【全程复习方略】高考数学二轮复习 专题辅导与训练 概率、计数原理、二项式定理教学名师课件
（4）忽视顺序：解决排列组合问题时，不要忽视问题与顺序 是否有关这一条件. （5）两个系数不要混淆：二项展开式中某一项的系数与某一 项的二项式系数易混，一定要区分开来.
【考题回顾】 1.（2014·广东高考改编）从字母a,b,c,d,e中任取两个不同 字母，求取到字母a的概率. 【解析】因为从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母，不考虑 先后顺序共有10种取法，分别是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e), (b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)，其中取到字母a的 有4种：(a,b),(a,c),(a,d),(a,e)，所求概率为p=
【信息联想】(1)看到相邻问题,想到_可__用__捆__绑__法__完__成__;看到 不相邻问题,想到_可__用__插__空__法__完__成__.
(2)看到若x+y+z是3的倍数,想到将__x_,_y_,_z_按__除__以__3_所__得__余__数__分__类__.
(3)看到将四位数从小到大排成一列,想到___________________ 依首位数字不同分类
3.（2014·湖北高考改编）若二项式 (2x a )7 的展开式中 x
1 的系数是84，求实数a的值.
【x解3 析】因为Tr+1= 令7-2r=-3，得r=5，C7r
·(2x)7-r·
(
a x
)r
C7r
27r
ar
x ， 72r
所以 ·22·a5=84，解得a＝1.
C57
热点考向一 利用古典概型求事件的概率 【考情快报】
热点考向三 计数原理、排列与组合的应用 【考情快报】
难度:基础题
命题指数:★★☆
考查方式:主要考查分类加法计数原理、分步乘法计数原 理,排列与组合的应用问题
【典题3】(1)(2014·北京高考改编)把5件不同产品摆成一排, 若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,求不同的摆法数. (2)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中任取3个不同的数字 构成空间直角坐标系中的点的坐标(x,y,z),若x+y+z是3的倍数, 求满足条件的点的个数. (3)从1,3,5,7,9中任取2个数,从0,2,4,6中任取2个数组成没有 重复数字的四位数,若将所有个位是5的四位数从小到大排成一 列,求第100个数.
难度:基础题
命题指数:★★☆
考查方式:主要考查基本事件、古典典型公式,考查分类 讨论思想的应用
【典题1】(2014·泰安模拟)袋中有大小相同的五个小球,编号 分别为1,2,3,4,5,从袋中每次任取一个球,记下其编号.若所取 球的编号为奇数,则把该球编号改为6后放回袋中,继续取球;若 所取球的编号为偶数,则直接放回袋中,继续取球. (1)求第二次取到编号为偶数球的概率. (2)求两次取出的球的编号之差的绝对值小于2的概率.
6 25
【规律方法】利用古典概型求事件概率的关键及注意点 (1)关键:正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事 件数. (2)注意点:①对于较复杂的题目,列出事件数时要正确分类,分 类时应不重不漏. ②当直接求解有困难时,可考虑求其对立事件的概率.
【变式训练】(2014·韶关模拟)为调查民营企业的经营状况,某 统计机构用分层抽样的方法从A,B,C三个城市中,抽取若干个民 营企业组成样本进行深入研究,有关数据见下表:(单位:个)
又因为函数f(x)= x3-ax2+(a+2)x有极值,
1 所以(-2a)2-4(a+23)=4a2-4a-8
=4(a2-a-2)>0,
解得a<-1或a>2.
又因为在区间[-2,3]上任取一个数a,
所以所求的概率=
［
1
2］ 3 3 2
2＝11＝2
55
.
（2）阴影部分为半圆，其面积S阴= 1 π×12= ，长方形面
6 2. 15 5
【加固训练】连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量
a＝(m，n)与向量b＝(1，-1)的夹角为θ ，求θ ∈(0， ]
的概率.
2
【解析】因为cos θ=
所以m≥n满足
条件.m＝n的概率为
m n ，(0，]， m2， nm2＞n2的概率为2
所以θ∈(0， ]的概366率＝为16
__C_mn___C__mn _1_.
③ C0n C1n Cnn 2n.
④Cmn
Cm n1
Cmm
Cnm11.
（7）二项式定理：
①定理内容(a+b)n=___C_0n_an___C_1n_a_n_1b_1_____C__kna_n__kb_k______C_nn_b（_n _n___N.*）
形ABCD中,其中AB=2,BC=1,求质点落在以AB为直径的半圆内的 概率.
【信息联想】(1)看到函数f(x)= 1 x3-ax2+(a+2)x有极值,
想到_________________________3___________________.
f′(x)为二次函数,且f′(x)=0有两个不同的零点
4 2. 10 5
2.（2014·浙江高考改编）在8张奖券中有一、二、三等奖各1 张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，求不 同的获奖情况有多少种（用数字作答）. 【解析】不同的获奖情况分两种，一是有一人获两张奖券， 一人获一张，共有 =36种，二是有三人各获得一张，
共有 =24种，因此C32不A42同的获奖情况有60种. A34
13 25
(2)记“两次取出的球的编号之差的绝对值小于2”为事件B,
则事件B包含的事件为:(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),
(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,6)共11个.故所求事件的
概率P(B)= .
11 25
【互动探究】在本例题条件下,求两次取出的球的编号之积为 奇数的概率. 【解析】由例题解题过程知,基本事件的总数为25个,记“两 次取出的球的编号之积为奇数”为事件C,则事件C包含的事件 为:(1,3),(1,5),(3,1),(3,5),(5,1),(5,3)共6个.故所求事 件的概率P(C)= .
1 5＝ 5 ， 2 6 12
1 5＝7.
2
6 12 12
热点考向二 利用几何概型求事件的概率 【考情快报】
难度:中档题
命题指数:★☆☆
考查方式:主要考几何概型的概念及求法,考查数形结合思 想
【典题2】(1)(2014·漳州模拟)在区间[-2,3]上任取一个数
a,求函数f(x)= 1 x3-ax2+(a+2)x有极值的概率. (2)(2014·辽宁高3 考改编)将一个质点随机投入如图所示的长方
【加固训练】有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆 柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，求点P到点O的 距离大于1的概率.
【解析】设点P到点O的距离小于1的概率为P1，由几何概型，
则P1＝
V半球 V圆柱
＝
2 13 3
＝1，
12 2 3
故点P到点O的距离大于1的概率
P＝1－1＝2 . 33
②通项公式：Tk+1=_C__kna_n_k_b_k__.
2.易错提醒 （1）漏古典概型的事件数：求古典概型的概率时，计算基本 事件总数与事件A所包含的基本事件数，易忽视部分情况而失 误. （2）忽视几何概型中的区域特征：在计算几何概型时，对应 的是区间、区域还是几何体，一定要区分开来，否则结论不正 确. （3）混淆事件“互斥”与“对立”的关系：两个事件互斥， 不一定对立；但两个事件对立，则它们一定互斥.
