3.2.1函数的单调性-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件
是单调减函数?
2试讨论 f (x) k (k 0)在 , 0 和 0, 上的单调性？
x
练习2.画出下列函数图像，并写出单调区间：
(2) y x2 2. y x2 +2的单调增区间是_(____,_0_];
y
y=-x2+2
2
1
y x2 +2的单调减区间是_[_0_,____) .
-2 -1
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1， x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是增函数．
一、函数单调性定义 2．减函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1， x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是减函数．
其中y=f(x)在区间[-5,-2], [1,3]上是减函数， 在区间[-2,1], [3,5] 上是增函数。
我例们2、，物对理于学一中定的量玻的意气耳体定，律当其p 体Vk积(kV为减正小常时数，) 告压诉
强p将增大。试用函数的单调性证明之。
证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域
(0，+∞)上的任意两个实数，且V1<V2，则
分别是增函数和减函数.
y
判断：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则函数 f (x)在R上是增 函数吗?
f(2) f(1)
O 1 2x
二、函数单调区间定义
如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函 数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这 一区间具有（严格的）单调性，区间D叫 做y=f(x)的单调区间.
b 2a
,
返回
例3.判断函数 y x 在 定1 义域
上0的, 单调性.
x（教材P43/7(4))
并给出证明
描点作图
主要步骤
1. 任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2. 作差f(x1)－f(x2)； 3. 变形（通常是因式分解和配方）；
4. 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5. 下结论
12 x
-1
-2
变式1：讨论 y ax2 (a 0) 的单调性
变式2：讨论 y ax2 bx c(a 0) 的单调性
成果交流
y ax2 bx c(a 0)的对称轴为 x b
2a
y ax2 bx c 单调增区间
单调减区间
a>0 a<0
b 2a
,
,
b 2a
,
b 2a
1
证明：函数f(x)= 在(0，+∞)上是减函数。
x
证明：设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数， 取值 且x1<x2，则
f(x1)- f(x2)=
1 x1
1 x2
x2 x1 x1 x2
作差 变形
由于x1,x2 0, 得x1x2>0,又由x1<x2
得x2-x1>0
所以f(x1)- f(x2)>0, 即f(x1)> f(x2)
三、函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤：
1 取值:任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2 作差:f(x1)－f(x2)； 3 变形:（通常是因式分解或配方等）；
4 定号:（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5 结论:（即指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性）．
3.2.1函数的单调性
气温T是关于时间t的函数曲线图
10 T(℃)
8 6 4 2
o
4
-2
8
12
16
20
24 t
思考:气温发生了怎样的变化？
在哪段时间气温升高，在哪段气温降低？
观察下列各个函数的图象，并说说它们 分别反映了相应函数的哪些变化规律?
1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？ 2、随x的增大，y的值有什么变化？
0) (0,
(4)y=2
)上
是单调减函数? O
x
减区间为
无O 单调性 x
(,0),(0, )
例1、下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)， 根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间 上，它是增函数还是减函数？
解：函数y=f(x)的单调区间有 [-5,-2],[-2,1],[1,3],[3,5]
⒈讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的 单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必 须先确定函数的定义域.
⒉根据定义证明函数单调性的一般步骤是：
⑴设 x1, x2 是给定区间内的任意两个值，且 x1 x2.
⑵作差 f (x1) f (x2 )并将此差变形(要注意变形的程度).
⑶判断 f (x1) f (x2来描述图象这 种变化规律?
在区间[0,)上任取两个x1, x2，得到f (x1) x12 , f (x2 ) x22，当x1 x2时，有f (x1) f (x2 )，这时我 们就说函数f (x) x2在区间[0,)上是增函数.
一、函数单调性定义 1．增函数
⑷根据 f (x1) f (x2 ) 的符号确定其增减性.
数与形,本是相倚依, 焉能分作两边飞; 数无形时少直觉, 形少数时难入微; 数形结合百般好, 隔离分家万事休;
切莫忘,几何代数统一体, 永远联系莫分离.
