三角形的重心外心与内心
三角形四心定理以及相关证明
引言概述：在几何学中，三角形是研究的重要对象之一。
而三角形四心定理是关于三角形内四个特殊点的定理，它们分别是三角形的重心、外心、内心和垂心。
这个定理不仅有着重要的理论价值，而且在实际应用中也有广泛的应用。
本文将详细介绍三角形四心定理以及相关的证明。
正文内容：一、重心（G）重心是三角形内部三条中线的交点，也称为质心。
重心的坐标可以通过三个顶点的坐标求得。
设三角形的顶点分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃），则重心的坐标为G（(x₁+x₂+x₃)/3，(y₁+y₂+y₃)/3）。
大点1：重心的性质小点1：重心与顶点的连线成比例小点2：重心与重心连线中点的连线平行于底边小点3：重心是内心和外心连线的中点大点2：重心的应用小点1：稳定平衡问题小点2：质心的分割线小点3：质心的建模应用二、外心（O）外心是可以通过三角形的三个顶点构造出的唯一圆的圆心。
外心到三角形的每个顶点距离相等。
大点1：外心的性质小点1：外心是垂直平分线的交点小点2：外心到各顶点的距离相等小点3：外心是三角形内切圆的圆心大点2：外心的应用小点1：计算三角形的外接圆半径小点2：设计圆形邮票小点3：构造圆锥曲线三、内心（I）内心是可以通过三角形的三条内切圆的切点构造出的唯一点。
大点1：内心的性质小点1：内心到三边的距离相等（接切性质）小点2：内心是角平分线的交点小点3：内心是三角形外角平分线的交点大点2：内心的应用小点1：计算三角形的内切圆半径小点2：解决三角形的内接问题小点3：优化布局问题四、垂心（H）垂心是通过三角形的三条高的交点构造出的唯一点。
大点1：垂心的性质小点1：垂心是中线的垂直平分线的交点小点2：垂心到各边的距离相等小点3：垂心是三角形外心的反演点大点2：垂心的应用小点1：计算三角形的三条高的长度小点2：解决三角形与圆的位置关系问题小点3：优化三角形的面积总结：三角形四心定理是几何学中重要的定理，包括重心、外心、内心和垂心。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)
三角形五心定理（三角形的重心, 外心, 垂心, 内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理, 外心定理, 垂心定理, 内心定理, 旁心定理的总称.之马矢奏春创作一、二、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点.该点叫做三角形的重心.三中线交于一点可用燕尾定理证明, 十分简单.（重心原是一个物理概念, 对等厚度的质量均匀的三角形薄片, 其重心恰为此三角形三条中线的交点, 重心因而得名）重心的性质：1、重心到极点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.2、重心和三角形3个极点组成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.3、重心到三角形3个极点距离的平方和最小.4、在平面直角坐标系中, 重心的坐标是极点坐标的算术平均, 即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3, （Y1+Y2+Y3)/3.二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心, 叫做三角形的外心.外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点, 该点即为该三角形外心.2、若O是△ABC的外心, 则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）.3、当三角形为锐角三角形时, 外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时, 外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时, 外心在斜边上, 与斜边的中点重合.4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1, d2, d3分别是三角形三个极点连向另外两个极点向量的点乘.c1=d2d3,c2=d1d3, c3=d1d2；c=c1+c2+c3.重心坐标：( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c, (c1+c2)/2c ).5、外心到三极点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点, 该点叫做三角形的垂心.垂心的性质：1、三角形三个极点, 三个垂足, 垂心这7个点可以获得6个四点圆.2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线, 且OG∶GH=1∶2.（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一极点距离为此三角形外心到此极点对边距离的2倍.4、垂心分每条高线的两部份乘积相等.定理证明已知：ΔABC中, AD、BE是两条高, AD、BE交于点O, 连接CO 并延长交AB于点F , 求证：CF⊥AB证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB因此, 垂心定理成立！四、三角形内心定理三角形内切圆的圆心, 叫做三角形的内心.内心的性质：1、三角形的三条内角平分线交于一点.