与椭圆标准方程推导过程比较
椭圆参数方程推导原理
椭圆参数方程推导原理
椭圆参数方程是一种用来描述椭圆形状的数学方程，它可以用来描述椭圆的位置、大小和形状。
椭圆参数方程的推导原理是基于椭圆的标准方程，即：
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴。
椭圆参数方程的推导原理是将椭圆的标准方程转换为椭圆参数方程，即：
$$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$$
其中，h和k分别是椭圆的中心点的横纵坐标。
椭圆参数方程的推导原理是将椭圆的标准方程中的x和y分别减去h和k，然后将结果代入椭圆的标准方程中，即可得到椭圆参数方程。
椭圆参数方程的推导原理是基于椭圆的标准方程，它可以用来描述椭圆的位置、大小和形状。
椭圆参数方程的推导原理是将椭圆的标准方程转换为椭圆参数方程，即将椭圆的标准方程中的x和y分别减去h和k，然后将结果代入椭圆的标准方程中，即可得到椭圆参数方程。
椭圆参数方程的推导原理是一种简单而有效的方法，它可以用来描述椭圆的位置、大小和形状，为椭圆的研究提供了有效的数学工具。
关于椭圆标准方程推导的几种方法
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关于椭圆标准方程推导的几种方法
李 卫兵 山 东博 兴教 研 室 ２ ６ ０ ５５０
豳 ： ｌ要互 冒 摘
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口 、 ，／
构 成等 差 数 列 ， 此 等 差数 列 的 公 差 设
他 四种解法 ＇ 同行参考’ 供
为 ｄ， 则
③
解法１由已知等式ｖ 研 平方后整理得： Ｖ
、 ／ ｊ ／ ＇ ｉ 、Ｉ
＋ ｖ
＝ 两边直接 ２，
、 ／ ④ ＋ ， 然后 将③④分别平方相减得ｄ ， ＝ 即ｖ
② 后再对等式两边平方整理即可
最后对①式两边平方代入（ 式， 消参数 整理 可得．
０ ７ ５
口
、 ／ 二碍
＋ ＿ ＿ ｜ 二
＝ａ ｘ ＋ ）变形为 ２Ｌ（ ｃ，
＝ ａ （ ＋ ｃ） 即 ２２ ＋ ， 一 。
Ｖ＂ Ｚ ￣ ｃ ） （ｃ ）＝ ａ ｘ （ Ｄ ＋ ２ － ２ ｘ ： ２ Ｌ（ ｘ ＝
） 然后 两边 平 方整 理 即 可． ，
两边 平 方整 理 即 可 解 法４ 由已知 等 式 ｖ 故 可 设 、 Ｉ ＋ ＝ ａ ｏ ￣， ２ｃｓ Ｏ ＋ 二 、 ＝ ２
关键 词 ： 圆标 准 方程 ； 椭 通性 通 法 ； 移性 迁
法性’迁＇ 予握此 是通具移学 以・ 通法有性生 掌除 应
在现行高中数学教材中，椭圆标准方程的推导方法是通性
通法 ， 具有 迁 移性 ， 学生 应 予 以掌 握 ・ 此 之 外 ， 者 还研 究 了 其 除 笔 ｖ
椭圆与标准方程(ppt自带动画)
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
∵ 2a=10, 2c=8
∴ a=5, c=4
∴ b2=a2－c2=52－42=9 ∴所求椭圆的标准方程为 x2 y2 1
25 9
y
F1 o
M
F2 x
讲评例题
解题感悟：求椭圆标准方程的步骤：
①定位：确定焦点所在的坐标轴； ②定量：求a, b的值.
快速思考，举手回答．
①表示一个圆；
②表示一个椭圆；
(1)m 9 2
析：方程表示一个椭圆需要满足的条件：
25 m 0 16 m 0 25 m 16 m
16 m 25且m 9 2
探究与互动：
1、方程
x2 25－m
＋ y2 16＋m
＝1
，分别求方程满足下列条件
同 点
a、b、c 的关系
a2 = b2 + c2
焦点位置的判断 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
三.夯实基础 灵活运用
认真思考，举手抢答，并说明依据。 练习1.用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。
(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。 (2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。 (3)到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。
二.类比探究 形成概念 y
方程
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
F1
F2 x
即为焦点在x轴上的椭圆的标准方程.
