二次曲线的类型.ppt
x" y"
x' y'
z" z'
a4' 4
那么(2.8)化简为:
2a34
1 x2 2 y2 2a34z 0.
7°12 0, 则同于形式:
x2 a2
y2 b2
2z.
8°12 0, 则同于形式:
x2 a2
y2 b2
2z.
它们是实对称的。
记 T (a14 , a24 , a34 ), T ( x y z),则 A 可以分块
写成 :
A
A T
a44
.
二次曲面的方程(2.1)可表示成 :
F(x, y, z) (T
A
1) T
a44
1
.
(2.3)
x x
y
2a24 y
2a34 z
a4' 4
2 a224 a324
z a34 y a24 z
a224 a324
通过此变换,(2.11)可化简成形式:
14° x 2 2 py.
抛物柱面
（2） a24 a34 0
15° 1 与 a4' 4异号,则同于形式:
x2 y2 a 2 b2 1 0.
椭圆柱面 虚椭圆柱面
11°12 0, 则同于形式:
x2 y2 a2 b2 1 0.
双曲柱面
(3) a34 a4' 4 0,
12°12 0,
则同于形式:
x2 y2
a2 b2 0.
一对相交于一条 实直线的虚平面
13° 12 0, 则同于形式:
则有:
( x, y, z) x1( x, y, z) y2( x, y, z) z3( x, y, z).
由代数知识知道(参见附录)，实对称矩阵可用正交
矩阵对角化。即对实对称矩阵 A ，存在正交矩阵T，使
T T A T 为对角矩阵，且对角线上的元素为A 的特征值 1, 2 , 3, 即方程:
曲面方程变为 : F( x, y, z)
1 x2 2 y2 3z2 2a1'4 x 2a2' 4 y 2a3' 4z a44
0
(2.6)
由以上知道，我们总能找到适当的右手直角坐标
系使二次曲面的方程具有(2.6)的形式。因而不妨设二 次曲面的方程就是(2.6)的形式，并将方程中的符号 “ ” 去掉。
(2.9) 椭圆抛物面 双曲抛物面
(2) a34 0, a4' 4 0, 则(2.8)变为:
1 x2 2 y2 a4'4 0.
(2.10)
9° 1 , 2 同号但与 a4' 4 异号 ,则同于形式:
x2 y2 a2 b2 1 0.
10°1 , 2 , a4' 4 同号,则同于形式:
a11 0;
类似于空间二次曲面的讨论，读者自行研究平
面上的二次曲线方程有如下结论。记平面上的二次曲
线方程为 :
F ( x, y) a11x2 a22 y2 2a12 xy 2a13 x 2a23 y a33
a11 a12 a13 x
x
y
1 a12
a22
Φ(x,y,z)可以表示为:
( x, y, z) T A
记:
1 ( x, y, z) a11 x a12 y a13z,
2 ( x, y, z) a12 x a22 y a23z, 3 ( x, y, z) a13 x a23 y a33z,
4 ( x, y, z) a14 x a24 y a34z,
y
z
1)a12
a22
a23
a24
y
,
aa1143
a23 a24
a33 a34
a34 a44
z 1
a11 a12 a13 x
(x, y, z) (x
y
z)a12
a22
a23
y
,
a13 a23 a33 z
x2 y2 a2 b2 0,
(6) 抛物线: y2 2 px 0,
(7) 一对平行直线: y2 a2 0,
(8) 一对虚平行直线: y2 a2 0,
(9) 一对重合直线: y 2 0.
a23
y
0
a13 a23 a33 1
(2.12)
记
(x,y)
(x,y)
a11 a12
a12 a22
x y
,
1( x, y) a11 x a12 y, 2( x, y) a12 x a22 y,
3 ( x, y) a13 x a23 y.
§2 二次曲线的类型
记空间中二次曲面的一般方程为 F(x, y, z) a11 x2 a22 y2 a33z2 2a12 xy 2a13 xz 2a23 yz
2a14 x 2a24 y 2a34z a44 0
其中 a11 , a22 , a33 , a12 , a13 , a23 不全为0. 记F(x,y,z)的二次部分为
(2.4)
T 0
1
0
1 1
,
(2.5)
将(2.5)代入二次曲面的方程(2.3)中得:
T
1
A
T
a44
1
T
1
T T
0
0 A
1 T
T
a44
x2 a2 0.一对平行平面源自16° 1与a
' 44
同号,则同于形式:
x2 a2 0.
