海伦公式几种证明方法
海伦公式
海伦公式我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。
假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2 ——————————————————————————————————————————————注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。
——————————————————————————————————————————————由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。
比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
编辑本段证明过程证明（1）与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明（2）我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。
海伦公式的几种证明与推广
海伦公式的几种证明与推广
1. 直角三角形海伦公式的证明：
令直角三角形ABC的斜边长为c，其中a、b分别为直角边的长度，则有：
c^2=a^2+b^2
令三角形ABC的外接圆的半径为R，则有：
R=a+b+c/2
由此，可以推出：
R^2=(a+b+c/2)^2=a^2+2ab+b^2+c^2/4=a^2+2ab+b^2+c^2/4 即：
R^2=a^2+b^2+2ab
两边同时乘以4，得：
4R^2=4a^2+4b^2+8ab
即：
4R^2=(2a+2b)^2
即：
R^2=(a+b)^2
由此可以得到海伦公式：
c^2=a^2+b^2-2ab
2. 直角三角形海伦公式的推广：
（1）等腰三角形海伦公式：
设等腰三角形ABC的斜边长为c，其中a、b分别为等腰边的
长度，则有：
c^2=a^2+b^2-2ab
（2）等腰梯形海伦公式：
设等腰梯形ABCD的斜边长为c，其中a、b分别为等腰边的
长度，则有：
c^2=a^2+b^2-2ab
（3）等边三角形海伦公式：
设等边三角形ABC的斜边长为c，其中a分别为等边的长度，则有：
c^2=3a^2-2ab。
高中数学必修3海伦公式的证明方法
高中数学必修3海伦公式的证明方法海伦公式的证明⑴与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。
设三角形的三边a、b、c 的对角分别为A、B、C，则余弦定理为[1]cosC=(a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]海伦公式的证明⑵中国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。
它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是三角形，要找出它来并非易事。
所以他们想到了三角形的三条边。
如果这样做求三角形的面积也就方便多了。
但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋，中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。
“术”即方法。
三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。
相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。
海伦公式的证明过程
海伦公式的证明过程海伦公式是一个有关三角形面积的公式，它的表达式为：S = √p(p - a)(p - b)(p - c)其中，S是三角形的面积，a、b、c是三角形的三条边，p是三角形的半周长，即p = (a + b + c) / 2。
证明过程如下：1.将三角形的三条边分别记作a、b、c，并设三角形的面积为S。
2.将三角形的一条边作为底，另一条边作为高，求出三角形的面积S1。
3.使用勾股定理求出三角形的斜边c的长度，即c = √(a^2 + b^2)。
4.将三角形的斜边c作为底，高设为h，求出三角形的面积S2。
5.将S1和S2相加，得到S = S1 + S2。
6.将S1和S2的表达式带入得到的S = S1 + S2，得到S = (1/2)ab + (1/2)ch。
7.根据勾股定理，h = √(c^2 - a^2)，将h的表达式带入S = (1/2)ab + (1/2)ch，得到S =(1/2)ab + (1/2)c√(c^2 - a^2)。
8.将c^2 - a^2的表达式展开，得到S = (1/2)ab + (1/2)c√(c + a)(c - a)。
9.将(c + a)和(c - a)合并得到2c，将2c带入S = (1/2)ab + (1/2)c√(c + a)(c - a)，得到S= (1/2)ab + (1/2)c√(2c)(c - a)10.设p = (a + b + c) / 2，将p带入S = (1/2)ab + (1/2)c√(2c)(c - a)，得到S = (1/2)ab +(1/2)c√(2p - a)(p - a)。
11.将(2p - a)和(p - a)合并得到p，将p带入S = (1/2)ab + (1/2)c√(2p - a)(p - a)，得到S= (1/2)ab + (1/2)cp。
