三角形的三线整理

×
E
③BE是⊿ABC边AC上的中线(
×)
) B
F
H
G
④CH是⊿ACD边AD上的高(
√
D
C
三角形的高、中线与角平分线都是线段
练习& 反馈 ☞
1、下列各个图形中，哪一个图形中AD是△ABC 的高( D )
C A D C B (A) 2、填空： D A (B) B C B A (C) D B
C D
(D)
∵∠BAD=∠CAD，
B
D
C
A
∴线段AD是△ABC的角平分线 _____
B D
A
C
∵∠ADC=90°， 高 ∴线段AD是△ABC的___
B D
学科网
C
例2、如图，AD、AM、AH分别是△ABC的角平分线、 中线、高。 （1）∵AD是△ABC的角平分线，
1 ∴∠ BAD =∠ DAC = ∠ BAC 。 2
A
B
D
E
C
例3、 如图，AD是△ABC的角平分线，AC∥DE,DE交 AB于E，DF∥AB,DF 交AC 于F，图中∠1与∠2有 什么关系？为什么？
A E 1 2 B D F C
拓展& 提高 ☞
3、在ΔABC中,CD是中线,已知 BC-AC=5cm, ΔDBC的周长为 25cm,求ΔADC的周长.
42
5 3
4
5
三角形的高
从三角形的一个顶点 向它的对边 顶点 和垂足 所在直线作垂线， 之间的线段叫做三角形这边的高， 简称三角形的高。 B 如图, 线段AD是BC边上的高. 任意画一个锐角△ABC, 请你画出BC边上的高. 注意 ! 标明 垂直的记号 和垂足的字母. B D C A A
5
2 3
4
•锐角三角形 •直角三角形 •钝角三角形
•高在三角形内部的数量 •高之间是否相交 •高所在的直线是否相交 三条高所在直线的 交点的位置
3 相交 相交
三角形内部
1 相交 相交
直角顶点
1 不相交 相交
三角形外部
三角形的三条高所在直线交于一点
三角形的中线
叫做这个三角形这边的中线.
A E顶点与它对边中点的来自段, 在三角形中,连接一个B
D
C
已知， ΔABC为等边三角形 DE⊥AB,DF ⊥AC,AM ⊥BC试问 A DE+DF与AM有怎样的数 F 量关系
E B DM
C
答： DE+DF=AM理由如下 连接AD A
∵ DE⊥AB,DF ⊥AC,AM ⊥BC F AC DF ∴ SΔABD= AB DE SΔACD= E 2 2 B DM SΔABC= BC AM C 2 ∵ SΔABD +SΔACD =SΔABC
A
（1）如图（1），AD，BE，CF是ΔABC的三条中线， 则 1 AC BF AF DC AB=2 =2 ，BD= ，AE= 。 2 （2）如图（2）， AD，BE，CF是ΔABC的三条角平分线，则 1 ∠ 2 ∠ABC ∠1= ， ∠3= ， ∠ACB=2 ∠4 =2 ∠ACF 。 2
A F B D 图1 E C
3
2
1
0
D
C
0
1
2
3
4
5
0 1 4 5 6 7 8 9 10
锐角三角形的三条高
∵AD是△ABC的高
B ∴AD⊥BC， ∠ADC=∠ADB=90°(高的定义)
A
B
D
C
锐角三角形的三条高
每人画一个锐角三角形。 (1) 你能画出这个三角形的三条高吗?
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？ 将你的结果与同伴进行交流. 锐角三角形的三条高是 在三角形的内部还是外部? B
1理解三角形的三线的定义，会画一个 三角形的三线 2理解并掌握三角形的三线的性质，并 会加以应用 3.提高学生动手操作及解决问题的能力。
相关知识回顾
1.垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个
角是直角时，就说这两条直线互相垂直， 其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 把一条线段分成两条相等的线段的点。 2.线段中点的定义：
A
这个角的顶点与交点之间的线段, 叫做三角形的角平分线。
●
︶
B
1 2
●
D 三角形的三条角平分线相交于 一点,交点在三角形的内部
C
任意画一个三角形,然后利用量角器画出 这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么?
