材料力学动应力汇总
动应力
st
Fd =kd P
P
§13.4 冲击应力与变形的计算
五、水平冲击问题的动荷系数
v g st
2
2 d
.
v
P
水平冲击时的动荷系数
l
1 d v kd g st st
由此可见： 在冲击问题中，增大静变形 可以减小动荷系数，从而减小冲
d
.
P v=0
d
.
st
.
Fd =kd P
D A D A 2 v qd g 2 g 2
v
. .
t D O
. .
极限转速
2 [ ] g D
第十三章 动应力
§13.3
强迫振动时的应力计算
一、振动时的运动微分方程及其解 二、振动时的动荷系数
§13.3 强迫振动时的动应力计算
一、振动时的运动微分方程及其解
d kd st
d kd st
Fd kd P
d kd st
可见：解决冲击问题的关键是确定冲击动荷系数
§13.4 冲击应力与变形的计算
三、自由落体冲击问题的动荷系数
对于弹性系统：落体 + 杆件，根据能量守恒原理
V Ud
由于
1 1 d 1 1 d2 d P d P U d Fd d (kd P ) 2 2 st 2 2 st V P(h d )
g
于是
B c
§13.3 强迫振动时的动应力计算
二、振动时的动荷系数
最大动挠度：
d max st B
最小动挠度：
d min st B
假设：振动时材料服从胡克定律
材料力学第九章动荷载和交变应力
kd 1 a g 1 2.5 9.8 1.26
st FNst / A W2 / A 127.3MPa d kd st 160.4MPa 1.05[ ]
∴ 钢索满足强度要求。
2.5m
FNd W2
W2 g
a
2.5m a
W2
2.梁的强度校核
W1
kd 1 a g 1 2.5 9.8 1.26
求σdmax、△Dd。不计梁的自重。 A
解：1.计算静态的△Cst、Mmax和
σstmax
W
h
D
2l / 3 l
C
B
l/3
由 w Fb(l 2 b2 ) x Fb x3
6EIl
6EIl
得
Δ Cst
W
l [l 2 ( l )2]
3
3
6EIl
2l 3
Wl 3
6EIl
( 2l )3 3
4Wl 3 0.19mm 243EI
结论：梁满足强度要求。
三、提高构件抗冲击能力的措施
d kdst Fd kdW d kd st
kd 1
1 2h — —竖向冲击动荷因数
st
kd
v2 水平冲击动荷因数
gst
在静应力不变的情况下，减小动荷系数可以减小冲击应力。
即加大冲击点沿冲击方向的静位移： 被冲击物采用弹性模量低、变形大的材料制作； 或在被冲击物上垫上容易变形的缓冲附件。
W
h C
z Iz = 1130cm4 Wz =141cm3
A
B
1.梁本身的变形
1.5m
1.5m
k
ΔCst1
Wl 3 48EI
0.474mm
2.支座缩短量
材料力学扭转应力知识点总结
材料力学扭转应力知识点总结材料力学扭转应力是指在材料受到外力作用时，产生的沿材料截面方向的剪切应力。
本文将总结材料力学扭转应力的相关概念、公式以及与其相关的知识点。
一、材料力学扭转应力的定义及公式推导材料力学扭转应力是指作用于材料截面的切应力，即使材料在受扭转载荷时只沿材料轴向发生变形，但由于材料的剪切模量存在，扭转载荷能够引起沿截面呈现出一定程度的剪切应力。
设材料受到的扭转力矩为T，截面积为A，材料在截面上的剪切应力为τ，则材料力学扭转应力可以表示为：τ = T / A其中，τ表示扭转应力，T表示扭转力矩，A表示截面积。
二、材料力学扭转应力与材料性质的关系1. 临界剪切应力：临界剪切应力是指材料在一定条件下开始发生塑性变形的最小剪切应力。
临界剪切应力可以用来衡量材料的塑性变形特性。
2. 杨氏模量与剪切模量：剪切模量G是衡量材料抵抗剪切形变能力的指标，而杨氏模量E是衡量材料抵抗拉伸形变能力的指标。
二者的关系可以表示为：E = 2G(1 + μ)其中，E表示杨氏模量，G表示剪切模量，μ表示泊松比。
三、材料力学扭转应力的影响因素1. 材料的性质：不同材料的剪切模量不同，因此材料的扭转应力也会不同。