(2)①看到将一个质点随机投入长方形ABCD中,想到_________
_________;
长方形的
②面看积到公质式点落在以AB为直径的半圆内,想到_______________.
半圆面积的求法
【规范解答】(1)因为f(x)= 1 x3-ax2+(a+2)x, 3
所以f′(x)=x2-2ax+a+2,
（3）互斥事件ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ对立事件的概率公式:
P（A∪B）=_P_（__A_）__+_P_（__B_）__；P（A）=_1___P_（__A_）.
（4）排列数公式：
=__n_(_n_-_1_)_(_n_-_2_)_…__(_n_-_m_+_1_)
A＝mn ___n_!___(这里，m，n∈N*，且m≤n).
【变式训练】在区间[0,10]上随机取两个实数x,y,求事件 “2x+y≥2”的概率.
【解析】由题意 0 x 10, 在平面直角坐标系中作出对应的 区域,及事件“2x+0y≥y2”10对, 应的区域,如下图所示:
所以事件“2x+y≥2”的概率为:
1
1 2
1
2 ＝
99
.
1010 100
【信息联想】(1)看到第二次取到编号为偶数球,想到 _第__一__次__取__球__有__两__种__可__能__; (2)看到求两次取出的球的编号之差的绝对值小于2的概率, 想到__如__何__写__出__该__事__件__所__含__的__基__本__事__件_.
【规范解答】由题意得,从5个球中任取一球,共取2次,满足条 件的两球所有可能的结果有: (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3), (4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6)共25个. (1)记“第二次取到偶数球”为事件A,则事件A包含的事件 为:(1,2),(1,4),(1,6),(2,2),(2,4),(3,2),(3,4),(3,6),(4, 2),(4,4),(5,2),(5,4),(5,6)共13个. 故所求事件的概率P(A)= .
2020版高考理科数学大二轮专题复习新方略讲义：7.1计数原理、二项式定理
第1讲 计数原理、二项式定理考点1 排列组合与计数原理的应用1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．2.[例1] (1)[2019·陕西西安模拟]把15人分成前、中、后三排，每排5人，则不同的排法种数共有( )A .A 1515A 33B ．A 515A 510A 55A 33C ．A 1515D ．A 515A 510(2)[2019·安徽合肥质检]某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5个区域，如图．社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各个区域中，要求每个区域种植一种颜色的花卉，且相邻区域(有公共边的)所种花卉颜色不能相同，则不同种植方法的种数共有( )A ．96B ．114C ．168D ．240(1)把位置从1到15标上号，问题就转化为15人站在15个位置上，共有A 1515种情况．(2)先在a 中种植，有4种不同的种植方法，再在b 中种植，有3种不同的种植方法，再在c中种植，若c与b同色，则d中有3种不同的种植方法，若c与b不同色，则c中有2种不同的种植方法，d中有2种不同的种植方法，再在e中种植，有2种不同的种植方法，所以共有4×3×1×3×2＋4×3×2×2×2＝168(种)．故选C.【答案】(1)C(2)C解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数.『对接训练』1．[2019·河南十所名校尖子生联考]5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻且甲不站在两端的排法种数是()A．40 B．36C．32 D．24详细分析：由题可得，甲与乙相邻的排法种数为A44A22＝48，甲站在两端且与乙相邻的排法种数为C12A33＝12，所以甲与乙相邻且甲不站在两端的排法种数是48－12＝36.故选B.答案：B2．[2019·广东六校联考]从两个不同的红球、两个不同的黄球、两个不同的蓝球共六个球中任取两个，放入红、黄、蓝三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法共有()A．42种B．36种C．72种D．46种详细分析：分以下几种情况：①取出的两球同色时，有3种可能，取出的球只能放在与球的颜色不同的两个袋子中，有A22种不同的放法，故不同的放法共有3A22＝6(种)；②取出的两球不同色时，有一红一黄、一红一蓝、一黄一蓝3种可能，由于球不同，所以取球的方法数为3C12 C12＝12(种)，取球后将两球放入袋子中的方法有C13C12－3＝3(种)，所以不同的放法有12×3＝36(种)．综上可得不同的放法共有42种，故选A.答案：A考点2二项式定理1．通项与二项式系数T r＋1＝C r n a n－r b r，其中C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．2．各二项式系数之和(1)C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)C1n＋C3n＋…＝C0n＋C2n＋…＝2n－1.[例2](1)[2019·全国卷Ⅲ](1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为()A．12 B．16C．20 D．24(2)[2019·浙江卷]在二项式(2＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．详细分析：(1)展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C34＋2C14＝4＋8＝12.(2)该二项展开式的第k＋1项为T k＋1＝C k9(2)9－k x k，当k＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(2)9＝162；当k＝1,3,5,7,9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.答案：(1)A(2)162 5(1)利用二项式定理求解的两种常用思路①二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程解决的．②二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值.(2)[警示]在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；②T r ＋1是展开式中的第r ＋1项，而不是第r 项；③公式中，a ，b 的指数和为n ，且a ，b 不能随便颠倒位置； ④对二项式(a －b)n 展开式的通项公式要特别注意符号问题．『对接训练』3．[2019·天津卷]⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －18x 38的展开式中的常数项为______． 详细分析：本题主要考查二项式定理的应用，考查的核心素养是数学运算．二项展开式的通项T r ＋1＝C r 8(2x)8－r ⎝⎛⎭⎪⎫－18x 3r ＝⎝⎛⎭⎪⎫－18r ·28－r ·C r 8x 8－4r ，令8－4r ＝0可得r ＝2，故常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－182×26×C 28＝28. 答案：284．[2019·浙江金华十校联考]已知(x ＋1)4＋(x －2)8＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 8(x －1)8，则a 3＝( )A ．64B ．48C ．－48D ．－64详细分析：由(x ＋1)4＋(x －2)8＝[(x －1)＋2]4＋[(x －1)－1]8＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 8(x －1)8，得a 3·(x －1)3＝C 14·(x －1)3·2＋C 58·(x －1)3·(－1)5，∴a 3＝8－C 58＝－48.故选C .答案：C课时作业17 计数原理、二项式定理1．[2019·湘赣十四校联考]有一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5名同学只会用综合法证明，有3名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为( )A ．8B ．15C ．18D ．30详细分析：由题意知本题是一个分类计数问题：证明方法分成两类，一是用综合法证明，有5种选法，二是用分析法证明，有3种选法．根据分类加法计数原理知共有3＋5＝8种选法，故选A .答案：A2．[2019·云南昆明一中检测]从一颗骰子的六个面中任意选取三个面，其中只有两个面相邻的不同的选法共有( )A ．20种B ．16种C ．12种D ．8种详细分析：从一颗骰子的六个面中任意选取三个面共有C 36＝20种选法，其中有三个面彼此相邻的有8种，所以只有两个面相邻的不同的选法共有20－8＝12(种)． 答案：C3．[2019·河北唐山期末]在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式中，x 2的系数为( )A .154B ．－154C .38D ．