一对虚的平行平面
17°a4' 4 0 , 则同于形式:
x2 0.
一对重合平面
综合以上结论,我们有
定理2.1 选取适当的坐标系，二次曲面方程总
可以化简为以下五个简化方程中的一个
(1) a11 x2 a22 y2 a33z2 a44 0, a11a22a33 0;
( x, y, z) a11 x2 a22 y2 a33z2 2a12 xy 2a13 xz 2a23 yz
(2.1) (2.2)
利用矩阵的乘法可以把F(x,y,z)，Φ(x,y,z)写成
下列形式 :
a11 a12 a13 a14 x
F(x, y, z) (x
经过类似于二次曲面方程的化简过程可以得到:
定理 2.1' 平面上的二次曲线方程可化简为以
下三个简化方程之一：
(1) a11 x 2 a22 y 2 a33 0, a11a22 0; (2) a22 y2 2a13 x 0, a22a13 0; (3) a22 y 2 a33 0, a22 0.
0
0
1
1
T
1
T T AT
TT
T T
a44
1
T
1 TT
T T
a44
1
记 TT (a1'4 a2' 4 a3' 4 ) .因此经过直角坐标变换(2.4) ，
A E 0
的根,它们全为实数.因此:
1
T
T
AT
2
.
3
对二次曲面的方程(2.3)，我们作如下的右手直角坐
标变换，保持原点不动，从旧坐标系 1 {O;e1,e2,e3}
到新坐标系 2 {O;1 e1,e2,e3} 的过渡矩阵为T,即:
T,
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1 0.
虚椭球面
2°1, 2 , 3 , 异号,则同于形式:
x2 y2 z2 a 2 b2 c2 1 0.
单叶双曲面
(2) 123a4' 4 0
3°
1x, 22
,
3 ,
y
同号,则同于形式:
2 z2
a 2 b2 c 2 1 0.
y2 b2
z2 c2
0.
二次锥面
情形2 1, 2 , 3,中只有一个为0.不妨设 3 0 ,
作移轴:
x
'
x
a14
1
y'
y
a 24
2
z
'
z
则有
1 x2 2 y2 2a34z a4'4 0.
(2.8)
(1) a34 0 ,再作移轴:
椭球面
4° 1, 2 , 3, 异号,则同于形式:
x2 y2 z2 a 2 b2 c2 1 0.
双叶双曲面
(3)
a
5°
4' 41,
0
2
,
3
,
同号,则同于形式:
x2 y2 z2 a 2 b2 c 2 0.
一点
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几种常用的二次曲面与空间曲线
1. 指出下列方程的图形:
方程 x5
平面解析几何中 空间解析几何中 平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
x2 y2 9 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆
以 z 轴为中心轴的 圆柱面
y x 1 斜率为1的直线 平行于 z 轴的平面
55
例4：求抛物柱面 x 2y2 和平面 x z 1
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
y2 b2
1
• 椭圆锥面:
x2 a2
y2 b2
z2
53
3、几种常用的空间曲线
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
54
思考与练习
解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
x2 a2
y2 z2 c2
1
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 a2
z c
2 2
1
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
20
二、柱面
z
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面上，
表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0), 过此点作 x
o y
S : x2 z2 2 py
例如:将yoz平面上的抛物线C: y2 2 pz
x
绕z轴旋转一周所产生的抛物面为:
z
S : x2 y2 2 pz
§2 二次曲线的类型概要
二次曲面的方程(2.1)可表示成 :
A A T
T
. a44
F ( x, y, z ) (
Φ(x,y,z)可以表示为:
A 1) T . a44 1
T
(2.3)
( x, y, z ) A
记:
1 ( x, y, z ) a11 x a12 y a13 z,
'
(2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
虚椭圆:
x2 y2 交于一实点的二虚直线: 2 2 0, a b x2 y2 双曲线: 2 2 1 0, a b x2 y2 两条相交直线: 2 0, 2 a b
(1) a34 0
,再作移轴:
1 x 2 2 y 2 2a34 z 0.
