§1.1整除的概念 带余除法ppt课件

m a1 ,L , m an , q1,L , qn Z m (q1a1 L qnan )
例2 若 a ,b 是整数，且7∣( a + b ), 7∣( 2a－b )， 证明:7|( 5a + 2b )。
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例3已知： 782 + 8161能被57整除， 求证：783 +8163也能被57整除。
证：考虑下面的a个数： 20 , 21,L , 2a1，显然a不整除2 j (0 j a)， 由带余除法，对每个2 j (0 j a)，
2 j q j a rj , (0 rj a) 因而a个余数r0 , r1,L , ra1仅可能取a 1个值， 因此其中必有两个相等。
设为ri，rk，不妨设0 i k a，因而有 a(qk qi ) 2k 2i 2i (2k i 1)
• 第十四条：a 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中， 减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。 如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上 述过程，直到能清楚判断为止。b 若一个整数的末三位与3 倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
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证：设这5个数为ai , i 1,L , 5，记
ai 3qi ri， 0 ri 3,
i 1,L , 5。
分别考虑以下两种情形：
(i)若在r1,L , r5中数0，1，2都出现，不妨设
r1 0, r2 1, r3 2，
此时
a1 a2 a3 3(q1 q2 q3 ) 3
可以被3整除。
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三、带余数除法(欧几里德除法） 定理4 设a与b是两个整数，b > 0，则存在唯一
的两个整数q和r，使得
a bq r, 0 r b
(1)
定义2：（1）式通常写成
a b q (余r )
(2)
并称q为a被b除所得的不完全商；r叫做a被b除所得
的余数；
(1)式称为带余数除法算式，(2)式称为带余数除法。
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因而a个余数r0 , r1,L , ra1仅可能取a 1个值， 因此其中必有两个相等。
设为ri，rk，不妨设0 i k a，因而有 a(qk qi ) 2k 2i 2i (2k i 1)
则有 a 2ki 1，取d k i a 1，则d就满足要求。
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带余数除法的第三种表示（课后习题）
定理4 若a, b是两个整数，其中b 0，则存在着两个整数
q及r，使得
a bq r，
b r
2
成立，而且当b是奇数时，q及r是唯一的；当b是偶数时，q及r
有可能是不唯一的。
例
当a 5, b 2时，可有
5 （ 2）（ 3）（1），即q 3, r 1;
被6整除。
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• 第七条：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数 的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。
• 第八条：最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。
• 第九条：每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能 被9整除。
• 第十条： 若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
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第一节 整除的概念 带余数除法
定义 设a, b是任意两个整数，其中b 0，如果 存在一个整数q使得等式
a qb 成立，就说b整除a或a被b整除，记作b a，此时把b 叫作a的因数，把a叫作b的倍数. 如果不存在整数q使得a bq成立，则称a不被b整除， 记为b † a。
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相关概念：因数、约数、倍数、奇数、偶数。 注：显然每个非零整数a都有约数 1，a，称这四个 数为a的平凡约数，a的另外的约数称为非平凡约数。 例1 有一个自然数乘以9后，得到一个仅由数字1组成 的多位数，求这个自然数最小为多少？ 12345679
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二、整除的性质 定理1〔传递性〕 b a, c b c a 定理2 m a , m b m (a b) 定理3 （线性组合）
• 第十五条：a 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中， 加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。 如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述过 程，直到能清楚判断为止。b 若一个整数的末三位与7倍的前 面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。
• 第十六条：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被 23整除，则这个数能被23整除。
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或5 （ 2）（ 2）/29
带余数除法的应用举例
例1 证明形如3n-1的数不是平方数。
证明：a Z ,
a 3q r,
0 r 3，
而
(3q r)2 3n 1,
0 r 3.
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例2、任意给出的5个整数中，必有3个数之
和被3整除。
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欧几里得除法 证明：
存在性：考虑整数序列
L , 3b, 2b, b,0,b, 2b, 3b,L
则a必在序列的某两项之间， 即存在一个整数q，使得 qb a (q 1)b
令 r a qb ，则有 a bq r, 0 r b 成立.
