 量,会使体积内的温度不断地升高,而不能达到稳定状态, 所以方程和边界条件矛盾,解不存在。 显然,为了解决这一矛盾,需要引入推广的格林函数,更改 格林函数所满足的方程式,使之与边界条件式相容。(复杂, 不做要求。)
0
右边只剩下一项与方程中源h(M)有关的体积分。 再看左边:首先根据三维行波解中的平均值法,引入平均值定义
1 u (r , t ) 4 r 2
则:
1 Sr M0 u(M , t )ds 4
r 0
Sr
M0
u ( M , t )d
u(M 0 , t0 ) lim u(r, t0 )
2、格林公式 设函数u ( x, y, z )和v( x, y, z )在区域 直到边界 上
具有连续一阶导数,而在 中具有连续的二阶导 数,则由高斯公式有: uv d (uv)d uvd u vd
( f ) f f
则由泊松公式(4)
u M G M , M 0 h M 0 d 0
f M0 G M , M 0 d 0 n0
(7)
可以直接用来求解泊松方程或拉氏方程的第一边值问题
由此,定义(6)式决定的G,是狄氏格林函数。(7) 为狄氏积分公式。
u ( M ) h M , M u | f M
函数(一)函数的定义

成长快乐教育学科教师辅导教案学员姓名: 年 级: 高三 课 时 数:班 主 任: 辅导科目: 数学 学科教师: BeMaris 授课主题 函数(一)函数的定义教学目标1、掌握从集合论、映射的角度对函数的定义;2、掌握基本初等函数的分类、考点、要点;教学内容函数的定义在某一个变化过程中有两个变量x 和y ,对于x 每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与它对应,则y 与x 有函数关系,一般用()x f y =表示,其中x 叫做自变量,y 叫做因变量.自变量x 的取值范围称为函数()x f y =的定义域,简写D .(这是一个集合!) 因变量y 的取值范围称为函数()x f y =的值域,简写C .(这是一个集合!)问题1:我们学过了用列举法、描述法和韦恩图法来表示一个集合,请判断下列各组集合中的元素是否性质相同?(1){}Φ、{}{}Φ、{}Q C R(2)()⎭⎬⎫⎩⎨⎧==⋅→→→→0,10||ββαα,、()()(){}00,1,,=⋅y x y x(3)如果从集合论、映射的角度去定义函数,那么就应该是:一般地,给定非空数集A 、B ,按照某个对应法则f ,使得A 中任一元素x ,都有B 中唯一确定的y 与之对应,那么从集合A 到集合B 的这个对应,叫做从集合A 到集合B 的一个函数,记作()A x x f y x ∈=→,.集合A 叫做函数的定义域,记为D .(A D =!)集合(){}A x x f y y ∈=,|叫做函数的值域,记为C .(B C ⊆,也就是说C 是B 的子集,不一定有B C =) 如果定义域D 与值域C 都限定为非空数集(我们一直在学这个),那么可以用图1.1来描述一个函数:图1.1 函数的定义请熟悉这个图片,我们将在第二节课复合函数中还会用到它.在图1.1中,有几个有趣的地方:1.定义域D 与值域C 在数轴上一般用区间的形式来表示,比如闭区间[]1,0、半开半闭区间[)1,0、(]1,0,全开区间()1,∞-、()∞+,0.但有些特殊的情况下,定义域D 与值域C 并不能用区间的形式表达.比如数列{}n a 的通项公式是12-=n a n ,在这里可以将n 看作是自变量,定义域是正整数,在数轴上是离散的点集;可以将n a 看作是因变量,值域是大于0的奇数,在数轴上也是离散的点集.在这个函数中,定义域与值域均不能用区间的形式表达.函数*∈-=N n n a n ,12在直角坐标系中的图像如图1.2所示:图1.2 任意一个数列的通项公式都可以看作是一个函数关系2.如果更极端一点,假设定义域D 中仅包括一个数字,比如1,值域C 中仅包括一个数字,比如2,那么用图1.1形式描述这个函数如下:图1.3 一个极端的例子 ⎩⎨⎧==21y x 是一个函数在直角坐标系中,这个函数的图像就是一个点:图1.4 函数的图像还可以是一个点3.我们继续往前走,如果去掉定义域D 与值域C 都是非空数集的限制,那么有些函数关系就很难用图像来表示,生活中有很多这样的例子.集合{}是复旦大学的一名学生a a A |= 集合{}是复旦大学的学生编号b b B |=无论你将集合A 当作定义域、集合B 当作值域,或者你将集合B 当作定义域、集合A 当作值域,都可以得到一个函数关系,不过你却很难用图像来描述你得到的函数关系.我们说很难描述,并不意味着就没有办法了.在大学阶段,有一门专业课叫做“数学建模”,请你在互联网上查询一下数学建模这方面的资料,然后写一篇你对它的认识,字数要求不低于300字,在第二次课前请交给班主任.问题2:函数()()02≠++=a c bx ax x f 图像关于任意直线l 对称后的图像仍然为某函数的图像,那么实数a 、b 和c 应满足的充要条件是什么?