浙江师范大学离散数学期末试卷A
离散数学期末试题(A)
离散数学期末试题（A）（满分100分）一、单项选择题（共40分，每题4分）1、设集合A=｛3｛4｝5 6｝选择下列所给答案正确的是（）A、｛5｝∈AB、｛｛4｝，5，6｝≤AC、｛3 4 5 6｝≤AD、Φ≤｛3｛4｝｝2、由集合运算定义，下列各式正确的是（）A、X ≥X U YB、X ≤X n YC、X ≤X U YD、Y ≤X n Y3、设R、R1、R2是集合A、B上的二元关系，则下列表达式正确的是（）A、若R1≤R2则R-11≤R-12B、（R1V R2）-1 = R-11n R-12C、（～R）-1 = R-1D、（R1- R2）-1 = R-11+R-124、设集合｛1 2 3 4 ｝，A上的关系R=｛（1 1）（2 3）（2 4）（3 4）｝则R具有（）A、自反性B、传递性C、对称性D、以上答案都不对5、设命题公式G = （P Q）H = P （Q P）则G与H的关系是（）A、G =﹥HB、H =﹥GC、G = HD、以上都不是6、设G、H是一阶逻辑式P是一个谓词G = xp（x）H = xp（x）则一阶逻辑公式G H是（）A、恒真的B、恒假的C、可满足的D、前束范式7、下面代数系统中（G、＊）中（）不是群A、G为整数集合＊为加法B、G为偶数集合＊为加法C、G为有理数集合＊为加法D、G为有理数集合＊为乘法8、设б1、б2、б3是三个置换，其中б1=（1 2）（2 3）（1 3）б2 =（2 4）（1 4）б3= （1 3 2 4）则б3=（）A、б12B、б1б2C、б22D、б2б19、下列半序集中哪个不是格（）A B C D10、G是连通平面图，有5个顶点、6个面，则G的边数为（）A、6B、5C、11D、9二、填空题（共20分，每空4分）1、无孤立点的有限有向图有欧拉路的充要条件是。
2、设CB，·，+，－，0，1﹥是布尔代数，a，b，c是集合B中任意元素，则（a，b）+（a，b，c）+ （a , b , c）+ （a , b , c）= 。
离散数学期末考试试题及答案
离散数学期末考试试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 设集合A={1, 2, 3, 4, 5}，B={2, 4, 6, 8}，则A∩B是（）A. {1, 2, 3, 4, 5}B. {2, 4}C. {1, 3, 5}D. {2, 4, 6, 8}2. 下列关系中，哪个是等价关系？（）A. 小于关系B. 大于等于关系C. 模2同余关系D. 整除关系3. 设P(x)是谓词逻辑公式，下列哪个命题与∀xP(x)等价？（）A. ∃x¬P(x)B. ¬∀xP(x)C. ¬∃xP(x)D. ∃x¬P(x)4. 一个图的欧拉回路是指（）A. 经过每一条边的路径B. 经过每一个顶点的路径C. 经过每一条边的环D. 经过每一个顶点的环5. 设G是一个无向图，下列哪个说法是正确的？（）A. G的每个顶点的度数都相等B. G的每个顶点的度数都不相等C. G的任意两个顶点之间都有一条边D. G的任意两个顶点之间都不一定有边6. 下列哪个图是哈密顿图？（）A. K3,3B. K5C. K4,4D. K67. 设G是一个具有n个顶点的连通图，则G的最小生成树至少包含（）A. n个顶点B. n-1条边C. n+1条边D. 2n条边8. 下列哪个算法可以用来求解最短路径问题？（）A. Dijkstra算法B. Kruskal算法C. Prim算法D. Floyd算法9. 设P和Q是两个命题，下列哪个命题与(P→Q)∧(Q→P)等价？（）A. P∧QB. P∨QC. P↔QD. ¬P∨¬Q10. 设A是一个有限集合，A的幂集是指（）A. A的所有子集B. A的所有真子集C. A的所有非空子集D. A的所有非空真子集二、填空题（每题3分，共30分）11. 设集合A={1, 2, 3, 4, 5}，B={2, 4, 6, 8}，则A-B=______。
12. 设P(x)是谓词逻辑公式，∃xP(x)表示“存在一个x使得P(x)成立”，那么∀x¬P(x)表示“______”。
离散数学期末试题A答案及评分标准
