圆锥曲线与方程知识点详细
圆锥曲线与方程知识点总结
圆锥曲线与方程知识点总结圆锥曲线是平面上的一类曲线，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。
其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J是常数，且A、B、C不全为0。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线等。
1. 椭圆：椭圆是圆锥曲线中的一种类型，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。
若B^2 - 4AC < 0，则为椭圆。
椭圆是一个封闭的曲线，其特点是到两个焦点的距离和固定。
椭圆在几何中有重要的应用，如椭圆的焦点在天文学中用于描述行星和卫星的轨道。
2. 双曲线：双曲线是圆锥曲线中的一种类型，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。
若B^2 - 4AC > 0，则为双曲线。
双曲线有两个分支，其特点是到两个焦点的距离差固定。
双曲线在几何中也有广泛的应用，如描述光线在反射和折射中的路径。
3. 抛物线：抛物线是圆锥曲线中的一种类型，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。
若B^2 - 4AC = 0，则为抛物线。
抛物线是一个开口向上或向下的曲线，与焦点的距离等于到准线的距离。
抛物线在物理学、工程学和建筑学等领域中有重要的应用，如描述抛物面的形状。
4. 圆锥曲线的性质：(i) 对称性：圆锥曲线可以关于x轴、y轴、z轴和原点对称。
(ii) 焦点：圆锥曲线有1个或2个焦点，焦点是与曲线特定性质相关的重要点。
(iii) 准线：圆锥曲线有1条或2条准线，准线是与曲线特定性质相关的重要线。
(iv) 渐近线：双曲线有两条渐近线，抛物线有一条渐近线。
高二圆锥曲线方程知识点
高二圆锥曲线方程知识点圆锥曲线方程是高二数学中的重要知识点之一。
在本文中，我们将讨论圆锥曲线方程的相关概念和性质，并解释如何通过给定信息推导出相应的方程。
同时，我们还将介绍不同类型的圆锥曲线方程，并探讨它们的基本形式和特点。
希望本文能够帮助您更好地理解和掌握高二圆锥曲线方程知识点。
1. 圆锥曲线的定义在数学中，圆锥曲线是由一个平面与一个双曲面、抛物面或椭球面相交而产生的曲线。
根据平面与曲面的位置和交点情况，圆锥曲线被分为四种类型：椭圆、双曲线、抛物线和直线。
2. 椭圆的方程椭圆是圆锥曲线中最简单的一种形式。
其方程可以写为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中，(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆在x轴和y 轴上的半长轴长度。
3. 双曲线的方程双曲线是由双曲面与平面相交而产生的曲线。
它的方程可以写为：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1或(y-k)²/b² - (x-h)²/a² = 1其中，(h, k)为双曲线的中心坐标，a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的半长轴长度。
4. 抛物线的方程抛物线是由抛物面与平面相交而产生的曲线。
它的方程可以写为：y = ax² + bx + c其中，a、b和c为常数，决定了抛物线的形状和位置。
5. 直线的方程直线也可以看作是一种特殊的圆锥曲线。
其方程可以写为：y = mx + c其中，m为直线的斜率，c为直线与y轴的截距。
通过以上的介绍，我们可以看到不同类型的圆锥曲线方程有着不同的形式和特点。
在解题时，我们需要根据题目给出的信息和所求的要素，选择相应的方程进行推导和计算。
总结起来，高二圆锥曲线方程知识点包括了椭圆、双曲线、抛物线和直线的方程形式和性质。
通过学习和理解这些知识，我们可以更好地解决与圆锥曲线相关的问题，提高数学解题能力。
圆锥曲线与方程知识点总结
圆锥曲线与方程知识点总结圆锥曲线是数学中的一个重要分支，涉及到许多有趣而复杂的数学概念和方程。
在这篇文章中，我们将对圆锥曲线和方程的关键知识点进行总结。
一、圆锥曲线的定义与分类圆锥曲线是由一个平面和一个双曲面或椭球面相交而形成的曲线。
根据平面和曲面的相对位置和交叉方式，圆锥曲线可以分为三类：椭圆、双曲线和抛物线。
椭圆是圆锥曲线中最简单也是最熟悉的一种形式。
它可以定义为平面上距离两个固定点之和为常数的点组成的集合。
椭圆有两个焦点，离焦点越远的点离圆心越远。
椭圆的方程是标准方程形式(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
双曲线是由与椭圆相似的方式定义而成的。
它可以定义为平面上距离两个固定点之差为常数的点组成的集合。
双曲线有两个焦点，离焦点越远的点离中心轴越远。
双曲线的方程是标准方程形式(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1或(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = -1，其中(h,k)是双曲线的中心坐标，a 和b分别是双曲线的半长轴和半短轴。
抛物线也是圆锥曲线中的一种形式。
它可以定义为平面上距离一个固定点和一个固定直线的距离相等的点组成的集合。
抛物线有一个焦点和一条准线。
抛物线的方程是标准方程形式y = ax² + bx + c，其中a、b和c是常数。
二、圆锥曲线的性质与应用除了定义和方程，圆锥曲线还有许多重要的性质和应用。
下面我们将介绍其中的一些。
1. 焦点和准线：焦点是圆锥曲线的一个重要特征。
在椭圆和双曲线中，焦点是使得曲线上的点满足焦点定义的关键。
