第6讲6666666

第6讲 古典概型与几何概型
1.(2019·全国Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“
”和阴爻“— —”，如图就是一重卦，在所有重
卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )
A.516
B.1132
C.2132
D.1116 答案 A
解析 由6个爻组成的重卦种数为26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为C 36＝6×5×43×2×1
＝20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P ＝2064＝5
16.故选
A.
2.(2019·黄冈调研)黄冈市的天气预报显示，大别山区在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为40%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率：先利用计算器产生0～9之间整数值的随机数，并用0,1,2,3,4,5表示没有强浓雾，用6,7,8,9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数： 779 537 113 730 588 506 027 394 357 231 683 569 479 812 842 273 925 191 978 520 则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为( ) A.14 B.25 C.310 D.15 答案 C
解析 由题意，知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了20组随机数， 在20组随机数中表示三天中至少有两天有强浓雾的有6组随机数：779,588,683,569,479,978， 故所求概率为620＝310
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3.(2019·九江模拟)河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”.把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中.现从这十个数中随机抽取四个数，则能成为两组的概率是( )
A.15
B.110
C.121
D.1252 答案 C
解析 现从这十个数中随机抽取4个数，基本事件总数n ＝C 410
， 能成为两组的基本事件个数m ＝C 25，则能成为两组的概率是
P ＝m n ＝C 25
C 410＝121
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4.在长为10 cm 的线段AB 上任取一点C ，再作一个矩形，使其边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于16 cm 2的概率为( ) A.15 B.25 C.35 D.45 答案 B
解析 设AC ＝x ，则BC ＝10－x ，由题意矩形面积S ＝x ·()
10－x <16，所以x <2或x >8，又0<x <10，所以该矩形面积小于16的概率为410＝25
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5.(2019·青岛模拟)有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为圆柱下底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.13 B.23 C.34 D.14 答案 B
解析 设点P 到点O 的距离小于等于1的概率为P 1，由几何概型，则P 1＝V 半球V 圆柱＝12×4π3×1
3
π×12
×2＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率P ＝1－13＝23
. 6.(2019·遵义模拟)如图，该茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩(成绩为整数)，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为( )
A.15
B.25
C.110
D.310
答案 A
解析 记其中被污损的数字为x .依题意，得甲的5 次综合测评的平均成绩为90，乙的5 次综合测评的平均成绩为15(442＋x )，令1
5(442＋x )≥90，由此解得x ≥8，
由此乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为210＝1
5
.
7.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“圆周与其直径之比被定为3，圆中弓形面积为1
2a (a
＋c )(c 为弦长，a 为半径长与圆心到弦的距离之差).”据此计算，已知一个圆中弓形所对应的弦长c ＝6，a ＝1，质点M 随机投入此圆中，则质点M 落在该弓形内的概率为( ) A.730 B.175 C.7150 D.350 答案 C
解析 由圆中弓形面积为12a (a ＋c )知弓形的面积S 1＝12×1×(6＋1)＝7
2.设圆的半径为r ，则r 2
＝(r －1)2＋32，解得r ＝5，所以圆的面积S 2＝3r 2＝75，所以质点M 落在弓形内的概率为P ＝S 1S 2＝7
275＝7150
. 8.(2019·汕头达濠华侨中学、东厦中学联考)如图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为( )
A.11
B.10
C.9
D.8 答案 C
解析 设黑色部分的面积为S ，
∵边长为4的正方形二维码， 在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点， ∴
S 4×4＝225
400
，解得S ＝9， 据此可估计黑色部分的面积为9.
9.(2019·长沙长郡中学模拟)已知A (1,0)，B (x ，y )(x ，y ∈R )，若|AB →|≤1，则2y －
x ≥1的概率为( )
A.12＋14π
B.14＋1π
C.12－12π
D.14－12π
答案 D
解析 ∵A (1,0)，B (x ，y )(x ，y ∈R )，|AB →
|≤1，
∴()
x －12＋y 2≤1，表示以点(1,0)为圆心，1为半径的圆面(包括边界)，
∵2
y －x
≥1，∴y ≥x ，即⎩⎨⎧
(x －1)2＋y 2≤1，
y ≥x .
可行域为阴影部分(包括边界)，如图所示.
由几何概型概率计算公式，得到14π×12－12×12π×1
2＝14－1
2π. 10.如图，边长为a 的正六边形内有六个半径相同的小圆，这六个小圆分别与正六边形的一边相切于该边的中点，且相邻的两个小圆互相外切，则在正六边形内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为( )
A.9－3π18
B.9－43π18
C.9－3π27
D.9－43π27
答案 C
解析 如图所示，六边形为边长为a 的正六边形，则OA ＝OB ＝AB ＝a ，设正六边形的中心为点O ，小圆的圆心为O ′，则O ′C ⊥AB ，
∴OC ＝
32
a ， ∴O ′C ＝
36a ，OO ′＝33a ，∴OD ＝12
a ， ∴S 阴影＝12×⎣⎡⎦⎤1
2×36a ·12a －16π·⎝⎛⎭⎫36a 2＝⎝⎛⎭⎫32－π6a 2，S 正六边形＝332a 2，
∴在正六边形内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率 P ＝S 阴影S 正六边形
＝32－π
6332
＝9－3π
27.