——华罗庚
练习：分别画出下列函数的图象，并根据 它们的图象指出其单调区间。
（1）y=2x+1 （2）y=(x-1)2-1
（3）y= 1 （4）y=2 x
y
y
(1)y=2x+1
2)y=(x-1)2-1
o
x
o1
-1
2x
增区间为 (, ) 增区间为 [1,)
能不能说y y
(31x)
减区间为 (,1]
y(x10)在定义域(y, x
……取值
p(V1)
p(V2 )
k V1
k V2
k V2 V1 V1V2
作差 ……… 变形
由V1，V2∈ (0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0, V2- V1 >0
又k>0,于是 p(V1) p(V2 ) 0
……………定号
也就所是以说，即，函当数体pp积(VV2V)k减,少Vp(时V1(，)0,压强)p是将减增函大数. . ……结论
f (x1) f (x2 ) 0, f (x1) f (x2 )
所以函数 y x 1 在区间上 1, 是增函数.
x
结论
定号
返回
四、归纳小结
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用 定义证明．求函数的单调区间时必须要注意函数 的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
画出函数f(x)=x的图象，观察其变化规律：
1、从左至右图象上升还是下降 ? 上升 2、在区间 (_-_∞__,+__∞_)_上，随着x的增大，f(x)的值随 着 __增__大__ ．
画出函数f(x)=x2的图象，观察其变化规律：
1、在区间 (_-∞__,_0]上，f(x)的值随着x的增大而 _减__小___． 2、 在区间 [_0_,_+_∞_ )上，f(x)的值随着x的增大而 _增__大__．
定号
因此 f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数。
判断
练习1：画出下列函数图像，并写出单调区间：
(1) y 1 (x 0);
y
y1
x
x
？
x
y
1 x
的单调减区间是_(___,_0_)__, _(0_,___ )
讨论1：根据函数单调性的定义
能不能说y 1 (x 0)在定义域(, 0) (0, )上 x
证明：在区间 1, 上任取两个值 x1, x2 且 x1 x2 取值
则
f
(x1)
f
(x2 )
( x1
1) x1
( x2
1 x2
)
作差
( x1
x2
)
(
1 x1
1 x2
)
( x1
x2
)
(
x2 x1
x1) x2
变 形
(
x1
x2
)(
x1 x2 x1 x2
1)
x1, x2 1, ，且 x1 x2 x1 x2 0, x1x2 1 0
注意：
1、函数的单调性是针对定义域内的某个区间而 言的，是函数的一个局部性质；
例如：y=x在整个定义域(-∞,+∞) 上单调递增; y=x2在[0,+∞)单调递增,在(-∞,0]单调递减.
2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，
x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) 或f(x1)>f(x2)
2试讨论 f (x) k (k 0)在 , 0 和 0, 上的单调性？
x
练习2.画出下列函数图像，并写出单调区间：
(2) y x2 2. y x2 +2的单调增区间是_(____,_0_];
y
y=-x2+2
2
1
y x2 +2的单调减区间是_[_0_,____) .
-2 -1
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1， x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是增函数．
一、函数单调性定义 2．减函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1， x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是减函数．
其中y=f(x)在区间[-5,-2], [1,3]上是减函数， 在区间[-2,1], [3,5] 上是增函数。
我例们2、，物对理于学一中定的量玻的意气耳体定，律当其p 体Vk积(kV为减正小常时数，) 告压诉
强p将增大。试用函数的单调性证明之。
证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域
(0，+∞)上的任意两个实数，且V1<V2，则
分别是增函数和减函数.
y
判断：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则函数 f (x)在R上是增 函数吗?
f(2) f(1)
O 1 2x
二、函数单调区间定义
如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函 数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这 一区间具有（严格的）单调性，区间D叫 做y=f(x)的单调区间.
b 2a
,
返回
例3.判断函数 y x 在 定1 义域
上0的, 单调性.
x（教材P43/7(4))
并给出证明
描点作图
主要步骤
1. 任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2. 作差f(x1)－f(x2)； 3. 变形（通常是因式分解和配方）；
4. 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5. 下结论
12 x
-1
-2
变式1：讨论 y ax2 (a 0) 的单调性
变式2：讨论 y ax2 bx c(a 0) 的单调性
成果交流
y ax2 bx c(a 0)的对称轴为 x b
2a
y ax2 bx c 单调增区间
单调减区间
a>0 a<0
b 2a
,
,
b 2a
,
b 2a
1
证明：函数f(x)= 在(0，+∞)上是减函数。
x
证明：设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数， 取值 且x1<x2，则
f(x1)- f(x2)=
1 x1
1 x2
x2 x1 x1 x2
作差 变形
由于x1,x2 0, 得x1x2>0,又由x1<x2
得x2-x1>0
所以f(x1)- f(x2)>0, 即f(x1)> f(x2)
三、函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤：
1 取值:任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2 作差:f(x1)－f(x2)； 3 变形:（通常是因式分解或配方等）；
4 定号:（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5 结论:（即指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性）．
3.2.1函数的单调性
气温T是关于时间t的函数曲线图
10 T(℃)
8 6 4 2
o
4
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20
24 t
思考:气温发生了怎样的变化？
在哪段时间气温升高，在哪段气温降低？
观察下列各个函数的图象，并说说它们 分别反映了相应函数的哪些变化规律?