7°12
(2.9)
0, 则同于形式:
x2 y2 2 2z. 2 a b
椭圆抛物面
8°12 0, 则同于形式: x2 y2 2 2z. 2 a b
双曲抛物面
a34 0, a 0, 则(2.8)变为: ' 1 x 2 2 y 2 a44 0. (2.10) ' , 9° 1 2 同号但与 a 44 异号 ,则同于形式:
定理2.1
a11a22a34 0;
(3) a11 x 2 a22 y 2 a44 0,
2 a x (4) 11 2a24 y 0,
a11a22 0;
a11a24 0;
a11 0;
(5) 二次曲面总共有17种曲面. 类似于空间二次曲面的讨论，读者自行研究平 面上的二次曲线方程有如下结论。记平面上的二次曲 线方程为 :
一般二次曲线的化简与分类
例 化简二次曲线方程下x2+4xy+4y2+12x-y+1=0 ,写出坐标变换公式并画出它的图形。
解 由于I2=1×4-22=0,曲线是非中心型的,应先转轴后移轴。 1、设旋转角为θ,则有
得 tan =-1/2 或 tan =2 取 tan =2(若取 tan =-1/2 ,同样可将原方程化简),则有：
解 因为I2＝<0,所给的二次曲线是双曲型的.
中心方程组
2x3y100,
解得中心坐标为 (－ 2,2) .作移轴3变x换2y100.
原方程化为
再作转轴变换 ， 得旋转角为 .故转轴变换为
x x 2,
y
y
2,
x23xyy210
cot2θ 1310 x
1 ( x y ), 2
4
y
1 ( x y ). 2
4、转轴变换公式 ：
x
2 x 5
1 y , 5
y
1
x
2
y .
y y"
y'
5
5
代入,可将方程化简为
x"
标准方程是 6x2 y2 12 O'
这是一个椭圆,如图所示.
2
2
O"
x'
x2 y12 1 作图要中点坐：标要系比O-较xy准平确移地到画(2,出1)成新O旧'-坐x'y标',再系把和坐曲标线系的O图'-形x'y,'必旋须转掌角握得好O比"-x例"y、".在新新旧坐原O 标点系的O位"-置x"以y"及中坐根标据轴椭的圆旋的转标角准.本方x 题程
双曲线方程及性质的应用 课件
则4－k2≠0，Δ＝4k2＋20(4－k2)>0， 所以16k2<80，即|k|< 5，k≠±2， 且x1＋x2＝4－2kk2，x1x2＝－4－5 k2， 所以x＝12(x1＋x2)＝4－k k2， y＝12(y1＋y2)＝k2(x1＋x2)＋1＝4－4 k2. 由xy＝＝44－－4kkk22，消去k，得4x2－y2＋y＝0(y<－4或y≥1)．
因为a＝ 2，c＝2 2，所以b2＝c2－a2＝6， 即所求轨迹方程为x22－y62＝1(x＞ 2)．
归纳升华 1．求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方 法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几 何关系，得到双曲线的定义，从而得出对应的方程． 2．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲 线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双 曲线的一支还是两支．
点，可以用交轨法求解，也可以用点差法求解．
[规范解答] 法一 由题知直线的斜率存在，设被 点B(1，1)平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代 入双曲线方程x2－y22＝1，(2分)
得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0，(4分) 所以Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)＞0， 解得k＜32，且k≠± 2，(6分) x1＋x2＝2k（k2k－－21）.(8分)
a 近线平行，直线与双曲线 C 相交于一点．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±ba时， Δ＝(2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)， Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与 双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与 双曲线相切； Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双 曲线相离．
5.2：二次曲线的渐近方向、中心、渐近线
如果 a11 a22 0, 渐近方向满足
X : Y 1: 0 或 0 :1 从上我们看到，当且仅当 I 2 0 时， 二次曲线的渐近方向是一对共轭的虚方向；
a11 a12 I2 a12 a22
( X , Y ) a11 X 2a12 XY a22Y 0
2 2
（3）
( X , Y ) a11 X 2a12 XY a22Y 0
2 2
（3）
如果 a11 a22 0
那么一定有 a12 0
这时（3）变为
所以 这时
2a12 XY 0 X : Y 1: 0 或 0 :1
0 a12 2 I2 a12 0 a12 0
a11 a12 I2 a12 a22
X X a11 2a12 a22 0 Y Y
2
( X , Y ) a11 X 2a12 XY a22Y 0
2 2
（3）
如果 a11 0，那么把（3）改写成
X X a11 2a12 a22 0 Y Y
x x0 Xt y y0 Yt
与二次曲线交于两点 M 1 , M 2
那么过 ( x0 , y0 )以任意非渐近方向 X : Y 为方向 的直线
x x0 Xt y y0 Yt
与二次曲线交于两点 M 1 , M 2
M2
C(x0,y0) M1 (a)
3x 2 2 xy 4 y 2 6 x 3 y 7 0 的中心. 例1 求曲线
解:
二次曲线的中心坐标由下列方程组决定
F1 ( x, y) 3x y 3 0,
解得:
3 F2 ( x, y) x 4 y 0 2
双曲线的简单几何性质课件
1(λ≠0，－b2<λ<a2).