12.将S = (1/2)ab + (1/2)cp和S = (1/2)ac + (1/2)bp相加，得到S = (1/2)(ab + ac + bc)。
海伦公式的推导和应用
海伦公式海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2——————————————————————————————————————————————注1：\《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。——————————————————————————————————————————————于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。 证明：与海伦在他的著作\《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a_+b_-c_)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos_ C)=1/2*ab*√[1-(a_+b_-c_)_/4a_*b_] =1/4*√[4a_*b_-(a_+b_-c_)_]=1/4*√[(2ab+a_+b_-c_)(2ab-a_-b_+c_)] =1/4*√[(a+b)_-c_][c_-(a-b)_] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, (a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明：我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2]当P＝1时，△2＝q,S△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]}因式分解得1/16[(c+a) 2-b 2][b 2-(c-a) 2]=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)=p(p-a)(p-b)(p-c根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)代入解得s=8√ 3海伦公式的几种另证及其推广关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c),则S△ABC=1/2 aha =1/2 ab×sinC =1/2 r p= 2R2sinAsinBsinC= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中，S△ABC =√[p(p-a)(p-b)(p-c)]就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。海伦公式在解题中有十分重要的应用。 一、海伦公式的证明 证一勾股定理 如右图勾股定理证明海伦公式。证二：斯氏定理 如右图。斯氏定理证明海伦公式证三：余弦定理分析：变形②S =可知，运用余弦定理c2 = a2 + b2－2abcosC对其进行证明。证明：要证明S =则要证S === ab×sinC此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。 证四：恒等式恒等式证明(1)恒等式证明(2)证五：半角定理∵证一，x = =－c = p－cy = =－a = p－az = =－b = p－b∴r3 =∴r =∴S△ABC = r·p =故得证。 二、海伦公式的推广于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p= ,则S四边形=现根据猜想进行证明。证明：如图，延长DA，CB交于点E。 设EA = e EB = f∵∠1+∠2 =180○∠2+∠3 =180○∴∠1 =∠3∴△EAB～△ECD∴= = =解得：e =①f =②于S四边形ABCD = S△EAB将①，②跟b =代入公式变形④，得：∴S四边形ABCD =所以，海伦公式的推广得证。 三、海伦公式的推广的应用海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事倍功半。例题：如图，四边形ABCD内接于圆O中，SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2.求：四边形可能为等腰梯形。 解：设BC = x海伦公式的推广，得：(4－x)(2＋x)2 =27x4－12x2－16x＋27 = 0x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1) = 0(x－1)(x3＋x2－11x－27) = 0x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0当x = 1时，AD = BC = 1∴四边形可能为等腰梯形。在程序中实现(VBS): dim a,b,c,p,q,sa=inputbox(\请输入三角形第一边的长度\ b=inputbox(\请输入三角形第二边的长度\ c=inputbox(\请输入三角形第三边的长度\ a=1*a b=1*b c=1*cp=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c) q=sqr(p) s=(1/4)*qmsgbox(\三角形面积为\,\三角形面积\在VC中实现#include #include main() {int a,b,c,s;printf(\输入第一边\\n\ scanf(\ printf(\输入第二边\\n\ scanf(\ printf(\输入第三边\\n\ scanf(\ s=(a+b+c)/2;printf(\面积为:%f\\n\ }海伦公式
