2019-2020学年06月10日南京玄武区中考一模数学试卷+解析
南京市玄武区2019年中考一模数学试题及答案
2019年第二学期 九年级数学注意事项：1．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．计算1－(－2)2÷4的结果为A ．2B ．54C ．0D ．－342．南京规划地铁6号线由栖霞山站开往南京南站，全长32100米，这个数据用科学计数法表示为 A ．321×102 B ．32.1×103 C ．3.21×104 D ．3.21×105 3．一元二次方程2x 2＋3x ＋1＝0的根的情况是A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定 4．下列运算结果正确的是A ．a 2＋a 3＝a 5B ．a 2·a 3＝a 6C ．a 3÷a 2＝aD ．(a 2)3＝a 55．如图，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转90°至矩形AEFG ，点D 的旋转路径为 ⌒DG，若AB ＝1，BC ＝2，则阴影部分的面积为 A ．π3＋32B ．1＋32C ．π2D ．π3＋16．如图，将正六边形ABCDEF 放入平面直角坐标系后，若点A 、B 、E 的坐标分别为 （a ，b ）、（3，1）、（－a ，b ），则点D 的坐标为A ．（1，3）B ．（3，－1）C ．（－1，－3）D ．（－3，1）B （第6题）（第5题）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7．分解因式2x 2＋4x ＋2＝ ▲ ．8．满足不等式组⎩⎨⎧x ＋2＜1，2(x －1)＞－8的整数解为 ▲ ．9．已知一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是 ▲ ．10．计算12－33＝ ▲ ． 11．若关于x 的方程x 2＋mx ＋5＝0有一个根为1，则该方程的另一根为 ▲ ． 12．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是⊙O 直径，若∠ABC ＝50°，则∠CAD ＝ ▲ °．13．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是AD 、CD 的中点，EF 与BD 相交于点M ，若△DEM的面积为1，则□ABCD 的面积为 ▲ ．14．如图，A （a ，b ）、B （1，4）（a ＞1）是反比例函数y ＝kx （x ＞0）图像上两点，过A 、B分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为C 、D 、E 、F ，AE 、BD 交于点G ．则四边形ACDG 的面积随着a 的增大而 ▲ ．（填“减小”、“不变”或“增大”） 15．二次函数y ＝a (x －b )2＋c （a ＜0）的图像经过点（1，1）和（3，3），则b 的取值范围是 ▲ ．16．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝1，P 为△ABC 内一个动点，∠P AB ＝∠PBC ，则CP 的最小值为 ▲ ．（第12题）ACDE F M （第13题）（第14题）（第16题）三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）解方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，2x －y ＝1； （2）解方程 1x －1＝2x ＋3．18．（6分）计算x x 2－1÷⎝⎛⎭⎫1＋1x －1．19．（7分）一个不透明的袋子中，装有2个红球，1个白球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．求下列事件的概率：（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球； （2）搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是红球．20．（8分）某公司在某市五个区投放共享单车供市民使用，投放量的分布及投放后的使用情况统计如下．（1）该公司在全市一共投放了 ▲ 万辆共享单车；（2）在扇形统计图中，B 区所对应扇形的圆心角为 ▲ °；（3）该公司在全市投放的共享单车的使用量占投放量的85%，请计算C 区共享单车的使用量并补全条形统计图．各区共享单车投放量分布扇形统计图 （第20题） 各区共享单车投放量及使用量条形统计图21．（8分）如图，在□ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在边AB 、BC 、CD 、DA 上，AE ＝CG ，AH ＝CF ，且EG 平分∠HEF ． （1）求证：△AEH ≌△CGF ； （2）求证：四边形EFGH 是菱形．22．（7分）用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”． 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB求证：CD ＝12AB ．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．AB C DHE GF （第21题） AC （第22题）23．（9分）同时点燃甲乙两根蜡烛，蜡烛燃烧剩下的长度y （cm ）与燃烧时间x （min ）的关系如图所示．（1）求乙蜡烛剩下的长度y 与燃烧时间x 的函数表达式； （2）求点P 的坐标，并说明其实际意义；（3）求点燃多长时间，甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍．24．（8分）定义：在△ABC 中，∠C ＝30°，我们把∠A 的对边与∠C 的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thi A ，即thi A ＝∠A 的对边∠C 的对边＝BCAB ．请解答下列问题：已知：在△ABC 中，∠C ＝30°．（1）若∠A ＝45°，求thi A 的值；（2）若thi A ＝3，则∠A ＝ ▲ °；（3）若∠A 是锐角，探究thi A 与sin A 的数量关系．25．（8分）A 厂一月份产值为16万元，因管理不善，二、三月份产值的月平均下降率为x（0＜x ＜1）．B 厂一月份产值为12万元，二月份产值下降率为x ，经过技术革新，三月份产值增长，增长率为2x ．三月份A 、B 两厂产值分别为y A 、y B （单位：万元）． （1）分别写出y A 、y B 与x 的函数表达式； （2）当y A ＝y B 时，求x 的值；（3）当x 为何值时，三月份A 、B 两厂产值的差距最大？最大值是多少万元？min ） y （（第23题）26．（8分）如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，点D 、E 分别在AC 、BC 上，且CD ·BC＝AC ·CE ，以E 为圆心，DE 长为半径作圆，⊙E 经过点B ，与AB 、BC 分别交于点F 、G ．（1）求证：AC 是⊙E 的切线； （2）若AF ＝4，CG ＝5，①求⊙E 的半径；②若Rt △ABC 的内切圆圆心为I ，则IE ＝ ▲ ．27．（9分）在△ABC 中，D 为BC 边上一点．（1）如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 沿着AD 折叠，点C 落在AB 边上．请用直尺和圆规作出点D （不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图②，将△ABC 沿着过点D 的直线折叠，点C 落在AB 边上的E 处．①若DE ⊥AB ，垂足为E ，请用直尺和圆规作出点D （不写作法，保留作图痕迹）； ②若AB ＝42，BC ＝6，∠B ＝45°，则CD 的取值范围是 ▲ ．（第26题）① ② （第27题）AB C① ②数学试题参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7． 2(x ＋1)2 8．－2 9．4 10．2－ 3 11． 5 12．40 13．16 14．增大 15．b ＞2 16．2－1 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．（本题10分）（1）解方程组: ⎩⎨⎧x ＋2y ＝3，2x －y ＝1．解： 由②得 y ＝2x —1 ③ 将③代入①得：x +2(2x －1)＝3x ＝1 ………2分 将 x ＝1代入②得y ＝1 ………4分∴该方程组的解为：⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1． ……5分（2）方程两边同乘(x －1)(x ＋3)得：x ＋3＝2(x －1) ………2分 解得x ＝5 ………4分检验：当x ＝5时，(x －1)(x ＋3)≠0所以x ＝5是原方程的解 ……5分18．（本题6分） 解：x x 2－1÷⎝⎛⎭⎫1＋1x －1 ＝x (x ＋1)(x －1)÷⎝⎛⎭⎫x －1x －1＋1x －1 ＝x (x ＋1)(x －1)÷xx －1 ＝x(x ＋1)(x －1)·x －1x＝1x ＋1．……6分 19.（本题7分）（1）解： 搅匀后从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果共有4种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“恰好是红球”(记为事件A )的结果有2种， 所以P(A )＝2 4 ＝ 12．……3分 （2）解：搅匀后从中任意摸出2个球，所有可能出现的结果有：(红1，红2)、(红1，黄)、(红2，黄)、(红1，白)、(红2，白)、(白，黄)，共有6种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“2个都是红球”(记为事件B )的结果只有1种，所以P(B )＝16 ． ……7分20．（本题8分） （1） 4 ……2分 （2） 36 ……4分（3）图略 4×85%－0.8－0.3－0.9－0.7＝0.7（万辆）答： C 区共享单车的使用量为0.7万辆． ……8分 21．（本题8分）证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C ．又∵AE ＝CG ，AH ＝CF ，∴△AEH ≌△CGF ． ……3分（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD ，∠B ＝∠D ． ∵AE ＝CG ，AH ＝CF ， ∴EB ＝DG ，HD ＝BF ． ∴△BEF ≌△DGH ． ∴EF ＝HG ．又∵△AEH ≌△CGF ， ∴EH ＝GF ．∴四边形HEFG 为平行四边形． ……5分 ∴EH ∥FG ， ∴∠HEG ＝∠FGE ． ∵EG 平分∠HEF ， ∴∠HEG ＝∠FEG ， ∴∠FGE ＝∠FEG ， ∴EF ＝GF ，∴EFGH 是菱形． ……8分22．（本题7分） ①EC ＝EB ； ②∠A ＋∠B ＝90° ……2分 证法2：延长CD 至点E ，使得DE ＝CD ，连接AE 、BE ．∵AD ＝DB ，DE ＝CD ． ∴四边形ACBE 是平行四边形． 又∵∠ACB ＝90°， ∴□ACBE 是矩形． ∴AB ＝CE ， 又∵CD ＝12CE∴CD ＝12AB ……7分23．（本题9分）解：（1）设y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ＋b ．根据题意，当x ＝0时，y ＝40；当x ＝50时，y ＝0． 所以⎩⎨⎧40＝b 0＝50k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－0.8b ＝40．所以，y 与x 之间的函数表达式为y ＝－0.8x ＋40． ……3分（2） P （20，24） 点燃20分钟，甲乙两根蜡烛剩下的长度都是24 cm ．……5分 （3）设甲蜡烛剩下的长度y 甲与x 之间的函数表达式为y 甲＝mx ＋n ． 根据题意，当x ＝0时，y 甲＝48；当x ＝20时，y 甲＝24．所以⎩⎨⎧48＝n 24＝20m ＋n ，解得⎩⎨⎧m ＝－1.2n ＝48．所以，y 甲与x 之间的函数表达式为y 甲＝－1.2x ＋48．因为甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍，所以 －1.2x ＋48＝1.1(－0.8x ＋40) 解得 x ＝12.5答：点燃12.5分钟，甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍． ……9分 24．（本题8分）（第22题）E解：（1）如图，作BH ⊥AC ，垂足为H ．在Rt △BHC 中，sin C ＝BH BC ＝12，即BC ＝2BH ．在Rt △BHA 中，sin A ＝BH AB ＝22，即AB ＝2BH ．∴thi A ＝BCAB＝2． ……3分（2）60或120． ……5分 （3）在Rt △ABC 中，thi A ＝BCAB．在Rt △BHA 中，sin A ＝BHAB．在Rt △BHC 中，sin C ＝BH BC ＝12，即BC ＝2BH ．∴thi A ＝2sin A ． ……8分25．（本题8分）（1）y A ＝16(1－x )2， y B ＝12(1－x ) (1＋2x )． ……2分 （2）由题意得 16(1－x )2＝12(1－x ) (1＋2x )解得：x 1＝110， x 2＝1．∵0＜x ＜1，∴x ＝110． ……4分 （3）当0＜x ＜110时，y A ＞y B ，且0＜y A －y B ＜4．当110＜x ＜1时，y B ＞y A ， y B －y A ＝12(1－x ) (1＋2x )－16(1－x )2＝4(1－x )(10x －1)＝－40()x －11202＋8110． ∵－40＜0，110＜x ＜1 ，∴当x ＝1120时， y B －y A 取最大值，最大值为8.1． ……6分 ∵8.1＞4 ∴当x ＝1120时，三月份A 、B 两厂产值的差距最大，最大值是8.1万元． ……8分 26．（本题8分） （1）证明：∵ CD ·BC ＝AC ·CE ∴ CD CA ＝CECB∵∠DCE ＝∠ACB ． ∴△CDE ∽△CAB ∴∠EDC ＝∠A ＝90° ∴ED ⊥AC又∵点D 在⊙O 上，∴AC 与⊙E 相切于点D ．……………… 3分 （2）过点E 作EH ⊥AB ，垂足为H ，∴BH ＝FH ．在四边形AHED 中，∠AHE ＝∠A ＝∠ADE ＝90°， ∴四边形AHED 为矩形， ∴ED ＝HA ，ED ∥AB ， ∴∠B ＝∠DEC ．BACHC（第26题）设⊙O 的半径为r ，则EB ＝ED ＝EG ＝r ， ∴BH ＝FH ＝r －4，EC ＝r ＋5． 在△BHE 和△EDC 中，∵∠B ＝∠DEC ，∠BHE ＝∠EDC ， ∴△BHE ∽△EDC ． ∴BH ED ＝BE EC ，即 r －4 r ＝rr ＋5． ∴r ＝20．即⊙E 的半径为20……………………………………………………6分 （3）130 ……………………………………………………8分 27．（本题9分）（1） （2）①……2分……6分② 62－6≤CD ≤5． ……9分ACBD。
2019-2020南京市数学中考一模试卷含答案
2019-2020南京市数学中考一模试卷含答案一、选择题1．如图，下列四种标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（ ）A ．B ．C ．D ．2．在如图4×4的正方形网格中，△MNP 绕某点旋转一定的角度，得到△M 1N 1P 1，则其旋转中心可能是（ ）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D3．如图，将△ABC 绕点C （0，1）旋转180°得到△A'B'C ，设点A 的坐标为(,)a b ，则点的坐标为（ ）A ．(,)a b --B ．(,1)a b ---C ．(,1)a b --+D ．(,2)a b --+4．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x 尺，竿长y 尺，则符合题意的方程组是（ ）A ．5{152x y x y =+=-B ．5{1+52x y x y =+=C ．5{2-5x y x y =+=D ．-5{2+5x y x y ==5．如图，在菱形ABCD 中，E 是AC 的中点，EF ∥CB ，交AB 于点F ，如果EF=3，那么菱形ABCD 的周长为（ ）A ．24B ．18C ．12D ．96．如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B 出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C ，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD 到达点D ，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E （A ，B ，C ，D ，E 均在同一平面内）．在E 处测得建筑物顶端A 的仰角为24°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（ ）A ．21.7米B ．22.4米C ．27.4米D ．28.8米7．2-的相反数是（ ） A ．2-B ．2C ．12D ．12-8．为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生有x 人，女生有y 人，根据题意，所列方程组正确的是（ ）A ．783230x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．782330x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．302378x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．303278x y x y +=⎧⎨+=⎩9．在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x 个队参赛，根据题意，可列方程为（） A ．()11362x x -= B ．()11362x x += C ．()136x x -= D ．()136x x +=10．已知命题A ：“若a 2a a =”．在下列选项中，可以作为“命题A 是假命题”的反例的是（ ） A ．a ＝1B ．a ＝0C ．a ＝﹣1﹣k （k 为实数）D ．a ＝﹣1﹣k 2（k 为实数）11．某校男子足球队的年龄分布如图所示，则根据图中信息可知这些队员年龄的平均数，中位数分别是（ ）A ．15.5，15.5B ．15.5，15C ．15，15.5D ．15，1512．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b cy x++=在同一坐标系内的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．二、填空题13．如图，直线l x ⊥轴于点P ，且与反比例函数11k y x=（0x >）及22ky x =（0x >）的图象分别交于A 、B 两点，连接OA 、OB ，已知OAB ∆的面积为4，则12k k =﹣________．14．如图，在菱形ABCD 中，AB=5，AC=8，则菱形的面积是 ．15．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的面积为12，点B 在y 轴上，点C 在反比例函数y=kx的图象上，则k的值为________.16．如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF－S△BEF=_________．17．在学习解直角三角形以后，某兴趣小组测量了旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆AB 的影子一部分落在水平地面L的影长BC为5米，落在斜坡上的部分影长CD为4米．测得斜CD的坡度i＝1：．太阳光线与斜坡的夹角∠ADC＝80°，则旗杆AB的高度_____．（精确到0.1米）（参考数据：sin50°＝0.8，tan50°＝1.2，＝1.732）18．已知一组数据6，x，3，3，5，1的众数是3和5，则这组数据的中位数是_____．19．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是．20．如图①，在矩形 MNPQ 中，动点 R 从点 N 出发，沿N→P→Q→M 方向运动至点 M 处停止，设点 R 运动的路程为 x，△MNR 的面积为 y，如果 y 关于 x 的函数图象如图②所示，则矩形 MNPQ 的面积是________．三、解答题21．2x=600答：甲公司有600人，乙公司有500人.点睛：本题考查了分式方程的应用，关键是分析题意找出等量关系，通过设未知数并根据等量关系列出方程.22．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D．（1）求线段AD的长度；（2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．23．如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．24．先化简(31a+－a＋1)÷2441a aa-++，并从0，－1，2中选一个合适的数作为a的值代入求值．25．某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：A．器乐，B．舞蹈，C．朗诵，D．唱歌．每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共有人；（2）补全条形统计图；（3）该校共有1200名学生，请估计选择“唱歌”的学生有多少人？（4）七年一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．故选B．2．B解析：B【解析】【分析】根据旋转中心的确认方法，作对应点连线的垂直平分线，再找到交点即可得到.【详解】解：∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，∴连接PP1、NN1、MM1，作PP1的垂直平分线过B、D、C，作NN1的垂直平分线过B、A，作MM1的垂直平分线过B，∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B．故选：B．【点睛】此题主要考查旋转中心的确认，解题的关键是熟知旋转的性质特点.3．D解析：D试题分析：根据题意，点A 、A′关于点C 对称，设点A 的坐标是（x ，y ），则0122a xb y++==，，解得2x a y b =-=-+，，∴点A 的坐标是(2)a b --+，．故选D ． 考点：坐标与图形变化-旋转．4．A解析：A 【解析】 【分析】设索长为x 尺，竿子长为y 尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组． 【详解】设索长为x 尺，竿子长为y 尺，根据题意得：5152x y x y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩．故选A ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．5．A解析：A 【解析】【分析】易得BC 长为EF 长的2倍，那么菱形ABCD 的周长=4BC 问题得解． 【详解】∵E 是AC 中点， ∵EF ∥BC ，交AB 于点F ， ∴EF 是△ABC 的中位线， ∴BC=2EF=2×3=6， ∴菱形ABCD 的周长是4×6=24， 故选A ．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.6．A解析：A 【解析】 【分析】作BM ⊥ED 交ED 的延长线于M ，CN ⊥DM 于N ．首先解直角三角形Rt △CDN ，求出CN ，DN ，再根据tan24°=AMEM，构建方程即可解决问题.作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．在Rt△CDN中，∵140.753CNDN==，设CN=4k，DN=3k，∴CD=10，∴（3k）2+（4k）2=100，∴k=2，∴CN=8，DN=6，∵四边形BMNC是矩形，∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，在Rt△AEM中，tan24°=AM EM，∴0.45=866AB +，∴AB=21.7（米），故选A．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7．B解析：B【解析】【分析】根据相反数的性质可得结果.【详解】因为-2+2=0，所以﹣2的相反数是2，故选B．【点睛】本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键 .8．A解析：A【解析】【分析】【详解】该班男生有x人，女生有y人．根据题意得：30 3278 x yx y+=⎧⎨+=⎩，故选D．考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．9．A解析：A【解析】【分析】共有x个队参加比赛，则每队参加（x-1）场比赛，但2队之间只有1场比赛，根据共安排36场比赛，列方程即可．【详解】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：12x（x﹣1）＝36，故选：A．【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于得到比赛总场数的等量关系. 10．D解析：D【解析】【分析】a=可确定a的范围，排除掉在范围内的选项即可.【详解】解：当a≥0a=，当a＜0a=-，∵a＝1＞0，故选项A不符合题意，∵a＝0，故选项B不符合题意，∵a＝﹣1﹣k，当k＜﹣1时，a＞0，故选项C不符合题意，∵a＝﹣1﹣k2（k为实数）＜0，故选项D符合题意，故选：D．【点睛】a aaa a≥⎧==⎨-≤⎩，正确理解该性质是解题的关键. 11．D解析：D【解析】【分析】【详解】根据图中信息可知这些队员年龄的平均数为：132146158163172181268321⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+++++=15岁，该足球队共有队员2+6+8+3+2+1=22人，则第11名和第12名的平均年龄即为年龄的中位数，即中位数为15岁， 故选D ．12．D解析：D 【解析】 【分析】根据二次函数图象开口向上得到a>0，再根据对称轴确定出b ，根据二次函数图形与x 轴的交点个数，判断24b ac -的符号，根据图象发现当x=1时y=a+b+c<0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解． 【详解】∵二次函数图象开口方向向上， ∴a >0，∵对称轴为直线02bx a=->，∴b <0，二次函数图形与x 轴有两个交点，则24b ac ->0， ∵当x =1时y =a +b +c <0，∴24y bx b ac =+-的图象经过第二四象限，且与y 轴的正半轴相交，反比例函数a b cy x++=图象在第二、四象限， 只有D 选项图象符合. 