--北京工商大学离散数学试卷(A)答案及评分标准题号 一 二三 四 五 六 七总分得分一、（30分）设A ={1,2,3,4}，给定A 上二元关系R 如下：R ={<1,1>, <1,2>, <2,3>, <3,3>, <4,4>}请回答以下各问题：1.写出R 的关系矩阵. （3分）2.画出R 的关系图. （3分）3.求包含R 的最小的等价关系，并写出由其确定的划分. （6分）4.分别用关系矩阵表示出R 的自反闭包r (R )、对称闭包s (R ). （6分）5.求传递闭包t (R ).（写出计算步骤）（6分）6.求R 2的关系矩阵. （3分）7.集合A 上最多可以确定多少个不同的二元关系？说明理由。
（3分）[解] (1)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000010001000011R M 。
……（3分）（2） ……（3分）(3)法一：直接由等价关系与划分之间的一一对应可知，包含R 的最小等价关系为: {<1, 2>, <1, 3>, <2, 1>,<2, 3>, <3, 1> <3, 2>}∪I A , ……（3分） 对应的划分为{{1, 2, 3},{4}}. ……（6分） 法二：包含R 的最小的等价关系就是tsr (R ), 计算过程如下：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=100001000110001110000100001000011000010001000011)(E M M R R r,100001100111001110000110001100011000010001100011][)()()(⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=T R r R r R sr M M M ,3,10001110111011110000110011100111000011001110011)]([)()()]([2≥=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯=k M M M M k R sr R sr R sr R sr 从而,10000111011101111000011101110111100001110111011110000111011101111000011001110011432)]([)]([)]([)()(⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=R sr R sr R sr R sr R tsr M M M M M即}2,3,1,3,3,2,1,2,3,1,2,1{)(><><><><><><⋃=A I R tsr =包含R 的最小的等价关系， ……（3分） 故其对应的划分为{{1, 2, 3},{4}}. ……（6分） 法三：由于4=A ，包含R 的最小的等价关系就是4131211)()()()()()(----⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃==R R R R R R R R I R rts R tsr A ,计算过程如下：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=-⋃100001100101001110000110000100011000010001000011][1TR R R R M M M ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=-⋃10000111011101111000011001010011)][(22)(21T R R R R M M M412131)()(33)(10000111011101111000011001010011)][(---⋃⋃⋃==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=R R R R T R R R R M M M M M 考试纪律承诺本人自愿遵守学校考试纪律，保证以诚信认真的态度作答试卷。
