§3----解三角形的实际应用举例说课讲解
《解三角形的实际应用》 讲义
《解三角形的实际应用》讲义一、引言三角形是我们在数学学习中经常接触到的几何图形，而解三角形则是利用三角形的边长、角度等已知条件来求解未知量的过程。
在实际生活中，解三角形有着广泛的应用，从测量物体的高度、距离，到设计建筑结构、规划道路走向等等，都离不开解三角形的知识。
接下来，我们将详细探讨解三角形在实际生活中的具体应用。
二、解三角形的基础知识在探讨实际应用之前，让我们先来回顾一下解三角形的一些基础知识。
1、正弦定理在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等，且等于外接圆的直径。
即：＄＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C} ＝ 2R$（其中$R$为三角形外接圆的半径）。
2、余弦定理对于任意三角形，有$a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc\cos A$，＄b^2 ＝ a^2＋ c^2 2ac\cos B$，＄c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab\cos C$。
3、三角形的面积公式＄S ＝＼frac{1}｛2}ab\sin C ＝＼frac{1}｛2}bc\sin A ＝＼frac{1}｛2}ac\sin B$这些定理和公式是我们解三角形的重要工具，在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的定理和公式来求解。
三、解三角形在测量中的应用1、测量物体的高度假设我们要测量一座塔的高度。
我们可以在塔外的平地上选择一个点，测量出该点到塔底的距离，以及在该点观测塔顶的仰角。
然后，利用正切函数$＼tan\theta ＝＼frac{h}｛d}＄（其中$＼theta$为仰角，＄h$为塔的高度，＄d$为点到塔底的距离），就可以求出塔的高度$h ＝ d\tan\theta$。
例如，在距离塔底$100$米的地方，观测塔顶的仰角为$60^｛＼circ}＄，则塔的高度为$100\tan 60^｛＼circ} ＝ 100\sqrt{3} ＼approx1732$米。
解三角形的实际应用举例
第二章 解三角形
(2)由正弦定理得 AC＝sin[180°20－sin（（3405°°＋＋4650°°＋）60°）] ＝20ssiinn4150°5°＝20sisnin4575°° ＝10(1＋ 3)(米)， BC＝sin[180°－（206s0i°n 4＋5°30°＋45°）] ＝20sisnin4455°°＝20(米)．
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第二章 解三角形
测量高度问题 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向 正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在 西偏北 30°的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处， 测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角为 30°，则此山的 高度 CD＝________m.
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第二章 解三角形
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第二章 解三角形
若 P 在 Q 的北偏东 44°，则 Q 在 P 的( )
A．东偏北 46°
B．东偏北 44°
C．南偏西 44°
D．西偏南 44°
解析：选 C.如图，因为 P 在 Q 的北偏东 44°，则 Q 在 P 的南 偏西 44°.