在抛物线中，焦点是使得平面上的点满足距离定义的关键。
准线是抛物线上离焦点最近的直线，具有独特的性质和应用。
2. 相似与合称性：圆锥曲线具有相似性质，即它们的形状在适当的缩放下保持不变。
圆锥曲线方程知识点总结
圆锥曲线方程知识点总结圆锥曲线是解析几何中的重要内容，它包括圆、椭圆、双曲线和抛物线四种曲线。
在学习圆锥曲线的方程时，我们需要掌握各种曲线的标准方程、一般方程以及一些重要的性质和定理。
接下来，我们将对圆锥曲线方程的知识点进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容。
首先，我们来看圆的方程。
圆的标准方程是(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
而圆的一般方程是x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数。
在解析几何中，我们需要掌握如何由标准方程转化为一般方程，以及如何由已知条件确定圆的方程。
其次，我们来看椭圆的方程。
椭圆的标准方程是(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a和b 分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长。
椭圆的一般方程是Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D、E为常数。
在学习椭圆的方程时，我们需要了解椭圆的离心率、焦点、长轴、短轴等重要概念，以及它们之间的关系。
接着，我们来看双曲线的方程。
双曲线分为两种类型，一种是横轴为对称轴的双曲线，另一种是纵轴为对称轴的双曲线。
横轴为对称轴的双曲线的标准方程是(x/a)² (y/b)² = 1，而纵轴为对称轴的双曲线的标准方程是(y/b)² (x/a)² = 1。
双曲线的一般方程也是由这些标准方程推导而来，我们需要掌握如何进行转化和确定双曲线的方程。
最后，我们来看抛物线的方程。
抛物线分为两种类型，一种是开口向上的抛物线，另一种是开口向下的抛物线。
开口向上的抛物线的标准方程是y² = 2px，开口向下的抛物线的标准方程是y² = -2px。
抛物线的一般方程也可以由这些标准方程推导而来，我们需要了解抛物线的焦点、准线、顶点等重要性质。
(完整版)《圆锥曲线》主要知识点
圆锥曲线与方程知识要点一、椭圆方程. 1、椭圆的定义：平面内与两个定点尸卜F 2,点P 满足IP 用+1尸/2∣=2α>2∣,则点P 的轨迹是 平面内与两个定点尸八F 2,点尸满足IP 居|+|Pq=2z=∣FE ∣,则点尸的轨迹是 平面内与两个定点尸I 、F 2,点P 满足IPFJ+1PKI=2〃<忻八|，则点P 的轨迹是 2X 2V 2若户是椭圆：-τ+J=I 上的点为焦点，若NF1P 户产氏则AT//2的面积为ab3、点与椭圆、直线与椭圆的位置关系9 2⑴点Pa0,比)与椭圆E+g=1(α>b>0)的位置关系：①点尸在椭圆上O;②点P 在椭圆内部=;③点P 在椭圆外部Q.(2)直线尸履+〃?与椭圆，+方=1(α>Z>O)的位置关系判断方法:消y 得一个一元二次方程是： _____________________________________________________v（3）弦长公式：设直线方程为），=履+加（%0）,椭圆方程为/+方=1（α>b>0）或方+∕=1（α>b>0）,直线与椭圆的两个交点为A（X1，yι）,3（X2，）力则∣A8∣=N（为一7）2+（小一”）2,Λ∖AB∖=7（X1X2）2+（如一g）2=<1+F∙d（X1-X2）2=y∣I+*7（X1+切）4_¥1囚，或HB1=d（i>1⅛2）+（上_1）2=[]+、•'（%_"）2=^1+.XJ（>1+>2）2_领/其中，即+“2,汨M 或“+”，V”的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y或X后得到关于X或y的一元二次方程得到.2 2（4）直线/：y=Ax+m与椭圆：二+与=1（α>/?>0）的两个交点为Aa1，y）,8（如力），a'b~弦A8的中点M（X0，州），则2=（用X0,州表示）二、双曲线方程.1、双曲线的定义：平面内与两个定点尸I、F2,点尸满足归/JTPgh2々<囚尸21则点尸的轨迹是平面内与两个定点尸卜尸2，点尸满足仍PJTPW=2α>巴川，则点P的轨迹是平面内与两个定点尸1、尸2，点P满足归尸]|-|尸/』=2〃=|尸尸小则点P的轨迹是21等轴双曲线：双曲线“2_,2=±『称为等轴双曲线，其渐近线方程为,离心率《=2 2（2）共渐近线的双曲线系方程：二-1?=”之0°）的渐近线方程为_________________a~Zr如果双曲线的渐近线为±±2=0时，它的双曲线方程可设为 ____________________ .ab(3)从双曲线一个焦点到一条渐近线的距离等于.3、直线与双曲线的位置关系r2V2(1)一般地，设直线/：y=kxΛ-m……①双曲线C：^-p=1(α>O,bX))……②把①代入②得关于X的一元二次方程为.①当〃一"仆=O时，直线/与双曲线的渐近线,直线与双曲线C.②当/一/炉和时，/>0=直线与双曲线有公共点，此时称直线与双曲线:/=0=直线与双曲线有公共点，此时称直线与双曲线：/<0=直线与双曲线公共点,此时称直线与双曲线.注意：直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点.AB的中点M(xo>h)，则A=(用必，yo表示)三、抛物线方程.1、抛物线的定义平面内与一个定点尸和一条定直线/(不经过点F)的点的轨迹叫做抛物线.点尸叫做抛物线的,直线/叫做抛物线的.思考1：平面内与一个定点F和一条定直线/(/经过点F),点的轨迹是2、抛物线的性质:3、抛物线的焦点弦的性质1.如图，A8是抛物线y2=2pMp>0)过焦点尸的一条弦，设Aa∣,》)、8(及，工)，AB的中点MX°，并)，相应的准线为/.(1)以AB为直径的圆必与准线/的位置关系是:(2)HB1=(焦点弦长用中点M的坐标表示)；(3)若直线AB的倾斜角为α,则∣A8∣=(焦点弦长用倾斜角为α表示)；如当α=90。