离散数学期末试卷A卷及答案
《离散数学》试卷（A 卷）一、 选择题（共5 小题，每题 3 分，共15 分）1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕⋃)(为(C )。
A 、{1,2}B 、{2,3}C 、{1,4,5}D 、{1,2,3}2、下列语句中哪个是真命题 ( A )A 、如果1+2=3，则4+5=9；B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。
C 、如果1+2=3，则4+5≠9；D 、1+2=3仅当4+5≠9。
3、个体域为整数集合时，下列公式（ C ）不是命题。
A 、)*(y y x y x =∀∀B 、)4*(=∃∀y x y xC 、)*(x y x x =∃D 、)2*(=∃∃y x y x4、全域关系A E 不具有下列哪个性质（ B ）。
A 、自反性B 、反自反性C 、对称性D 、传递性5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是（ D ）。
A 、单射函数B 、满射函数C 、既不单射也不满射D 、双射函数二、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共15 分）1、设|A|=4，|P(B)|=32，|P(A ⋃B)|=128，则|A ⋂B|=ˍˍ2ˍˍˍ.2、公式)(Q P Q ⌝∨∧的主合取式为 。
3、对于公式))()((x Q x P x ∨∃，其中)(x P ：x=1， )(x Q ：x=2，当论域为{0,1,2}时，其真值为ˍˍˍ1ˍˍˍ。
4、设A ＝{1,2,3,4}，则A 上共有ˍˍˍ15ˍˍˍˍ个等价关系。
5、设A ＝{a ，b ，c }，B={1,2},则|B A |= 8 。
三、判断题（对的填T ，错的填F ，共 10 小题，每题 1 分，共计10 分）1、“这个语句是真的”是真命题。
（ F ）2、“刚和小强是同桌。
”是复合命题。
（ F ）3、))(()(r q q p p ∧⌝∧→⌝∨是矛盾式。
（ T ）4、)(T S R T R S R ⋂⋅⊆⋅⋃⋅。
离散数学期末考试试卷(A卷)
离散数学期末考试试卷(A卷)一、判断题：（每题2分，共10分）（1）（1）（2）对任意的命题公式, 若, 则（0）（3）设是集合上的等价关系, 是由诱导的上的等价关系，则。
（1）（4）任意一个命题公式都与某一个只含合取和析取两种联结词的命题公式等价。
（0）（5）设是上的关系，分别表示的对称和传递闭包，则（0）二、填空题：（每题2分，共10分）(１) 空集的幂集的幂集为（）。
(２) 写出的对偶式（）。
（３）设是我校本科生全体构成的集合，两位同学等价当且仅当他们在同一个班，则等价类的个数为（），同学小王所在的等价类为（）。
（４）设是上的关系，则满足下列性质的哪几条：自反的，对称的，传递的，反自反的，反对称的。
（）(5)写出命题公式的两种等价公式( ）。
三、用命题公式符号化下列命题（１）（２）（３），用谓词公式符号化下列命题（４）（５）（６）。
（12分）（１）（１）仅当今晚有时间，我去看电影。
（２）（２）假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书。
（3）你能通你能通过考试，除非你不复习。
（４）（４）并非发光的都是金子。
（５）（５）有些男同志，既是教练员，又是国家选手。
（６）（６）有一个数比任何数都大。
四、设，给定上的两个关系和分别是（１）（１）写出和的关系矩阵。
（２）求及（1２分）五、求的主析取范式和主合取范式。
（１０分）六、设是到的关系，是到的关系，证明：（8分）七、设是一个等价关系，设对某一个,有，证明：也是一个等价关系。
（10分）八、（1０分）用命题推理理论来论证 下述推证是否有效？甲、乙、丙、丁四人参加比赛，如果甲获胜，则乙失败；如果丙获胜，则乙也获胜，如果甲不获胜，则丁不失败。
所以，如果丙获胜，则丁不失败。
九、（１０分） 用谓词推理理论来论证下述推证。