某些材料具有较高的剪切模量，能够承受较大的扭转应力，而某些材料的剪切模量较低，其扭转应力相对较小。
2. 截面形状：截面形状对扭转应力有一定影响。
通常情况下，截面形状越大，扭转应力越小；截面形状越小，扭转应力越大。
3. 外力作用位置：外力作用位置对扭转应力也有一定影响。
通常情况下，外力作用位置越远离截面中心，扭转应力越小；外力作用位置越接近截面中心，扭转应力越大。
四、常见的材料力学扭转应力应用场景1. 扭转杆件：扭转杆件是最常见的扭转应力应用场景之一。
例如汽车发动机的曲轴，飞机发动机的转子等都是承受扭转应力的杆件。
2. 扭转弹簧：扭转弹簧是利用材料力学扭转应力的特性设计的机械零件。
它能够通过受到扭转载荷而产生恢复力，广泛应用于各种机械装置中。
材料力学 动荷载和循环应力
Mechanic of Materials
§10.4 杆件受冲击时的应力和变形
例题 : 图中所示的两根受重物Q冲击的钢梁，其中一根是支承于 刚性支座上，另外一根支于弹簧刚度系数k=100N/mm的弹性支 座上。已知l = 3m, h=0.05m, Q=1kN, Iz=3.4×107mm4, Wz=308.6×109mm3,E=200GPa,比较两者的冲击应力。
Mechanic of Materials
§ 10.1 概述
一、什么是动载荷，与静荷载的区别。
1、静荷载：
从零开始缓慢地增到终值，然后保持不变的载荷 2、动载荷：
使构件产生明显的加速度的载荷或随时间变化 的载荷。动载荷本质：是惯性力 3、动应力、动变形
构件由于动荷载所引起的应力、变形 4、分类：惯性载荷、冲击载荷、振动载荷、交变载荷
§10.4 杆件受冲击时的应力和变形
三、求冲击问题的解题步骤
Mechanic of Materials
1、求静位移、静应力
静冲击物静置在被冲击物的冲击位置上，由拉压杆胡克定 理，梁可以查表，求冲击处发生静位移。也可以由能梁法 求解。
2、求动荷系数
kd 1
1 2h st
kd
v2 g st
3、求动位移、静应力等
a
冲击物
被冲击物
解决冲击问题的方法:近似但偏 于安全的方法--能量法
Mechanic of Materials
§10.4 杆件受冲击时的应力和变形
采用能量法处理冲击问题的基本假设: 1、除机械能外，所有其它的能量损失（塑性变形能、
热能）等均忽略不计； 2、冲击过程中，结构保持线弹性范围内，即力与变
§ 10.1 概述
材料力学知识点归纳总结(完整版)
材料力学知识点归纳总结(完整版)K点相邻的微小面积取得越来越小，使得合力趋近于一个点力，这个点力就是在K点处的应力。
因此，应力是指杆件横截面上单位面积内的内力分布情况，通常用符号σ表示。
应力的单位是帕斯卡（Pa），即XXX/平方米。
第三章：应变、XXX定律和XXX模量1.应变的概念：应变是指固体在外力作用下发生形状和尺寸改变的程度，通常用符号ε表示。
应变分为线性应变和非线性应变两种。
线性应变是指应变与应力成正比，即应变与内力的比值为常数，这个常数被称为材料的弹性模量。
非线性应变则不满足这个比例关系。
2.胡克定律：胡克定律是描述材料弹性变形的基本定律，它规定了应力和应变之间的关系，即在弹性阶段，应力与应变成正比，比例系数为弹性模量。
3.XXX模量：杨氏模量是描述材料抗拉、抗压变形能力的物理量，它是指单位面积内拉应力或压应力增加一个单位时，材料相应的纵向应变的比值。
XXX模量的大小反映了材料的柔软程度和刚度。
杨氏模量的单位是帕斯卡（Pa）或兆帕（MPa）。
综上所述，材料力学是研究构件在外力作用下内力、变形、破坏等规律的科学。
构件应具备足够的强度、刚度和稳定性以负荷所承受的载荷。
截面法是求解内力的基本方法，应力是指杆件横截面上单位面积内的内力分布情况，应变是指固体在外力作用下发生形状和尺寸改变的程度。
胡克定律描述了材料弹性变形的基本定律，而XXX模量则描述了材料抗拉、抗压变形能力的物理量。
应力是指在截面m-m上某一点K处的力量。
