初等矩阵讲解
合集下载
高等代数第二版课件§4[1].6_初等矩阵
![高等代数第二版课件§4[1].6_初等矩阵](https://img.taocdn.com/s3/m/f67854203169a4517723a336.png)
矩阵等价的有关结论
1) 定理5 任一 s n 矩阵 A 都与一形式为
0 1 0 0 0 0 0 0 0 Er 0 0 0 0 0
1 0 0
的矩阵等价，称之为 A 的标准形, 且主对角线上1 的个数 r 等于R(A)(1的个数可以是零).
三、利用初等变换求逆阵
原理: 当 A 0时，由 A P1 P2 Pl，有
Pl 1 Pl 1 P11 A E , 及 1 Pl 1 Pl 1 P11 A E 1 Pl 1 Pl 1 P11 E A1 , 1
Pl 1 Pl 1 P11 A Pl 1 Pl 1 P11 E 1 1
一、初等矩阵 二、等价矩阵 三、用初等变换求矩阵的逆
一、初等矩阵
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的
矩阵，称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵:
1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
1、 对调两行或两列
E A 1
即对 n 2n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1 .
1 例１ 设 A 2 3 1 解 A E 2 3
2 3 2 1 , 求 A 1 . 4 3 2 3 1 0 0 2 1 0 1 0 4 3 0 0 1
推论1 两个 s n 矩阵A、B等价 存在 s 级可逆矩阵P及 n 级可逆矩阵Q, 使 B PAQ.
由此得定理5的另一种叙述： 对任一 s n 矩阵A，存在可逆矩阵 Pss , Qnn , 使
4.6初等矩阵
●初等矩阵的定义 自行列三阶单位矩阵得到的三类初等矩阵！
●初等矩阵的性质
1、初等矩阵是可逆的,并且其逆矩阵也是同一类型的 初等矩阵。
P(i, j)1 P(i, j)
Pi
(k )1
Pi
(
1 k
)
P(i, j(k))-1 P(i, j(k))
2.有限个初等矩阵的乘积仍然可逆.
●初等矩阵的作用（P188引理）
1 1
2 4
1 0
0 1
0 0
r3 r2
r1 r2
1 0
1 1
4 0 1 0 2 1 0 0
1 1 0 0 0 1
0 2 4 0 1 0
r1 r2
r3 2r2
1 0
0 1
2 2
1 1
1 0
0 0 从而知，A不可逆。
0 0 0 2 1 1
思考题
将矩阵A
1 2
0 0
01表示成有限个初等方阵
0 1 0
的乘积.
思考题解答
1 A 2
0 0
0 1
0 1 0
解 A可以看成是由3阶单位矩阵 I 经4次初等变换,
r23, c31(2), r3(1), c3 1
0 0 0 2 1 1
此处不可能化成单位矩阵
1 2 3
(1)
A
2
2
1
3 4 3
1 2 0
(2)
B
1
2
1
0 0 2
3 6 1
0
3
4
2
3.5-1初等矩阵的定义与性质
初等矩阵的定义与性质
一、初等矩阵的定义
定义 n 阶单位阵E 经过一次初等变换得
到的矩阵称为n 阶初等矩阵.
例如
1
0 0
0 1 0
0
0 1
r1
2 r2
1
0 0
2 1 0
0
0 1
r3
r2
1
0 0
0 0 1
0
1 0
三种初等变换对应着三种初等矩阵
一、初等矩阵的定义
En ri rj En i, j
1
En
i,
j(k
)
1
k
第i行
1
第j行
1
第i列 第j列
二、初等矩阵的性质
En i, j 1
En
i,
-1
j
En
i,
j
En i k k
En i k
-1
En
i
1 k
En i, j k 1 En i, j k -1 En i, j k
二、初等矩阵的性质
2 3
2 1
3 4
B-1互换1,2两列
例 2 计算
0 0 1 2014 a11 a12
0 1
1 0
0 0
a21
a22
a31 a32
解
0 0 1
0
1
0
E3
1,3 ,
1 0 0
a13 0 0 1 2015
a23 a33
0 1
1 0
0 0
E3 1,32 E
2014
定理1 （初等变换与初等矩阵的关系）
E Amn ri rj m i, j Amn
Amn ri k Em i k Amn Amn r i kr j Em i, j k Amn
一、初等矩阵的定义
定义 n 阶单位阵E 经过一次初等变换得
到的矩阵称为n 阶初等矩阵.