故选：D. 【点睛】考查反比例函数的图象，一次函数的图象，二次函数的图象，掌握函数图象与系数的关系是解题的关键.二、填空题13．【解析】【分析】根据反比例函数的几何意义可知：的面积为的面积为然后两个三角形面积作差即可求出结果【详解】解：根据反比例函数的几何意义可知：的面积为的面积为∴的面积为∴∴故答案为8【点睛】本题考查反比解析：【解析】 【分析】根据反比例函数k 的几何意义可知：AOP ∆的面积为112k ，BOP ∆的面积为212k ，然后两个三角形面积作差即可求出结果．【详解】 解：根据反比例函数k 的几何意义可知：AOP ∆的面积为112k ，BOP ∆的面积为212k ， ∴AOB ∆的面积为121122k k -，∴1211422k k -=，∴128k k -=. 故答案为8．【点睛】 本题考查反比例函数k 的几何意义，解题的关键是正确理解k 的几何意义，本题属于基础题型．14．【解析】【分析】连接BD 交AC 于点O 由勾股定理可得BO=3根据菱形的性质求出BD 再计算面积【详解】连接BD 交AC 于点O 根据菱形的性质可得AC⊥BDAO=CO=4由勾股定理可得BO=3所以BD=6即可解析：【解析】【分析】连接BD ，交AC 于点O ，由勾股定理可得BO=3，根据菱形的性质求出BD ，再计算面积.【详解】连接BD ，交AC 于点O ，根据菱形的性质可得AC ⊥BD ，AO=CO=4，由勾股定理可得BO=3，所以BD=6，即可得菱形的面积是12×6×8=24．考点：菱形的性质；勾股定理.15．-6【解析】因为四边形OABC 是菱形所以对角线互相垂直平分则点A 和点C 关于y 轴对称点C 在反比例函数上设点C 的坐标为(x)则点A 的坐标为(－x)点B 的坐标为(0)因此AC=－2xOB=根据菱形的面积等解析：-6【解析】因为四边形OABC 是菱形,所以对角线互相垂直平分,则点A 和点C 关于y 轴对称,点C 在反比例函数上,设点C 的坐标为(x ,k x ),则点A 的坐标为(－x ,k x ),点B 的坐标为(0,2k x ),因此AC=－2x,OB=2K X,根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得: ()OABC 122122k S x x=⨯-⨯=菱形,解得 6.k =- 16．2【解析】由D 是AC 的中点且S△ABC=12可得；同理EC=2BE 即EC=可得又等量代换可知S△ADF－S△BEF=2解析：2【解析】由D 是AC 的中点且S △ABC =12，可得1112622ABD ABC S S ∆∆==⨯=；同理EC=2BE 即EC=13BC ，可得11243ABE S ∆=⨯=，又,ABE ABF BEF ABD ABF ADF S S S S S S ∆∆∆∆∆∆-=-=等量代换可知S △ADF －S △BEF =217．2m 【解析】【分析】延长AD 交BC 的延长线于点E 作DF ⊥CE 于点F 解直角三角形求出EFCF 即可解决问题【详解】延长AD 交BC 的延长线于点E 作DF ⊥CE 于点F 在△DCF 中∵CD ＝4mDF ：CF ＝1：3解析：2m ．【解析】【分析】延长AD 交BC 的延长线于点E ，作DF ⊥CE 于点F ．解直角三角形求出EF ，CF ，即可解决问题．【详解】延长AD 交BC 的延长线于点E ，作DF ⊥CE 于点F ．在△DCF 中，∵CD ＝4m ，DF ：CF ＝1：，∴tan ∠DCF ＝， ∴∠DCF ＝30°，∠CDF ＝60°．∴DF ＝2（m ），CF ＝2（m ），在Rt △DEF 中，因为∠DEF ＝50°，所以EF ＝≈1.67（m ）∴BE ＝EF+FC+CB ＝1.67+2+5≈10.13（m ）， ∴AB ＝BE•tan50°≈12.2（m ），故答案为12.2m．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．18．4【解析】【分析】先根据众数的定义求出x=5再根据中位数的定义进行求解即可得【详解】∵数据6x3351的众数是3和5∴x=5则这组数据为133556∴这组数据的中位数为=4故答案为：4【点睛】本题主解析：4【解析】【分析】先根据众数的定义求出x=5，再根据中位数的定义进行求解即可得．【详解】∵数据6，x，3，3，5，1的众数是3和5，∴x=5，则这组数据为1、3、3、5、5、6，∴这组数据的中位数为352=4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的定义以及求解方法是解题的关键.19．110°或70°【解析】试题分析：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时腰上的高在外部根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求得顶角是90°+20°=110°；当等腰三角形的顶角解析：110°或70°．【解析】试题分析：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°﹣20°=70°．故答案为110°或70°．考点：1．等腰三角形的性质；2．分类讨论．20．20【解析】【分析】根据图象横坐标的变化问题可解【详解】由图象可知x=4时点R到达Px=9时点R到Q点则PN=4QP=5∴矩形MNPQ的面积是20【点睛】本题为动点问题的函数图象探究题考查了动点到达解析：20【解析】【分析】根据图象横坐标的变化，问题可解．【详解】由图象可知，x=4时，点R到达P，x=9时，点R到Q点，则PN=4，QP=5∴矩形MNPQ的面积是20．【点睛】本题为动点问题的函数图象探究题，考查了动点到达临界点前后图象趋势的趋势变化．解答时，要注意数形结合．三、解答题21．无22．（1）AD=95；（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；理由见解析.【解析】【分析】（1）由勾股定理易求得AB的长；可连接CD，由圆周角定理知CD⊥AB，易知△ACD∽△ABC，可得关于AC、AD、AB的比例关系式，即可求出AD的长．（2）当ED与 O相切时，由切线长定理知EC=ED，则∠ECD=∠EDC，那么∠A和∠DEC就是等角的余角，由此可证得AE=DE，即E是AC的中点．在证明时，可连接OD，证OD⊥DE 即可．【详解】（1）在Rt△ACB中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm；连接CD，∵BC为直径，∴∠ADC=∠BDC=90°；∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴Rt△ADC∽Rt△ACB；∴，∴；（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；证明：连接OD，∵DE是Rt△ADC的中线；∴ED=EC，∴∠EDC=∠ECD；∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD；∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°；∴ED⊥OD，∴ED与⊙O相切．【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.23．（1）证明见解析；（2）BH＝．【解析】【分析】（1）先判断出∠AOC=90°，再判断出OC∥BD，即可得出结论；（2）先利用相似三角形求出BF，进而利用勾股定理求出AF，最后利用面积即可得出结论．【详解】（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，点C是的中点，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OB，CD＝AC，∴OC是△ABD是中位线，∴OC∥BD，∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD，∵点B在⊙O上，∴BD是⊙O的切线；（2）由（1）知，OC∥BD，∴△OCE∽△BFE，∴，∵OB＝2，∴OC＝OB＝2，AB＝4，，∴，∴BF＝3，在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝5，∵S△ABF＝AB•BF＝AF•BH，∴AB•BF＝AF•BH，∴4×3＝5BH，∴BH＝．【点睛】此题主要考查了切线的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求出BF=3是解本题的关键．24．【解析】试题分析：首先把括号的分式通分化简，后面的分式的分子分解因式，然后约分化简，接着计算分式的乘法，最后代入数值计算即可求解．试题解析：原式=223111(2)a aa a-++⨯+-=2(2)(2)11(2)a a aa a-+-+⨯+-=22aa+--；当a=0时，原式=1．考点：分式的化简求值．25．（1）本次调查的学生共有100人；（2）补图见解析；（3）选择“唱歌”的学生有480人；（4）被选取的两人恰好是甲和乙的概率是16．【解析】【分析】（1）根据A项目的人数和所占的百分比求出总人数即可；（2）用总人数减去A、C、D项目的人数，求出B项目的人数，从而补全统计图；（3）用该校的总人数乘以选择“唱歌”的学生所占的百分比即可；（4）根据题意先画出树状图，得出所有等情况数和选取的两人恰好是甲和乙的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】（1）本次调查的学生共有：30÷30%＝100（人）；（2）喜欢B类项目的人数有：100﹣30﹣10﹣40＝20（人），补图如下：（3）选择“唱歌”的学生有：1200×40100＝480（人）；（4）根据题意画树形图：共有12种情况，被选取的两人恰好是甲和乙有2种情况，则被选取的两人恰好是甲和乙的概率是212＝16．【点睛】本题考查列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．。
2019年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷
2019年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）A．0.25×10﹣5B．0.25×10﹣6C．2.5×10﹣6D．2.5×10﹣52．（2分）下列计算正确的是（）A．a•a2＝a3B．a+a＝a2C．（a2）3＝a5D．a2（a+1）＝a3+13．（2分）数轴上点A、B表示的数分别是a、3，它们之间的距离可以表示为（）A．a+3B．a﹣3C．|a+3|D．|a﹣3|4．（2分）下列水平放置的四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（2分）一辆汽车从A地驶往B地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h．设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，则可列方程组为（）A．B．C．D．6．（2分）如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接CF，DG，则＝（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．8．（2分）方程﹣＝0的解为．9．（2分）分解因式：2x2﹣8x+8＝．10．（2分）若一个反比例函数的图象经过点（3，2），则该反比例函数图象也经过点（﹣1，）．11．（2分）如图，在△ABC中，点M、N分别在边AB、AC上，且MN∥BC．若AM＝2，BM＝5，MN＝2，则BC ＝．12．（2分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝﹣1，则m＝．13．（2分）如图，在⊙O中，OA是半径，弦BC⊥OA，D为上一点，连接OB、AD、CD，若∠OBC＝50°，则∠ADC＝°．14．（2分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为cm．15．（2分）如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AG、HE交于点M，则∠GME＝°．16．（2分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P、Q分别为边BC、AB上的两个点，若△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ＝．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）（1）计算：（3.14﹣π）0+﹣1﹣×．（2）解不等式组：18．（6分）先化简，再求值：，其中x＝﹣1．19．（9分）甲乙两人在相同条件下完成了10次射击训练，两人的成绩如图所示．根据以上信息，整理分析数据如下：（1）完成表格；（2）根据训练成绩，你认为选派哪一名队员参赛更好？为什么？20．（7分）一只不透明的袋子中装有分别标注数字为1、2、3的三个小球，这些球除标注的数字外都相同．（1）搅匀后从中任意摸出一个球，标注的数字恰好为2的概率是；（2）搅匀后从中任意摸出一个球，记录下数字后放回袋中并搅匀，再从袋中任意摸出一个球，求两次数字的和大于3的概率．21．（8分）如图，在▱ABCD中，E、F为边BC上两点，BF＝CE，AE＝DF．（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）求证：四边形ABCD是矩形．22．（8分）甲、乙两地之间有一条笔直的公路，快车和慢车分别从甲、乙两地同时出发，沿这条公路匀速相向而行，快车到达乙地后停止行驶，慢车到达甲地后停止行驶．已知快车速度为120km/h．下图为两车之间的距离y（km）与慢车行驶时间x（h）的部分函数图象．（1）甲、乙两地之间的距离是km；（2）点P的坐标为（4，），解释点P的实际意义．（3）根据题意，补全函数图象（标明必要的数据）．23．（7分）如图，为了测量建筑物CD的高度，小明在点E处分别测出建筑物AB、CD顶端的仰角∠AEB＝30°，∠CED＝45°，在点F处分别测出建筑物AB、CD顶端的仰角∠AFB＝45°，∠CFD＝70°．已知建筑物AB的高度为14m，求建筑物CD的高度（精确到0.1m）．（参考数据：tan70°≈2.75，≈1.41，≈1.73．）24．（8分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+2m﹣1（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点．（2）求证：不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数y＝﹣（x﹣1）2的图象上．（3）已知点A（a，﹣1）、B（a+2，﹣1），线段AB与函数y＝﹣（x﹣1）2的图象有公共点，则a的取值范围是．25．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D（点D不与点A重合），交边BC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AD＝7，BE＝2．①求⊙O的半径；②连接OC交EF于点M，则OM＝．26．（9分）某企业销售某商品，以“线上”与“线下”相结合的方式一共销售了100件．设该商品线下的销售量为x（10≤x≤90）件，线下销售的每件利润为y1元，线上销售的每件利润为y2元．下图中折线ABC、线段DE分别表示y1、y2与x之间的函数关系．（1）当x＝40时，线上的销售量为件；（2）求线段BC所表示的y1与x之间的函数表达式；（3）当线下的销售量为多少时，售完这100件商品所获得的总利润最大？最大利润是多少？27．（9分）如图，一张半径为3cm的圆形纸片，点O为圆心，将该圆形纸片沿直线l折叠，直线l交⊙O于A、B 两点．（1）若折叠后的圆弧恰好经过点O，利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线l（不写作法，保留作图痕迹），并求此时线段AB的长度．（2）已知M是⊙O内一点，OM＝1cm．①若折叠后的圆弧经过点M，则线段AB长度的取值范围是．②若折叠后的圆弧与直线OM相切于点M，则线段AB的长度为cm．2019年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．【解答】解：0.0000025＝2.5×10﹣6，故选：C．2．【解答】解：A、a•a2＝a3，故A选项正确；B、a+a＝2a，故B选项错误；C、（a2）3＝a6，故C选项错误；D、a2（a+1）＝a3+a2，故D选项错误．故选：A．3．【解答】解：∵点A、B在数轴上分别表示有理数a、3，∴A、B两点之间的距离可以表示为：|a﹣3|．故选：D．4．【解答】解：因为圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，球的左视图是圆，正方体的左视图是正方形，所以，左视图是四边形的几何体是圆柱和正方体，故选：B．5．【解答】解：设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，依题意，得：．故选：C．6．【解答】解：连接AC和AF，则，∵∠DAG＝45°﹣∠GAC，∠CAF＝45°﹣GAC，∴∠DAG＝∠CAF．∴△DAG∽△CAF．∴．故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，∴x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．8．【解答】解：去分母得：3x+3﹣4x＝0，解得：x＝3，经检验x＝3是分式方程的解．故答案为：x＝39．【解答】解：原式＝2（x2﹣4x+4）＝2（x﹣2）2．故答案为2（x﹣2）2．10．【解答】解：设反比例函数解析式为y＝，把（3，2）代入得k＝3×2＝6，所以反比例函数解析式为y＝，当x＝﹣1时，y＝＝﹣6．故答案为﹣6．11．【解答】解：∵MN∥BC，∴△AMN∽△ACB，∴，∵AB＝AM+BM＝7，∴，∴BC＝7，故答案为：7．12．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+m＝0的两个根，∵x1+x2＝6，x1x2＝m，∵x1+x2﹣x1x2＝﹣1，∴6﹣m＝﹣1，解得m＝7．故答案为7．13．【解答】解：如图，∵BC⊥OA，∠OBC＝50°，∴∠BOA＝40°∵OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，∴＝，∴∠BOA＝2∠ADC＝40°，∴∠ADC＝20°．故答案是：20．14．【解答】解：圆锥的底面周长＝2π×2＝4πcm，设圆锥的母线长为R，则：＝4π，解得R＝6．故答案为：6．15．【解答】解：∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠AHG＝（8﹣2）×180°÷8＝135°，AH＝HG，∠AHE＝90°，∴∠HAG＝（180°﹣135°）÷2＝22.5°，∴∠GME＝∠AMH＝90°﹣∠HAG＝67.5°，故答案为：67.5°，16．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴CD＝BD＝3，∴AD＝4，①如图1中，当AQ＝PQ，∠QPB＝90°时，设AQ＝PQ＝x，∵PQ∥AD，∴△BPQ∽△BDA，∴＝，∴＝，∴x＝，∴AQ＝；②当AQ＝PQ，∠PQB＝90°时，设AQ＝PQ＝y．∵△BQP∽△BDA，∴＝，∴＝，∴y＝．综上所述，满足条件的AQ的值为或．故答案为：或．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：（1）原式＝1+2﹣4＝﹣1．（2）由①得：x≤2，由②得：x＞1，∴不等式组的解集为1＜x≤2．18．【解答】解：原式＝•＝x+1，当x＝﹣1时，原式＝﹣1+1＝．19．【解答】解：（1）甲的平均成绩为：（5+6×2+7×4+8×2+9）＝7（环），乙成绩的中位数为：＝7.5，乙成绩的方差为：[（2﹣7）2+（4﹣7）2+（6﹣7）2+（8﹣7）2+（7﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2+（9﹣7）2+（9﹣7）2+（10﹣7）2]＝5.4，故答案为：7；7.5；5.4；（2）我选择甲去参赛．因为甲乙两人平均成绩一样，甲射击成绩的方差小于乙，所以甲的成绩更加稳定，所以选择甲去参赛．20．【解答】解：（1）搅匀后从中任意摸出一个球，标注的数字恰好为2的概率是，故答案为：；（2）所有可能出现的结果有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），共有9种，它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“两次数字的和大于3”（记为事件A）的结果有6种，所以P（A）＝＝．21．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC．∵BF＝CE，∴BF﹣EF＝CE﹣EF，∴BE＝CF．∵在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SSS）；（2）证明：∵△ABE≌△DCF，∴∠B＝∠C．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴∠B+∠C＝180°．∴∠B＝∠C＝90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形．22．【解答】解：（1）从图象可以看出，两地之间的距离是480km；故答案为：480；（2）从图象中可以看出，慢车行驶2.4小时时，两车之间的距离为0，即相遇，∴慢车的速度为：480÷2.4﹣120＝200﹣120＝80，∴当x＝4时，快车已经到达乙地，此时两车之间的距离就是慢车行驶的路程，∴当x＝4时，两车之间的距离为：4×80＝320，∴点P的纵坐标为：320，实际意义为：两车出发了4小时后，相距320km，此时快车到达了乙地，故答案为：320；（3）慢车距离甲地还有480﹣320＝160km，需要用时：160÷80＝2（小时），∴2小时后到达甲地，∴图象如图所示．23．【解答】解：设CD＝x m．∵在Rt△BAE中，tan∠AEB＝，∴AE＝＝14．∵在Rt△BAF中，∠AFB＝45°，∴AF＝AB＝14，∴EF＝AE+AF＝14+14．∵在Rt△DCE中，∠CED＝45°，∴EC＝CD＝x．∵在Rt△DCF中，tan∠CFD＝，∴CF＝＝．∴x﹣＝14+14．∴x＝≈＝22×2.73＝60.06≈60.1 m．因此，建筑物CD的高度为60.1 m．24．【解答】（1）证明：∵△＝4m2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣8m+4＝4（m﹣1）2≥0，所以不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点；（2）证明：y＝x2﹣2mx+2m﹣1＝（x﹣m）2﹣（m+1）2，二次函数y＝x2﹣2mx+2m﹣1的顶点坐标为（m，﹣（m﹣1）2）当x＝m时，y＝﹣（x﹣1）2＝﹣（m﹣1）2，所以不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数y＝﹣（x﹣1）2的图象上；（3）当y＝﹣1时，y＝﹣（x﹣1）2＝﹣1，解得x1＝0，x2＝2，当a+2≥0且a≤2时，线段AB与函数y＝﹣（x﹣1）2的图象有公共点，所以a的范围为﹣2≤a≤2．故答案为﹣2≤a≤2．25．【解答】（1）证明：连接OE．∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB．∴∠OEB＝∠C，∴OE∥AC．∴∠OEF+∠AFE＝180°．∵EF⊥AC于点F，∴∠EF A＝90°．∴∠OEF＝90°，∴OE⊥EF．∵OE⊥EF于点E，OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）①解：连接BD，AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∠AEB＝90°，∴AE⊥BC．∵在△ABC中，AB＝AC，∴CE＝BE＝2，∴BC＝2BE＝4，∵∠ADB+∠CDB＝180°，∴∠CDB＝90°．在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∴BD2＝AB2﹣AD2．在Rt△CDB中，∠CDB＝90°，∴BD2＝BC2﹣CD2．∴AB2﹣AD2＝BC2﹣CD2．设CD＝x，则AB＝AC＝7+x．∴（7+x）2﹣72＝42﹣x2，∴x＝1．∴AB＝7+x＝8．∴r＝AB＝4．②解：∵AD＝7，AB＝AC＝8，∴BD＝＝，CD＝1，∵BE＝CE＝2，EF∥BD，∴EF＝BD＝，CF＝CD＝，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴∠BAE＝∠CAE，∴＝，∴OE⊥BD，∴OE⊥EF，∴OE∥CF，∴△CFM∽△OEM，∴＝，∴＝，∴EM＝，∴OM＝＝．故答案为：．26．【解答】解：（1）100﹣40＝60（件），故答案为：60；（2）设y1＝kx+b（k、b为常数，k≠0），∵图象过点B（70，125）、C（90，105），∴解得：∴y1＝﹣x+195（70≤x≤90）．（3）设总利润为W元．因为线下的销售量为x件，所以线上的销售量为（100﹣x）件；根据图象知，线上的每件利润y2为100元．当10≤x≤70时，设y1＝k1x+b1（k1、b1为常数，k1≠0），∵图象过点A（10，155）、B（70，125），∴解得：，∴y1＝﹣x+160（10≤x≤70）．∴W1＝﹣x2+160x+100（100﹣x）＝﹣x2+60x+10000＝﹣（x﹣60）2+11800．∴当x＝60时，此时W1的最大值为11800．当70≤x≤90时，y1＝﹣x+195，∴W2＝﹣x2+195x+100（100﹣x）＝﹣x2+95x+10000＝﹣（x﹣47.5）2+12256.25．∵a＝﹣1＜0，∴当70≤x≤90时，W2随x的增大而减小，∴当x＝70时，此时W2的最大值为11750，综上，当x＝60时，W的最大值为11800．答：当线下的销售量为60件时，总利润最大，最大值为11800元．27．【解答】解：（1）如图，直线l为所求．连接AO，∵点P与点O关于直线l对称，∴直线l垂直平分PO．∴OH＝PO＝．在Rt△AHO中，∵AH2+HO2＝AO2，∴AH＝＝．在⊙O中，∵PO⊥AB，PO为半径，∴AB＝2AH＝3；（2）如图1：∵弧AB翻折与M重合，OM＝1，∴DM＝1，在Rt△ADM中，AM＝3，∴AD＝2，∴AB＝4；如图2：∵弧AB翻折与M重合，OM＝1，∴MD＝2，在Rt△ADM中，AM＝3，∴AD＝，∴AB＝2；∴2≤AB≤4；故答案为2≤AB≤4；（3）如图3：过O作弦AB的垂直与圆交于点D，与弧AB交于点C，与AB交于点E，过M作OM的垂线，两条垂线的交点为O'，翻折连接AO，∴OO'垂直平分AB，O'为弧ABM所在圆的圆心，∵折叠后的圆弧与直线OM相切于点M，∴MO'＝3，CO＝DO'，在Rt△OO'M中，OM＝1，∴OO'＝，在Rt△ACO中，EO＝，AO＝3，∴AE＝，∴AB＝；故答案为；。