它的方向与内力N的极限方向相同，并可分解为垂直于截面的分量σ和切于截面的分量τ。
其中，σ称为正应力，τ称为切应力。
将应力的比值称为微小面积上的平均应力，用表示。
在国际单位制中，应力的单位是帕斯卡（Pa），常用兆帕（MPa）或吉帕（GPa）。
杆件是机器或结构物中最基本的构件之一，如传动轴、螺杆、梁和柱等。
某些构件，如齿轮的轮齿、曲轴的轴颈等，虽然不是典型的杆件，但在近似计算或定性分析中也可简化为杆。
材料力学动应力
32 1 1 d≥ ( P + G ) 22 L22 + P 22D 22 4 π [σ ] 16
1 13 3
D d L/2 a P G L/2
例 如图的重物以加速度 a 上升，用 第三强度理论设计轴径。
P+G
动态问题
L/ 2
L/ 2
a 1 a 1 + G P + 轴的横向力 最大弯矩 M = P1 + + G L 4 g g GDa a 1 2 2 a 扭矩 T = 1 P 1 + D T ′ = Jε = mR ⋅ = 4g 2 g 2 R 1 2 2 2 2 M T σ = + 等效应力 eq eq3 3 W
32 22 1 a 1 a GDa P 1 + + G L + P 1 + D + 轴径 d ≥ π [ σ ] 16 2 4 g g g
2 2 2 2
1 13 3
14.2 冲击荷载问题
动荷系数
a L
K dd = 1 + 1 +
2H
δ st st
= 4.37
跳板危险点处最大静止正应力
M 6 PL σ st = = 22 = 9.8 MPa st max max W bh
最大动态应力
σ dd max = K ddσ st = 42.8 MPa max st max max
P L/ 2 A
PL/4 L/4 L/ 2
最大挠度在 B 处
3 3 PL 96 HEI 2H 96 HEI v = + + 1 1 = 1+ 1+ K dd = 1 + 1 + dB 3 dB 3 3 3 3 3 32 EI PL P L 48 EI PL
材料力学试验应力知识点总结
材料力学试验应力知识点总结【材料力学试验应力知识点总结】一、引言材料力学试验是研究材料性能和行为的重要手段之一。
在试验过程中，应力是一个关键的参数，直接影响着材料的变形和破坏。
本文将围绕材料力学试验中的应力知识点展开总结，包括静力学中的应力定义、应力的分析方法以及常见试验中的应力应变关系。
二、应力的定义应力是材料单位面积上的内部力，表示为单位面积上的力的大小。
常见的应力有正应力和剪应力两种类型。
正应力是垂直于材料截面的力，剪应力是平行于材料截面的力。
在静力学中，正应力可以分为拉应力和压应力，分别表示材料上的拉伸或压缩力。
三、应力的分析方法1. 分析刚体在材料力学试验中，常用的材料为刚体，其可以看作是刚性的，不发生变形。
此时，应力的分析相对简单。
根据牛顿第三定律，作用在刚体上的力和对应的反作用力相等，且方向相反。
2. 分析弹性体对于弹性体，其在受力作用下会发生弹性变形，但在去除载荷后可以恢复到原始形状。
弹性体的应力分析需要考虑弹性模量、截面形状等因素。
常用的应力分析方法包括拉伸试验、压缩试验和剪切试验。
四、常见试验中的应力应变关系1. 拉伸试验拉伸试验是最常见的材料力学试验之一，通过施加拉伸力使样品发生拉伸变形，并记录应力应变关系。
拉伸试验可以得到应力-应变曲线，以及材料的极限强度、屈服强度、断裂强度等。
在拉伸试验中，拉应力的计算可以通过施加的拉伸力除以样品的截面积得到。
2. 压缩试验压缩试验是将力施加在样品上方，使其发生压缩变形的试验。
压缩试验同样可以得到应力-应变曲线，以及材料的极限强度、屈服强度和断裂强度等。
3. 剪切试验剪切试验是将两个平面相对滑动以引起剪切变形的试验。
剪切试验可以得到剪应力-剪应变曲线，通过剪切力与截面积之比计算剪应力。
五、总结材料力学试验中的应力是一个重要的参数，对于材料性能的研究和材料设计具有重要意义。
本文对应力的定义、分析方法以及常见试验中的应力应变关系进行了总结。
材料力学2--动荷载、交变应力