例如
1
0 0
0 1 0
0
0 1
r1
2 r2
1
0 0
2 1 0
0
0 1
r3
r2
1
0 0
0 0 1
0
1 0
三种初等变换对应着三种初等矩阵
一、初等矩阵的定义
En ri rj En i, j
1
En
i,
j(k
)
1
k
第i行
1
第j行
1
第i列 第j列
二、初等矩阵的性质
En i, j 1
En
i,
-1
j
En
i,
j
En i k k
En i k
-1
En
i
1 k
En i, j k 1 En i, j k -1 En i, j k
二、初等矩阵的性质
2 3
2 1
3 4
B-1互换1,2两列
例 2 计算
0 0 1 2014 a11 a12
0 1
1 0
0 0
a21
a22
a31 a32
解
0 0 1
0
1
0
E3
1,3 ,
1 0 0
a13 0 0 1 2015
a23 a33
0 1
1 0
0 0
E3 1,32 E
2014
定理1 （初等变换与初等矩阵的关系）
E Amn ri rj m i, j Amn
Amn ri k Em i k Amn Amn r i kr j Em i, j k Amn
初等矩阵
1.对调 两行或两列
对调 E中第i，j两行，即
对换矩阵
ri rj , 得初等矩阵
1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
r2 r3
2.以数k≠0乘某行或某列
a11 a21 a 31
a13 a23 a33
a12 a22 a32
定理1 设 A 是一个 m n 矩阵，对 A 施行一 次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 行 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于 左 列 在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵. 右
例1 计算下列矩阵与初等矩阵的乘积
1 0 0 a11 (1) 0 k 0 a21 0 0 1 a 31
1 0 k a11 (2) 0 1 0 a21 0 0 1 a 31
a12 a22 a32
1 2 3 0 1 2 0 0 0
用初等列变换将其化为标准形
1 2 3 1 2 0 1 0 3 1 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11 ka21 a 31
a12 ka22 a32
a13 ka23 a33
行 变 换
1 0 k a11 (2) 0 1 0 a21 0 0 1 a 31
线性代数§3.2初等矩阵
定理2: 方阵A为可逆的充分必要条件是存在有限 个初等矩阵P1, P2,· · · , Pl , 使A=P1P2 · · · Pl . 证: 充分性. 由于A = P1P2· · · Pl , 且初等矩阵P1, P2, · · · , Pl 为可逆的, 有限个可逆矩阵的乘积仍是可逆的, 故方阵A可逆. 必要性.设矩阵A为可逆的, 且A的标准形为F, 则存 在有限个初等矩阵P1, P2, · · · , Pl 使 P1P2· · · Ps F Ps+1· · · Pl =A. 由于A可逆, 且P1, P2, · · · , Pl 也可逆, 故A的标准形F 也必 可逆, 设 Er O F O O nn 假若 r < n, 则| F | = 0, 这与F 可逆矛盾. 故有F =E. 证毕 A = P1P2· · · Pl , 从而,
由以上的证明可得: 可逆矩阵的标准形就是E, 实 际上, 可逆矩阵的行最简形也是E. 推论1: 方阵A可逆的充分必要条件是AE. 推论2: mn矩阵A B的充分必要条件是存在m阶 可逆方阵P及n阶可逆方阵Q, 使 PAQ = B. 利用初等变换求逆阵的方法: 当| A | 0时, 则由 A=P1P2· · · Pl , 得 1 P 1 A E , 及 P 1 P 1 P 1 E A1 . Pl1 Pl l l 1 1 1 1 对n2n矩阵(A E)分块为(A|E), 则 1 1 Pl1 Pl P 1 1 A | E 1 1 1 1 1 1 E | A Pl1 Pl P A | P P P E 1 1 l l 1 1 即, 对n2n矩阵(A|E)施行初等行变换, 当把A变成E的 同时, 原来的E就变成了A-1.