2020年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷(解析版)
2020年中考数学一模试卷一、选择题1．如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数﹣表示的点最接近的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D2．根据制定中的通州区总体规划，将通过控制人口总量上限的方式，努力让副中心远离“城市病”．预计到2035年，副中心的常住人口规模将控制在130万人以内，初步建成国际一流的和谐宜居现代化城区．130万用科学记数法表示为（）A．1.3×106B．130×104C．13×105D．1.3×1053．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）A．B．C．D．4．如图所示，将含有30°角的三角板（∠A＝30°）的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝38°，则∠2的度数（）A．28°B．22°C．32°D．38°5．某校九年级模拟考试中，2班的五名学生的数学成绩如下：85，95，110，100，110．下列说法不正确的是（）A．众数是110B．中位数是110C．平均数是100D．中位数是1006．抛物线y＝（x﹣1）2+3关于x轴对称的抛物线的解析式是（）A．y＝﹣（x﹣1）2+3B．y＝（x+1）2+3C．y＝（x﹣1）2﹣3D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3二、填空题：（本大题共10小题，每小题2分，合计20分．）7．分解因式：x4﹣16＝．8．﹣（）﹣2＝．9．实数，，﹣7，中，无理数有．10．已知2+是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的一个根，则m＝．11．如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是．12．某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示：日期1234数量（瓶）120125130135观察此表，利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为瓶．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC ＝3，AB＝5，则DE等于．14．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是．15．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为．16．已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…，依此类推，则a2019的值为．三、解答题：（本大题共11小题，合计88分．）17．计算：18．先化简，再求值：（），其中x是整数且﹣3＜x＜1．19．如图，在矩形ABCD中，F是CD的中点，连接AF交BC延长线于点E．求证：BC ＝EC．20．某学校为了丰富学生课余生活，开展了“第二课堂”的活动，推出了以下四种选修课程：A．绘画；B．唱歌；C．演讲；D．十字绣．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程．学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：（1）这次学校抽查的学生人数是；（2）将条形统计图补充完整；（3）如果该校共有1000名学生，请你估计该校报D的学生约有多少人？21．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，BC＝CD，BE⊥CD，垂足为点E，点F在BD上，连结AF、EF．（1）求证：AD＝ED；（2）如果AF∥CD，判断四边形ADEF是什么特殊四边形．证明你的结论．22．图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线O﹣A﹣B﹣C表示支架，支架的一部分O﹣A﹣B是固定的，另一部分BC是可旋转的，线段CD表示投影探头，OM表示水平桌面，AO⊥OM，垂足为点O，且AO＝7cm，∠BAO＝160°，BC∥OM，CD＝8cm．将图2中的BC绕点B向下旋转45°，使得BCD落在BC′D′的位置（如图3所示），此时C′D′⊥OM，AD′∥OM，AD′＝16cm，求点B到水平桌面OM的距离，（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，cot70°≈0.36，结果精确到1cm）23．在甲口袋中有三个球分别标有数码1，﹣2，3；在乙口袋中也有三个球分别标有数码4，﹣5，6；已知口袋均不透明，六个球除标码不同外其他均相同，小明从甲口袋中任取一个球，并记下数码，小林从乙口袋中任取一个球，并记下数码．（1）用树状图或列表法表示所有可能的结果；（2）求所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率．24．某工厂有甲种原料130kg，乙种原料144kg．现用这两种原料生产出A，B两种产品共30件．已知生产每件A产品需甲种原料5kg，乙种原料4kg，且每件A产品可获利700元；生产每件B产品需甲种原料3kg，乙种原料6kg，且每件B产品可获利900元．设生产A产品x件（产品件数为整数件），根据以上信息解答下列问题：（1）生产A，B两种产品的方案有哪几种；（2）设生产这30件产品可获利y元，写出y关于x的函数解析式，写出（1）中利润最大的方案，并求出最大利润．25．如图，在Rt△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交AB 于点M，交CB延长线于点N，连接OM，OC＝1．（1）求证：AM＝MD；（2）填空：①若DN＝，则△ABC的面积为；②当四边形COMD为平行四边形时，∠C的度数为．26．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设k＝，当k为何值时，CF＝AD？②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．27．如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示．①线段DG与BE之间的数量关系是；②直线DG与直线BE之间的位置关系是；（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由．（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）．参考答案一、选择题：（本大题共6小题，每小题2分，合计12分．）1．如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数﹣表示的点最接近的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】先估算出≈1.732，所以﹣≈﹣1.732，根据点A、B、C、D表示的数分别为﹣3、﹣2、﹣1、2，即可解答．解：∵≈1.732，∴﹣≈﹣1.732，∵点A、B、C、D表示的数分别为﹣3、﹣2、﹣1、2，∴与数﹣表示的点最接近的是点B．故选：B．【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．2．根据制定中的通州区总体规划，将通过控制人口总量上限的方式，努力让副中心远离“城市病”．预计到2035年，副中心的常住人口规模将控制在130万人以内，初步建成国际一流的和谐宜居现代化城区．130万用科学记数法表示为（）A．1.3×106B．130×104C．13×105D．1.3×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：将130万用科学记数法表示为1.3×106．故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．解：它的俯视图是：故选：C．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．4．如图所示，将含有30°角的三角板（∠A＝30°）的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝38°，则∠2的度数（）A．28°B．22°C．32°D．38°【分析】延长AB交CF于E，求出∠ABC，根据三角形外角性质求出∠AEC，根据平行线性质得出∠2＝∠AEC，代入求出即可．解：如图，延长AB交CF于E，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵∠1＝38°，∴∠AEC＝∠ABC﹣∠1＝22°，∵GH∥EF，∴∠2＝∠AEC＝22°，故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，平行线性质的运用，主要考查学生的推理能力．解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．5．某校九年级模拟考试中，2班的五名学生的数学成绩如下：85，95，110，100，110．下列说法不正确的是（）A．众数是110B．中位数是110C．平均数是100D．中位数是100【分析】分别求出这组数据的中位数、众数、平均数，进行判断即可．解：85，95，110，100，110这组数据的众数是110，中位数是100，平均数为100，因此选项B符合题意，故选：B．【点评】考查众数、中位数、平均数的意义和计算方法，正确求出这组数据的众数、中位数、平均数是正确判断的前提．6．抛物线y＝（x﹣1）2+3关于x轴对称的抛物线的解析式是（）A．y＝﹣（x﹣1）2+3B．y＝（x+1）2+3C．y＝（x﹣1）2﹣3D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3【分析】抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），关于x轴对称的抛物线顶点坐标为（1，﹣3），且开口向下，将二次项系数变为原抛物线二次项系数的相反数，用顶点式写出新抛物线的解析式即可．解：∵y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），∴关于x轴对称的抛物线顶点坐标为（1，﹣3），且开口向下，∴所求抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣1）2﹣3．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象的轴对称与解析式的关系．关键是明确顶点的对称及抛物线开口方向的变化对解析式的影响．二、填空题：（本大题共10小题，每小题2分，合计20分．）7．分解因式：x4﹣16＝（x2+4）（x+2）（x﹣2）．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．解：x4﹣16＝（x2+4）（x2﹣4）＝（x2+4）（x+2）（x﹣2）．故答案为：（x2+4）（x+2）（x﹣2）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．8．﹣（）﹣2＝﹣12．【分析】直接利用负指数幂的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．解：原式＝﹣3﹣9＝﹣12．故答案为：﹣12．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．9．实数，，﹣7，中，无理数有．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．解：是分数，属于有理数；﹣7，是整数，属于有理数；无理数有：．故答案为：【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．10．已知2+是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的一个根，则m＝1．【分析】把x＝2+代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可．解：把x＝2+代入方程得（2+）2﹣4（2+）+m＝0，解得m＝1．故答案为1．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．11．如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是16．【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE＝BE，从而得到△BCE的周长＝AC+BC，然后代入数据计算即可求解．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵AC＝10，BC＝6，∴△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝10+6＝16．故答案为：16【点评】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，证明出三角形的周长等于AC与BC的和是解题的关键．12．某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示：日期1234数量（瓶）120125130135观察此表，利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为150瓶．【分析】这是一个一次函数模型，设y＝kx+b，利用待定系数法即可解决问题，解：这是一个一次函数模型，设y＝kx+b，则有，解得，∴y＝5x+115，当x＝7时，y＝150，∴预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为150瓶，故答案为150．【点评】本题考查一次函数的性质，解题的关键是学会构建一次函数解决问题，属于中考常考题型．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC ＝3，AB＝5，则DE等于．【分析】根据勾股定理求出BC，根据线段垂直平分线性质求出AE＝BE，根据勾股定理求出AE，再根据勾股定理求出DE即可．解：在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC＝＝4，连接AE，从作法可知：DE是AB的垂直平分线，根据性质得出AE＝BE，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC2+CE2＝AE2，即32+（4﹣AE）2＝AE2，解得：AE＝，在Rt△ADE中，AD＝AB＝，由勾股定理得：DE2+（）2＝（）2，解得：DE＝．故答案为：．【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，勾股定理的应用，能灵活运用勾股定理得出方程是解此题的关键．14．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是k≥﹣且k≠0．【分析】利用判别式，根据不等式即可解决问题；解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，∴△≥0且k≠0，∴9+4k≥0，∴k≥﹣，且k≠0，故答案为k≥﹣且k≠0．【点评】本题考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．15．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为．【分析】由AAS证明△ABM≌△DEA，得出AM＝AD，证出BC＝AD＝3EM，连接DM，由HL证明Rt△DEM≌Rt△DCM，得出EM＝CM，因此BC＝3CM，设EM＝CM＝x，则BM＝2x，AM＝BC＝3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC＝1，∠B＝∠C＝90°，AD∥BC，AD＝BC，∴∠AMB＝∠DAE，∵DE＝DC，∴AB＝DE，∵DE⊥AM，∴∠DEA＝∠DEM＝90°，在△ABM和△DEA中，，∴△ABM≌△DEA（AAS），∴AM＝AD，∵AE＝2EM，∴BC＝AD＝3EM，设EM＝CM＝x，则BM＝2x，AM＝BC＝3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得：12+（2x）2＝（3x）2，解得：x＝，∴BM＝；故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键．16．已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…，依此类推，则a2019的值为﹣1009．【分析】根据条件求出前几个数的值，再分n是奇数时，结果等于﹣（n﹣1），n是偶数时，结果等于﹣，然后把n的值代入进行计算即可得解．解：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|＝﹣|0+1|＝﹣1，a3＝﹣|a2+2|＝﹣|﹣1+2|＝﹣1，a4＝﹣|a3+3|＝﹣|﹣1+3|＝﹣2，a5＝﹣|a4+4|＝﹣|﹣2+4|＝﹣2，a6＝﹣|a5+5|＝﹣|﹣2+5|＝﹣3，a7＝﹣|a6+6|＝﹣|﹣3+6|＝﹣3，…，所以，n是奇数时，a n＝﹣（n﹣1），n是偶数时，a n＝﹣，∴a2019＝﹣（2019﹣1）＝﹣1009．故答案为：﹣1009．【点评】此题主要考查了数字变化规律，根据所求出的数，观察出n为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键．三、解答题：（本大题共11小题，合计88分．）17．计算：【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．解：原式＝＝2．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．18．先化简，再求值：（），其中x是整数且﹣3＜x＜1．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，根据﹣3＜x＜1求出x的值，代入原式进行计算即可．解：原式＝•＝•＝，∵x是整数且﹣3＜x＜1，并且x≠±1，﹣2∴取x＝0，∴原式＝＝﹣1．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．如图，在矩形ABCD中，F是CD的中点，连接AF交BC延长线于点E．求证：BC ＝EC．【分析】先由矩形的性质得AD∥BE，AD＝BC，再证明△ADF≌△ECF（AAS），然后利用全等三角形的性质及已知条件得出答案即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AD＝BC，∴∠ADF＝∠ECF，∠DAF＝∠CEF，∵F是CD的中点，∴DF＝CF，∴在△ADF和△ECF中，∴△ADF≌△ECF（AAS）．∴AD＝EC，而AD＝BC∴BC＝EC．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．20．某学校为了丰富学生课余生活，开展了“第二课堂”的活动，推出了以下四种选修课程：A．绘画；B．唱歌；C．演讲；D．十字绣．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程．学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：（1）这次学校抽查的学生人数是40；（2）将条形统计图补充完整；（3）如果该校共有1000名学生，请你估计该校报D的学生约有多少人？【分析】（1）利用A项目的频数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）计算出C项目的人数后补全条形统计图即可；（3）用总人数乘以样本中该校报D的学生数占被调查学生数的比例即可得．解：（1）这次学校抽查的学生人数是12÷30%＝40（人），故答案为：40人；（2）C项目的人数为40﹣12﹣14﹣4＝10（人）条形统计图补充为：（3）估计全校报名军事竞技的学生有1000×＝100（人）．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．21．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，BC＝CD，BE⊥CD，垂足为点E，点F在BD上，连结AF、EF．（1）求证：AD＝ED；（2）如果AF∥CD，判断四边形ADEF是什么特殊四边形．证明你的结论．【分析】（1）先根据平行的性质得到∠ADB＝∠CDB，然后结合BC＝CD，可得∠ADB ＝∠BDC，利用AAS可证得△ABD≌△EBD，继而可得出结论；（2）证明AF＝AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论．【解答】证明：（1）∵BC＝CD，∴∠CDB＝∠CBD．∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD．∴∠ADB＝∠CDB，∵AB⊥AD，BE⊥CD，∴∠BAD＝∠BED＝90°又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD（AAS），∴AD＝ED；（2）解：四边形ADEF是菱形．证明：∵AF∥CD，∴∠AFD＝∠EDF．∴∠AFD＝∠ADF，∴AF＝AD．又∵AD＝ED，∴AF＝DE．∴四边形ADEF是平行四边形，又∵AD＝ED，∴四边形ADEF是菱形．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形和菱形的判定，得出四边形ADEF为平行四边形是解题关键．22．图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线O﹣A﹣B﹣C表示支架，支架的一部分O﹣A﹣B是固定的，另一部分BC是可旋转的，线段CD表示投影探头，OM表示水平桌面，AO⊥OM，垂足为点O，且AO＝7cm，∠BAO＝160°，BC∥OM，CD＝8cm．将图2中的BC绕点B向下旋转45°，使得BCD落在BC′D′的位置（如图3所示），此时C′D′⊥OM，AD′∥OM，AD′＝16cm，求点B到水平桌面OM的距离，（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，cot70°≈0.36，结果精确到1cm）【分析】过B作BG⊥OM于G，过C′作C′H⊥BG于H，延长D′A交BG于E，则C′H＝D′E，HE＝C′D′＝8，设AE＝x，解直角三角形即可得到结论．解：过B作BG⊥OM于G，过C′作C′H⊥BG于H，延长D′A交BG于E，则C′H＝D′E，HE＝C′D′＝8，设AE＝x，∴C′H＝D′E＝16+x，∵∠BC′H＝45°，∴BH＝C′H＝16+x，∴BE＝16+x+8＝24+x，∵∠BAO＝160°，∴∠BAE＝70°，∴tan70°＝＝＝，解得：x＝13.5，∴BE＝37.5，∴BG＝BE+EG＝BE+AO＝37.5+7＝44.5≈45cm，答：B到水平桌面OM的距离为45cm．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是构造直角三角形．23．在甲口袋中有三个球分别标有数码1，﹣2，3；在乙口袋中也有三个球分别标有数码4，﹣5，6；已知口袋均不透明，六个球除标码不同外其他均相同，小明从甲口袋中任取一个球，并记下数码，小林从乙口袋中任取一个球，并记下数码．（1）用树状图或列表法表示所有可能的结果；（2）求所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率．【分析】（1）利用列表法可得所有等可能结果；（2）从所有等可能结果中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案．解：（1）列表如下：1﹣234（1，4）（﹣2，4）（3，4）﹣5（1，﹣5）（﹣2，﹣5）（3，﹣5）6（1，6）（﹣2，6）（3，6）（2）由表可知，共有9种等可能结果，其中所抽取的两个球数码的乘积为负数的由4种结果，∴所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率为．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．24．某工厂有甲种原料130kg，乙种原料144kg．现用这两种原料生产出A，B两种产品共30件．已知生产每件A产品需甲种原料5kg，乙种原料4kg，且每件A产品可获利700元；生产每件B产品需甲种原料3kg，乙种原料6kg，且每件B产品可获利900元．设生产A产品x件（产品件数为整数件），根据以上信息解答下列问题：（1）生产A，B两种产品的方案有哪几种；（2）设生产这30件产品可获利y元，写出y关于x的函数解析式，写出（1）中利润最大的方案，并求出最大利润．【分析】（1）根据两种产品所需要的甲、乙两种原料列出不等式组，然后求解即可；（2）根据总利润等于两种产品的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性求出最大利润即可．解：（1）根据题意得：，解得18≤x≤20，∵x是正整数，∴x＝18、19、20，共有三种方案：方案一：A产品18件，B产品12件，方案二：A产品19件，B产品11件，方案三：A产品20件，B产品10件；（2）根据题意得：y＝：700x+900（30﹣x）＝﹣200x+27000，∵﹣200＜0，∴y随x的增大而减小，∴x＝18时，y有最大值，y最大＝﹣200×18+27000＝23400元．答：利润最大的方案是方案一：A产品18件，B产品12件，最大利润为23400元．【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，准确找出题中的等量关系和不等量关系是解题的关键．25．如图，在Rt△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交AB 于点M，交CB延长线于点N，连接OM，OC＝1．（1）求证：AM＝MD；（2）填空：①若DN＝，则△ABC的面积为；②当四边形COMD为平行四边形时，∠C的度数为45°．【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到∠ODM＝∠ABC＝90°，根据全等三角形的判定定理得到Rt△BOM≌Rt△DOM（HL），求得BM＝DM，∠DOM＝∠BOM＝，根据圆周角定理得到∠BOM＝∠C，于是得到结论；（2）①由于tan∠DON＝＝，求得∠DON＝60°，根据圆周角定理得到∠C＝30°，求得AB＝BC＝，根据三角形的面积公式即可得到结论；②根据平行四边形的性质和圆周角定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OD，∵DN为⊙O的切线，∴∠ODM＝∠ABC＝90°，在Rt△BOM与Rt△DOM中，，∴Rt△BOM≌Rt△DOM（HL），∴BM＝DM，∠DOM＝∠BOM＝，∵∠C＝，∴∠BOM＝∠C，∴OM∥AC，∵BO＝OC，∴BM＝AM，∴AM＝DM；（2）解：①∵OD＝OC＝1，DN＝，∴tan∠DON＝＝，∴∠DON＝60°，∴∠C＝30°，∵BC＝2OC＝2，∴AB＝BC＝，∴△ABC的面积为AB•BC＝×2＝；②当四边形COMD为平行四边形时，∠C的度数为45°，理由：∵四边形COMD为平行四边形，∴DN∥BC，∴∠DON＝∠NDO＝90°，∴∠C＝DON＝45°，故答案为：，45°．