该点即为三角形的内心.2、直角三角形的内心到边的距离即是两直角边的和减去斜边的差的二分之一.3、P为ΔABC所在平面上任意一点, 点I是ΔABC内心的充要条件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).4、O为三角形的内心, A、B、C分别为三角形的三个极点, 延长AO交BC边于N, 则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC五、三角形旁心定理三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心, 叫做三角形的旁心.旁心的性质：1、三角形一内角平分线和另外两极点处的外角平分线交于一点, 该点即为三角形的旁心.2、每个三角形都有三个旁心.3、旁心到三边的距离相等.如图, 点M就是△ABC的一个旁心.三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点.一个三角形有三个旁心, 而且一定在三角形外.附：三角形的中心：只有正三角形才有中心, 这时重心, 内心, 外心, 垂心, 四心合一.有关三角形五心的诗歌三角形五心歌（重外垂内旁）三角形有五颗心, 重外垂内和旁心, 五心性质很重要, 认真掌握莫记混．重心三条中线定相交, 交点位置真奇巧, 交点命名为“重心”, 重心性质要明了,重心分割中线段, 数段之比听分晓；长短之比二比一, 灵活运用掌握好．外心三角形有六元素, 三个内角有三边．作三边的中垂线, 三线相交共一点．此点界说为外心, 用它可作外接圆．内心外心莫记混, 内切外接是关键．垂心三角形上作三高, 三高必于垂心交．高线分割三角形, 呈现直角三对整,直角三角形有十二, 构成六对相似形, 四点共圆图中有, 细心分析可找清.内心三角对应三极点, 角角都有平分线, 三线相交定共点, 叫做“内心”有根源；点至三边均等距, 可作三角形内切圆, 此圆圆心称“内心”, 如此界说理固然．。
初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心
初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心三角形的四心定义：1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理：角平分线上点到角两边距离相等)。
2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
4、重心：重心是三角形三边中线的交点。
三角形的外心的性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心;2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合;3.锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心与斜边的中点重合。
在△ABC中4.OA=OB=OC=R5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA6.S△ABC=abc/4R三角形的内心的性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2.5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90°+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三角形的垂心的性质:1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。
三角形的中心和外心的计算
三角形的中心和外心的计算三角形是几何学中最基本的形状之一，它有许多重要的特点和定理。
其中，三角形的中心和外心是三角形内外最重要的点之一。
本文将介绍如何计算三角形的中心和外心。
一、三角形的中心在三角形中，有三种常见的中心，分别是重心、垂心和内心。
下面分别介绍三种中心的计算方法。
1. 重心三角形的重心被定义为三角形三个顶点的重心，并且三条中线交于一点，即重心。
计算重心的方法如下：假设三角形的三个顶点分别为A（x1, y1），B（x2, y2），C（x3,y3）。
重心坐标的横坐标(xG)可以通过下面的公式计算得到：xG = (x1 + x2 + x3)/3重心坐标的纵坐标(yG)可以通过下面的公式计算得到：yG = (y1 + y2 + y3)/3通过以上公式，就可以得到三角形的重心坐标。
2. 垂心三角形的垂心是通过三角形三个顶点与对应边的垂线的交点得到的。
计算垂心的方法如下：假设三角形的三个顶点分别为A（x1, y1），B（x2, y2），C（x3,y3）。
垂心坐标的横坐标(xH)可以通过下面的公式计算得到：xH = (x1 + x2 + x3)/3垂心坐标的纵坐标(yH)可以通过下面的公式计算得到：yH = (y1 + y2 + y3)/3通过以上公式，就可以得到三角形的垂心坐标。
3. 内心三角形的内心是通过三角形三个内切圆的切点得到的。
计算内心的方法如下：假设三角形的三个顶点分别为A（x1, y1），B（x2, y2），C（x3,y3）。
内心坐标的横坐标(xI)可以通过下面的公式计算得到：xI = (ax1 + bx2 + cx3)/(a + b + c)内心坐标的纵坐标(yI)可以通过下面的公式计算得到：yI = (ay1 + by2 + cy3)/(a + b + c)其中，a、b、c分别是三角形的边长，可以通过两点间距离公式计算得到。