解析:在函数()()02≠++=a c bx ax x f 上任意取两点()11,y x A 、()22y x B ,,其中21x x ≠,由于对称轴l 是任意的,不妨假定l 过B 点,那么一定存在这样的一条对称轴l 使得将A 点翻折后正好落在B 点的正上方或者正下方.如图所示.那么我们能够得出结论:如果()x f 图像上有两个不重合的点,那么一定能找到一条直线l ,将()x f 图像沿着l 对称后,得到的图像不再是函数的图像.因此,()()02≠++=a c bx ax x f 的图像只能是一个点,即()002≠≥++a c bx ax 只有一个解,则0402=-<ac b a 且,这就是答案.附录——基本初等函数一、幂函数:()为常数a xy a=考点要点:1.二次函数及二次不等式 2.根式的核心及常见处理方法 3.分式的核心及常见处理方法 4.穿针引线法解高次方程5.圆锥曲线的一部分可以看出是一个函数的图像二、指数函数:()10≠>=a a ay x且对数函数:()10log ≠>=a a x y a 且 考点要点:1.原函数与反函数 2.指数函数图像 3.对数函数图像三、三角函数:x y sin =、x y cos =、x y tan =;x acr y sin =、x y arccos =、x y arctan =. 考点要点:1.函数的性态 2.三角比定义 3.三角比恒等式 4.三角函数图像。
苏教版九年级数学第七章三角函数知识点梳理

苏教版九年级数学第七章三角函数知识点梳理一、锐角三角函数的意义:(1)一个锐角的正弦、余弦、正切就叫做这个角的三角函数。
①锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作tanA 。
(即直角三角形中两条直角边的比)②锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA 。
(即直角三角形中锐角A 所对的直角边与斜边的比) ③锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA 。
(即直角三角形中锐角A 相邻的直角边与斜边的比) (2)如图,在△ABC 中,∠c=900二、锐角三角函数之间的关系:(1)等角(锐角)的三角函数之间的关系:如果几个锐角相等,则其三角函数值对应相等;反之,如果几个锐角的三角函数值对应相等,则这几个锐角相等。
即锐角的三角函数值只与角的度数有关; 若度数相等,则其三角函数值则对应相等。
边A的对边sinA 斜∠=斜边A的邻边cosA ∠=边A 边A的tanA 的邻对∠∠=(2)同一个锐角的三角函数之间的关系 ①sin²A+cos²A=1(即同一个锐角的正弦值和余弦值的平方和为1。
)② (即同一个锐角的正切值=这个角的正弦值与该角余弦值的商。
) (3)互余两锐角之间的三角函数之间的关系①若∠A 与∠B 互为余角,则sin A= cos (90︒- A )= cosB②若∠A 与∠B 互为余角,则tan A ×tan (90︒- A )= 1即tan A ×tanB = 1即:若∠A 与∠B 互为余角,则①∠A 的正弦值=∠B 的余弦值;∠A 的余弦值=∠B 的正弦值。
②∠A 的正切值与∠B 的正切值互为倒数。
三、锐角三角函数值的变化规律(或增减性)①当角度在0---90之间变化时,正弦值(正切值)随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)。
②当角度在0---90之间变化时,余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
四、特殊角的三角函数cosAsinAtanA =五、解直角三角形(1)意义:由直角三角形中的已知元素(除直角外),求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形。
2020-2021学年第一学期高中数学新教材必修第一册苏教版第七章第3课时 任意角的三角函数(1)

第3课时任意角的三角函数(1)一、学习目标1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义.2.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号.二、问题导引预习教材P166——170的内容,思考下面的问题.在前面的学习中,我们在初中角的基础上将角的概念进行了推广,得到了任意角的概念,另外,还学习了角的另一种度量方法——弧度制.在初中学习了锐角后,我们研究了锐角的三角函数,现在,学习了任意角,那么我们能研究任意角的三角函数吗?如果能,又该如何研究呢?能通过锐角的三角函数来研究任意角的三角函数吗?三、即时体验1.填表:角正弦余弦正切2.已知角α的终边过点P(-3, 4),则sinα=, cosα=, tanα=.3.角-1328°的正弦值、余弦值、正切值的符号分别是、、.四、导学过程类型1由角的终边上的点求三角函数值【例1】已知角α的终边经过点P(2, -5),求α的正弦值、余弦值、正切值.