【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，特殊角的三角函数值，三角形的面积的计算，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键．26．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设k＝，当k为何值时，CF＝AD？②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．【分析】（1）将A、B两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点D（﹣1，4）；（2）①由A、C、D三点的坐标求出AC＝3，DC＝，AD＝2，可得△ACD为直角三角形，若CF＝，则点F为AD的中点，可求出k的值；②由条件可判断∠DAC＝∠OCB，则∠OAF＝∠ACB，若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，可分两种情况考虑：当∠AOF＝∠ABC或∠AOF＝∠CAB＝45°时，可分别求出点F的坐标．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣3，0），B（1，0），∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）①∵在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝3，∴AC2＝OA2+OC2＝18，∵D（﹣1，4），C（0，3），A（﹣3，0），∴CD2＝12+12＝2∴AD2＝22+42＝20∴AC2+CD2＝AD2∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°．∵，∴F为AD的中点，∴，∴．②在Rt△ACD中，tan∠CAD＝，在Rt△OBC中，tan，∴∠CAD＝∠OCB，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∴∠FAO＝∠ACB，若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，则可分两种情况考虑：当∠AOF＝∠ABC时，△AOF∽△CBA，∴OF∥BC，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，∴直线OF的解析式为y＝﹣3x，设直线AD的解析式为y＝mx+n，∴，解得：，∴直线AD的解析式为y＝2x+6，∴，解得：，∴F（﹣）．当∠AOF＝∠CAB＝45°时，△AOF∽△CAB，∵∠CAB＝45°，∴OF⊥AC，∴直线OF的解析式为y＝﹣x，∴，解得：，∴F（﹣2，2）．综合以上可得F点的坐标为（﹣）或（﹣2，2）．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质和直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．27．如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示．①线段DG与BE之间的数量关系是DG＝BE；②直线DG与直线BE之间的位置关系是DG⊥BE；（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由．（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）．【分析】（1）先判断出△ABE≌△DAG，进而得出BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；（2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出△ABE∽△DAG，得出∠ABE＝∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；（3）如图④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延长线于H．设ET＝x，AT＝y．利用勾股定理，以及相似三角形的性质即可解决问题．解：（1）①如图②中，∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，在△ABE和△DAG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴BE＝DG；②如图2，延长BE交AD于T，交DG于H．由①知，△ABE≌△DAG，∴∠ABE＝∠ADG，∵∠ATB+∠ABE＝90°，∴∠ATB+∠ADG＝90°，∵∠ATB＝∠DTH，∴∠DTH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG，故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；（2）数量关系不成立，DG＝2BE，位置关系成立．如图③中，延长BE交AD于T，交DG于H．∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，∴∠BAD＝∠EAG，∴∠BAE＝∠DAG，∵AD＝2AB，AG＝2AE，∴＝＝，∴△ABE∽△ADG，∴∠ABE＝∠ADG，＝，∴DG＝2BE，∵∠ATB+∠ABE＝90°，∴∠ATB+∠ADG＝90°，∵∠ATB＝∠DTH，∴∠DTH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG；（3）如图④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延长线于H．设ET＝x，AT＝y．∵△AHG∽△ATE，∴＝＝＝2，∴GH＝2x，AH＝2y，∴4x2+4y2＝4，∴x2+y2＝1，∴BG2+DE2＝（2x）2+（2y+2）2+x2+（4﹣y）2＝5x2+5y2+20＝25．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，判断出△ABE≌△ADG或△ABE∽△ADG是解本题的关键．。
南京市玄武区2019年中考一模数学试题及答案
玄武区2019年中考第一次模拟数 学注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．上） 1．如果向北走3 km 记作＋3 km ，那么向南走5 km 记作A ．－5 kmB ．－2 kmC ．＋5 kmD ．＋8 km 2．下列计算正确的是A ．a 3＋a 3＝a 6B ．a 6÷a 3＝a 2C ．(a 2)3＝a 8D ．a 2·a 3＝a 5 3．下列调查中，适合采用普查方式的是 A ．调查市场上婴幼儿奶粉的质量情况 B ．调查黄浦江水质情况C ．调查某个班级对青奥会吉祥物的知晓率D ．调查《直播南京》栏目在南京市的收视率4．如图，若△ABC 与△A'B'C'关于直线MN 对称，BB'交MN 于点O ，则下列说法中不一定．．．正确的是A ．AC ＝A'C'B ．AB ∥B'C'C ．AA'⊥MND ．BO ＝B'O5．二次函数y ＝x 2＋2x －5有A ．最大值－5B ．最小值－5C ．最大值－6D ．最小值－66．某优质袋装大米有A 、B 、C 三种包装，分别装有5千克、10千克、15千克大米，每袋售价分别为35元、65元、90元，每袋包装费用(含包装袋成本)分别为4元、5元、6元．超市销售A 、B 、C 三种包装的大米各60千克，获得利润最大的是 A ．A 种包装的大米 B ．B 种包装的大米 C ．C 种包装的大米 D ．三种包装的大米都相同二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7．计算：2＋8＝ ▲ ．ABCA'B'C'MNO（第4题）8．如图，若a ∥b ，∠1＝60°，则∠2＝ ▲ °．9．据新浪报道，新浪微博在2019年末约拥有503000000个注册用户，将503000000用科学记数法表示为 ▲ ．10．“直角三角形两锐角互余”的逆命题是 ▲ ．11．一个周长20 cm 的菱形，有一个内角为60°，其较短的对角线长为 ▲ cm ．12．根据图中所给两个三角形的角度和边长，可得x ＝ ▲ ． 13．将下列函数图像沿y 轴向上平移a （a ＞0）个单位长度后， 不经过．．．原点的有 ▲ (填写正确的序号)． ①y ＝3x；②y ＝3x －3；③y ＝x 2＋3x ＋3；④y ＝－(x －3)2＋3．14．若有一列数依次为：23，48，815，1624，3235 ……，则第n 个数可以表示为 ▲ ．15．如图所示为一个无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），根据图中数据，可知该无盖长方体的容积为 ▲ ．16．如图，在半径为R 的⊙O 中，AB ︵和CD ︵度数分别为36°和108°，弦CD 与弦AB 长度的差为 ▲ （用含有R 的代数式表示）．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜－5，x 2－12＜x －23．18．（8分）先化简，再求值：(x 2x －2－4x －2)÷x 2＋4x ＋4x －2，其中x 是方程x 2－2x ＝0的根．ABCDO（第16题）a bc 12（第8题）315（第15题）（第12题）45°81°754°81° 3x4.219．（8分）3月的南京，“春如四季”．如图所示为3月22日至27日间，我市每日最高气温与最低气温的变化情况．（1）最低气温的中位数是 ▲ ℃；3月24日的温差是 ▲ ℃； （2）分别求出3月22日至27日间的最高气温与最低气温的平均数； （3）数据更稳定的是最高气温还是最低气温？说说你的理由．20．（7分）河西某滨江主题公园有A 、B 两个出口，进去游玩的甲、乙、丙三人各自随机选择一个出口离开，求他们三人选择同一个出口离开的概率．21．（8分）如图，在□ABCD 中，∠ABD 的平分线BE 交AD 于点E ，∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F ，连接BD ． （1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若AB ＝DB ，求证：四边形DFBE 是矩形．22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为矩形，BC 平行于x 轴，AB ＝6，点A 的横坐标为2，反比例函数y ＝18x 的图像经过点A 、C ．（1）求点A 的坐标；（2）求经过点A 、C 所在直线的函数关系式． （3）请直接写出AD 长 ▲ ．ABC A DE F（第21题）OxyAB CD（第22题）23．（8分）如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC 的三个顶点都在格点上，现将△ABC 绕着格点O 顺时针旋转90°． （1）画出△ABC 旋转后的△A'B'C'； （2）求点C 旋转过程中所经过的路径长； （3）点B'到线段A'C'的距离为 ▲ ．24．（7分）一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地，求出发后第一小时内的行驶速度．25．（10分）小明设计了一个“简易量角器”：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，CA ＝30 cm ，在AB 边上有一系列点P 1，P 2，P 3…P 8，使得∠P 1CA ＝10°，∠P 2CA ＝20°，∠P 3CA ＝30°，…∠P 8CA ＝80°． （1）求P 3A 的长（结果保留根号）；（2）求P 5A 的长（结果精确到1 cm ，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20，3≈1.7）；（3）小明发现P 1，P 2，P 3…P 8这些点中，相邻两点距离都不相同．．．．，于是计划用含45°的直角三角形重新制作“简易量角器”，结果会怎样呢？请你帮他继续探究．ABCOACBP 1P 2P 3P 4P 5 P 6 P 7 P 8 （第25题）（第23题）26．（9分）在函数中，我们规定：当自变量增加一个单位时，因变量的增加量称为函数的平均变化率．例如，对于函数y ＝3x ＋1，当自变量x 增加1时，因变量y ＝3(x ＋1)＋1＝3x ＋4，较之前增加3，故函数y ＝3x ＋1的平均变化率为3．（1）①列车已行驶的路程s （km ）与行驶的时间t （h ）的函数关系式是s ＝300t ，该函数的平均变化率是 ▲ ；其蕴含的实际意义是 ▲ ；②飞机着陆后滑行的距离y （m ）与滑行的时间x （s ）的函数关系式是y ＝－1.5x 2＋60x ，求该函数的平均变化率；（2）通过比较（1）中不同函数的平均变化率，你有什么发现；（3）如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过第一象限内的三点A 、B 、C ，过点A 、B 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，AM ⊥BE ，垂足为M ，BN ⊥CF ，垂足为N ，DE ＝EF ，试探究△AMB 与△BNC 面积的大小关系，并说明理由．27．（9分）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5．现有一点D ，使得∠CDB ＝∠CAB ，DB ＝CB ．（1）请用尺规作图的方法确定点D 的位置（保留作图痕迹，可简要说明作法）； （2）连接CD ，与AB 交于点E ，求∠BEC 的度数；（3）以A 为圆心AB 长为半径作⊙A ，点O 在直线BC 上运动，且以O 为圆心r 为半径的⊙O 与⊙A 相切2次以上，请直接写出r 应满足的条件．ABC（第27题）xOyAB CD E F MN（第26题）玄武区2019年中考第一次模拟数学试题参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（每小题2分，共12分） 二、填空题（每小题2分，共20分） 7．3 2 8．60 9．5.03×108 10．两个锐角互余的三角形是直角三角形11．5 12．513．①③ 14．2nn (n ＋2)15．6 16．R三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．（本题6分）解：解不等式①，得x ＜－3．解不等式②，得x ＜－1．所以，原不等式组的解集为x ＜－3．……………………………………6分18．（本题8分）解：(x 2x －2－4x －2)÷x 2＋4x ＋4x －2＝x 2－4x －2·x －2 x 2＋4x ＋4 ＝(x ＋2)( x －2)x －2·x －2(x ＋2)2＝x －2x ＋2．……………………………………………………………………4分 x 2－2x ＝0． 原方程可变形为 x (x －2)＝0． x ＝0或x －2＝0 ∴x 1＝0，x 2＝2．∵当x ＝2时，原分式无意义，∴x ＝1． ……………………………………………………………………7分 当x ＝1时，x －2x ＋2＝－13．…………………………………………………………………8分19．（本题8分）（1）6.5；14； …………………………………………………………………2分（2）最高气温平均数：16×(18＋12＋15＋12＋11＋16)＝14℃；题号 1 2 3 4 5 6 答案ADCBDA最低气温平均数：16×(7＋8＋1＋6＋6＋8)＝6℃； ……………………4分（3）s 最高气温＝16×[(18－14)2＋(12－14)2＋(15－14)2＋(12－14)2＋(11－14)2＋(16－14)2]＝193； s 最低气温＝16×[(7－6)2＋(8－6)2＋(1－6)2＋(6－6)2＋(6－6)2＋(8－6)2]＝173；∵s 最高气温＞s 最低气温，∴数据更稳定的是最低气温．……………………………………………8分20．（本题7分）解：甲、乙、丙三人各自随机选择一个出口离开的所有可能出现的结果有：（AAA ）、（AAB ）、（ABA ）、（ABB ）、（BAA ）、（BAB ）、（BBA ）、（BBB ），共有8种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“三人选择同一个出口离开”（记为事件A ）的结果有2种，所以P(A )＝28＝14．…………7分21．（本题8分）证明：（1）在□ABCD 中，AB ＝CD ，∠A ＝∠C ．∵AB ∥CD ，∴∠ABD ＝∠CDB ． ∵BE 平分∠ABD ，DF 平分∠CDB ，∴∠ABE ＝12∠ABD ，∠CDF ＝12∠CDB ．∴∠ABE ＝∠CDF ． 在△ABE 和△CDF 中，∵∠A ＝∠C ，AB ＝CD ，∠ABE ＝∠CDF ，∴△ABE ≌△CDF ． ………………………………………………4分（2）∵AB ＝DB ，BE 平分∠ABD ，∴BE ⊥AD ，即∠DEB ＝90°．∵AB ＝DB ，AB ＝CD ，∴DB ＝CD ．∵DF 平分∠CDB ，∴DF ⊥BC ，即∠BFD ＝90°． 在□ABCD 中，∵AD ∥BC ，∴∠EDF ＋∠DEB ＝180°． ∴∠EDF ＝90°．∴四边形DFBE 是矩形． …………………………………………8分22．（本题8分）解：（1）∵点A 在反比例函数y ＝18x的图像上，甲 丙 乙开始AAB A BA BB ABB A ABA BC A DE F（第21题）∴y ＝182＝9，∴点A 的坐标是（2，9）．……………………………………………3分 （2）∵BC 平行于x 轴，且AB ＝6，∴点B 纵坐标为9－6＝3，点C 纵坐标为3．∵点C 在反比例函数y ＝18x 的图像上，∴x ＝183＝6，∴点D 的坐标是（6，3）．设经过点A 、C 所在直线的函数关系式为y ＝kx ＋b ，可得⎩⎨⎧9＝2k ＋b ，3＝6k ＋b ．解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－32，b ＝12．∴y ＝kx ＋b ∴经过点A 、C 所在直线的函数关系式为y ＝－32x ＋12．…………7分（3）4．………………………………………………………………………8分23．（本题8分）（1）……………………………………………………………………………3分（2）CO ＝22＋12＝5，点C 旋转过程中所经过的路径长为：90π5180＝52π．…………………6分（3）71717． ……………………………………………………………………8分24．（本题7分）解：设前一小时的行驶速度为x km/h ． 根据题意，得1＋180－x 1.5x ＝180x －4060． 解得 x ＝60．经检验，x ＝60是原方程的根．答：出发后第一小时内的行驶速度是60 km/h ．…………………………7分25．（本题10分）解：（1）连接P 3C ．∵∠P 3CA ＝∠A ，∴P 3C ＝P 3A ．又∵∠P 3CB ＝∠BCA －∠P 3CA ＝60°，且∠B ＝∠BCA －∠A ＝60°，A BCO A'B'C'∴∠P 3CB ＝∠B ，∴P 3C ＝P 3B ，∴P 3A ＝P 3B ＝12AB ．在Rt △ABC 中，cos ∠A ＝ACAB ，∴AB ＝ACcos ∠A＝203 cm ．∴P 3A ＝12AB ＝103 cm ． ……………………………………………3分（2）连接P 5C ，作P 5D ⊥CA ，垂足为D ．由题意得，∠P 5CA ＝50°，设CD ＝x cm ．在Rt △P 5DC 中，tan ∠P 5CD ＝P 5DCD，∴P 5D ＝CD ·tan ∠P 5CD ＝1.2x ．在Rt △P 5DA 中，tan ∠A ＝P 5D DA ，∴DA ＝P 5Dtan ∠A ＝1.23x ．∵CA ＝30 cm ，∴CD ＋DA ＝30 cm ． ∴x ＋1.23x ＝30．∴x ＝301＋653．在Rt △P 5DA 中，sin ∠A ＝P 5D P 5A ，∴P 5A ＝P 5Dsin ∠A ＝2.4x ．∴P 5A ＝2.4×301＋653≈24 cm ．………………………………………7分 （3）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝45°．当P 1，P 2，P 3…P 8在斜边上时． ∵∠B ＝90°－∠A ＝45°， ∴∠B ＝∠A ，∴AC ＝BC ． 在△P 1CA 和△P 8CB 中，∵∠P 1CA ＝∠P 8CB ，AC ＝BC ，∠A ＝∠B ， ∴△P 1CA ≌△P 8CB ．∴P 1A ＝P 8B ． 同理可得P 2A ＝P 7B ，P 3A ＝P 6B ，P 4A ＝P 5B ． 则P 1P 2＝P 8P 7，P 2P 3＝P 7P 6，P 3P 4＝P 6P 5．在P 1，P 2，P 3…P 8这些点中，有三对相邻点距离相等．（回答“当P 1，P 2，P 3…P 8在直角边上时，P 1，P 2，P 3…P 8这些点中，相邻两点距离都不同相”，得1分，根据等腰三角形轴对称性直接得出结论，得2分）………………………………………………………10分26．（本题9分）解：（1）①300；列车的速度．②该函数的变化率为：－1.5(x ＋1)2＋60(x ＋1)－[－1.5x 2＋60x ]＝－3x ＋58.5．…………4分（2）一次函数的变化率是常量，二次函数的变化率是变量．（仅从匀速和变速角度出发，得1分） ………………………………………………6分 （3）∵AM ⊥BE ，且AD 、BE 均垂直于x 轴，ACBP 1P 2P 3P 4P 5 P 6 P 7 P 8 DABP 8P 7 P 2P 1C P 6 P 5 P 4 P 3∴∠ADE ＝∠DEM ＝∠EMA ＝90°，∴四边形ADEM 为矩形， ∴AM ＝DE ．同理可得BN ＝EF ．∵DE ＝EF ，∴AM ＝BN ． 设DE ＝EF ＝n (n ＞0)，当x 增加n 时y 增加了w ． 则w ＝a (x ＋n )2＋b (x ＋n )＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝2anx ＋an 2＋bn ∵该二次函数开口向上，∴a ＞0．又∵n ＞0，∴2an ＞0．∴w 随x 的增大而增大．即BM ＜CN ．∵S △AMB ＝12AM ·BM ，S △BNC ＝12BN ·CN ，∴S △AMB ＜S △BNC ． ……………………………………………………9分27．（本题9分）解：（1）如图，点D 为所求．（不写作法不扣分） …………………………3分（2）∵DB ＝CB ，∴∠DCB ＝∠CDB ．又∵∠CDB ＝∠CAB ，∴∠DCB ＝∠CAB ．∵∠CAB ＋∠CBA ＝90°，∴∠DCB ＋∠CBA ＝90°．即∠BEC ＝90°． …………………………………………………………………………6分 （3）当0＜r ＜2时，⊙O 与⊙A 相切4次；当r ＝2时，⊙O 与⊙A 相切3次； 当r ＝8时，⊙O 与⊙A 相切3次；当r ＞8时，⊙O 与⊙A 相切4次． …………………………………9分DAC B。
2020年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷(附答案解析