－38详细分析：⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫x 26－r ⎝⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－1)r C r 622r －6x 3－r ，令r ＝1，可得x 2的系数为(－1)1×C 16×22×1－6＝－38.故选D . 答案：D 4．[2019·海南三亚华侨学校期末]六位选手依次演讲，其中选手甲不是第一个也不是最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )A ．480种B ．360种C ．240种D ．120种详细分析：解法一 因为六位选手依次演讲，其中选手甲不是第一个也不是最后一个演讲，所以甲有C 14种情况，剩余的选手有A 55种情况，所以不同的演讲次序共有C 14·A 55＝480(种)，故选A . 解法二 六位选手全排列有A 66种演讲次序，其中选手甲第一个或最后一个演讲有2A 55种情况，故不同的演讲次序共有A 66－2A 55＝480(种)．故选A .答案：A5．[2019·河北保定期末](1－2x)5(2＋x)的展开式中，x 3的系数是( )A ．－160B ．－120C ．40D ．200详细分析：(1－2x)5(2＋x)的展开式中x 3的系数是(1－2x)5的展开式中x 3的系数的2倍与(1－2x)5的展开式中x 2的系数的和，易知(1－2x)5的展开式的通项公式为T r ＋1＝(－2)r C r 5x r ，令r ＝3，得x 3的系数为－8C 35＝－80，令r ＝2，得x 2的系数为4C 25＝40，所以(1－2x)5(2＋x)的展开式中x 3的系数是－80×2＋40＝－120.故选B .答案：B6．[2019·浙江七彩联盟联考]若⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x n 的展开式中，所有项的二项式系数之和为32，则该展开式的常数项为( )A ．10B ．－10C ．5D ．－5详细分析：由二项式系数之和为32，知2n ＝32，可得n ＝5，T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r ⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r ·25－r C r 5x 510-2r.令10－52r ＝0，可得r ＝4，所以常数项为(－1)4×21×C 45＝10，故选A .答案：A7．[2019·广东广州调研]某电台做《一校一特色》访谈节目，分A ，B ，C 三期播出，A 期播出两所学校，B 期、C 期各播出1所学校．现从8所候选学校中选出4所参与这三期节目的录制，不同的选法共有( )A ．140种B ．420种C ．840种D ．1 680种详细分析：由题易知，不同的选法共有C 28C 16C 15＝840(种)．故选C . 答案：C8．[2019·河北定州模拟]将“福”“禄”“寿”三个字填入如图所示的4×4小方格中，每个小方格内只能填入一个字，且任意两个字既不同行也不同列，则不同的填写方法有( )A .288种B ．144种C ．576种D ．96种详细分析：依题意可分为以下3步：(1)先从16个格子中任选一格放入第一个字，有16种方法；(2)因为任意两个字既不同行也不同列，所以第二个字有9个格子可以放，有9种方法；(3)第三个字有4个格子可以放，有4种方法．根据分步乘法计数原理可得不同的填写方法有16×9×4＝576(种)．故选C .答案：C9．[2019·海南三亚华侨学校期末]在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的指数是整数的项数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5详细分析：∵⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 24(x)24－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r 24x 512-6r ，∴当r ＝0,6,12,18,24时，x 的指数是整数，故x 的指数是整数的有5项，故选D .答案：D10．[2019·第一次全国大联考]若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x n 的展开式中第m项为常数项，则m ，n 应满足( )A ．2n ＝3(m －1)B ．2n ＝3mC ．2n ＝(3m ＋1)D ．2n ＝m详细分析：由题意得，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝(－1)r C r n x3n-2r，当n ＝32r ，即2n ＝3r 时，为常数项，此时r ＝m －1，所以m ，n 应满足2n ＝3(m －1)，故选A .答案：A11．[2019·甘肃兰州实战模拟]某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站在前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有( )A ．A 1818种B ．A 2020种C ．A 23A 318A 1010种D ．A 22A 1818种详细分析：中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人站在前排并与中国领导人相邻，有A 22种站法；其他18国领导人可以任意站，因此有A 1818种站法．根据分步乘法计数原理，共有A 22A 1818种不同的站法，故选D .答案：D12．[2019·辽宁营口模拟](1＋x)2n (n ∈N *)的展开式中，系数最大的项是( )A ．第n2＋1项 B ．第n 项C ．第n ＋1项D ．第n 项与第n ＋1项详细分析：在(1＋x )2n (n ∈N *)的展开式中，第r ＋1项的系数与第r ＋1项的二项式系数相同，再根据中间项的二项式系数最大，展开式共有2n ＋1项，可得第n ＋1项的系数最大，故选C.答案：C13．[2019·陕西西安质检]如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．详细分析：当相同的数字不是1时，有C 13个“好数”；当相同的数字是1时，有C 13C 13个“好数”，由分类加法计数原理知共有C 13＋C 13C 13＝12个“好数”．答案：1214．[2019·江西南昌重点中学段考](x －y ＋2)6的展开式中y 4的系数为________．详细分析：解法一 因为(x －y ＋2)6＝[(x ＋2)－y ]6，所以展开式中含y 4的项为C 46(x ＋2)2y 4＝15x 2y 4＋60xy 4＋60y 4，所以展开式中y 4的系数为60.解法二 由于(x －y ＋2)6的展开式中y 4项不含x ，所以(x －y ＋2)6的展开式中y 4项就是(2－y )6的展开式中的y 4项，所以C 46×22(－y )4＝60y 4，所以(x －y ＋2)6的展开式中y 4的系数为60.答案：6015．[2019·安徽示范高中高三测试]现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．详细分析：解法一 从16张不同的卡片中任取3张，不同取法的种数为C 316，其中有2张红色卡片的不同取法的种数为C 24×C 112，3张卡片颜色相同的不同取法的种数为C 14×C 34，所以3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张的不同取法的种数为C 316－C 24×C 112－C 14×C 34＝472.解法二 若取出的3张卡片中没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三种颜色的卡片中选3张，若都不同色，则不同取法的种数为C 14×C 14×C 14＝64；若仅有2张卡片的颜色相同，则不同取法的种数为C 23×C 12×C 24×C 14＝144.若红色卡片有1张，且剩余2张不同色时，不同取法的种数为C 14×C 23×C 14×C 14＝192；若红色卡片有1张，且剩余2张同色时，不同取法的种数为C 14×C 13×C 24＝72.所以不同的取法共有64＋144＋192＋72＝472(种)．答案：47216．[2019·陕西彬州第一次教学质量监测]如果⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n的展开式中各项系数之和为256，则展开式中1x 2的系数是________．详细分析：令x ＝1，可得各项系数之和为(3－1)n ＝256，求得n ＝8，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 28的通项公式是T r ＋1＝C r 8·(3x )8－r ·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 2r ＝C r 8·38－r ·(－1)r·x 8－53r ，令8－53r ＝－2，解得r ＝6.故展开式中1x 2的系数是C 68·32＝252.答案：252。
世纪金榜二轮专题辅导与练习专题七 第一讲
1.(2013·常州模拟)从集合{-1，1，2，3}中随机选取一个数 记作m,从集合{-1,1,2}中随机选取一个数记作n，问使方程
x 2 y2 1 表示双曲线的情况有_________种. m n 2 2 x y 【解析】 1表示双曲线，需m,n异号，所以m=-1时， m n
2 2 x y 故使方程 1 表示双曲线的情况共5种. m n
【变式训练】(2013·虹口模拟 ) 数列 {an} 的前 n 项和记为 Sn ， 且满足Sn=2an-1. (1)求数列{an}的通项公式.