11.用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为( )
A.532
B.516
C.1132
D.1116 答案 B
解析 由题意可知，填写的可能结果共有如下32种： 00000,00001,00010,00011,00100,00101,00110,00111， 01000,01001,01010,01011,01100,01101,01110,01111， 10000,10001,10010,10011,10100,10101,10110,10111， 11000,11001,11010,11011,11100,11101,11110,11111，
其中满足题意的有10种：10101,10110,10111,11001,11010,11011,11100,11101,11110,11111， 由古典概型概率计算公式可得满足题意的概率值P ＝1032＝516
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12.(2019·河南名校联考)如图放置的边长为1的正方形P ABC 沿x 轴顺时针滚动一周，设顶点
P 的运动轨迹与x 轴所围区域为M ，若在平面区域N ＝⎩
⎨⎧
(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨
⎪⎧
⎭⎪⎬⎪⎫0≤x ≤4，0≤y ≤2内任意取一点
Q ，则所取的点Q 恰好落在区域M 内部的概率为( )
A.π16
B.π
8 C.π＋18 D.π＋28 答案 C
解析 正方形P ABC 沿x 轴顺时针滚动一周，顶点P 的运动轨迹分三部分：前一部分的图象为四分之一圆周，后一部分的图象为四分之一圆周，且半径都是1，此时两部分扇形所占面积之和为12π，中间部分的轨迹为以
2为半径的四分之一圆周，与x 围成的面积为14π×()22
＋1＝π2＋1，顶点P 的运动轨迹与x 轴所围区域M 的面积为π2＋π
2
＋1＝π＋1，
平面区域N ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎨⎧⎭⎬
⎫0≤x ≤4，0≤y ≤2的面积为4×2＝8，所以在平面区域N ＝
⎩
⎪⎨⎪
⎧
(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎨
⎧⎭⎬⎫0≤x ≤4，0≤y ≤2内任意取一点Q ，则所取的点Q 恰好落在区域M 内部的概率为π＋1
8
.
13.(2019·资阳模拟)从数字1,2,3,4中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，则各位数字之和等于9的概率为________. 答案
5
32
解析 三位数共有4×4×4＝64(个)，各位数字之和等于9有这样几种情况，
第一种：各个数字不同只有一种情况，即取2,3,4这三个数字，这样的三位数有A 33＝6(个)； 第二种：数字相同的情况，可以取1,4,4，这样的三位数有3个；可以取3,3,3这样的三位数有1个.
所以各位数字之和等于9的概率是6＋3＋164＝532
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14.(2019·邢台模拟)小周公司的班车早上7点到达A 地，停留15分钟.小周在6：50至7：45
之间到达A 地搭乘班车，且到达A 地的时刻是随机的，则他能赶上公司班车的概率为________. 答案
5
11
解析 依题意知，从6：50至7：45之间一共有55分钟，其中7：15之前能赶上班车，故能赶上班车的时间有25分钟，由几何概型的概率计算公式，得2555＝5
11，即他能赶上公司班车的
概率为5
11
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15.(2019·开封模拟)赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(由以弦为边长得到的正方形组成).类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF ＝2AF ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是________.
答案
4
13
解析 由题意，设DF ＝2AF ＝2a ，且a >0， ∵∠DFE ＝π3，∴∠AFC ＝π－π3＝2π
3
，
∴△DEF 的面积为S △DEF ＝12·2a ·2a ·sin π
3＝3a 2，
△AFC 的面积为S △AFC ＝12·a ·3a ·sin 2π3＝334
a 2
，
∴在大等边三角形中随机取一点，此点取自小等边三角形的概率是P ＝3a 2
3×334a 2
＋3a 2
＝4
13.
16.(2019·黄山八校联考)一个盒子中装有6张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：f 1(x )＝x 3, f 2(x )＝
||x ，f 3(x )＝sin x, f 4(x )＝cos x ，f 5(x )＝2x
，f 6(x )＝1－2x
1＋2x
，从盒子中任取2张卡片，
将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得新函数为奇函数的概率是________. 答案 25
解析 由题意知本题是一个等可能事件的概率，由函数的奇偶性可得函数f 1(x )＝x 3, f 3(x )＝
sin x ，f 6(x )＝1－2x
1＋2x
为奇函数；函数f 2(x )＝||x ，f 4(x )＝cos x 为偶函数；f 5(x )＝2x 为非奇非偶函数， 试验发生包含的事件是从6张卡片中抽取2张，共有C 26＝15(种)结果， 事件A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相乘得到的函数是奇函数”，
因为一个奇函数与一个偶函数相乘得到的函数是奇函数，所以共有C 13C 12＝6(种)结果，
所以P (A )＝615＝25
.。