x2 y2
x2 y2
(4) 与 双 曲 线 a2 － b2 ＝ 1 具 有 相 同 渐 近 线 的 双 曲 线 方 程 可 设 为 a2 － b2 ＝
λ(λ≠0).
(5)渐近线为 ax±by＝0 的双曲线方程可设为 a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).
求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)以直线 2x±3y＝0 为渐近线，过点(1，2)；
b
b
b2
程求解，另一种方法是消去 c 转化成含a 的方程，求出a 后利用 e＝ 1＋a2 求
离心率．
2．求离心率的范围技巧 (1)根据条件建立 a，b，c 的不等式． (2)通过解不等式得ca 或ba 的范围，求得离心率的范围．
(2)双曲线离心率对曲线形状有何影响？ x2 y2
提示：以双曲线a2 －b2 ＝1(a＞0，b＞0)为例．
c
a2＋b2
b2
b
b
e＝a ＝ a ＝ 1＋a2 ，故当a 的值越大，渐近线 y＝a x 的斜率越大，双
曲线的开口越大，e 也越大，所以 e 反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心
率越大，它的开口就越大．
巧设双曲线方程的方法与技巧
x2 y2 (1)焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程可设为a2 －b2 ＝1(a>0，b>0).
y2 x2 (2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为a2 －b2 ＝1(a>0，b>0).
x2
y2
x2
y2
(3) 与 双 曲 线 a2 － b2 ＝ 1 共 焦 点 的 双 曲 线 方 程 可 设 为 a2－λ － b2＋λ ＝
B．y＝±34 x
解析几何(五)精品PPT课件
Ⅰ中心曲线 I2
a11 a21
a12 0 a22
Ⅱ非中心曲线 I2
a11 a21
a12 0 即 a11 a12
a22
a21 a22
ⅰ无心曲线： a11 a12 a13 a21 a22 a23
ⅱ线心曲线： a11 a12 a13 a21 a22 a23
3、二次曲线的渐进线 1、 定义（渐近线）：过中心具有渐进方向的直线叫做二次曲线的渐近线。
a22
a21 a22 a21 a22 a23
若 a11 a12 a13 无数多解，中心构成一条直线 a21 a22 a23
a11X a12Y a13 0 或 a21X a22Y a23 0 这条直线叫中心直线。
定义：有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线，没有中心的二次曲线 叫无心二次曲线，有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线，无心 二次曲线与线心二次曲线统称为中心二，
X
:Y
为渐近方向，那么
FF12
( (
X X
,Y ,Y
) )
0 且 Q(X ,Y )
0
0
渐近线⑵与二次曲线⑴的交点由方程
Q( X ,Y )t2 2[ XF1(x , y ) YF2 (x , y )]t F (x , y ) 0 的根确定。当 F ( X ,Y ) 0 ，渐
因此二次曲线的渐进方向最多有两个，而非渐进方向有无数个。
⑶二次曲线按渐进方向分类 定义：没有实渐进方向的二次曲线叫做椭圆型的，有一个实渐进方向的二次 曲线叫做抛物型的，有两个实渐进方向的二次曲线叫做双曲型的。 因此二次曲线⑴按其渐进方向可以分为三种类型：即
ⅰ椭圆型曲线： I2 0
ⅱ抛物型曲线： I2 0
2、
P二次曲线的类型和形状的判别
'
'
'
b1' = b1cosθ + b2sinθ b = −b1sinθ + b2 cosθ
解出b1 , b2
' b1 =b1' cos θ − b2 sin θ , ' b2 = b1' sin θ + b2 cos θ .
c =c
' 2 '
这说明的 (b1 , b2 ) 变换规律和 ( x, y ) 的变换规律 是一样的，同时也说明，转轴不能消去一次项. 是一样的，同时也说明，转轴不能消去一次项.