圆锥曲线方程知识点总结
圆锥曲线方程知识点总结一、圆锥曲线的基本方程椭圆的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > b > 0)$$其中椭圆的长轴为$2a$，短轴为$2b$，焦距为$\sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$c/a$。
双曲线的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > 0, b > 0)$$其中双曲线的两个分支的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$。
抛物线的标准方程如下：$$x^2 = 4ay. (a > 0)$$其中抛物线的焦点为$(0, a)$，顶点为$(0, 0)$。
二、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线还可以用参数方程表示。
以椭圆为例，其参数方程为：$$\begin{cases}x = a \cos \theta, \\y = b \sin \theta. \\\end{cases}$$其中$\theta$的取值范围为$[0, 2\pi]$。
双曲线和抛物线的参数方程也可以类似地表示。
三、圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线还可以用极坐标方程表示。
以椭圆为例，其极坐标方程为：$$r = \frac{ab}{\sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}}.$$其中$r$为极径，$\theta$为极角。
双曲线和抛物线的极坐标方程也可以类似地表示。
四、圆锥曲线的性质1. 圆锥曲线关于坐标轴的对称性：- 椭圆关于$x$轴和$y$轴都对称；- 双曲线关于$x$轴和$y$轴都对称；- 抛物线关于$y$轴对称。
2. 圆锥曲线的焦点、直径、离心率等：- 椭圆的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 双曲线的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 抛物线的焦点到中心的距离为$c = a$，离心率为$e = 1$。
第3章圆锥曲线的方程知识点汇总
p 2
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径： HH 2 p
AB x1 x2 p 参数 p 表示焦点到准线的距离， p 越大，开口越阔
谢谢观看！
A1 a,0 、 A2 a,0
A1 0, a 、 A2 0,a
实轴的长 2a
虚轴的长 2b
关于 x 轴、 y 轴对称，关于原点中心对称
F1 c,0 、 F2 c,0
F1 0, c 、 F2 0,c
F1F2 2c (c2 a2 b2)
3.2 双曲线
a,b, c 关系
离心率
渐近线方程 焦点到渐近线
图形
标准方程
顶点 离心率 对称轴
y2 2 px
y2 2 px
x2 2 py
x2 2 py
p 0
p 0
p 0
p 0
0, 0
e 1
x轴
y轴
3.3 抛物线
范围
焦点
准线方程
通径 焦点弦长
公式
参数 p 的
几何意义
x0
x0
y0
y0
F
p 2
,
0
F
p 2
,
0
F
0,
p 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F
0,
第3章 圆锥曲线的方程知识点汇总
3.1 椭圆
定义 焦点的位置
平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的和等于常数 2a （大于| F1F2 | 2 c ）的点的
轨迹叫椭圆，两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
图形
圆锥曲线的方程知识点总结
同学们，咱们在高中数学里，圆锥曲线的方程可是个重要的家伙！今天就来给大家好好唠唠。
先说椭圆，它的方程就像一个温柔的“大胖子”。
比如说，椭圆方程$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a>b>0$），这里的$a$和$b$可重要啦，决定了椭圆的形状和大小。
就像一个大西瓜，$a$是长半轴，$b$是短半轴。
再看双曲线，那可是个“调皮鬼”。
双曲线方程$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1$，它有两支，一支向左跑，一支向右跑。
比如说，火箭发射的轨道，有时候就像双曲线。
还有抛物线，它是个“急性子”，总是一条线冲出去。
比如投篮的时候，篮球在空中划过的轨迹，就可能是抛物线，它的方程$y^2 =2px$（$p>0$），$p$决定了抛物线的开口大小和方向。
怎么样，同学们，圆锥曲线的方程是不是没那么可怕啦？多做几道题，咱们就能把它们拿下！圆锥曲线方程，你真的懂了吗？亲爱的小伙伴们，今天咱们来聊聊圆锥曲线的方程。
想象一下，椭圆就像一个压扁的圆，比如我们常见的操场跑道，有一部分就是椭圆形状的。
它的方程$\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1$，告诉你怎么画出这个“压扁的圆”。
双曲线呢，像是两个背靠背的滑梯。
比如一些建筑的设计，就会用到双曲线的形状。
它的方程$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1$，让我们能算出滑梯的样子。
