六自由度机器人Jacobian(雅克比)矩阵计算类
机器人雅可比矩阵知识讲解
x6 f6(q1,q2, ,q6)
注意，如果函数 f1(q) 到 f6(q) 是非线性的，则 f q 是q的 函数，写成 xJ(q)q ，式子两边同除以时间的微分，
上式中，66的偏导数x矩阵J(Jq(q)q)叫做雅可比矩阵。其中
Jijq xiqq j
雅可比矩阵
机器人关节数
*雅可比矩阵的行数取决于机器人的类型
雅可比矩阵在机器人中的应用
可以把雅可比矩阵看作是关节的速度 q 变换到 操作速度V的变换矩阵
在任何特定时刻，q具有某一特定值，J(q)就是一个 线性变换。在每一新的时刻，q已改变，线性变换 也因之改变，所以雅可比矩阵是一个时变的线性变 换矩阵。
在机器人学领域内，通常谈到的雅可比矩阵是 把关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度联 系在一起的。
假设矢量yRm为uRn的函数
y= y(u)
y1(u) y2(u)
yy12((uu11,,uu22,, ,,uunn))
ym(u) ym(u1,u2,,un)
对于m=1, （标量对矢量的导数）
u y u y1 1
y1 u2
u y1 n
y相对于u的偏导数定义为
u y u u uyyym 1 2(((u u u))) yu yu u ym 1 1 2 1 1
约束函数C(x),
单位圆上的质点位置约束为 C (x ) xx 1
一般情况下，采用位姿矢量q聚合表达n个粒子的位置。在3D 空间，矢量长度为3n。考虑位置约束C是一个关于位姿矢量q 的未知函数，则速度约束
C C q q
矩阵 C/q 被称作C的雅可比矩阵，记作J。为了进行物理
仿真，求微分 C JqJq，根据力学关系，建立微分约束方
六自由度机器人Jacobian（雅克比）矩阵计算类
六自由度机器人Jacobian（雅克比）矩阵计算类六自由度机器人Jacobian(雅克比)矩阵计算类六自由度机器人Jacobian(雅克比)矩阵计算类！作者：想飞的猪说明：MLGetIdentityMat为获得单位矩阵函数MLMatMulti为矩阵相乘函数和OpenCV求逆矩阵函数cvInvert没有给出请大家自己写一下！很简单的！ typedef struct RobotJacobian6{//变量!//各关节传递矩阵!union{struct{double AMat[6][4][4];};double A0to1[4][4];double A1to2[4][4];double A2to3[4][4];double A3to4[4][4];double A4to5[4][4];double A5to6[4][4];};union{struct{double TMat[6][4][4];};struct{double T0to6[4][4];double T1to6[4][4];double T2to6[4][4];double T3to6[4][4];double T4to6[4][4];double T5to6[4][4];};};//末端位姿!double EndPose[4][4];//D-H参数表!double DHParam[6][4];//顺序为：Angle d_L a_L a_A! //雅克比矩阵!double EndJacobian[6][6];//逆雅克比矩阵!double EndInvJacobian[6][6];//基坐标的笛卡尔微分运动到末端坐标的传递矩阵!double JBasetoEnd[6][6];double T_1to6[4][4];//该矩阵的姿态与基坐标一致，位置与末端坐标一致! //以便可以按照基坐标进行平动和绕基坐标轴方向转动!double mInput[6]; //输入!double mOutput[6];//输出!int mMode;void GetAMat(){for (int i=0;i{MLGetDHTransMat(AMat[i],DHParam[i][0],DHParam[i][1],DH Param[i][2],DHParam[i][3 ]);}}void GetTMat(){MLGetIdentityMat(T5to6);MLMatMulti(AMat[5],T5to6);MLMatMulti(AMat[4],T5to6,T4to6);MLMatMulti(AMat[3],T4to6,T3to6);MLMatMulti(AMat[2],T3to6,T2to6);MLMatMulti(AMat[1],T2to6,T1to6);MLMatMulti(AMat[0],T1to6,T0to6);}void UpdateAngle(double Angles[6])//Angles为弧度!{。