2020年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数−√3表示的点最接近的是()A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D2.根据制定中的通州区总体规划，将通过控制人口总量上限的方式，努力让副中心远离“城市病”.预计到2035年，副中心的常住人口规模将控制在130万人以内，初步建成国际一流的和谐宜居现代化城区．130万用科学记数法表示为()A. 1.3×106B. 130×104C. 13×105D. 1.3×1053.如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是()A.B.C.D.4.如图所示，将含有30°角的三角板(∠A=30°)的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=38°，则∠2的度数()A. 28°B. 22°C. 32°D. 38°5. 某校九年级模拟考试中，2班的五名学生的数学成绩如下：85，95，110，100，110.下列说法不正确的是( ) A. 众数是110 B. 中位数是110 C. 平均数是100 D. 中位数是100 6. 抛物线y =(x −1)2+3关于x 轴对称的抛物线的解析式是( )A. y =−(x −1)2+3B. y =(x +1)2+3C. y =(x −1)2−3D. y =−(x −1)2−3二、填空题（本大题共10小题，共20.0分） 7. 分解因式：x 4−16=______． 8.√−273−(13)−2=______．9. 实数227，√3，−7，√36中，无理数有______．10. 已知2+√3是关于x 的方程x 2−4x +m =0的一个根，则m =______． 11. 如图，在△ABC 中，AC =10，BC =6，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，则△BCE 的周长是______．12. 日期1234数量(瓶)120125130135观察此表，利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为______瓶．13. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，分别以点A 和点B为圆心，以相同的长(大于12AB)为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交BC 于点E.若AC =3，AB =5，则DE 等于______．14. 关于x 的一元二次方程kx 2+3x −1=0有实数根，则k 的取值范围是______． 15. 如图，在矩形ABCD 中，M 为BC 边上一点，连接AM ，过点D作DE ⊥AM ，垂足为E.若DE =DC =1，AE =2EM ，则BM 的长为 ． 16. 已知整数a 1，a 2，a 3，a 4…满足下列条件：a 1=0，a 2=−|a 1+1|，a 3=−|a 2+2|，a 4=−|a 3+3|，…，依此类推，则a 2019的值为______． 三、解答题（本大题共11小题，共88.0分）17. 计算：4√12−√8+√27×√13−(√3)018.先化简，再求值：(3x+4x2−1−2x−1)÷x+2x2−2x+1，其中x是整数且−3<x<1．19.如图，在矩形ABCD中，F是CD的中点，连接AF交BC延长线于点E.求证：BC=EC．20.进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息解决下列问题：(1)这次学校抽查的学生人数是______；(2)将条形统计图补充完整；(3)如果该校共有1000名学生，请你估计该校报D的学生约有多少人？21.已知：如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD，垂足为点E，点F在BD上，连结AF、EF．(1)求证：AD=ED；(2)如果AF//CD，判断四边形ADEF是什么特殊四边形．证明你的结论．22.图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线O−A−B−C表示支架，支架的一部分O−A−B是固定的，另一部分BC是可旋转的，线段CD表示投影探头，OM表示水平桌面，AO⊥OM，垂足为点O，且AO=7cm，∠BAO=160°，BC//OM，CD=8cm．将图2中的BC绕点B向下旋转45°，使得BCD落在BC′D′的位置(如图3所示)，此时C′D′⊥OM，AD′//OM，AD′=16cm，求点B到水平桌面OM的距离，(参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，cot70°≈0.36，结果精确到1cm)23.在甲口袋中有三个球分别标有数码1，−2，3；在乙口袋中也有三个球分别标有数(1)用树状图或列表法表示所有可能的结果；(2)求所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率．24.某工厂有甲种原料130kg，乙种原料144kg.现用这两种原料生产出A，B两种产品共30件．已知生产每件A产品需甲种原料5kg，乙种原料4kg，且每件A产品可获利700元；生产每件B产品需甲种原料3kg，乙种原料6kg，且每件B产品可获利900元．设生产A产品x件(产品件数为整数件)，根据以上信息解答下列问题：(1)生产A，B两种产品的方案有哪几种；(2)设生产这30件产品可获利y元，写出y关于x的函数解析式，写出(1)中利润最大的方案，并求出最大利润．25.如图，在Rt△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交AB于点M，交CB延长线于点N，连接OM，OC=1．(1)求证：AM=MD；(2)填空：①若DN=√3，则△ABC的面积为______；②当四边形COMD为平行四边形时，∠C的度数为______．26.已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于A(−3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；①如图1，设k =AF AD ，当k 为何值时，CF =12AD ？②如图2，以A ，F ，O 为顶点的三角形是否与△ABC 相似？若相似，求出点F 的坐标；若不相似，请说明理由．27. 如图①所示，已知正方形ABCD 和正方形AEFG ，连接DG ，BE ．(1)发现：当正方形AEFG 绕点A 旋转，如图②所示． ①线段DG 与BE 之间的数量关系是______； ②直线DG 与直线BE 之间的位置关系是______；(2)探究：如图③所示，若四边形ABCD 与四边形AEFG 都为矩形，且AD =2AB ，AG =2AE 时，上述结论是否成立，并说明理由．(3)应用：在(2)的情况下，连接BG 、DE ，若AE =1，AB =2，求BG 2+DE 2的值(直接写出结果)．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．先估算出√3≈1.732，所以−√3≈−1.732，根据点A、B、C、D表示的数分别为−3、−2、−1、2，即可解答．【解答】解：∵√3≈1.732，∴−√3≈−1.732，∵点A、B、C、D表示的数分别为−3、−2、−1、2，∴与数−√3表示的点最接近的是点B．故选：B．2.【答案】A【解析】解：将130万用科学记数法表示为1.3×106．故选：A．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】C【解析】解：它的俯视图是：故选：C．根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．4.【答案】B【解析】解：如图，延长AB交CF于E，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠AEC=∠ABC−∠1=22°，∵GH//EF，∴∠2=∠AEC=22°，故选：B．延长AB交CF于E，求出∠ABC，根据三角形外角性质求出∠AEC，根据平行线性质得出∠2=∠AEC，代入求出即可．本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，平行线性质的运用，主要考查学生的推理能力．解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．5.【答案】B【解析】解：85，95，110，100，110这组数据的众数是110，中位数是100，平均数为100，因此选项B符合题意，故选：B．分别求出这组数据的中位数、众数、平均数，进行判断即可．考查众数、中位数、平均数的意义和计算方法，正确求出这组数据的众数、中位数、平均数是正确判断的前提．6.【答案】D【解析】解：∵y=(x−1)2+3的顶点坐标为(1,3)，∴关于x轴对称的抛物线顶点坐标为(1,−3)，且开口向下，∴所求抛物线解析式为：y=−(x−1)2−3．故选：D．抛物线y=(x−1)2+3的顶点坐标为(1,3)，关于x轴对称的抛物线顶点坐标为(1,−3)，且开口向下，将二次项系数变为原抛物线二次项系数的相反数，用顶点式写出新抛物线的解析式即可．本题考查了二次函数图象的轴对称与解析式的关系．关键是明确顶点的对称及抛物线开口方向的变化对解析式的影响．7.【答案】(x2+4)(x+2)(x−2)【解析】解：x4−16=(x2+4)(x2−4)=(x2+4)(x+2)(x−2)．故答案为：(x2+4)(x+2)(x−2)．直接利用平方差公式分解因式得出答案．此题主要考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．8.【答案】−12【解析】解：原式=−3−9=−12．故答案为：−12．直接利用负指数幂的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．9.【答案】√3【解析】解：22是分数，属于有理数；−7，√36=6是整数，属于有理数；7无理数有：√3．数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 10.【答案】1【解析】解：把x =2+√3代入方程得(2+√3)2−4(2+√3)+m =0， 解得m =1． 故答案为1．把x =2+√3代入方程得到关于m 的方程，然后解关于m 的方程即可． 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 11.【答案】16【解析】【分析】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质有关知识． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE =BE ，从而得到△BCE 的周长=AC +BC ，然后代入数据计算即可求解． 【解答】解：∵DE 是AB 的垂直平分线， ∴AE =BE ，∵AC =10，BC =6，∴△BCE 的周长=BC +BE +CE =BC +AE +CE =BC +AC =10+6=16． 故答案为16． 12.【答案】150【解析】解：这是一个一次函数模型，设y =kx +b ，则有{k +b =1202k +b =125，解得{k =5b =115，∴y =5x +115，当x =7时，y =150，∴预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为150瓶， 故答案为150．这是一个一次函数模型，设y =kx +b ，利用待定系数法即可解决问题，本题考查一次函数的性质，解题的关键是学会构建一次函数解决问题，属于中考常考题型．13.【答案】158【解析】解：在Rt △ACB 中，由勾股定理得：BC =√52−32=4， 连接AE ，从作法可知：DE 是AB 的垂直平分线， 根据性质得出AE =BE ，在Rt △ACE 中，由勾股定理得：AC 2+CE 2=AE 2， 222解得：AE=258，在Rt△ADE中，AD=12AB=52，由勾股定理得：DE2+(52)2=(258)2，解得：DE=158．故答案为：158．根据勾股定理求出BC，根据线段垂直平分线性质求出AE=BE，根据勾股定理求出AE，再根据勾股定理求出DE即可．本题考查了线段垂直平分线性质，勾股定理的应用，能灵活运用勾股定理得出方程是解此题的关键．14.【答案】k≥−94且k≠0【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x−1=0有实数根，∴△≥0且k≠0，∴9+4k≥0，∴k≥−94，且k≠0，故答案为k≥−94且k≠0．利用判别式，根据不等式即可解决问题；本题考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△<0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．15.【答案】2√55【解析】【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键．由AAS证明△ABM≌△DEA，得出AM= AD，BM=AE，所以BC=AD=3EM，BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC=1，∠B=∠C=90°，AD//BC，AD=BC，∴∠AMB=∠DAE，∵DE=DC，∴AB=DE，∵DE⊥AM，∴∠DEA=∠DEM=90°，在△ABM和△DEA中，{∠AMB=∠DAE∠B=∠DEA=90°AB=DE，∴△ABM≌△DEA(AAS)，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得：12+(2x)2=(3x)2，解得：x=√55，∴BM=2√55；故答案为2√55．16.【答案】−1009【解析】解：a1=0，a2=−|a1+1|=−|0+1|=−1，a3=−|a2+2|=−|−1+2|=−1，a4=−|a3+3|=−|−1+3|=−2，a5=−|a4+4|=−|−2+4|=−2，…，所以，n是奇数时，a n=−12(n−1)，n是偶数时，a n=−n2，a2019=−12(2019−1)=−1009．故答案为：−1009根据条件求出前几个数的值，再分n是奇数时，结果等于−12(n−1)，n是偶数时，结果等于−n2，然后把n的值代入进行计算即可得解．此题主要考查了数字变化规律，根据所求出的数，观察出n为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键．17.【答案】解：原式=2√2−2√2+3−1=2．【解析】直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．18.【答案】解：原式=3x+4−2(x+1)(x+1)(x−1)⋅(x−1)2x+2=x+2(x+1)(x−1)⋅(x−1)2x+2=x−1x+1，∵x是整数且−3<x<1，并且x≠±1，−2∴取x=0，∴原式=0−10+1=−1．【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，根据−3<x<1求出x的值，代入原式进行计算即可．本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19.【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADF=∠ECF，∠DAF=∠CEF，∵F是CD的中点，∴DF=CF，∴在△ADF和△ECF中，{∠ADF=∠ECF ∠DAF=∠CEF DF=CF∴△ADF≌△ECF(AAS)．∴AD=EC，而AD=BC∴BC=EC．【解析】先由矩形的性质得AD//BE，AD=BC，再证明△ADF≌△ECF(AAS)，然后利用全等三角形的性质及已知条件得出答案即可．本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．20.【答案】(1)40(2)C项目的人数为40−12−14−4=10(人)条形统计图补充为：(3)估计全校报名军事竞技的学生有1000×440=100(人)．【解析】解：(1)这次学校抽查的学生人数是12÷30%=40(人)，故答案为：40人；(2)见答案(3)见答案【分析】(1)利用A项目的频数除以它所占的百分比得到调查的总人数；(2)计算出C项目的人数后补全条形统计图即可；(3)用总人数乘以样本中该校报D的学生数占被调查学生数的比例即可得．本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．21.【答案】证明：(1)∵BC=CD，∴∠CDB=∠CBD．∵AD//BC，∴∠ADB=∠CBD．∴∠ADB=∠CDB，∵AB⊥AD，BE⊥CD，又∵BD=BD，∴△ABD≌△EBD(AAS)，∴AD=ED；(2)解：四边形ADEF是菱形．证明：∵AF//CD，∴∠AFD=∠EDF．∴∠AFD=∠ADF，∴AF=AD．又∵AD=ED，∴AF=DE．∴四边形ADEF是平行四边形，又∵AD=ED，∴四边形ADEF是菱形．【解析】(1)先根据平行的性质得到∠ADB=∠CDB，然后结合BC=CD，可得∠ADB=∠BDC，利用AAS可证得△ABD≌△EBD，继而可得出结论；(2)证明AF=AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论．本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形和菱形的判定，得出四边形ADEF为平行四边形是解题关键．22.【答案】解：过B作BG⊥OM于G，过C′作C′H⊥BG于H，延长D′A交BG于E，则C′H=D′E，HE=C′D′=8，设AE=x，∴C′H=D′E=16+x，∵∠BC′H=45°，∴BH=C′H=16+x，∴BE=16+x+8=24+x，∵∠BAO=160°，∴∠BAE=70°，∴tan70°=BEAE =24+xx=10.36，解得：x=13.5，∴BE=37.5，∴BG=BE+EG=BE+AO=37.5+7=44.5cm，答：B到水平桌面OM的距离为44.5cm．【解析】过B作BG⊥OM于G，过C′作C′H⊥BG于H，延长D′A交BG于E，则C′H=D′E，HE=C′D′=8，设AE=x，解直角三角形即可得到结论．此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是构造直角三角形．23.【答案】解：(1)列表如下：1−234(1,4)(−2,4)(3,4)−5(1,−5)(−2,−5)(3,−5)6(1,6)(−2,6)(3,6)(2)由表可知，共有9种等可能结果，其中所抽取的两个球数码的乘积为负数的由4种结果，∴所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率为49．【解析】(1)利用列表法可得所有等可能结果；(2)从所有等可能结果中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案．此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 24.【答案】解：(1)根据题意得：{5x +3(30−x)≤1304x +6(30−x)≤144，解得18≤x ≤20，∵x 是正整数，∴x =18、19、20，共有三种方案：方案一：A 产品18件，B 产品12件，方案二：A 产品19件，B 产品11件，方案三：A 产品20件，B 产品10件；(2)根据题意得：y =：700x +900(30−x)=−200x +27000，∵−200<0，∴y 随x 的增大而减小，∴x =18时，y 有最大值，y 最大=−200×18+27000=23400元．答：利润最大的方案是方案一：A 产品18件，B 产品12件，最大利润为23400元．【解析】(1)根据两种产品所需要的甲、乙两种原料列出不等式组，然后求解即可；(2)根据总利润等于两种产品的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性求出最大利润即可．本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，准确找出题中的等量关系和不等量关系是解题的关键．25.【答案】2√3345°【解析】(1)证明：连接OD ，∵DN 为⊙O 的切线，∴∠ODM =∠ABC =90°，在Rt △BOM 与Rt △DOM 中，{OD =OB OM =OM， ∴Rt △BOM≌Rt △DOM(HL)，∴BM =DM ，∠DOM =∠BOM =12∠DOB ，∵∠C =12∠DOB ，∴∠BOM =∠C ，∴OM//AC ，∵BO =OC ，∴BM =AM ，∴AM =DM ；(2)解：①∵OD =OC =1，DN =√3，∴tan ∠DON =DN OD =√3，∴∠DON =60°，∴∠C =30°，∵BC =2OC =2，∴AB =√33BC =2√33， ∴△ABC 的面积为12×AB ⋅BC =12×2√33×2=2√33；②当四边形COMD 为平行四边形时，∠C 的度数为45°，理由：∵四边形COMD 为平行四边形，∴DN//BC ，∴∠DON =∠NDO =90°，∴∠C =12∠DON =45°， 故答案为：2√33，45°． (1)连接OD ，根据切线的性质得到∠ODM =∠ABC =90°，根据全等三角形的判定定理得到Rt △BOM≌Rt △DOM(HL)，求得BM =DM ，∠DOM =∠BOM =12∠DOB ，根据圆周角定理得到∠BOM =∠C ，于是得到结论；(2)①由于tan ∠DON =DN OD =√3，求得∠DON =60°，根据圆周角定理得到∠C =30°，求得AB =√33BC =2√33，根据三角形的面积公式即可得到结论；②根据平行四边形的性质和圆周角定理即可得到结论．本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，特殊角的三角函数值，三角形的面积的计算，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 26.【答案】解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +3过点A(−3,0)，B(1,0)，∴{9a −3b +3=0a +b +3=0，解得：{a =−1b =−2， ∴抛物线解析式为y =−x 2−2x +3；∵y =−x 2−2x +3=−(x +1)2+4∴顶点D 的坐标为(−1,4)；(2)①∵在Rt △AOC 中，OA =3，OC =3，∴AC 2=OA 2+OC 2=18，∵D(−1,4)，C(0,3)，A(−3,0)，∴CD 2=12+12=2∴AD 2=22+42=20∴AC 2+CD 2=AD 2∴△ACD 为直角三角形，且∠ACD =90°．∵CF =12AD ，∴F 为AD 的中点，∴AF AD =12，∴k =12．②在Rt △ACD 中，tan ∠ACD =DC AC =√23√2=13， 在Rt △OBC 中，tan∠OCB =OB OC =13，∴∠ACD =∠OCB ，∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA =45°，∴∠FAO =∠ACB ，若以A ，F ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则可分两种情况考虑：当∠AOF =∠ABC 时，△AOF∽△CBA ，∴OF//BC ，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∴{k +b =0b =3，解得：{k =−3b =3， ∴直线BC 的解析式为y =−3x +3，∴直线OF 的解析式为y =−3x ，设直线AD 的解析式为y =mx +n ，∴{−k +b =4−3k +b =0，解得：{k =2b =6， ∴直线AD 的解析式为y =2x +6， ∴{y =2x +6y =−3x ，解得：{x =−65y =185， ∴F(−65,185). 当∠AOF =∠CAB =45°时，△AOF∽△CAB ，∵∠CAB =45°，∴OF ⊥AC ，∴直线OF 的解析式为y =−x ，∴{y =−x y =2x +6，解得：{x =−2y =2， ∴F(−2,2)．综合以上可得F 点的坐标为(−65,185)或(−2,2)．【解析】(1)将A 、B 两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点D(−1,4)；(2)①由A 、C 、D 三点的坐标求出AC =3√2，DC =√2，AD =2√5，可得△ACD 为直角三角形，若CF =12AD ，则点F 为AD 的中点，可求出k 的值；②由条件可判断∠DAC =∠OBC ，则∠OAF =∠ACB ，若以A ，F ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，可分两种情况考虑：当∠AOF =∠ABC 或∠AOF =∠CAB =45°时，可分别求出点F 的坐标．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质和直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．27.【答案】DG=BE DG⊥BE【解析】解：(1)①如图②中，∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AE=AG，AB=AD，∠BAD=∠EAG=90°，∴∠BAE=∠DAG，在△ABE和△DAG中，{AB=AD∠BAE=∠DAG AE=AG，∴△ABE≌△DAG(SAS)，∴BE=DG；②如图2，延长BE交AD于T，交DG于H．由①知，△ABE≌△DAG，∴∠ABE=∠ADG，∵∠ATB+∠ABE=90°，∴∠ATB+∠ADG=90°，∵∠ATB=∠DTH，∴∠DTH+∠ADG=90°，∴∠DHB=90°，∴BE⊥DG，故答案为：BE=DG，BE⊥DG；(2)数量关系不成立，DG=2BE，位置关系成立．如图③中，延长BE交AD于T，交DG于H．∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，∴∠BAD=∠DAG，∴∠BAE=∠DAG，∵AD=2AB，AG=2AE，∴ABAD =AEAG=12，∴△ABE∽△ADG，∴∠ABE=∠ADG，BEDG =12，∴DG=2BE，∵∠ATB+∠ABE=90°，∴∠ATB+∠ADG=90°，∵∠ATB=∠DTH，∴∠DTH+∠ADG=90°，∴∠DHB=90°，∴BE⊥DG；(3)如图④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延长线于H.设ET=x，AT=y．∵△AHG∽△ATE，∴GHET =AHAT=AGAE=2，∴GH=2x，AH=2y，∴4x2+4y2=4，∴x2+y2=1，∴BG2+DE2=(2x)2+(2y+2)2+x2+(4−y)2=5x2+5y2+20=25．(1)先判断出△ABE≌△DAG，进而得出BE=DG，∠ABE=∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；(2)先利用两边对应成比例夹角相等判断出△ABE∽△DAG，得出∠ABE=∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；(3)如图④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延长线于H.设ET=x，AT=y.利用勾股定理，以及相似三角形的性质即可解决问题．此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，判断出△ABE≌△ADG或△ABE∽△ADG是解本题的关键．。
江苏省南京市2019-2020学年中考数学一模考试卷含解析