1 2 n (2)求和 S1 C0 S C S C S C n 2 n 3 n n 1 n.
【解析】(1)由Sn=2an-1得Sn+1=2an+1-1，相减得an+1=2an+1-
3 4 3.(2013·昆明模拟)求 (x ) 展开式中的常数项. 4k 1 k k k 3 k 12 4k 【解析】展开式的通项为 Tk 1 C4 x ( ) 1 C4 x ,
1 x
x 由12-4k=0，得k=3，所以常数项为 T4 13 C3 4 4.
第三类：从圆内取1点，圆外12点中取2点，有
2 C1 4 (C12 4)
③种.„„„„„„„„„„„„„„„8分
由分类计数原理知，所求的三角形共有
2 1 1 2 个.„„„„„„„„„10分 C3 C C C C 4 4 10 4 12 4 312
【点题】规避误区，失分警示
1 0 ,则a0=__ 1 ;令x=___ (3)令x=__ 2 ， a 2 014 ___ 0 . 则 a 0 a1 a 2 2 22 22 014
高考数学二轮复习计数原理与概率
6
x
3 2
k
，k≤6，k∈N，
由 6－32k＝0，解得k＝4，
则 T5＝(－1)4×32×C46＝135，
√A.144种
C.672种
B.336种 D.1 008种
选取的 3 个名称中含有祝融的共有 C29种不同的情况. 分析选取的 3 个名称的不同情况有 A33种， 其中祝融是第 3 个被分析的情况有 A22种， 故祝融不是第 3 个被分析的情况有 C29(A33－A22)＝144(种).
(2)(2022·广东联考)现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪
√D.P(A|C)＝P(B|C)
由题知，从 10 个数中随机地抽取 3 个数，共有 C310＝120(种)可能情况， 对于A选项，“恰好抽的是2,4,6”和“恰好抽取的是6,7,8”为互斥事 件，则P(AB)＝0，而P(A)P(B)≠0，故A选项错误； 对于 B 选项，P(C)＝CC31290＝13260＝130，故 B 选项错误； 对于 C 选项，P(AB)＝0，P(C)＝130，故 C 选项错误； 对于 D 选项，由于 P(AC)＝P(BC)＝C129＝316，故由条件概率公式得 P(A|C) ＝P(B|C)，故 D 选项正确.
跟踪演练2 (1)(2022·淄博模拟)若(1－x)8＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋
a8(1＋x)8，则a6等于
A.－448
B.－112
√C.112
D.448
(1－x)8＝(x－1)8＝[(1＋x)－2]8 ＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a8(1＋x)8， a6＝C28×(－2)2＝112.
③P(B)＝12；④B 与 A1 相互独立.
A1，A2，A3中任何两个事件都不可能同时发生，因此它们两两互斥，
二轮复习排列组合、二项式定理
排列组合二项式定理教学过程一、考纲解读该部分在高考试卷中一般是1到2个小题，分值在5-10分。
主要考查两个基本原理、排列组合的基础知识和方法，考查二项式定理的基础知识及其简单应用.在复习中要在解一些常规题型上下功夫，需要掌握基本的解题方法.在平时的复习中要能够体会计数原理在概率分布中的应用，特别是用排列组合解决的大题.对于二项式定理，重点考查二项式定理的通项.以及二项式系数和项的系数.二、复习预习（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理①理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理；②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.（2）排列与组合①理解排列、组合的概念.②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.③能解决简单的实际问题.（3）二项式定理①能用计数原理证明二项式定理.②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.三、知识讲解考点1 分类加法计数原理、分步乘法计数原理①理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理；②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.考点2 排列与组合①理解排列、组合的概念.②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.③能解决简单的实际问题.考点3 二项式定理①能用计数原理证明二项式定理.②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.四、例题精析例1 [2014全国1卷] 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率 ( )A .18B .38C .58D .78【规范解答】解法1.选D （直接法）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有4216=种，周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人一天三人有11428C A =种；②每天2人有22426C C =种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为867168+=； 解法2.选D （间接法）4位同学都在周六或周日参加公益活动有2种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1627168-=；选D.【总结与反思】 （1）本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．是一道基础题。
高中数学全程复习方略 11.3 二项式定理课件 理
答案：(1)2n+1 (2)210
3.各个二项式系数的和 (1)(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于_2_n_， 即_C__0n __C_1n__C__n2 _____C_nn___2_n_； (2)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二 项式系数的和，即 C0n C2n C4n Cnn =_C_1n___C_3n__C_5n_____=__2_n-_1_.
kn___ ___(_k_=_0_,_1_,_2_,_…__,_n_)____________
【即时应用】
(1)(a+b)n展开式中，二项式系数 Ckn (k=0,1,2,…,n)与展开式 中项的系数______(填：“一定”，“不一定”)相同.
(2)
C101
第三节 二项式定理
三年10考 高考指数:★★★ 1.能用计数原理证明二项式定理； 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1.二项展开式的通项公式的应用，利用通项公式求特定的项或 特定项的系数，或已知某项，求指数n等是考查重点； 2.赋值法、化归思想是解决二项展开式问题的基本思想和方法， 也是高考考查的热点； 3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以解答题 为主.
＋a2－a3＋a4－a5＝32，由此解得a0＋a2＋a4＝16，a1＋a3＋a5
＝－16，所以(a0 ＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256. 答案:(1) 1 (2)256 (3)-256
64
求二项展开式中特定的项或特定项的系数 【方法点睛】 1.理解二项式定理应注意的问题 (1)Tr+1通项公式表示的是第“r+1”项，而不是第“r”项； (2)通项公式中a和b的位置不能颠倒；
2020届高考数学(理)二轮复习全程方略课件：专题19 计数原理与二项式定理 Word版含答案
当 3,4 固定在图中的位置时，填写空格的方法有 ( )
A．6 种
B．12 种
C．18 种
A
D．24 种
[解析] 分三个步骤： 第一步，数字1,2,9必须放在如图的位置，只有1种方 法． 第二步，数字5可以放在左下角或右上角两个位置，故 数字5有2种方法． 第三步，数字6如果和数字5相邻，则7,8只有1种方 法；数字6如果不和数字5相邻，则7,8有2种方法， 故数字6,7,8共有3种方法． 根据分步乘法计数原，有1×2×3＝6种填写空格的方法．
n！ ＝___m_！___n_－__m__！____(这里，m，n∈N*，且m≤n)；
②C0n＝1．
(3)二项式定理： ①定理内容：(a＋b)n＝__C_0n_a_n＋__C_1n_a_n_－_1b_1_＋__…__＋__C_kn_a_n_－_kb_k_＋__…__＋__C_nn_b_n(_n_∈__N__*)_； ②通项公式：Tk＋1＝___C_nk_a_n－_k_b_k __________．
8．(2016·全国卷Ⅰ，14)(2x＋ x)5 的展开式中，x3 的系数是____1_0_____.(用数 字填写答案)
[解析] 设展开式的第k＋1项为Tk＋1，k∈{0,1,2,3,4,5}， 所以Tk＋1＝Ck5(2x)5－k( x)k＝Ck525－kx5－2k． 当5－2k＝3时，k＝4，即T5＝C4525－4x5－42＝10x3．
故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．
7．(2017·山东卷，11)已知(1＋3x)n 的展开式中含有 x2 项的系数是 54，则 n ＝___4_______.