机器人学_机器人雅可比矩阵
0 0 0 1
若Rot（δx，δy，δz） 和Rot（δx‘，δy’，δz‘） 表示两
个不同的微分旋转，则两次连续转动的结果为：
1 (z z ' ) y y ' z z ' 1 (x x' ) Rot(x, y, z ) Rot(x' , y ' , z ' ) (y y ' ) x x' 1 0 0 0 0 0 0 1
Trans(d x , d y , d z )Rot(k , d ) I 44
于是得微分算子Δ
0 k d z k y d 0
k z d 0 k x d 0
k y d k x d 0 0
dx dy dz 0
四. 微分旋转的无序性 当θ→0 时，有sinθ→dθ，cosθ→1．若令δx=dθx，δy=dθy， δz=dθz，则绕三个坐标轴(p16)的微分旋转矩阵分别为
0 0 1 0
0 0 0 1
略去高 阶无穷 小量
0 y 1 xy 1 x Rot( x, x) Rot( y, y ) y x 1 0 0 0 1 xy y 0 1 x Rot( y, y ) Rot( x, x) y x 1 0 0 0
令 Trans(d x , d y , d z )Rot(k , d ) I 44 为微分算子
则相对基系有dT=Δ0T，相对i系有dT=TΔi 。这里Δ的下标不同是由 于微运动相对不同坐标系进行的。
三.微分平移和微分旋转 微分平移变换与一般平移 变换一样，其变换矩阵为:
1 0 Trans(dx, dy, dz) 0 0 0 1 0 0 0 dx 0 dy 1 dz 0 1
机器人运动学雅可比矩阵
机器人的雅可比矩阵
微分运动与速度
1、
微分运动指机构的微小运动，可用来推导不 同部件之间的速度关系。 机器人每个关节坐标系的微分运动，导致机 器人手部坐标系的微分运动，包括微分平移与微 分旋转运动。将讨论指尖运动速度与各关节运动 速度的关系。 前面介绍过机器人运动学正问题
r f ( )
一般情况：
nm6
r f ( )
对位置方程进行求微分得：
dr d J J r dt dt
两边乘以dt，可得到微小位移之间的关系式
dr Jd
J 表示了手爪的速度与关节速度之间关系， 称之为雅克比矩阵。
f1 1 f J T f m 1
ze
z0
P e
xe
Oe
ye
O0
x0
y0
指尖的平移速度为： dPe df dq dq v JL J Lq dt dq dt dt J L : 与平移速度相关的雅可比矩阵
0 0 Pe T f (q ) 0 1
以2自由度平面关节型机器人为例：
J J1 J2
f1 n m n R f m n
2、与平移速度有关的雅可比矩阵
相对于指尖坐标系的平移速度，是通过把坐标 原点固定在指尖上，指尖坐标系相对于基准坐 标系的平移速度来描述
O0 x0 y0 z0 Oe xe ye ze
：基准坐标系
：指尖坐标系
r f ( )
T m1 n1
r r1 , r2 , , rm R
1 , 2 , , n R
rj f j (1,2 ,,n )
机器人雅可比矩阵ppt课件
Tdx Tdy
dnpnnpd dopoopd
Tdz dapaapd
T T
x y
n o
T
z
a
ppt精选版
pa
d
Td
o {T} n
33
Tdx Tdy
dnpnnpd dopoopd
Tdz dapaapd
合并写为
T T
x y
n o
写成C=J(q) q，式子两边同除以时间的微分， C J (q)q
上式中，雅可比矩阵 J(q)是 m×n 的偏导数矩阵
C1
q1
C2
J
(q)
q1
Cm
q1
C1 q2
C1 qn
C2 q2
C2
qn
Cm Cm
q2
qn
ppt精选版
24