通过以上公式，就可以得到三角形的内心坐标。
二、三角形的外心三角形的外接圆是一个经过三角形三个顶点的圆。
三角形的重心外心和内心
三角形的重心外心和内心在几何学中，三角形是最基本且最常见的几何形状之一。
三角形的重心、外心和内心是三角形内部特殊点的代称。
它们具有重要的几何性质和应用价值。
本文将会详细介绍三角形的重心、外心和内心的概念、性质以及相关应用。
重心是三角形内部的一个特殊点，通常用字母G表示。
重心是三条中线的交点，其中中线是连接三角形各顶点与对应中点的线段。
重心在中线上的位置为距离两个端点的距离与中点距离的比例为2:1。
由于三角形的三条中线都经过重心，因此重心是三角形的一个几何中心。
在重心处，三角形被等分为六个面积相等的三角形。
此外，重心的几何位置使得重心到三个顶点的距离之和最小，即满足最小总距离条件。
外心是三角形内部的一个特殊点，通常用字母O表示。
外心位于三角形的外部，且与三个顶点都相切。
外接圆是以三角形的三个顶点为切点的圆，外心就是外接圆的圆心。
外心到三个顶点的距离都相等，而且外心到三边的距离也相等。
三角形的三条中垂线都经过外心，因此外心也是三角形的一个几何中心。
外心是三角形内接圆和外接圆的交点之一。
内心是三角形内部的一个特殊点，通常用字母I表示。
内心位于三角形的内部，且与三条边都相切。
内接圆是以三角形的三边为切线的圆，内心就是内接圆的圆心。
内心到三条边的距离都相等，而且内心到三个顶点的距离之和最小。
三角形的三条角平分线都经过内心，因此内心也是三角形的一个几何中心。
三角形的重心、外心和内心在实际生活中有着广泛的应用。
在建筑和工程领域，三角形的重心可以用于确定建筑物的结构平衡。
在航空航天领域，外心可以用于确定飞机或者火箭的重心和稳定性。
在地理测量和导航领域，内心可以用于计算地图上各个地点的方向和距离。
总结起来，三角形的重心、外心和内心是三角形内部特殊点的代称，它们具有重要的几何性质和应用价值。
重心是三条中线的交点，外心是外接圆的圆心，内心是内接圆的圆心。
它们在解决实际问题中起着重要的作用。
通过研究和理解三角形的重心、外心和内心，可以帮助我们更好地认识和应用几何学知识。
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心
三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. . 一、外心一、外心. .三角形外接圆的圆心，简称外心三角形外接圆的圆心，简称外心..与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理定理. .例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上外接圆上. . 分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP =NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点的外心，点 N 是△P ′PC 的外心的外心..有 ∠∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ，∠∠PP ′C =21∠PNC =21∠BAC .∴∠∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC . 从而，从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上外接圆上. . 由于由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似相似. .分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心，作出六边形的外心，作出六边形 O 1PO 2QO 3S 后再由外后再由外 心性质可知心性质可知∠∠PO 1S =2=2∠∠A ， ∠∠QO 2P =2=2∠∠B ， ∠∠SO 3Q =2=2∠∠C . ∴∠∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360=360°°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360=360°°将△将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. ∴∠∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K=21(∠O 2O 1S +∠SO 1K )=21(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2) =21∠PO 1S =∠A ；同理有∠同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC . 二、重心二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心..掌握重心将每掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题及中线长度公式，便于解题. .例3．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点是任意一点..证明：在△PAD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和中，其中一个面积等于另外两个面积的和. .