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第二章 解三角形
A，B 两点间有一小山，选定能直接到达点 A，B 的点 C， 测得 AC＝60 m，BC＝160 m，∠ACB＝60°，则 A，B 两点间 的距离为________m. 解析：在△ABC 中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos 60° ＝602＋1602－2×60×160cos 60°＝196 00， 所以 AB＝140 m，即 A、B 两点间的距离为 140 m. 答案：140
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第二章 解三角形
1.(1)在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶
解三角形说课稿
解三角形 说课稿一、说教材《解三角形》这一课是高中数学中的重要内容，它承接着初中阶段平面几何的知识，同时为后续学习立体几何、解析几何等内容打下基础。
本节课在教材中的作用和地位主要体现在以下几个方面：1. 知识体系：解三角形是平面几何中的一个重要组成部分，它涉及到三角形的基本性质、勾股定理、余弦定理等知识点，对于完善学生的几何知识体系具有重要意义。
2. 方法培养：解三角形的过程涉及到多种数学方法，如代数法、几何法、三角法等，有助于培养学生的解决问题的能力和逻辑思维能力。
3. 实际应用：解三角形在日常生活和工程实践中具有广泛的应用，如测量、制图、建筑设计等，有利于提高学生的实践操作能力。
主要内容：1. 三角形的分类：根据边长和角度关系，将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
2. 勾股定理：介绍勾股定理及其证明，掌握直角三角形的边长关系。
3. 余弦定理：推导余弦定理，并应用于任意三角形的边长和角度求解。
4. 解三角形的方法：代数法、几何法、三角法等。
二、说教学目标学习本课需要达到以下教学目标：1. 知识与技能：（1）理解三角形的分类，掌握勾股定理和余弦定理。
（2）能够运用代数法、几何法、三角法等方法解三角形。
2. 过程与方法：（1）通过自主探究、合作交流，培养解决问题的能力和逻辑思维能力。
（2）学会运用数学方法解决实际问题，提高实践操作能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对几何学的兴趣，增强数学学习的自信心。
（2）培养学生严谨、踏实的科学态度，提高团队协作能力。
三、说教学重难点1. 教学重点：（1）三角形的分类及特点。
（2）勾股定理和余弦定理的推导和应用。
（3）解三角形的方法及其适用范围。
2. 教学难点：（1）余弦定理的推导过程。
（2）解三角形的方法在实际问题中的应用。
在教学过程中，要注意引导学生掌握重点，突破难点，提高课堂学习效果。
四、说教法在教学《解三角形》这一课时，我计划采用以下几种教学方法，旨在激发学生的兴趣，提高课堂参与度，以及促进学生的深度理解。
《解三角形的实际应用举例》教学设计讲课稿
《解三角形的实际应用举例》教学设计课题：解三角形的实际应用举例一、教材分析本节课是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课，可以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的，因此本节课的学习具有理论联系实际的重要作用。
在本节课的教学中，用方程的思想作支撑，以具体问题具体分析作指导，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题。
二、教学目标1、知识与技能①能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解测量的方法和意义②会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题和基本图形和基本等量关系，理解各种应用问题中的有关名词、术语（如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等）2、过程与方法①采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架②通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用3、情感态度价值观①激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值收集于网络，如有侵权请联系管理员删除②培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力③进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力三、教学重点、难点1、重点：①实际问题向数学问题的转化②掌握运用正、余弦定理等知识方法解三角形的方法2、难点：实际问题向数学问题转化思路的确定四、教学方法与手段本节课的重点是正确运用正弦定理、余弦定理解斜三角形，而正确运用两个定理的关键是要结合图形，明确各已知量、未知量以及它们之间的相互关系。
通过问题的探究，要让学生结合实际问题，画出相关图形，学会分析问题情景，确定合适的求解顺序，明确所用的定理；其次，在教学中让学生分析讨论，在方程求解繁与简的基础上选择解题的思路，以提高学生观察、识别、分析、归纳等思维能力。
解直角三角形及其应用说课稿