1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？ 2、随x的增大，y的值有什么变化？
0) (0,
(4)y=2
)上
是单调减函数? O
x
减区间为
无O 单调性 x
(,0),(0, )
例1、下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)， 根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间 上，它是增函数还是减函数？
解：函数y=f(x)的单调区间有 [-5,-2],[-2,1],[1,3],[3,5]
⒈讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的 单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必 须先确定函数的定义域.
⒉根据定义证明函数单调性的一般步骤是：
⑴设 x1, x2 是给定区间内的任意两个值，且 x1 x2.
⑵作差 f (x1) f (x2 )并将此差变形(要注意变形的程度).
⑶判断 f (x1) f (x2来描述图象这 种变化规律?
在区间[0,)上任取两个x1, x2，得到f (x1) x12 , f (x2 ) x22，当x1 x2时，有f (x1) f (x2 )，这时我 们就说函数f (x) x2在区间[0,)上是增函数.
一、函数单调性定义 1．增函数
⑷根据 f (x1) f (x2 ) 的符号确定其增减性.
数与形,本是相倚依, 焉能分作两边飞; 数无形时少直觉, 形少数时难入微; 数形结合百般好, 隔离分家万事休;
切莫忘,几何代数统一体, 永远联系莫分离.
——华罗庚
练习：分别画出下列函数的图象，并根据 它们的图象指出其单调区间。
（1）y=2x+1 （2）y=(x-1)2-1
（3）y= 1 （4）y=2 x
y
y
(1)y=2x+1
2)y=(x-1)2-1
o
x
o1
-1
2x
增区间为 (, ) 增区间为 [1,)
能不能说y y
(31x)
减区间为 (,1]
y(x10)在定义域(y, x
……取值
p(V1)
p(V2 )
k V1
k V2
k V2 V1 V1V2
作差 ……… 变形
由V1，V2∈ (0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0, V2- V1 >0
又k>0,于是 p(V1) p(V2 ) 0
……………定号
也就所是以说，即，函当数体pp积(VV2V)k减,少Vp(时V1(，)0,压强)p是将减增函大数. . ……结论
f (x1) f (x2 ) 0, f (x1) f (x2 )
所以函数 y x 1 在区间上 1, 是增函数.
x
结论
定号
返回
四、归纳小结
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用 定义证明．求函数的单调区间时必须要注意函数 的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
画出函数f(x)=x的图象，观察其变化规律：
1、从左至右图象上升还是下降 ? 上升 2、在区间 (_-_∞__,+__∞_)_上，随着x的增大，f(x)的值随 着 __增__大__ ．
画出函数f(x)=x2的图象，观察其变化规律：
1、在区间 (_-∞__,_0]上，f(x)的值随着x的增大而 _减__小___． 2、 在区间 [_0_,_+_∞_ )上，f(x)的值随着x的增大而 _增__大__．
定号
因此 f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数。
判断
练习1：画出下列函数图像，并写出单调区间：
(1) y 1 (x 0);
y
y1
x
x
？
x
y
1 x
的单调减区间是_(___,_0_)__, _(0_,___ )
讨论1：根据函数单调性的定义
能不能说y 1 (x 0)在定义域(, 0) (0, )上 x
证明：在区间 1, 上任取两个值 x1, x2 且 x1 x2 取值
则
f
(x1)
f
(x2 )
( x1
1) x1
( x2
1 x2
)
作差
( x1
x2
)
(
1 x1
1 x2
)
( x1
x2
)
(
x2 x1
x1) x2
变 形
(
x1
x2
)(
x1 x2 x1 x2
1)
x1, x2 1, ，且 x1 x2 x1 x2 0, x1x2 1 0
注意：
1、函数的单调性是针对定义域内的某个区间而 言的，是函数的一个局部性质；
例如：y=x在整个定义域(-∞,+∞) 上单调递增; y=x2在[0,+∞)单调递增,在(-∞,0]单调递减.