任何人如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车，每一个人或喜欢乘汽车，或喜欢骑自行车（可能这两种都喜欢）。
有的人不爱骑自行车，因而有的人不爱步行 (论域是人)。
浙师大离散数学试卷2011
浙江师范大学《离散数学A 》考试卷（2010----2011 学年第1学期）考试形式 闭卷笔试 使用学生 计本10非师范考试时间 120 分钟 出卷时间 2011 年 12 月 29 日说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。
一、选择题。
（每题2分，共10分）1、设公式A 为重言式，则公式A ⌝的类型为（）A ．重言式B ．可满足式C ．矛盾式D ．不能确定2、以下结论不正确的是（）A ．AB A B →⇔⌝∨ B ．R S S R =C ．~A B A B -=∧D ．1、2、2、4、2、3为某图的度数列3、G 是阶小于6的一个群，则以下结论不正确的是（）A ．运算满足消去律B ．运算满足交换律C ．运算满足结合律D ．运算满足分配律4、设R 和S 为集合A 上的两个等价关系，则R S ⋂具有等价关系（）A ．一定有B ．不一定有C ．一定没有D ．可能有5、下列哪一个图不一定是树（）A ．无回路的连通图B ．有n 个顶点，n-1条边的连通图C ．每对顶点间都有通路的图D ．连通但删去一条边则是不连通图二、填空题。
（每空2分，共16分）1、无向连通图G 有12条边，4个3度顶点，其余顶点的度数小于2，则G 中至少有 个顶点。
2、在有n 个顶点的连通图中，至少需要有 条边。
3、G 为模12的乘法群，即,x y G ∀∈，*(mod12)x y xy r =≡，则元素5的阶为 。
4、以数列1，1，2，4，8，12，25为权的最优二元树的权为 。
5、设123456164523σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2σ的奇偶性为 。
6、集合A,3A =. 则在A 上可建立个 二元关系。
7、设{}1,2,3,4,A =,将公式(()())x F x G x ∀∨中量词消去后的公式是8、G 是一个群12,,,2x G yxy x x e y -∈=≠=，则x 的阶是 。
三、计算题。
（共6题，每题8分共48分）1、在集合{}1,2,3,4A =上随机产生二个关系1R ，2R ，要求15R =，26R =。
离散数学期末试卷(3套附答案)
2 离散数学（A 卷） 王军东（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、单项选择题（每小题3分，共30分）1．设A , B 是集合，若A B A =-，则(A) B = ∅ (B) A = ∅ (C) =⋂B A ∅ (D) A B A =⋂2．在有理数集合Q 上定义运算“*”如下：对于任意x , y ∈ Q ，y x * = x + y – xy ，则Q 关于*的单位元是( ).(A)x . (B)y . (C)1. (D)0.3．谓词公式)())()((x R y yQ x P x ∧∃→∀中量词x ∀的辖域为(A))())()((x R y yQ x P x ∧∃→∀ (B))()(y yQ x P ∃→(C))())()((x R y yQ x P ∧∃→ (D))()(y yQ x P ∃→和)(x R4．设p ：我们划船，q ：我们跑步, 则有命题“我们不能既划船又跑步”符号化为( )(A) ⌝ p ∧⌝ q (B) ⌝ p ∨⌝ q (C) ⌝ (p ↔ q ) (D) ⌝ (⌝ p ∨⌝ q ).5．设Z +是正整数集，R 是实数集，f :Z +→R , f (n )=log 2n ,则f （ ）A ．仅是单射B ．仅是满射C ．是双射D ．不是函数6. 设集合A = {1, 2, 3, 4, 5}上的关系R = {(x , y )|x , y ∈ A 且x + y = 6}，则R 的性质是( ).(A) 自反的. (B) 对称的. (C) 对称的、传递的. (D) 反自反的、传递的.7. 下列联结词中，不满足交换律的是( ).(A)∧. (B)∨. (C)⊕. (D) →.8．.