分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB，BC 相交相交..从A ，C ，D ，E ，F 分别分别 作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′，′， D ′，E ′，F ′. 易证易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，′，22EE ′=AA ′+CC ′，′，∴∴EE ′=DD ′+FF ′. 有有S △PGE =S △PGD +S △PGF . 两边各扩大两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF .例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似的新三角形相似..其逆亦真其逆亦真. .分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′围成的三角形简记为△′..G为重心，连DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF .(1)a 2，b 2，c 2成等差数列Þ△∽△′△∽△′. .若△若△ABC 为正三角形，易证△∽△′为正三角形，易证△∽△′. . 不妨设不妨设a ≥b ≥c ，有，有CF =2222221c b a -+，BE =2222221ba c -+，AD =2222221a c b -+. 将将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得，分别代入以上三式，得 CF =a23，BE =b 23，AD =c23.∴∴CF :BE :AD =a23:b 23:c23=a :b :c .故有△∽△′故有△∽△′故有△∽△′. . (2) (2)△∽△′△∽△′Þa 2，b 2，c 2成等差数列成等差数列. . 当△中当△中a ≥b ≥c 时，时， △′中△′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′，∵△∽△′， ∴DD S S '＝(aCF )2.据据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有AA 'FF 'G E E 'D 'C'P C B DDD SS '=43.∴∴22aCF =43Þ3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c 2Þa 2+c 2=2b 2.三、垂心三、垂心三角形三条高的交战，三角形三条高的交战，称为三角形的垂心称为三角形的垂心..由三角形的垂心造成的四个等由三角形的垂心造成的四个等((外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利圆三角形，给我们解题提供了极大的便利. .例5．设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心的垂心..求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.. 分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径，记圆半径为R .由△A 2A 3A 4知13212sin H A A H A Ð=2R ÞA 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4；由△由△A 1A 3A 4得A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4. 但∠但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2.易证易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A 1H 2， 故得故得H 1H 2 A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称成中心对称. .同理，同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称点成中心对称..故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上在同一个圆上..后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称成中心对称..由O ，M 两点，Q 点就不难确定了点就不难确定了. .例6．H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心的中心..一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2. 求证：求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2.分析：只须证明分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可即可..设 BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外 接圆半径为R ，⊙H 的半径为r .