抛物线就简单啦，像喷泉水柱往上喷，然后落下来的轨迹。
家里的手电筒照出的光，也近似抛物线。
它的方程$y^2 = 2px$，帮我们描述这个美丽的曲线。
好好琢磨琢磨这些例子，圆锥曲线方程就不再神秘啦！圆锥曲线方程：数学世界的奇妙之旅小伙伴们，让我们一起踏上圆锥曲线方程的奇妙之旅吧！先说椭圆，它的方程就像一个神奇的密码。
比如我们看太阳系里行星的轨道，很多就是近似椭圆的。
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椭圆1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。
. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 2、椭圆的标准方程1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：221x y m n+= 或者 mx 2+ny 2=1 。
3、椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。
③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。
a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作aca c e ==22。
②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(<<e 。
e 越接近1，则c 就越接近a ，从而22c a b -=越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。
当且仅当b a =时，0=c ，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为a y x =+22。
注意：椭圆12222=+by a x 的图像中线段的几何特征（如下图）：假设已知椭圆方程12222=+b y a x （0,0a b >>），且已知椭圆的准线方程为2a x c=±，试推导出下列式子：（提示：用三角函数假设P 点的坐标e PM PF PM PF ==22114、椭圆的另一个定义：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形。
即上图中有e PM PF PM PF ==22115、椭圆12222=+b y a x 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的区别和联系标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 )0,(a ±，),0(b ±),0(a ±，)0,(b ±轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2离心率)10(<<=e ace椭圆有两条对称轴，它们分别是两焦点的连线及两焦点连线段的中垂线； 椭圆都有四个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点；离心率确定了椭圆的形状（扁圆形状），当离心率越接近于0，椭圆越圆；当离心率越接近于1时，椭圆越扁。
6.直线与椭圆的位置关系1.将直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式∆来判断直线和椭圆是否相交、相切或相离。
2.消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础。
7.椭圆方程的求解方法1.要学会运用待定系数法来求椭圆方程，即设法建立,a b 或者,e c 中的方程组，要善于抓住条件列方程。
先定型，再定量，当焦点位置不确定时，应设椭圆的标准方程为12222=+b y a x （0a b >>）或22221y x a b +=（0a b >>）；或者不必考虑焦点的位置，直接把椭圆的标准方程设为221x y m n+= 或者 mx 2+ny 2=1 （0,0,m n m n >>≠），这样可以避免讨论及繁杂的计算，当已知椭圆上的两点坐标时这种解题更方便。
但是需要注意的是m 和n （或者11m n和）谁代表2a ，谁代表2b 要分清。
不要忘记隐含条件和方程，例如：222a b c =+，ce a=等等。
不同的圆锥曲线有不同的隐含条件和方程，切勿弄混。
2.求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形分析，即使画不出图形，思考时也要联想图形，注意数形结合法的使用，切勿漏掉一种情况。
【典型例题】 1、 椭圆的定义例1、已知F 1(-8，0)，F 2(8，0)，动点P 满足|PF 1|+|PF 2|=16，则点P 的轨迹为( )A 圆B 椭圆C 线段D 直线2、椭圆的标准方程例2、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1)长轴长为10，短轴长为6； (2)长轴是短轴的2倍，且过点(2，1)； (3) 经过点(5，1)，(3，2) 3、离心率例3、椭圆22221(0)x ya ba b-=>>的左右焦点分别是F1、F2，过点F1作x轴的垂线交椭圆于P点。
若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为_________ 4、最值问题例4、椭圆2214xy+=两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值为_____，最小值为_____5、直线和椭圆例10、已知直线l:y=2x+m，椭圆C：22142x y+=，试问当m为何值时：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点.双曲线一、知识点讲解（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。