角平分线的理解
因为BE是△ABC的角平分线
A
1∠ABC ∠ABE ∠CBE 所以______=______= _____ 2
三角形中线的理解
●
O ∵AD是△ ABC的中线 ● B C 1 D ∴BD=CD= BC （中线的定义） 2 三角形的三条中线相交于一点, 交点在三角形的内部.
F
任意画一个三角形,然后利用刻度尺画出 这个三角形三条边的中线,你发现了什么?
三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交， ∵AD是 △ ABC的角平分线 １∠BAC ∴∠ BAD = ∠ CAD = ２ （角平分线的定义）
因为CF是△ABC的角平分线
B ∠ACF ∠BCF 所以∠ACB=2______=2______
F
O
E
D
C
三角形的角平分线与角的 平分线有什么区别？
三角形的角平分线是一条线段 , 角 的平分线是一条射线.
思 考
例题讲解（一）
例1、点D是△ABC的BC边上的一点。 ∵BD=CD，
A
∴线段AD是△ABC的中线 ___
2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶 点，那么这个三角形是（ B ）
A.锐角三角形 C.钝角三角形
B.直角三角形 D.锐角三角形
3.在下图中，如果AE=ED=DC ，则BE、BD分别 是 △ABD 、△BCE 的中线，
图中有没有面积相等的三角形？
3.如图,在⊿ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长 BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列 说法那些是正确的,哪些是错误的. A ①AD是⊿ABE的角平分线( × ) 2 1 ②BE是⊿ABD边AD上的中线( )
学科网
(2) ∵AM是△ABC的中线，
1 BC 。 ∴ BM = CM = 2
（3）∵AH是△ABC的高，
A
∴∠ AHC =∠ AHB =90°
B
M D H
C
拓展& 提高 ☞
1、三角形的一条中线是否将这个三角形分 成面积相等的两个三角形?为什么?
A
F
B D E C
2、如上图,已知:AD是BC边上的中线,BF为 AD边上的中线,若⊿ABC的面积为4,则⊿ABD的 面积为________, ⊿ABF的面积为________.
图形
表示法
A
因为AD是△ABC的BC上
C
三角形 的高线
B
D
的高线. 所以AD⊥BC ∠ADB=∠ADC=90°.
三角形 的中线
A
因为 AD是△ABC的
C
B
D
BC上的中线. 所以 BD=CD= ½ BC.
A
2 1
三角形的 角平分线
因为.AD是△ABC的
∠BAC的平分线，所以 ∠1=∠2= ½ ∠BAC
例题讲解（二）
例1、如图，BD=DE=EF=FC。
AD是△ABE ____的中线， ____ AF 是△AEC的中线， ADF 的中线。 AE是△ABC ____和△_____
A
B
D
E
F
C
例2、已知： AD、AE是△ABC中线和高。 AB=5cm,AC=3cm, (1)求△ABD与△ACD的周长之差； （2）写出△ABD与△ACD的面积关系，并说明理由。
A F
E O C
D
锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高都在三角形的内部。
直角三角形的三条高
在纸上画出一个直角三角形。 (1) 画出直角三角形的三条高. (2)它们有怎样的位置关系？ 将你的结果与同伴进行交流. A
D B
●
直角三角形的三条高 交于直角顶点.
AB 直角边BC边上的高是__________; 直角边AB边上的高是 CB ; BD 斜边AC边上的高是______________.
C
议一议
钝角三角形的三条高
A F D B E C
(1) 钝角三角形的 三条高交于一点吗？ (2)它们所在的直线交于一点吗？ 将你的结果与同伴进行交流.
钝角三角形的三条高 不相交于一点. 钝角三角形的三条高 所在直线交于一点.
O
小结:三角形的高
从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段 叫做三角形这边的高。 三角形的三条高的特性：
B A F 1 2 3 D 图2 E 4 C
3.如图，在ΔABC中，AE是中线，AD是 角平分线，AF是高。填空：
1 BE CE （1）BE= = ； 2
1 ∠BAC ； （2）∠BAD= ∠CAD = 2 A
（3）∠AFB= ∠AFC =90°；
1 BC•AF （4）SΔABC= 2
。
C E D F B
3.角平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。
你还记得 “过一点画已知 直线的垂线” 吗?
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
过三角形的一个顶 点，你能画出它的 对边的垂线吗?
0
1
2
3
4
5
6