[解析]
(1＋3x)n的展开式的通项为Tr＋1＝C
r n
【创意版】【全程复习方略】2015高考数学二轮复习 专题辅导与训练 概率、计数原理、二项式定理教学课件.ppt
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2.（2014·浙江高考改编）在8张奖券中有一、二、三等奖各1 张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，求不 同的获奖情况有多少种（用数字作答）. 【解析】不同的获奖情况分两种，一是有一人获两张奖券， 一人获一张，共有 =36种，二是有三人各获得一张，
共有 =24种，因此C不32A同42 的获奖情况有60种. A34
③ C0n C1n Cnn 2n.
④Cmn
Cm n1
Cmm
Cmn11.
（7）二项式定理：
①定理内容(a+b)n=___C_0na_n___C_1n_a_n_1b_1_____C__kna_n__kb_k______C_nn_b（_n _n___N.*）
②通项公式：Tk+1=_C__kna_n_k_b_k__.
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8
3.（2014·湖北高考改编）若二项式 (2x a )7 的展开式中 x
1 的系数是84，求实数a的值.
【x解3 析】因为Tr+1= ·(2x)7-r· 令7-2r=-3，得r=5C，7r
(a )r x
C7r
27r
ar
x ， 72r
所以 ·22·a5=84，解得a＝1.
C57
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2
（3）互斥事件、对立事件的概率公式:
P（A∪B）=_P_（__A_）__+_P_（__B_）__；P（A）=_1___P_（__A_）.
（4）排列数公式：
=__n_(_n_-_1_)_(_n_-_2_)_…__(_n_-_m_+_1_)
A＝mn ___n_!___(这里，m，n∈N*，且m≤n).
高考二轮数学(理)专题复习(考点梳理+高考热点突破)：
Z主 干考点 梳理
2．对于小于 55 的自然数 n，积(55－n)(56－
n)·…·(68－n)(69－n)等于( B )
A．A5659－ －nn B．A1659－n C．A1555－n D．A1649－n
栏 目
链
3．(2014·湖北卷)若二项式2x＋xa7的展开式中x13
接
的系数是 84，则实数 a＝( C )
1．排列数公式：
A
m n
＝
___n_(n_－__1_)_(_n_－__2_)…__(_n_－__m_＋__1_)_______________
n！
栏
＝__（__n－__m_）_！____(阶乘形式)．
目 链
2．组合数公式：
接
C n（n－1）nm（n－2）…＝（n－m＋1）AAmmnm
＝
______n！___________m__！_____________________
_______________________.
Z主 干考点 梳理
考点自测
1．(2014·大纲卷)有6名男医生、5名女医生，
从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，
则不同的选法共有( C )
栏 目 链
接
A．60种 B．70种
C．75种 D．150种
解析 由已知可得不同的选法共有 C62C15＝75.故选 C.
G高 考热点 突破
第二类，没有任教的老师来自于三门课都能任教的 2位老师中的一位，则剩下的一位老师只能任教“信息安 全与密码”，有2种选法；
第三类，没有任教的老师来自于只能任教“矩阵与
栏
变换”的3位老师中的一位，则需从三门课都能任教的2
A．2
新教材适用2025版高考数学二轮总复习第3篇方法技巧引领必考小题练透第7讲计数原理二项式定理教师用书
第7讲 计数原理、二项式定理高频考点高考预料分类加法计数原理、分步乘法计数原理主要是考查两个原理以及排列、组合的应用，有时也与概率问题相结合的形式出现；二项绽开式项的系数、特定的项，通过对通项公式的化简和运算确定特定项，利用赋值法求的绽开式的各项系数和.排列、组合二项式定理1. (2024·全国新高考Ⅱ卷)某学校为了了解学生参与体育运动的状况，用比例安排的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和中学部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和中学部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有( D )A ．C 45400·C 15200种 B ．C 20400·C 40200种 C ．C 30400·C 30200种D ．C 40400·C 20200种【解析】 ∵初中部和中学部分别有400和200名学生，∴人数比例为400∶200＝2∶1，则须要从初中部抽取40人，中学部取20人即可，则有C 40400·C 20200种．故选D.2. (2024·全国甲卷理科)有五名志愿者参与社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参与服务，则两天中恰有1人连续参与两天服务的选择种数为( B )A ．120B ．60C ．40D ．30【解析】 先从5人中选1人连续两天参与服务，共有C 15＝5种选法，然后从剩下4人中选1人参与星期六服务，剩下3人中选取1人参与星期日服务，共有C 14·C 13＝12种选法，依据分步乘法计数原理可得共有5×12＝60种选法．故选B.3. (2024·全国乙卷理科)甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( C )A ．30种B ．60种C ．120种D ．240种【解析】 依据题意可得满意题意的选法种数为：C 16·A 25＝120.故选C.4. (2024·全国新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参与文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( B )A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种【解析】 把丙和丁捆绑在一起，4个人随意排列，有A 22·A 44＝48种状况，甲站在两端的状况有C 12A 33A 22＝24种状况，∴甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有48－24＝24种，故选B.5. (2024·全国Ⅰ卷)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的绽开式中x 3y 3的系数为( C )A ．5B ．10C ．15D ．20【解析】 (x ＋y )5绽开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r y r(r ∈N 且r ≤5)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2x 的各项与(x ＋y )5绽开式的通项的乘积可表示为：xT r ＋1＝x C r 5x 5－r y r ＝C r 5x 6－r y r和y 2x T r ＋1＝y 2xC r 5x 5－r y r＝C r 5x 4－r y r ＋2，在xT r ＋1＝C r 5x 6－r y r中，令r ＝3，可得：xT 4＝C 35x 3y 3，该项中x 3y 3的系数为10，在y 2xT r ＋1＝C r 5x 4－r yr ＋2中，令r ＝1，可得：y 2xT 2＝C 15x 3y 3，该项中x 3y 3的系数为5，所以x 3y 3的系数为10＋5＝15.故选C.6. (2024·全国新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有_64__种(用数字作答)．【解析】 若选2门，则只能各选1门，有C 14C 14＝16种，如选3门，则分体育类选修课选2，艺术类选修课选1，或体育类选修课选1，艺术类选修课选2，则有C 14C 24＋C 24C 14＝24＋24＝48，综上共有16＋48＝64种不同的方案．7. (2024·全国新高考Ⅰ卷)⎝⎛⎭⎪⎫1－y x (x ＋y )8的绽开式中x 2y 6的系数为_－28__(用数字作答)．【解析】 (x ＋y )8的通项公式为T r ＋1＝C r 8x8－r y r，当r ＝6时，T 7＝C 68x 2y 6，当r ＝5时，T 6＝C 58x 3y 5，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y x (x ＋y )8的绽开式中x 2y 6的系数为C 68－C 58＝8！6！·2！－8！5！·3！＝28－56＝－28.8. (2024·全国卷Ⅱ卷)4名同学到3个小区参与垃圾分类宣扬活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少支配1名同学，则不同的支配方法共有_36__种．【解析】 ∵4名同学到3个小区参与垃圾分类宣扬活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少支配1名同学，∴先取2名同学看作一组，选法有：C 24＝6，现在可看成是3组同学安排到3个小区，分法有：A 33＝6，依据分步乘法原理，可得不同的支配方法6×6＝36种．