设G 是n 阶简单无向图，则其最大度)(G ∆( ).(A) > n (B) ≤ n . (C) < n . (D) ≥ n .9. 下列所示的哈斯图所对应的偏序集中能构成格的是（ ）A ．B ．C ．D ．课程考试试题学期 学年 拟题人:校对人:拟题学院（系）: 适 用 专 业:10. 设G 是(n , m )图，且G 中每个节点的度数不是k 就是k + 1，则G 中度数为k 的节点个数为( ). (A)2n . (B)n (n + 1). (C)nk . (D)m k n 2)1(-+. 二、填空题(每空3分，共30分)1．设A={1，2}，B={2，3}，则A-B=_______， A ⊕B=________，2．设A={2,3 }，R ⊆A ×A ，R={(2,3)， (2,2)}，则R 的自反闭包r(R)=__________,对称闭包s(R)=__________。
大学《离散数学》期末考试试卷及答案(1)
大学《离散数学》期末考试试卷及答案(1)一、选择题1. 离散数学的主要研究对象是（）。
A. 连续的数学结构B. 有限的数学结构C. 数学的综合应用D. 数学的哲学思考2. 命题逻辑是离散数学的一个重要组成部分，它主要研究（）。
A. 命题之间的真假关系B. 变量之间的关系C. 函数之间的关系D. 集合之间的关系3. 集合的基本运算包括（）。
A. 并、交、差、补B. 加、减、乘、除C. 包含、相等、不等、自反D. 大于、小于、等于、不等于二、填空题1. 若集合A={m|2m-1>3}，则A中的元素为______。
2. 有一个集合A={1，2，3}，则集合A的幂集为______。
3. 若命题p为真，命题q为假，则复合命题“p∧q”的真值为______。
三、解答题1. 请写出离散数学中常用的数学符号及其含义。
2. 请解释命题逻辑中的充分必要条件及其符号表示，并给出一个例子。
3. 请定义集合的笛卡尔积，并给出两个集合进行笛卡尔积运算的例子。
四、问答题1. 离散数学在计算机科学中有着重要的应用，请列举三个与计算机科学相关的离散数学应用领域并简要介绍。
2. 请简要解释归纳法在离散数学中的作用，并给出一个使用归纳法证明的例子。
3. 什么是有向图？请给出一个有向图的例子，并解释该图中的关系。
参考答案：一、选择题1. B2. A3. A二、填空题1. A={m|2m-1>3}2. {{}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}3. 假三、解答题1. 常用数学符号及含义：- ∪：并，表示集合的合并操作。
- ∩：交，表示集合的交集操作。
- ∖：差，表示减去一个集合中的元素。
- ⊆：包含，表示一个集合包含于另一个集合。
- =：相等，表示两个集合具有相同的元素。
2. 充分必要条件是指一个命题的成立与另一个命题的成立互为必要条件，若A是B的充分必要条件，那么当A成立时B一定成立，且当A不成立时B也一定不成立。
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浙江师范大学《离散数学》考试卷
（2010—2011学年第 1 学期）
考试形式闭卷使用学生软件工程、网络工程09
考试时间120分钟出卷时间2010 年12 月26 日
说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。
一．选择题（每题2分，共20分）：
1. 设P：我平时认真学习，Q：我通过离散数学考试，则如下哪种说法能符号化为
P→Q：（）
A．除非我平时认真学习，否则我不能通过离散数学考试。
B. 若我平时认真学习，则我通过离散数学考试。
C. 因为我平时不认真学习，所以我没有通过离散数学考试。
D. 我通过离散数学考试仅当我平时认真学习。
2．命题公式P→(P∨Q∨R) 为（）。
A．重言式B．可满足式C．矛盾式D．等值式
3．设集合A={c, {c}}，下列命题错误的是（）。
A. {c}∈P(A)
B. {c}⊆P(A)
C. {{c}}∈P(A)
D. {{c}}⊆P(A)
4. 设f: N N, f(x)=(x) mod 5, 即x除以5的余数，则函数f （）.