海伦公式
已知三角形的三个边c b a 、、求它的面积S ,有公式))()((c p b p a p p S ---=, 其中)(21c b a p ++=。
这就是大家所熟知的“海伦公式”,在中学几何课本上一般都有介紹。
人们认为这个公式一定是海伦所首先发现,其实并不然。
在一些有关数学史著作中,对此早有不同提法。
海伦是古希腊的数学家,同时他还是一位优秀的测绘工程师及亚历山大学派的科学家,他对于物理学和机械学很有研究,发明了不少很有价值的机械和仪器。
对于他的准确生活时代我们还不知道,大概在公元1-3世纪期间。
为何会出现海伦公式？由于当时数学的应用性得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的发展，三角术是由于人们想建立定量的天文学，以使用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理而产生的。
而在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边c b a 、、直接求出三角形的面积，据说这个问题最早是由古希腊的数学家阿基米德解决的，于是他得到了海伦公式。
而本文的重点归纳研究海伦公式几种证明方式，希望这些方法对其它有关解三角形问题有一定的启发作用。
一种方法是用解三角形基本的知识解决。
已知三角形的三边为c b a 、、，设)(21c b a p ++=， 求证：三角形的面积))()((c p b p a p p S ---=. 证明：由正弦定理C ab S sin 21=可得）（C b a C b a S 2222222cos 141sin 41-==， 又由余弦定理222222222224)(2cos b a c b a ab c b a C -+=-+=）（，从而有 ）（（2222222224141b a c b a b a S -+-=1641222222）（c b a b a -+-= ]4[161222222）（c b a b a -+-=]2(2[(161222222））c b a ab c b a ab +---++= )])(()[((1612222b a c c b a ---+=）))()()((161b a c b a c c b a c b a +--+-+++=2)(2)(2)(2)(b a c b a c c b a c b a +-∙-+∙-+∙++=2)2(2)2(2)2(2)(a b a c b b a c c c b a c b a -++∙-++∙-++∙++= ))()((a p b p c p p ---= 即三角形的面积))()((c p b p a p p S ---=.证毕。
海伦公式证明方法最简
海伦公式证明方法最简同学们！今天咱们来唠唠海伦公式的最简证明方法哈。
海伦公式可是个挺厉害的玩意儿，能帮咱们求出任意三角形的面积呢。
那咱就不啰嗦，直接开始看看咋证明它哈。
一、啥是海伦公式呀。
海伦公式就是已知三角形三边的长度a、b、c，设三角形的半周长p = (a + b + c) / 2，那么三角形的面积S就可以用这个公式来算：S = √[p(p a)(p b)(p c)]。
是不是看着有点复杂呀，不过没关系，咱一步步来弄清楚它的证明哈。
二、证明方法来咯。
咱可以用勾股定理来证明海伦公式哈。
假设有一个三角形ABC，三边分别是a、b、c，BC边对应的高是AD，设BD = x，那么DC = a x。
在直角三角形ABD中，根据勾股定理可得：AD² = c² x²。
在直角三角形ACD中，根据勾股定理可得：AD² = b² (a x)²。
因为这两个式子都等于AD²，所以c² x² = b² (a x)²。
展开这个式子哈，c² x² = b² (a² 2ax + x²)，进一步化简得到：c² x²= b² a² + 2ax x²，两边的 x²就消掉啦，然后得到c² = b² a² + 2ax，解出x = (a² + c² b²) / (2a)。
那AD² = c² x²，把x = (a² + c² b²) / (2a)代进去，就可以算出AD ²。
然后三角形ABC的面积S = 1/2 × BC × AD = 1/2 × a × AD 。
海伦公式几种证明方法
海伦公式几种证明方法海伦公式是用于计算三角形面积的一种公式，公式为：面积S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，a、b、c是三角形的三边长度，s是半周长，即s=(a+b+c)/2以下是几种证明海伦公式的方法。
1.利用矢量运算法证明海伦公式：首先，将三角形的三个顶点用向量表示，分别为A、B、C。
然后，利用向量的性质计算向量AB、BC和CA的模长，即三边的长度。
接下来，计算向量AB和BC的叉乘，得到一个新的向量P。
最后，利用向量的模长和叉乘的结果，计算三角形的面积S，即S=1/2*，P。
2.利用三角形的高进行证明：设h_a、h_b和h_c分别为三角形的三条高，分别与边a、b和c对应。