*
* a11 = a11 二次项系数不变，一次项系 * 数要改变，为了消去一次项， a12 = a12 必须并且只须新坐标原点的 a* = a ( x0 , y0 ) 坐标 满足方程 22 22 * a11 x0 + a12 y0 + b1 = 0, b1 = a11 x0 + a12 y0 + b1 , a12 x0 + a22 y0 + b2 = 0, b* = a x + a y + b , 12 0 22 0 2 2 2 2 c* = a11 x0 + 2a12 x0 y0 + a22 y0 + 2b1 x0 + 2b2 y0 + c = F ( x0 , y0 )
*2
I3 焦参数为 p = − 3 I1
I 3 = 0，即b1' =0,曲线的标准方程 a y + c =0,
* 22 *2 *
b a c −b c =c − = . ' a a22 * ' ' ' 因为a22 = a22 = a11 + a22 = I1 , c = c, b1 = 0
沪科版九年级上册数学精品教学课件 第21章 第2课时 二次函数y=a(x+h)2的图象和性质
解： 由题意得 m2 9 0，所以 m ≠ ±3.
3. 若函数 y (m 1)xm2 2m1 (m 3)x 4 是二次函数，
那么 m 的取值范围是什么？
解：由题意得
m2
2m
1
2，
m 1 0.
m的取值范围是 m 3.
【解题小结】本题考查二次函数的概念，这类题需紧 扣概念的特征进行解题.
(2) 当 x＝3 时，y＝－32＋8×3＝15， 即矩形的面积为 15 cm2.
课堂小结
二次 函数
定义 一般形式
特殊形式
右边是整式； 自变量的最高指数是 2； 二次项系数 a ≠ 0.
y = ax2 + bx + c (a ≠ 0, a, b, c 是常数)
y = ax2； y = ax2 + bx； y = ax2 + c. (a ≠ 0，a，b，c 是常数)
2. 函数 y = (m - n)x2 + mx + n 是二次函数的条件是( C ) A. m，n 是常数，且 m ≠ 0 B. m，n 是常数，且 n ≠ 0 C. m，n 是常数，且 m ≠ n D. m，n 为任何实数
3．下列函数是二次函数的是 ( C )
A．y = 2x＋1 C．y = 3x2＋1 4. 已知函数 y = 3x2m-1－5.
例3 某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，第 1 档次 (最低档次) 产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元.每 提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件. (1) 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元 (其中 x 为 正整数，且 1≤x≤10)，求出 y 关于 x 的函数关系式； 解：依题意知生产第 x 档次的产品，提高了(x－1)档，利 润增加了 2(x－1) 元. 则有 y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]. 即 y＝－10x2＋180x＋400 (其中 x 是正整数，且1≤x≤10).
二次曲面的方程与图形
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
1. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
x a, y b, z c
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 a2
y2 b2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1,
z 0
y2 b2
z2 c2
1,
x 0
x2 a2
z2 c2
1
y 0
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b,c为正数)
(3) 截痕: 与 z z1 ( z1 c)的交线为椭圆：
a2 c2
x2 (c2
z12
)
b2 c2
y2 (c2
z12
)
1
z
z z1
同样 y y1 ( y1 b ) 及
的截痕
也为椭圆.
(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.
2. 抛物面
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
y2 (bt)2
1,
zt
①
z
z
O yy xx
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换
得到)
内容小结 二次曲面
3. 双曲面
z
(1)单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z c
2 2
1
( a,b,c 为正数)
x
O
y
平面 z z1 上的截痕为椭圆.
1. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
x a, y b, z c
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 a2
y2 b2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1,
z 0
y2 b2
z2 c2
1,
x 0
x2 a2
z2 c2
1
y 0
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b,c为正数)
(3) 截痕: 与 z z1 ( z1 c)的交线为椭圆：
a2 c2
x2 (c2
z12
)
b2 c2
y2 (c2
z12
)
1
z
z z1
同样 y y1 ( y1 b ) 及
的截痕
也为椭圆.
(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.
2. 抛物面
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
y2 (bt)2
1,
zt
①
z
z
O yy xx
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换
得到)
内容小结 二次曲面
3. 双曲面
z
(1)单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z c
2 2
1
( a,b,c 为正数)
x
O
y
平面 z z1 上的截痕为椭圆.