r < 0 ：拉压循环 ； r > 0 ：拉拉循环 或压压循环。
(2)应力幅 (3)平均应力 m
max min
1 m ( max min ) 2
12.1 概述
一、静载荷与动载荷：
Байду номын сангаас
载荷不随时间变化（或变化极其平稳缓慢）且使构件各部件加 速度保持为零（或可忽略不计），此类载荷为静载荷。
载荷随时间急剧变化且使构件的速度有显著变化（系统产生惯 性力），此类载荷为动载荷。 二、动响应：
构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力、应变、位移 等），称为动响应。
速度不能确定，要采用“能量法”求解； 3.交变应力： 应力随时间作周期性变化，疲劳问题。
12.2 构件有加速度时动应力计算
采用
动静法
在构件运动的某一时刻，将惯性力加在构件上， 使原来作用在构件上的外力和惯性力假想地组成 平衡力系，然后按静荷作用下的问题来处理。
一、直线运动构件的动应力
例： 图示梁、钢索结构。起吊重物以等加速度a提升。 试求钢索横截面的动应力和梁的最大动应力。 解：(1) 钢索的轴力： a
实验表明：在静载荷下服从虎克定律的材料，只要应力不超 过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且E静=E动。
三、动荷系数：
动响应 动荷因数K d 静响应
d Kd st
四、动应力分类： 1.简单动应力： 加速度可以确定，采用“动静法”求解。 2.冲击载荷： 速度在极短暂的时间内有急剧改变。此时，加
2h Δd Δst (1 1 ) Δst
2h 引用记号 K d (1 1 ) Δst
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3PL 2bh2
1
1
8EHbh3 PL3
冲击载荷问题关键是在求出相应的静位移
Attention :
d Kd s d Kd st
Kd 1
1 2H
s
a. 静位移为冲击载荷作用点沿冲击方向的位移
P
H
st
L/ 2 A L/ 2
B L/ 2
b. 冲击的动荷系数一经求出后，对结 构的其它各点都适用。
I 1 bh3 3.80106 mm 4 12
qd L2 8 b h2 6
stmax
1
an g
107.2
MPa
例 重量为 G 的运动员在单杠中央作大回环动作。运 动员重心与单杠的距离保持为 H ，两手间距为 a ，单 杠两支点的间距为L，直径为 d。求运动员最上位、水 平位和最下位时单杠中的最大应力。
单杠可简化为如图的受力模型。
单杠中的最大弯矩
第12章 动应力
Dynamical Stress
背景材料
Proface
(1) 动荷载 ( dynamical load ) 的主要形式
P
P
P
t
t
t
惯性荷载 ( inertia load )
冲击荷载 ( shock load )
交变荷载 ( alternating load )
(2) Examples
M 1 (L a) P 1 P(L a)
2
24
单杠中的最大应力
max
M W
P(L a ) 4 8P(L a)
d 3 32
d3
P/ 2 P/ 2 a
L
H
H v
F
F v
max
8P(L a)
d3
P/ 2 P/ 2
a
L
最上位 P G
max
8G(L a)
d3
水平位 根据机械能守恒
机械能守恒 荷载与变形成正比
(2) 自由落体冲击
重物势能 V P(H d )
应变能
U
1 2
Pd d
P(H
d
)
1 2
Pd d
HP δd
Pd P
d st
Pd
d st
P
P(H
d )
1 2
2 d
st
P
2 d
2d st
2H st
0
d st 1
1
2H
st
d Kdst
Kd 1
1 2H
st
例 求图示结构中的最大挠度和最大正应力。
PH
L/ 2
L/ 2
h
s
PL3 48EI
PL3 4Ebh3
b
Kd 1
1 2H
s
1
1 8EHbh3 PL3
vax
PL3 4Ebh3