解直角三角形及其应用说课稿解直角三角形及其应用说课稿1一、教材分析（一）、教材的地位与作用本节是在掌握了勾股定理，直角三角形中两锐角互余，锐角三角函数等有关知识的基础上，能利用直角三角形中的这些关系解直角三角形。
通过本小节的学习，主要应让学生学会用直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题。
从而进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力。
它既是前面所学知识的运用，也是高中继续解斜三角形的重要预备知识。
它的学习还蕴涵着深刻的数学思想方法（数学建模、转化化归），在本节教学中有针对性的对学生进行这方面的能力培养。
（二）教学目标：1、知识与技能：使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角（直角三角形两锐角互余），边与边（勾股定理），边与角（三角函数）的关系，完成解直角三角形。
2、过程与方法：从复习直角三角形相关性质和锐角三角函数入手，让学生对直角三角形的必备知识做一个必要的回顾，然后通过实例引出利用勾股定理和锐角三角函数解直角三角形。
3、情感态度与价值观：让学生经历从实际问题中提炼出数学问题的过程，培养学生在生活中应用数学的习惯及数学的兴趣。
（三）教学重难点：1、重点：会利用已知条件解直角三角形。
2、难点：根据题目要求正确选用适当的三角关系式解直角三角形。
二、教法设计与学法指导（一）、教法分析本节课采用的是“探究式”教法。
在以最简洁的方式回顾原有知识的基础上，创设问题情境，引导学生从实际应用中建立数学模型，引出解直角三角形的定义和方法。
接着通过例题，让学生主动探索解直角三角形所需的最简条件。
学生在过程中克服困难，发展了自己的观察力、想象力和思维力，培养团结协作的精神，可以使他们的智慧潜能得到充分的开发，使其以一个研究者的方式学习，突出了学生在学习中的主体地位。
教法设计思路：通过例题讲解，使学生熟悉解直角三角形的一般方法，通过对题目中隐含条件的挖掘，培养学生分析、解决问题能力。
（二）、学法分析通过直角三角形边角之间关系的复习和例题的实践应用，归纳出“解直角三角形”的含义和两种解题情况。
解三角形的实际应用举例PPT教学课件
• 其解题的一般步骤：
• ①分析题意，准确理解题意，分清已知与 所求，尤其要理解应用题中的有关名词、 术语，如坡度、仰角、视角、方位角等；
• ②根据题意，画出示意图；
• ③将需求解的问题归结到一个或几个三角 形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理 等有关知识正确求解．演算过程中，要注 意算法简练、正确计算并作答；
• 2．方位角：从指北方向线顺时针旋转到目 标方向线的水平角．
• 3．坡度与坡角：把坡面的铅直高度h与水 平宽度l的比叫做坡度；坡面与水平面的夹 角叫做坡角．
• 三、解斜三角形应用题的步骤
• 1．审题：弄清题意，分清已知与所求， 准确理解应用题中的有关名称和术语，如 仰角、俯角、方位角等；
• 2．画图：将文字语言转化为图形语言和 符号语言；
• 解三角形应用题的一般步骤是：(1)准确理 解题意，分析题意，分清已知和所求，特 别要理解题中的有关名词、术语；(2)根据 题意画出示意图；(3)将需要求解的问题归 纳为数学问题，即归结到一个或几个三角 形中，合理地运用正、余弦定理求解．
• [例1] 某观测站C在城A的南偏西20°的方 向，由城A出发的一条公路，走向是南偏 东40°，在C处测得公路上B处有一人距C 为31千米正沿公路向城A走去，走了20千 米后到达D处，此时CD间的距离为21千米， 问这人还要走多少千米可到达城A?
• 2．数学建模和运算问题
• (1)解三角形应用问题时，通常都是根据题 意，从实际问题中抽象出一个或几个三角 形，然后通过解这些三角形，得出三角形 的边、角的大小，从而得出实际问题的解， 这就是数学建模思想，即从实际问题出发， 经过抽象概括，把它转化为具体问题中的 数学模型，然后经过推理演算，得出数学 模型的解，再还原成实际问题的解．
《解三角形的实际应用》 讲义
《解三角形的实际应用》讲义在我们的日常生活和许多实际问题中，解三角形的知识有着广泛的应用。
通过运用三角形的边角关系，我们可以解决诸如测量距离、高度、角度等各种问题。
接下来，让我们深入探讨一下解三角形在实际中的具体应用。
一、测量距离问题在实际生活中，常常需要测量两个不可直接到达的地点之间的距离。
例如，要测量河两岸两点 A、B 之间的距离。
我们可以在河的一侧选取一个能够直接到达 A、B 两点的点 C，然后测出 AC 的长度、∠BAC 和∠ACB 的大小。
根据三角形内角和定理，我们知道∠ABC 的大小为 180°∠BAC∠ACB。
接下来，利用正弦定理：＼（＼frac{AC}｛sinB} ＝＼frac{AB}｛sinC}＼），就可以求出 AB 的长度。
再比如，要测量海上两个岛屿之间的距离。
可以在岸边选择一个合适的观测点，测量出该点到两个岛屿的视角以及到其中一个岛屿的距离，然后通过解三角形来计算两个岛屿之间的距离。
二、测量高度问题测量高度也是解三角形常见的应用场景之一。
比如要测量一座山的高度。
我们可以在山脚下的一点A 处，测量山顶C 的仰角∠CAB 的大小，然后沿着水平方向前进一段距离到达点 B，再次测量山顶 C 的仰角∠CBA 的大小，并测量出 A、B 两点之间的距离。
设山高为 h，在三角形 ABC 中，根据正切函数的定义，有＼（tan∠CAB ＝＼frac{h}｛AB ＋ x}＼），＼（tan∠CBA ＝＼frac{h}｛x}＼），其中 x 为点 B 到山底的垂直距离。
通过这两个等式，可以解出 h 的值，从而得到山的高度。
类似地，测量建筑物的高度也可以采用类似的方法。