注意道，如果函数 f1(q) 到 f6(q) 是非线性的，则 C/q 是 q 的函数。可以把雅可比矩阵看作是 q 的速度 变换到 Ċ 的变换矩阵，在任何特定时刻，q 具有某一特 定值，J(q)就是一个线性变换。在每一新的时刻，q 已 改变，线性变换也因之改变，所以雅可比矩阵是一个时 变的线性变换矩阵。
C 再对时间求导，得到： C J q J q
J 是雅克比矩阵对时间的导数，可记为
J J / q q 。
ppt精选版
25
用系统的运动方程替代 q ，得到
C J q J W(Q Qˆ )
设 C 为零，有
J W Qˆ Jq J W Q
如果未知量数目大于方程数目，需要引入虚功原理。合法速度（不改变约束C
的速度）必须满足J q ＝0。为确保约束力不做功，要求
Qˆ T q 0 q | J q 0
机器人雅可比矩阵
机器人雅可比矩阵简介机器人雅可比矩阵（Robot Jacobian Matrix）是机器人运动学中的重要概念之一。
它描述了机器人末端执行器的速度与关节速度之间的关系，是机器人运动方程求解、运动规划和控制的基础。
本文将详细介绍机器人雅可比矩阵的定义、性质以及它在机器人学中的应用。
定义在介绍机器人雅可比矩阵之前，我们先回顾一下机器人运动学的基本概念。
假设有一个机器人系统，它由n个自由度的关节组成，每个关节的转动由关节角度表示。
而机器人的末端执行器的位置和姿态可以通过正向运动学求解得到，位置用笛卡尔坐标表示，姿态用旋转矩阵或四元数表示。
机器人雅可比矩阵描述了机器人末端执行器的速度与关节速度之间的关系。
具体来说，设机器人关节速度为q_dot，末端执行器速度为x_dot，机器人雅可比矩阵为J，那么雅可比矩阵满足以下关系：x_dot = J * q_dot性质机器人雅可比矩阵具有以下几个重要的性质：1.雅可比矩阵的维度为6×n，其中6表示笛卡尔坐标的维度，n表示机器人的自由度数。
2.雅可比矩阵是一个矩阵函数，它的元素可以表示为：J_ij = ∂f_i / ∂q_j其中，f_i表示末端执行器的第i个度量值，q_j表示第j个关节角度。
3.雅可比矩阵的每一列表示末端执行器在各个关节速度方向上的运动灵敏度。
如果某列的元素值较大，说明在该关节角度变化时，末端执行器的运动会更加敏感。
4.雅可比矩阵的秩决定了机器人在不同姿态下所能达到的运动自由度。
如果雅可比矩阵的秩小于n，那么机器人在某些姿态下会出现奇异配置，并且无法实现所需的末端执行器速度。
应用机器人雅可比矩阵在机器人学中有着广泛的应用。
下面介绍几个常见的应用场景：逆运动学求解在机器人学中，逆运动学是指已知末端执行器的位置和姿态，求解机器人关节角度的过程。
雅可比矩阵在逆运动学求解中起到了关键作用。
通过雅可比矩阵的逆矩阵，可以将末端执行器的速度映射到关节速度空间中，进而求解出关节速度。
6轴机械臂雅可比矩阵公式
6轴机械臂雅可比矩阵公式
雅可比矩阵（Jacobian Matrix）是一个描述多维空间向量函数局部切空间的线性映射。
在机器人学中，雅可比矩阵通常用于描述关节空间和笛卡尔空间之间的映射关系。
一个n关节的机械臂的每个关节的变换可以用一个4x4的齐次变换矩阵来表示，总共有n个齐次变换矩阵。
对于一个n关节的机械臂，其雅可比矩阵J是一个4x6n的矩阵，可以表示为：
J = [T1 T2 ... Tn]
其中Ti是第i个关节的齐次变换矩阵。
对于一个6轴机械臂，其雅可比矩阵J可以表示为：
J = [T1 T2 T3 T4 T5 T6]
具体地，如果第i个关节的齐次变换矩阵为：
Ti = [R(ai) 0; 0 1] [Ti-1]
其中R(ai)是一个3x3的旋转矩阵，表示绕ai轴的旋转，Ti-1是i-1关节的齐次变换矩阵，那么第i个关节的雅可比矩阵Ji可以表示为：
Ji = [R(ai) 0; 0 0] [Ji-1]
其中Ji-1是i-1关节的雅可比矩阵。
因此，对于一个6轴机械臂，其雅可比矩阵J可以表示为：
J = [R(a1) 0; 0 0] [R(a2) 0; 0 0] [R(a3) 0; 0 0] [R(a4) 0; 0 0] [R(a5) 0; 0 0] [R(a6) 0; 0 0]
其中R(ai)是绕ai轴的旋转矩阵，可以通过欧拉角、轴角或四元数等表示方法得到。
六自由度机械臂雅可比矩阵计算
六自由度机械臂雅可比矩阵计算机械臂雅可比矩阵是一个非常重要的概念，用于描述机械臂末端位移与关节位移之间的关系。