类型2三角函数值的符号的判定【例2】确定下列三角函数值的符号:(1) cos; (2) sin(-565°); (3) tan.类型3由三角函数值求角的终边上的点的坐标【例3】已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4, y)是角θ终边上一点, 且sinθ=-,求y的值.五、课堂练习1. (多选)若sinθcosθ<0,则角θ的终边在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.若<θ<π,则点P(cosθ, sinθ)位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知角α的终边经过点P(5, 12),则sinα+cosα=.4. sin1 cos2 tan3值的符号是.5.已知角α的终边经过点P(5t, 12t)(t≠0),求sinα+cosα的值.六、课后作业1. 若-<θ<-π,则点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.若角α的终边过点P(2sin30°, -2cos30°),则sinα的值等于 ()A. B. - C. - D. -3.若sinαcosα>0, cosαtanα<0,则角α的终边落在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. (多选)已知θ是第二象限角,则下列判断中正确的是()A. sin cos>0B. sin<0C. cos<0D. tan>05.已知角α的终边经过点P,则sinα=, tanα=.6. sin cos tan的值的符号是(填“正”或“负”).7. 已知角α的终边落在射线y=2x(x≥0)上,那么sinα·cosα=.8.设是第一象限角,且|cosα|=-cosα,则α可能是()A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角9. (多选)函数y=++的可能取值为()A. -3B. -1C. 1D. 310.已知角θ的终边过点P(x, 3)(x≠0),且cosθ=x,那么tanθ=.11.若角α的终边过点P(-4m, 3m)(m≠0),求2sinα+cosα的值.12.已知角α的终边在直线y=kx上,若sinα=-,且cosα<0,试求k的值.13.已知角α的终边上一点P到x轴、y轴的距离之比为4∶3,且cosα<0,求cosα-sinα的值.。
第7章函数

7.4 函数参数传递和函数的值
• 函数的参数分为形参和实参两种。形参出现在函数 定义中,在整个函数体内都可以使用,离开该函数 则不能使用。实参出现在主调函数中,进入被调函 数后,实参变量也不能使用。
• 形参和实参的功能是传送数据。当发生函数调用时, 主调函数把实参的值传送给被调函数的形参,从而 实现主调函数向被调函数的数据传送。这样的参数 传递方式叫做“数值传递”,简称“值传递”。
函数调用过程中,若形参的值发生改变,不会影响实参中的 值发生变化。
【例7.5】编程求n+(n-1)+(n-2)+…+1的和。 #include <stdio.h> void s(int n) void main() 程序运行过程与结果为: {int i; {int n; input number n: for(i=n-1;i>=1;i--) printf("input number n\n"); 5↙ n=n+i; scanf("%d",&n); ********* printf("n=%d\n",n); } printf("*********\n"); /*调用函数s之前,输出n值*/ n=5 printf("n=%d\n",n); /*调用函数s之前,输出n值*/ ********* printf("*********\n"); /*在函数s内部,输出n值*/ n=15 void s(int); ********* /*调用前,说明函数s*/ s(n); n=5 /*调用函数s之后,输出n值*/ printf("*********\n"); ********* printf("n=%d\n",n); /*调用函数s之后,输出n值*/ printf("*********\n"); }
§1 样条函数及其基本性质

第七章 §1 样条函数及其基本性质1.产生样条函数的原因?多项式逼近→分段多项式逼近→样条逼近,多项式逼近简单易行,局部性好,但高次多项式逼近会产生龙格现象,另外高次多项式零点很多导致函数震荡剧烈,不适合逼近平滑的函数;分段多项式逼近只保证了各分段之间的连续性,连接处左、右导数存在,但不相等,函数不光滑,不能满足精密机械设计;样条函数是一种各相邻段上的多项式之间具有某种连接性质的特殊的分段多项式,它既有低次多项式的简单性,又有相当的光滑性和灵活适应性,还避免了高次多项式插值的不稳定性,是函数逼近的重要工具。