2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，
x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) 或f(x1)>f(x2)
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新教材人教A版必修第一册 3.2.1 第1课时 函数的单调性 课件(48张)
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即 y＝f(x)和 y＝f(x)＋b 的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如 y＝x2 的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x ＋1)2 的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当 k>0 时单调区间与 f(x)相同，当 k<0 时单调区间与 f(x)相 反．
随堂水平达标
课后课时精练
2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知函数 f(x)＝x 的图象如图 1 所示，从左至右图象是上升的还是下降 的：________. (2)已知函数 y＝f(x)的图象如图 2 所示，则该函数的单调递增区间是 ________，单调递减区间是________．
核心概念掌握
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
答案
金版点睛 定义法证明单调性的步骤
判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格 按照单调性的定义操作．
利用定义法判断函数的单调性的步骤为：
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
注意：对单调递增的判断，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，也可以用一个 不等式来替代：
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
3．单调区间 (1)这个区间可以是整个定义域．如 y＝x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单 调递增， y＝－x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减； (2)这个区间也可以是定义域的真子集．如 y＝x2 在定义域(－∞，＋∞) 上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单 调递增(减)．如函数 y＝1x(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减， 但是在整个定义域上不具有单调性．
3.2.1第1课时函数的单调性(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第一册
A．(－∞，1]
B．(－∞，2]
()
C．[1，＋∞)
D．[2，＋∞)
【答案】B 【解析】∵函数 f(x)＝x2－(a－1)x＋5 图象的对称轴为 x＝a－2 1，且
f(x)在区间12，1上单调递增，∴a－2 1≤21，即 a≤2.
3．(题型3)函数f(x)是定义域上的单调递减函数，且图象过点(－3,2) 和(1，－2)，则使|f(x)|<2的x的取值范围是________．
设x1，x2是f(x)定义域某一个子区间M上的两个变量值，如果f(x)满足 以下条件，该函数f(x)是否为增函数？
(1)对任意 x1<x2，都有 f(x1)<f(x2)； (2)对任意 x1，x2(x1≠x2)，都有(f(x1)－f(x2))(x1－x2)>0； (3)对任意 x1，x2(x1≠x2)都有fxx11－ －fx2x2>0.
【答案】－1，12 －1≤x≤1，
【解析】由题意得x<21，
解得－1≤x<12.
题型4 根据函数的单调性求参数的取值范围 已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，求实数a
的取值范围． 素养点睛：考查直观想象和数学运算的核心素养． 解：由于二次函数图象的开口向上，对称轴为x＝a，故其增区间为
(2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的 图象并写出函数的单调区间．
素养点睛：考查直观想象和逻 辑推理的核心素养．
【答案】(1)[－2,1] [3,5] [－5， －2] [1,3]
【解析】观察图象可知，y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]， [1,3]，[3,5]．其中 y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上具有单调递增，在区 间[－2,1]，[3,5]上单调递减．
函数的单调性课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
3.会利用单调性求参数取值范围．(重点)
学运算素养．
新课引入
问题1：观察下面函数图象，从中你发现了图象的哪些特征？
= 2
=
= >0
升降变化、对称性，最高点或最低点等
今天，我们重点研究图象从左到右升降变化的规律。
随的增大而增大（或减小）——
函数的单调性
= 2
1
y
0
那么就称函数 在
区间D上时减函数
y
1
1 2 x
2
0
1 2
x
特别地，只有当函数 在它的定义域上单调递增（递减）时，
我们才称它是增（减）函数。
合作探究
思考1：−1 < 2时，有 −1 < 2 ，
说函数在区间 −1，2 上单增对吗？并说出你的理由。
不对，如图，虽−1 < 2时，有 −1 < 2 ,
函数值随自变量的增大（或减小）的性质叫做函数的单调性.
图形语言：在 轴右侧,从左到右图象是上升的；
也就是说，在区间 ， +∞ 上，随的增大而增大
；
你能类比说出函数在y轴右侧的符号表示及单调性吗？
符号语言：
∀ , ∈ ， +∞ ， = , =
当 < 时，有 < 成立.