它可以用于控制机械臂的运动，实现准确的位置控制和轨迹跟踪等任务。
在本文中，我们将详细介绍六自由度机械臂雅可比矩阵的计算方法。
六自由度机械臂是指具有6个可独立运动的关节的机械臂。
常见的六自由度机械臂包括SCARA机械臂、工业机器人等。
对于一个六自由度机械臂，其雅可比矩阵是一个6行6列的矩阵，其元素表示机械臂末端位移在每个关节角度变化下的变化率。
雅可比矩阵的计算方法有两种常见的方法：几何方法和微分方法。
几何方法是一种基于末端位姿和关节角度的几何关系计算雅可比矩阵的方法。
具体步骤如下：1.假设机械臂由n个关节组成，每个关节的旋转轴为z轴，关节坐标系为{X0Y0Z0}，末端坐标系为{XnYnZn}。
2.根据DH参数建立机械臂的坐标系链，得到各个坐标系的变换矩阵。
3.将末端坐标系的位姿表示为关节坐标系的位姿，通过一系列的正向变换矩阵计算得到。
4.根据位姿的变换关系，通过求导的方法计算出末端位置向各个关节变量的偏导数。
5.通过逆向传播的方法计算各个偏导数，得到雅可比矩阵。
微分方法是一种基于速度和力学关系计算雅可比矩阵的方法。
具体步骤如下：1.假设机械臂由n个关节组成，每个关节的旋转轴为z轴，关节坐标系为{X0Y0Z0}，末端坐标系为{XnYnZn}。
2.根据DH参数建立机械臂的坐标系链，得到各个坐标系的变换矩阵。
3.基于运动学关系，计算出末端速度和各个关节速度之间的关系，得到雅可比矩阵的第一部分。
4. 根据Newton-Euler动力学方程，计算出末端力和各个关节力之间的关系，得到雅可比矩阵的第二部分。
5.将第一部分和第二部分相加，得到雅可比矩阵。
无论使用几何方法还是微分方法，都需要根据具体的机械臂的结构和运动学参数进行计算。
在实际应用中，可以使用数值方法或符号计算方法来求解雅可比矩阵。
数值方法可以通过数值逼近法来计算雅可比矩阵，但计算结果可能不够精确。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
六自由度机器人Jacobian(雅克比)矩阵计算类六自由度机器人Jacobian(雅克比)矩阵计算类！作者：想飞的猪说明：MLGetIdentityMat为获得单位矩阵函数MLMatMulti为矩阵相乘函数和OpenCV求逆矩阵函数cvInvert没有给出请大家自己写一下！很简单的！ typedef struct RobotJacobian6{//变量!//各关节传递矩阵!union{struct{double AMat[6][4][4];};double A0to1[4][4];double A1to2[4][4];double A2to3[4][4];double A3to4[4][4];double A4to5[4][4];double A5to6[4][4];};union{struct{double TMat[6][4][4];};struct{double T0to6[4][4];double T1to6[4][4];double T2to6[4][4];double T3to6[4][4];double T4to6[4][4];double T5to6[4][4];};};//末端位姿!double EndPose[4][4];//D-H参数表!double DHParam[6][4];//顺序为：Angle d_L a_L a_A! //雅克比矩阵!double EndJacobian[6][6];//逆雅克比矩阵!double EndInvJacobian[6][6];//基坐标的笛卡尔微分运动到末端坐标的传递矩阵!double JBasetoEnd[6][6];double T_1to6[4][4];//该矩阵的姿态与基坐标一致，位置与末端坐标一致! //以便可以按照基坐标进行平动和绕基坐标轴方向转动!double mInput[6]; //输入!double mOutput[6];//输出!int mMode;void GetAMat(){for (int i=0;i{MLGetDHTransMat(AMat[i],DHParam[i][0],DHParam[i][1],DHParam[i][2],DHParam[i][3 ]);}}void GetTMat(){MLGetIdentityMat(T5to6);MLMatMulti(AMat[5],T5to6);MLMatMulti(AMat[4],T5to6,T4to6);MLMatMulti(AMat[3],T4to6,T3to6);MLMatMulti(AMat[2],T3to6,T2to6);MLMatMulti(AMat[1],T2to6,T1to6);MLMatMulti(AMat[0],T1to6,T0to6);}void UpdateAngle(double Angles[6])//Angles为弧度!{for (int i=0;i{DHParam[i][0]=Angles[i];}GetAMat();GetEndPose();GetTMat();GetEndJacobian();GetEndInvJacobian();GetJBasetoEnd();}void Inti(double DHparameter[6][4]) {for (int i=0;i{for (int j=0;j{DHParam[i][j]=DHparameter[i][j];}}GetAMat();GetEndPose();GetTMat();GetEndJacobian();GetEndInvJacobian();GetJBasetoEnd();for (i=0;i{mInput[i]=0;mOutput[i]=0;}mMode=BASE;}void GetEndPose(){MLGetIdentityMat(EndPose);for (int i=0;i{MLMatMulti(AMat[5-i],EndPose);}}void GetEndJacobian(){for (int i=0;i{EndJacobian[0][i]=-1*TMat[i][Xx][Nn]*TMat[i][Yy][Pp]+TMat[i][Yy][Nn]*TMat[i][Xx][Pp];EndJacobian[1][i]=-1*TMat[i][Xx][Oo]*TMat[i][Yy][Pp]+TMat[i][Yy][Oo]*TMat[i][Xx][Pp];EndJacobian[2][i]=-1*TMat[i][Xx][Aa]*TMat[i][Yy][Pp]+TMat[i][Yy][Aa]*TMat[i][Xx][Pp];EndJacobian[3][i]=TMat[i][Zz][Nn];EndJacobian[4][i]=TMat[i][Zz][Oo];EndJacobian[5][i]=TMat[i][Zz][Aa];}}void GetEndInvJacobian(){double Data1[36];CvMat Mat1 = cvMat( 6,6,CV_64FC1,Data1); double Data2[36];CvMat Mat2 = cvMat( 6,6,CV_64FC1,Data2); for (int i=0;i{for (int j=0;j{cvmSet(&Mat1,i,j,EndJacobian[i][j]);}}cvInvert(&Mat1,&Mat2,CV_SVD);for (i=0;i{for (int j=0;j{EndInvJacobian[i][j]=cvmGet(&Mat2,i,j); }}}void EndOutput(double Input[6], double Output[6])//Output为角速度! {MLMatMulti_3(EndInvJacobian,Input,Output);}void GetJBasetoEnd(){double TransMat[4][4];MLGetIdentityMat(TransMat);TransMat[0][3]=-1*EndPose[0][3];TransMat[1][3]=-1*EndPose[1][3];TransMat[2][3]=-1*EndPose[2][3];MLMatMulti(TransMat,EndPose,T_1to6);JBasetoEnd[0][0]=T_1to6[Xx][Nn]; JBasetoEnd[0][1]=T_1to6[Yy][Nn]; JBasetoEnd[0][2]=T_1to6[Zz][Nn];JBasetoEnd[1][0]=T_1to6[Xx][Oo]; JBasetoEnd[1][1]=T_1to6[Yy][Oo]; JBasetoEnd[1][2]=T_1to6[Zz][Oo];JBasetoEnd[2][0]=T_1to6[Xx][Aa]; JBasetoEnd[2][1]=T_1to6[Yy][Aa]; JBasetoEnd[2][2]=T_1to6[Zz][Aa];for (int i=3;i{for (int j=0;j{JBasetoEnd[i][j]=0;}}JBasetoEnd[3][3]=T_1to6[Xx][Nn]; JBasetoEnd[3][4]=T_1to6[Yy][Nn]; JBasetoEnd[3][5]=T_1to6[Zz][Nn];JBasetoEnd[4][3]=T_1to6[Xx][Oo]; JBasetoEnd[4][4]=T_1to6[Yy][Oo]; JBasetoEnd[4][5]=T_1to6[Zz][Oo];JBasetoEnd[5][3]=T_1to6[Xx][Aa]; JBasetoEnd[5][4]=T_1to6[Yy][Aa]; JBasetoEnd[5][5]=T_1to6[Zz][Aa];JBasetoEnd[0][3]=T_1to6[Yy][Pp]*T_1to6[Zz][Nn]-T_1to6[Zz][Pp]*T_1to6[Yy][Nn];//(P×N)xJBasetoEnd[0][4]=T_1to6[Zz][Pp]*T_1to6[Xx][Nn]-T_1to6[Xx][Pp]*T_1to6[Zz][Nn];//(P×N)yJBasetoEnd[0][5]=T_1to6[Xx][Pp]*T_1to6[Yy][Nn]-T_1to6[Yy][Pp]*T_1to6[Xx][Nn];//(P×N)zJBasetoEnd[1][3]=T_1to6[Yy][Pp]*T_1to6[Zz][Oo]-T_1to6[Zz][Pp]*T_1to6[Yy][Oo];//(P×O)xJBasetoEnd[1][4]=T_1to6[Zz][Pp]*T_1to6[Xx][Oo]-T_1to6[Xx][Pp]*T_1to6[Zz][Oo];//(P×O)yJBasetoEnd[1][5]=T_1to6[Xx][Pp]*T_1to6[Yy][Oo]-T_1to6[Yy][Pp]*T_1to6[Xx][Oo];//(P×O)zJBasetoEnd[2][3]=T_1to6[Yy][Pp]*T_1to6[Zz][Aa]-T_1to6[Zz][Pp]*T_1to6[Yy][Aa];//(P×A)xJBasetoEnd[2][4]=T_1to6[Zz][Pp]*T_1to6[Xx][Aa]-T_1to6[Xx][Pp]*T_1to6[Zz][Aa];//(P×A)yJBasetoEnd[2][5]=T_1to6[Xx][Pp]*T_1to6[Yy][Aa]-T_1to6[Yy][Pp]*T_1to6[Xx][Aa];//(P×A)z}void BaseOutput(double BaseInput[6], double Output[6])//Output为角速度!{double EndInput[6];MLMatMulti_3(JBasetoEnd,BaseInput,EndInput);EndOutput(EndInput,Output);}void SetInput(double Input[6]) {for (int i=0;i{mInput[i]=Input[i];}}void SetMode(int mode){mMode=mode;}void GetOutput(int mode=BASE) {int i=0;int j=0;switch(mode){case eND:EndOutput(mInput,mOutput);break;case BASE:BaseOutput(mInput,mOutput);break;}}RobotJacobian6(){}RobotJacobian6(double DHparameter[6][4]) { Inti(DHparameter);}}MLJacobian;。