根据三角形的面积公式S=1/2*a*h_a，我们可以得到以下三个等式：S=1/2*a*h_aS=1/2*b*h_bS=1/2*c*h_c将这三个等式相加，可以得到S=1/2*(a*h_a+b*h_b+c*h_c)。
而另一方面，根据海伦公式的定义，s=(a+b+c)/2、将之前得到的三个等式代入，可以得到S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))。
3.利用三角形内切圆进行证明：内切圆是与三角形的三条边都相切的圆。
设内切圆的半径为r。
根据圆的性质，可以得到以下三个等式：S=1/2*a*rS=1/2*b*rS=1/2*c*r将这三个等式相加，可以得到S=1/2*(a*r+b*r+c*r)。
而另一方面，根据海伦公式的定义，s=(a+b+c)/2、将之前得到的三个等式代入，可以得到S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))。
以上是三种常见的证明海伦公式的方法。
这些证明方法均可以通过基本的几何性质和定理进行推导，从而得到海伦公式。
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已知三角形的三个边c b a 、、求它的面积S ,有公式))()((c p b p a p p S ---=, 其中)(21c b a p ++=。
这就是大家所熟知的“海伦公式”,在中学几何课本上一般都有介紹。
人们认为这个公式一定是海伦所首先发现,其实并不然。
在一些有关数学史著作中,对此早有不同提法。
海伦是古希腊的数学家,同时他还是一位优秀的测绘工程师及亚历山大学派的科学家,他对于物理学和机械学很有研究,发明了不少很有价值的机械和仪器。
对于他的准确生活时代我们还不知道,大概在公元1-3世纪期间。
为何会出现海伦公式？由于当时数学的应用性得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的发展，三角术是由于人们想建立定量的天文学，以使用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理而产生的。
而在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边c b a 、、直接求出三角形的面积，据说这个问题最早是由古希腊的数学家阿基米德解决的，于是他得到了海伦公式。
而本文的重点归纳研究海伦公式几种证明方式，希望这些方法对其它有关解三角形问题有一定的启发作用。
一种方法是用解三角形基本的知识解决。
已知三角形的三边为c b a 、、，设)(21c b a p ++=
， 求证：三角形的面积))()((c p b p a p p S ---=
. 证明：由正弦定理C ab S sin 21=
可得）（C b a C b a S 2222222cos 141sin 41-==， 又由余弦定理2
22
22222
2224)(2cos b a c b a ab c b a C -+=-+=）（，从而有 ））（（222222222
4141b a c b a b a S -+-=1641222222）（c b a b a -+-= ]4[161222222）（c b a b a -+-=]2(2[(16
1222222））c b a ab c b a ab +---++= )])(()[((1612222b a c c b a ---+=）))()()((16
1b a c b a c c b a c b a +--+-+++=
2
)(2)(2)(2)(b a c b a c c b a c b a +-•-+•-+•++=2)2(2)2(2)2(2)(a b a c b b a c c c b a c b a -++•-++•-++•++=
))()((a p b p c p p ---=
即三角形的面积))()((c p b p a p p S ---=.证毕。
另一种方法是用向量的知识解决。
向量作为一种数学工具，在高中数学中起着重要的作用，所以用向量的知识去解决三角知识，也是一种很不错的方法。
在选修教材1-2的P37例2就是一种体现。
下面我们就借助教材来证明一下海伦公式。
证明：在三角形ABC ∆中， 设,,,c BA b CA a CB ===,||,||,||c c BA b b CA a a CB ======C 为向量,,b a 的夹角，则,a b c -=于是有
,22222b a b a a b c •-+=-=）（ .21222）（c b a b a -+=• 又因为C b a S sin ||||21=，|
|||cos b a C = 所以C b a S 2222sin ||||41= ）（C b a 222cos 1||||41-=）（222||||(1||||41b a b a b a -= ])(|||[|4
1222b a b a •-= 于是就有.)(||||2
1222b a b a S •-= 将上述,||,||b b a a ==代入即上面的一种证明方法一样，下面就不在重复证明了。
在这里还要强调上面得到的222)(||||2
1b a b a S •-=用向量表示，在向量深入学习后，就会发现高中教材无形中就体现大学里的向量知识—外积，即 2222)(||||)(b a b a b a •-=⨯，从而还有||21
b a S ⨯=.
对于向量这个将几何和代数结合的数学工具，现在高中教学中正在不断重视它，希望这里的一个证明可以给大家提供一点关于向量工具的应用。
C
A
B A。