结论 这时， f (x)=kx +b是减函数。
结论：一次函数 = + ≠ 的单调性由的正负确定。
> 在R上单调递增； < 在R上单调递减.
k
(k为正常数)告诉我们，
例3、 物理学中的玻意耳定律 p =
学运算素养．
新课引入
问题1：观察下面函数图象，从中你发现了图象的哪些特征？
= 2
=
= >0
升降变化、对称性，最高点或最低点等
今天，我们重点研究图象从左到右升降变化的规律。
随的增大而增大（或减小）——
函数的单调性
= 2
1
y
0
那么就称函数 在
区间D上时减函数
y
1
1 2 x
2
0
1 2
x
特别地，只有当函数 在它的定义域上单调递增（递减）时，
我们才称它是增（减）函数。
合作探究
思考1：−1 < 2时，有 −1 < 2 ，
说函数在区间 −1，2 上单增对吗？并说出你的理由。
不对，如图，虽−1 < 2时，有 −1 < 2 ,
函数值随自变量的增大（或减小）的性质叫做函数的单调性.
图形语言：在 轴右侧,从左到右图象是上升的；
也就是说，在区间 ， +∞ 上，随的增大而增大
；
你能类比说出函数在y轴右侧的符号表示及单调性吗？
符号语言：
∀ , ∈ ， +∞ ， = , =
当 < 时，有 < 成立.
结论 这时， f (x)=kx +b是减函数。
结论：一次函数 = + ≠ 的单调性由的正负确定。
> 在R上单调递增； < 在R上单调递减.
k
(k为正常数)告诉我们，
例3、 物理学中的玻意耳定律 p =
函数的单调性与最大(小)值课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
量值x1,x2,设x1<x2,
f(x1)-f(x2)=(2x1+1)-(2x2+1)=2x1-2x2
=2(x1-x2)
∵x1<x2 ∴x1 -x2<0 ∴2(x1-x2)<0
∴f(x1)-f(x2)<0
即f(x1) < f(x2)
∴函数f(x)=2x+1在其定义域上是增函数.
取值
作差变形
定号
下结论
探究三
那么，我们称M为函数y = f ( x)的最大值
图1
1
2
3
x
f ( x) = x 2
y
通过观察图2，可以发现二次函数 f ( x) =
的图像上有一个最低点（0，0）即
x2
x R, 都有f ( x) f (0)
5
当一个函数f(x)的图像有最低点时，我们就
说函数f(x)有最小值。
4
3
2
1
-3
A．f(x)＝x
2
C．f(x)＝|x|
答案：B
(
1
B．f(x)＝
x
D．f(x)＝2x＋1
)
2
5．函数 f(x)＝ ，x∈[2,4]，则 f(x)的最大值为______；最小值为
x
________．
答案：1
1
2
题型一 利用图象确定函数的单调区间
例1 求下列函数的单调区间,并指出其在单调区间上是
增函数还是减函数:
∴x1x2>0,x1x2-1<0,x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
1
故函数f(x)=x+ 在区间(0,1)内为减函数.
f(x1)-f(x2)=(2x1+1)-(2x2+1)=2x1-2x2
=2(x1-x2)
∵x1<x2 ∴x1 -x2<0 ∴2(x1-x2)<0
∴f(x1)-f(x2)<0
即f(x1) < f(x2)
∴函数f(x)=2x+1在其定义域上是增函数.
取值
作差变形
定号
下结论
探究三
那么，我们称M为函数y = f ( x)的最大值
图1
1
2
3
x
f ( x) = x 2
y
通过观察图2，可以发现二次函数 f ( x) =
的图像上有一个最低点（0，0）即
x2
x R, 都有f ( x) f (0)
5
当一个函数f(x)的图像有最低点时，我们就
说函数f(x)有最小值。
4
3
2
1
-3
A．f(x)＝x
2
C．f(x)＝|x|
答案：B
(
1
B．f(x)＝
x
D．f(x)＝2x＋1
)
2
5．函数 f(x)＝ ，x∈[2,4]，则 f(x)的最大值为______；最小值为
x
________．
答案：1
1
2
题型一 利用图象确定函数的单调区间
例1 求下列函数的单调区间,并指出其在单调区间上是
增函数还是减函数:
∴x1x2>0,x1x2-1<0,x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
1
故函数f(x)=x+ 在区间(0,1)内为减函数.
函数的单调性-(新教材)人教A版高中数学必修第一册上课用PPT
探索点三 函数单调性的应用 【例 3】 【例 3】 (1)已知函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]
上是减函数,则实数 a 的取值范围为 (-∞,-3] .
