导数中的构造函数(最全精编)学生版

导数小题中构造函数的技巧
函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中，下面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。

（一）利用)(x f 进行抽象函数构造
1、利用)(x f 与x 构造；常用构造形式有x x f x xf )(),
(；这类形式是对v
u v u ,⋅型函数导数计算的推广及应用，我们对v u v u ,⋅的导函数观察可得知，v u ⋅导函数中
体现的是“+”法，v
u 型导函数中体现的是“-”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“+”法形式时，优先考虑构造v u ⋅型，当导函数形式出现的是“－”法形式时，优先考虑构造v
u ，我们根据得出的“优先”原则，看一看例1，例2.
【例1】)(x f 是定义在R 上的函数，当0<x 时，0)()('<+x xf x f ，且0)4(=-f ，则不等式0)(>x xf 的解集为____________❀❀❀思路点拨：出现“+”形式，优先构造)()(x xf x F =，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.
【例2】设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0)1(=f ，当0<x 时，有0)()('>-x f x xf 恒成立，则不等式0)(>x f 的解集为________________
❀❀❀思路点拨：出现“-”形式，优先构造然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.x
x f x F )()(=
x
x f x xf )(),(是比较简单常见的)(x f 与x 之间的函数关系式，如果碰见复杂的，不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式.)()(x f x x F n =，)]()([)()()('11'x f x nf x x f x x f nx x F n n n +=+=--；
n x
x f x F )()(=，1'21'')()()()()(+--=-⋅=n n n n x x nf x xf x x f nx x x f x F ；结论：
出现)()('x xf x nf +形式，构造函数)()(x f x x F n =；
出现)()('x nf x xf -形式，构造函数n x
x f x F )()(=.我们根据得出的结论去解决例3题
【例3】已知偶函数)0)((≠x x f 的导函数为)('x f ，且满足0)1(=-f ，当0>x 时，)()(2'x xf x f >，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是___________❀❀❀思路点拨：满足“)()('x nf x xf -”形式，优先构造然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.
n x x f x F )()(=
【变式提升】设函数)(x f 满足x x f x x f x ln 1)(3)(2'3+=+，且e
e f 21)(=，则0>x 时，)(x f （）
A 、有极大值，无极小值
B 、有极小值，无极大值
C 、既有极大值又有极小值
D 、既无极大值也无极小值❀❀❀思路点拨：满足“)()('x nf x xf +”
形式，为3=n 时情况，优先构造n
x x f x F )()(=，然后利用积分、函数的性质求解即可.【例4】设)(x f 是定义在R 上的奇函数，在)0,(-∞上有0)2()2(2'<+x f x xf ，且0)2(=-f ，则不等式0)2(<x xf 的解集为___________.
❀❀❀思路点拨：满足“)()('x nf x xf +”形式，优先构造)2()(x xf x F =，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.注意0)2(=-f 和)(x F 的转化.
（2）利用)(x f 与x e 构造；
)(x f 与x e 构造，一方面是对v u v u ,
⋅函数形式的考察，另外一方面是对x x e e =)(的考察.所以对于)()('x f x f ±类型，我们可以等同x x f x xf )(),(的类型处理，“+”法优先考虑构造x e x f x F ⋅=)()(，“-”法优先考虑构造x e x f x F )()(=.【例5】已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的函数，导函数)('x f 满足)()('x f x f <对于R x ∈恒成立，则（）
A 、)0()2014(),0()2(20142f e f f e f >>
B 、)
0()2014(),0()2(20142f e f f e f ><C 、)0()2014(),0()2(20142f e f f e f <>D 、)
0()2014(),0()2(20142f e f f e f <<❀❀❀思路点拨：满足“0)()('<-x f x f ”形式，优先构造x e x f x F )()(=
，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.
同样x x e
x f x f e )(),
(是比较简单常见的)(x f 与x e 之间的函数关系式，如果碰见复杂的，我们是否也能找出此类函数的一般形式呢？)()(x f e x F nx =，)]()([)()()('''x nf x f e x f e x f e n x F nx nx nx +=+⋅=；
nx e x f x F )()(=，nx nx nx nx e x nf x f e x f ne e x f x F )]()([)()()('2''-=-=；
结论：1、出现)()('x nf x f +形式，构造函数)()(x f e x F nx =；
2、出现)()('x nf x f -形式，构造函数nx e
x f x F )()(=.我们根据得出的结论去解决例6题.
【例6】若定义在R 上的函数)(x f 满足1)0(,0)(2)('=>-f x f x f ，则不等式x e x f 2)(>的解集为___________❀❀❀思路点拨：满足“0)(2)('<-x f x f ”形式，优先构造x
e x
f x F 2)()(=，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.
【变式提升】若定义在R 上的函数)(x f 满足1)0(,04)(2)('-=>--f x f x f ，则不等式2)(2->x e x f 的解集为___________
❀❀❀思路点拨：利用通式构造函数时考虑4-如何转化.构造函数x x e
e x
f x F 222)()(-=
【例7】已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若()f x 满足：()()(1)[]0x f x f x '-->，()22(2)x f x f x e --=，则下列判断一定正确的是（）
（A）)
0()1(f f <（B）)0()2(2f e f >（C）)0()3(3f e f >（D）)
0()4(4f e f <❀❀❀思路点拨：满足“)()('x f x f -”形式，优先构造x e x f x F )()(=
，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.
（3）利用)(x f 与x x cos ,sin 构造.
x x cos ,sin 因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式.x x f x x f x F x x f x F cos )(sin )()(,sin )()(''+==；
x
x x f x x f x F x x f x F 2''sin cos )(sin )()(,sin )()(-==；x x f x x f x F x x f x F sin )(cos )()(,cos )()(''-==；
x
x x f x x f x F x x f x F 2''cos sin )(cos )()(,cos )()(+==.根据得出的关系式，我们来看一下例8
【例8】已知函数()y f x =对于任意的(,)22x ππ∈-满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式不成立的是（）
A、(()34f ππ<(()34f ππ-<-
C、(0)()4f π<
D、(0)2()3
f f π<❀❀❀思路点拨：满足“()()cos sin 0f x x f x x '+>”形式，优先构造然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.x
x f x F cos )()(=
【变式提升】定义在)2
,0(π上的函数，函数)('x f 是它的导函数，且恒有。