连连HA 1，AH 交EF 于M . A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH 2=r 2+(AM 2-MH 2)，①① 又又AM 2-HM 2=(21AH 1)2-(AH -21AH 1)2=AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2=cos A ·bc -AH 2， ②② 而而ABHAH Ðsin =2R ÞAH 2=4R 2cos 2A ,∥=∥=H H HMAB BA ABC C C F12111222D EAa sin =2R Þa 2=4R 2sin 2A .∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. . ③③ 由①、②、③有由①、②、③有A 21A =r 2+bca cb 2222-+·bc -(4R 2-a 2) =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.同理，21BB =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2，21CC =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.故有AA 1=BB 1=CC 1.四、内心四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心三角形内切圆的圆心，简称为内心..对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：下面一个极为有用的等量关系： 设I 为△ABC 的内心，射线AI 交△ABC 外接圆于A ′，则有A ′I =A ′B =A ′C .换言之，点A ′必是△IBC 之外心之外心((内心的等量关系之逆同样有用内心的等量关系之逆同样有用). ).例7．ABCD 为圆内接凸四边形，取△DAB ，△ABC ，△BCD ， △CDA 的内心O 1， O 2，O 3，O 4.求证：O 1O 2O 3O 4为矩形为矩形. . (1986 (1986，中国数学奥林匹克集训题，中国数学奥林匹克集训题，中国数学奥林匹克集训题) )证明见《中等数学》证明见《中等数学》199219921992；；4例8．已知⊙O 内接△ABC ，⊙Q 切AB ，AC 于E ，F 且与⊙O 内切内切..试证：EF中点P 是△ABC 之内心之内心. .分析：在第20届IMO 中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB =AC .当AB ≠AC ，怎样证明呢？ 如图，显然如图，显然EF 中点P 、圆心Q ，BC 中点K 都在∠BAC 平分线上平分线上..易知AQ =a sin r. ∵∵QK ·AQ =MQ ·QN ， ∴∴QK =AQQN MQ ×=asin /)2(r r r R ×-=)2(sin r R -×a .由由Rt △EPQ 知PQ =r ×a sin .∴∴PK =PQ +QK =r ×a sin +)2(sin r R -×a =R 2sin ×a . ∴∴PK =BK .a利用内心等量关系之逆定理，即知利用内心等量关系之逆定理，即知P 是△ABC 这内心这内心. .A B C D O O O 234O 1AααMBC KNEROQ Fr P五、旁心五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心旁心常常与内心联系在一起，旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切旁心还与三角形的半周长关系密切. .例9．在直角三角形中，求证：r +r a +r b +r c =2p . 式中式中r ，r a ，r b ，r c 分别表示内切圆半径及与a ，b ，c 相切的旁切圆半径，p 表示半周表示半周. .分析：设Rt △ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p (p -c )=(p -a )(p -b ).∵p (p -c )=21(a +b +c )·21(a +b -c )=41[(a +b )2-c 2] =21ab ；(p -a )(p -b )=21(-a +b +c )·21(a -b +c )=41[c 2-(a -b )2]=21ab .∴p (p -c )=(p -a )(p -b ). ). ①① 观察图形，可得观察图形，可得 r a =AF -AC =p -b ， r b =BG -BC =p -a ， r c =CK =p .而r =21(a +b -c )=p -c . ∴r +r a +r b +r c=(p -c )+(p -b )+(p -a )+p =4p -(a +b +c )=2p . 由①及图形易证由①及图形易证. .例1010．．M 是△ABC 边AB 上的任意一点上的任意一点..r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径半径..证明：11q r ·22q r =qr .(IMO -12)分析：对任意△A ′B ′C ′，由正弦定理可知′，由正弦定理可知OD =OA ′·2'sinA=A ′B ′·'''sin 2'sinB O A B з2'sin AK r r r r O O O 213AOE CBabcA ...'B'C'O O 'ED=A ′B ′·2''sin 2'sin2'sinB A B A +×，O ′E = A ′B ′·2''sin2'cos2'cos B A B A +. ∴2'2''B tg A tg E O OD =. 