江苏省南京市2019-2020学年中考数学一模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知△ABC ，D 是AC 上一点，尺规在AB 上确定一点E ，使△ADE ∽△ABC ，则符合要求的作图痕迹是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，在ABC 中，D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，//EF CD 交AB 于F ，那么下列比例式中正确的是( )A ．AF DEDF BC= B ．DF AFDB DF= C ．EF DECD BC= D ．AF ADBD AB= 3．定义：若点P （a ，b ）在函数y=的图象上，将以a 为二次项系数，b 为一次项系数构造的二次函数y=ax 2+bx 称为函数y=的一个“派生函数”．例如：点（2， ）在函数y=的图象上，则函数y=2x 2+称为函数y=的一个“派生函数”．现给出以下两个命题：（1）存在函数y=的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y 轴的右侧（2）函数y=的所有“派生函数”的图象都经过同一点，下列判断正确的是（ ） A ．命题（1）与命题（2）都是真命题 B ．命题（1）与命题（2）都是假命题 C ．命题（1）是假命题，命题（2）是真命题D ．命题（1）是真命题，命题（2）是假命题4．给出下列各数式，①2?--（） ②2-- ③2 2- ④22-（） 计算结果为负数的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．一、单选题如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 、BF 分别是∠BAC 、∠ABC 的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）A ．75°B ．80°C ．85°D ．90°6．如图 1 是某生活小区的音乐喷泉， 水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，其中一个喷水管喷水的最大高度为 3 m ，此时距喷水管的水平距离为 1 m ，在如图 2 所示的坐标系中，该喷水管水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式是（ ）A ．()213y x =--+ B ．()2213y x =-+ C ．()2313y x =-++D ．()2313y x =--+7．如图，将Rt ABC △绕直角顶点C 顺时针旋转90，得到A B C ''，连接'A A ，若120︒∠=，则B 的度数是（ ）A ．70︒B ．65︒C ．60︒D ．55︒8．关于x 的一元二次方程x 2-2x-（m-1）=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．0m >且1m ≠ B ．0m >C ．0m ≥且1m ≠D ．0m ≥9．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为点E ，点G 是AC 上的任意一点，延长AG 交DC 的延长线于点F ，连接,,GC GD AD .若25BAD ∠=︒，则AGD ∠等于（ ）A ．55︒B ．65︒C ．75︒D ．85︒10．如图，在ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，DE ：EC=2:3，则S △DEF :S △ABF =（ ）A ．2：3B ．4：9C ．2：5D ．4：2511．当x=1时，代数式x 3+x+m 的值是7，则当x=﹣1时，这个代数式的值是（ ） A ．7B ．3C ．1D ．﹣712．实数6 的相反数是 （ ） A ．-6B ．6C ．16D ．6-二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，将ABC △的边AB 绕着点A 顺时针旋转()090a α︒︒<<得到AB '，边AC 绕着点A 逆时针旋转()090ββ︒︒<<得到AC '，联结B C ''．当90αβ︒+=时，我们称AB C ''△是ABC △的“双旋三角形”．如果等边ABC △的边长为a ，那么它的“双旋三角形”的面积是__________（用含a 的代数式表示）．14．若|a|=20160，则a=___________.15．如图，已知∠A+∠C=180°，∠APM=118°，则∠CQN=_____°．16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C 的坐标是（0，-3），动点P在抛物线上． b =_________，c =_________，点B的坐标为_____________；（直接填写结果）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．17．若分式15x-有意义，则实数x的取值范围是_______．18．11201842-⎛⎫+- ⎪⎝⎭=_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图（1）所示，成本y2与销售月份之间的关系如图（2）所示（图（1）的图象是线段图（2）的图象是抛物线）分别求出y1、y2的函数关系式（不写自变量取值范围）；通过计算说明：哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？20．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC相切于点D，与AB交于点E，连接ED并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：AE=AF；（2）若DE=3，sin∠BDE=13，求AC的长．21．（6分）计算：025(3)tan 45π︒+--.化简：2(2)(1)x x x ---.22．（8分）已知：如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与坐标轴分别交于点A （0，6），B （6，0），C （﹣2，0），点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式；（2）当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积有最大值？（3）过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 做PE ∥x 轴交抛物线于点E ，连结DE ，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．23．（8分）如图1，点P 是平面直角坐标系中第二象限内的一点，过点P 作PA ⊥y 轴于点A ，点P 绕点A 顺时针旋转60°得到点P'，我们称点P'是点P 的“旋转对应点”．（1）若点P （﹣4，2），则点P 的“旋转对应点”P'的坐标为 ；若点P 的“旋转对应点”P'的坐标为（﹣5，16）则点P 的坐标为 ；若点P （a ，b ），则点P 的“旋转对应点”P'的坐标为 ； （2）如图2，点Q 是线段AP'上的一点（不与A 、P'重合），点Q 的“旋转对应点”是点Q'，连接PP'、QQ'，求证：PP'∥QQ'；（3）点P 与它的“旋转对应点”P'的连线所在的直线经过点（3，6），求直线PP'与x 轴的交点坐标．24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 坐标为（4，6），点P 为线段OA 上一动点（与点O 、A 不重合），连接CP ，过点P 作PE ⊥CP 交AB 于点D ，且PE ＝PC ，过点P 作PF ⊥OP 且PF ＝PO （点F 在第一象限），连结FD 、BE 、BF ，设OP ＝t ．（1）直接写出点E 的坐标（用含t 的代数式表示）： ；（2）四边形BFDE 的面积记为S ，当t 为何值时，S 有最小值，并求出最小值； （3）△BDF 能否是等腰直角三角形，若能，求出t ；若不能，说明理由．25．（10分）某制衣厂某车间计划用10天加工一批出口童装和成人装共360件,该车间的加工能力是：每天能单独加工童装45件或成人装30件．（1）该车间应安排几天加工童装,几天加工成人装，才能如期完成任务；（2）若加工童装一件可获利80元, 加工成人装一件可获利120元, 那么该车间加工完这批服装后，共可获利多少元．26．（12分）如图，矩形ABCD 的两边AD 、AB 的长分别为3、8，E 是DC 的中点，反比例函数my x=的图象经过点E ，与AB 交于点F .若点B 坐标为(6,0)-，求m 的值及图象经过A 、E 两点的一次函数的表达式；若2AF AE -=，求反比例函数的表达式.27．（12分）如图，已知抛物线y ＝x 2﹣4与x 轴交于点A ，B （点A 位于点B 的左侧），C 为顶点，直线y ＝x+m 经过点A ，与y 轴交于点D ．求线段AD 的长；平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D ，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD ，求新抛物线对应的函数表达式．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．A【解析】【分析】以DA为边、点D为顶点在△ABC内部作一个角等于∠B，角的另一边与AB的交点即为所求作的点．【详解】如图，点E即为所求作的点．故选：A．【点睛】本题主要考查作图-相似变换，根据相似三角形的判定明确过点D作一角等于∠B或∠C，并熟练掌握做一个角等于已知角的作法式解题的关键．2．C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质找准线段的对应关系，对各选项分析判断．【详解】A、∵EF∥CD，DE∥BC，∴AF AEDF EC=，AE DEAC BC=，∵CE≠AC，∴AF DEDF BC≠，故本选项错误；B、∵EF∥CD，DE∥BC，∴AF AEDF EC=，AE ADEC BD=，∴AF ADDF BD=，∵AD≠D F，∴DF AFDB DF≠，故本选项错误；C、∵EF∥CD，DE∥BC，∴DE AEBC AC=，EF AECD AC=，∴EF DECD BC=，故本选项正确；D、∵EF∥CD，DE∥BC，∴AD AEAB AC=，AF AEAD AC=，∴AF ADAD AB=，∵AD≠DF，∴AF ADBD AB≠，故本选项错误.故选C.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的运用及平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的新三角形与原三角形相似的定理的运用，在解答时寻找对应线段是关健．3．C【解析】试题分析：（1）根据二次函数y=ax2+bx的性质a、b同号对称轴在y轴左侧，a、b异号对称轴在y轴右侧即可判断．（2）根据“派生函数”y=ax 2+bx ，x=0时，y=0，经过原点，不能得出结论． （1）∵P （a ，b ）在y=上， ∴a 和b 同号，所以对称轴在y 轴左侧， ∴存在函数y=的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y 轴的右侧是假命题． （2）∵函数y=的所有“派生函数”为y=ax 2+bx ， ∴x=0时，y=0， ∴所有“派生函数”为y=ax 2+bx 经过原点，∴函数y=的所有“派生函数”，的图象都进过同一点，是真命题． 考点：（1）命题与定理；（2）新定义型 4．B 【解析】∵①(2)2--=；②22--=-；③224-=-；④2(2)4-=； ∴上述各式中计算结果为负数的有2个. 故选B. 5．A 【解析】分析：依据AD 是BC 边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE 平分∠BAC ，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC 中，∠C=180°﹣∠ABC ﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°． 详解：∵AD 是BC 边上的高，∠ABC=60°， ∴∠BAD=30°，∵∠BAC=50°，AE 平分∠BAC ， ∴∠BAE=25°， ∴∠DAE=30°﹣25°=5°，∵△ABC 中，∠C=180°﹣∠ABC ﹣∠BAC=70°， ∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°， 故选A ．点睛：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用． 6．D 【解析】 【分析】根据图象可设二次函数的顶点式，再将点（0,0）代入即可． 【详解】解：根据图象，设函数解析式为()2y a x h k =-+ 由图象可知，顶点为（1,3） ∴()213y a x =-+，将点（0,0）代入得()20013a =-+ 解得3a =- ∴()2313y x =--+ 故答案为：D ． 【点睛】本题考查了是根据实际抛物线形，求函数解析式，解题的关键是正确设出函数解析式． 7．B 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得AC ＝A′C ，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′＝45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A′B′C ，最后根据旋转的性质可得∠B ＝∠A′B′C ． 【详解】解：∵Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到△A′B′C ， ∴AC ＝A′C ，∴△ACA′是等腰直角三角形， ∴∠CAA′＝45°，∴∠A′B′C ＝∠1＋∠CAA′＝20°＋45°＝65°， ∴∠B ＝∠A′B′C ＝65°． 故选B ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 8．A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的系数结合根的判别式△＞1，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出实数m 的取值范围． 【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（m﹣1）=1有两个不相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×[﹣（m﹣1）]=4m ＞1，∴m＞1．故选B．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞1时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．9．B【解析】【分析】连接BD，利用直径得出∠ABD=65°，进而利用圆周角定理解答即可．【详解】连接BD，∵AB是直径，∠BAD=25°，∴∠ABD=90°-25°=65°，∴∠AGD=∠ABD=65°，故选B．【点睛】此题考查圆周角定理，关键是利用直径得出∠ABD=65°．10．D【解析】试题分析：先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，从而DE：AB=DE：DC=2：5，所以S△DEF:S△ABF=4：25试题解析:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，BA=DC∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∴DE：AB=DE：DC=2：5，∴S△DEF：S△ABF=4：25，考点：1.相似三角形的判定与性质；2.三角形的面积；3.平行四边形的性质．11．B【解析】【分析】【详解】因为当x=1时，代数式的值是7，所以1+1+m=7，所以m=5，当x=-1时，=-1-1+5=3， 故选B ．12．A【解析】【分析】根据相反数的定义即可判断.【详解】 6 的相反数是6故选A.【点睛】此题主要考查相反数的定义，解题的关键是熟知相反数的定义即可求解.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．214a . 【解析】【分析】首先根据等边三角形、“双旋三角形”的定义得出△A B'C'是顶角为150°的等腰三角形，其中AB'=AC'=a ．过C'作C'D ⊥AB'于D ，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出C'D 12=AC'12=a ，然后根据S △AB'C'12=AB'•C'D 即可求解． 【详解】∵等边△ABC 的边长为a ，∴AB=AC=a ，∠BAC=60°．∵将△ABC 的边AB 绕着点A 顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AB'，∴AB'=AB=a ，∠B'AB=α． ∵边AC 绕着点A 逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AC'，∴AC'=AC=a ，∠CAC'=β，∴∠B'AC'=∠B'AB+∠BAC+∠CAC'=α+60°+β=60°+90°=150°．如图，过C'作C'D ⊥AB'于D ，则∠D=90°，∠DAC'=30°，∴C'D 12=AC'12=a ，∴S △AB'C'12=AB'•C'D 12=a•12a 14=a 1． 故答案为：14a 1．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的性质以及三角形的面积． 14．±1【解析】试题分析：根据零指数幂的性质（01(0)a a =≠），可知|a|=1，座椅可知a=±1. 15．1【解析】【分析】先根据同旁内角互补两直线平行知AB ∥CD ，据此依据平行线性质知∠APM=∠CQM=118°，由邻补角定义可得答案．【详解】解：∵∠A+∠C=180°，∴AB ∥CD ，∴∠APM=∠CQM=118°，∴∠CQN=180°-∠CQM=1°，故答案为：1．【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 16．（1）2-，3-，（-1,0）；（2）存在P 的坐标是(14)-，或(-25)，；（1）当EF 最短时，点P 的坐标是：（2102+，32-210-，32-） 【解析】【分析】（1）将点A 和点C 的坐标代入抛物线的解析式可求得b 、c 的值，然后令y=0可求得点B 的坐标； （2）分别过点C 和点A 作AC 的垂线，将抛物线与P 1，P 2两点先求得AC 的解析式，然后可求得P 1C和P 2A 的解析式，最后再求得P 1C 和P 2A 与抛物线的交点坐标即可；（1）连接OD ．先证明四边形OEDF 为矩形，从而得到OD=EF ，然后根据垂线段最短可求得点D 的纵坐标，从而得到点P 的纵坐标，然后由抛物线的解析式可求得点P 的坐标．【详解】解：（1）∵将点A 和点C 的坐标代入抛物线的解析式得：3930c b c =-⎧⎨++=⎩， 解得：b=﹣2，c=﹣1，∴抛物线的解析式为223y x x =--．∵令2230x x --=，解得：11x =-，23x =，∴点B 的坐标为（﹣1，0）．故答案为﹣2；﹣1；（﹣1，0）．（2）存在．理由：如图所示：①当∠ACP 1=90°．由（1）可知点A 的坐标为（1，0）．设AC 的解析式为y=kx ﹣1．∵将点A 的坐标代入得1k ﹣1=0，解得k=1，∴直线AC 的解析式为y=x ﹣1，∴直线CP 1的解析式为y=﹣x ﹣1．∵将y=﹣x ﹣1与223y x x =--联立解得11x =，20x =（舍去），∴点P 1的坐标为（1，﹣4）．②当∠P 2AC=90°时．设AP 2的解析式为y=﹣x+b ．∵将x=1，y=0代入得：﹣1+b=0，解得b=1，∴直线AP 2的解析式为y=﹣x+1．∵将y=﹣x+1与223y x x =--联立解得1x =﹣2，2x =1（舍去），∴点P 2的坐标为（﹣2，5）．综上所述，P 的坐标是（1，﹣4）或（﹣2，5）．（1）如图2所示：连接OD ．由题意可知，四边形OFDE 是矩形，则OD=EF ．根据垂线段最短，可得当OD ⊥AC 时，OD 最短，即EF 最短．由（1）可知，在Rt △AOC 中，∵OC=OA=1，OD ⊥AC ，∴D 是AC 的中点．又∵DF ∥OC ，∴DF=12OC=32， ∴点P 的纵坐标是32-， ∴23232x x --=-，解得：x=2102±， ∴当EF 最短时，点P 的坐标是：（2102+，32-）或（2102-，32-）． 17．【解析】 由于分式的分母不能为2，x-1在分母上，因此x-1≠2，解得x ．解：∵分式15x -有意义， ∴x-1≠2，即x≠1．故答案为x≠1．本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不能为2．18．1【解析】分析：第一项根据非零数的零次幂等于1计算，第二项根据算术平方根的意义化简，第三项根据负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数计算.详解：原式=1+2﹣2=1．故答案为：1．点睛：本题考查了实数的运算，熟练掌握零指数幂、算术平方根的意义，负整数指数幂的运算法则是解答本题的关键.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）y1＝273x-+;y2＝13x2﹣4x+2；（2）5月出售每千克收益最大，最大为73．【解析】【分析】（1）观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出y1和y2的解析式；（2）由收益W=y1-y2列出W与x的函数关系式，利用配方求出二次函数的最大值．【详解】解：（1）设y1＝kx+b，将（3，5）和（6，3）代入得，3563k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得237kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩．∴y1＝﹣23x+1．设y2＝a（x﹣6）2+1，把（3，4）代入得，4＝a（3﹣6）2+1，解得a＝13．∴y2＝13（x﹣6）2+1，即y2＝13x2﹣4x+2．（2）收益W＝y1﹣y2，＝﹣23x+1﹣（13x2﹣4x+2）＝﹣13（x﹣5）2+73，∵a＝﹣13＜0，∴当x＝5时，W最大值＝73．故5月出售每千克收益最大，最大为73元．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题关键，掌握配方法是求二次函数最大值常用的方法20．（1）证明见解析；（2）1．【解析】【分析】（1）根据切线的性质和平行线的性质解答即可；（2）根据直角三角形的性质和三角函数解答即可．【详解】（1）连接OD，∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED．∵直线BC为⊙O的切线，∴OD⊥BC．∴∠ODB=90°．∵∠ACB=90°，∴OD∥AC．∴∠ODE=∠F．∴∠OED=∠F．∴AE=AF；（2）连接AD，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°，∵AE=AF，∴DF=DE=3，∵∠ACB=90°，∴∠DAF+∠F=90°，∠CDF+∠F=90°，∴∠DAF=∠CDF=∠BDE，在Rt△ADF中，DFAF=sin∠DAF=sin∠BDE=13，∴AF=3DF=9，在Rt△CDF中，CFDF=sin∠CDF=sin∠BDE=13，∴CF=13DF=1，∴AC=AF﹣CF=1．【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形的应用，等腰三角形的判定等，综合性较强，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.21．（1）5；（2）-3x+4【解析】【分析】(1)第一项计算算术平方根，第二项计算零指数幂，第三项计算特殊角的三角函数值，最后计算有理数运算. （2）利用完全平方公式和去括号法则进行计算，再进行合并同类项运算.【详解】（1）解：原式5115=+-=（2）解：原式224434x x x x x =-+-+=-+【点睛】本题考查实数的混合运算和整式运算，解题关键是熟练运用完全平方公式和熟记特殊角的三角函数值. 22．（1）抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB 的面积有最大值；（3）点P （4，6）． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；（2）作PM ⊥OB 与点M ，交AB 于点N ，作AG ⊥PM ，先求出直线AB 解析式为y=﹣x+6，设P （t ，﹣12t 2+2t+6），则N （t ，﹣t+6），由S △PAB =S △PAN +S △PBN =12PN•AG+12PN•BM=12PN•OB 列出关于t 的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）由PH ⊥OB 知DH ∥AO ，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE 为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E 与点A 重合，求出y=6时x 的值即可得出答案．【详解】（1）∵抛物线过点B （6，0）、C （﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a （x ﹣6）（x+2），将点A （0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣12， 所以抛物线解析式为y=﹣12（x ﹣6）（x+2）=﹣12x 2+2x+6； （2）如图1，过点P 作PM ⊥OB 与点M ，交AB 于点N ，作AG ⊥PM 于点G ，设直线AB 解析式为y=kx+b ，将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：660b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩， 则直线AB 解析式为y=﹣x+6，设P （t ，﹣12t 2+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6）， ∴PN=PM ﹣MN=﹣12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣12t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN=12PN•AG+12PN•BM =12PN•（AG+BM ） =12PN•OB =12×（﹣12t 2+3t ）×6 =﹣32t 2+9t =﹣32（t ﹣3）2+272， ∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值；（3）△PDE 为等腰直角三角形，则PE=PD ，点P （m ，-12m 2+2m+6）， 函数的对称轴为：x=2，则点E 的横坐标为：4-m ，则PE=|2m-4|，即-12m 2+2m+6+m-6=|2m-4|， 解得：m=4或-2或5+17或5-17（舍去-2和5+17）故点P 的坐标为：（4，6）或（5-17，317-5）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.23．（1）（﹣2，2+23），（﹣10，16﹣53），（2a ，b ﹣32a ）；（2）见解析；（3）直线PP'与x 轴的交点坐标（﹣3，0）【解析】【分析】（1）①当P （-4，2）时，OA=2，PA=4，由旋转知，∠P'AH=30°，进而P'H=12P'A=2，AH=3P'H=23，即可得出结论；②当P'（-5，16）时，确定出P'A=10，AH=53，由旋转知，PA=PA'=10，OA=OH-AH=16-53，即可得出结论；③当P （a ，b ）时，同①的方法得，即可得出结论；（2）先判断出∠BQQ'=60°，进而得出∠PAP'=∠PP'A=60°，即可得出∠P'QQ'=∠PAP'=60°，即可得出结论；（3）先确定出y PP '=3x+3，即可得出结论．【详解】解:（1）如图1，①当P （﹣4，2）时，∵PA ⊥y 轴，∴∠PAH=90°，OA=2，PA=4，由旋转知，P'A=4，∠PAP'=60°，∴∠P'AH=30°，在Rt △P'AH 中，P'H=12P'A=2， ∴AH=3P'H=23，∴OH=OA+AH=2+23，∴P'（﹣2，2+23），②当P'（﹣5，16）时，在Rt △P'AH 中，∠P'AH=30°，P'H=5， ∴P'A=10，AH=53，由旋转知，PA=PA'=10，OA=OH ﹣AH=16﹣53， ∴P （﹣10，16﹣53），③当P （a ，b ）时，同①的方法得，P'（a 2，b ﹣32a ）， 故答案为：（﹣2，2+23），（﹣10，16﹣53），（2a ，b ﹣32a ）； （2）如图2，过点Q 作QB ⊥y 轴于B ，∴∠BQQ'=60°，由题意知，△PAP'是等边三角形，∴∠PAP'=∠PP'A=60°，∵QB ⊥y 轴，PA ⊥y 轴，∴QB ∥PA ，∴∠P'QQ'=∠PAP'=60°，∴∠P'QQ'=60°=∠PP'A ，∴PP'∥QQ'；（3）设y PP '=kx+b'，由题意知，3，∵直线经过点（3，6），∴b'=3，∴y PP'=3x+3，令y=0，∴x=3∴直线PP'与x30）．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，待定系数法，解本题的关键是理解新定义．24．(1)、（t+6，t）；(2)、当t=2时，S有最小值是16；(3)、理由见解析．