高二数学向量垂直、平行的充要条件及应用(教师版)
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定(课件)高二数学选择性必修第一册(人教A版2019)
应用新知
已知 l1 过点 M(1，0)，N(4，－5)，l2 过点 P(－6，0)，Q(－1，3)，
跟踪练习
试判断直线 l1 与 l2 的位置关系.
5 0
5
30
3
, 直线l2 的斜率k2
,
【解析】 直线l1 的斜率k1 =
41
3
1 6 5
5 3
【解析】由题意可知， k AB Nhomakorabea4m
2 ，解得 m 8 ．
m2
方法总结： 由直线平行，得到两直线的斜率相等，利用该等式关系建立关
于参数的方程，解方程即可得解. 注意斜率都不存在的情况.
能力提升
题型三
例题
已知直线垂直关系求参数值
过点 A(m,1) ， B(1, m) 的直线与过点 P(1,2) ， Q(5, 0)
3 m
，
m 1
学习新知
5、已知经过点 A 2,0 和点 B 1,3a 的直线 l1 与经过点 P 0, 1 和点
Q a, 2a 的直线 l2 互相垂直，则实数 a 的值为_________.
详解
3a 0
a．
直线 l1 的斜率 k1
1 2
1
(3) 1 AB AD
3
故四边形ABCD是直角梯形．
方法总结： 可以先用点的坐标试着画出图形，预猜是什么图形，然后用斜
率证明平行和垂直，证明图形的形状的猜想.
能力提升
题型二
例题
已知直线平行关系求参数值
已知过 A(2, m) 和 B(m, 4) 的直线与斜率为－2 的
直线平行，则 m 的______.
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系(第2课时)-高二数学(人教A版选择性必修第一册)
.
答案:平行
解析:因为u·n=(-1,2,-3)·(4,-1,-2)=0,所以u⊥n.所以直线与平面平行,即l∥β.
新知应用
题型一：利用方向向量、法向量判断位置关系
1.根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系：
(1)直线 l1，l2 的方向向量分别是
a＝(1，－3，－1)，b＝(8，2，2)；
1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,
问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?
解:如图所示,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
在CC1上任取一点Q,连接BQ,D1Q.设正方体的棱长为1,
如图.设正方体的棱长为1,则可求得
M 0,1,
1
2
,N
于是 =
1
2
1
2
,1,1 ,D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0).
,0,
1
2
,
1 =(1,0,1),
=(1,1,0).
设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z),
+ = 0,
· 1 = 0,
则
得
+ = 0.
(2)平面α，β的法向量分别是
u＝(1，3，0)，v＝(－3，－9，0)；
(3)直线 l 的方向向量、平面α的法向量分别是
a＝(1，－4，－3)，u＝(2，0，3)；
(4)直线 l 的方向向量、平面α的法向量分别是
a＝(3，2，1)，u＝(－1，2，－1)．
新知应用
解：
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配北师大版)课件1.4两条直线的平行与垂直
(2)l1经过P(3,3),Q(-5,3)两点,l2平行于x轴,但不经过P,Q两点;
(3)l1经过M(-1,0),N(-5,-2)两点,l2经过R(-4,3),S(0,5)两点.
解 (1)由题意,得直线l2的斜率k2=
8-2
4-1=2,又因为直线l1的斜率k1=2,所以k1=k2,
所以直线l1与直线l2平行.
(2)因为l1经过点P(3,3),Q(-5,3),它们的纵坐标相同,所以直线l1平行于x轴.又
l2平行于x轴,且不经过P,Q两点,所以直线l1∥l2.
(3)由已知,得直线 l1 的斜率
又 kMR=-1≠
1
,所以
l
1∥l2.
2
1
1
k1= ,直线 l2 的斜率 k2= ,所以 k1=k2.
2 -2-3 = 0,
即
即
2
2 ≠ 9,
2 -18 ≠ 0,
即
= 3 或 = -1,
≠ 3 且 ≠ -3,
∴m=-1.
故当 m=-1 时,直线 l1 与 l2 平行.
1 2 -2 1 = 0,
(3)若 l1 与 l2 重合,则有
1 2 -2 1 = 0,
3-(-2) = 0,
名师点睛
若没有指明l1,l2不重合,则k1=k2⇔l1∥l2或l1与l2重合.用斜率相等证明三点共
线时,常用到这一结论.
思考辨析
对于两条不重合的直线l1,l2,倾斜角分别为α1,α2,倾斜角相等(α1=α2)是l1∥l2
的充要条件吗?若l1∥l2,则一定能推出两直线的斜率相等吗?