亦即有亦即有11q r ·22q r =2222B tgCNB tgCMA tgA tgÐÐ=22B tgA tg =qr .六、众心共圆六、众心共圆这有两种情况：(1)(1)同一点却是不同三角形的不同的心；同一点却是不同三角形的不同的心；同一点却是不同三角形的不同的心；(2)(2)(2)同一图形出现了同一图形出现了同一三角形的几个心同一三角形的几个心. .例1111．．设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB =BC ，CD =DE ，EF =FA .试证：(1)AD ，BE ，CF 三条对角线交于一点；三条对角线交于一点；(2)AB +BC +CD +DE +EF +FA ≥AK +BE +CF .分析：连接AC ，CE ，EA ，由已知可证AD ，CF ，EB 是△ACE 的三条内角平分线，I 为△ACE 的内心的内心..从而有ID =CD =DE ，IF =EF =FA ， IB =AB =BC .再由△再由△BDF ，易证BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用利用 不不等式有：等式有： BI +DI +FI ≥2·(IP +IQ +IS ).不难证明不难证明IE =2IP ，IA =2IQ ，IC =2IS .∴∴BI +DI +FI ≥IA +IE +IC .∴∴AB +BC +CD +DE +EF +FA =2(BI +DI +FI )≥≥(IA +IE +IC )+(BI +DI +FI )=AD +BE +CF . I 就是一点两心就是一点两心. . 例1212．△．△ABC 的外心为O ，AB =AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD 的重心的重心..证明OE 丄CD .分析：设AM 为高亦为中线，取AC 中点中点F ，E 必在DF 上且DE :EF =2:1.=2:1.设设CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心重心. . 连GE ，MF ，MF 交DC 于K .易证：易证： E rdos..I P ABCD EFQ S A BCD E F O KGDG :GK =31DC :(3121-)DC =2:1.∴∴DG :GK =DE :EF ÞGE ∥MF . ∵∵OD 丄AB ，MF ∥AB ， ∴∴OD 丄MF ÞOD 丄GE .但OG 丄DE ÞG 又是△ODE 之垂心之垂心. . 易证易证OE 丄CD . 例1313．△．△ABC 中∠C =30=30°，°，O 是外心，I 是内心，边AC 上的D 点与边BC 上的E 点使得AD =BE =AB .求证：OI 丄DE ，OI =DE .分析：辅助线如图所示，作∠DAO 平分线交BC 于K . 易证△易证△AID ≌△AIB ≌△EIB ，∠AID =∠AIB =∠EIB . 利用内心张角公式，有利用内心张角公式，有利用内心张角公式，有 ∠∠AIB =90=90°°+21∠C =105=105°，°，°，∴∠∴∠DIE =360=360°°-105-105°×°×°×3=453=453=45°°. ∵∠∵∠AKB =30=30°°+21∠DAO =30 =30°°+21(∠BAC -∠BAO ) =30 =30°°+21(∠BAC -60-60°°)=21∠BAC =∠BAI =∠BEI .∴∴AK ∥IE .由等腰△由等腰△AOD 可知DO 丄AK ， ∴∴DO 丄IE ，即DF 是△DIE 的一条高的一条高. . 同理同理EO 是△DIE 之垂心，OI 丄DE . 由∠由∠DIE =∠IDO ，易知OI =DE . 例1414．锐角△．锐角△ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心分别是外心、重心、垂心..设外心到三边距离和为d 外，重心到三边距，重心到三边距 离和为d 重，垂心到三边距离和为d 垂.求证：求证：11·d 垂+2+2··d 外=3=3··d 重. 分析：这里用三角法分析：这里用三角法..设△ABC 外接圆外接圆半径为1，三个内角记为A ，B ， C . . 易知易知d 外=OO 1+OO 2+OO 3 =cos A +co sB +cos C ，∴∴2d 外=2(cos A +cos B +cos C ). ). ①① ∵∵AH 1=sin B ·AB =sin B ·(2sin C )=2sin B ·sin C ， 同样可得同样可得BH 2·CH 3. ∴∴3d 重=△ABC 三条高的和三条高的和 =2 =2··(sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B ) ) ②② ∴∴BCHBH Ðsin =2=2，，O ABCDEFIK30°B CO IA O G H O G H G O G H 1231122331 =( 2。
初中数学点知识归纳三角形的重心外心和内心
初中数学点知识归纳三角形的重心外心和内心三角形是初中数学中常见的一个图形，它有着许多重要的性质和定理。
在本文中，我们将重点介绍三角形的重心、外心和内心，并归纳总结相关的知识点。
一、重心重心是指三角形三条中线交点的位置，也是三角形内部的一个点。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的中线交点为G，则点G即为三角形的重心。
重心有以下性质：1. 重心与三角形的三个顶点的连线重合，即GA = GB = GC。