2.样条函数的定义和构造 (1)定义设给定一组结点011N N x x x x +-∞=<<<<=∞又设分段函数()S x 满足条件:1 在每个区间1[,]j j x x +上()S x 是一个次数不超过n 的实系数代数多项式;(分段多项式)2 ()S x 于[,]-∞∞上具有一直到1n -阶的连续导数;(由于每个子区间为n 次多项式,故在各分段上已经具有1n -阶的连续导数,故需要在连接点处满足1n -阶的连续导数,样条函数构造的出发点) 则称()y S x =为n 次样条函数,12(,)n N S x x x 表示以点i x 称为样条结点的n 次样条函数.对于21n -次样条函数()y S x =如果在区间1(,]x -∞和[,)N x ∞上的表达式都是1n -次多项式,则特别称之为21n -次的自然样条函数,记作2112(,)n N N x x x -.(2)构造(见教材) 任一12()(,,)n N S x S x x x ∈均可唯一记为1()()()()Nn n j j j S x p x c x x x +==+--∞<<∞∑,函数系211,,,,(),()n n n N x x x x x x x ++--为构成样条函数12(,,)n N S x x x 的一组基底,任一2112()(,,)n N S x N x x x -∈记为2111()()()()Nn n j j j S x p x c x x x --+==+--∞<<∞∑,为了保证在[,)N x ∞上是一个1n -次多项式(定理3),则系数必须满足约束条件10(0,1,,1)Nkj jj c xk n ===-∑。
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6 using namespace std ;
7 8 main()
9 {
10 for ( int n = 1 ; n < 11 ; n ++ ) 11 cout << sqrt ( n ) << endl ;
12 }
1 // Program Example P7B 2 // Demonstration of a programmer-defined function. 3 #include <iostream> 4 #include <string> 5 using namespace std ; 6 7 void stars( void ) ; //function prototype(函数原型) 8 9 main() 10 { 11 string text = "some text " ; 12 13 stars() ; //函数调用 14 cout << endl ;
9 main() 10 { 11 string text = "some text " ; 12 13 stars( 11 ) ; // Call the function to print 11*s - top of the box . 14 cout << endl ; 15 stars( 1 ) ; // Left side of the box - 1 * only. 16 cout << text ; //Display text in the middle of the box. 17 stars( 1 ) ; // Right side of box - 1 * only. 18 cout << endl ; 19 stars( 11 ) ; // Bottom of the box - 11 * s. 20 cout << endl ; 21 } 22 23 void stars( int num ) 24 { 25 for ( int counter = 0 ; counter < num ; counter ++ ) 26 cout << '* '; 27 }
C++允许程序员自己编写函数加入到手头已存在的标准库中。
1 // Program Example P7A 2 // Program to demonstrate the built-in and sqrt()
3 #include <iostream>
4 #include <string> 5 #include <cmath>
Chapter Seven Functions 第7章 函数 (一) 7.1 Introduction (引言)
A function is a block of statements called by name to carry out a specific task. 函数是用函数名来调用执行的具有特定 功能的语句块. C++ has a variety of built-in, pre-written, functions in the standard library. 在C++的标准库中有很多固有的、预先定义的库函数。 • C++ allows a programmer to write functions to add to those already at hand in the standard library.