1.解决排列组合问题的方法(1)特别元素、特别位置优先法．(2)元素相邻采纳捆绑法，元素不相邻采纳插空法．(3)至多至少问题可以采纳间接法．【提示】谨防“两个误区”(1)留意分类标准要明确，做到不重不漏，(2)留意区分是排列问题还是组合问题．2.求二项绽开式中项的方法(1)依据所给的条件写出通项公式，建立方程确定指数，如常数项令指数为0，有理项令指数为整数．(2)依据所求的指数确定对应的项．3.两个多项式的积与三项绽开式的特定项，利用二项绽开式协作多项式乘法探讨求解．4.求解二项式系数和各项系数和常用赋值法．【提示】谨防“四个误区”(1)二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项．(2)(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但详细到它们绽开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与其次个量b的位置不能颠倒．(3)二项式系数与项的系数的区分(4)求二项绽开式的系数时要结合绽开式的特点敏捷赋值．一、单项选择题(共8小题)1. (2024·汕头二模)电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0～255.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为( A )A．2563B．27C．2553D．6【解析】分3步取色，第一、其次、第三次都有256种取法，依据分步乘法计数原理得，共可配成256×256×256＝2563种颜色．故选A.2. (2024·泸县校级模拟)7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、丙不相邻，则不同排法的种数是( C )A．60 B．120C．240 D．360【解析】甲乙相邻，乙丙不相邻，可以将甲乙看成一个人，7个人去掉甲乙丙一共有4个人，四个人算两边有5个空，从五个空中选出两个，那么他们的位置就固定了．四个人全排列的方法有A 44＝24种，从五个空中选出两个的方法有C 25＝10种，所以一共不同排法有24×10＝240种．故选C.3. (2024·贵州模拟)公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围：3.1 415 926＜π＜3.1 415 927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1 415 926称为“祖率”，这是中国数学的宏大成就．某小学老师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到小于3.14的不同数字的个数有( A )A ．240B ．360C ．600D ．720【解析】 小于3.14的不同数字的个数有两类：第一类：3.11开头的，剩余5个数字全排列有A 55＝120种；其次类：3.12开头的，剩余5个数字全排列有A 55＝120种．依据分类加法计数原理可知，共120＋120＝240种．故选A.4. (2024·石嘴山校级三模)中国救援力气在国际自然灾难中为挽救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友情，多次为祖国赢得了荣誉．现有5支救援队前往A ，B ，C 等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少支配1支救援队，其中甲救援队只能去B ，C 两个受灾点中的一个，则不同的支配方法数是( D )A ．72B ．84C ．88D ．100【解析】 若甲去B 点，则剩余4人，可只去A ，C 两个点，也可分为3组去A ，B ，C 三个点．当剩余4人只去A ，C 两个点时，人员安排为1,3或2,2，此时的安排方法有C 34·A 22＋C 24·C 22A 22·A 22＝14；当剩余4人分为3组去A ，B ，C 3个点时，先从4人中选出2人，即可分为3组，然后安排到3个小组即可，此时的安排方法有C 24·A 33＝36，综上可得，甲去B 点，不同的支配方法数是14＋36＝50.同理，甲去C 点，不同的支配方法数也是50，所以不同的支配方法数是50＋50＝100.故选D.5. (2024·抚顺二模)第19届亚运会将于2024年9月23日至10月8日在杭州实行，甲、乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的支配方法共有( C )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种【解析】 ①游泳场地支配2人，则不同的支配方法有C 23A 22＝6种，②游泳场地只支配1人，则不同的支配方法有C 13C 23A 22＝18种，所以不同的支配方法有6＋18＝24种．故选C.6. (2024·泉州模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－x 10的绽开式中，x 2的系数等于( D )A ．－45B ．－10C ．10D ．45【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x 10的通项为T r ＋1＝C r 10⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 10－r ·(－x )r ＝(－1)r C r 10x 32r －10，令32r －10＝2，解得r ＝8，所以x 2项的系数为：(－1)8C 810＝45.故选D.7. (2024·沙坪坝区校级模拟)(2x 2＋y ＋1)5的绽开式中x 4y 2项的系数为( A ) A ．120 B ．160 C ．180D ．210【解析】 由题意(2x 2＋y ＋1)5的绽开式中x 4y 2项的系数为C 25×22×C 23＝120.故选A. 8. (2024·惠州一模)已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x n(n ∈N *)的绽开式中只有第4项的二项式系数最大，现从绽开式中任取2项，则取到的项都是有理项的概率为( A )A.27 B ．37 C ．14D ．38【解析】 因为二项式的绽开式中只有第4项的二项式系数最大，所以绽开式的总项数为7项，故n ＝6，绽开式的通项T r ＋1＝C r 6(2x )6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 626－r x 6－32r，当r 是偶数时该项为有理项，∴r ＝0,2,4,6有4项，所以全部项中任取2项，都是有理项的概率为P ＝C 24C 27＝27.故选A.二、多项选择题(共4小题)9. (2024·吉林模拟)从4名男生和3名女生中选出4人去参与一项创新大赛，下列说法正确的是( AD )A ．若4人中男生女生各选2人，则有18种选法B ．若男生甲和女生乙必需在内，则有12种选法C ．若男生甲和女生乙至少有1人在内，则有15种选法D ．若4人中既有男生又有女生，则有34种选法【解析】 对于A ，依题意，依据组合及分步计数原理，可知一共有C 24C 23＝6×3＝18种，故A 正确；对于B ，依题意，要从7名同学中选取4人，而甲乙必需在内，则相当于从5名同学中选取2人，一共有C 25＝10种，故B 错误；对于C ，依题意，要从7名同学中选取4人，一共有C 47＝35种，而甲乙都不在内一共有C 45＝5种，∴甲与乙至少要有1人在内有C 47－C 45＝35－5＝30种，故C 错误；对于D ，依题意，假设全是男生一共有C 44＝1种，全是女生的状况没有，∴既有男生又有女生一共有C 47－C 44＝35－1＝34种，故D 正确．故选AD.10. (2024·渝中区校级模拟)下列选项正确的是( ABD )A ．有7个不同的球，取5个放入5个不同的盒子中，每个盒子恰好放1个，则不同的存放方式有2 520种B ．有7个不同的球，全部放入5个相同的盒子中，每个盒子至少放1个，则不同的存放方式有140种C ．有7个相同的球，取5个放入3个不同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有18种D ．有7个相同的球，全部放入3个相同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有8种【解析】 依据题意，依次分析选项：对于A ，有7个不同的球，取5个放入5个不同的盒子中，每个盒子恰好放1个，是排列问题，有A 57＝2 520种不同的放法，A 正确；对于B ，先将7个球分为5组，有3－1－1－1－1和2－2－1－1－1两种分组方法，则有C 37＋C 27C 25A 22＝140种分组方法，B 正确；对于C ，用挡板法分析：将7个相同的球，取5个放入3个不同的盒子中，有C 27＝21种不同的放法，C 错误；对于D ，分3种状况探讨：①全部放入1个盒子中，有1种放法，②放入两个盒子中，有6－1、5－2、4－3，共3种放法，③放入3个盒子里，有1－1－5、1－2－4、1－3－3、2－2－3，共4种放法，则有1＋3＋4＝8种放法，D 正确；故选ABD.11. (2024·晋中二模)(1＋ax )2 023＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 023x2 023，若a 1＝－6 069，则下列结论正确的有( BC )A ．