2. 重心到三角形三边的距离满足以下关系：GA : GD = GB : GE =GC : GF，其中D、E、F是三角形的三边上的点，与重心G连线垂直。
二、外心外心是指三角形外接圆的圆心位置，也是三角形内部的一个点。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的外接圆圆心为O，则点O即为三角形的外心。
外心有以下性质：1. 外心是三角形三条垂直平分线的交点，即OA ⊥ BC，OB ⊥ AC，OC ⊥ AB。
2. 外心到三角形的三个顶点的距离相等，即OA = OB = OC。
三、内心内心是指三角形内切圆的圆心位置，也是三角形内部的一个点。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的内切圆圆心为I，则点I即为三角形的内心。
内心有以下性质：1. 内心是三角形三条角平分线的交点，即∠BAI = ∠CAI = ∠ABI。
2. 由内心出发，分别到三角形的三条边的距离相等，即ID ⊥ AB，IE ⊥ BC，IF ⊥ AC。
综上所述，三角形的重心、外心和内心都是三角形内部的一个点，分别具有不同的性质和特点。
它们在三角形的构造和性质研究中扮演着重要的角色。
理解和掌握这些点以及与它们相关的性质，对于解决三角形相关的问题和定理证明都是非常有帮助的。
在实际应用中，重心、外心和内心的位置和性质可以用于解决各种与三角形相关的几何问题。
比如，可以利用重心的性质证明中线长等分重心的角，可以利用外心的性质判断三角形的形状（是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形），可以利用内心的性质求解三角形的面积等。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)[参照]
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)[参照]
三角形的重心：是指三角形内任意一点，它到三条边上三个顶点连线的质心，即三角形的外心和所有顶点的重心。
外心：指三角形的外接圆心，也就是三条边的质心，即三角形的重心。
垂心：指三角形的垂心，也就是三角形所有内角的质心，即三角形的重心。
内心：指三角形内角平分线的交点，也就是三角形各内角的质心，即三角形的重心。
旁心：指三角形的垂直平分线的交点，也就是三角形各边的质心，即三角形的重心。
三角形特殊点(重心、外心、内心)的向量性质简介
三角形特殊点（重心、外心、内心）的向量性质简介 向量三心定理是几何学中的一个重要定理，它涉及三角形的三个特殊点：重心、外心和内心，以及这些点在向量空间中的性质。
以下是对向量三心定理的详细解释：一、重心（Centroid ）1. 定义：2. 重心是三角形三条中线的交点。
中线是连接三角形任意两边中点的线段。
3. 向量性质：4. 设三角形ABC 的三个顶点分别为A 、B 、C ，重心为G ，则有5. GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 6. 即重心到三角形三个顶点的向量和为零向量。
7. 坐标公式：8. 若三角形ABC 的顶点坐标为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，C(x 3,y 3)，则重心G 的坐标为9. G (x 1+x 2+x 33,y 1+y 2+y 33) 二、外心（Circumcenter ）1. 定义：2. 外心是三角形外接圆的圆心，也是三角形三边垂直平分线的交点。
3. 向量性质：4. 设三角形ABC 的外心为O ，则有5. (OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )∙AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )∙BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )∙CA⃗⃗⃗⃗⃗ =06.即外心到三角形任意两顶点的向量和与该两顶点构成的边的点积为零。
7.坐标求解：8.外心的坐标通常通过求解三角形三边的垂直平分线方程，然后联立求解得到。
三、内心（Incenter）1.定义：2.内心是三角形三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。
3.向量性质：4.设三角形ABC的内心为I，a、b、c分别为三角形的三边长，则有5.IA⃗⃗⃗⃗ =a(IB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +IC⃗⃗⃗⃗⃗ )a+b+c−IB⃗⃗⃗⃗6.IB⃗⃗⃗⃗ =b(IC⃗⃗⃗⃗⃗ +IA⃗⃗⃗⃗⃗ )a+b+c−IC⃗⃗⃗⃗7.IC⃗⃗⃗⃗ =c(IA⃗⃗⃗⃗⃗ +IB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )a+b+c−IA⃗⃗⃗⃗8.或者更简洁地表示为9.OI⃗⃗⃗⃗ =aOA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +bOB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +cOC⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗a+b+c10.其中O为三角形平面上任意一点（通常选择原点或三角形的一个顶点）。
三角形重心内心外心