【解析】【分析】【详解】（1）如图所示，过点E作EG⊥x轴于点G，则∠COP=∠PGE=90°，由题意知CO=AB=6、OA=BC=4、OP=t，∵PE⊥CP、PF⊥OP，∴∠CPE=∠FPG=90°，即∠CPF+∠FPE=∠FPE+∠EPG，∴∠CPF=∠EPG，又∵CO⊥OG、FP⊥OG，∴CO∥FP，∴∠CPF=∠PCO，∴∠PCO=∠EPG，在△PCO和△EPG中，∵∠PCO=∠EPG，∠POC=∠EGP，PC=EP，∴△PCO≌△EPG（AAS），∴CO=PG=6、OP=EG=t，则OG=OP+PG=6+t，则点E的坐标为（t+6，t），（2）∵DA∥EG，∴△PAD∽△PGE，∴AD PAGE PG=，∴46AD tt-=，∴AD=16t（4﹣t），∴BD=AB﹣AD=6﹣16t（4﹣t）=16t2﹣23t+6，∵EG⊥x轴、FP⊥x轴，且EG=FP，∴四边形EGPF为矩形，∴EF⊥BD，EF=PG，∴S四边形BEDF=S△BDF+S△BDE=12×BD×EF=12×（16t2﹣23t+6）×6=12（t﹣2）2+16，∴当t=2时，S有最小值是16；（3）①假设∠FBD为直角，则点F在直线BC上，∵PF=OP＜AB，∴点F不可能在BC上，即∠FBD不可能为直角；②假设∠FDB为直角，则点D在EF上，∵点D在矩形的对角线PE上，∴点D 不可能在EF 上，即∠FDB 不可能为直角；③假设∠BFD 为直角且FB=FD ，则∠FBD=∠FDB=45°，如图2，作FH ⊥BD 于点H ，则FH=PA ，即4﹣t=6﹣t ，方程无解，∴假设不成立，即△BDF 不可能是等腰直角三角形．25． (1) 该车间应安排4天加工童装，6天加工成人装；(2) 36000元．【解析】【分析】（1）利用某车间计划用10天加工一批出口童装和成人装共360件，分别得出方程组成方程组求出即可；（2）利用（1）中所求，分别得出两种服装获利即可得出答案．【详解】解：（1）设该车间应安排x 天加工童装，y 天加工成人装，由题意得：104530360x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：46x y =⎧⎨=⎩， 答：该车间应安排4天加工童装，6天加工成人装；（2）∵45×4=180，30×6=180， ∴180×80+180×120=180×（80+120）=36000（元），答：该车间加工完这批服装后，共可获利36000元．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．26．（1）12=-m ，43y x =-；（2）4y x =-. 【解析】分析：（1）由已知求出A 、E 的坐标，即可得出m 的值和一次函数函数的解析式；（2）由34AD DE ==，，得到5AE =，由2AF AE -=，得到71AF BF ，==．设E 点坐标为()4a ，，则点F 坐标为()31a -，，代入反比例函数解析式即可得到结论．详解：（1）∵()6038B AD AB E -==，，，，为CD 的中点， ∴()()3468E A --，，，． ∵反比例函数图象过点()34E ，-， ∴3412m =-⨯=-．设图象经过A 、E 两点的一次函数表达式为：y kx b =+，∴6834k b k b -+=⎧⎨-+=⎩， 解得430k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩：， ∴43y x =-． （2）∵34AD DE ==，，∴5AE =．∵2AF AE -=，∴7AF =，∴1BF =．设E 点坐标为()4a ，，则点F 坐标为()31a -，．∵E F ，两点在m y x=图象上， ∴43a a =-，解得：1a =-， ∴()14E -，， ∴4m =-，∴4y x=-．点睛：本题考查了矩形的性质以及反比例函数一次函数的解析式．解题的关键是求出点A 、E 、F 的坐标．27．（1） ;(1) y ＝x 1﹣4x+1或y ＝x 1+6x+1．【解析】【分析】（1）解方程求出点A 的坐标，根据勾股定理计算即可；（1）设新抛物线对应的函数表达式为：y ＝x 1+bx+1，根据二次函数的性质求出点C′的坐标，根据题意求出直线CC′的解析式，代入计算即可．【详解】解：（1）由x 1﹣4＝0得，x 1＝﹣1，x 1＝1，∵点A 位于点B 的左侧，∴A （﹣1，0），∵直线y ＝x+m 经过点A ，∴﹣1+m ＝0，解得，m ＝1，∴点D 的坐标为（0，1），∴AD ；（1）设新抛物线对应的函数表达式为：y ＝x 1+bx+1，y ＝x 1+bx+1＝（x+2b ）1+1﹣24b ， 则点C′的坐标为（﹣2b ，1﹣24b ）， ∵CC′平行于直线AD ，且经过C （0，﹣4），∴直线CC′的解析式为：y ＝x ﹣4，∴1﹣24b ＝﹣2b ﹣4， 解得，b 1＝﹣4，b 1＝6，∴新抛物线对应的函数表达式为：y ＝x 1﹣4x+1或y ＝x 1+6x+1．【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的性质、抛物线与x 轴的交点的求法是解题的关键．。
2019年南京市玄武区中考数学一模试卷解析版
2019年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷解析版一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）A．0.25×10﹣5B．0.25×10﹣6C．2.5×10﹣6D．2.5×10﹣5【解答】解：0.0000025＝2.5×10﹣6，故选：C．2．（2分）下列计算正确的是（）A．a•a2＝a3B．a+a＝a2C．（a2）3＝a5D．a2（a+1）＝a3+1【解答】解：A、a•a2＝a3，故A选项正确；B、a+a＝2a，故B选项错误；C、（a2）3＝a6，故C选项错误；D、a2（a+1）＝a3+a2，故D选项错误．故选：A．3．（2分）数轴上点A、B表示的数分别是a、3，它们之间的距离可以表示为（）A．a+3B．a﹣3C．|a+3|D．|a﹣3|【解答】解：∵点A、B在数轴上分别表示有理数a、3，∴A、B两点之间的距离可以表示为：|a﹣3|．故选：D．4．（2分）下列水平放置的四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：因为圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，球的左视图是圆，正方体的左视图是正方形，所以，左视图是四边形的几何体是圆柱和正方体，故选：B．【点评】考查立体图形的左视图，关键是根据圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，正方体是正方形解答．5．（2分）一辆汽车从A地驶往B地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A 地到B地一共行驶了2.2h．设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，则可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，由普通公路占总路程的结合汽车从A地到B地一共行驶了2.2h，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，依题意，得：．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．6．（2分）如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接CF，DG，则＝（）A．B．C．D．【分析】连接AC和AF，证明△DAG∽△CAF可得的值．【解答】解：连接AC和AF，则，∵∠DAG＝45°﹣∠GAC，∠CAF＝45°﹣GAC，∴∠DAG＝∠CAF．∴△DAG∽△CAF．∴．故选：B．【点评】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造相似三角形．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1．【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，∴x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．8．（2分）方程﹣＝0的解为x＝3．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3x+3﹣4x＝0，解得：x＝3，经检验x＝3是分式方程的解．故答案为：x＝3【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．9．（2分）分解因式：2x2﹣8x+8＝2（x﹣2）2．【分析】先提公因式2，再用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：原式＝2（x2﹣4x+4）＝2（x﹣2）2．故答案为2（x﹣2）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，是基础知识要熟练掌握．10．（2分）若一个反比例函数的图象经过点（3，2），则该反比例函数图象也经过点（﹣1，﹣6）．【分析】设反比例函数解析式为y＝，则把（3，2）代入可求出k的值，从而得到反比例函数解析式，然后计算自变量为﹣1所对应的函数值即可．【解答】解：设反比例函数解析式为y＝，把（3，2）代入得k＝3×2＝6，所以反比例函数解析式为y＝，当x＝﹣1时，y＝＝﹣6．故答案为﹣6．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k ≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．11．（2分）如图，在△ABC中，点M、N分别在边AB、AC上，且MN∥BC．若AM＝2，BM＝5，MN＝2，则BC＝7．【分析】根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．【解答】解：∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴，∵AB＝AM+BM＝7，∴，∴BC＝7，故答案为：7．【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．12．（2分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝﹣1，则m ＝7．【分析】由根与系数的关系可得x1+x2＝6，x1x2＝m，代入x1+x2﹣x1x2＝﹣1，即可求出m的值．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+m＝0的两个根，∵x1+x2＝6，x1x2＝m，∵x1+x2﹣x1x2＝﹣1，∴6﹣m＝﹣1，解得m＝7．故答案为7．【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．13．（2分）如图，在⊙O中，OA是半径，弦BC⊥OA，D为上一点，连接OB、AD、CD，若∠OBC＝50°，则∠ADC＝20°．【分析】根据垂径定理可得＝，根据圆周角定理可得∠BOA＝2∠ADC，进而可得答案．【解答】解：如图，∵BC⊥OA，∠OBC＝50°，∴∠BOA＝40°∵OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，∴＝，∴∠BOA＝2∠ADC＝40°，∴∠ADC＝20°．故答案是：20．【点评】此题主要考查了圆周角定理和垂径定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．14．（2分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为6cm．【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．【解答】解：圆锥的底面周长＝2π×2＝4πcm，设圆锥的母线长为R，则：＝4π，解得R＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：．15．（2分）如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AG、HE交于点M，则∠GME＝67.5°．【分析】根据正求出多边形的内角和公式∠AHG，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠HAG，计算即可．【解答】解：∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠AHG＝（8﹣2）×180°÷8＝135°，AH＝HG，∠AHE＝90°，∴∠HAG＝（180°﹣135°）÷2＝22.5°，∴∠GME＝∠AMH＝90°﹣∠HAG＝67.5°，故答案为：67.5°，【点评】本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形的内角的求法是解题的关键．16．（2分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P、Q分别为边BC、AB上的两个点，若△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ＝或．【分析】分两种情形分别求解：①如图1中，当AQ＝PQ，∠QPB＝90°时，②当AQ ＝PQ，∠PQB＝90°时；根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴CD＝BD＝3，∴AD＝4，①如图1中，当AQ＝PQ，∠QPB＝90°时，设AQ＝PQ＝x，∵PQ∥AD，∴△BPQ∽△BDA，∴＝，∴＝，∴x＝，∴AQ＝；②当AQ＝PQ，∠PQB＝90°时，设AQ＝PQ＝y．∵△BQP∽△BDA，∴＝，∴＝，∴y＝．综上所述，满足条件的AQ的值为或．故答案为：或．【点评】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）（1）计算：（3.14﹣π）0+﹣1﹣×．（2）解不等式组：【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）分别求出每个不等式的解集，再根据口诀即可得出答案．【解答】解：（1）原式＝1+2﹣4＝﹣1．（2）由①得：x≤2，由②得：x＞1，∴不等式组的解集为1＜x≤2．【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤．18．（6分）先化简，再求值：，其中x＝﹣1．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式＝•＝x+1，当x＝﹣1时，原式＝﹣1+1＝．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．（9分）甲乙两人在相同条件下完成了10次射击训练，两人的成绩如图所示．根据以上信息，整理分析数据如下：平均成绩/环中位数/环方差/环2甲77 1.2乙77.5 5.4（1）完成表格；（2）根据训练成绩，你认为选派哪一名队员参赛更好？为什么？【分析】（1）依据平均数、中位数以及方差的计算公式，即可得到结果；（2）依据甲乙两人平均成绩一样，甲射击成绩的方差小于乙，即可得出甲的成绩更加稳定，所以选择甲去参赛．【解答】解：（1）甲的平均成绩为：（5+6×2+7×4+8×2+9）＝7（环），乙成绩的中位数为：＝7.5，乙成绩的方差为：[（2﹣7）2+（4﹣7）2+（6﹣7）2+（8﹣7）2+（7﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2+（9﹣7）2+（9﹣7）2+（10﹣7）2]＝5.4，故答案为：7；7.5；5.4；（2）我选择甲去参赛．因为甲乙两人平均成绩一样，甲射击成绩的方差小于乙，所以甲的成绩更加稳定，所以选择甲去参赛．【点评】本题考查方差的定义与意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．20．（7分）一只不透明的袋子中装有分别标注数字为1、2、3的三个小球，这些球除标注的数字外都相同．（1）搅匀后从中任意摸出一个球，标注的数字恰好为2的概率是；（2）搅匀后从中任意摸出一个球，记录下数字后放回袋中并搅匀，再从袋中任意摸出一个球，求两次数字的和大于3的概率．【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；（2）列举所有等可能结果，再根据概率公式计算可得．【解答】解：（1）搅匀后从中任意摸出一个球，标注的数字恰好为2的概率是，故答案为：；（2）所有可能出现的结果有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），共有9种，它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“两次数字的和大于3”（记为事件A）的结果有6种，所以P（A）＝＝．【点评】本题主要考查列表法与树状图法求概率，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．21．（8分）如图，在▱ABCD中，E、F为边BC上两点，BF＝CE，AE＝DF．（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）求证：四边形ABCD是矩形．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝DC．根据全等三角形的判定定理即可得到结论．（2）根据全等三角形的性质得到∠B＝∠C．根据平行四边形的性质得到AB∥CD．根据矩形的判定定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC．∵BF＝CE，∴BF﹣EF＝CE﹣EF，∴BE＝CF．∵在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SSS）；（2）证明：∵△ABE≌△DCF，∴∠B＝∠C．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴∠B+∠C＝180°．∴∠B＝∠C＝90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键．22．（8分）甲、乙两地之间有一条笔直的公路，快车和慢车分别从甲、乙两地同时出发，沿这条公路匀速相向而行，快车到达乙地后停止行驶，慢车到达甲地后停止行驶．已知快车速度为120km/h．下图为两车之间的距离y（km）与慢车行驶时间x（h）的部分函数图象．（1）甲、乙两地之间的距离是480km；（2）点P的坐标为（4，320），解释点P的实际意义．（3）根据题意，补全函数图象（标明必要的数据）．【分析】（1）观察图象，两车之间的距离与慢车的行驶时间之间的感受图象；（2）观察图象，根据慢车行驶2.4小时时，两车之间的距离为0，求出慢车的行驶的速度，再求出当x＝4时的路程；（3）根据两地之间的距离480km，画出图象即可．【解答】解：（1）从图象可以看出，两地之间的距离是480km；故答案为：480；（2）从图象中可以看出，慢车行驶2.4小时时，两车之间的距离为0，即相遇，∴慢车的速度为：480÷2.4﹣120＝200﹣120＝80，∴当x＝4时，快车已经到达乙地，此时两车之间的距离就是慢车行驶的路程，∴当x＝4时，两车之间的距离为：4×80＝320，∴点P的纵坐标为：320，实际意义为：两车出发了4小时后，相距320km，此时快车到达了乙地，故答案为：320；（3）慢车距离甲地还有480﹣320＝160km，需要用时：160÷80＝2（小时），∴2小时后到达甲地，∴图象如图所示．【点评】本题主要考查一次函数的应用，解决此题的关键是能根据慢车行驶2.4小时时，两车相遇，求出慢车的行驶速度．23．（7分）如图，为了测量建筑物CD的高度，小明在点E处分别测出建筑物AB、CD顶端的仰角∠AEB＝30°，∠CED＝45°，在点F处分别测出建筑物AB、CD顶端的仰角∠AFB＝45°，∠CFD＝70°．已知建筑物AB的高度为14m，求建筑物CD的高度（精确到0.1m）．（参考数据：tan70°≈2.75，≈1.41，≈1.73．）【分析】设CD＝x m．想办法构建方程即可解决问题．【解答】解：设CD＝x m．∵在Rt△BAE中，tan∠AEB＝，∴AE＝＝14．∵在Rt△BAF中，∠AFB＝45°，∴AF＝AB＝14，∴EF＝AE+AF＝14+14．∵在Rt△DCE中，∠CED＝45°，∴EC＝CD＝x．∵在Rt△DCF中，tan∠CFD＝，∴CF＝＝．∴x﹣＝14+14．∴x＝≈＝22×2.73＝60.06≈60.1 m．因此，建筑物CD的高度约为60.1 m．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．24．（8分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+2m﹣1（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点．（2）求证：不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数y＝﹣（x﹣1）2的图象上．（3）已知点A（a，﹣1）、B（a+2，﹣1），线段AB与函数y＝﹣（x﹣1）2的图象有公共点，则a的取值范围是﹣2≤a≤2．【分析】（1）计算判别式的值得到△≥0，从而根据判别式的意义得到结论；（2）利用配方法得到二次函数y＝x2﹣2mx+2m﹣1的顶点坐标为（m，﹣（m﹣1）2），然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断；（3）先计算出抛物线y＝﹣（x﹣1）2与直线y＝﹣1的交点的横坐标，然后结合图象得到a+2≥0且a≤2．【解答】（1）证明：∵△＝4m2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣8m+4＝4（m﹣1）2≥0，所以不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点；（2）证明：y＝x2﹣2mx+2m﹣1＝（x﹣m）2﹣（m﹣1）2，二次函数y＝x2﹣2mx+2m﹣1的顶点坐标为（m，﹣（m﹣1）2）当x＝m时，y＝﹣（x﹣1）2＝﹣（m﹣1）2，所以不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数y＝﹣（x﹣1）2的图象上；（3）当y＝﹣1时，y＝﹣（x﹣1）2＝﹣1，解得x1＝0，x2＝2，当a+2≥0且a≤2时，线段AB与函数y＝﹣（x﹣1）2的图象有公共点，所以a的范围为﹣2≤a≤2．故答案为﹣2≤a≤2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．25．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D（点D不与点A重合），交边BC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AD＝7，BE＝2．①求⊙O的半径；②连接OC交EF于点M，则OM＝．【分析】（1）连接OE．根据等腰三角形的性质得到∠OEB＝∠C，根据平行线的性质得到∠OEF+∠AFE＝180°．根据切线的判定定理即可得到结论；（2）①连接BD，AE，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠AEB＝90°，求得AE⊥BC．根据勾股定理即可得到结论；②根据勾股定理得到BD＝＝，CD＝1，根据相似三角形的性质得到EM＝，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OE．∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB．∴∠OEB＝∠C，∴OE∥AC．∴∠OEF+∠AFE＝180°．∵EF⊥AC于点F，∴∠EF A＝90°．∴∠OEF＝90°，∴OE⊥EF．∵OE⊥EF于点E，OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）①解：连接BD，AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∠AEB＝90°，∴AE⊥BC．∵在△ABC中，AB＝AC，∴CE＝BE＝2，∴BC＝2BE＝4，∵∠ADB+∠CDB＝180°，∴∠CDB＝90°．在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∴BD2＝AB2﹣AD2．在Rt△CDB中，∠CDB＝90°，∴BD2＝BC2﹣CD2．∴AB2﹣AD2＝BC2﹣CD2．设CD＝x，则AB＝AC＝7+x．∴（7+x）2﹣72＝42﹣x2，∴x＝1．∴AB＝7+x＝8．∴r＝AB＝4．②解：∵AD＝7，AB＝AC＝8，∴BD＝＝，CD＝1，∵BE＝CE＝2，EF∥BD，∴EF＝BD＝，CF＝CD＝，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴∠BAE＝∠CAE，∴＝，∴OE⊥BD，∴OE⊥EF，∴OE∥CF，∴△CFM∽△OEM，∴＝，∴＝，∴EM＝，∴OM＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．26．（9分）某企业销售某商品，以“线上”与“线下”相结合的方式一共销售了100件．设该商品线下的销售量为x（10≤x≤90）件，线下销售的每件利润为y1元，线上销售的每件利润为y2元．下图中折线ABC、线段DE分别表示y1、y2与x之间的函数关系．（1）当x＝40时，线上的销售量为60件；（2）求线段BC所表示的y1与x之间的函数表达式；（3）当线下的销售量为多少时，售完这100件商品所获得的总利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）根据“线上”与“线下”相结合的方式一共销售了100件．可求得线上的销售量；（2）用待定系数法解答便可；（3）根据已知条件求出线上与线下的利润与x的函数关系，进而得总利润与x的函数关系式，再根据函数的性质和求最值的方法继续解答便可．【解答】解：（1）100﹣40＝60（件），故答案为：60；（2）设y1＝kx+b（k、b为常数，k≠0），∵图象过点B（70，125）、C（90，105），∴解得：∴y1＝﹣x+195（70≤x≤90）．（3）设总利润为W元．因为线下的销售量为x件，所以线上的销售量为（100﹣x）件；根据图象知，线上的每件利润y2为100元．当10≤x≤70时，设y1＝k1x+b1（k1、b1为常数，k1≠0），∵图象过点A（10，155）、B（70，125），∴解得：，∴y1＝﹣x+160（10≤x≤70）．∴W1＝﹣x2+160x+100（100﹣x）＝﹣x2+60x+10000＝﹣（x﹣60）2+11800．∴当x＝60时，此时W1的最大值为11800．当70≤x≤90时，y1＝﹣x+195，∴W2＝﹣x2+195x+100（100﹣x）＝﹣x2+95x+10000＝﹣（x﹣47.5）2+12256.25．∵a＝﹣1＜0，∴当70≤x≤90时，W2随x的增大而减小，∴当x＝70时，此时W2的最大值为11750，综上，当x＝60时，W的最大值为11800．答：当线下的销售量为60件时，总利润最大，最大值为11800元．【点评】本题是一次函数与二次比函数的应用的综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数函数的解析式，二次函数的实际应用，求二次函数的最值关键是熟记利润、成本、售价的关系．27．（9分）如图，一张半径为3cm的圆形纸片，点O为圆心，将该圆形纸片沿直线l折叠，直线l交⊙O于A、B两点．（1）若折叠后的圆弧恰好经过点O，利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线l （不写作法，保留作图痕迹），并求此时线段AB的长度．（2）已知M是⊙O内一点，OM＝1cm．①若折叠后的圆弧经过点M，则线段AB长度的取值范围是2≤AB≤4．②若折叠后的圆弧与直线OM相切于点M，则线段AB的长度为cm．【分析】（1）连接AO，直线l垂直平分PO．OH＝PO＝，在Rt△AHO中即可求解；（2）分两种情况求解；（3）过O作弦AB的垂直与圆交于点D，与弧AB交于点C，与AB交于点E，过M作OM的垂线，两条垂线的交点为O'，连接AO，得到OO'垂直平分AB，O'为弧ABM所在圆的圆心，OO'＝，在Rt△ADO中即可求解；【解答】解：（1）如图，直线l为所求．连接AO，∵点P与点O关于直线l对称，∴直线l垂直平分PO．∴OH＝PO＝．在Rt△AHO中，∵AH2+HO2＝AO2，∴AH＝＝．在⊙O中，∵PO⊥AB，PO为半径，∴AB＝2AH＝3；（2）如图1：∵弧AB翻折与M重合，OM＝1，∴DM＝1，在Rt△ADO中，AO＝3，DO＝2，∴AD＝，∴AB＝2；如图2：∵弧AB翻折与M重合，OM＝1，∴MD＝2，DO＝1，在Rt△ADO中，AO＝3，∴AD＝2，∴AB＝4；∴2≤AB≤4；故答案为2≤AB≤4；（3）如图3：过O作弦AB的垂线与圆O交于点C，与AB交于点D，连接OM，过点M作OM的垂线，两条垂线的交点为O'，连接AO，∴OO'垂直平分AB，O'为弧ABM所在圆的圆心，∵折叠后的圆弧与直线OM相切于点M，∴MO'＝3，CO＝EO'，在Rt△OO'M中，OM＝1，∴OO'＝，在Rt△ADO中，DO＝，AO＝3，∴AD＝，∴AB＝；故答案为；【点评】本题考查圆的翻折，垂径定理，圆的切线，解直角三角形；熟练用垂径定理，在直角三角形中求边，分类讨论折叠的情况是解题的关键。