||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹；（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：（3）双曲线的渐近线：①求双曲线12222=-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得02222=-b y a x ，因式分解得到0x y a b±=。
②与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222y x ；（4）等轴双曲线为2222v1.0 可编辑可修改1.注意定义中“陷阱问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为 2.注意焦点的位置： 问题2：双曲线的渐近线为x y 23±=，则离心率为 【典型例题】 1.定义题：1.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．2.如图2所示，F 为双曲线1169:22=-y x C 的左 焦点，双曲线C 上的点i P 与()3,2,17=-i P i 关于y 轴对称， 则F P F P F P F P F P F P 654321---++的值是（ ） A ．9 B ．16 C ．18 D ．273. P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左支上的一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为（ ） （A ）a -（B ）b -（C ）c -（D ）c b a -+2.求双曲线的标准方程1.已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程．2.已知双曲线的渐近线方程是2xy ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ；3.与渐近线有关的问题1若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）A.2B.3C.5D.23.焦点为（0，6），且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）A ．1241222=-y x B ．1241222=-x y C ．1122422=-x y D ．1122422=-y x4.过点（1，3）且渐近线为x y 21±=的双曲线方程是 4.几何1.设P 为双曲线22112y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（ ） A ． B ．12 C. D ．245.求弦1.双曲线122=-y x 的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ）A. 12-=x yB. 22-=x yC. 32-=x yD. 32+=x y抛物线知识点1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．知识点2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P (x 0，y 0)|PF |＝x 0＋p2|PF |＝－x 0＋p2|PF |＝y 0＋p2|PF |＝－y 0＋p2【典型例题】例1设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点．(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．变式练习1．(1)若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是________．(2)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB |等于________． 变式练习2．（1）已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48 变式练习3．1.已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |＝2|FB |，求k 的值．【归纳总结】4个结论——直线与抛物线相交的四个结论已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有以下结论：(1)|AB |＝x 1＋x 2＋p 或|AB |＝2psin 2α(α为AB 所在直线的倾斜角)； (2)x 1x 2＝p 24；(3)y 1y 2＝－p 2；(4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p.3个注意点——抛物线问题的三个注意点(1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程．(2)注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．(3)直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点.注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质─a x a，─b y b|x| a，y R x0。