所谓椭圆的标准方程，一定是 焦点在坐标轴上，且两焦点的 中点为坐标原点。
A1 思考：在图形中，a,b,c分别代表哪段 的长度？
椭圆的标准方程的推导方法
椭圆的标准方程的推导方法1、回顾用坐标法求动点轨迹方程的一般步骤：建系设点、写出动点满足的几何约束条件、坐标化、化简、证明等价性2、建立焦点在轴上的椭圆的标准方程①建系设点：观察椭圆的几何特征，如何建系能使方程更简洁？——利用椭圆的对称性特征以直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．设焦距为，则．设为椭圆上任意一点，点与点的距离之和为．②动点满足的几何约束条件:③坐标化：④化简：化简椭圆方程是本节课的难点，突破难点的方法是引导学生思考如何去根号预案一：移项后两次平方法分析的几何含义，令得到焦点在轴上的椭圆的标准方程为预案二：用等差数列法：设得4cx=4at，即t=将t=代入式得③将③式两边平方得出结论。
以下同预案一预案三：三角换元法：设得即即代入式得以下同预案一设计意图：进一步熟悉用坐标法求动点轨迹方程的方法，掌握化简含根号等式的方法，提高运算能力，养成不怕困难的钻研精神，感受数学的简洁美、对称美(3)建立焦点在轴上的椭圆的标准方程要建立焦点在轴上的椭圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程，如何去做？此时要借助于化归思想，抓住图(1)与图(2)的联系即可化未知为已知，将已知的焦点在轴上的椭圆的标准方程转化为焦点在轴上的椭圆的标准方程．只需将图(1)沿直线翻折或将图(1)绕着原点按逆时针方向旋转即可转化成图(2)，需将轴、轴的名称换为轴、轴或轴、轴．（1）（2）焦点在轴上的椭圆的标准方程为设计意图：体会数学中的化归思想，化未知为已知，避免重复劳动(4)辨析焦点分别在轴、轴上的椭圆的标准方程的异同点区别：要判断焦点在哪个轴上，只需比较与项分母的大小即可．若项分母大，则焦点在轴上；若项分母大，则焦点在轴上．反之亦然．联系：它们都是二元二次方程，共同形式为两种情况中都有如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
圆锥曲线(抛物线、椭圆、双曲线)标准方程推导
圆锥曲线(抛物线、椭圆、双曲线)标准方程推导几何定义是在平面中，由所有满足到一定点与到一定直线距离相等的点所组成的图形，把这个定点称为焦点(focus)、定直线称为准线(directrix)。
为了方便推导，把这一定点放在x轴正方向上，定直线垂直x 轴放在x轴负半轴上，且原点刚好在两者中间。
上面这些都仅仅是为了推导方便而已。
设曲线上的点坐标为(x,y)，于是，\begin{aligned} d(F, P) &=d(P, D) \\ \sqrt{(x-a)^{2}+(y-0)^{2}} &=|x+a| \\ (x-a)^{2}+y^{2}&=(x+a)^{2} \\ x^{2}-2 a x+a^{2}+y^{2} &=x^{2}+2 ax+a^{2} \\ y^{2} &=4 a x \end{aligned}四种不同开口的标准型：二、椭圆(Ellipse)几何意义是在平面中，由所有到两个顶点距离之和为定值的点所组成的图形，把这两个定点称为焦点(foci)，也是为了推导的方便，把这两个焦点对称放在x轴正负半轴上，令两段距离之和为2a，根据两点之间距离公式进行如下推导：\begin{aligned} d\left(F_{1}, P\right)+d\left(F_{2}, P\right) &=2 a \\ \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} &=2 a \\ \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=& 2 a-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ (x+c)^{2}+y^{2}=& 4 a^{2}-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ &+(x-c)^{2}+y^{2} \\x^{2}+2 c x+c^{2}+y^{2}=& 4 a^{2}-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ &+x^{2}-2 c x+c^{2}+y^{2} \\ 4 c x-4 a^{2}=&-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ c x-a^{2}=&-a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ \left(c x-a^{2}\right)^{2}=& a^{2}\left[(x-c)^{2}+y^{2}\right] \\ c^{2} x^{2}-2a^{2} c x+a^{4}=& a^{2}\left(x^{2}-2 cx+c^{2}+y^{2}\right) \\ \left(c^{2}-a^{2}\right)x^{2}-a^{2} y^{2} &=a^{2} c^{2}-a^{4} \\ \left(a^{2}-c^{2}\right) x^{2}+a^{2} y^{2} &=a^{2}\left(a^{2}-c^{2}\right) \end{aligned}令 b^2=a^2-c^2 （根据三角形两边之和大于第三边推出c<a）所以，\begin{aligned} b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2} &=a^{2} b^{2} \\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1\end{aligned}常见的两种椭圆标准方程，一种是横躺在x轴上，一种是“站立”着，关键就是看x和y下面哪个数值比较大，哪个大，那么长的对称轴就在哪个方向上。