例2: 求矩阵X, 使AX=B, 其中 1 2 3 2 5 A 2 2 1 , B 3 1 . 3 4 3 4 3 解: 若A可逆, 则 X=A-1B. 5 1 2 3 2 5 r –2r 1 2 3 2 ( A | B) 2 2 1 3 1 2 1 0 2 5 1 9 3 4 3 4 3 r3–3r1 0 2 6 2 12 1 0 2 1 4 r –2r 1 0 0 3 2 r1+r2 0 2 5 1 9 1 3 0 2 0 4 6 r3–r2 r2–5r3 0 0 1 1 3 0 0 1 1 3 3 2 3 2 r2(–2) 1 0 0 0 1 0 2 3 . 2 3 . 所以 X r3(–1) 1 3 0 0 1 1 3
初等矩阵专题知识
求 A1
解 对分块矩阵（A E）作行初等变换
0 1 2 1 0 0 1 1 4 0 1 0
(A
E)
1
1
4
0
1
0
0
1
2 1 0 0
2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1
1 1 4 0 1 0 1 0 2 1 1 0
0
1
2
1
0
0
0
1
2
1
0
0
0 3 8 0 2 1 0 0 2 3 2 1
Qm ，
Pm P2P1A E, 且 Pm P2P1E A1
将上面两式合起来，得
Pm P2P1(A E) (E A1)
上式表白用一系列旳行初等变换把A化成单位矩阵，
用这些初等变换作用于单位矩阵，就能够得到 A1．
这么我们得到了一种用行初等变换求逆矩阵旳措施.
例1、设
0 1 2
A
1
1
4
,
2 1 0
注：1）矩阵旳等价关系具有：反射性、对称性、传递性； 2）等价矩阵旳秩相等．
由定理5.1立得 命题5.2 设A，B是同型矩阵，则A，B等价旳充要条件
是：存在初等矩阵 P1, P2, , Ps ,Q1,Q2, ,Qt ，使
B P1P2 Ps AQ1Q2 Qt .
与A等价旳矩阵有许许多多，那么能否挑出一种简朴矩 阵，把它作为A旳代表呢？
2、用非零数c乘E旳第i 行，得到初等矩阵
1
p(i(c))
c
i
1
称为第二类初等矩阵（又称倍法矩阵）.
注 倍法矩阵旳特点是：(i, i)元＝c ；其他元素与单位
矩阵相同.
初等矩阵
1 0
0 P1
1
1 0 0 1 0 0 1 0 0
A 0
1
1 0
1
1
0
1
0
1
1
0
r3r1
0
1
0
r2r3
0
1
1
1
0
0 1
0
0 I
r3r2 0 0 1
1 0 0
E3 0
1
0
0 0 1
1
0
0
1 0 0
P2 0 0 1 P3 0 1 0
0 1 0
0
1
1
可以验证 P3P2 P1A I
0
1 0 a11 a12
0 0 a21 a22
0
1
a
31
a32
1 0 0 0 0 1
a13
a23
a
33
a21
a22
a23
a11 a12 a13
a31 a32 a33
a11
a12
a13
0
1 0
AE(1,2) a21 a22 a23 1 0 0
a31 a32 a33 0 0 1
初等矩阵
定义：对单位阵进行一次初等变换后得到的
矩阵称为初等矩阵。
三种初等行变换得到的初等矩阵分别为：
1
01
E(i, j)
10
1
E(i(k ))
E(i, j(k ))
1 1 k 11 k1
1
对单位阵作一次列变换得到的矩阵也包 括在上面的三类矩阵之中。
初等矩阵的性质
aa1222
a11 a21
a13 a23
初等矩阵
§6初等矩阵这一节我们来建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系，并在这个基础上，给出用初等变换求逆矩阵的方法。
一、初等矩阵1.定义：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵．显然，初等矩阵都是方阵，每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵。