a ＝3B ．a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 023＝－22 023C.a 13＋a 232＋…＋a 2 02332 023＝－1 D ．(1＋ax )2 023的绽开式中第1 012项的系数最大【解析】 对于A ，由a 1＝C 12 023·a ＝2 023a ＝－6 069，可得a ＝－3，故A 错误；对于B ，因为(1－3x )2 023＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 023x2 023，令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 023＝(1－3)2 023＝－22 023，故B 正确；对于C ，令x ＝0，则a 0＝1，令x ＝13，则a 13＋a 232＋…＋a 2 02332 023＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3×13 2 023－a 0＝－a 0＝－1，故C 正确；对于D ，由绽开式知，a 2n ＞0，a 2n －1＜0，故第1012项的系数a 1 011＜0，不会是绽开式中系数最大的项，故D 错误．故选BC.12. (2024·南关区校级模拟)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫41x＋3x 2n绽开式中的第三项的系数为45，则( BCD )A ．n ＝9B ．绽开式中全部系数和为1 024C ．二项式系数最大的项为中间项D ．含x 3的项是第7项【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫41x＋3x 2n 绽开式的通项为T k ＋1＝C k n ⎝⎛⎭⎪⎫41x n －k·(3x 2)k ＝C k n x 11k －3n12，所以第三项的系数为C 2n ＝45，所以n n －12＝45，所以(n －10)(n ＋9)＝0，得n ＝10或n ＝－9(舍)，故A 错误；当x ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫41x ＋3x 2n绽开式中全部系数和为(1＋1)10＝1 024，故B 正确；⎝ ⎛⎭⎪⎫41x＋3x 210的绽开式共有11项，二项式系数最大的项为中间项，故C 正确；因为n ＝10，所以绽开式的通项为T k ＋1＝C k10⎝ ⎛⎭⎪⎫41x 10－k ·(3x 2)k ＝C k n x 11k －3012，令11k －3012＝3，得k ＝6，所以含x 3的项是第k ＋1＝6＋1＝7项，故D 正确．故选BCD.三、填空题(共4小题)13. (2024·闵行区二模)今年春季流感爆发期间，某医院打算将2名医生和4名护士安排到两所学校，给学校老师和学生接种流感疫苗．若每所学校安排1名医生和2名护士，则不同的安排方法数为_12__.【解析】 依据题意，第一个学校选1名医生和2名护士，有C 12C 24种选法，其次个学校只有1种选法，则有C 12C 24＝12种选法．14. (2024·泰安二模)用数字1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_312__个．(用数字作答)【解析】 依据题意，分成两类状况：①四位数中没有偶数，即在1,3,5,7中任选4个，共有A 44＝24种，②四位数中只有一个偶数，即在1,3,5,7中任选3个，在2,4,6中选一个，共有C 34C 13A 44＝288种，故共有24＋288＝312.15. (2024·武功县校级模拟)二项式(x ＋a )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 3的绽开式中，全部项的系数和为1，则(x ＋a )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的绽开式中常数项为_－40__.【解析】 令x ＝1，得(x ＋a )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 3的绽开式中，全部项的系数和为1＋a ＝1，解得a ＝0，则(x ＋a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5绽开式中的通项为C r 5(2x )5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 5·25－r·(－1)r ·x5－2r，令5－2r ＝－1，得r ＝3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5绽开式中x －1项的系数为－40，∴x ⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 5绽开式中常数项为－40.16. (2024·扬州三模)若(x ＋5)2 023＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 023x2 023，T ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 023，则T 被5除所得的余数为_1__.【解析】 (x ＋5)2 023＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 023x2 023，T ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 023，令x＝1，则T ＝(1＋5)2 023＝C 02 023·50＋C 12 023·51＋…＋C 2 0232 023·52 023，上式中的2 024项，只有第1项不能被5整除，则T 被5除所得的余数即1被5除所得的余数，即1.。
安徽省高考数学第二轮复习 专题七概率与统计第1讲 计数原理、二项式定理 理
真题试做1．(2012·浙江高考，理6)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )．A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种2．(2012·重庆高考，理4)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x 8的展开式中常数项为( )．A.3516B.358C.354D ．105 3．(2012·安徽高考，理7)(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是( )．A ．－3B ．－2C ．2D ．34．(2012·浙江高考，理14)若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝__________.5．(2012·广东高考，理10)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 6的展开式中x 3的系数为__________．(用数字作答)考向分析高考中对本节注重基础知识和基本解题方法、规律的考查，伴随运算能力的考查，基本都为中等难度试题．预测下一步对排列组合会更加注重分类、分步计算原理的考查，注重与概率的联系，更要加强对本节知识的理解深度；二项式定理的应用可能会对x 的n 次多项式(1＋ax )n 的考查升温，尤其是利用(1＋ax )n的展开式考查赋值思想．热点例析热点一 分类加法和分步乘法计数原理【例1】方程ay ＝b 2x 2＋c 中的a ，b ，c {－3，－2,0,1,2,3}，且a ，b ，c 互不相同．在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有( )．A ．60条B ．62条C ．71条D ．80条规律方法“分类”与“分步”的区别：关键是看事件的完成情况，如果每种方法都能将事件完成是分类；如果必须要连续若干步才能将事件完成是分步，分类要用分类加法计数原理将种数相加；分步要用分步乘法计数原理将种数相乘．变式训练1(2012·安徽高考，理10)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为( )．A ．1或3B ．1或4C ．2或3D ．2或4 热点二 求展开式中的指定项【例2】在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6的二项展开式中，常数项等于__________．规律方法运用二项式定理一定要牢记通项T r ＋1＝C r n a n －r b r ，其中n N *，r N ，r ≤n .注意与(b ＋a )n的展开式虽然相同，但其展开式中的某一项是不相同的，所以一定要注意顺序问题．变式训练2若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为__________．