解析:f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a -1)2+2, 所以此二次函数的对称轴为直线x=1-a . 所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a]. 因为f(x)在(-∞,4]上是减函数, 所以直线x=1-a必须在直线x=4的右侧 或与其 重合, 所以1-a≥4,解得a≤-3,即实数a的取值范 围为(- ∞,-3].
(2) 已 知 y=f(x) 在 定 义 域 (-1,1) 上 是 减 函 数 , 且
f(1-a)<f(2a-1),则 a 的取值范围是
.
3函.2数.1的第单1课调时性-【函新数教的材单】调人性教-A【版新高教中材数】学人必教修A第版 一（册20优19 秀）课高件中 数学必 修第一 册课件( 共28张 PPT)
函数的单调性-【新教材】人教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件
[基础测试] 1.判断.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)已知 f(x)= ,因为 f(-1)<f(2),所以函数 f(x)是增函数.
() 解析:由函数单调性的定义可知,要证明一个函数是 增函数,需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大, 函数值也越大,而不是个别的自变量. 答案:×
解析:观察图象可知,y=f(x)的单调区间有[-5,-2], [2,1],[1,3],[3,5]. 其 中 y=f(x) 在 区 间 [-5,-2],[1,3] 上 是 增 函 数,在区间[-2,1],[3,5]上是减函数.
上是减函数,则实数 a 的取值范围为 (-∞,-3] .
解析:f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a -1)2+2, 所以此二次函数的对称轴为直线x=1-a . 所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a]. 因为f(x)在(-∞,4]上是减函数, 所以直线x=1-a必须在直线x=4的右侧 或与其 重合, 所以1-a≥4,解得a≤-3,即实数a的取值范 围为(- ∞,-3].
(2) 已 知 y=f(x) 在 定 义 域 (-1,1) 上 是 减 函 数 , 且
f(1-a)<f(2a-1),则 a 的取值范围是
.
3函.2数.1的第单1课调时性-【函新数教的材单】调人性教-A【版新高教中材数】学人必教修A第版 一（册20优19 秀）课高件中 数学必 修第一 册课件( 共28张 PPT)
函数的单调性-【新教材】人教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件
[基础测试] 1.判断.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)已知 f(x)= ,因为 f(-1)<f(2),所以函数 f(x)是增函数.
() 解析:由函数单调性的定义可知,要证明一个函数是 增函数,需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大, 函数值也越大,而不是个别的自变量. 答案:×
解析:观察图象可知,y=f(x)的单调区间有[-5,-2], [2,1],[1,3],[3,5]. 其 中 y=f(x) 在 区 间 [-5,-2],[1,3] 上 是 增 函 数,在区间[-2,1],[3,5]上是减函数.
新教材高中数学3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性课件新人教A版必修第一册
证明 ∀x1，x2∈R，且 x2>x1， 则 x2－x1>0， ∵当 x>0 时，f(x)<0，∴f(x2－x1)<0， ∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)<0， ∴f(x)为减函数.
答案
题型四 复合函数的单调性 例 4 求函数 f(x)＝8－21x－x2的单调区间．
[证明] (1)根据题意，令 m＝0，可得 f(0＋n)＝f(0)·f(n)． ∵f(n)≠0，∴f(0)＝1. (2)由题意知 x>0 时，0<f(x)<1， 当 x＝0 时，f(0)＝1>0， 当 x<0 时，－x>0，∴0<f(－x)<1. ∵f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)， ∴f(x)·f(－x)＝1， ∴f(x)＝f－1 x>0. ∴∀x∈R，恒有 f(x)>0.
数(decreasing function)．
知识点三
单调区间
如果函数 y＝f(x)在区间 D 上__□0_1_单__调__递__增___或_□_0_2_单__调__递__减___，那么就说
函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)__□0_3__单__调_性_____，__□0_4__区__间__D____叫做 y
7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即 y＝f(x)和 y＝f(x)＋b 的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如 y＝x2 的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x ＋1)2 的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当 k>0 时单调区间与 f(x)相同，当 k<0 时单调区间与 f(x)相 反．
答案
题型四 复合函数的单调性 例 4 求函数 f(x)＝8－21x－x2的单调区间．
[证明] (1)根据题意，令 m＝0，可得 f(0＋n)＝f(0)·f(n)． ∵f(n)≠0，∴f(0)＝1. (2)由题意知 x>0 时，0<f(x)<1， 当 x＝0 时，f(0)＝1>0， 当 x<0 时，－x>0，∴0<f(－x)<1. ∵f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)， ∴f(x)·f(－x)＝1， ∴f(x)＝f－1 x>0. ∴∀x∈R，恒有 f(x)>0.