选修1第一讲 椭圆中知识点总结(全)--附带涉及到的公式推导过程
椭圆：1、（第一）定义：12122PF PFa F F +=>；2、椭圆标准方程及离心率：焦点在x轴上的椭圆标准方程为：22221(0)x ya ba b+=>>；:a长半轴；b：短半轴；:c半焦距 .椭圆中a，b，c的关系：222a b c=+；椭圆的离心率(0,1)cea=∈ .3、弦长公式： 直线:l y kx b =+与椭圆2222:1()x y C m n m n+=≠交于两点11(,)M x y ，22(,)N x y ，则相交时的弦长1212MN x x y y =-=- .弦长公式是由两点距离公式与两点斜率公式推导出来，故适用性比较广。
4、中点弦结论（点差法）： 椭圆2222:1()x y C m n m n+=≠上的两点11(,)M x y ，22(,)N x y ，弦MN 的中点1212(,)22x x y yP ++， 则22MNOPn kk m⋅=- .5、焦点三角形面积： 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆C 上除左、右端点外的一点，令12F PF θ∠=，则：122tan2PF F S b θ∆=⋅ . 该公式是由三角形面积公式、椭圆第一定义、余弦定理结合三角恒等变换推导出来。
6、直线与椭圆位置关系： 联立:0l Ax By C ++=与椭圆2222:1()x y C m n m n +=≠，消去y （或x ）得一元二次方程，24b ac ∆=-， 相离⇔0∆<；相切⇔0∆=；相交⇔0∆>；7、与点坐标相关的面积公式： (0,0)O ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，点O ，A ，B 不在一条直线上， 则：122112OAB S x y x y ∆=-.该公式是由三角形面积公式、余弦定理结合三角恒等式推导出。
椭圆的标准方程推理过程
椭圆的标准方程推理过程
嘿，咱今儿个就来唠唠椭圆的标准方程推理过程。
你想啊，椭圆就像是一个被压扁了的圆，它有两个焦点，这两个焦点就好像是椭圆的两个小眼睛，一直盯着椭圆上的点呢。
那怎么来推导出椭圆的标准方程呢？咱先从简单的情况入手。
想象一下，在一个平面上，有两个固定的点，这就是那两个焦点啦。
然后呢，有一个动点，这个动点到这两个焦点的距离之和是个定值。
咱就设这两个焦点之间的距离是 2c，动点到两焦点的距离之和是2a，而且 a 是大于 c 的哦，要不然那还叫啥椭圆呀，对吧？
然后咱就开始捣鼓这个动点的坐标啦。
咱设动点的坐标是(x,y)，那根据到两焦点距离之和为定值这个条件，咱就能列出个式子来。
这式子一出来，咱就开始各种化简变形啦。
这过程就好像是给一个乱蓬蓬的头发慢慢梳理整齐一样，得有耐心呐。
经过一番捣鼓，嘿，椭圆的标准方程就出来啦！它就像是个宝贝，被我们从一堆乱麻中找出来了。
你说这神奇不神奇？这椭圆的标准方程就像是一把钥匙，能打开椭圆这个神秘世界的大门。
有了它，我们就能知道椭圆的各种性质，比如长短轴啦，离心率啦等等。
这就好比我们有了一张地图，能在椭圆的世界里畅游无阻。
而且啊，椭圆在生活中也有很多应用呢。
你看那些椭圆形的跑道，
还有那些椭圆形状的建筑，不都是椭圆的功劳嘛。
所以说啊，了解椭圆的标准方程推理过程，那可真是太重要啦！它
让我们能更好地理解这个奇妙的数学世界，也能让我们在生活中发现
更多椭圆的美和用处。
咱可别小瞧了这椭圆的标准方程推理过程，它就像是一把开启智慧
大门的钥匙，能让我们看到更多数学的奥秘和精彩呢！你说是不是呀？。
椭圆的标准方程推导过程
椭圆的标准方程推导过程
一、椭圆的定义
椭圆是平面内到两个定点 $F_1$ 和 $F_2$ 的距离之和等于常
数 $2a$ 的点 $P$ 的轨迹。
二、椭圆的标准方程
椭圆的标准方程形式为：$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-
k)^2}{b^2}=1$，其中 $(h,k)$ 是椭圆的中心点坐标，$a$ 和
$b$ 分别是椭圆在 $x$ 和 $y$ 方向的半轴长度。
三、推导过程
首先，设椭圆上任意一点 $P(x,y)$，则有：
$$PF_1+PF_2=2a$$ 根据两点之间的距离公式，可得：
$$\sqrt{(x-F_1)^2+y^2}+\sqrt{(x-F_2)^2+y^2}=2a$$ 将 $F_1$ 和$F_2$ 的坐标代入上式，化简后得到：
$$\sqrt{(x+a)^2+y^2}+\sqrt{(x-a)^2+y^2}=2a$$ 平方并化简，可得：$$x^2\cdot\frac{a^2}{a^2-b^2}+y^2\cdot\frac{a^2}{a^2-
b^2}=1$$ 因为 $a>b>0$，故 $\frac{a^2}{a^2-b^2}>0$，于是可
令常数 $c=\frac{a^2}{a^2-b^2}$，则上式可以转化为：
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ 即为椭圆的标准方程。
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∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设双曲线方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 ( x ≥ 3) . 9 16
例2.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B
答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处 测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方 程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的 准确位置.这是双曲线的一个重要应用.