A. 仅单射
B. 仅满射
C. 双射
D. 既不单设也不满射
5．下列命题中正确的结论是：（）
A．集合上A的关系如果不是自反的，就一定是反自反的；
B．集合上A的关系如果不是对称的，就一定是反对称的；
C．在任意关系R上，若<a, b>、<b, c>∈R，则必有<a, c>∈R；
D．非空集合A上的恒等关系既是等价关系又是偏序关系
6. 设集合A={a, b, c}，A上的关系R={<a, b>, <a, c>}，则下列结论错误的是：（）
A．R-1 = {<b, a>, <c, a>}； B. r(R) = R；
C．s(R) = {<a, b>, <a, c>, <b, a>, <c, a>}； D. t(R) = R
7．设集合A 和二元运算*，可交换的代数运算是（ ）。
A ．设)(R M A n =，运算*是矩阵的乘法
B ．设||,,},5,4,3,2,1,1{b b a A b a A =*∈∀--=
C ．设b a b a A b a y x P A =*∈∀=,,}),,({
D ．设(),,,23A Z a b A a b a b =∀∈*=+整数集
8．以下命题中不正确的结论是（ ）
A ．循环群必为交换群；
B ．交换群必为循环群；
C ．素数阶群必为循环群；
D ．群的运算满足消去率。
9. 8阶有限群的任何子群一定不是（ ）的。
A. 2阶
B. 3 阶
C. 4 阶
D. 8 阶
10．以下命题中正确的结论是（ ）
A ．n = 2k (k ≥1)时，完全图K n 必为欧拉图；
B ．如果一个连通图的奇度顶点的个数大于2，那么它可能是一个欧拉图；
C ．无向图中，顶点连通关系 ~ 是顶点集V 上的等价关系；
D ．顶点度数列(5, 4, 3, 2, 2)可简单图化。
二．填空题（每题2分，共20分）
11. 设p : 张三的祖籍是山东，q ：张三的祖籍是浙江，则“张三的祖籍是山东或浙
江”可符号化表示为： 。
12．设个体域为D ={a , b }，则公式∃x (F (x ) G (x ) )的量词消去后的公式
为： 。
13. 设A 、B 为集合，|A |=5, |B |=8, |A ⋂B |=3, 则|A ⋃B | = 。
14．设集合A = {a , b , c , d }，A 上的二元关系R = {<a ,b >, <b ,d >, <c ,c >, <c ,d >}，则
R 2= 。
15．设集合S = {a , b , c } 上的二元关系R 的关系矩阵110001001R M ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，则R 具有的
基本性质为 。
16. 设A ={1, 3, 5}，A 上的二元运算*为：a *b =max{a , b }，则在独异点<A ,*>中，单
位元是 ，零元是 。
17. 设a 是8阶群G 的生成元，则a 3是 阶元，a 4是 阶元。
18．设G 是有限群且|G | = 6，H 是G 的子群且|H | = 2，则H 在G 中的右陪集个数
为 。
19．无向图G 有20条边，4个6度顶点，2个5度顶点，其余均为2度顶点，则G
一共有 个顶点。
20．已知下图，它的点连通度)(G κ为 ，边连通度)(G λ为 。
三．计算题（每小题9分，共45分）
21．用等值演算方法求出如下两个公式的主析取范式，并由此判定它们是否等值：
p →q →r 与p →(q →r )
22．设集合A ＝{1, 2, 3, 4}, A 上的二元关系R ={ <1,4>, <2,3>, <3,2>, <4,1> } ⋃ I A ，
通过画出关系图来分析说明R 是否为A 上的等价关系；若为等价关系，则列出所有的等价类。
23．设}12,,2,1{ =A ，≤为整除关系，}4,3,2{=B ，(1)画出偏序集≤><,A 的哈斯图；
（2）找出A 的极大元、极小元、最大元、最小元；（3）在≤><,A 中求B 的上界、下界、最小上界、最大下界。
24．设>=<a G 是18阶循环群，（1）求出G 的所有生成元；（2）求出G 的所有子
群。
25．求如下有向图D 的邻接矩阵()A D ，并求出从顶点v 3到顶点v 4长度分别为1, 2,
3, 4的通路数。
四．证明题（第26题5分，第27题10分，共15分）
26. 设A 、B 、C 为任意集合，证明：A -B -C = A – (B ⋃C )
27. 构造证明：
前提：(U ∨V ∨ R )→(M ∧ N ), U ∨ P , P → (Q ∨ S ) 结论：⌝Q ∧⌝S → N
1v 2v 3v 4
v。