数(decreasing function)．
知识点三
单调区间
如果函数 y＝f(x)在区间 D 上__□0_1_单__调__递__增___或_□_0_2_单__调__递__减___，那么就说
函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)__□0_3__单__调_性_____，__□0_4__区__间__D____叫做 y
7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即 y＝f(x)和 y＝f(x)＋b 的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如 y＝x2 的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x ＋1)2 的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当 k>0 时单调区间与 f(x)相同，当 k<0 时单调区间与 f(x)相 反．
函数的单调性【新教材】人教A版高中数学必修第一册精品ppt课件
第 函三 数章 的单调3.性2.【1 新第教1材课】时人函教数A的版单高调中性数-学【必新修教第材一】 册人课教件A 版2（ 优2秀01p 9pt）课高件中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT) 第 函三 数章 的单调3.性2.【1 新第教1材课】时人函教数A的版单高调中性数-学【必新修教第材一】 册人课教件A 版2（ 优2秀01p 9pt）课高件中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT)
第三章 3.2.1 第1课时函数的单调性-【新教材】 人教A 版（201 9）高 中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT) 第三章 3.2.1 第1课时函数的单调性-【新教材】 人教A 版（201 9）高 中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT)
第 函三 数章 的单调3.性2.【1 新第教1材课】时人函教数A的版单高调中性数-学【必新修教第材一】 册人课教件A 版2（ 优2秀01p 9pt）课高件中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT) 第 函三 数章 的单调3.性2.【1 新第教1材课】时人函教数A的版单高调中性数-学【必新修教第材一】 册人课教件A 版2（ 优2秀01p 9pt）课高件中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT)
第 函三 数章 的单调3.性2.【1 新第教1材课】时人函教数A的版单高调中性数-学【必新修教第材一】 册人课教件A 版2（ 优2秀01p 9pt）课高件中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT) 第 函三 数章 的单调3.性2.【1 新第教1材课】时人函教数A的版单高调中性数-学【必新修教第材一】 册人课教件A 版2（ 优2秀01p 9pt）课高件中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT)
第 函三 数章 的单调3.性2.【1 新第教1材课】时人函教数A的版单高调中性数-学【必新修教第材一】 册人课教件A 版2（ 优2秀01p 9pt）课高件中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT) 第 函三 数章 的单调3.性2.【1 新第教1材课】时人函教数A的版单高调中性数-学【必新修教第材一】 册人课教件A 版2（ 优2秀01p 9pt）课高件中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT)
【课件】函数单调性与最值(第1课时) 课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
减小
______．
2、 在区间 (0,+∞)
_____ 上，f(x)的值随着x的增大而
增大
_____．
引入
知识点一、增函数、减函数的定义
前提条件
复习引入
条件
设函数 f(x)的定义域为 I，区间 D⊆I
∀x
________________，x
1＜x2
1，x2∈D
都有 f(x1)＜f(x2)
都有 f(x1)＞f(x2)
x
满足f ( ) f ( x) f ( y ),
y
（1）求f (1)的值；
（2）若f (6) 1求不等式f ( x 3) f (2) 1的解集；
x
解：（1）由条件对一切x, y 0, 满足f ( ) f ( x) f ( y),
y
所以令x y 1, 则f (1) 0.
调性的一般步骤：
1 取值.任取x1，x2∈D，且x1<x2；
2 作差.f(x1)－f(x2)；
3 变形.（通常是因式分解和配方）；
4 定号.（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
5 下结论.（即指出函数f(x)在给定的区间D上的
单调性）．
题型三、利用单调性求解不等式
例1.已知函数 f ( x)是定义在 R上的增函数，且 f (3a 7) f (8a 11)
求实数 a的取值范围 .