热点三 求展开式中的各项系数的和若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为( )． A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2 规律方法求展开式中系数和问题，往往根据展开式的特点赋值．变式训练3若(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝__________.思想渗透分类讨论思想在排列组合中的应用由实际意义引起的分类讨论在排列组合问题中比较常见，这是因为分类、分步是解决排列组合问题的两个指导思想．一般采取先分类再分步的策略，分类时要先确定分类标准，是根据特殊元素来分类还是根据特殊位置来分类，然后再解决每一类中的分步问题，最后汇总．在分类时注意标准的选取，做到不重不漏．将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有________种．解析：分三类：第一格填2，则第二格有A 13种填法，第三、四格自动对号入座，不能自由排列；第一格填3，则第三格有A 13种填法，第二、四格自动对号入座，不能自由排列；第一格填4，则第四格有A 13种填法，第二、三格自动对号入座，不能自由排列；共计有3A 13＝9种填法． 答案：91．(2012·天津高考，理5)在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 5的二项展开式中，x 的系数为( )．A ．10B ．－10C ．40D ．－402．(1＋x )7的展开式中x 2的系数是( )．A ．42B ．35C ．28D ．213．(2012·陕西高考，理8)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )．A ．10种B ．15种C ．20种D ．30种4．(2012·山东高考，理11)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为( )．A ．232B ．252C ．472D ．4845．(2012·辽宁高考，理5)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )．A ．3×3!B ．3×(3！)3C ．(3！)4D ．9!6．设a Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( )． A ．0 B ．1 C ．11 D ．127．将字母a ，a ，b ，b ，c ，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )．A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种8．一袋中有除颜色外其他均相同的6个球，其中3个黑球，红、白、蓝球各1个，现从中取出4个球排成一列，共有多少种不同的排法？参考答案命题调研·明晰考向 真题试做1．D 解析：和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有C 44＝1(种)，取2奇数2偶数的取法有C 42·C 52＝60(种)，取4个数均为奇数的取法有C 54＝5(种)，故不同的取法共有1＋60＋5＝66(种)．2．B 解析：二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x 8的通项为T r ＋1＝C 8r (x )8－r (2x )－r ＝2－r C 8r x 8－2r 2，令8－2r 2＝0得r ＝4，所以二项展开式的常数项为T 5＝2－4C 48＝358，故选B.3．D 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2－15的通项为T r ＋1＝C 5r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25－r (－1)r ＝(－1)r C 5r 1x10－2r .要使(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式为常数，须令10－2r ＝2或0，此时r ＝4或5.故(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2－15的展开式的常数项是(－1)4×C 54＋2×(－1)5×C 55＝3.4．10 解析：由x 5＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5可得，⎩⎪⎨⎪⎧x 5＝a 5·C 55x 5，0·x 4＝a 4C 44x 4＋a 5C 54x 4，0·x 3＝a 3C 33x 3＋a 4C 43x 3＋a 5C 53x 3，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝1，a 4＝－5，a 3＝10.5．20 解析：T r ＋1＝C 6r (x 2)r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x6－r ＝C 6r x 3r －6，∴要求展开式中x 3的系数，即3r －6＝3，∴r ＝3，即T 4＝C 63·x 3＝20x 3，∴x 3的系数为20. 精要例析·聚焦热点 热点例析【例1】 B 解析：因为a ，b 不能为0，先确定a ，b 的值有A 52种，则c 有C 41种，即所形成的抛物线有A 52C 41＝80条．当b ＝±2时，b 2的值相同，重复的抛物线有C 31C 31＝9条；当b＝±3时，b 2的值相同，重复的抛物线有C 31C 31＝9条，所以不同的抛物线共有A 52C 41－2 C 31C 31＝62条．【变式训练1】 D 解析：6人之间互相交换，总共有C 62＝15种，而实际只交换了13次，故有2次未交换．不妨设为甲与乙、丙与丁之间未交换或甲与乙、甲与丙之间未交换，当甲与乙、丙与丁之间未交换时，甲、乙、丙、丁4人都收到4份礼物；当甲与乙、甲与丙之间未交换时，只有乙、丙两人收到4份礼物，故选D.【例2】 －160 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6的二项展开式中的常数项为C 63·(x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 3＝－160.【变式训练2】 56 解析：∵C n 2＝C n 6，∴n ＝8.T r ＋1＝C 8r x 8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C 8r x 8－2r ，当8－2r ＝－2时，r ＝5. ∴系数为C 85＝56.【例3】 A 解析：(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)＝(2＋3)4·(2－3)4＝1.【变式训练3】 1 创新模拟·预测演练1．D 解析：T r ＋1＝C 5r (2x 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r 25－r C 5r x 10－3r，∴当10－3r ＝1时，r ＝3.∴(－1)325－3C 53＝－40.2．D 解析：含x 2的项是展开式中的第三项T 3＝C 72x 2＝21x 2，所以x 2的系数是21.3．C 解析：甲获胜有三种情况，第一种共打三局，甲全胜，此时，有一种情形；第二种共打四局，甲第四局获胜且前三局中只有两局获胜，此时，共有C 32＝3种情形；第三种共打五局，甲第五局获胜且前四局只有两局获胜，此时，共有C 42＝6种情形，所以甲赢共有10种情况，同理乙赢也有10种情形，故选C.4．C 解析：完成这件事可分为两类，第一类3张卡片颜色各不相同共有C 43C 41C 41C 41＝256种；第二类3张卡片有两张同色且不是红色卡片共有C 31C 42C 31C 41＝216种，由分类加法计数原理得共有472种，故选C.5．C 解析：完成这件事可以分为两步，第一步排列三个家庭的相对位置，有A33种排法；第二步排列每个家庭中的三个成员，共有A33A33A33种排法．由乘法原理可得不同的坐法种数有A33A33A33 A33，故选C.6．D 解析：∵52能被13整除，∴512 012可化为(52－1)2 012，其二项式系数为T r＋1＝C2 012r522 012－r·(－1)r.故(52－1)2 012被13除余数为C2 0122 012·(－1)2 012＝1，则当a＝12时，512 012＋12被13整除．7．A 解析：当第一行为a b时，有a bb cc b和a bc ab c两种情况，∴当第一行为a，b时，共有4种情况．同理当第一行为a，c时，共有4种情况；当第一行为b，c时，共有4种情况；∴不同的排列方法共有12种．8．解：分三类：若取1个黑球，和另三个球排4个位置，有A44＝24种不同的排法；若取2个黑球，从另三个球中选2个排4个位置，2个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，即有C32A42＝36种不同的排法；若取3个黑球，从另三个球中选1个排4个位置，3个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，即有C31A41＝12种不同的排法；所以有24＋36＋12＝72种不同的排法．。