1.重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
该点叫做三角形的重心。
2.外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL.3.垂心定理：三角形的三条高交于一点。
该点叫做三角形的垂心。
4.内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。
该点叫做三角形的内心。
内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半。
5．旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。
该点叫做三角形的旁心。
三角形有三个旁心。
每一题中三角形均为ABC一.中垂线交点（外心）分别作AB，BC的中垂线，交于点O，则OA=OB，OB=OC，所以OA=OC，所以点O在AC中垂线上，所以三角形三条中垂线交于一点。
二.三高所在直线交点（垂心）分别过A,B,C作对边的平行线，交于3点，与A,B,C三点所对应的三点记作D,E,F，则三条高线所在直线为三角形DEF的三条中垂线，由“一”知，三角形三条中垂线交于一点，，所以三角形三条高线所在直线交于一点。
三.三条内角平分线交点（内心）设∠A平分线与∠B平分线交于O点，则O点到AB，AC的距离相等；O点到BC，BA距离相等，所以O点到AC，BC距离相等，所以点O在∠C的角平分线上，所以三角形三条角平分线交于一点。
四.三角形其中两条外角平分线与另一个角的内角平分线交于一点（旁心）（有3点）证明方法与“三”内心相似（略）五.三角形三条中线交于一点（重心）找AB中点F，AC中点E，连接这两条中线交于点O，连接AO并延长，交BC于点D，可得S三角形ABE=S三角形ACF=1/2×S三角形ABC，得S三角形BOF=S三角形COE（两三角形同减S四边形AEOF），得S三角形AOB=S三角形AOC（都为上面两三角形面积的两倍），得B到AD和C到AD的距离相等（面积相等，底相等），所以S三角形BOD=S三角形COD（同底等高），所以BD=CD（面积相等，高相等），即D为BC中点，所以三角形三条中线交于一点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角形的重心外心与内心
三角形是几何学中最基本也是最重要的图形之一，它由连结三个非共线点而成。
三角形具有许多重要的性质和特点，其中包括重心、外心和内心。
本文将从重心、外心和内心的定义、性质、计算方法以及应用等方面进行探讨和讲解。
一、重心
重心是一个三角形内部一个特殊点，它由三个三角形的垂直平分线的交点所确定。
垂直平分线是由三角形的顶点连结对边中点而成。
重心的性质如下：
1. 重心所在的垂直平分线，将三角形分成两等面积的三角形。
（垂直平分线将底边分成相等的两部分，因此上下两个三角形面积相等）
2. 重心到三角形的各顶点的距离，分别相等且比重心到任意其他点的距离短。
（重心是三角形内到各顶点距离之和最短的点）
3. 三角形的重心是三角形内所有到各顶点距离之和最小的点。
计算重心的方法：
设三角形的顶点分别为A、B、C，重心为G，则重心的坐标为：x = (x1 + x2 + x3) / 3
y = (y1 + y2 + y3) / 3
其中，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)分别是点A、B、C的坐标。
二、外心
外心是一个三角形外接圆的圆心。
三角形的外接圆是经过三个顶点的圆。
外心的性质如下：
1. 三角形的三条边都是外接圆的直径。
2. 外心到三个顶点的距离都相等，且外心到任意一边的距离等于该边的半径。
计算外心的方法：
设三角形的顶点分别为A、B、C，外心为O，半径为r，则外心的坐标为：
x = ((x1^2 + y1^2)(y3 - y2) + (x2^2 + y2^2)(y1 - y3) + (x3^2 +
y3^2)(y2 - y1)) / (2(x1(y3 - y2) + x2(y1 - y3) + x3(y2 - y1)))
y = ((x1^2 + y1^2)(x2 - x3) + (x2^2 + y2^2)(x3 - x1) + (x3^2 +
y3^2)(x1 - x2)) / (2(x1(y3 - y2) + x2(y1 - y3) + x3(y2 - y1)))
其中，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)分别是点A、B、C的坐标。
三、内心
内心是一个三角形内切圆的圆心。
三角形的内切圆是与三边相切的圆。
内心的性质如下：
1. 三角形的三条角平分线交于内心。
2. 内心到三个顶点的距离都相等，且内心到边的距离等于内切圆的
半径。
计算内心的方法：
设三角形的顶点分别为A、B、C，内心为I，半径为r，则内心的
坐标为：
x = (ax1 + bx2 + cx3) / (a + b + c)
y = (ay1 + by2 + cy3) / (a + b + c)
其中，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)分别是点A、B、C的坐标，a、b、c分别是边BC、AC、AB的长度。
这是关于三角形的重心、外心和内心的一些基本介绍和讨论。
这三
个点在三角形的研究和应用中起到了重要的作用。
重心、外心和内心
都是由三角形的特殊性质所确定，它们在几何学和其他学科中都有广
泛的应用。
通过计算可以得到重心、外心和内心的坐标，这些坐标在
解决各种问题和设计中都具有重要的参考价值。