[解析] ∵函数 f(x)是定义在 R 上的增函数，且 f(3a－7)＞f(11＋8a)，
∴3a－7＞11＋8a，
18
∴a＜－ 5 ，
18
∴实数 a 的取值范围是(－∞，－ 5 )．
题型三、利用单调性求解不等式
______．
2、 在区间 (0,+∞)
_____ 上，f(x)的值随着x的增大而
增大
_____．
引入
知识点一、增函数、减函数的定义
前提条件
复习引入
条件
设函数 f(x)的定义域为 I，区间 D⊆I
∀x
________________，x
1＜x2
1，x2∈D
都有 f(x1)＜f(x2)
都有 f(x1)＞f(x2)
x
满足f ( ) f ( x) f ( y ),
y
（1）求f (1)的值；
（2）若f (6) 1求不等式f ( x 3) f (2) 1的解集；
x
解：（1）由条件对一切x, y 0, 满足f ( ) f ( x) f ( y),
y
所以令x y 1, 则f (1) 0.
调性的一般步骤：
1 取值.任取x1，x2∈D，且x1<x2；
2 作差.f(x1)－f(x2)；
3 变形.（通常是因式分解和配方）；
4 定号.（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
5 下结论.（即指出函数f(x)在给定的区间D上的
单调性）．
题型三、利用单调性求解不等式
例1.已知函数 f ( x)是定义在 R上的增函数，且 f (3a 7) f (8a 11)
求实数 a的取值范围 .
[解析] ∵函数 f(x)是定义在 R 上的增函数，且 f(3a－7)＞f(11＋8a)，
∴3a－7＞11＋8a，
18
∴a＜－ 5 ，
18
∴实数 a 的取值范围是(－∞，－ 5 )．
题型三、利用单调性求解不等式
函数的单调性课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
【思考3】这样的变化过程能写完吗?
怎么借助字母符号表示上述具体例子的共同点？
分析：
只要x1＜x2时, 就有f(x1)＞f(x2).
当从−增大到−，则 从 − = 减小到 − =
当从−增大到−，则 从 − = 减小到 − =
当从−增大到−，则 从 − = 减小到 − =
【思考4】这里对x1，x2有什么要求？
只取 −∞， 上的某些数是否可以？请举例说明.
任取x1，x2∈ −∞， ，只要x1＜x2时, 就有f(x1)＞f(x2).
新知探究
1
函数的单调性
【问题2】请同学们在草稿本上用列表法画出 = 图像.
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
f(x)=x2 … 16 9 4 1 0 1 4 9 16 …
【思考4】这里对x1，x2有什么要求？
只取 −∞， 上的某些数是否可以？请举例说明.
任取x1，x2∈ −∞， ，只要x1＜x2时, 就有f(x1)＞f(x2).
【思考5】模仿上述方法，给出“在区间 ， + ∞ 上，随的增大而增
大”的符号语言刻画.
2 2 2 2 2 x1 x2
则 f x1 f x2
.
x1 x2 x2 x1
x1 x2
x1 , x2 (, 0) ， x1 x2 0 .
又 x1 x2 ， x1 x2 0 .
f x1 f x2 0 ，即 f x1 f x2 .
当从−增大到−，则 从 − = 减小到 − =
当从−增大到−，则 从 − = 减小到 − =
新知探究
高中数学人教A版必修第一册3.2.1单调性与最大(小)值课件
8.函数 f (x) x2 3| x | 2 的单调递减区间是__-_∞__,_-__23__∪____0_,_23____.
解析：
f
(x)
x2
3
|
x
|
2
x2
x2
3x 3x
2 ，x 2 ，x
0 0
，
f
(x)
x x
3 2
3 2
2
2
1 4
1 4
，x ，x
0 0
，
结合二次函数的图象可得，
所以函数
f
(x)
2 x 1
在区间 [2, 6]
上单调递减.
因此函数
f
(x)
2 x 1
在区间 [2, 6]
的两个端点上分别取得最大值与最小值.
在 x 2 时取得最大值，最大值是 2；在 x 6 时取得最小值，最小值是 0.4.
课堂小测
C 1.函数 y 2x2 2x 1 在区间[ 1,1] 上的最小值为( )
f
(x2 )
2
x1 1
2 x2 1
=
2(x2 1) (x1 1)
(x1 1)(x2 1)
= 2(x2 x1) (x1 1)(x2 1)
.
由 2 x1 x2 6 ，得 x2 x1 0 ， (x1 1)(x2 1) 0 ，
于是 f (x1) f (x2 ) 0 ，即 f (x1) f (x2 ) .
C.
4.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售 x 辆该品牌车的利润（单位：
万元）分别为 L1 x2 21x 和 L2 2x .若该公司在两地共销售 15 辆该品牌车，
C 则能获得的最大利润为( )