* * * * * * 小结 * * * * * *
•
本节课学习了双曲线的定义、图象
和标准方程，要注意使用类比的方法，仿
F1 y
a F1 O c F2 x
定义
||MF1|—|MF2||=2a（2a＜|F1F2|）
图形
M
F1
F2
F2 M
F1
方程
焦点
a.b.c的关 系
x2 a2
y2 b2
1a 0, b 0
F1(-c,0), F2(c,0) c2=a2+b2
ay2焦椭2 点 圆bx位看22 置分1确母a 定大 0：小,b 0
0
x2
y2
1( x 0)
115600 44400
思考 1:若在 A,B 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆 炸点的轨迹是什么?
答: 爆炸点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线.
思考 2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的 时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定 爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全，我们最 关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸 点的准确位置呢?
思考:如果方程 x2 y2 1 表示双 2m m1
曲线，求m的取值范围.
感谢您的聆听！ THANKS FOR YOUR KIND
ATTENTION ！
LOVELL
• 此法为定义法求曲线方程，好处是省去繁 琐的运算。注意使用的步骤（需交代曲线 类型） 。
变式训练 1:已知两定点 F1(5, 0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 6 ,求动点 P 的轨迹方程.
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴ 由双曲线的定义可知， 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支),
思考：
（2）2a >0 ；
F
1
oF
2
（1）若2a= |F1F2|,则轨迹是？ (1)两条射线
（2）若2a> |F1F2|,则轨迹是？ (2)不表示任何轨迹
（3）若2a=0,则轨迹是？
(3)线段F1F2的垂直平分线
双曲线与椭圆之间的区别与联系：
定义
椭圆
|MF1|+|MF2|=2a (a>c)
双曲线 ||MF1|－|MF2||=2a
地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点
的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点 的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
如图所示，建立直角坐标系xOy,使A、B两点在x轴上，并
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴ 由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线,
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设所求方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 . 9 16
c2 a2 b2
x2 a2
y2 b2
1a 0, b 0
• 想一想
焦点在y轴上的双曲线的图象是什么？ 标准方程怎样求？
焦点在y轴上的双曲线的标准方程
y2 a2
x2 b2
1a
0,b 0
c2 a2 b2
观察图形 找出图形中a,b,c所表示的几何意义
F2
x c2 y2 x c2 y2 2a
y x c2 2 2a x c2 y2 2
与椭圆标
cx a2 a x c2 y2
准方程推 导过程比
较
c2 a2 x2 a2 y2 a2 c2 a2
F双1(0曲,-c线), 看F2x(20、,cy) 2 的系数正负
焦点位置的 看x2,y2项系数的正负,哪项系数为正,焦点就在哪一条轴上 判定
注:任何一条双曲线,只需选择适当的坐标系,其方程均可写成标准形式,当且仅
当双曲线的焦点在坐标轴上,且两焦点的中点是原点时,其方程才具有标准形式
例 1 已 知 两 定 点 F1(5, 0) , F2(5, 0) , 动 点 P 满 足 PF1 PF2 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
照椭圆的定义、图象和标准方程的探究思来自路来处理双曲线的类似问题。
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
说明
（1）2a< |F1F2| ；
（0<a<c)
x2 y2 a2 b2 1
y2 a2
x2 b2
1
x2 a2
y2 = 1 b2
y2 x2 a2 - b2 = 1
F（±c，0） F（0，±c）
焦点
a>b>0，a2=b2+c2
a、b、c 的关系
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一
定大于b，c2=a2+b2
• 作业布置：《导与练》相应练习
且点O与线段AB的中点重合
设爆炸点P的坐标为(x,y)，
y
P
则 PA PB 340 2 680 即 2a=680，a=340 AB 800
Ao Bx
2c 800,c 400, b2 c2 a2 44400
800 PA PB 680 0 , x 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为