提示 是充要条件.不一定,两直线的斜率可能均不存在.
空间向量在立体几何中的应用教案(教师使用)
空间向量在立体几何中的应用（一）授课时间：2014年5月11日第7节课 授课班级：高二（9）班 授课教师：高志华教学目标 1、知识与技能(1) 进一步理解向量垂直的充要条件； (2)利用向量法证明线线、线面垂直；(3)利用向量解决立体几何问题,培养学生数形结合的思想方法； 2、过程与方法通过学生对空间几何图形的认识，建立恰当的空间直角坐标系，利用向量的坐标将几何问题代数化，提高学生应用知识的能力。
3、情感态度与价值观通过空间向量在立体几何中的应用，让学生感受数学、体会数学的美感， 从而激发学数学、用数学的热情。
教学重点建立恰当的空间直角坐标系,用向量法证明线线、线面垂直。
教学难点、关键建立恰当的空间直角坐标系,直线的方向向量; 正确写出空间向量的坐标。
教学方法启发式教学、讲练结合 教学媒体ppt 课件学法指导交流指导，渗透指导. 课型 新授课教学过程一、知识的复习与引人 自主学习1.若OP =x i +y j +z k ，那么（x ，y ，z ）叫做向量OP 的坐标，也叫点P 的坐标.2. 如图，已知长方体D C B A ABCD ''''-的边长为AB=2,AD=2,1AA '=．以这个长方体的顶点A 为坐标原点，射线A A AD AB ',,分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，试求长方体各个顶点及A C '中点G 的坐标．3.设a =（x 1，y 1，z 1），b =（x 2，y 2，z 2），那么b a ±=（x 1±x 2，y 1±y 2， ）， a ⊥b ⇔ b a ∙=x 1x 2+y 1y 2+ =0.4.设M 1（x 1，y 1，z 1），M 2（x 2，y 2，z 2），则 12M M =（2121,x x y y --， ） [探究]1．直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有 个． 2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l 1的方向向量为1l ， 直线l 2的方向向量为2l ， 直线a 的方向向量为a ， 直线b 的方向向量为b .l 1⊥ l 21l ⊥2l ⇔l 1⊥αl 1⊥a ,l 1⊥b, ,a b αα⊂⊂，a ∩b=o ，[合作探究]二、新授课：利用空间向量证明线线垂直、线面垂直例1、如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为BC的中点，N为AB的中点，P为BB1的中点．(Ⅰ)求证：BD1⊥B1C；(Ⅱ)求证：BD1⊥平面MNP．设计意图：使学生明确空间向量在证明线线垂直、线面垂直中的作用。
数学：第三章《空间向量与立体几何》教案(人教版选修2-1)
高二数学选修2－1 第三章 第1节 空间向量及其运算人教实验B 版（理）【本讲教育信息】一、教学内容：选修2—1 空间向量及其运算二、教学目标：1．理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律。
2．理解共线向量定理和共面向量定理及其意义。
3．掌握空间向量的数量积的计算，掌握空间向量的线性运算，掌握空间向量平行、垂直的充要条件及向量的坐标与点的坐标的关系；掌握夹角和距离公式。
三、知识要点分析： 1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）b a AB OA OB+=+=b a-=-=)(R a OP ∈=λλ运算律：（1）加法交换律：a b b a+=+（2）加法结合律：)()(c b a c b a++=++（3）数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．共线向量定理：对于空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .4．共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，那么向量p 与向量b a ,共面的充要条件是存在有序实数组),(y x ，使得b y a x p +=。
5．空间向量基本定理：如果三个向量c ,b ,a 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使c z b y a x p ++= 6．夹角定义：b a ,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作b OB a OA ==,，则AOB ∠叫做向量a 与向量b 的夹角，记作><b a , 规定：π>≤≤<b a ,0特别地，如果0,>=<b a ，那么a 与b 同向；如果π>=<b a ,，那么a 与b 反向；如果90b ,a >=<，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。
向量垂直条件
向量垂直条件在数学和物理中，向量是一种具有大小和方向的量，它广泛应用于各个领域。
在向量运算中，垂直条件是一种重要的概念，它描述了两个向量之间的关系。
本文将从不同角度介绍向量垂直条件，旨在帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、向量的定义和基本性质向量是具有大小和方向的量，通常用箭头来表示。
向量的大小可以用模长来表示，方向可以用角度或方向余弦来表示。
两个向量相等的条件是它们的大小和方向都相同。