• Calls to the function stars() in lines 13,15,17 and 19 now have a number between the parentheses (and). This number is called an argument and is received by the parameter num declared as an integer in line 23. • 现在第13、15、17和19行调用函数stars()时,圆括号内 有一个数值。这个数值称为实际参数(简称实参),它从第 23行声明为整型的形式参数(简称形参)中接收数据。 • The parameters of a function are known only within the function. Therefore, variables with the same name can be used in main() or in any other function without a conflict occurring. • 函数的形参仅在函数内部有效,因此,在函数main()或 其他任何函数中使用同名变量不会发生冲突。
类型的声明。将函数类型声明为void,表示函数没有返
回值返回给调用程序。而某些函数确实需要返回一个 数值,例如函数sqrt()就返回一个数值,即一个数的 平方根。
7.2 Function arguments (函数实参)
1 // Program Example P7C 2 // Demonstration of function arguments. 3 #include <iostream> 4 #include <string> 5 using namespace std ; 6 7 void stars( int ) ; // Function prototype. 8
15 cout << ' * ' ; // Left side of the box. 16 cout << text ; //Text in middle of the box. 17 cout << ' * ' << endl ; // Right side of the box. 18 stars() ; // Bottom of the box. 19 cout << endl ; 20 } 21 22 void stars( void ) 23 { 24 for ( int counter = 0 ; counter < 11 ; counter ++ ) 25 cout << '* '; 26 }
26 disp_chars( 1, '+ ' ); // Display a +. 27 cout << endl ; 28 // Bottom of the box. 29 disp_chars( 35, '+ ' ); // Display 35 spaces 30 disp_chars( 11, '+ ' ); // and eleven + s. 31 cout << endl ; 32 } 33 34 void disp_chars( int num, char ch ) //函数首部 35 { 36 for ( int counter = 0 ; counter < num ; counter ++ ) 37 cout << ch ; 38 }
1 // Program Example P7D 2 // Demonstration of a function with two parameters. 3 #include <iostream> 4 #include <string> 5 using namespace std ; 6 7 void disp_chars( int num , char ch ) ; // Function prototype
For example, to give default values to the parameters of disp_chars() in program P7D,the prototype on line 7 is modified to void disp_chars( int num = 1 , char ch = ' ') ; The prototype now assigns a default value of 1 to the first parameter and a space to the second parameter. For example, the statement disp_chars( 35 ) ; // The second argument is omitted. is equivalent to disp_chars( 35, ' ' ); Similarly, the statement disp_chars( ); // Both arguments are omitted. is equivalent to disp_chars( 1, ' ' ); (注:函数定义方式不变,只是函数原型和调用语句形式有改变)
The output from this program is: *********** *some text* ***********
函 数 定 义
like variables, functions must be declared before they are used.和变量一样,函数在使用之前也必须进行声明。 The void in the parentheses on line 7 informs the compiler that the function stars will not receive any data from the calling program. Some function do receive data when called. For example, the sqrt() function returns a numeric Value, i.e. the square root of a number. 第7行是将stars声明为函数。前面的void是对函数stars()