在建筑物外的合适位置，测量建筑物顶部的仰角，以及移动一段距离后再次测量仰角，结合两次测量的距离，就能够计算出建筑物的高度。
三、测量角度问题在航海、航空等领域，常常需要测量角度来确定方向和位置。
例如，一艘船在海上航行，已知两个灯塔的位置和距离，以及船到两个灯塔的视角，就可以确定船的位置和航行方向。
解三角形应用举例优秀课件ppt
28cos 30 sin 60 sin(60 30 )
42(m)
CD=BD-BC=42-28=14(m)
答：山的高度约为14米。
例2
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，
到A处时测得公路北测远处一山顶D在西偏北15º的方向上，
行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25º的方向上，
仰角为8º，求此山的高度CD. sin150 0.26,sin100 0.17,
tan 80 0.14
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
2.某人向东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米， 结果他离出发点恰好 13 千米，求x的值。 3.如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测 出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA ＝5，A，B，C，D四点共圆，求AC的长.
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
跟踪训练1 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处， 乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速 度是每小时 3a 海里，问甲船应沿着什么方向前进， 才能最快与乙船相遇？ 解答
3.某人向东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米， 结果他离出发点恰好 13 千米，那么x的值是__4_. 答案 解析
由余弦定理，得x2＋9－3x＝13， 整理得x2－3x－4＝0，解得x＝4.
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第二章 解三角形
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解析： 易知 C＝180°－75°－45°＝60°，
由正弦定理，得sBinCA＝siAnBC，
所以
BC＝AsBisninCA＝1s0isnin604°5°＝103
6 .
答案：
10 6 3
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第二章 解三角形
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5.如图，在海岸 A 处发现北偏东 45°方向，距 A 处( 3－ 1)海里的 B 处有一艘走私船．在 A 处北偏西 75°方向，距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船，奉命以 10 3海里/小时的速 度追截走私船，此时走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处 向北偏东 30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最 快截获走私船？并求出所需时间．
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2．对实际应用问题中的一些名称、术语的含义的理解 (1)坡角：坡向与水平方向的夹角，如图．
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第二章 解三角形
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(2)仰角和俯角：在视线和水平线所成角中，视线在水平线 上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角，如图．
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第二章 解三角形
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(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角， 如图中B点的方位角为α.
由 余弦定理求出A、B；再利用
A＋B＋C＝180°求出角C，在
有解时只有一解
由 正弦定理 求出B；由 A＋B＋C＝180°求出角C；
再利用 正弦定理或余弦定理 求c，可有两解、一解或无解
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第二章 解三角形
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2.在正弦定理、余弦定理及其变形公式中 (1)求边 a 的公式有 a＝bssiinnBA＝ b2＋c2－2bccos A＝ 2Rsin A(R 为 △ABC 外接圆半径) (2)求角 A 的公式有 sin A＝asibn B，cos A＝b2＋2cb2c－a2.