二、向量的垂直条件两个向量垂直的条件是它们的点积为零。
点积是向量运算中的一种运算，它描述了两个向量之间的关系。
具体来说，设向量A和向量B，它们的点积为A·B，计算公式为A·B = |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，θ表示两个向量之间的夹角。
当两个向量垂直时，它们的夹角θ等于90度或π/2弧度。
此时，cosθ的值为0，因此A·B = 0。
由此可见，向量A和向量B的点积为零是它们垂直的充分必要条件。
三、向量垂直条件的几何意义在几何中，两个向量垂直意味着它们所代表的直线相互垂直。
具体来说，设直线l1由向量A表示，直线l2由向量B表示。
当向量A和向量B垂直时，直线l1和直线l2相互垂直。
根据向量的性质，如果两个向量垂直，则它们所代表的直线也垂直。
这一性质在几何推理和证明中经常被应用。
通过判断两条直线所对应的向量是否垂直，可以简化几何问题的解决过程。
四、向量垂直条件的应用向量的垂直条件在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1.平面几何中的垂直线段：当两条线段相互垂直时，它们所对应的向量相互垂直。
2.力学中的力的分解：在力学问题中，一个力可以分解为两个垂直的力。
这样做可以简化问题的分析过程。
3.电磁学中的电场和磁场：在电磁学中，电场和磁场是两个相互垂直的向量场。
4.三角函数中的正交性：在三角函数中，正弦函数和余弦函数是相互垂直的。
五、总结向量的垂直条件是一种重要的概念，它描述了两个向量之间的关系。
高二数学平面向量与空间向量的垂直与共线
高二数学平面向量与空间向量的垂直与共线数学中，平面向量和空间向量是两个重要的概念。
在这篇文章中，我们将探讨平面向量与空间向量之间的垂直与共线的关系。
垂直向量是指两个向量的夹角为90度的情况。
对于平面向量来说，我们可以通过向量的点乘与零向量的判断来确定垂直关系。
设有平面向量a和b，若a·b=0，则a与b垂直。
而对于空间向量来说，我们可以通过向量的数量积与零向量的判断来确定垂直关系。
设有空间向量A和B，若A·B=0，则A与B垂直。
举个简单的例子来理解垂直向量的概念。
设有两个平面向量a=(1, 2)和b=(-2, 1)，我们可以计算它们的点乘：a·b=1*(-2)+2*1=0。
因此，向量a和b是垂直的。
在数学中，共线向量是指两个或多个向量的方向相同或相反的情况。
对于平面向量来说，我们可以通过向量的叉乘和零向量的判断来确定共线关系。
设有平面向量a和b，若a×b=0，则a与b共线。
而对于空间向量来说，我们可以通过向量的叉积和零向量的判断来确定共线关系。
设有空间向量A和B，若A×B=0，则A与B共线。
举个简单的例子来理解共线向量的概念。
设有两个空间向量A=(1, 2, 3)和B=(2, 4, 6)，我们可以计算它们的叉积：A×B=(2*3-4*2, 6*1-2*3, 1*4-2*2)=(0, 0, 0)。
因此，向量A和B是共线的。
在实际应用中，垂直向量和共线向量有着重要的意义。
例如在物理学中，力的合成和分解中的平行四边形法则和三角法则都是基于向量的垂直和共线性质而建立的。
总结起来，平面向量和空间向量之间的垂直与共线关系可以通过点乘和叉乘来判断。
而在实际应用中，垂直向量和共线向量有着广泛的应用，特别是在力学、物理学等领域。
通过本文的探讨，我们对于高二数学中平面向量与空间向量的垂直与共线关系有了更深入的理解。
垂直向量的判断可以通过点乘与零向量进行，而共线向量的判断则可以通过叉乘与零向量进行。
高二数学高效课堂资料8空间向量证明平行垂直
4.如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC.
2.如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD， ,AD＝2，BD＝2 ，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.
证明：PQ∥平面BCD.
探究二垂直证明
3.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．求证：
A．(－1，1，1) B．(1，－1，1) C．(－ ，－ ，－ ) D．( ， ，－ )
3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中
点，则直线NO，AM的位置关系是_______.
4．已知直线l的方向向量为ν＝(1，2，3)，平面 的法向量为u＝(5，2，－3)，则l与 的位置关系是________．
3.与同学分享平行、垂直证明方法.
【核心构建】
【问题】设直线 的方向向量分别为 ，平面 的法向量为 ，通过画图和直观演示，完成下表
位置关系
图形表示
向量表示
【基础小题】
1.平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝()
A．2 B．－4 C．4 D．－2
2．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()
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学科教师辅导讲义
【知识梳理】
(1)两个向量平行的充要条件
a ∥
b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝O.（λ不等于0） (2)两个向量垂直的充要条件 a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.