2019年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷及答案详解
2019年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）
A．0.25×10﹣5B．0.25×10﹣6C．2.5×10﹣6D．2.5×10﹣5
2．（2分）下列计算正确的是（）
A．a•a2＝a3B．a+a＝a2
C．（a2）3＝a5D．a2（a+1）＝a3+1
3．（2分）数轴上点A、B表示的数分别是a、3，它们之间的距离可以表示为（）A．a+3B．a﹣3C．|a+3|D．|a﹣3|
4．（2分）下列水平放置的四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（2分）一辆汽车从A地驶往B 地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A 地到B地一共行驶了2.2h．设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，则可列方程组为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．（2分）如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接CF，DG，则＝（）
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2019-2020南京玄武区外国语学校中考数学一模试卷(带答案)
2019-2020南京玄武区外国语学校中考数学一模试卷(带答案)一、选择题1．如图所示，已知A （12，y 1），B(2,y 2)为反比例函数1y x =图像上的两点，动点P(x ，0)在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是（ ）A ．(12，0) B ．(1,0) C ．(32,0) D ．(52,0) 2．在下面的四个几何体中，左视图与主视图不相同的几何体是( )A ．B ．C ．D ．3．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的( ) A ．众数 B ．方差C ．平均数D ．中位数4．函数3x y +=中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥－3 B ．x ≥－3且1x ≠ C ．1x ≠D ．3x ≠-且1x ≠ 5．若一组数据2，3，，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为( )A ．2B ．3C ．5D ．76．如图，长宽高分别为2，1，1的长方体木块上有一只小虫从顶点A 出发沿着长方体的外表面爬到顶点B ，则它爬行的最短路程是（ ）A 10B 5C ．22D ．37．已知命题A ：“若a 2a a =”．在下列选项中，可以作为“命题A 是假命题”的反例的是（ ） A ．a ＝1B ．a ＝0C ．a ＝﹣1﹣k （k 为实数）D ．a ＝﹣1﹣k 2（k 为实数） 8．如果关于x 的分式方程11222ax x x-+=--有整数解，且关于x 的不等式组0322(1)x ax x -⎧>⎪⎨⎪+<-⎩的解集为x ＞4，那么符合条件的所有整数a 的值之和是（ ） A ．7B ．8C ．4D ．59．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（ ） A ．18B ．13C ．24D ．0.310．若关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x +3=0有实数根，则k 的非负整数值是（ ） A ．1B ．0，1C ．1，2D ．1，2，311．某商店销售富硒农产品，今年1月开始盈利，2月份盈利240000元，4月份盈利290400元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同，则每月盈利的平均增长率是（ ） A ．8%B ．9%C ．10%D ．11%12．今年我市工业试验区投资50760万元开发了多个项目，今后还将投资106960万元开发多个新项目，每个新项目平均投资比今年每个项目平均投资多500万元，并且新增项目数量比今年多20个．假设今年每个项目平均投资是x 万元，那么下列方程符合题意的是（ ） A ．1069605076020500x x -=+B ．5076010696020500x x -=+ C ．1069605076050020x x-=+D ．5076010696050020x x -=+ 二、填空题13．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为_____.14．如图：在△ABC 中，AB=13，BC=12，点D ，E 分别是AB ，BC 的中点，连接DE ，CD ，如果DE=2.5，那么△ACD 的周长是_____．15．某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是______元.16．不等式组0125x a x x ->⎧⎨->-⎩有3个整数解，则a 的取值范围是_____．17．如图，边长为2的正方形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴正半轴上，反比例函数ky x=在第一象限的图象经过点D ，交BC 于E ，若点E 是BC 的中点，则OD 的长为_____．18．使分式的值为0，这时x=_____．19．对于有理数a、b，定义一种新运算，规定a☆b＝a2﹣|b|，则2☆（﹣3）＝_____．20．若关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k－1=0有两个实数根，则k的取值范围是三、解答题21．垃圾分类有利于对垃圾进行分流处理，能有效提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用，为了了解同学们对垃圾分类相关知识的掌握情况，增强同学们的环保意识，某校对本校甲、乙两班各60名学生进行了垃极分类相关知识的测试，并分别随机抽取了15份成绩，整理分析过程如下，请补充完整（收集数据）甲班15名学生测试成绩统计如下：（满分100分）68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，78，85，69，76，80乙班15名学生测试成绩统计如下：（满分100分）86，89，83，76，73，78，67，80，80，79，80，84，82，80，83（整理数据）按如下分数段整理、描述这两组样本数据组别班级65.6～70.570.5～75.575.5～80.580.5～85.585.5～90.590.5～95.5甲班224511乙班11a b20在表中，a＝，b＝．（分析数据）（1）两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：班级平均数众数中位数方差甲班80x8047.6乙班8080y26.2在表中：x＝，y＝．（2）若规定得分在80分及以上（含80分）为合格，请估计乙班60名学生中垃圾分类相关知识合格的学生有 人（3）你认为哪个班的学生掌握垃圾分类相关知识的情况较好，说明理由．22．某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？23．小慧和小聪沿图①中的景区公路游览．小慧乘坐车速为30 km/h 的电动汽车，早上7：00从宾馆出发，游玩后中午12：00回到宾馆．小聪骑车从飞瀑出发前往宾馆，速度为20 km/h ，途中遇见小慧时，小慧恰好游完一景点后乘车前往下一景点．上午10：00小聪到达宾馆．图②中的图象分别表示两人离宾馆的路程s(km)与时间t(h)的函数关系．试结合图中信息回答：(1)小聪上午几点钟从飞瀑出发？(2)试求线段AB ，GH 的交点B 的坐标，并说明它的实际意义；(3)如果小聪到达宾馆后，立即以30 km/h 的速度按原路返回，那么返回途中他几点钟遇见小慧？24．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，DE ⊥BC 于点E ．（1）试判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）过点D 作DF ⊥AB 于点F ，若BE=33，DF=3，求图中阴影部分的面积．25．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC 是10米，坡面AC 的倾斜角45CAB ∠=︒，在距A 点10米处有一建筑物HQ .为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC 的倾斜角30BDC ∠=︒，若新坡面下D 处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）. 2 1.414≈3 1.732≈）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】求出AB的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP-BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可．【详解】∵把A（12，y1），B（2，y2）代入反比例函数y=1x得：y1=2，y2=12，∴A（12，2），B（2，12），∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP-BP|＜AB，∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，即此时线段AP与线段BP之差达到最大，设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入得：122122k bk b⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩＝＝，解得：k=-1，b=52，∴直线AB的解析式是y=-x+52，当y=0时，x=52，即P（52，0），故选D．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的关键是确定P点的位置，题目比较好，但有一定的难度．2．B解析：B【解析】【分析】由几何体的三视图知识可知，主视图、左视图是分别从物体正面、左面看所得到的图形，细心观察即可求解.【详解】A、正方体的左视图与主视图都是正方形，故A选项不合题意；B、长方体的左视图与主视图都是矩形，但是矩形的长宽不一样，故B选项与题意相符；C、球的左视图与主视图都是圆，故C选项不合题意；D、圆锥左视图与主视图都是等腰三角形，故D选项不合题意；故选B．【点睛】本题主要考查了几何题的三视图，解题关键是能正确画出几何体的三视图.3．D解析：D【解析】【分析】根据中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）的意义，9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【详解】由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少.故本题选：D.【点睛】本题考查了统计量的选择，熟练掌握众数，方差，平均数，中位数的概念是解题的关键.4．B解析：B【解析】分析：本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，就可以求解．≥0，∴x+3≥0，∴x≥-3，∵x-1≠0，∴x≠1，∴自变量x的取值范围是：x≥-3且x≠1．故选B．5．C解析：C【解析】试题解析：∵这组数据的众数为7，∴x=7，则这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，3，5，7，7，中位数为：5．故选C．考点：众数；中位数.6．C解析：C【解析】【分析】蚂蚁有两种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短路程．【详解】如图所示，路径一：AB==路径二：AB==∵故选C．【点睛】本题考查了立体图形中的最短路线问题；通常应把立体几何中的最短路线问题转化为平面几何中的求两点间距离的问题；注意长方体展开图形应分情况进行探讨．7．D解析：D 【解析】 【分析】2a a =可确定a 的范围，排除掉在范围内的选项即可. 【详解】解：当a ≥02a a =， 当a ＜02a a =-，∵a ＝1＞0，故选项A 不符合题意， ∵a ＝0，故选项B 不符合题意，∵a ＝﹣1﹣k ，当k ＜﹣1时，a ＞0，故选项C 不符合题意， ∵a ＝﹣1﹣k 2（k 为实数）＜0，故选项D 符合题意， 故选：D ． 【点睛】200a a a a aa ≥⎧==⎨-≤⎩，正确理解该性质是解题的关键.8．C解析：C 【解析】 【分析】解关于x 的不等式组0322(1)x ax x -⎧>⎪⎨⎪+<-⎩，结合解集为x ＞4，确定a 的范围，再由分式方程11222ax x x-+=--有整数解，且a 为整数，即可确定符合条件的所有整数a 的值，最后求出所有符合条件的值之和即可． 【详解】由分式方程11222axx x-+=--可得1﹣ax+2（x﹣2）＝﹣1解得x＝22a -，∵关于x的分式方程11222axx x-+=--有整数解，且a为整数∴a＝0、3、4关于x的不等式组322(1)x ax x-⎧>⎪⎨⎪+<-⎩整理得4x ax>⎧⎨>⎩∵不等式组322(1)x ax x-⎧>⎪⎨⎪+<-⎩的解集为x＞4∴a≤4于是符合条件的所有整数a的值之和为：0+3+4＝7故选C．【点睛】本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，然后在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键．9．B解析：B【解析】【分析】【详解】ABC=D故选B．10．A解析：A【解析】【分析】【详解】由题意得，根的判别式为△=(-4)2-4×3k，由方程有实数根，得(-4)2-4×3k≥0，解得k≤43，由于一元二次方程的二次项系数不为零，所以k≠0，所以k的取值范围为k≤43且k≠0，即k的非负整数值为1，故选A．11．C解析：C【解析】【分析】设月平均增长率为x，根据等量关系：2月份盈利额×（1+增长率）2=4月份的盈利额列出方程求解即可．【详解】设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据题意得：240000（1+x）2=290400，解得：x1=0.1=10%，x2=-0.21（舍去），故选C.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x）2=后来的量，其中增长用+，减少用-．12．A解析：A【解析】试题分析：∵今后项目的数量﹣今年的数量=20，∴1069605076020500x x-=+．故选A．考点：由实际问题抽象出分式方程．二、填空题13．【解析】根据弧长公式可得：=故答案为解析：2π3【解析】根据弧长公式可得：602180π⨯⨯=23π，故答案为23π.14．18【解析】【分析】根据三角形中位线定理得到AC=2DE=5AC∥DE根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD根据三角形的周长公式计算即可【详解】∵DE分别是A解析：18【解析】【分析】根据三角形中位线定理得到AC=2DE=5，AC∥DE，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】∵D，E分别是AB，BC的中点，∴AC=2DE=5，AC∥DE，AC2+BC2=52+122=169，AB2=132=169，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∵AC∥DE，∴∠DEB=90°，又∵E是BC的中点，∴直线DE是线段BC的垂直平分线，∴DC=BD，∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18，故答案为18．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．15．2000【解析】【分析】设这种商品的进价是x元根据提价之后打八折售价为2240元列方程解答即可【详解】设这种商品的进价是x元由题意得(1+40)x×08＝2240解得：x＝2000故答案为：2000解析：2000，【解析】【分析】设这种商品的进价是x元，根据提价之后打八折，售价为2240元，列方程解答即可.【详解】设这种商品的进价是x元，由题意得，(1+40%)x×0.8＝2240，解得：x＝2000，故答案为：2000.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用——销售问题，弄清题意，熟练掌握标价、折扣、实际售价间的关系是解题的关键.16．﹣2≤a＜﹣1【解析】【分析】先解不等式组确定不等式组的解集（利用含a的式子表示）根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解根据解的情况可以得到关于a 的不等式从而求出a 的范围【详解】解不等式x ﹣a ＞0得解析：﹣2≤a ＜﹣1．【解析】【分析】先解不等式组确定不等式组的解集（利用含a 的式子表示），根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a 的不等式，从而求出a 的范围．【详解】解不等式x ﹣a ＞0，得：x ＞a ，解不等式1﹣x ＞2x ﹣5，得：x ＜2，∵不等式组有3个整数解，∴不等式组的整数解为﹣1、 0、1，则﹣2≤a ＜﹣1，故答案为：﹣2≤a ＜﹣1．【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．17．【解析】【分析】设D （x2）则E （x+21）由反比例函数经过点DE 列出关于x 的方程求得x 的值即可得出答案【详解】解：设D （x2）则E （x+21）∵反比例函数在第一象限的图象经过点D 点E∴2x＝x+2 解析：12x x 【解析】【分析】设D （x ，2）则E （x+2，1），由反比例函数经过点D 、E 列出关于x 的方程，求得x 的值即可得出答案．【详解】解：设D （x ，2）则E （x+2，1）， ∵反比例函数k y x=在第一象限的图象经过点D 、点E ， ∴2x ＝x+2，解得x ＝2，∴D （2，2），∴OA ＝AD ＝2，∴OD ==故答案为:【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点D 、E 的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数k．18．1【解析】试题分析：根据题意可知这是分式方程x2-1x+1＝0然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0解之得x=1经检验可知x=1是分式方程的解答案为1考点：分式方程的解法解析：1【解析】试题分析：根据题意可知这是分式方程，＝0，然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0，解之得x=1，经检验可知x=1是分式方程的解.答案为1.考点：分式方程的解法19．1【解析】解：2☆（﹣3）=22﹣|﹣3|=4﹣3=1故答案为1点睛：此题考查有理数的混合运算掌握规定的运算方法是解决问题的关键解析：1【解析】解：2☆（﹣3）=22﹣|﹣3|=4﹣3=1．故答案为1．点睛：此题考查有理数的混合运算，掌握规定的运算方法是解决问题的关键．20．k≥-13且k≠0【解析】试题解析：∵a=kb=2（k+1）c=k-1∴△=4（k+1）2-4×k×（k-1）=3k+1≥0解得：k≥-13∵原方程是一元二次方程∴k≠0考点：根的判别式解析：k≥，且k≠0【解析】试题解析：∵a=k，b=2（k+1），c=k-1，∴△=4（k+1）2-4×k×（k-1）=3k+1≥0，解得：k≥-，∵原方程是一元二次方程，∴k≠0．考点：根的判别式．三、解答题21．【整理数据】：7，4；【分析数据】（1）85，80；（2）40；（3）乙班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好，见解析.【解析】【分析】由收集的数据即可得；（1）根据众数和中位数的定义求解可得；（2）用总人数乘以乙班样本中合格人数所占比例可得；（3）甲、乙两班的方差判定即可．【详解】解：乙班75.5～80.5分数段的学生数为7，80.5～85.5分数段的学生数为4，故a＝7，b＝4，故答案为：7，4；（1）68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，78，85，69，76，80，众数是x＝85，67，73，76，78，79，80，80，80，80，82，83，83，84，86，89，中位数是y＝80，故答案为：85，80；（2）60×1015＝40（人），即合格的学生有40人，故答案为：40；（3）乙班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好，∵甲班的方差＞乙班的方差，∴乙班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好．【点睛】本题考查了频数分布直方图，众数，中位数，正确的理解题意是解题的关键．22．银杏树的单价为120元，则玉兰树的单价为180元．【解析】试题分析：根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．试题解析：解：设银杏树的单价为x元，则玉兰树的单价为1.5x元，根据题意得：1200090001501.5x x+=解得：x=120，经检验x=120是原分式方程的解，∴1.5x=180．答：银杏树的单价为120元，则玉兰树的单价为180元．23．（1）小聪上午7：30从飞瀑出发；（2）点B的实际意义是当小慧出发1.5 h时，小慧与小聪相遇，且离宾馆的路程为30 km.；（3）小聪到达宾馆后，立即以30 km/h的速度按原路返回，那么返回途中他11：00遇见小慧．【解析】【分析】（1）由时间=路程÷速度，可得小聪骑车从飞瀑出发到宾馆所用时间为：50÷20=2.5（小时），从10点往前推2.5小时，即可解答；（2）先求GH的解析式，当s=30时，求出t的值，即可确定点B的坐标；（3）根据50÷30=53（小时）=1小时40分钟，确定当小慧在D点时，对应的时间点是10：20，而小聪到达宾馆返回的时间是10：00，设小聪返回x小时后两人相遇，根据题意得：30x+30（x ﹣）=50，解得：x=1，10+1=11点，即可解答．【详解】（1）小聪骑车从飞瀑出发到宾馆所用时间为：50÷20=2.5（小时）， ∵上午10：00小聪到达宾馆，∴小聪上午7点30分从飞瀑出发．（2）3﹣2.5=0.5，∴点G 的坐标为（0.5，50），设GH 的解析式为s kt b =+，把G （0.5，50），H （3，0）代入得； 150{230k b k b +=+=，解得：20{60k b =-=， ∴s=﹣20t+60，当s=30时，t=1.5，∴B 点的坐标为（1.5，30），点B 的实际意义是当小慧出发1.5小时时，小慧与小聪相遇，且离宾馆的路程为30km ；（3）50÷30=53（小时）=1小时40分钟，12﹣53=1103， ∴当小慧在D 点时，对应的时间点是10：20，而小聪到达宾馆返回的时间是10：00，设小聪返回x 小时后两人相遇，根据题意得：30x+30（x ﹣13）=50，解得：x=1， 10+1=11=11点，∴小聪到达宾馆后，立即以30km/h 的速度按原路返回，那么返回途中他11点遇见小慧．24．（1）DE 与⊙O 相切，理由见解析；（2）阴影部分的面积为2π﹣332． 【解析】【分析】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°，进而得出答案；（2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案．【详解】（1）DE 与⊙O 相切，理由：连接DO ，∵DO=BO，∴∠ODB=∠OBD，∵∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，∴∠EBD=∠DBO，∴∠EBD=∠BDO，∴DO∥BE，∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠EDO=90°，∴DE 与⊙O 相切；（2）∵∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，DE⊥BE，DF⊥AB，∴DE=DF=3，=6， ∵sin∠DBF=31=62， ∴∠DBA=30°，∴∠DOF=60°，∴sin60°=3DF DO DO ==则1322π-= 【点睛】此题主要考查了切线的判定方法以及扇形面积求法等知识，正确得出DO 的长是解题关键．25．该建筑物需要拆除.【解析】分析：根据正切的定义分别求出AB 、DB 的长，结合图形求出DH ，比较即可． 详解：由题意得，10AH =米，10BC =米，在Rt ABC ∆中，45CAB ∠=︒，∴10AB BC ==，在Rt DBC ∆中，30CDB ∠=︒，∴tan BC DB CDB==∠∴()DH AH AD AH DB AB =-=-- 101020 2.7=-=-≈（米）， ∵2.7米3<米，∴该建筑物需要拆除.点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．。