1
1
8EHbh3 PL3
smax
M smax W
PL b h2
4 6
3PL 2bh2
dmax
MPa
动态问题
连杆运动到下方 时动应力最大
向心加速度
an
r 2
r
2n
60
2
2.465105 25.15g
mm s2
单位长度上的惯性力
qi
an (AL)
L
gA
g
an
q an g
单位长度上的总荷载
qd
q
qi
q1
an g
动态最大正应力仍出现在中截面上下边沿
MW dmax
dmax
1 mv2 mgH v2 2gH
2
P F m v2 m 2gH 2G
H
H
max
16G(L a)
d3
H
H v
F
F v
max
8P(L a)
d3
P/ 2 P/ 2
a
L
最下位 v2 4gH
P F G m v2 G
H
m 4gH G 5G H
max
40G(L a)
d3
P a
q
惯性荷载 ( inertia load )
e Fn
P
h
冲击荷载 ( shock load )
交变荷载 ( alternating load )
1. 惯性荷载问题
条件：加速度已知 方法：引入惯性力概念，用动静法求解动应力
分析和讨论 惯性力有哪些常见的形式？
匀加速直线运动 匀速转动 匀加速转动
D
L/ 2
L/ 2
aPG
例 如图的重物以加速度 a 上升， d 用第三强度理论设计轴径。
P+G L/ 2 L/ 2
静态问题
轴的横向力 最大弯矩
PG
M 1(P G)L 4
扭矩
T 1 PD
2
D
例 如图的重物以加速度 a 上升，用
d 第三强度理论设计轴径。
L/ 2
L/ 2
aPG
静态问题
P+G L/ 2 L/ 2
P
H
st
L/ 2 A L/ 2
st (B)
B L/ 2
d ( A) Kdst ( A) d ( A) Kd st ( A) d (B) Kdst (B) d (B) Kd st (B)
d Kds
Kd 1
1 2H
s
P
分析和讨论
Δ
当 H = 0 时加载是如何进行的？此时动荷系数为 多少？
等效应力
eq3
1 W
M 2 T2
32 1 (P G)2 L2 1 P2D2 [ ]
d 3 16
4
轴径
13
d
32
[
]
1 16
(P
G)2
L2
1 4
P2D2
D
d
动态问题
L/ 2
L/ 2
P+G L/ 2 L/ 2
aPG
轴的横向力 P1PgaG G
扭矩
TT
1212PPD1
a g
D
最大弯 矩
F ma F ma 0
F mr2 F mr2 0
M J M J 0
Exercise:
N
重量为 P 的物体由横截面积为 A 的钢 绳吊着匀加速上升，加速度为 a，求 钢绳中的动应力。
aP
Fi
P , P (1 a), Pa , P 1 a
AA
Ag A g
d Kd st
Kd 动荷系数 ( factor of dynamical load )
这种情况下，外力所做的功为多少？
物体最终平衡时，所具有的应变能是冲击时外力 所做的功的几分之一？
1000
3000
a
L
PL
L
例 体重为 550N 的跳水运动员
500 在端部上方竖直落在跳板上。
45 若跳板的 E = 18 GPa，求跳板
500
中的最大正应力。
P
可采用外伸梁作为简化模型。
跳板横截面惯性矩
MM1414P(P1Gga)L
G
L
T
J
1 2
mR 2
a R
GDa 4g
等效应力
eeqq33
1 WW
MM22(T 2 T )2
轴径
d
d3[2]3[211]6
2
1P16(1PgaG )2GL2L142
13
P2D122P1
a g
D
2
GDa
4g
13
2. 冲击荷载问题
HP δd
(1) 假定
例 如图的两轮匀速地在地面滚动，求连杆横截面
上的最大正应力。
L
r
ω
q
b = 28 h = 56 r = 250
h
L = 2 m n = 300 rpm
b
q = Aρg =0.12 kN/m
q
静态问题
L
静态最大正应力出现在中截面上下边沿
smax
M max W
q L2 b h2
8 4.10 6