课堂练习与讲解：
(1)若向量(,1),(4,)a x b x ==r r ，当x ＝__2___时a r 与b r 共线且方向相同；
(2)已知(1,2),(3,)OA OB m =-=u u u r u u u r ，若OA OB ⊥u u u r u u u r ，则m = 3
2 ；
(3)已知向量(2,3)a =，(,6)b x =，且a b P ，则x 为___4__________．
(4)已知向量5,(1,2)a b ==r r
，且b a ρρ⊥，则a ρ的坐标是__(25,5-)或___(25,5)-____。
(5)若()
221,2,a b a b a ==-⊥r r r r r
，则b a ρρ与的夹角为_____045______。
(6)已知平面向量(1,2)a =r ，(2,)b m =-r
，且a r //b r ，则23a b +r r ＝（ B ）
A 、(5,10)--
B 、(4,8)--
C 、(3,6)--
D 、(2,4)-- (7)已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为（ C ）
A ．17
B ．18
C ．19
D ．20
(8)已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ，(,7)c k =r ，若()a c -r r
∥b r ，则k = 5 ． (9)已知平面向量a =,1x （）
，b =2
,x x （－）， 则向量+a b （ C ） A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于y 轴
D.平行于第二、四象限的角平分线
(10)已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是（ D ） A ．-2
B ．0
C ．1
D ．2
（11）已知(1,1),(4,)a b x ==r r ，2u a b =+r r r ，2v a b =+r r r ，且//u v r r ，则x ＝__ 4 ____；
（12）以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=︒，则点B 的坐标是_（1，3）或（3，-1）_____ __；
（13）已知(1,2)n =r 向量n m ⊥r u r ，且n m
=r u r ，则m u r 的坐标是 _ (2,1)-或(2,-1)___
(14)已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r
，且A 、B 、C 三点共线，则 k= 3
4
-
_ (15)已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =u u u r u u u r ，则顶点D 的坐标为（ A ）
A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
B ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
C ．(32)，
D ．(13)，
(16)已知向量(2,4)a =， (1,1)b =．若向量 ()b a b λ⊥+，则实数λ的值是 -3 ．
(17)已知a,b 是非零向量,且满足(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是 60° ．
(18)（2009浙江卷文）已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c = （ B ） A ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93
-- (19)已知向量a 、b 不共线，c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d ，那么 （ D ）
A ．1k =且c 与d 同向
B ．1k =且c 与d 反向
C ．1k =-且c 与d 同向
D ．1k =-且c 与d 反向
(20)已知点(1,2)A -,若向量AB u u u r 与(2,3)a =r
同向, ||AB u u u r =213,则点B 的坐标为 ( 5, 4 )或（-3，-8） .
(21)已知向量(3,4),(sin ,cos ),a b αα==r r 且//a b r r
,则tan α=（ C ）.
A ．
34 B. 34- C. 43 D. 43
- (22)若
，且
，则向量
与
的夹角为（ C ）
A. 30°
B. 60°
C. 120°
D. 150° (23)若平面向量a ，b 满足
1=+b a ，b a +平行于x 轴，)1,2(-=b ，则=a （-1，1）或（-3，1） .
(24)设向量a r ，b r ，c r 满足0a b c ++=r r r r ，()a b c -⊥r r r ，a b ⊥r r
，若｜a r ｜=1,则 ｜a r ｜22||b +r +｜c r ｜2
的值是 4 .
(25)（本题12分）已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝（1，2） ⑴若|c |52=，且a c //，求c 的坐标； ⑵若|b |=
,2
5
且b a 2+与b a 2-垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：⑴设20,52,52||),,(2
2
2
2
=+∴=+∴==y x y x c y x c Θ
23.已知ABC V 和ABC V 所在平面内一点O ,且,OA BC OB CA ⊥⊥,用向量的方法
证明：
OC AB ⊥.
24．如图，一个质量为40N 的物体，由两根绳子,AC BC 悬挂起来，若,AC BC 与铅垂线所成的角分别为30°，45°，且物体静止不动，求绳子,AC BC 需要承受多大的力？
答案：1.C 2.A 3.B 4.C 5.C 6.C 7.A 8.C 9.D 10.B 11.16 12
2233
a b -r
r 13.4 14.26-或 15.612,55⎛⎫
- ⎪⎝⎭
16.750焦耳 17.a b +r r 18.②④⑤
19.()()6,86,8--或 20.221 21略 22略
23.只要证明0OC AB =u u u r u u u r
g
24.(
)(
)
4031,202
31AC BC F N F N =-=-
A
B
C。