唯一性：反证〔板书〕
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(ii)若在r1,L , r5中数0，1，2至少有一个不出现，
这样至少有3个ri要取相同的值，不妨设
r1 r2 r3 r(r 0,1或2），
此时
a1 a2 a3 3(q1 q2 q3 ) 3r
可以被3整除。
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例3、设a 1为奇数，证明： 存在正整数d a 1, 使得a 2d 1
研究数论）。
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第一章 整数的可除性
整除性理论是初等数论的基础，本章要介绍 带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公
倍数，函数 x、 x的性质，算术基本定理。
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第一章 整数的可除性 一、整除的概念 带余数除法 二、最大公因数与辗转相除法 三、整除的进一步性质
四、质数 算术基本定理 五、取整函数及其在数论中的一个应用
证明：783 + 8163 = 7 ( 782 + 8161 )－7 × 8161 + 8163 = 7 ( 782 + 8161 ) + 8161 × 57 ∵782 + 8161和57都能被57整除 ∴原式得证。
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整除的一些常用结论：
(1)当b是整数a的因数时，-b也是整数a的因数.（因数 是成对出现的）
例4 利用带余数除法，由a, b的值求q, r 并写出带余除法算式
(1) a 14,b 3
14 3 4 ( 余 2 ), q 4, r 2
(2) a 14,b 3
14 3 5 ( 余 1 ), q 5, r 1
(3)a 14,b 3
14 (3) 14 3
注：一般地，要求a,q是整数，b, r是非负整数；
• 第十一条：将一个数从右往左数，将奇数位上的数与偶数 位上的数分别相加，然后将两个数的和相减，如果差值能 被11整除（包括差值为0）则原数可以被11整除。
• 第十二条：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整 除。
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• 第十三条：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中， 加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。 如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上 述过程，直到能清楚判断为止。
(2)当b是整数a的因数时，a/b也是整数a的因数.
(3)设b，c都是非零整数， (i)若b|a，则|b|||a|. (ii)若b|a，则bc|ac;1|b;b|b. (iii)若b|a，则1<|b|≤|a|.
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(4)设p是素数，a，b是任意整数，则 • p|a或(p，a)=1 . • 若p|ab 则p|a或p|b；p|a且p|b。 以上两个结论，用于来描述; 一个素数p和其它任何一个整数a或者 b的关系 只有两种情况，要么整除，要么互质； 一个素数p如果能整除任意两个整数a、b的乘 积，则p至少能够整除其中的一个数。
阅读思考：整除的规律
• 第一条：任何整数都能被1整除。 • 注：以下是就整数的十进制表示法而言。 • 第二条：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。[2] • 第三条：每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能
被3整除。 • 第四条：最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。 • 第五条：个位上是0或5的数都能被5整除。 • 第六条：一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能
欧几里得除法
(唯一性) 如果分别有整数q，r和q1，r1满足（2），
则 a= bq+r， 0≤r<b， a= bq1+r1，0≤r1<b
两式相减，我们有 b(q-q1) =-(r-r1)
当q≠q1 左边的绝对值大于等于b，而右边的绝对值 小于b，这是不可能的.故q=q1，r=r1.
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中小学数学中的一些数论问题： 1.狐狸在跑道上跳远，每次跳远150CM从起点开始每
隔130CM设一个陷阱，问狐狸跳了几次后掉进井中？ 2.已知66︱X1998Y，求所有满足条件的六位数X1998Y.
3.有一个自然数乘以9后，得到一个仅由数字1组成 的多位数，求这个自然数最小为多少？ 4.已知: 782 + 8161能被57整除，求证：783 +8163也能 被57整除。
如果允许b取负值，则要求 0 r b . 思考 28 6 14 3 4 (余 2) 正确吗？