四年级数学培优第8讲 巧用消去法解题

第8讲巧用消去法解题

巧点晴——方法和技巧

有些应用题，给出了两个或两个以上的未知量，要求出这些未知量，应先把题中的条件按对应关系一一排列，分析对应的未知量的变化情况。通过“代人法”或“加减法”消去一些未知量，使数量关系较复杂的题目变得比较简单。

巧指导——例题精讲

A级冲刺名校·基础点晴

一、巧妙简单消去

学校第一次买了6个水瓶和40个茶杯，共用去268元；第二次又买了同样的6个水瓶和32个茶杯，共用去236元。问水瓶和茶杯的单价各是多少元？

分析与解用数量关系式来比较对应的未知量的情况。

第一次：6个水瓶的价钱＋40个茶杯的价钱=268（元）

第二次：6个水瓶的价钱＋32个茶杯的价钱=236（元）

268元与236元的差正好是8个茶杯的价钱。可以把6个水瓶的价钱消去，先求出茶杯的价钱，再求出水瓶的价钱。

每个茶杯的价钱为：（268－236）÷（40－32）=4（元）

每个水瓶的价钱为：（268－4×40）÷6=18（元）

答：每个水瓶18元，每个茶杯4元。

做一做1 二年级同学买4个水壶和8只水桶，共用去64元；五年级同学买同样的4个水壶和12只桶，共用去88元。问每个水壶卖多少元？每只水桶卖多少元？

【例2】6篓苹果和10蒌梨一共有172只，12篓苹果和8篓梨一共有224只。问每篓苹果和每蒌梨各有多少只？

分析与解散先列出题中的数量关系式，设法消去其中的一个未知量，然后再解答。

6篓苹果的个数＋10篓梨的个数=172（只）

12篓苹果的个数＋8篓梨的个数=224（只）

把第一个关系式的每一项都乘以2，就可以得到：12篓苹果＋20篓梨=344（只），再和第二个关系式比较，就可以得到12篓梨共120只，从而算出1篓梨的个数和1篓苹果的个数。

12篓苹果和2篓梨一共有：172×2=344（只）

1篓梨有：（344－224）÷（20－8）=10（只）

1篓苹果有：（172－10×10）÷6=12（只）

答：每篓苹果有12只，每篓梨有10只。

做一做2 体育老师去买球。买1个篮球和1个足球，则应付118元；若买3个篮球和5个足球，则应付480元。求篮球和足球的单价。

【例3】买18张桌子和6把椅子共要1560元。10张桌子的价钱比6把椅子的价钱多680元。问一张桌子多少元？一把椅子多少元？

分析与解与前面的题目一样，设法消去其中一个未知量，然后再进行解答。

18张桌子的价钱＋6把椅子的价钱=1560（元）

10张桌子的价钱－6把椅子的价钱=680（元）

通过观察可以发现：只要把两上关系式合并起来（即相加起来），就能得到（18＋10）=28张桌子的价钱正好是：1560＋680=2240（元）。从而算出一张桌子多少元、一把椅子多少元。

一张桌子的价钱是：（1560＋680）÷（18＋10）=80（元）

一把椅子的价钱是：（1560－80×18）÷6=20（元）

答：一张桌子80元，一把椅子20元。

做一做3 买3千克茶叶和5千克糖一共用去420元，买同样的2千克茶叶比5千克糖贵130元。问每千克茶叶多少元？每千克糖多少元？

B级培优竞赛·更上层楼

二、巧用转换消去法

【例4】14袋大米和6袋面粉共重850千克，同样的6袋大米和14袋面粉共重650千克。求每袋大米和每袋面粉和重量。

分析与解我们用数量关系式来比较对应的未知量。

14袋大米的重量＋6袋面粉的重量=850（千克）

6袋大米的重量＋14袋面粉的重量=650（千克）

大米和面粉的袋数各不相同，而且它们之间也不存在整数倍数的关系。因此，用前面讲过的方法来解决这道题显然是困难的。观察已知条件，两次大米的总袋数和两次面粉的总袋数是相等的。因此，我们可以先求出20袋大米和20袋面粉的总重量，然后再设法消去一个量。

20袋大米和20袋面粉共重：850＋650=1500（千克）

6袋大米和6袋面粉共重：1500÷20×6=450（千克）

8袋大米重：850－450=400（千克）

每袋大米重：400÷（14－6）=50（千克）

每袋面粉重：75－50=25（千克）

答：每袋大米重50千克，每袋面粉重25千克。

做一做4 买5支铅笔和3支圆珠笔共付11.5元，买同样的3支铅笔和5支圆珠笔共付14.9元。问买1支铅笔、1支圆珠笔应各付多少？

【例5】甲买了16盒糖和10盒蛋糕共用342元，乙买了10盒糖和4盒蛋糕共用去180元。问每盒糖和每盒蛋糕各多少元？

分析与解我们还是用数量关系式来比较对应的未知量。

甲：16盒糖的价钱＋10盒蛋糕的价钱=342（元）……①

乙：10盒糖的价钱＋4盒蛋糕的价钱=180（元）……②

用前面学地过的几种方法都不易解答这道题，我们可以这样比较：①－②得甲比乙多用的钱就是6盒蛋糕和6盒糖的价钱，这样就可以求出1盒糖和1盒蛋糕的价钱。

甲比乙多用：6盒蛋糕的价钱＋6盒蛋糕的价钱=162（元）

4盒糖的价钱和4盒蛋糕的价钱一共的价钱是：162÷6×4=108（元）每盒糖：（180－108）÷（10－4）=12（元）

每盒蛋糕：（180－12×10）÷4=15（元）

答：每盒糖12元，每盒蛋糕15元。

做一做5 2条床单和4条毛巾共240元，同样的4条床单和6条毛巾共450元。问每条床单多少元？每条毛巾多少元？

【例6】体育老师到商店买了2个足球和3个篮球需要付154元，买3个足球和5个篮球需要付245元。问买1个足球和1个篮球各应付多少元？

分析与解 2个足球的价格＋3个篮球的价格=154（元）……① 3个足球的价格＋5个篮球的价格=245（元）……②如果把第一个式子中足球的个数扩大3倍，第二个式子中足球的个数扩大2倍，就可以把足球的个数变为相同，从而设法消去它。即：6个足球的价格＋9个篮球的价格=462（元）

6个足球的价格＋10个篮球的价格=490（元）

1个篮球的价格是245×2－154×3=28（元）

1个足球的价格是（154－28×3）÷2=35（元）

答：1个足球35元，1个篮球28元。

做一做6 妈妈去水果店买水果，买5千克苹果和3千克梨要付27元，买3千克苹果和2千克梨要付17元。问苹果和梨的单价各是多少元？

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【例7】李明用188元买了1件大衣、1条裤子和1双鞋。李明