对应三种初等行、列变换，有三种类型的初等矩阵：101(,)11i j i jr r E p i j Ec c ⎛⎫ ⎪ ⎪↔ ⎪⎪=⎪ ⎪↔ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或1(())1i ikr E k p i k kEkc ⎛⎫ ⎪⎪≠⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或1()1(,)()11i j j ir kr E i k p i j k Ej c rc ⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪⎪= ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（）或2．初等矩阵的性质 1）初等矩阵皆可逆，且1111(,)(,),(())(()),(,())(,()).p i j p i j p i k p i p i j k p i j k k ---===-2）对任一s n ⨯矩阵A ，左(右)乘一个s s ⨯初等矩阵相当于对A 作一初等行(列)变换．(,)p i j A ： 对换A 的i ,j 两行； A (,)p i j : 对换A 的i ,j 两列．(())p i k A ：用非零数k 乘A 的第i 列； A (())p i k ：用非零数k乘A 的第i 列．(,())p i j k A ：A 的第j 行乘以k 加到第i 行；A (,())p i j k ：A 的第i 列乘以k 加到第j 列．证明2） 我们只证行变换的情形，列变换的情形可同样证明。
令()ij b B = 为任意一个s×s 矩阵，12,,,s A A A 为A 的行向量。
则111122121122221122s s s s s s ss s b A b A b A b A b A b A BA b A b A b A +++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦特别，令()j i P B ,=，得()行，行j i A A A A A j i P S i j ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 1,这就相当于把A 的i 行与j 行互换。
初等矩阵概念
初等矩阵概念
初等矩阵是指一个由相同元素组成的矩阵,这些元素都是 0 或 1。
在数学和计算机科学中,初等矩阵是一个重要的概念,可以用来表示一些基本的矩阵运算,如加法、乘法、交换律和结合律等。
初等矩阵可以看作是一个特殊的矩阵,它有一个唯一的特征值,即它的行列式为零。
因此,初等矩阵的行数等于列数,即 $n$ 行 $n$ 列。
在数学和计算机科学中,初等矩阵通常用于矩阵乘法的实现,如矩阵和向量的加法和乘法。
除了初等矩阵之外,还有一些其他的矩阵类型,包括高等矩阵、单位矩阵、对角矩阵等。
高等矩阵是一种比初等矩阵更复杂的矩阵类型,它可以用来表示一些更复杂的矩阵运算。
单位矩阵是一种具有特殊性质的矩阵,它的行数等于列数,并且每行和每列的元素都相等。
对角矩阵是一种具有对角线的矩阵类型,它可以用来表示线性方程组和矩阵的对角化。
在数学和计算机科学中,矩阵是一种非常常见的数学工具,可以用来表示和处理各种数据类型。
矩阵的运算包括加法、乘法、交换律和结合律等,这些运算可以用来解决各种数学和计算机科学问题。
初等矩阵是一个重要的概念,可以用来表示一些基本的矩阵运算,同时也有其他特殊的矩阵类型,这些矩阵类型可以用来表示更复杂的矩阵运算。
3.5 初等矩阵
Q Q 1 s 2 s1
Q
1
1
Q Q 1
1
s s1
Q
k
1
P1
Ps Ps 1 Pk
定理5 矩阵A可逆,则A可只通过初等行变换化为单位矩阵。
证： 充分性显然。必要性：由定理4，可逆矩阵A Q A P1P2 L Pk , 有：Pk1L P21P11 A E 因为初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，即A可只 通过初等行变换化为单位矩阵。
阵A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵，即
Amn ri rj E m (i , j ) Am n
Amn ci cj Am n E n (i , j )
Amn kri E m i k Am n Amn kci Amn E n i k Amn ri krj E m i, j k Am n
1 0 0
B1
2 1
2 3
3 4
,求
A1
.