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第二章 解三角形
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第二章 解三角形
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1．通过前面的学习，我们已经知道，在三角形的三条边和 三个角共六个元素中，要知道三个(其中至少有一个边)才能解该 三角形，按已知条件可分为四种情况：
已知条件 应用定理
一般解法
一边和两 角(如a，B， 正弦定理
C)
由 A＋B＋C＝180°，求角A；由 正弦定理 求出b与c，在有解
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第二章 解三角形
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(4)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于 90° 的水平角，如南偏西 60°，指以正南方向为始边，顺时针方 向向西旋转 60°.如图中∠ABC 为北偏东 60°或为东偏北 30°.
3．正弦定理、余弦定理在实际测量中应用很广，主要学习 它们在测量 距离 、 高度 、 角度 等问题中的一些应用．
132t 0°＝12，
∴∠BCD＝30°.
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第二章 解三角形
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由∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，得∠D＝30°， ∴BD＝BC，即 10t＝ 6，∴t＝106小时．
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第二章 解三角形
栏目导引
解析： 易知∠ACB＝120°， 在△ABC 中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°＝2a2－2a2×－21＝ 3a2. ∴AB＝ 3a.
答案： 3a cm
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第二章 解三角形
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4.如图，海上有A、B、C三个小岛，其中A、B两个小岛相距 10 n mile从A岛望C岛和B岛成45°的视角，从B岛望C岛和A岛成 75°的视角，则BC的距离为________n mile.
§3 解三角形的实际应用举例
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第二章 解三角形
栏目导引
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测 量和几何计算有关的实际问题．
2.提高应用数学知识解决实际问题的能力．
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第二章 解三角形
栏目导引
1.对解三角形实际应用的考查是本节的热点． 2.本节内容多与实际问题中测量距离、高度、角度、面积等 问题结合考查． 3.各种题型均可出现，以中低档题为主.
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第二章 解三角形
栏目导引
1．基线 (1)定义：在测量上，根据测量 需要适当确定的线段叫做基 线．
(2) 性 质 ： 在 测 量 过 程 中 ， 要 根 据 实 际 需 要 选 取 合 适 的 基线长度 ，使测量具有较高的 精确度 ． 一 般 来 说 ， 基线越长，测量的精确度越 高 ．
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第二章 解三角形
时只有一解
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第二章 解三角形
栏目导引
已知条件
两边和夹角 (如a，b，C)
三边(a，b， c)
两边和其中 一边的对角 (如a，b，A)
应用定理 余弦定理 正弦定理
余弦定理
正弦定理 余弦定理
一般解法
由 余弦定理求第三边c；由 正弦定理求出一边所对的角；
再由A＋B＋C＝180°求出另一角， 在有解时只有一解
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第二章 解三角形
栏目导引
1．以下图示是表示北偏西135°的是( )
答案： C
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第二章 解三角形
栏目导引
2．甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗 杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别 表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有( )
A．d1＞d2
ห้องสมุดไป่ตู้
B．d1＜d2
工具
第二章 解三角形
栏目导引
解析： 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快
截获(在 D 点)走私船，则 CD＝10 3t 海里，BD＝10t 海里．
∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC
＝( 3－1)2＋22－2( 3－1)·2cos 120°＝6，
∴BC＝ 6.
∵sin∠BCBAC＝sin∠ACABC，
C．d1＞20 m
D．d2＜20 m
解析： 由 tan50°＝2d01°，tan40°＝2d02及 tan50°＞tan40°
可知，d1＜d2.
答案： B
工具
第二章 解三角形
栏目导引
3．如下图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离 都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为________．
∴sin∠ABC＝AC·siBn∠C BAC＝2sin
120°＝ 6
22，
工具
第二章 解三角形
栏目导引
∴∠ABC＝45°，
∴B 点在 C 点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.
∵sin∠BDBCD＝sin∠CDCBD，
∴sin∠BCD＝BD·siCn∠D CBD
＝10tsin 10