解: Q B E3(1, 2)A，
B1 A1 E3(1, 2)1
0 1 0
A1 B1E3(1, 2)
B-1互换1,2列
2 3
2 1
3 4
例2 已知有如下矩阵：
a11 a12 a13
a21
a22
a23
A a21
a22
a23
,
B
a
T i
ai1 , ai2 ,
, ain
i 1, 2,
,m
于是
1
a1T
a1T
Em
i,
j
A
01
aiT
a Tj
10
a
T j
aiT
1
amT
amT
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定理1（初等变换和初等矩阵的关系）
设A 是一个m n 矩阵，对 A施行一次 初等行变换，相当于在矩阵A 的左边乘以相 应的m阶初等矩阵；对 A施行一次初等列变 换，相当于在矩阵A的右边乘以相应的 n 阶
初等矩阵，即
Amn ri rj Em i, j Amn
Amn ci cj Amn En i, j
1 0 1
第i行 第j行
1
（2）用数 k 0 乘 En的第i 行（或第j 列）
得到的矩阵，记为 En ik
1
En
i
k
k 1
第i行
1
（3）用数k 乘 En 的第j行加到第i 行上（或
以k 乘 En 的第i 列加到第j列上）得到的矩
阵，记为 En ij k
1
1k
En
i,
j
k
1
第i行
第j行
1
由于 En i, j En i, j En ,
En
i
1 k
En
i
k
En
k 0 ,
En i, j k En i,j k En ,
所以 En i, j 1 En i, j ,
En
i
k
1
En
i
1 k
,
1
En i, jk En i,j k .
方阵 Ps1, , Pk 使
P1
PsAPs1 Pk
Er 0
0
0
mn
Fmn
标准形
定理3 n 阶矩阵A 可逆的充要条件是 存在有限个n 阶初等矩阵P1, , Ps, Ps1, , Pk 使得 P1 PsAPs1 Pk E
可逆矩阵A 一定与单位矩阵等价
即
A~E
定理4 设A 为可逆矩阵，
则存在有限个初等矩阵 P1, P2, , Pk 使 A P1P2 Pk
1 0
0 2
2 5
0 0 1
1 0 0 2 1 0
3 0 1
1 1 0
2 1
1 1
0 1
rr1225rr33
1 0
0 2
0 0
0 0 1
1 3 2 3 6 5 1 1 1
1 0 0
r2 2 0 1
1 3 2
3
3
5
2
2
1 1 1
所以
1 3 2
A1
3
3
5
2
推论 m n矩阵 A与B 等价的充要条件 是存在m阶可逆矩阵 P 和 n阶可逆矩阵 Q
使 PAQ B
例1 设
1 2 3
A
2
2
1
3 4 3
求 A1 .
解
1 2 3
A
E
2 3
2 4
1 3
1 0 0
0 0
1 0
0 1
1 2 3
r2 2r1
r3 3r1
0
2
5
0 2 6
r1 r2
r3 r2
Amn kri Em i k Amn Amn kci AmnEn i k Amn ri kr j Em i, j k Amn
Amncj kci Amn En i, j k
2. 利用初等变换求逆矩阵
定理2 对于任一 m n 矩阵A ，一定存在
有限个m阶初等矩阵 P1, , Ps 和 n 阶初等
初等矩阵
五.初等矩阵
1. 初等矩阵
定义 由 n 阶单位矩阵经过一次初等变 换得到的矩阵称为 n 阶初等矩阵．
三种初等变换对应着三种初等矩阵．
（1）对调n 阶单位矩阵 En 的第i, j两行
（或两列），得到的初等矩阵记为En i, j
1
En
i,
j
1 0 1
1
1
2
1 1 1
矩阵的初等行变换还可用于求解矩阵方程
AX B 其中A 为可逆矩阵 显然 X A1B
而 A1 A B E A1B
且 A1可写成有限个初等方阵的乘积，即
A1 P P
1
l
从而
P1 Pl A B E A1B
因此，若对矩阵 A B 施行初等行变换
当把 A变成E时，B 就变成 X A1B .
1 0
1
1
2 1
r1 r3
1
0
0
r2 r3
r32
0
1
0
0 0 1
1
1
3 2
1
1
2
1
1
故
X A1B 3 2
1
1
2
例2 解矩阵方程
0 1 2 1 1
1
1
4
X
0
1
2 1 0 1 0
解
0 1 2
A
B
1
1
4
2 1 0
1 1 4
r1r2
0
1
2
2 1 0
1 1
0
1
1 0
0 1
1 1
1 0
1 1 4
r3 2r1
0
1
2
0
3
8
1 0 2
r1r2
r3 3r2
0
1
2
0 0 2
0 1
1
1
1 2